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Theorem prmreclem4 13279
Description: Lemma for prmrec 13282. Show by induction that the indexed (nondisjoint) union  W `  k is at most the size of the prime reciprocal series. The key counting lemma is hashdvds 13156, to show that the number of numbers in  1 ... N that divide  k is at most  N  /  k. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
prmrec.1  |-  F  =  ( n  e.  NN  |->  if ( n  e.  Prime ,  ( 1  /  n
) ,  0 ) )
prmrec.2  |-  ( ph  ->  K  e.  NN )
prmrec.3  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
prmrec.4  |-  M  =  { n  e.  ( 1 ... N )  |  A. p  e.  ( Prime  \  (
1 ... K ) )  -.  p  ||  n }
prmrec.5  |-  ( ph  ->  seq  1 (  +  ,  F )  e. 
dom 
~~>  )
prmrec.6  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  (
ZZ>= `  ( K  + 
1 ) ) if ( k  e.  Prime ,  ( 1  /  k
) ,  0 )  <  ( 1  / 
2 ) )
prmrec.7  |-  W  =  ( p  e.  NN  |->  { n  e.  (
1 ... N )  |  ( p  e.  Prime  /\  p  ||  n ) } )
Assertion
Ref Expression
prmreclem4  |-  ( ph  ->  ( N  e.  (
ZZ>= `  K )  -> 
( # `  U_ k  e.  ( ( K  + 
1 ) ... N
) ( W `  k ) )  <_ 
( N  x.  sum_ k  e.  ( ( K  +  1 ) ... N ) if ( k  e.  Prime ,  ( 1  /  k
) ,  0 ) ) ) )
Distinct variable groups:    k, n, p, F    k, K, n, p    k, M, n, p    ph, k, n, p   
k, W    k, N, n, p
Allowed substitution hints:    W( n, p)

Proof of Theorem prmreclem4
Dummy variables  j  x are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq2 6081 . . . . . . 7  |-  ( x  =  K  ->  (
( K  +  1 ) ... x )  =  ( ( K  +  1 ) ... K ) )
21iuneq1d 4108 . . . . . 6  |-  ( x  =  K  ->  U_ k  e.  ( ( K  + 
1 ) ... x
) ( W `  k )  =  U_ k  e.  ( ( K  +  1 ) ... K ) ( W `  k ) )
32fveq2d 5724 . . . . 5  |-  ( x  =  K  ->  ( # `
 U_ k  e.  ( ( K  +  1 ) ... x ) ( W `  k
) )  =  (
# `  U_ k  e.  ( ( K  + 
1 ) ... K
) ( W `  k ) ) )
41sumeq1d 12487 . . . . . 6  |-  ( x  =  K  ->  sum_ k  e.  ( ( K  + 
1 ) ... x
) if ( k  e.  Prime ,  ( 1  /  k ) ,  0 )  =  sum_ k  e.  ( ( K  +  1 ) ... K ) if ( k  e.  Prime ,  ( 1  /  k
) ,  0 ) )
54oveq2d 6089 . . . . 5  |-  ( x  =  K  ->  ( N  x.  sum_ k  e.  ( ( K  + 
1 ) ... x
) if ( k  e.  Prime ,  ( 1  /  k ) ,  0 ) )  =  ( N  x.  sum_ k  e.  ( ( K  +  1 ) ... K ) if ( k  e.  Prime ,  ( 1  /  k
) ,  0 ) ) )
63, 5breq12d 4217 . . . 4  |-  ( x  =  K  ->  (
( # `  U_ k  e.  ( ( K  + 
1 ) ... x
) ( W `  k ) )  <_ 
( N  x.  sum_ k  e.  ( ( K  +  1 ) ... x ) if ( k  e.  Prime ,  ( 1  /  k
) ,  0 ) )  <->  ( # `  U_ k  e.  ( ( K  + 
1 ) ... K
) ( W `  k ) )  <_ 
( N  x.  sum_ k  e.  ( ( K  +  1 ) ... K ) if ( k  e.  Prime ,  ( 1  /  k
) ,  0 ) ) ) )
76imbi2d 308 . . 3  |-  ( x  =  K  ->  (
( ph  ->  ( # `  U_ k  e.  ( ( K  +  1 ) ... x ) ( W `  k
) )  <_  ( N  x.  sum_ k  e.  ( ( K  + 
1 ) ... x
) if ( k  e.  Prime ,  ( 1  /  k ) ,  0 ) ) )  <-> 
( ph  ->  ( # `  U_ k  e.  ( ( K  +  1 ) ... K ) ( W `  k
) )  <_  ( N  x.  sum_ k  e.  ( ( K  + 
1 ) ... K
) if ( k  e.  Prime ,  ( 1  /  k ) ,  0 ) ) ) ) )
8 oveq2 6081 . . . . . . 7  |-  ( x  =  j  ->  (
( K  +  1 ) ... x )  =  ( ( K  +  1 ) ... j ) )
98iuneq1d 4108 . . . . . 6  |-  ( x  =  j  ->  U_ k  e.  ( ( K  + 
1 ) ... x
) ( W `  k )  =  U_ k  e.  ( ( K  +  1 ) ... j ) ( W `  k ) )
109fveq2d 5724 . . . . 5  |-  ( x  =  j  ->  ( # `
 U_ k  e.  ( ( K  +  1 ) ... x ) ( W `  k
) )  =  (
# `  U_ k  e.  ( ( K  + 
1 ) ... j
) ( W `  k ) ) )
118sumeq1d 12487 . . . . . 6  |-  ( x  =  j  ->  sum_ k  e.  ( ( K  + 
1 ) ... x
) if ( k  e.  Prime ,  ( 1  /  k ) ,  0 )  =  sum_ k  e.  ( ( K  +  1 ) ... j ) if ( k  e.  Prime ,  ( 1  /  k
) ,  0 ) )
1211oveq2d 6089 . . . . 5  |-  ( x  =  j  ->  ( N  x.  sum_ k  e.  ( ( K  + 
1 ) ... x
) if ( k  e.  Prime ,  ( 1  /  k ) ,  0 ) )  =  ( N  x.  sum_ k  e.  ( ( K  +  1 ) ... j ) if ( k  e.  Prime ,  ( 1  /  k
) ,  0 ) ) )
1310, 12breq12d 4217 . . . 4  |-  ( x  =  j  ->  (
( # `  U_ k  e.  ( ( K  + 
1 ) ... x
) ( W `  k ) )  <_ 
( N  x.  sum_ k  e.  ( ( K  +  1 ) ... x ) if ( k  e.  Prime ,  ( 1  /  k
) ,  0 ) )  <->  ( # `  U_ k  e.  ( ( K  + 
1 ) ... j
) ( W `  k ) )  <_ 
( N  x.  sum_ k  e.  ( ( K  +  1 ) ... j ) if ( k  e.  Prime ,  ( 1  /  k
) ,  0 ) ) ) )
1413imbi2d 308 . . 3  |-  ( x  =  j  ->  (
( ph  ->  ( # `  U_ k  e.  ( ( K  +  1 ) ... x ) ( W `  k
) )  <_  ( N  x.  sum_ k  e.  ( ( K  + 
1 ) ... x
) if ( k  e.  Prime ,  ( 1  /  k ) ,  0 ) ) )  <-> 
( ph  ->  ( # `  U_ k  e.  ( ( K  +  1 ) ... j ) ( W `  k
) )  <_  ( N  x.  sum_ k  e.  ( ( K  + 
1 ) ... j
) if ( k  e.  Prime ,  ( 1  /  k ) ,  0 ) ) ) ) )
15 oveq2 6081 . . . . . . 7  |-  ( x  =  ( j  +  1 )  ->  (
( K  +  1 ) ... x )  =  ( ( K  +  1 ) ... ( j  +  1 ) ) )
1615iuneq1d 4108 . . . . . 6  |-  ( x  =  ( j  +  1 )  ->  U_ k  e.  ( ( K  + 
1 ) ... x
) ( W `  k )  =  U_ k  e.  ( ( K  +  1 ) ... ( j  +  1 ) ) ( W `  k ) )
1716fveq2d 5724 . . . . 5  |-  ( x  =  ( j  +  1 )  ->  ( # `
 U_ k  e.  ( ( K  +  1 ) ... x ) ( W `  k
) )  =  (
# `  U_ k  e.  ( ( K  + 
1 ) ... (
j  +  1 ) ) ( W `  k ) ) )
1815sumeq1d 12487 . . . . . 6  |-  ( x  =  ( j  +  1 )  ->  sum_ k  e.  ( ( K  + 
