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Theorem prmreclem3 13288
 Description: Lemma for prmrec 13292. The main inequality established here is , where is the set of squarefree numbers in . This is demonstrated by the map where is the largest number whose square divides . (Contributed by Mario Carneiro, 5-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
prmrec.1
prmrec.2
prmrec.3
prmrec.4
prmreclem2.5
Assertion
Ref Expression
prmreclem3
Distinct variable groups:   ,,,   ,,   ,,   ,,   ,,,   ,,
Allowed substitution hints:   ()   ()   ()   ()

Proof of Theorem prmreclem3
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fzfi 11313 . . . . . 6
2 prmrec.4 . . . . . . 7
3 ssrab2 3430 . . . . . . 7
42, 3eqsstri 3380 . . . . . 6
5 ssfi 7331 . . . . . 6
61, 4, 5mp2an 655 . . . . 5
7 hashcl 11641 . . . . 5
86, 7ax-mp 8 . . . 4
98nn0rei 10234 . . 3
109a1i 11 . 2
11 2nn 10135 . . . . . 6
12 prmrec.2 . . . . . . 7
1312nnnn0d 10276 . . . . . 6
14 nnexpcl 11396 . . . . . 6
1511, 13, 14sylancr 646 . . . . 5
1615nnnn0d 10276 . . . 4
17 prmrec.3 . . . . . . . 8
1817nnrpd 10649 . . . . . . 7
1918rpsqrcld 12216 . . . . . 6
2019rprege0d 10657 . . . . 5
21 flge0nn0 11227 . . . . 5
2220, 21syl 16 . . . 4
2316, 22nn0mulcld 10281 . . 3
2423nn0red 10277 . 2
2515nnred 10017 . . 3
2619rpred 10650 . . 3
2725, 26remulcld 9118 . 2
28 ssrab2 3430 . . . . . . 7
29 ssfi 7331 . . . . . . 7
306, 28, 29mp2an 655 . . . . . 6
31 hashcl 11641 . . . . . 6
3230, 31ax-mp 8 . . . . 5
3332nn0rei 10234 . . . 4
3422nn0red 10277 . . . 4
35 remulcl 9077 . . . 4
3633, 34, 35sylancr 646 . . 3
37 fzfi 11313 . . . . . . 7
38 xpfi 7380 . . . . . . 7
3930, 37, 38mp2an 655 . . . . . 6
40 simpr 449 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
414, 40sseldi 3348 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
42 elfznn 11082 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
4341, 42syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
44 prmreclem2.5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
4544prmreclem1 13286 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
4645simp2d 971 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
4743, 46syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16
4845simp1d 970 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
4943, 48syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
5049nnsqcld 11545 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
5150nnzd 10376 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
5250nnne0d 10046 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
5343nnzd 10376 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
54 dvdsval2 12857 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
5551, 52, 53, 54syl3anc 1185 . . . . . . . . . . . . . . . 16
5647, 55mpbid 203 . . . . . . . . . . . . . . 15
57 nnre 10009 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
58 nngt0 10031 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
5957, 58jca 520 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
60 nnre 10009 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
