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Theorem prmreclem4 13214
Description: Lemma for prmrec 13217. Show by induction that the indexed (nondisjoint) union  W `  k is at most the size of the prime reciprocal series. The key counting lemma is hashdvds 13091, to show that the number of numbers in  1 ... N that divide  k is at most  N  /  k. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
prmrec.1  |-  F  =  ( n  e.  NN  |->  if ( n  e.  Prime ,  ( 1  /  n
) ,  0 ) )
prmrec.2  |-  ( ph  ->  K  e.  NN )
prmrec.3  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
prmrec.4  |-  M  =  { n  e.  ( 1 ... N )  |  A. p  e.  ( Prime  \  (
1 ... K ) )  -.  p  ||  n }
prmrec.5  |-  ( ph  ->  seq  1 (  +  ,  F )  e. 
dom 
~~>  )
prmrec.6  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  (
ZZ>= `  ( K  + 
1 ) ) if ( k  e.  Prime ,  ( 1  /  k
) ,  0 )  <  ( 1  / 
2 ) )
prmrec.7  |-  W  =  ( p  e.  NN  |->  { n  e.  (
1 ... N )  |  ( p  e.  Prime  /\  p  ||  n ) } )
Assertion
Ref Expression
prmreclem4  |-  ( ph  ->  ( N  e.  (
ZZ>= `  K )  -> 
( # `  U_ k  e.  ( ( K  + 
1 ) ... N
) ( W `  k ) )  <_ 
( N  x.  sum_ k  e.  ( ( K  +  1 ) ... N ) if ( k  e.  Prime ,  ( 1  /  k
) ,  0 ) ) ) )
Distinct variable groups:    k, n, p, F    k, K, n, p    k, M, n, p    ph, k, n, p   
k, W    k, N, n, p
Allowed substitution hints:    W( n, p)

Proof of Theorem prmreclem4
Dummy variables  j  x are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq2 6028 . . . . . . 7  |-  ( x  =  K  ->  (
( K  +  1 ) ... x )  =  ( ( K  +  1 ) ... K ) )
21iuneq1d 4058 . . . . . 6  |-  ( x  =  K  ->  U_ k  e.  ( ( K  + 
1 ) ... x
) ( W `  k )  =  U_ k  e.  ( ( K  +  1 ) ... K ) ( W `  k ) )
32fveq2d 5672 . . . . 5  |-  ( x  =  K  ->  ( # `
 U_ k  e.  ( ( K  +  1 ) ... x ) ( W `  k
) )  =  (
# `  U_ k  e.  ( ( K  + 
1 ) ... K
) ( W `  k ) ) )
41sumeq1d 12422 . . . . . 6  |-  ( x  =  K  ->  sum_ k  e.  ( ( K  + 
1 ) ... x
) if ( k  e.  Prime ,  ( 1  /  k ) ,  0 )  =  sum_ k  e.  ( ( K  +  1 ) ... K ) if ( k  e.  Prime ,  ( 1  /  k
) ,  0 ) )
54oveq2d 6036 . . . . 5  |-  ( x  =  K  ->  ( N  x.  sum_ k  e.  ( ( K  + 
1 ) ... x
) if ( k  e.  Prime ,  ( 1  /  k ) ,  0 ) )  =  ( N  x.  sum_ k  e.  ( ( K  +  1 ) ... K ) if ( k  e.  Prime ,  ( 1  /  k
) ,  0 ) ) )
63, 5breq12d 4166 . . . 4  |-  ( x  =  K  ->  (
( # `  U_ k  e.  ( ( K  + 
1 ) ... x
) ( W `  k ) )  <_ 
( N  x.  sum_ k  e.  ( ( K  +  1 ) ... x ) if ( k  e.  Prime ,  ( 1  /  k
) ,  0 ) )  <->  ( # `  U_ k  e.  ( ( K  + 
1 ) ... K
) ( W `  k ) )  <_ 
( N  x.  sum_ k  e.  ( ( K  +  1 ) ... K ) if ( k  e.  Prime ,  ( 1  /  k
) ,  0 ) ) ) )
76imbi2d 308 . . 3  |-  ( x  =  K  ->  (
( ph  ->  ( # `  U_ k  e.  ( ( K  +  1 ) ... x ) ( W `  k
) )  <_  ( N  x.  sum_ k  e.  ( ( K  + 
1 ) ... x
) if ( k  e.  Prime ,  ( 1  /  k ) ,  0 ) ) )  <-> 
( ph  ->  ( # `  U_ k  e.  ( ( K  +  1 ) ... K ) ( W `  k
) )  <_  ( N  x.  sum_ k  e.  ( ( K  + 
1 ) ... K
) if ( k  e.  Prime ,  ( 1  /  k ) ,  0 ) ) ) ) )
8 oveq2 6028 . . . . . . 7  |-  ( x  =  j  ->  (
( K  +  1 ) ... x )  =  ( ( K  +  1 ) ... j ) )
98iuneq1d 4058 . . . . . 6  |-  ( x  =  j  ->  U_ k  e.  ( ( K  + 
1 ) ... x
) ( W `  k )  =  U_ k  e.  ( ( K  +  1 ) ... j ) ( W `  k ) )
109fveq2d 5672 . . . . 5  |-  ( x  =  j  ->  ( # `
 U_ k  e.  ( ( K  +  1 ) ... x ) ( W `  k
) )  =  (
# `  U_ k  e.  ( ( K  + 
1 ) ... j
) ( W `  k ) ) )
118sumeq1d 12422 . . . . . 6  |-  ( x  =  j  ->  sum_ k  e.  ( ( K  + 
1 ) ... x
) if ( k  e.  Prime ,  ( 1  /  k ) ,  0 )  =  sum_ k  e.  ( ( K  +  1 ) ... j ) if ( k  e.  Prime ,  ( 1  /  k
) ,  0 ) )
1211oveq2d 6036 . . . . 5  |-  ( x  =  j  ->  ( N  x.  sum_ k  e.  ( ( K  + 
1 ) ... x
) if ( k  e.  Prime ,  ( 1  /  k ) ,  0 ) )  =  ( N  x.  sum_ k  e.  ( ( K  +  1 ) ... j ) if ( k  e.  Prime ,  ( 1  /  k
) ,  0 ) ) )
1310, 12breq12d 4166 . . . 4  |-  ( x  =  j  ->  (
( # `  U_ k  e.  ( ( K  + 
1 ) ... x
) ( W `  k ) )  <_ 
( N  x.  sum_ k  e.  ( ( K  +  1 ) ... x ) if ( k  e.  Prime ,  ( 1  /  k
) ,  0 ) )  <->  ( # `  U_ k  e.  ( ( K  + 
1 ) ... j
) ( W `  k ) )  <_ 
( N  x.  sum_ k  e.  ( ( K  +  1 ) ... j ) if ( k  e.  Prime ,  ( 1  /  k
) ,  0 ) ) ) )
1413imbi2d 308 . . 3  |-  ( x  =  j  ->  (
( ph  ->  ( # `  U_ k  e.  ( ( K  +  1 ) ... x ) ( W `  k
) )  <_  ( N  x.  sum_ k  e.  ( ( K  + 
1 ) ... x
) if ( k  e.  Prime ,  ( 1  /  k ) ,  0 ) ) )  <-> 
( ph  ->  ( # `  U_ k  e.  ( ( K  +  1 ) ... j ) ( W `  k
) )  <_  ( N  x.  sum_ k  e.  ( ( K  + 
1 ) ... j
) if ( k  e.  Prime ,  ( 1  /  k ) ,  0 ) ) ) ) )
15 oveq2 6028 . . . . . . 7  |-  ( x  =  ( j  +  1 )  ->  (
( K  +  1 ) ... x )  =  ( ( K  +  1 ) ... ( j  +  1 ) ) )
1615iuneq1d 4058 . . . . . 6  |-  ( x  =  ( j  +  1 )  ->  U_ k  e.  ( ( K  + 
1 ) ... x
) ( W `  k )  =  U_ k  e.  ( ( K  +  1 ) ... ( j  +  1 ) ) ( W `  k ) )
1716fveq2d 5672 . . . . 5  |-  ( x  =  ( j  +  1 )  ->  ( # `
 U_ k  e.  ( ( K  +  1 ) ... x ) ( W `  k
) )  =  (
# `  U_ k  e.  ( ( K  + 
1 ) ... (
j  +  1 ) ) ( W `  k ) ) )
1815sumeq1d 12422 . . . . . 6  |-  ( x  =  ( j  +  1 )  ->  sum_ k  e.  ( ( K  + 
1 ) ... x
) if ( k  e.  Prime ,  ( 1  /  k ) ,  0 )  =  sum_ k  e.  ( ( K  +  1 ) ... ( j  +  1 ) ) if ( k  e.  Prime ,  ( 1  /  k
) ,  0 ) )
1918oveq2d 6036 . . . . 5  |-  ( x  =  ( j  +  1 )  ->  ( N  x.  sum_ k  e.  ( ( K  + 
1 ) ... x
) if ( k  e.  Prime ,  ( 1  /  k ) ,  0 ) )  =  ( N  x.  sum_ k  e.  ( ( K  +  1 ) ... ( j  +  1 ) ) if ( k  e.  Prime ,  ( 1  /  k
) ,  0 ) ) )
2017, 19breq12d 4166 . . . 4  |-  ( x  =  ( j  +  1 )  ->  (
( # `  U_ k  e.  ( ( K  + 
1 ) ... x
) ( W `  k ) )  <_ 
( N  x.  sum_ k  e.  ( ( K  +  1 ) ... x ) if ( k  e.  Prime ,  ( 1  /  k
) ,  0 ) )  <->  ( # `  U_ k  e.  ( ( K  + 
1 ) ... (
j  +  1 ) ) ( W `  k ) )  <_ 
( N  x.  sum_ k  e.  ( ( K  +  1 ) ... ( j  +  1 ) ) if ( k  e.  Prime ,  ( 1  /  k
) ,  0 ) ) ) )
2120imbi2d 308 . . 3  |-  ( x  =  ( j  +  1 )  ->  (
( ph  ->  ( # `  U_ k  e.  ( ( K  +  1 ) ... x ) ( W `  k
) )  <_  ( N  x.  sum_ k  e.  ( ( K  + 
1 ) ... x
) if ( k  e.  Prime ,  ( 1  /  k ) ,  0 ) ) )  <-> 
( ph  ->  ( # `  U_ k  e.  ( ( K  +  1 ) ... ( j  +  1 ) ) ( W `  k