1 ) ... x
) if ( k  e.  Prime ,  ( 1  /  k ) ,  0 )  =  sum_ k  e.  ( ( K  +  1 ) ... ( j  +  1 ) ) if ( k  e.  Prime ,  ( 1  /  k
) ,  0 ) )
1918oveq2d 6089 . . . . 5  |-  ( x  =  ( j  +  1 )  ->  ( N  x.  sum_ k  e.  ( ( K  + 
1 ) ... x
) if ( k  e.  Prime ,  ( 1  /  k ) ,  0 ) )  =  ( N  x.  sum_ k  e.  ( ( K  +  1 ) ... ( j  +  1 ) ) if ( k  e.  Prime ,  ( 1  /  k
) ,  0 ) ) )
2017, 19breq12d 4217 . . . 4  |-  ( x  =  ( j  +  1 )  ->  (
( # `  U_ k  e.  ( ( K  + 
1 ) ... x
) ( W `  k ) )  <_ 
( N  x.  sum_ k  e.  ( ( K  +  1 ) ... x ) if ( k  e.  Prime ,  ( 1  /  k
) ,  0 ) )  <->  ( # `  U_ k  e.  ( ( K  + 
1 ) ... (
j  +  1 ) ) ( W `  k ) )  <_ 
( N  x.  sum_ k  e.  ( ( K  +  1 ) ... ( j  +  1 ) ) if ( k  e.  Prime ,  ( 1  /  k
) ,  0 ) ) ) )
2120imbi2d 308 . . 3  |-  ( x  =  ( j  +  1 )  ->  (
( ph  ->  ( # `  U_ k  e.  ( ( K  +  1 ) ... x ) ( W `  k
) )  <_  ( N  x.  sum_ k  e.  ( ( K  + 
1 ) ... x
) if ( k  e.  Prime ,  ( 1  /  k ) ,  0 ) ) )  <-> 
( ph  ->  ( # `  U_ k  e.  ( ( K  +  1 ) ... ( j  +  1 ) ) ( W `  k
) )  <_  ( N  x.  sum_ k  e.  ( ( K  + 
1 ) ... (
j  +  1 ) ) if ( k  e.  Prime ,  ( 1  /  k ) ,  0 ) ) ) ) )
22 oveq2 6081 . . . . . . 7  |-  ( x  =  N  ->  (
( K  +  1 ) ... x )  =  ( ( K  +  1 ) ... N ) )
2322iuneq1d 4108 . . . . . 6  |-  ( x  =  N  ->  U_ k  e.  ( ( K  + 
1 ) ... x
) ( W `  k )  =  U_ k  e.  ( ( K  +  1 ) ... N ) ( W `  k ) )
2423fveq2d 5724 . . . . 5  |-  ( x  =  N  ->  ( # `
 U_ k  e.  ( ( K  +  1 ) ... x ) ( W `  k
) )  =  (
# `  U_ k  e.  ( ( K  + 
1 ) ... N
) ( W `  k ) ) )
2522sumeq1d 12487 . . . . . 6  |-  ( x  =  N  ->  sum_ k  e.  ( ( K  + 
1 ) ... x
) if ( k  e.  Prime ,  ( 1  /  k ) ,  0 )  =  sum_ k  e.  ( ( K  +  1 ) ... N ) if ( k  e.  Prime ,  ( 1  /  k
) ,  0 ) )
2625oveq2d 6089 . . . . 5  |-  ( x  =  N  ->  ( N  x.  sum_ k  e.  ( ( K  + 
1 ) ... x
) if ( k  e.  Prime ,  ( 1  /  k ) ,  0 ) )  =  ( N  x.  sum_ k  e.  ( ( K  +  1 ) ... N ) if ( k  e.  Prime ,  ( 1  /  k
) ,  0 ) ) )
2724, 26breq12d 4217 . . . 4  |-  ( x  =  N  ->  (
( # `  U_ k  e.  ( ( K  + 
1 ) ... x
) ( W `  k ) )  <_ 
( N  x.  sum_ k  e.  ( ( K  +  1 ) ... x ) if ( k  e.  Prime ,  ( 1  /  k
) ,  0 ) )  <->  ( # `  U_ k  e.  ( ( K  + 
1 ) ... N
) ( W `  k ) )  <_ 
( N  x.  sum_ k  e.  ( ( K  +  1 ) ... N ) if ( k  e.  Prime ,  ( 1  /  k
) ,  0 ) ) ) )
2827imbi2d 308 . . 3  |-  ( x  =  N  ->  (
( ph  ->  ( # `  U_ k  e.  ( ( K  +  1 ) ... x ) ( W `  k
) )  <_  ( N  x.  sum_ k  e.  ( ( K  + 
1 ) ... x
) if ( k  e.  Prime ,  ( 1  /  k ) ,  0 ) ) )  <-> 
( ph  ->  ( # `  U_ k  e.  ( ( K  +  1 ) ... N ) ( W `  k
) )  <_  ( N  x.  sum_ k  e.  ( ( K  + 
1 ) ... N
) if ( k  e.  Prime ,  ( 1  /  k ) ,  0 ) ) ) ) )
29 0le0 10073 . . . . . 6  |-  0  <_  0
30 prmrec.3 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
3130nncnd 10008 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  N  e.  CC )
3231mul01d 9257 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( N  x.  0 )  =  0 )
3329, 32syl5breqr 4240 . . . . 5  |-  ( ph  ->  0  <_  ( N  x.  0 ) )
34 prmrec.2 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  K  e.  NN )
3534nnred 10007 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  K  e.  RR )
3635ltp1d 9933 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  K  <  ( K  +  1 ) )
3734nnzd 10366 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  K  e.  ZZ )
3837peano2zd 10370 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( K  +  1 )  e.  ZZ )
39 fzn 11063 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( K  +  1 )  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( K  <  ( K  +  1 )  <-> 
( ( K  + 
1 ) ... K
)  =  (/) ) )
4038, 37, 39syl2anc 643 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( K  <  ( K  +  1 )  <-> 
( ( K  + 
1 ) ... K
)  =  (/) ) )
4136, 40mpbid 202 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( K  + 
1 ) ... K
)  =  (/) )
4241iuneq1d 4108 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  U_ k  e.  ( ( K  +  1 ) ... K ) ( W `  k
)  =  U_ k  e.  (/)  ( W `  k ) )
43 0iun 4140 . . . . . . . 8  |-  U_ k  e.  (/)  ( W `  k )  =  (/)
4442, 43syl6eq 2483 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  U_ k  e.  ( ( K  +  1 ) ... K ) ( W `  k
)  =  (/) )
4544fveq2d 5724 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( # `  U_ k  e.  ( ( K  + 
1 ) ... K
) ( W `  k ) )  =  ( # `  (/) ) )
46 hash0 11638 . . . . . 6  |-  ( # `  (/) )  =  0
4745, 46syl6eq 2483 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( # `  U_ k  e.  ( ( K  + 
1 ) ... K
) ( W `  k ) )  =  0 )
4841sumeq1d 12487 . . . . . . 7  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  ( ( K  +  1 ) ... K ) if ( k  e. 
Prime ,  ( 1  /  k ) ,  0 )  =  sum_ k  e.  (/)  if ( k  e.  Prime ,  ( 1  /  k ) ,  0 ) )
49 sum0 12507 . . . . . . 7  |-  sum_ k  e.  (/)  if ( k  e.  Prime ,  ( 1  /  k ) ,  0 )  =  0
5048, 49syl6eq 2483 . . . . . 6  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  ( ( K  +  1 ) ... K ) if ( k  e. 