61 nngt0 10031 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
6260, 61jca 520 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
63 divgt0 9880 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
6459, 62, 63syl2an 465 . . . . . . . . . . . . . . . 16
6543, 50, 64syl2anc 644 . . . . . . . . . . . . . . 15
66 elnnz 10294 . . . . . . . . . . . . . . 15
6756, 65, 66sylanbrc 647 . . . . . . . . . . . . . 14
6867nnred 10017 . . . . . . . . . . . . 13
6943nnred 10017 . . . . . . . . . . . . 13
7017nnred 10017 . . . . . . . . . . . . . 14
7170adantr 453 . . . . . . . . . . . . 13
72 dvdsmul1 12873 . . . . . . . . . . . . . . . 16
7356, 51, 72syl2anc 644 . . . . . . . . . . . . . . 15
7443nncnd 10018 . . . . . . . . . . . . . . . 16
7550nncnd 10018 . . . . . . . . . . . . . . . 16
7674, 75, 52divcan1d 9793 . . . . . . . . . . . . . . 15
7773, 76breqtrd 4238 . . . . . . . . . . . . . 14
78 dvdsle 12897 . . . . . . . . . . . . . . 15
7956, 43, 78syl2anc 644 . . . . . . . . . . . . . 14
8077, 79mpd 15 . . . . . . . . . . . . 13
81 elfzle2 11063 . . . . . . . . . . . . . 14
8241, 81syl 16 . . . . . . . . . . . . 13
8368, 69, 71, 80, 82letrd 9229 . . . . . . . . . . . 12
84 nnuz 10523 . . . . . . . . . . . . . 14
8567, 84syl6eleq 2528 . . . . . . . . . . . . 13
8617nnzd 10376 . . . . . . . . . . . . . 14
8786adantr 453 . . . . . . . . . . . . 13
88 elfz5 11053 . . . . . . . . . . . . 13
8985, 87, 88syl2anc 644 . . . . . . . . . . . 12
9083, 89mpbird 225 . . . . . . . . . . 11
91 breq2 4218 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
9291notbid 287 . . . . . . . . . . . . . . . 16
9392ralbidv 2727 . . . . . . . . . . . . . . 15
9493, 2elrab2 3096 . . . . . . . . . . . . . 14
9540, 94sylib 190 . . . . . . . . . . . . 13
9695simprd 451 . . . . . . . . . . . 12
9777adantr 453 . . . . . . . . . . . . . . 15
98 eldifi 3471 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
99 prmz 13085 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
10098, 99syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
101100adantl 454 . . . . . . . . . . . . . . . 16
10256adantr 453 . . . . . . . . . . . . . . . 16
10353adantr 453 . . . . . . . . . . . . . . . 16
104 dvdstr 12885 . . . . . . . . . . . . . . . 16
105101, 102, 103, 104syl3anc 1185 . . . . . . . . . . . . . . 15
10697, 105mpan2d 657 . . . . . . . . . . . . . 14
107106con3d 128 . . . . . . . . . . . . 13
108107ralimdva 2786 . . . . . . . . . . . 12
10996, 108mpd 15 . . . . . . . . . . 11
110 breq2 4218 . . . . . . . . . . . . . 14
111110notbid 287 . . . . . . . . . . . . 13
112111ralbidv 2727 . . . . . . . . . . . 12
113112, 2elrab2 3096 . . . . . . . . . . 11
11490, 109, 113sylanbrc 647 . . . . . . . . . 10
11544prmreclem1 13286 . . . . . . . . . . . . 13
116115simp2d 971 . . . . . . . . . . . 12
11767, 116syl 16 . . . . . . . . . . 11
118115simp1d 970 . . . . . . . . . . . . . . 15
11967, 118syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14
120 elnn1uz2 10554 . . . . . . . . . . . . . 14
121119, 120sylib 190 . . . . . . . . . . . . 13