) )  <_  ( N  x.  sum_ k  e.  ( ( K  + 
1 ) ... (
j  +  1 ) ) if ( k  e.  Prime ,  ( 1  /  k ) ,  0 ) ) ) ) )
22 oveq2 6028 . . . . . . 7  |-  ( x  =  N  ->  (
( K  +  1 ) ... x )  =  ( ( K  +  1 ) ... N ) )
2322iuneq1d 4058 . . . . . 6  |-  ( x  =  N  ->  U_ k  e.  ( ( K  + 
1 ) ... x
) ( W `  k )  =  U_ k  e.  ( ( K  +  1 ) ... N ) ( W `  k ) )
2423fveq2d 5672 . . . . 5  |-  ( x  =  N  ->  ( # `
 U_ k  e.  ( ( K  +  1 ) ... x ) ( W `  k
) )  =  (
# `  U_ k  e.  ( ( K  + 
1 ) ... N
) ( W `  k ) ) )
2522sumeq1d 12422 . . . . . 6  |-  ( x  =  N  ->  sum_ k  e.  ( ( K  + 
1 ) ... x
) if ( k  e.  Prime ,  ( 1  /  k ) ,  0 )  =  sum_ k  e.  ( ( K  +  1 ) ... N ) if ( k  e.  Prime ,  ( 1  /  k
) ,  0 ) )
2625oveq2d 6036 . . . . 5  |-  ( x  =  N  ->  ( N  x.  sum_ k  e.  ( ( K  + 
1 ) ... x
) if ( k  e.  Prime ,  ( 1  /  k ) ,  0 ) )  =  ( N  x.  sum_ k  e.  ( ( K  +  1 ) ... N ) if ( k  e.  Prime ,  ( 1  /  k
) ,  0 ) ) )
2724, 26breq12d 4166 . . . 4  |-  ( x  =  N  ->  (
( # `  U_ k  e.  ( ( K  + 
1 ) ... x
) ( W `  k ) )  <_ 
( N  x.  sum_ k  e.  ( ( K  +  1 ) ... x ) if ( k  e.  Prime ,  ( 1  /  k
) ,  0 ) )  <->  ( # `  U_ k  e.  ( ( K  + 
1 ) ... N
) ( W `  k ) )  <_ 
( N  x.  sum_ k  e.  ( ( K  +  1 ) ... N ) if ( k  e.  Prime ,  ( 1  /  k
) ,  0 ) ) ) )
2827imbi2d 308 . . 3  |-  ( x  =  N  ->  (
( ph  ->  ( # `  U_ k  e.  ( ( K  +  1 ) ... x ) ( W `  k
) )  <_  ( N  x.  sum_ k  e.  ( ( K  + 
1 ) ... x
) if ( k  e.  Prime ,  ( 1  /  k ) ,  0 ) ) )  <-> 
( ph  ->  ( # `  U_ k  e.  ( ( K  +  1 ) ... N ) ( W `  k
) )  <_  ( N  x.  sum_ k  e.  ( ( K  + 
1 ) ... N
) if ( k  e.  Prime ,  ( 1  /  k ) ,  0 ) ) ) ) )
29 0le0 10013 . . . . . 6  |-  0  <_  0
30 prmrec.3 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
3130nncnd 9948 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  N  e.  CC )
3231mul01d 9197 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( N  x.  0 )  =  0 )
3329, 32syl5breqr 4189 . . . . 5  |-  ( ph  ->  0  <_  ( N  x.  0 ) )
34 prmrec.2 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  K  e.  NN )
3534nnred 9947 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  K  e.  RR )
3635ltp1d 9873 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  K  <  ( K  +  1 ) )
3734nnzd 10306 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  K  e.  ZZ )
3837peano2zd 10310 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( K  +  1 )  e.  ZZ )
39 fzn 11003 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( K  +  1 )  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( K  <  ( K  +  1 )  <-> 
( ( K  + 
1 ) ... K
)  =  (/) ) )
4038, 37, 39syl2anc 643 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( K  <  ( K  +  1 )  <-> 
( ( K  + 
1 ) ... K
)  =  (/) ) )
4136, 40mpbid 202 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( K  + 
1 ) ... K
)  =  (/) )
4241iuneq1d 4058 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  U_ k  e.  ( ( K  +  1 ) ... K ) ( W `  k
)  =  U_ k  e.  (/)  ( W `  k ) )
43 0iun 4089 . . . . . . . 8  |-  U_ k  e.  (/)  ( W `  k )  =  (/)
4442, 43syl6eq 2435 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  U_ k  e.  ( ( K  +  1 ) ... K ) ( W `  k
)  =  (/) )
4544fveq2d 5672 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( # `  U_ k  e.  ( ( K  + 
1 ) ... K
) ( W `  k ) )  =  ( # `  (/) ) )
46 hash0 11573 . . . . . 6  |-  ( # `  (/) )  =  0
4745, 46syl6eq 2435 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( # `  U_ k  e.  ( ( K  + 
1 ) ... K
) ( W `  k ) )  =  0 )
4841sumeq1d 12422 . . . . . . 7  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  ( ( K  +  1 ) ... K ) if ( k  e. 
Prime ,  ( 1  /  k ) ,  0 )  =  sum_ k  e.  (/)  if ( k  e.  Prime ,  ( 1  /  k ) ,  0 ) )
49 sum0 12442 . . . . . . 7  |-  sum_ k  e.  (/)  if ( k  e.  Prime ,  ( 1  /  k ) ,  0 )  =  0
5048, 49syl6eq 2435 . . . . . 6  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  ( ( K  +  1 ) ... K ) if ( k  e. 
Prime ,  ( 1  /  k ) ,  0 )  =  0 )
5150oveq2d 6036 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( N  x.  sum_ k  e.  ( ( K  +  1 ) ... K ) if ( k  e.  Prime ,  ( 1  /  k
) ,  0 ) )  =  ( N  x.  0 ) )
5233, 47, 513brtr4d 4183 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( # `  U_ k  e.  ( ( K  + 
1 ) ... K
) ( W `  k ) )  <_ 
( N  x.  sum_ k  e.  ( ( K  +  1 ) ... K ) if ( k  e.  Prime ,  ( 1  /  k
) ,  0 ) ) )
5352a1i 11 . . 3  |-  ( K  e.  ZZ  ->  ( ph  ->  ( # `  U_ k  e.  ( ( K  + 
1 ) ... K
) ( W `  k ) )  <_ 
( N  x.  sum_ k  e.  ( ( K  +  1 ) ... K ) if ( k  e.  Prime ,  ( 1  /  k
) ,  0 ) ) ) )
54 fzfi 11238 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 1 ... N )  e. 
Fin
55 elfzuz 10987 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( k  e.  ( ( K  +  1 ) ... j )  ->  k  e.  ( ZZ>= `  ( K  +  1 ) ) )
5634peano2nnd 9949 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( K  +  1 )  e.  NN )
57 nnuz 10453 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
5857uztrn2 10435 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( K  +  1 )  e.  NN  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( K  +  1
) ) )  -> 
k  e.  NN )
5956, 58sylan 458 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( K  +  1 ) ) )  ->  k  e.  NN )
60 eleq1 2447 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( p  =  k  ->  (
p  e.  Prime  <->  k  e.  Prime ) )
61 breq1 4156 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( p  =  k  ->  (
p  ||  n  <->  k  ||  n ) )
6260, 61anbi12d 692 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( p  =  k  ->  (
( p  e.  Prime  /\  p  ||  n )  <-> 
( k  e.  Prime  /\  k  ||  n ) ) )
6362rabbidv 2891 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( p  =  k  ->  { n  e.  ( 1 ... N
)  |  ( p  e.  Prime  /\  p  ||  n ) }  =  { n  e.  (
1 ... N )  |  ( k  e.  Prime  /\  k  ||  n ) } )
64 prmrec.7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  W  =  ( p  e.  NN  |->  { n  e.  (
1 ... N )  |  ( p  e.  Prime  /\  p  ||  n ) } )
65 ovex 6045 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( 1 ... N )  e. 