Prime ,  ( 1  /  k ) ,  0 )  =  0 )
5150oveq2d 6089 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( N  x.  sum_ k  e.  ( ( K  +  1 ) ... K ) if ( k  e.  Prime ,  ( 1  /  k
) ,  0 ) )  =  ( N  x.  0 ) )
5233, 47, 513brtr4d 4234 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( # `  U_ k  e.  ( ( K  + 
1 ) ... K
) ( W `  k ) )  <_ 
( N  x.  sum_ k  e.  ( ( K  +  1 ) ... K ) if ( k  e.  Prime ,  ( 1  /  k
) ,  0 ) ) )
5352a1i 11 . . 3  |-  ( K  e.  ZZ  ->  ( ph  ->  ( # `  U_ k  e.  ( ( K  + 
1 ) ... K
) ( W `  k ) )  <_ 
( N  x.  sum_ k  e.  ( ( K  +  1 ) ... K ) if ( k  e.  Prime ,  ( 1  /  k
) ,  0 ) ) ) )
54 fzfi 11303 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 1 ... N )  e. 
Fin
55 elfzuz 11047 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( k  e.  ( ( K  +  1 ) ... j )  ->  k  e.  ( ZZ>= `  ( K  +  1 ) ) )
5634peano2nnd 10009 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( K  +  1 )  e.  NN )
57 nnuz 10513 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
5857uztrn2 10495 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( K  +  1 )  e.  NN  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( K  +  1
) ) )  -> 
k  e.  NN )
5956, 58sylan 458 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( K  +  1 ) ) )  ->  k  e.  NN )
60 eleq1 2495 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( p  =  k  ->  (
p  e.  Prime  <->  k  e.  Prime ) )
61 breq1 4207 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( p  =  k  ->  (
p  ||  n  <->  k  ||  n ) )
6260, 61anbi12d 692 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( p  =  k  ->  (
( p  e.  Prime  /\  p  ||  n )  <-> 
( k  e.  Prime  /\  k  ||  n ) ) )
6362rabbidv 2940 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( p  =  k  ->  { n  e.  ( 1 ... N
)  |  ( p  e.  Prime  /\  p  ||  n ) }  =  { n  e.  (
1 ... N )  |  ( k  e.  Prime  /\  k  ||  n ) } )
64 prmrec.7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  W  =  ( p  e.  NN  |->  { n  e.  (
1 ... N )  |  ( p  e.  Prime  /\  p  ||  n ) } )
65 ovex 6098 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( 1 ... N )  e. 
_V
6665rabex 4346 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  { n  e.  ( 1 ... N
)  |  ( k  e.  Prime  /\  k  ||  n ) }  e.  _V
6763, 64, 66fvmpt 5798 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( k  e.  NN  ->  ( W `  k )  =  { n  e.  ( 1 ... N )  |  ( k  e. 
Prime  /\  k  ||  n
) } )
6867adantl 453 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( W `
 k )  =  { n  e.  ( 1 ... N )  |  ( k  e. 
Prime  /\  k  ||  n
) } )
69 ssrab2 3420 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  { n  e.  ( 1 ... N
)  |  ( k  e.  Prime  /\  k  ||  n ) }  C_  ( 1 ... N
)
7068, 69syl6eqss 3390 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( W `
 k )  C_  ( 1 ... N
) )
7159, 70syldan 457 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( K  +  1 ) ) )  ->  ( W `  k )  C_  (
1 ... N ) )
7255, 71sylan2 461 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ( K  + 
1 ) ... j
) )  ->  ( W `  k )  C_  ( 1 ... N
) )
7372ralrimiva 2781 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  A. k  e.  ( ( K  +  1 ) ... j ) ( W `  k
)  C_  ( 1 ... N ) )
7473adantr 452 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( ZZ>= `  K )
)  ->  A. k  e.  ( ( K  + 
1 ) ... j
) ( W `  k )  C_  (
1 ... N ) )
75 iunss 4124 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( U_ k  e.  ( ( K  +  1 ) ... j ) ( W `  k ) 
C_  ( 1 ... N )  <->  A. k  e.  ( ( K  + 
1 ) ... j
) ( W `  k )  C_  (
1 ... N ) )
7674, 75sylibr 204 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( ZZ>= `  K )
)  ->  U_ k  e.  ( ( K  + 
1 ) ... j
) ( W `  k )  C_  (
1 ... N ) )
77 ssfi 7321 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( 1 ... N
)  e.  Fin  /\  U_ k  e.  ( ( K  +  1 ) ... j ) ( W `  k ) 
C_  ( 1 ... N ) )  ->  U_ k  e.  (
( K  +  1 ) ... j ) ( W `  k
)  e.  Fin )
7854, 76, 77sylancr 645 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( ZZ>= `  K )
)  ->  U_ k  e.  ( ( K  + 
1 ) ... j
) ( W `  k )  e.  Fin )
79 hashcl 11631 . . . . . . . . . 10  |-  ( U_ k  e.  ( ( K  +  1 ) ... j ) ( W `  k )  e.  Fin  ->  ( # `
 U_ k  e.  ( ( K  +  1 ) ... j ) ( W `  k
) )  e.  NN0 )
8078, 79syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( ZZ>= `  K )
)  ->  ( # `  U_ k  e.  ( ( K  + 
1 ) ... j
) ( W `  k ) )  e. 
NN0 )
8180nn0red 10267 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( ZZ>= `  K )
)  ->  ( # `  U_ k  e.  ( ( K  + 
1 ) ... j
) ( W `  k ) )  e.  RR )
8230nnred 10007 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  N  e.  RR )
8382adantr 452 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( ZZ>= `  K )
)  ->  N  e.  RR )
84 fzfid 11304 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( ZZ>= `  K )
)  ->  ( ( K  +  1 ) ... j )  e. 
Fin )
8556adantr 452 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( ZZ>= `  K )
)  ->  ( K  +  1 )  e.  NN )
8685, 55, 58syl2an 464 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  ( ZZ>= `  K )
)  /\  k  e.  ( ( K  + 
1 ) ... j
) )  ->  k  e.  NN )
87 nnrecre 10028 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  e.  NN  ->  (
1  /  k )  e.  RR )
88 0re 9083 . . . . . . . . . . . 12  |-  0  e.  RR
89 ifcl 3767 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( 1  /  k
)  e.  RR  /\  0  e.  RR )  ->  if ( k  e. 
Prime ,  ( 1  /  k ) ,  0 )  e.  RR )
9087, 88, 89sylancl 644 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  e.  NN  ->  if ( k  e.  Prime ,  ( 1  /  k
) ,  0 )  e.  RR )
9186, 90syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  ( ZZ>= `  K )
)  /\  k  e.  ( ( K  + 
1 ) ... j
) )  ->  if ( k  e.  Prime ,  ( 1  /  k
) ,  0 )  e.  RR )
9284, 91fsumrecl 12520 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( ZZ>= `  K )
)  ->  sum_ k  e.  ( ( K  + 
1 ) ... j
) if ( k  e.  Prime ,  ( 1  /  k ) ,  0 )  e.  RR )
9383, 92remulcld 9108 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( ZZ>= `  K )
)  ->  ( N  x.  sum_ k  e.  ( ( K  +  1 ) ... j ) if ( k  e. 
Prime ,  ( 1  /  k ) ,  0 ) )  e.  RR )
94 prmnn 13074 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( j  +  1 )  e.  Prime  ->  ( j  +  1 )  e.  NN )
95 nnrecre 10028 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( j  +  1 )  e.  NN  ->  (
1  /  ( j  +  1 ) )  e.  RR )
9694, 95syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( j  +  1 )  e.  Prime  ->  ( 1  /  ( j  +  1 ) )  e.  RR )
9796adantl 453 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  ( ZZ>= `  K )
)  /\  ( j  +  1 )  e. 
Prime )  ->  ( 1  /  ( j  +  1 ) )  e.  RR )
9888a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  ( ZZ>= `  K )
)  /\  -.  (
j  +  1 )  e.  Prime )  ->  0  e.  RR )
9997, 98ifclda 3758 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( ZZ>= `  K )
)  ->  if (
( j  +  1 )  e.  Prime ,  ( 1  /  ( j  +  1 ) ) ,  0 )  e.  RR )
10083, 99remulcld 9108 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( ZZ>= `  K )
)  ->  ( N  x.  if ( ( j  +  1 )  e. 