122121ord 368 . . . . . . . . . . . 12
12344prmreclem1 13286 . . . . . . . . . . . . 13
124123simp3d 972 . . . . . . . . . . . 12
12543, 122, 124sylsyld 55 . . . . . . . . . . 11
126117, 125mt4d 133 . . . . . . . . . 10
127 fveq2 5730 . . . . . . . . . . . 12
128127eqeq1d 2446 . . . . . . . . . . 11
129128elrab 3094 . . . . . . . . . 10
130114, 126, 129sylanbrc 647 . . . . . . . . 9
13150nnred 10017 . . . . . . . . . . . . . 14
132 dvdsle 12897 . . . . . . . . . . . . . . . 16
13351, 43, 132syl2anc 644 . . . . . . . . . . . . . . 15
13447, 133mpd 15 . . . . . . . . . . . . . 14
135131, 69, 71, 134, 82letrd 9229 . . . . . . . . . . . . 13
13671recnd 9116 . . . . . . . . . . . . . 14
137136sqsqrd 12243 . . . . . . . . . . . . 13
138135, 137breqtrrd 4240 . . . . . . . . . . . 12
13949nnrpd 10649 . . . . . . . . . . . . 13
14019adantr 453 . . . . . . . . . . . . 13
141 rprege0 10628 . . . . . . . . . . . . . 14
142 rprege0 10628 . . . . . . . . . . . . . 14
143 le2sq 11458 . . . . . . . . . . . . . 14
144141, 142, 143syl2an 465 . . . . . . . . . . . . 13
145139, 140, 144syl2anc 644 . . . . . . . . . . . 12
146138, 145mpbird 225 . . . . . . . . . . 11
14726adantr 453 . . . . . . . . . . . 12
14849nnzd 10376 . . . . . . . . . . . 12
149 flge 11216 . . . . . . . . . . . 12
150147, 148, 149syl2anc 644 . . . . . . . . . . 11
151146, 150mpbid 203 . . . . . . . . . 10
15249, 84syl6eleq 2528 . . . . . . . . . . 11
15322nn0zd 10375 . . . . . . . . . . . 12
154153adantr 453 . . . . . . . . . . 11
155 elfz5 11053 . . . . . . . . . . 11
156152, 154, 155syl2anc 644 . . . . . . . . . 10
157151, 156mpbird 225 . . . . . . . . 9
158 opelxpi 4912 . . . . . . . . 9
159130, 157, 158syl2anc 644 . . . . . . . 8
160159ex 425 . . . . . . 7
161 ovex 6108 . . . . . . . . . . . 12
162 fvex 5744 . . . . . . . . . . . 12
163161, 162opth 4437 . . . . . . . . . . 11
164 oveq1 6090 . . . . . . . . . . . 12
165 oveq12 6092 . . . . . . . . . . . 12
166164, 165sylan2 462 . . . . . . . . . . 11
167163, 166sylbi 189 . . . . . . . . . 10
16876adantrr 699 . . . . . . . . . . 11
16942ssriv 3354 . . . . . . . . . . . . . . 15
1704, 169sstri 3359 . . . . . . . . . . . . . 14
171 simprr 735 . . . . . . . . . . . . . 14
172170, 171sseldi 3348 . . . . . . . . . . . . 13
173172nncnd 10018 . . . . . . . . . . . 12
17444prmreclem1 13286 . . . . . . . . . . . . . . . 16
175174simp1d 970 . . . . . . . . . . . . . . 15
176172, 175syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14
177176nnsqcld 11545 . . . . . . . . . . . . 13
178177nncnd 10018 . . . . . . . . . . . 12
179177nnne0d 10046 . . . . . . . . . . . 12
180173, 178, 179divcan1d 9793 . . . . . . . . . . 11
181168, 180eqeq12d 2452 . . . . . . . . . 10
182167, 181syl5ib 212 . . . . . . . . 9
183 id 21 . . . . . . . . . . 11
184 fveq2 5730 . . . . . . . . . . . 12
185184oveq1d 6098 . . . . . . . . . . 11
186183, 185oveq12d 6101 . . . . . . . . . 10
187186, 184opeq12d 3994 . . . . . . . . 9
188182, 187impbid1 196 . . . . . . . 8
189188ex 425 . . . . . . 7
190160, 189dom2d 7150 . . . . . 6
19139, 190mpi 17 . . . . 5