_V
6665rabex 4295 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  { n  e.  ( 1 ... N
)  |  ( k  e.  Prime  /\  k  ||  n ) }  e.  _V
6763, 64, 66fvmpt 5745 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( k  e.  NN  ->  ( W `  k )  =  { n  e.  ( 1 ... N )  |  ( k  e. 
Prime  /\  k  ||  n
) } )
6867adantl 453 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( W `
 k )  =  { n  e.  ( 1 ... N )  |  ( k  e. 
Prime  /\  k  ||  n
) } )
69 ssrab2 3371 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  { n  e.  ( 1 ... N
)  |  ( k  e.  Prime  /\  k  ||  n ) }  C_  ( 1 ... N
)
7068, 69syl6eqss 3341 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( W `
 k )  C_  ( 1 ... N
) )
7159, 70syldan 457 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( K  +  1 ) ) )  ->  ( W `  k )  C_  (
1 ... N ) )
7255, 71sylan2 461 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ( K  + 
1 ) ... j
) )  ->  ( W `  k )  C_  ( 1 ... N
) )
7372ralrimiva 2732 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  A. k  e.  ( ( K  +  1 ) ... j ) ( W `  k
)  C_  ( 1 ... N ) )
7473adantr 452 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( ZZ>= `  K )
)  ->  A. k  e.  ( ( K  + 
1 ) ... j
) ( W `  k )  C_  (
1 ... N ) )
75 iunss 4073 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( U_ k  e.  ( ( K  +  1 ) ... j ) ( W `  k ) 
C_  ( 1 ... N )  <->  A. k  e.  ( ( K  + 
1 ) ... j
) ( W `  k )  C_  (
1 ... N ) )
7674, 75sylibr 204 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( ZZ>= `  K )
)  ->  U_ k  e.  ( ( K  + 
1 ) ... j
) ( W `  k )  C_  (
1 ... N ) )
77 ssfi 7265 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( 1 ... N
)  e.  Fin  /\  U_ k  e.  ( ( K  +  1 ) ... j ) ( W `  k ) 
C_  ( 1 ... N ) )  ->  U_ k  e.  (
( K  +  1 ) ... j ) ( W `  k
)  e.  Fin )
7854, 76, 77sylancr 645 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( ZZ>= `  K )
)  ->  U_ k  e.  ( ( K  + 
1 ) ... j
) ( W `  k )  e.  Fin )
79 hashcl 11566 . . . . . . . . . 10  |-  ( U_ k  e.  ( ( K  +  1 ) ... j ) ( W `  k )  e.  Fin  ->  ( # `
 U_ k  e.  ( ( K  +  1 ) ... j ) ( W `  k
) )  e.  NN0 )
8078, 79syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( ZZ>= `  K )
)  ->  ( # `  U_ k  e.  ( ( K  + 
1 ) ... j
) ( W `  k ) )  e. 
NN0 )
8180nn0red 10207 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( ZZ>= `  K )
)  ->  ( # `  U_ k  e.  ( ( K  + 
1 ) ... j
) ( W `  k ) )  e.  RR )
8230nnred 9947 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  N  e.  RR )
8382adantr 452 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( ZZ>= `  K )
)  ->  N  e.  RR )
84 fzfid 11239 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( ZZ>= `  K )
)  ->  ( ( K  +  1 ) ... j )  e. 
Fin )
8556adantr 452 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( ZZ>= `  K )
)  ->  ( K  +  1 )  e.  NN )
8685, 55, 58syl2an 464 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  ( ZZ>= `  K )
)  /\  k  e.  ( ( K  + 
1 ) ... j
) )  ->  k  e.  NN )
87 nnrecre 9968 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  e.  NN  ->  (
1  /  k )  e.  RR )
88 0re 9024 . . . . . . . . . . . 12  |-  0  e.  RR
89 ifcl 3718 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( 1  /  k
)  e.  RR  /\  0  e.  RR )  ->  if ( k  e. 
Prime ,  ( 1  /  k ) ,  0 )  e.  RR )
9087, 88, 89sylancl 644 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  e.  NN  ->  if ( k  e.  Prime ,  ( 1  /  k
) ,  0 )  e.  RR )
9186, 90syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  ( ZZ>= `  K )
)  /\  k  e.  ( ( K  + 
1 ) ... j
) )  ->  if ( k  e.  Prime ,  ( 1  /  k
) ,  0 )  e.  RR )
9284, 91fsumrecl 12455 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( ZZ>= `  K )
)  ->  sum_ k  e.  ( ( K  + 
1 ) ... j
) if ( k  e.  Prime ,  ( 1  /  k ) ,  0 )  e.  RR )
9383, 92remulcld 9049 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( ZZ>= `  K )
)  ->  ( N  x.  sum_ k  e.  ( ( K  +  1 ) ... j ) if ( k  e. 
Prime ,  ( 1  /  k ) ,  0 ) )  e.  RR )
94 prmnn 13009 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( j  +  1 )  e.  Prime  ->  ( j  +  1 )  e.  NN )
95 nnrecre 9968 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( j  +  1 )  e.  NN  ->  (
1  /  ( j  +  1 ) )  e.  RR )
9694, 95syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( j  +  1 )  e.  Prime  ->  ( 1  /  ( j  +  1 ) )  e.  RR )
9796adantl 453 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  ( ZZ>= `  K )
)  /\  ( j  +  1 )  e. 
Prime )  ->  ( 1  /  ( j  +  1 ) )  e.  RR )
9888a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  ( ZZ>= `  K )
)  /\  -.  (
j  +  1 )  e.  Prime )  ->  0  e.  RR )
9997, 98ifclda 3709 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( ZZ>= `  K )
)  ->  if (
( j  +  1 )  e.  Prime ,  ( 1  /  ( j  +  1 ) ) ,  0 )  e.  RR )
10083, 99remulcld 9049 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( ZZ>= `  K )
)  ->  ( N  x.  if ( ( j  +  1 )  e. 
Prime ,  ( 1  /  ( j  +  1 ) ) ,  0 ) )  e.  RR )
10181, 93, 100leadd1d 9552 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( ZZ>= `  K )
)  ->  ( ( # `
 U_ k  e.  ( ( K  +  1 ) ... j ) ( W `  k
) )  <_  ( N  x.  sum_ k  e.  ( ( K  + 
1 ) ... j
) if ( k  e.  Prime ,  ( 1  /  k ) ,  0 ) )  <->  ( ( # `
 U_ k  e.  ( ( K  +  1 ) ... j ) ( W `  k
) )  +  ( N  x.  if ( ( j  +  1 )  e.  Prime ,  ( 1  /  ( j  +  1 ) ) ,  0 ) ) )  <_  ( ( N  x.  sum_ k  e.  ( ( K  + 
1 ) ... j
) if ( k  e.  Prime ,  ( 1  /  k ) ,  0 ) )  +  ( N  x.  if ( ( j  +  1 )  e.  Prime ,  ( 1  /  (
j  +  1 ) ) ,  0 ) ) ) ) )
102 eluzp1p1 10443 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( j  e.  ( ZZ>= `  K
)  ->  ( j  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  ( K  +  1 ) ) )
103102adantl 453 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( ZZ>= `  K )
)  ->  ( j  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  ( K  +  1 ) ) )
104 simpl 444 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( ZZ>= `  K )
)  ->  ph )
105 elfzuz 10987 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  e.  ( ( K  +  1 ) ... ( j  +  1 ) )  ->  k  e.  ( ZZ>= `  ( K  +  1 ) ) )
10690recnd 9047 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  e.  NN  ->  if ( k  e.  Prime ,  ( 1  /  k
) ,  0 )  e.  CC )
10759, 106syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( K  +  1 ) ) )  ->  if (
k  e.  Prime ,  ( 1  /  k ) ,  0 )  e.  CC )
108104, 105, 107syl2an 464 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  ( ZZ>= `  K )
)  /\  k  e.  ( ( K  + 
1 ) ... (
j  +  1 ) ) )  ->  if ( k  e.  Prime ,  ( 1  /  k
) ,  0 )  e.  CC )
109 eleq1 2447 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  =  ( j  +  1 )  ->  (
k  e.  Prime  <->  ( j  +  1 )  e. 
Prime ) )
110 oveq2 6028 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  =  ( j  +  1 )  ->  (
1  /  k )  =  ( 1  / 
( j  +  1 ) ) )
111 eqidd 2388 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  =  ( j  +  1 )  ->  0  =  0 )
112109, 110, 111ifbieq12d 3704 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  =  ( j  +  1 )  ->  if ( k  e.  Prime ,  ( 1  /  k
) ,  0 )  =  if ( ( j  +  1 )  e.  Prime ,  ( 1  /  ( j  +  1 ) ) ,  0 ) )
113103, 108, 112fsumm1 12464 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( ZZ>= `  K )
)  ->  sum_ k  e.  ( ( K  + 
1 ) ... (
j  +  1 ) ) if ( k  e.  Prime ,  ( 1  /  k ) ,  0 )  =  (
sum_ k  e.  ( ( K  +  1 ) ... ( ( j  +  1 )  -  1 ) ) if ( k  e. 