Prime ,  ( 1  /  ( j  +  1 ) ) ,  0 ) )  e.  RR )
10181, 93, 100leadd1d 9612 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( ZZ>= `  K )
)  ->  ( ( # `
 U_ k  e.  ( ( K  +  1 ) ... j ) ( W `  k
) )  <_  ( N  x.  sum_ k  e.  ( ( K  + 
1 ) ... j
) if ( k  e.  Prime ,  ( 1  /  k ) ,  0 ) )  <->  ( ( # `
 U_ k  e.  ( ( K  +  1 ) ... j ) ( W `  k
) )  +  ( N  x.  if ( ( j  +  1 )  e.  Prime ,  ( 1  /  ( j  +  1 ) ) ,  0 ) ) )  <_  ( ( N  x.  sum_ k  e.  ( ( K  + 
1 ) ... j
) if ( k  e.  Prime ,  ( 1  /  k ) ,  0 ) )  +  ( N  x.  if ( ( j  +  1 )  e.  Prime ,  ( 1  /  (
j  +  1 ) ) ,  0 ) ) ) ) )
102 eluzp1p1 10503 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( j  e.  ( ZZ>= `  K
)  ->  ( j  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  ( K  +  1 ) ) )
103102adantl 453 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( ZZ>= `  K )
)  ->  ( j  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  ( K  +  1 ) ) )
104 simpl 444 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( ZZ>= `  K )
)  ->  ph )
105 elfzuz 11047 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  e.  ( ( K  +  1 ) ... ( j  +  1 ) )  ->  k  e.  ( ZZ>= `  ( K  +  1 ) ) )
10690recnd 9106 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  e.  NN  ->  if ( k  e.  Prime ,  ( 1  /  k
) ,  0 )  e.  CC )
10759, 106syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( K  +  1 ) ) )  ->  if (
k  e.  Prime ,  ( 1  /  k ) ,  0 )  e.  CC )
108104, 105, 107syl2an 464 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  ( ZZ>= `  K )
)  /\  k  e.  ( ( K  + 
1 ) ... (
j  +  1 ) ) )  ->  if ( k  e.  Prime ,  ( 1  /  k
) ,  0 )  e.  CC )
109 eleq1 2495 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  =  ( j  +  1 )  ->  (
k  e.  Prime  <->  ( j  +  1 )  e. 
Prime ) )
110 oveq2 6081 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  =  ( j  +  1 )  ->  (
1  /  k )  =  ( 1  / 
( j  +  1 ) ) )
111 eqidd 2436 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  =  ( j  +  1 )  ->  0  =  0 )
112109, 110, 111ifbieq12d 3753 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  =  ( j  +  1 )  ->  if ( k  e.  Prime ,  ( 1  /  k
) ,  0 )  =  if ( ( j  +  1 )  e.  Prime ,  ( 1  /  ( j  +  1 ) ) ,  0 ) )
113103, 108, 112fsumm1 12529 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( ZZ>= `  K )
)  ->  sum_ k  e.  ( ( K  + 
1 ) ... (
j  +  1 ) ) if ( k  e.  Prime ,  ( 1  /  k ) ,  0 )  =  (
sum_ k  e.  ( ( K  +  1 ) ... ( ( j  +  1 )  -  1 ) ) if ( k  e. 
Prime ,  ( 1  /  k ) ,  0 )  +  if ( ( j  +  1 )  e.  Prime ,  ( 1  /  (
j  +  1 ) ) ,  0 ) ) )
114 eluzelz 10488 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( j  e.  ( ZZ>= `  K
)  ->  j  e.  ZZ )
115114adantl 453 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( ZZ>= `  K )
)  ->  j  e.  ZZ )
116115zcnd 10368 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( ZZ>= `  K )
)  ->  j  e.  CC )
117 ax-1cn 9040 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  1  e.  CC
118 pncan 9303 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( j  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  ( ( j  +  1 )  -  1 )  =  j )
119116, 117, 118sylancl 644 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( ZZ>= `  K )
)  ->  ( (
j  +  1 )  -  1 )  =  j )
120119oveq2d 6089 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( ZZ>= `  K )
)  ->  ( ( K  +  1 ) ... ( ( j  +  1 )  - 
1 ) )  =  ( ( K  + 
1 ) ... j
) )
121120sumeq1d 12487 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( ZZ>= `  K )
)  ->  sum_ k  e.  ( ( K  + 
1 ) ... (
( j  +  1 )  -  1 ) ) if ( k  e.  Prime ,  ( 1  /  k ) ,  0 )  =  sum_ k  e.  ( ( K  +  1 ) ... j ) if ( k  e.  Prime ,  ( 1  /  k
) ,  0 ) )
122121oveq1d 6088 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( ZZ>= `  K )
)  ->  ( sum_ k  e.  ( ( K  +  1 ) ... ( ( j  +  1 )  - 
1 ) ) if ( k  e.  Prime ,  ( 1  /  k
) ,  0 )  +  if ( ( j  +  1 )  e.  Prime ,  ( 1  /  ( j  +  1 ) ) ,  0 ) )  =  ( sum_ k  e.  ( ( K  +  1 ) ... j ) if ( k  e. 
Prime ,  ( 1  /  k ) ,  0 )  +  if ( ( j  +  1 )  e.  Prime ,  ( 1  /  (
j  +  1 ) ) ,  0 ) ) )
123113, 122eqtrd 2467 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( ZZ>= `  K )
)  ->  sum_ k  e.  ( ( K  + 
1 ) ... (
j  +  1 ) ) if ( k  e.  Prime ,  ( 1  /  k ) ,  0 )  =  (
sum_ k  e.  ( ( K  +  1 ) ... j ) if ( k  e. 
Prime ,  ( 1  /  k ) ,  0 )  +  if ( ( j  +  1 )  e.  Prime ,  ( 1  /  (
j  +  1 ) ) ,  0 ) ) )
124123oveq2d 6089 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( ZZ>= `  K )
)  ->  ( N  x.  sum_ k  e.  ( ( K  +  1 ) ... ( j  +  1 ) ) if ( k  e. 
Prime ,  ( 1  /  k ) ,  0 ) )  =  ( N  x.  ( sum_ k  e.  ( ( K  +  1 ) ... j ) if ( k  e.  Prime ,  ( 1  /  k
) ,  0 )  +  if ( ( j  +  1 )  e.  Prime ,  ( 1  /  ( j  +  1 ) ) ,  0 ) ) ) )
12531adantr 452 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( ZZ>= `  K )
)  ->  N  e.  CC )
12692recnd 9106 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( ZZ>= `  K )
)  ->  sum_ k  e.  ( ( K  + 
1 ) ... j
) if ( k  e.  Prime ,  ( 1  /  k ) ,  0 )  e.  CC )
12799recnd 9106 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( ZZ>= `  K )
)  ->  if (
( j  +  1 )  e.  Prime ,  ( 1  /  ( j  +  1 ) ) ,  0 )  e.  CC )
128125, 126, 127adddid 9104 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( ZZ>= `  K )
)  ->  ( N  x.  ( sum_ k  e.  ( ( K  +  1 ) ... j ) if ( k  e. 
Prime ,  ( 1  /  k ) ,  0 )  +  if ( ( j  +  1 )  e.  Prime ,  ( 1  /  (
j  +  1 ) ) ,  0 ) ) )  =  ( ( N  x.  sum_ k  e.  ( ( K  +  1 ) ... j ) if ( k  e.  Prime ,  ( 1  /  k
) ,  0 ) )  +  ( N  x.  if ( ( j  +  1 )  e.  Prime ,  ( 1  /  ( j  +  1 ) ) ,  0 ) ) ) )
129124, 128eqtrd 2467 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( ZZ>= `  K )
)  ->  ( N  x.  sum_ k  e.  ( ( K  +  1 ) ... ( j  +  1 ) ) if ( k  e. 