192 hashdom 11655 . . . . . 6
1936, 39, 192mp2an 655 . . . . 5
194191, 193sylibr 205 . . . 4
195 hashxp 11699 . . . . . 6
19630, 37, 195mp2an 655 . . . . 5
197 hashfz1 11632 . . . . . . 7
19822, 197syl 16 . . . . . 6
199198oveq2d 6099 . . . . 5
200196, 199syl5eq 2482 . . . 4
201194, 200breqtrd 4238 . . 3
20233a1i 11 . . . 4
20322nn0ge0d 10279 . . . 4
204 prmrec.1 . . . . 5
205204, 12, 17, 2, 44prmreclem2 13287 . . . 4
206202, 25, 34, 203, 205lemul1ad 9952 . . 3
20710, 36, 24, 201, 206letrd 9229 . 2
20815nnrpd 10649 . . . 4
209208rprege0d 10657 . . 3
210 fllelt 11208 . . . . 5
21126, 210syl 16 . . . 4
212211simpld 447 . . 3
213 lemul2a 9867 . . 3
21434, 26, 209, 212, 213syl31anc 1188 . 2
21510, 24, 27, 207, 214letrd 9229 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wn 3   wi 4   wb 178   wo 359   wa 360   wceq 1653   wcel 1726   wne 2601  wral 2707  crab 2711   cdif 3319   wss 3322  cif 3741  cop 3819   class class class wbr 4214   cmpt 4268   cxp 4878  cfv 5456  (class class class)co 6083   cdom 7109  cfn 7111  csup 7447  cr 8991  cc0 8992  c1 8993   caddc 8995   cmul 8997   clt 9122   cle 9123   cdiv 9679  cn 10002  c2 10051  cn0 10223  cz 10284  cuz 10490  crp 10614  cfz 11045  cfl 11203  cexp 11384  chash 11620  csqr 12040   cdivides 12854  cprime 13081 This theorem is referenced by:  prmreclem5  13290 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4322  ax-sep 4332  ax-nul 4340  ax-pow 4379  ax-pr 4405  ax-un 4703  ax-cnex 9048  ax-resscn 9049  ax-1cn 9050  ax-icn 9051  ax-addcl 9052  ax-addrcl 9053  ax-mulcl 9054  ax-mulrcl 9055  ax-mulcom 9056  ax-addass 9057  ax-mulass 9058  ax-distr 9059  ax-i2m1 9060  ax-1ne0 9061  ax-1rid 9062  ax-rnegex 9063  ax-rrecex 9064  ax-cnre 9065  ax-pre-lttri 9066  ax-pre-lttrn 9067  ax-pre-ltadd 9068  ax-pre-mulgt0 9069  ax-pre-sup 9070 This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rmo 2715  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-int 4053  df-iun 4097  df-br 4215  df-opab 4269  df-mpt 4270  df-tr 4305  df-eprel 4496  df-id 4500  df-po 4505  df-so 4506  df-fr 4543  df-we 4545  df-ord 4586  df-on 4587  df-lim 4588  df-suc 4589  df-om 4848  df-xp 4886  df-rel 4887  df-cnv 4888  df-co 4889  df-dm 4890  df-rn 4891  df-res 4892  df-ima 4893  df-iota 5420  df-fun 5458  df-fn 5459  df-f 5460  df-f1 5461  df-fo 5462  df-f1o 5463  df-fv 5464  df-ov 6086  df-oprab 6087  df-mpt2 6088  df-1st 6351  df-2nd 6352  df-riota 6551  df-recs 6635  df-rdg 6670  df-1o 6726  df-2o 6727  df-oadd 6730  df-er 6907  df-map 7022  df-pm 7023  df-en 7112  df-dom 7113  df-sdom 7114  df-fin 7115  df-sup 7448  df-card 7828  df-cda 8050  df-pnf 9124  df-mnf 9125  df-xr 9126  df-ltxr 9127  df-le 9128  df-sub 9295  df-neg 9296  df-div 9680  df-nn 10003  df-2 10060  df-3 10061  df-n0 10224  df-z 10285  df-uz 10491  df-q 10577  df-rp 10615  df-fz 11046  df-fl 11204  df-mod 11253  df-seq 11326  df-exp 11385  df-hash 11621  df-cj 11906  df-re 11907  df-im 11908  df-sqr 12042  df-abs 12043  df-dvds 12855  df-gcd 13009  df-prm 13082  df-pc 13213
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