Prime ,  ( 1  /  k ) ,  0 )  +  if ( ( j  +  1 )  e.  Prime ,  ( 1  /  (
j  +  1 ) ) ,  0 ) ) )
114 eluzelz 10428 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( j  e.  ( ZZ>= `  K
)  ->  j  e.  ZZ )
115114adantl 453 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( ZZ>= `  K )
)  ->  j  e.  ZZ )
116115zcnd 10308 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( ZZ>= `  K )
)  ->  j  e.  CC )
117 ax-1cn 8981 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  1  e.  CC
118 pncan 9243 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( j  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  ( ( j  +  1 )  -  1 )  =  j )
119116, 117, 118sylancl 644 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( ZZ>= `  K )
)  ->  ( (
j  +  1 )  -  1 )  =  j )
120119oveq2d 6036 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( ZZ>= `  K )
)  ->  ( ( K  +  1 ) ... ( ( j  +  1 )  - 
1 ) )  =  ( ( K  + 
1 ) ... j
) )
121120sumeq1d 12422 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( ZZ>= `  K )
)  ->  sum_ k  e.  ( ( K  + 
1 ) ... (
( j  +  1 )  -  1 ) ) if ( k  e.  Prime ,  ( 1  /  k ) ,  0 )  =  sum_ k  e.  ( ( K  +  1 ) ... j ) if ( k  e.  Prime ,  ( 1  /  k
) ,  0 ) )
122121oveq1d 6035 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( ZZ>= `  K )
)  ->  ( sum_ k  e.  ( ( K  +  1 ) ... ( ( j  +  1 )  - 
1 ) ) if ( k  e.  Prime ,  ( 1  /  k
) ,  0 )  +  if ( ( j  +  1 )  e.  Prime ,  ( 1  /  ( j  +  1 ) ) ,  0 ) )  =  ( sum_ k  e.  ( ( K  +  1 ) ... j ) if ( k  e. 
Prime ,  ( 1  /  k ) ,  0 )  +  if ( ( j  +  1 )  e.  Prime ,  ( 1  /  (
j  +  1 ) ) ,  0 ) ) )
123113, 122eqtrd 2419 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( ZZ>= `  K )
)  ->  sum_ k  e.  ( ( K  + 
1 ) ... (
j  +  1 ) ) if ( k  e.  Prime ,  ( 1  /  k ) ,  0 )  =  (
sum_ k  e.  ( ( K  +  1 ) ... j ) if ( k  e. 
Prime ,  ( 1  /  k ) ,  0 )  +  if ( ( j  +  1 )  e.  Prime ,  ( 1  /  (
j  +  1 ) ) ,  0 ) ) )
124123oveq2d 6036 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( ZZ>= `  K )
)  ->  ( N  x.  sum_ k  e.  ( ( K  +  1 ) ... ( j  +  1 ) ) if ( k  e. 
Prime ,  ( 1  /  k ) ,  0 ) )  =  ( N  x.  ( sum_ k  e.  ( ( K  +  1 ) ... j ) if ( k  e.  Prime ,  ( 1  /  k
) ,  0 )  +  if ( ( j  +  1 )  e.  Prime ,  ( 1  /  ( j  +  1 ) ) ,  0 ) ) ) )
12531adantr 452 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( ZZ>= `  K )
)  ->  N  e.  CC )
12692recnd 9047 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( ZZ>= `  K )
)  ->  sum_ k  e.  ( ( K  + 
1 ) ... j
) if ( k  e.  Prime ,  ( 1  /  k ) ,  0 )  e.  CC )
12799recnd 9047 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( ZZ>= `  K )
)  ->  if (
( j  +  1 )  e.  Prime ,  ( 1  /  ( j  +  1 ) ) ,  0 )  e.  CC )
128125, 126, 127adddid 9045 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( ZZ>= `  K )
)  ->  ( N  x.  ( sum_ k  e.  ( ( K  +  1 ) ... j ) if ( k  e. 
Prime ,  ( 1  /  k ) ,  0 )  +  if ( ( j  +  1 )  e.  Prime ,  ( 1  /  (
j  +  1 ) ) ,  0 ) ) )  =  ( ( N  x.  sum_ k  e.  ( ( K  +  1 ) ... j ) if ( k  e.  Prime ,  ( 1  /  k
) ,  0 ) )  +  ( N  x.  if ( ( j  +  1 )  e.  Prime ,  ( 1  /  ( j  +  1 ) ) ,  0 ) ) ) )
129124, 128eqtrd 2419 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( ZZ>= `  K )
)  ->  ( N  x.  sum_ k  e.  ( ( K  +  1 ) ... ( j  +  1 ) ) if ( k  e. 
Prime ,  ( 1  /  k ) ,  0 ) )  =  ( ( N  x.  sum_ k  e.  ( ( K  +  1 ) ... j ) if ( k  e.  Prime ,  ( 1  /  k
) ,  0 ) )  +  ( N  x.  if ( ( j  +  1 )  e.  Prime ,  ( 1  /  ( j  +  1 ) ) ,  0 ) ) ) )
130129breq2d 4165 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( ZZ>= `  K )
)  ->  ( (
( # `  U_ k  e.  ( ( K  + 
1 ) ... j
) ( W `  k ) )  +  ( N  x.  if ( ( j  +  1 )  e.  Prime ,  ( 1  /  (
j  +  1 ) ) ,  0 ) ) )  <_  ( N  x.  sum_ k  e.  ( ( K  + 
1 ) ... (
j  +  1 ) ) if ( k  e.  Prime ,  ( 1  /  k ) ,  0 ) )  <->  ( ( # `
 U_ k  e.  ( ( K  +  1 ) ... j ) ( W `  k
) )  +  ( N  x.  if ( ( j  +  1 )  e.  Prime ,  ( 1  /  ( j  +  1 ) ) ,  0 ) ) )  <_  ( ( N  x.  sum_ k  e.  ( ( K  + 
1 ) ... j
) if ( k  e.  Prime ,  ( 1  /  k ) ,  0 ) )  +  ( N  x.  if ( ( j  +  1 )  e.  Prime ,  ( 1  /  (
j  +  1 ) ) ,  0 ) ) ) ) )
131101, 130bitr4d 248 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( ZZ>= `  K )
)  ->  ( ( # `
 U_ k  e.  ( ( K  +  1 ) ... j ) ( W `  k
) )  <_  ( N  x.  sum_ k  e.  ( ( K  + 
1 ) ... j
) if ( k  e.  Prime ,  ( 1  /  k ) ,  0 ) )  <->  ( ( # `
 U_ k  e.  ( ( K  +  1 ) ... j ) ( W `  k
) )  +  ( N  x.  if ( ( j  +  1 )  e.  Prime ,  ( 1  /  ( j  +  1 ) ) ,  0 ) ) )  <_  ( N  x.  sum_ k  e.  ( ( K  +  1 ) ... ( j  +  1 ) ) if ( k  e. 
Prime ,  ( 1  /  k ) ,  0 ) ) ) )
132105, 71sylan2 461 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ( K  + 
1 ) ... (
j  +  1 ) ) )  ->  ( W `  k )  C_  ( 1 ... N
) )
133132ralrimiva 2732 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  A. k  e.  ( ( K  +  1 ) ... ( j  +  1 ) ) ( W `  k
)  C_  ( 1 ... N ) )
134133adantr 452 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( ZZ>= `  K )
)  ->  A. k  e.  ( ( K  + 
1 ) ... (
j  +  1 ) ) ( W `  k )  C_  (
1 ... N ) )
135 iunss 4073 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( U_ k  e.  ( ( K  +  1 ) ... ( j  +  1 ) ) ( W `  k ) 
C_  ( 1 ... N )  <->  A. k  e.  ( ( K  + 
1 ) ... (
j  +  1 ) ) ( W `  k )  C_  (
1 ... N ) )
136134, 135sylibr 204 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( ZZ>= `  K )
)  ->  U_ k  e.  ( ( K  + 
1 ) ... (
j  +  1 ) ) ( W `  k )  C_  (
1 ... N ) )
137 ssfi 7265 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( 1 ... N
)  e.  Fin  /\  U_ k  e.  ( ( K  +  1 ) ... ( j  +  1 ) ) ( W `  k ) 
C_  ( 1 ... N ) )  ->  U_ k  e.  (
( K  +  1 ) ... ( j  +  1 ) ) ( W `  k
)  e.  Fin )
13854, 136, 137sylancr 645 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( ZZ>= `  K )
)  ->  U_ k  e.  ( ( K  + 
1 ) ... (
j  +  1 ) ) ( W `  k )  e.  Fin )
139 hashcl 11566 . . . . . . . . . 10  |-  ( U_ k  e.  ( ( K  +  1 ) ... ( j  +  1 ) ) ( W `  k )  e.  Fin  ->  ( # `
 U_ k  e.  ( ( K  +  1 ) ... ( j  +  1 ) ) ( W `  k
) )  e.  NN0 )
140138, 139syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( ZZ>= `  K )
)  ->  ( # `  U_ k  e.  ( ( K  + 
1 ) ... (
j  +  1 ) ) ( W `  k ) )  e. 