Prime ,  ( 1  /  k ) ,  0 ) )  =  ( ( N  x.  sum_ k  e.  ( ( K  +  1 ) ... j ) if ( k  e.  Prime ,  ( 1  /  k
) ,  0 ) )  +  ( N  x.  if ( ( j  +  1 )  e.  Prime ,  ( 1  /  ( j  +  1 ) ) ,  0 ) ) ) )
130129breq2d 4216 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( ZZ>= `  K )
)  ->  ( (
( # `  U_ k  e.  ( ( K  + 
1 ) ... j
) ( W `  k ) )  +  ( N  x.  if ( ( j  +  1 )  e.  Prime ,  ( 1  /  (
j  +  1 ) ) ,  0 ) ) )  <_  ( N  x.  sum_ k  e.  ( ( K  + 
1 ) ... (
j  +  1 ) ) if ( k  e.  Prime ,  ( 1  /  k ) ,  0 ) )  <->  ( ( # `
 U_ k  e.  ( ( K  +  1 ) ... j ) ( W `  k
) )  +  ( N  x.  if ( ( j  +  1 )  e.  Prime ,  ( 1  /  ( j  +  1 ) ) ,  0 ) ) )  <_  ( ( N  x.  sum_ k  e.  ( ( K  + 
1 ) ... j
) if ( k  e.  Prime ,  ( 1  /  k ) ,  0 ) )  +  ( N  x.  if ( ( j  +  1 )  e.  Prime ,  ( 1  /  (
j  +  1 ) ) ,  0 ) ) ) ) )
131101, 130bitr4d 248 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( ZZ>= `  K )
)  ->  ( ( # `
 U_ k  e.  ( ( K  +  1 ) ... j ) ( W `  k
) )  <_  ( N  x.  sum_ k  e.  ( ( K  + 
1 ) ... j
) if ( k  e.  Prime ,  ( 1  /  k ) ,  0 ) )  <->  ( ( # `
 U_ k  e.  ( ( K  +  1 ) ... j ) ( W `  k
) )  +  ( N  x.  if ( ( j  +  1 )  e.  Prime ,  ( 1  /  ( j  +  1 ) ) ,  0 ) ) )  <_  ( N  x.  sum_ k  e.  ( ( K  +  1 ) ... ( j  +  1 ) ) if ( k  e. 
Prime ,  ( 1  /  k ) ,  0 ) ) ) )
132105, 71sylan2 461 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ( K  + 
1 ) ... (
j  +  1 ) ) )  ->  ( W `  k )  C_  ( 1 ... N
) )
133132ralrimiva 2781 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  A. k  e.  ( ( K  +  1 ) ... ( j  +  1 ) ) ( W `  k
)  C_  ( 1 ... N ) )
134133adantr 452 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( ZZ>= `  K )
)  ->  A. k  e.  ( ( K  + 
1 ) ... (
j  +  1 ) ) ( W `  k )  C_  (
1 ... N ) )
135 iunss 4124 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( U_ k  e.  ( ( K  +  1 ) ... ( j  +  1 ) ) ( W `  k ) 
C_  ( 1 ... N )  <->  A. k  e.  ( ( K  + 
1 ) ... (
j  +  1 ) ) ( W `  k )  C_  (
1 ... N ) )
136134, 135sylibr 204 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( ZZ>= `  K )
)  ->  U_ k  e.  ( ( K  + 
1 ) ... (
j  +  1 ) ) ( W `  k )  C_  (
1 ... N ) )
137 ssfi 7321 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( 1 ... N
)  e.  Fin  /\  U_ k  e.  ( ( K  +  1 ) ... ( j  +  1 ) ) ( W `  k ) 
C_  ( 1 ... N ) )  ->  U_ k  e.  (
( K  +  1 ) ... ( j  +  1 ) ) ( W `  k
)  e.  Fin )
13854, 136, 137sylancr 645 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( ZZ>= `  K )
)  ->  U_ k  e.  ( ( K  + 
1 ) ... (
j  +  1 ) ) ( W `  k )  e.  Fin )
139 hashcl 11631 . . . . . . . . . 10  |-  ( U_ k  e.  ( ( K  +  1 ) ... ( j  +  1 ) ) ( W `  k )  e.  Fin  ->  ( # `
 U_ k  e.  ( ( K  +  1 ) ... ( j  +  1 ) ) ( W `  k
) )  e.  NN0 )
140138, 139syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( ZZ>= `  K )
)  ->  ( # `  U_ k  e.  ( ( K  + 
1 ) ... (
j  +  1 ) ) ( W `  k ) )  e. 
NN0 )
141140nn0red 10267 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( ZZ>= `  K )
)  ->  ( # `  U_ k  e.  ( ( K  + 
1 ) ... (
j  +  1 ) ) ( W `  k ) )  e.  RR )
14257uztrn2 10495 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( K  e.  NN  /\  j  e.  ( ZZ>= `  K ) )  -> 
j  e.  NN )
14334, 142sylan 458 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( ZZ>= `  K )
)  ->  j  e.  NN )
144143peano2nnd 10009 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( ZZ>= `  K )
)  ->  ( j  +  1 )  e.  NN )
14570ralrimiva 2781 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  A. k  e.  NN  ( W `  k ) 
C_  ( 1 ... N ) )
146145adantr 452 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( ZZ>= `  K )
)  ->  A. k  e.  NN  ( W `  k )  C_  (
1 ... N ) )
147 fveq2 5720 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( k  =  ( j  +  1 )  ->  ( W `  k )  =  ( W `  ( j  +  1 ) ) )
148147sseq1d 3367 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  =  ( j  +  1 )  ->  (
( W `  k
)  C_  ( 1 ... N )  <->  ( W `  ( j  +  1 ) )  C_  (
1 ... N ) ) )
149148rspcv 3040 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( j  +  1 )  e.  NN  ->  ( A. k  e.  NN  ( W `  k ) 
C_  ( 1 ... N )  ->  ( W `  ( j  +  1 ) ) 
C_  ( 1 ... N ) ) )
150144, 146, 149sylc 58 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( ZZ>= `  K )
)  ->  ( W `  ( j  +  1 ) )  C_  (
1 ... N ) )
151 ssfi 7321 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( 1 ... N
)  e.  Fin  /\  ( W `  ( j  +  1 ) ) 
C_  ( 1 ... N ) )  -> 
( W `  (
j  +  1 ) )  e.  Fin )
15254, 150, 151sylancr 645 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( ZZ>= `  K )
)  ->  ( W `  ( j  +  1 ) )  e.  Fin )
153 hashcl 11631 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( W `  ( j  +  1 ) )  e.  Fin  ->  ( # `
 ( W `  ( j  +  1 ) ) )  e. 
NN0 )
154152, 153syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( ZZ>= `  K )
)  ->  ( # `  ( W `  ( j  +  1 ) ) )  e.  NN0 )
155154nn0red 10267 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( ZZ>= `  K )
)  ->  ( # `  ( W `  ( j  +  1 ) ) )  e.  RR )
15681, 155readdcld 9107 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( ZZ>= `  K )
)  ->  ( ( # `
 U_ k  e.  ( ( K  +  1 ) ... j ) ( W `  k
) )  +  (
# `  ( W `  ( j  +  1 ) ) ) )  e.  RR )
15781, 100readdcld 9107 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( ZZ>= `  K )
)  ->  ( ( # `
 U_ k  e.  ( ( K  +  1 ) ... j ) ( W `  k
) )  +  ( N  x.  if ( ( j  +  1 )  e.  Prime ,  ( 1  /  ( j  +  1 ) ) ,  0 ) ) )  e.  RR )
15838adantr 452 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( ZZ>= `  K )
)  ->  ( K  +  1 )  e.  ZZ )
159 simpr 448 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( ZZ>= `  K )
)  ->  j  e.  ( ZZ>= `  K )
)
16034nncnd 10008 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  K  e.  CC )
161160adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( ZZ>= `  K )
)  ->  K  e.  CC )
162 pncan 9303 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( K  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  ( ( K  + 
1 )  -  1 )  =  K )
163161, 117, 162sylancl 644 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( ZZ>= `  K )
)  ->  ( ( K  +  1 )  -  1 )  =  K )
164163fveq2d 5724 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( ZZ>= `  K )
)  ->  ( ZZ>= `  ( ( K  + 
1 )  -  1 ) )  =  (
ZZ>= `  K ) )
165159, 164eleqtrrd 2512 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( ZZ>= `  K )
)  ->  j  e.  ( ZZ>= `  ( ( K  +  1 )  -  1 ) ) )
166 fzsuc2 11096 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( K  +  1 )  e.  ZZ  /\  j  e.  ( ZZ>= `  ( ( K  + 
1 )  -  1 ) ) )  -> 
( ( K  + 
1 ) ... (
j  +  1 ) )  =  ( ( ( K  +  1 ) ... j )  u.  { ( j  +  1 ) } ) )
167158, 165, 166syl2anc 643 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( ZZ>= `  K )
)  ->  ( ( K  +  1 ) ... ( j  +  1 ) )  =  ( ( ( K  +  1 ) ... j )  u.  {
( j  +  1 ) } ) )
168167iuneq1d 4108 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( ZZ>= `  K )
)  ->  U_ k  e.  ( ( K  + 
1 ) ... (
j  +  1 ) ) ( W `  k )  =  U_ k  e.  ( (
( K  +  1 ) ... j )  u.  { ( j  +  1 ) } ) ( W `  k ) )
169 iunxun 4164 . . . . . . . . . . . 12  |-  U_ k  e.  ( ( ( K  +  1 ) ... j )  u.  {
( j  +  1 ) } ) ( W `  k )  =  ( U_ k  e.  ( ( K  + 
1 ) ... j
) ( W `  k )  u.  U_ k  e.  { (
j  +  1 ) }  ( W `  k ) )
170 ovex 6098 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( j  +  1 )  e. 
_V
171170, 147iunxsn 4162 . . . . . . . . . . . . 13  |-  U_ k  e.  { ( j  +  1 ) }  ( W `  k )  =  ( W `  ( j  +  1 ) )
172171uneq2i 3490 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( U_ k  e.  ( ( K  +  1 ) ... j ) ( W `  k )  u.  U_ k  e. 
{ ( j  +  1 ) }  ( W `  k )
)  =  ( U_ k  e.  ( ( K  +  1 ) ... j ) ( W `  k )  u.  ( W `  ( j  +  1 ) ) )
173169, 172eqtri 2455 . . . . . . . . . . 11  |-  U_ k  e.  ( ( ( K  +  1 ) ... j )  u.  {
( j  +  1 ) } ) ( W `  k )  =  ( U_ k  e.  ( ( K  + 
1 ) ... j
) ( W `  k )  u.  ( W `  ( j  +  1 ) ) )
174168, 173syl6eq 2483 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( ZZ>= `  K )
)  ->  U_ k  e.  ( ( K  + 
1 ) ... (
j  +  1 ) ) ( W `  k )  =  (
U_ k  e.  ( ( K  +  1 ) ... j ) ( W `  k
)  u.  ( W `
 ( j  +  1 ) ) ) )
175174fveq2d 5724 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( ZZ>= `  K )
)  ->  ( # `  U_ k  e.  ( ( K  + 
1 ) ... (
j  +  1 ) ) ( W `  k ) )  =  ( # `  ( U_ k  e.  (
( K  +  1 ) ... j ) ( W `  k
)  u.  ( W `
 ( j  +  1 ) ) ) ) )
176 hashun2 11649 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
U_ k  e.  ( ( K  +  1 ) ... j ) ( W `  k
)  e.  Fin  /\  ( W `  ( j  +  1 ) )  e.  Fin )  -> 
( # `  ( U_ k  e.  ( ( K  +  1 ) ... j ) ( W `  k )  u.  ( W `  ( j  +  1 ) ) ) )  <_  ( ( # `  U_ k  e.  ( ( K  +  1 ) ... j ) ( W `  k
) )  +  (
# `  ( W `  ( j  +  1 ) ) ) ) )
17778, 152, 176syl2anc 643 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( ZZ>= `  K )
)  ->  ( # `  ( U_ k  e.  (
( K  +  1 ) ... j ) ( W `  k
)  u.  ( W `
 ( j  +  1 ) ) ) )  <_  ( ( # `
 U_ k  e.  ( ( K  +  1 ) ... j ) ( W `  k
) )  +  (
# `  ( W `  ( j  +  1 ) ) ) ) )
178175, 177eqbrtrd 4224 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( ZZ>= `  K )
)  ->  ( # `  U_ k  e.  ( ( K  + 
1 ) ... (
j  +  1 ) ) ( W `  k ) )  <_ 
( ( # `  U_ k  e.  ( ( K  + 
1 ) ... j
) ( W `  k ) )  +  ( # `  ( W `  ( j  +  1 ) ) ) ) )
17983, 144nndivred 10040 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( ZZ>= `  K )
)  ->  ( N  /  ( j  +  1 ) )  e.  RR )
180 flle 11200 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( N  /  ( j  +  1 ) )  e.  RR  ->  ( |_ `  ( N  / 
( j  +  1 ) ) )  <_ 
( N  /  (
j  +  1 ) ) )
181179, 180syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( ZZ>= `  K )
)  ->  ( |_ `  ( N  /  (
j  +  1 ) ) )  <_  ( N  /  ( j  +  1 ) ) )
182 elfznn 11072 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( n  e.  ( 1 ... N )  ->  n  e.  NN )
183182nncnd 10008 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( n  e.  ( 1 ... N )  ->  n  e.  CC )
184183subid1d 9392 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( n  e.  ( 1 ... N )  ->  (
n  -  0 )  =  n )
185184breq2d 4216 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( n  e.  ( 1 ... N )  ->  (
( j  +  1 )  ||  ( n  -  0 )  <->  ( j  +  1 )  ||  n ) )
186185rabbiia 2938 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  { n  e.  ( 1 ... N
)  |  ( j  +  1 )  ||  ( n  -  0
) }  =  {
n  e.  ( 1 ... N )  |  ( j  +  1 )  ||  n }
187186fveq2i 5723 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( # `  { n  e.  ( 1 ... N )  |  ( j  +  1 )  ||  (
n  -  0 ) } )  =  (
# `  { n  e.  ( 1 ... N
)  |  ( j  +  1 )  ||  n } )
188 1z 10303 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  1  e.  ZZ
189188a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( ZZ>= `  K )
)  ->  1  e.  ZZ )
19030nnnn0d 10266 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  N  e.  NN0 )
191 nn0uz 10512 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  NN0  =  ( ZZ>= `  0 )
192117subidi 9363 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( 1  -  1 )  =  0
193192fveq2i 5723 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ZZ>= `  ( 1  -  1 ) )  =  (
ZZ>= `  0 )
194191, 193eqtr4i 2458 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  NN0  =  ( ZZ>= `  ( 1  -  1 ) )
195190, 194syl6eleq 2525 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  N  e.  ( ZZ>= `  ( 1  -  1 ) ) )
196195adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( ZZ>= `  K )
)  ->  N  e.  ( ZZ>= `  ( 1  -  1 ) ) )
197 0z 10285 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  0  e.  ZZ
198197a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( ZZ>= `  K )
)  ->  0  e.  ZZ )
199144, 189, 196, 198hashdvds 13156 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( ZZ>= `  K )
)  ->  ( # `  {
n  e.  ( 1 ... N )  |  ( j  +  1 )  ||  ( n  -  0 ) } )  =  ( ( |_ `  ( ( N  -  0 )  /  ( j  +  1 ) ) )  -  ( |_ `  ( ( ( 1  -  1 )  - 
0 )  /  (
j  +  1 ) ) ) ) )
200125subid1d 9392 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( ZZ>= `  K )
)  ->  ( N  -  0 )  =  N )
201200oveq1d 6088 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( ZZ>= `  K )
)  ->  ( ( N  -  0 )  /  ( j  +  1 ) )  =  ( N  /  (
j  +  1 ) ) )
202201fveq2d 5724 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( ZZ>= `  K )
)  ->  ( |_ `  ( ( N  - 
0 )  /  (
j  +  1 ) ) )  =  ( |_ `  ( N  /  ( j  +  1 ) ) ) )
203192oveq1i 6083 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( 1  -  1 )  -  0 )  =  ( 0  -  0 )
204 0cn 9076 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  0  e.  CC
205204subidi 9363 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( 0  -  0 )  =  0
206203, 205eqtri 2455 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( 1  -  1 )  -  0 )  =  0
207206oveq1i 6083 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( 1  -  1 )  -  0 )  /  ( j  +  1 ) )  =  ( 0  /  (
j  +  1 ) )
208144nncnd 10008 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( ZZ>= `  K )
)  ->  ( j  +  1 )  e.  CC )
209144nnne0d 10036 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( ZZ>= `  K )
)  ->  ( j  +  1 )  =/=  0 )
210208, 209div0d 9781 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( ZZ>= `  K )