NN0 )
141140nn0red 10207 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( ZZ>= `  K )
)  ->  ( # `  U_ k  e.  ( ( K  + 
1 ) ... (
j  +  1 ) ) ( W `  k ) )  e.  RR )
14257uztrn2 10435 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( K  e.  NN  /\  j  e.  ( ZZ>= `  K ) )  -> 
j  e.  NN )
14334, 142sylan 458 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( ZZ>= `  K )
)  ->  j  e.  NN )
144143peano2nnd 9949 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( ZZ>= `  K )
)  ->  ( j  +  1 )  e.  NN )
14570ralrimiva 2732 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  A. k  e.  NN  ( W `  k ) 
C_  ( 1 ... N ) )
146145adantr 452 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( ZZ>= `  K )
)  ->  A. k  e.  NN  ( W `  k )  C_  (
1 ... N ) )
147 fveq2 5668 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( k  =  ( j  +  1 )  ->  ( W `  k )  =  ( W `  ( j  +  1 ) ) )
148147sseq1d 3318 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  =  ( j  +  1 )  ->  (
( W `  k
)  C_  ( 1 ... N )  <->  ( W `  ( j  +  1 ) )  C_  (
1 ... N ) ) )
149148rspcv 2991 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( j  +  1 )  e.  NN  ->  ( A. k  e.  NN  ( W `  k ) 
C_  ( 1 ... N )  ->  ( W `  ( j  +  1 ) ) 
C_  ( 1 ... N ) ) )
150144, 146, 149sylc 58 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( ZZ>= `  K )
)  ->  ( W `  ( j  +  1 ) )  C_  (
1 ... N ) )
151 ssfi 7265 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( 1 ... N
)  e.  Fin  /\  ( W `  ( j  +  1 ) ) 
C_  ( 1 ... N ) )  -> 
( W `  (
j  +  1 ) )  e.  Fin )
15254, 150, 151sylancr 645 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( ZZ>= `  K )
)  ->  ( W `  ( j  +  1 ) )  e.  Fin )
153 hashcl 11566 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( W `  ( j  +  1 ) )  e.  Fin  ->  ( # `
 ( W `  ( j  +  1 ) ) )  e. 
NN0 )
154152, 153syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( ZZ>= `  K )
)  ->  ( # `  ( W `  ( j  +  1 ) ) )  e.  NN0 )
155154nn0red 10207 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( ZZ>= `  K )
)  ->  ( # `  ( W `  ( j  +  1 ) ) )  e.  RR )
15681, 155readdcld 9048 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( ZZ>= `  K )
)  ->  ( ( # `
 U_ k  e.  ( ( K  +  1 ) ... j ) ( W `  k
) )  +  (
# `  ( W `  ( j  +  1 ) ) ) )  e.  RR )
15781, 100readdcld 9048 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( ZZ>= `  K )
)  ->  ( ( # `
 U_ k  e.  ( ( K  +  1 ) ... j ) ( W `  k
) )  +  ( N  x.  if ( ( j  +  1 )  e.  Prime ,  ( 1  /  ( j  +  1 ) ) ,  0 ) ) )  e.  RR )
15838adantr 452 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( ZZ>= `  K )
)  ->  ( K  +  1 )  e.  ZZ )
159 simpr 448 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( ZZ>= `  K )
)  ->  j  e.  ( ZZ>= `  K )
)
16034nncnd 9948 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  K  e.  CC )
161160adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( ZZ>= `  K )
)  ->  K  e.  CC )
162 pncan 9243 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( K  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  ( ( K  + 
1 )  -  1 )  =  K )
163161, 117, 162sylancl 644 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( ZZ>= `  K )
)  ->  ( ( K  +  1 )  -  1 )  =  K )
164163fveq2d 5672 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( ZZ>= `  K )
)  ->  ( ZZ>= `  ( ( K  + 
1 )  -  1 ) )  =  (
ZZ>= `  K ) )
165159, 164eleqtrrd 2464 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( ZZ>= `  K )
)  ->  j  e.  ( ZZ>= `  ( ( K  +  1 )  -  1 ) ) )
166 fzsuc2 11035 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( K  +  1 )  e.  ZZ  /\  j  e.  ( ZZ>= `  ( ( K  + 
1 )  -  1 ) ) )  -> 
( ( K  + 
1 ) ... (
j  +  1 ) )  =  ( ( ( K  +  1 ) ... j )  u.  { ( j  +  1 ) } ) )
167158, 165, 166syl2anc 643 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( ZZ>= `  K )
)  ->  ( ( K  +  1 ) ... ( j  +  1 ) )  =  ( ( ( K  +  1 ) ... j )  u.  {
( j  +  1 ) } ) )
168167iuneq1d 4058 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( ZZ>= `  K )
)  ->  U_ k  e.  ( ( K  + 
1 ) ... (
j  +  1 ) ) ( W `  k )  =  U_ k  e.  ( (
( K  +  1 ) ... j )  u.  { ( j  +  1 ) } ) ( W `  k ) )
169 iunxun 4113 . . . . . . . . . . . 12  |-  U_ k  e.  ( ( ( K  +  1 ) ... j )  u.  {
( j  +  1 ) } ) ( W `  k )  =  ( U_ k  e.  ( ( K  + 
1 ) ... j
) ( W `  k )  u.  U_ k  e.  { (
j  +  1 ) }  ( W `  k ) )
170 ovex 6045 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( j  +  1 )  e. 
_V
171170, 147iunxsn 4111 . . . . . . . . . . . . 13  |-  U_ k  e.  { ( j  +  1 ) }  ( W `  k )  =  ( W `  ( j  +  1 ) )
172171uneq2i 3441 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( U_ k  e.  ( ( K  +  1 ) ... j ) ( W `  k )  u.  U_ k  e. 
{ ( j  +  1 ) }  ( W `  k )
)  =  ( U_ k  e.  ( ( K  +  1 ) ... j ) ( W `  k )  u.  ( W `  ( j  +  1 ) ) )
173169, 172eqtri 2407 . . . . . . . . . . 11  |-  U_ k  e.  ( ( ( K  +  1 ) ... j )  u.  {
( j  +  1 ) } ) ( W `  k )  =  ( U_ k  e.  ( ( K  + 
1 ) ... j
) ( W `  k )  u.  ( W `  ( j  +  1 ) ) )
174168, 173syl6eq 2435 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( ZZ>= `  K )
)  ->  U_ k  e.  ( ( K  + 
1 ) ... (
j  +  1 ) ) ( W `  k )  =  (
U_ k  e.  ( ( K  +  1 ) ... j ) ( W `  k
)  u.  ( W `
 ( j  +  1 ) ) ) )
175174fveq2d 5672 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( ZZ>= `  K )
)  ->  ( # `  U_ k  e.  ( ( K  + 
1 ) ... (
j  +  1 ) ) ( W `  k ) )  =  ( # `  ( U_ k  e.  (
( K  +  1 ) ... j ) ( W `  k
)  u.  ( W `
 ( j  +  1 ) ) ) ) )
176 hashun2 11584 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
U_ k  e.  ( ( K  +  1 ) ... j ) ( W `  k
)  e.  Fin  /\  ( W `  ( j  +  1 ) )  e.  Fin )  -> 
( # `  ( U_ k  e.  ( ( K  +  1 ) ... j ) ( W `  k )  u.  ( W `  ( j  +  1 ) ) ) )  <_  ( ( # `  U_ k  e.  ( ( K  +  1 ) ... j ) ( W `  k
) )  +  (
# `  ( W `  ( j  +  1 ) ) ) ) )
17778, 152, 176syl2anc 643 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( ZZ>= `  K )
)  ->  ( # `  ( U_ k  e.  (
( K  +  1 ) ... j ) ( W `  k
)  u.  ( W `
 ( j  +  1 ) ) ) )  <_  ( ( # `
 U_ k  e.  ( ( K  +  1 ) ... j ) ( W `  k
) )  +  (
# `  ( W `  ( j  +  1 ) ) ) ) )
178175, 177eqbrtrd 4173 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( ZZ>= `  K )
)  ->  ( # `  U_ k  e.  ( ( K  + 
1 ) ... (
j  +  1 ) ) ( W `  k ) )  <_ 
( ( # `  U_ k  e.  ( ( K  + 
1 ) ... j
) ( W `  k ) )  +  ( # `  ( W `  ( j  +  1 ) ) ) ) )
17983, 144nndivred 9980 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( ZZ>= `  K )
)  ->  ( N  /  ( j  +  1 ) )  e.  RR )
180 flle 11135 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( N  /  ( j  +  1 ) )  e.  RR  ->  ( |_ `  ( N  / 
( j  +  1 ) ) )  <_ 
( N  /  (
j  +  1 ) ) )
181179, 180syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( ZZ>= `  K )
)  ->  ( |_ `  ( N  /  (
j  +  1 ) ) )  <_  ( N  /  ( j  +  1 ) ) )
182 elfznn 11012 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( n  e.  ( 1 ... N )  ->  n  e.  NN )
183182nncnd 9948 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( n  e.  ( 1 ... N )  ->  n  e.  CC )
184183subid1d 9332 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( n  e.  ( 1 ... N )  ->  (
n  -  0 )  =  n )
185184breq2d 4165 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( n  e.  ( 1 ... N )  ->  (
( j  +  1 )  ||  ( n  -  0 )  <->  ( j  +  1 )  ||  n ) )
186185rabbiia 2889 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  { n  e.  ( 1 ... N
)  |  ( j  +  1 )  ||  ( n  -  0
) }  =  {
n  e.  ( 1 ... N )  |  ( j  +  1 )  ||  n }
187186fveq2i 5671 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( # `  { n  e.  ( 1 ... N )  |  ( j  +  1 )  ||  (
n  -  0 ) } )  =  (
# `  { n  e.  ( 1 ... N
)  |  ( j  +  1 )  ||  n } )
188 1z 10243 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  1  e.  ZZ
189188a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( ZZ>= `  K )
)  ->  1  e.  ZZ )
19030nnnn0d 10206 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  N  e.  NN0 )
191 nn0uz 10452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  NN0  =  ( ZZ>= `  0 )
192117subidi 9303 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( 1  -  1 )  =  0
193192fveq2i 5671 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ZZ>= `  ( 1  -  1 ) )  =  (
ZZ>= `  0 )
194191, 193eqtr4i 2410 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  NN0  =  ( ZZ>= `  ( 1  -  1 ) )
195190, 194syl6eleq 2477 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  N  e.  ( ZZ>= `  ( 1  -  1 ) ) )
196195adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( ZZ>= `  K )
)  ->  N  e.  ( ZZ>= `  ( 1  -  1 ) ) )
197 0z 10225 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  0  e.  ZZ
198197a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( ZZ>= `  K )
)  ->  0  e.  ZZ )
199144, 189, 196, 198hashdvds 13091 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( ZZ>= `  K )
)  ->  ( # `  {
n  e.  ( 1 ... N )  |  ( j  +  1 )  ||  ( n  -  0 ) } )  =  ( ( |_ `  ( ( N  -  0 )  /  ( j  +  1 ) ) )  -  ( |_ `  ( ( ( 1  -  1 )  - 
0 )  /  (
j  +  1 ) ) ) ) )
200125subid1d 9332 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( ZZ>= `  K )
)  ->  ( N  -  0 )  =  N )
201200oveq1d 6035 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( ZZ>= `  K )
)  ->  ( ( N  -  0 )  /  ( j  +  1 ) )  =  ( N  /  (
j  +  1 ) ) )
202201fveq2d 5672 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( ZZ>= `  K )
)  ->  ( |_ `  ( ( N  - 
0 )  /  (
j  +  1 ) ) )  =  ( |_ `  ( N  /  ( j  +  1 ) ) ) )
203192oveq1i 6030 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( 1  -  1 )  -  0 )  =  ( 0  -  0 )
204 0cn 9017 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  0  e.  CC
205204subidi 9303 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( 0  -  0 )  =  0
206203, 205eqtri 2407 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( 1  -  1 )  -  0 )  =  0
207206oveq1i 6030 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( 1  -  1 )  -  0 )  /  ( j  +  1 ) )  =  ( 0  /  (
j  +  1 ) )
208144nncnd 9948 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( ZZ>= `  K )
)  ->  ( j  +  1 )  e.  CC )
209144nnne0d 9976 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( ZZ>= `  K )
)  ->  ( j  +  1 )  =/=  0 )
210208, 209div0d 9721 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( ZZ>= `  K )
)  ->  ( 0  /  ( j  +  1 ) )  =  0 )
211207, 210syl5eq 2431 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( ZZ>= `  K )
)  ->  ( (
( 1  -  1 )  -  0 )  /  ( j  +  1 ) )  =  0 )
212211fveq2d 5672 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( ZZ>= `  K )
)  ->  ( |_ `  ( ( ( 1  -  1 )  - 
0 )  /  (
j  +  1 ) ) )  =  ( |_ `  0 ) )
213 flid 11143 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( 0  e.  ZZ  ->  ( |_ `  0 )  =  0 )
214197, 213ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( |_
`  0 )  =  0
215212, 214syl6eq 2435 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( ZZ>= `  K )
)  ->  ( |_ `  ( ( ( 1  -  1 )  - 
0 )  /  (
j  +  1 ) ) )  =  0 )
216202, 215oveq12d 6038 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( ZZ>= `  K )
)  ->  ( ( |_ `  ( ( N  -  0 )  / 
( j  +  1 ) ) )  -  ( |_ `  ( ( ( 1  -  1 )  -  0 )  /  ( j  +  1 ) ) ) )  =  ( ( |_ `  ( N  /  ( j  +  1 ) ) )  -  0 ) )
217179flcld 11134 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( ZZ>= `  K )
)  ->  ( |_ `  ( N  /  (
j  +  1 ) ) )  e.  ZZ )
218217zcnd 10308 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( ZZ>= `  K )
)  ->  ( |_ `  ( N  /  (
j  +  1 ) ) )  e.  CC )
219218subid1d 9332 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( ZZ>= `  K )
)  ->  ( ( |_ `  ( N  / 
( j  +  1 ) ) )  - 
0 )  =  ( |_ `  ( N  /  ( j  +  1 ) ) ) )
220199, 216, 2193eqtrd 2423 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( ZZ>= `  K )
)  ->  ( # `  {
n  e.  ( 1 ... N )  |  ( j  +  1 )  ||  ( n  -  0 ) } )  =  ( |_
`  ( N  / 
( j  +  1 ) ) ) )
221187, 220syl5eqr 2433 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( ZZ>= `  K )
)  ->  ( # `  {
n  e.  ( 1 ... N )  |  ( j  +  1 )  ||  n }
)  =  ( |_
`  ( N  / 
( j  +  1 ) ) ) )
222125, 208, 209divrecd 9725 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( ZZ>= `  K )
)  ->  ( N  /  ( j  +  1 ) )  =  ( N  x.  (
1  /  ( j  +  1 ) ) ) )
223222eqcomd 2392 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( ZZ>= `  K )
)  ->  ( N  x.  ( 1  /  (
j  +  1 ) ) )  =  ( N  /  ( j  +  1 ) ) )
224181, 221, 2233brtr4d 4183 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( ZZ>= `  K )
)  ->  ( # `  {
n  e.  ( 1 ... N )  |  ( j  +  1 )  ||  n }
)  <_  ( N  x.  ( 1  /  (
j  +  1 ) ) ) )
225224adantr 452 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  ( ZZ>= `  K )
)  /\  ( j  +  1 )  e. 
Prime )  ->  ( # `  { n  e.  ( 1 ... N )  |  ( j  +  1 )  ||  n } )  <_  ( N  x.  ( 1  /  ( j  +  1 ) ) ) )
226 eleq1 2447 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( p  =  ( j  +  1 )  ->  (
p  e.  Prime  <->  ( j  +  1 )  e. 
Prime ) )
227 breq1 4156 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( p  =  ( j  +  1 )  ->  (
p  ||  n  <->  ( j  +  1 )  ||  n ) )
228226, 227anbi12d 692 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( p  =  ( j  +  1 )  ->  (
( p  e.  Prime  /\  p  ||  n )  <-> 
( ( j  +  1 )  e.  Prime  /\  ( j  +  1 )  ||  n ) ) )
229228rabbidv 2891 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( p  =  ( j  +  1 )  ->  { n  e.  ( 1 ... N
)  |  ( p  e.  Prime  /\  p  ||  n ) }  =  { n  e.  (
1 ... N )  |  ( ( j  +  1 )  e.  Prime  /\  ( j  +  1 )  ||  n ) } )
23065rabex 4295 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  { n  e.  ( 1 ... N
)  |  ( ( j  +  1 )  e.  Prime  /\  (
j  +  1 ) 
||  n ) }  e.  _V
231229, 64, 230fvmpt 5745 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( j  +  1 )  e.  NN  ->  ( W `  ( j  +  1 ) )  =  { n  e.  ( 1 ... N
)  |  ( ( j  +  1 )  e.  Prime  /\  (
j  +  1 ) 
||  n ) } )
232144, 231syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( ZZ>= `  K )
)  ->  ( W `  ( j  +  1 ) )  =  {
n  e.  ( 1 ... N )  |  ( ( j  +  1 )  e.  Prime  /\  ( j  +  1 )  ||  n ) } )
233232adantr 452 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  ( ZZ>= `  K )
)  /\  ( j  +  1 )  e. 
Prime )  ->  ( W `
 ( j  +  1 ) )  =  { n  e.  ( 1 ... N )  |  ( ( j  +  1 )  e. 
Prime  /\  ( j  +  1 )  ||  n
) } )
234 simpr 448 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  ( ZZ>= `  K )
)  /\  ( j  +  1 )  e. 
Prime )  ->  ( j  +  1 )  e. 
Prime )
235234biantrurd 495 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  ( ZZ>= `  K )
)  /\  ( j  +  1 )  e. 
Prime )  ->  ( ( j  +  1 ) 
||  n  <->  ( (
j  +  1 )  e.  Prime  /\  (
j  +  1 ) 
||  n ) ) )
236235rabbidv 2891 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  ( ZZ>= `  K )
)  /\  ( j  +  1 )  e. 
Prime )  ->  { n  e.  ( 1 ... N
)  |  ( j  +  1 )  ||  n }  =  {
n  e.  ( 1 ... N )  |  ( ( j  +  1 )  e.  Prime  /\  ( j  +  1 )  ||  n ) } )
237233, 236eqtr4d 2422 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  ( ZZ>= `  K )
)  /\  ( j  +  1 )  e. 