)  ->  ( 0  /  ( j  +  1 ) )  =  0 )
211207, 210syl5eq 2479 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( ZZ>= `  K )
)  ->  ( (
( 1  -  1 )  -  0 )  /  ( j  +  1 ) )  =  0 )
212211fveq2d 5724 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( ZZ>= `  K )
)  ->  ( |_ `  ( ( ( 1  -  1 )  - 
0 )  /  (
j  +  1 ) ) )  =  ( |_ `  0 ) )
213 flid 11208 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( 0  e.  ZZ  ->  ( |_ `  0 )  =  0 )
214197, 213ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( |_
`  0 )  =  0
215212, 214syl6eq 2483 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( ZZ>= `  K )
)  ->  ( |_ `  ( ( ( 1  -  1 )  - 
0 )  /  (
j  +  1 ) ) )  =  0 )
216202, 215oveq12d 6091 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( ZZ>= `  K )
)  ->  ( ( |_ `  ( ( N  -  0 )  / 
( j  +  1 ) ) )  -  ( |_ `  ( ( ( 1  -  1 )  -  0 )  /  ( j  +  1 ) ) ) )  =  ( ( |_ `  ( N  /  ( j  +  1 ) ) )  -  0 ) )
217179flcld 11199 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( ZZ>= `  K )
)  ->  ( |_ `  ( N  /  (
j  +  1 ) ) )  e.  ZZ )
218217zcnd 10368 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( ZZ>= `  K )
)  ->  ( |_ `  ( N  /  (
j  +  1 ) ) )  e.  CC )
219218subid1d 9392 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( ZZ>= `  K )
)  ->  ( ( |_ `  ( N  / 
( j  +  1 ) ) )  - 
0 )  =  ( |_ `  ( N  /  ( j  +  1 ) ) ) )
220199, 216, 2193eqtrd 2471 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( ZZ>= `  K )
)  ->  ( # `  {
n  e.  ( 1 ... N )  |  ( j  +  1 )  ||  ( n  -  0 ) } )  =  ( |_
`  ( N  / 
( j  +  1 ) ) ) )
221187, 220syl5eqr 2481 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( ZZ>= `  K )
)  ->  ( # `  {
n  e.  ( 1 ... N )  |  ( j  +  1 )  ||  n }
)  =  ( |_
`  ( N  / 
( j  +  1 ) ) ) )
222125, 208, 209divrecd 9785 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( ZZ>= `  K )
)  ->  ( N  /  ( j  +  1 ) )  =  ( N  x.  (
1  /  ( j  +  1 ) ) ) )
223222eqcomd 2440 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( ZZ>= `  K )
)  ->  ( N  x.  ( 1  /  (
j  +  1 ) ) )  =  ( N  /  ( j  +  1 ) ) )
224181, 221, 2233brtr4d 4234 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( ZZ>= `  K )
)  ->  ( # `  {
n  e.  ( 1 ... N )  |  ( j  +  1 )  ||  n }
)  <_  ( N  x.  ( 1  /  (
j  +  1 ) ) ) )
225224adantr 452 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  ( ZZ>= `  K )
)  /\  ( j  +  1 )  e. 
Prime )  ->  ( # `  { n  e.  ( 1 ... N )  |  ( j  +  1 )  ||  n } )  <_  ( N  x.  ( 1  /  ( j  +  1 ) ) ) )
226 eleq1 2495 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( p  =  ( j  +  1 )  ->  (
p  e.  Prime  <->  ( j  +  1 )  e. 
Prime ) )
227 breq1 4207 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( p  =  ( j  +  1 )  ->  (
p  ||  n  <->  ( j  +  1 )  ||  n ) )
228226, 227anbi12d 692 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( p  =  ( j  +  1 )  ->  (
( p  e.  Prime  /\  p  ||  n )  <-> 
( ( j  +  1 )  e.  Prime  /\  ( j  +  1 )  ||  n ) ) )
229228rabbidv 2940 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( p  =  ( j  +  1 )  ->  { n  e.  ( 1 ... N
)  |  ( p  e.  Prime  /\  p  ||  n ) }  =  { n  e.  (
1 ... N )  |  ( ( j  +  1 )  e.  Prime  /\  ( j  +  1 )  ||  n ) } )
23065rabex 4346 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  { n  e.  ( 1 ... N
)  |  ( ( j  +  1 )  e.  Prime  /\  (
j  +  1 ) 
||  n ) }  e.  _V
231229, 64, 230fvmpt 5798 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( j  +  1 )  e.  NN  ->  ( W `  ( j  +  1 ) )  =  { n  e.  ( 1 ... N
)  |  ( ( j  +  1 )  e.  Prime  /\  (
j  +  1 ) 
||  n ) } )
232144, 231syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( ZZ>= `  K )
)  ->  ( W `  ( j  +  1 ) )  =  {
n  e.  ( 1 ... N )  |  ( ( j  +  1 )  e.  Prime  /\  ( j  +  1 )  ||  n ) } )
233232adantr 452 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  ( ZZ>= `  K )
)  /\  ( j  +  1 )  e. 
Prime )  ->  ( W `
 ( j  +  1 ) )  =  { n  e.  ( 1 ... N )  |  ( ( j  +  1 )  e. 
Prime  /\  ( j  +  1 )  ||  n
) } )
234 simpr 448 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  ( ZZ>= `  K )
)  /\  ( j  +  1 )  e. 
Prime )  ->  ( j  +  1 )  e. 
Prime )
235234biantrurd 495 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  ( ZZ>= `  K )
)  /\  ( j  +  1 )  e. 
Prime )  ->  ( ( j  +  1 ) 
||  n  <->  ( (
j  +  1 )  e.  Prime  /\  (
j  +  1 ) 
||  n ) ) )
236235rabbidv 2940 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  ( ZZ>= `  K )
)  /\  ( j  +  1 )  e. 
Prime )  ->  { n  e.  ( 1 ... N
)  |  ( j  +  1 )  ||  n }  =  {
n  e.  ( 1 ... N )  |  ( ( j  +  1 )  e.  Prime  /\  ( j  +  1 )  ||  n ) } )
237233, 236eqtr4d 2470 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  ( ZZ>= `  K )
)  /\  ( j  +  1 )  e. 
Prime )  ->  ( W `
 ( j  +  1 ) )  =  { n  e.  ( 1 ... N )  |  ( j  +  1 )  ||  n } )
238237fveq2d 5724 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  ( ZZ>= `  K )
)  /\  ( j  +  1 )  e. 
Prime )  ->  ( # `  ( W `  (
j  +  1 ) ) )  =  (
# `  { n  e.  ( 1 ... N
)  |  ( j  +  1 )  ||  n } ) )
239 iftrue 3737 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( j  +  1 )  e.  Prime  ->  if ( ( j  +  1 )  e.  Prime ,  ( 1  /  ( j  +  1 ) ) ,  0 )  =  ( 1  /  (
j  +  1 ) ) )
240239adantl 453 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  ( ZZ>= `  K )
)  /\  ( j  +  1 )  e. 
Prime )  ->  if ( ( j  +  1 )  e.  Prime ,  ( 1  /  ( j  +  1 ) ) ,  0 )  =  ( 1  /  (
j  +  1 ) ) )
241240oveq2d 6089 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  ( ZZ>= `  K )
)  /\  ( j  +  1 )  e. 
Prime )  ->  ( N  x.  if ( ( j  +  1 )  e.  Prime ,  ( 1  /  ( j  +  1 ) ) ,  0 ) )  =  ( N  x.  (
1  /  ( j  +  1 ) ) ) )
242225, 238, 2413brtr4d 4234 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  ( ZZ>= `  K )
)  /\  ( j  +  1 )  e. 