Prime )  ->  ( W `
 ( j  +  1 ) )  =  { n  e.  ( 1 ... N )  |  ( j  +  1 )  ||  n } )
238237fveq2d 5672 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  ( ZZ>= `  K )
)  /\  ( j  +  1 )  e. 
Prime )  ->  ( # `  ( W `  (
j  +  1 ) ) )  =  (
# `  { n  e.  ( 1 ... N
)  |  ( j  +  1 )  ||  n } ) )
239 iftrue 3688 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( j  +  1 )  e.  Prime  ->  if ( ( j  +  1 )  e.  Prime ,  ( 1  /  ( j  +  1 ) ) ,  0 )  =  ( 1  /  (
j  +  1 ) ) )
240239adantl 453 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  ( ZZ>= `  K )
)  /\  ( j  +  1 )  e. 
Prime )  ->  if ( ( j  +  1 )  e.  Prime ,  ( 1  /  ( j  +  1 ) ) ,  0 )  =  ( 1  /  (
j  +  1 ) ) )
241240oveq2d 6036 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  ( ZZ>= `  K )
)  /\  ( j  +  1 )  e. 
Prime )  ->  ( N  x.  if ( ( j  +  1 )  e.  Prime ,  ( 1  /  ( j  +  1 ) ) ,  0 ) )  =  ( N  x.  (
1  /  ( j  +  1 ) ) ) )
242225, 238, 2413brtr4d 4183 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  ( ZZ>= `  K )
)  /\  ( j  +  1 )  e. 
Prime )  ->  ( # `  ( W `  (
j  +  1 ) ) )  <_  ( N  x.  if (
( j  +  1 )  e.  Prime ,  ( 1  /  ( j  +  1 ) ) ,  0 ) ) )
24329a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  ( ZZ>= `  K )
)  /\  -.  (
j  +  1 )  e.  Prime )  ->  0  <_  0 )
244 simpl 444 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( j  +  1 )  e.  Prime  /\  (
j  +  1 ) 
||  n )  -> 
( j  +  1 )  e.  Prime )
245244con3i 129 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( -.  ( j  +  1 )  e.  Prime  ->  -.  ( ( j  +  1 )  e.  Prime  /\  ( j  +  1 )  ||  n ) )
246245ralrimivw 2733 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( -.  ( j  +  1 )  e.  Prime  ->  A. n  e.  ( 1 ... N )  -.  ( ( j  +  1 )  e.  Prime  /\  ( j  +  1 )  ||  n ) )
247 rabeq0 3592 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( { n  e.  ( 1 ... N )  |  ( ( j  +  1 )  e.  Prime  /\  ( j  +  1 )  ||  n ) }  =  (/)  <->  A. n  e.  ( 1 ... N
)  -.  ( ( j  +  1 )  e.  Prime  /\  (
j  +  1 ) 
||  n ) )
248246, 247sylibr 204 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( -.  ( j  +  1 )  e.  Prime  ->  { n  e.  ( 1 ... N )  |  ( ( j  +  1 )  e.  Prime  /\  ( j  +  1 )  ||  n ) }  =  (/) )
249232, 248sylan9eq 2439 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  ( ZZ>= `  K )
)  /\  -.  (
j  +  1 )  e.  Prime )  ->  ( W `  ( j  +  1 ) )  =  (/) )
250249fveq2d 5672 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  ( ZZ>= `  K )
)  /\  -.  (
j  +  1 )  e.  Prime )  ->  ( # `
 ( W `  ( j  +  1 ) ) )  =  ( # `  (/) ) )
251250, 46syl6eq 2435 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  ( ZZ>= `  K )
)  /\  -.  (
j  +  1 )  e.  Prime )  ->  ( # `
 ( W `  ( j  +  1 ) ) )  =  0 )
252 iffalse 3689 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( -.  ( j  +  1 )  e.  Prime  ->  if ( ( j  +  1 )  e.  Prime ,  ( 1  /  (
j  +  1 ) ) ,  0 )  =  0 )
253252oveq2d 6036 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( -.  ( j  +  1 )  e.  Prime  ->  ( N  x.  if ( ( j  +  1 )  e.  Prime ,  ( 1  /  ( j  +  1 ) ) ,  0 ) )  =  ( N  x.  0 ) )
25432adantr 452 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( ZZ>= `  K )
)  ->  ( N  x.  0 )  =  0 )
255253, 254sylan9eqr 2441 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  ( ZZ>= `  K )
)  /\  -.  (
j  +  1 )  e.  Prime )  ->  ( N  x.  if (
( j  +  1 )  e.  Prime ,  ( 1  /  ( j  +  1 ) ) ,  0 ) )  =  0 )
256243, 251, 2553brtr4d 4183 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  ( ZZ>= `  K )
)  /\  -.  (
j  +  1 )  e.  Prime )  ->  ( # `
 ( W `  ( j  +  1 ) ) )  <_ 
( N  x.  if ( ( j  +  1 )  e.  Prime ,  ( 1  /  (
j  +  1 ) ) ,  0 ) ) )
257242, 256pm2.61dan 767 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( ZZ>= `  K )
)  ->  ( # `  ( W `  ( j  +  1 ) ) )  <_  ( N  x.  if ( ( j  +  1 )  e. 
Prime ,  ( 1  /  ( j  +  1 ) ) ,  0 ) ) )
258155, 100, 81, 257leadd2dd 9573 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( ZZ>= `  K )
)  ->  ( ( # `
 U_ k  e.  ( ( K  +  1 ) ... j ) ( W `  k
) )  +  (
# `  ( W `  ( j  +  1 ) ) ) )  <_  ( ( # `  U_ k  e.  ( ( K  +  1 ) ... j ) ( W `  k
) )  +  ( N  x.  if ( ( j  +  1 )  e.  Prime ,  ( 1  /  ( j  +  1 ) ) ,  0 ) ) ) )
259141, 156, 157, 178, 258letrd 9159 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( ZZ>= `  K )
)  ->  ( # `  U_ k  e.  ( ( K  + 
1 ) ... (
j  +  1 ) ) ( W `  k ) )  <_ 
( ( # `  U_ k  e.  ( ( K  + 
1 ) ... j
) ( W `  k ) )  +  ( N  x.  if ( ( j  +  1 )  e.  Prime ,  ( 1  /  (
j  +  1 ) ) ,  0 ) ) ) )
260 fzfid 11239 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( ZZ>= `  K )
)  ->  ( ( K  +  1 ) ... ( j  +  1 ) )  e. 
Fin )
26159, 90syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( K  +  1 ) ) )  ->  if (
k  e.  Prime ,  ( 1  /  k ) ,  0 )  e.  RR )
262104, 105, 261syl2an 464 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  ( ZZ>= `  K )
)  /\  k  e.  ( ( K  + 
1 ) ... (
j  +  1 ) ) )  ->  if ( k  e.  Prime ,  ( 1  /  k
) ,  0 )  e.  RR )
263260, 262fsumrecl 12455 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( ZZ>= `  K )
)  ->  sum_ k  e.  ( ( K  + 
1 ) ... (
j  +  1 ) ) if ( k  e.  Prime ,  ( 1  /  k ) ,  0 )  e.  RR )
26483, 263remulcld 9049 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( ZZ>= `  K )
)  ->  ( N  x.  sum_ k  e.  ( ( K  +  1 ) ... ( j  +  1 ) ) if ( k  e. 
Prime ,  ( 1  /  k ) ,  0 ) )  e.  RR )
265 letr 9100 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( # `  U_ k  e.  ( ( K  + 
1 ) ... (
j  +  1 ) ) ( W `  k ) )  e.  RR  /\  ( (
# `  U_ k  e.  ( ( K  + 
1 ) ... j
) ( W `  k ) )  +  ( N  x.  if ( ( j  +  1 )  e.  Prime ,  ( 1  /  (
j  +  1 ) ) ,  0 ) ) )  e.  RR  /\  ( N  x.  sum_ k  e.  ( ( K  +  1 ) ... ( j  +  1 ) ) if ( k  e.  Prime ,  ( 1  /  k
) ,  0 ) )  e.  RR )  ->  ( ( (
# `  U_ k  e.  ( ( K  + 
1 ) ... (
j  +  1 ) ) ( W `  k ) )  <_ 
( ( # `  U_ k  e.  ( ( K  + 
1 ) ... j
) ( W `  k ) )  +  ( N  x.  if ( ( j  +  1 )  e.  Prime ,  ( 1  /  (
j  +  1 ) ) ,  0 ) ) )  /\  (
( # `  U_ k  e.  ( ( K  + 
1 ) ... j
) ( W `  k ) )  +  ( N  x.  if ( ( j  +  1 )  e.  Prime ,  ( 1  /  (
j  +  1 ) ) ,  0 ) ) )  <_  ( N  x.  sum_ k  e.  ( ( K  + 
1 ) ... (
j  +  1 ) ) if ( k  e.  Prime ,  ( 1  /  k ) ,  0 ) ) )  ->  ( # `  U_ k  e.  ( ( K  + 
1 ) ... (
j  +  1 ) ) ( W `  k ) )  <_ 
( N  x.  sum_ k  e.  ( ( K  +  1 ) ... ( j  +  1 ) ) if ( k  e.  Prime ,  ( 1  /  k
) ,  0 ) ) ) )
266141, 157, 264, 265syl3anc 1184 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( ZZ>= `  K )
)  ->  ( (
( # `  U_ k  e.  ( ( K  + 
1 ) ... (
j  +  1 ) ) ( W `  k ) )  <_ 
( ( # `  U_ k  e.  ( ( K  + 
1 ) ... j
) ( W `  k ) )  +  ( N  x.  if ( ( j  +  1 )  e.  Prime ,  ( 1  /  (
j  +  1 ) ) ,  0 ) ) )  /\  (
( # `  U_ k  e.  ( ( K  + 
1 ) ... j
) ( W `  k ) )  +  ( N  x.  if ( ( j  +  1 )  e.  Prime ,  ( 1  /  (
j  +  1 ) ) ,  0 ) ) )  <_  ( N  x.  sum_ k  e.  ( ( K  + 
1 ) ... (
j  +  1 ) ) if ( k  e.  Prime ,  ( 1  /  k ) ,  0 ) ) )  ->  ( # `  U_ k  e.  ( ( K  + 
1 ) ... (
j  +  1 ) ) ( W `  k ) )  <_ 
( N  x.  sum_ k  e.  ( ( K  +  1 ) ... ( j  +  1 ) ) if ( k  e.  Prime ,  ( 1  /  k
) ,  0 ) ) ) )
267259, 266mpand 657 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( ZZ>= `  K )
)  ->  ( (
( # `  U_ k  e.  ( ( K  + 
1 ) ... j
) ( W `  k ) )  +  ( N  x.  if ( ( j  +  1 )  e.  Prime ,  ( 1  /  (
j  +  1 ) ) ,  0 ) ) )  <_  ( N  x.  sum_ k  e.  ( ( K  + 
1 ) ... (
j  +  1 ) ) if ( k  e.  Prime ,  ( 1  /  k ) ,  0 ) )  -> 
( # `  U_ k  e.  ( ( K  + 
1 ) ... (
j  +  1 ) ) ( W `  k ) )  <_ 
( N  x.  sum_ k  e.  ( ( K  +  1 ) ... ( j  +  1 ) ) if ( k  e.  Prime ,  ( 1  /  k
) ,  0 ) ) ) )
268131, 267sylbid 207 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( ZZ>= `  K )
)  ->  ( ( # `
 U_ k  e.  ( ( K  +  1 ) ... j ) ( W `  k
) )  <_  ( N  x.  sum_ k  e.  ( ( K  + 
1 ) ... j
) if ( k  e.  Prime ,  ( 1  /  k ) ,  0 ) )  -> 
( # `  U_ k  e.  ( ( K  + 
1 ) ... (
j  +  1 ) ) ( W `  k ) )  <_ 
( N  x.  sum_ k  e.  ( ( K  +  1 ) ... ( j  +  1 ) ) if ( k  e.  Prime ,  ( 1  /  k
) ,  0 ) ) ) )
269268expcom 425 . . . 4  |-  ( j  e.  ( ZZ>= `  K
)  ->  ( ph  ->  ( ( # `  U_ k  e.  ( ( K  + 
1 ) ... j
) ( W `  k ) )  <_ 
( N  x.  sum_ k  e.  ( ( K  +  1 ) ... j ) if ( k  e.  Prime ,  ( 1  /  k
) ,  0 ) )  ->  ( # `  U_ k  e.  ( ( K  + 
1 ) ... (
j  +  1 ) ) ( W `  k ) )  <_ 
( N  x.  sum_ k  e.  ( ( K  +  1 ) ... ( j  +  1 ) ) if ( k  e.  Prime ,  ( 1  /  k
) ,  0 ) ) ) ) )
270269a2d 24 . . 3  |-  ( j  e.  ( ZZ>= `  K
)  ->  ( ( ph  ->  ( # `  U_ k  e.  ( ( K  + 
1 ) ... j
) ( W `  k ) )  <_ 
( N  x.  sum_ k  e.  ( ( K  +  1 ) ... j ) if ( k  e.  Prime ,  ( 1  /  k
) ,  0 ) ) )  ->  ( ph  ->  ( # `  U_ k  e.  ( ( K  + 
1 ) ... (
j  +  1 ) ) ( W `  k ) )  <_ 
( N  x.  sum_ k  e.  ( ( K  +  1 ) ... ( j  +  1 ) ) if ( k  e.  Prime ,  ( 1  /  k
) ,  0 ) ) ) ) )
2717, 14, 21, 28, 53, 270uzind4 10466 . 2  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  K
)  ->  ( ph  ->  ( # `  U_ k  e.  ( ( K  + 
1 ) ... N
) ( W `  k ) )  <_ 
( N  x.  sum_ k  e.  ( ( K  +  1 ) ... N ) if ( k  e.  Prime ,  ( 1  /  k
) ,  0 ) ) ) )
272271com12 29 1  |-  ( ph  ->  ( N  e.  (
ZZ>= `  K )  -> 
( # `  U_ k  e.  ( ( K  + 
1 ) ... N
) ( W `  k ) )  <_ 
( N  x.  sum_ k  e.  ( ( K  +  1 ) ... N ) if ( k  e.  Prime ,  ( 1  /  k
) ,  0 ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1717   A.wral 2649   {crab 2653    \ cdif 3260    u. cun 3261    C_ wss 3263   (/)c0 3571   ifcif 3682   {csn 3757   U_ciun 4035   class class class wbr 4153    e. cmpt 4207   dom cdm 4818   ` cfv 5394  (class class class)co 6020   Fincfn 7045   CCcc 8921   RRcr 8922   0cc0 8923   1c1 8924    + caddc 8926    x. cmul 8928    < clt 9053    <_ cle 9054    - cmin 9223    / cdiv 9609   NNcn 9932   2c2 9981   NN0cn0 10153   ZZcz 10214   ZZ>=cuz 10420   ...cfz 10975   |_cfl 11128    seq cseq 11250   #chash 11545    ~~> cli 12205   sum_csu 12406    || cdivides 12779   Primecprime 13006
This theorem is referenced by:  prmreclem5  13215
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2368  ax-rep 4261  ax-sep 4271  ax-nul 4279  ax-pow 4318  ax-pr 4344  ax-un 4641  ax-inf2 7529  ax-cnex 8979  ax-resscn 8980  ax-1cn 8981  ax-icn 8982  ax-addcl 8983  ax-addrcl 8984  ax-mulcl 8985  ax-mulrcl 8986  ax-mulcom 8987  ax-addass 8988  ax-mulass 8989  ax-distr 8990  ax-i2m1 8991  ax-1ne0 8992  ax-1rid 8993  ax-rnegex 8994  ax-rrecex 8995  ax-cnre 8996  ax-pre-lttri 8997  ax-pre-lttrn 8998  ax-pre-ltadd 8999  ax-pre-mulgt0 9000  ax-pre-sup 9001
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2374  df-cleq 2380  df-clel 2383  df-nfc 2512  df-ne 2552  df-nel 2553  df-ral 2654  df-rex 2655  df-reu 2656  df-rmo 2657  df-rab 2658  df-v 2901  df-sbc 3105  df-csb 3195  df-dif 3266  df-un 3268  df-in 3270  df-ss 3277  df-pss 3279  df-nul 3572  df-if 3683  df-pw 3744  df-sn 3763  df-pr 3764  df-tp 3765  df-op 3766  df-uni 3958  df-int 3993  df-iun 4037  df-br 4154  df-opab 4208  df-mpt 4209  df-tr 4244  df-eprel 4435  df-id 4439  df-po 4444  df-so 4445  df-fr 4482  df-se 4483  df-we 4484  df-ord 4525  df-on 4526  df-lim 4527  df-suc 4528  df-om 4786  df-xp 4824  df-rel 4825  df-cnv 4826  df-co 4827  df-dm 4828  df-rn 4829  df-res 4830  df-ima 4831  df-iota 5358  df-fun 5396  df-fn 5397  df-f 5398  df-f1 5399  df-fo 5400  df-f1o 5401  df-fv 5402  df-isom 5403  df-ov 6023  df-oprab 6024  df-mpt2 6025  df-1st 6288  df-2nd 6289  df-riota 6485  df-recs 6569  df-rdg 6604  df-1o 6660  df-oadd 6664  df-er 6841  df-en 7046  df-dom 7047  df-sdom 7048  df-fin 7049  df-sup 7381  df-oi 7412  df-card 7759  df-cda 7981  df-pnf 9055  df-mnf 9056  df-xr 9057  df-ltxr 9058  df-le 9059  df-sub 9225  df-neg 9226  df-div 9610  df-nn 9933  df-2 9990  df-3 9991  df-n0 10154  df-z 10215  df-uz 10421  df-rp 10545  df-fz 10976  df-fzo 11066  df-fl 11129  df-seq 11251  df-exp 11310  df-hash 11546  df-cj 11831  df-re 11832  df-im 11833  df-sqr 11967  df-abs 11968  df-clim 12209  df-sum 12407  df-dvds 12780  df-prm 13007
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