Prime )  ->  ( # `  ( W `  (
j  +  1 ) ) )  <_  ( N  x.  if (
( j  +  1 )  e.  Prime ,  ( 1  /  ( j  +  1 ) ) ,  0 ) ) )
24329a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  ( ZZ>= `  K )
)  /\  -.  (
j  +  1 )  e.  Prime )  ->  0  <_  0 )
244 simpl 444 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( j  +  1 )  e.  Prime  /\  (
j  +  1 ) 
||  n )  -> 
( j  +  1 )  e.  Prime )
245244con3i 129 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( -.  ( j  +  1 )  e.  Prime  ->  -.  ( ( j  +  1 )  e.  Prime  /\  ( j  +  1 )  ||  n ) )
246245ralrimivw 2782 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( -.  ( j  +  1 )  e.  Prime  ->  A. n  e.  ( 1 ... N )  -.  ( ( j  +  1 )  e.  Prime  /\  ( j  +  1 )  ||  n ) )
247 rabeq0 3641 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( { n  e.  ( 1 ... N )  |  ( ( j  +  1 )  e.  Prime  /\  ( j  +  1 )  ||  n ) }  =  (/)  <->  A. n  e.  ( 1 ... N
)  -.  ( ( j  +  1 )  e.  Prime  /\  (
j  +  1 ) 
||  n ) )
248246, 247sylibr 204 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( -.  ( j  +  1 )  e.  Prime  ->  { n  e.  ( 1 ... N )  |  ( ( j  +  1 )  e.  Prime  /\  ( j  +  1 )  ||  n ) }  =  (/) )
249232, 248sylan9eq 2487 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  ( ZZ>= `  K )
)  /\  -.  (
j  +  1 )  e.  Prime )  ->  ( W `  ( j  +  1 ) )  =  (/) )
250249fveq2d 5724 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  ( ZZ>= `  K )
)  /\  -.  (
j  +  1 )  e.  Prime )  ->  ( # `
 ( W `  ( j  +  1 ) ) )  =  ( # `  (/) ) )
251250, 46syl6eq 2483 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  ( ZZ>= `  K )
)  /\  -.  (
j  +  1 )  e.  Prime )  ->  ( # `
 ( W `  ( j  +  1 ) ) )  =  0 )
252 iffalse 3738 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( -.  ( j  +  1 )  e.  Prime  ->  if ( ( j  +  1 )  e.  Prime ,  ( 1  /  (
j  +  1 ) ) ,  0 )  =  0 )
253252oveq2d 6089 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( -.  ( j  +  1 )  e.  Prime  ->  ( N  x.  if ( ( j  +  1 )  e.  Prime ,  ( 1  /  ( j  +  1 ) ) ,  0 ) )  =  ( N  x.  0 ) )
25432adantr 452 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( ZZ>= `  K )
)  ->  ( N  x.  0 )  =  0 )
255253, 254sylan9eqr 2489 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  ( ZZ>= `  K )
)  /\  -.  (
j  +  1 )  e.  Prime )  ->  ( N  x.  if (
( j  +  1 )  e.  Prime ,  ( 1  /  ( j  +  1 ) ) ,  0 ) )  =  0 )
256243, 251, 2553brtr4d 4234 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  ( ZZ>= `  K )
)  /\  -.  (
j  +  1 )  e.  Prime )  ->  ( # `
 ( W `  ( j  +  1 ) ) )  <_ 
( N  x.  if ( ( j  +  1 )  e.  Prime ,  ( 1  /  (
j  +  1 ) ) ,  0 ) ) )
257242, 256pm2.61dan 767 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( ZZ>= `  K )
)  ->  ( # `  ( W `  ( j  +  1 ) ) )  <_  ( N  x.  if ( ( j  +  1 )  e. 
Prime ,  ( 1  /  ( j  +  1 ) ) ,  0 ) ) )
258155, 100, 81, 257leadd2dd 9633 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( ZZ>= `  K )
)  ->  ( ( # `
 U_ k  e.  ( ( K  +  1 ) ... j ) ( W `  k
) )  +  (
# `  ( W `  ( j  +  1 ) ) ) )  <_  ( ( # `  U_ k  e.  ( ( K  +  1 ) ... j ) ( W `  k
) )  +  ( N  x.  if ( ( j  +  1 )  e.  Prime ,  ( 1  /  ( j  +  1 ) ) ,  0 ) ) ) )
259141, 156, 157, 178, 258letrd 9219 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( ZZ>= `  K )
)  ->  ( # `  U_ k  e.  ( ( K  + 
1 ) ... (
j  +  1 ) ) ( W `  k ) )  <_ 
( ( # `  U_ k  e.  ( ( K  + 
1 ) ... j
) ( W `  k ) )  +  ( N  x.  if ( ( j  +  1 )  e.  Prime ,  ( 1  /  (
j  +  1 ) ) ,  0 ) ) ) )
260 fzfid 11304 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( ZZ>= `  K )
)  ->  ( ( K  +  1 ) ... ( j  +  1 ) )  e. 
Fin )
26159, 90syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( K  +  1 ) ) )  ->  if (
k  e.  Prime ,  ( 1  /  k ) ,  0 )  e.  RR )
262104, 105, 261syl2an 464 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  ( ZZ>= `  K )
)  /\  k  e.  ( ( K  + 
1 ) ... (
j  +  1 ) ) )  ->  if ( k  e.  Prime ,  ( 1  /  k
) ,  0 )  e.  RR )
263260, 262fsumrecl 12520 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( ZZ>= `  K )
)  ->  sum_ k  e.  ( ( K  + 
1 ) ... (
j  +  1 ) ) if ( k  e.  Prime ,  ( 1  /  k ) ,  0 )  e.  RR )
26483, 263remulcld 9108 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( ZZ>= `  K )
)  ->  ( N  x.  sum_ k  e.  ( ( K  +  1 ) ... ( j  +  1 ) ) if ( k  e. 
Prime ,  ( 1  /  k ) ,  0 ) )  e.  RR )
265 letr 9159 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( # `  U_ k  e.  ( ( K  + 
1 ) ... (
j  +  1 ) ) ( W `  k ) )  e.  RR  /\  ( (
# `  U_ k  e.  ( ( K  + 
1 ) ... j
) ( W `  k ) )  +  ( N  x.  if ( ( j  +  1 )  e.  Prime ,  ( 1  /  (
j  +  1 ) ) ,  0 ) ) )  e.  RR  /\  ( N  x.  sum_ k  e.  ( ( K  +  1 ) ... ( j  +  1 ) ) if ( k  e.  Prime ,  ( 1  /  k
) ,  0 ) )  e.  RR )  ->  ( ( (
# `  U_ k  e.  ( ( K  + 
1 ) ... (
j  +  1 ) ) ( W `  k ) )  <_ 
( ( # `  U_ k  e.  ( ( K  + 
1 ) ... j
) ( W `  k ) )  +  ( N  x.  if ( ( j  +  1 )  e.  Prime ,  ( 1  /  (
j  +  1 ) ) ,  0 ) ) )  /\  (
( # `  U_ k  e.  ( ( K  + 
1 ) ... j
) ( W `  k ) )  +  ( N  x.  if ( ( j  +  1 )  e.  Prime ,  ( 1  /  (
j  +  1 ) ) ,  0 ) ) )  <_  ( N  x.  sum_ k  e.  ( ( K  + 
1 ) ... (
j  +  1 ) ) if ( k  e.  Prime ,  ( 1  /  k ) ,  0 ) ) )  ->  ( # `  U_ k  e.  ( ( K  + 
1 ) ... (
j  +  1 ) ) ( W `  k ) )  <_ 
( N  x.  sum_ k  e.  ( ( K  +  1 ) ... ( j  +  1 ) ) if ( k  e.  Prime ,  ( 1  /  k
) ,  0 ) ) ) )
266141, 157, 264, 265syl3anc 1184 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( ZZ>= `  K )
)  ->  ( (
( # `  U_ k  e.  ( ( K  + 
1 ) ... (
j  +  1 ) ) ( W `  k ) )  <_ 
( ( # `  U_ k  e.  ( ( K  + 
1 ) ... j
) ( W `  k ) )  +  ( N  x.  if ( ( j  +  1 )  e.  Prime ,  ( 1  /  (
j  +  1 ) ) ,  0 ) ) )  /\  (
( # `  U_ k  e.  ( ( K  + 
1 ) ... j
) ( W `  k ) )  +  ( N  x.  if ( ( j  +  1 )  e.  Prime ,  ( 1  /  (
j  +  1 ) ) ,  0 ) ) )  <_  ( N  x.  sum_ k  e.  ( ( K  + 
1 ) ... (
j  +  1 ) ) if ( k  e.  Prime ,  ( 1  /  k ) ,  0 ) ) )  ->  ( # `  U_ k  e.  ( ( K  + 
1 ) ... (
j  +  1 ) ) ( W `  k ) )  <_ 
( N  x.  sum_ k  e.  ( ( K  +  1 ) ... ( j  +  1 ) ) if ( k  e.  Prime ,  ( 1  /  k
) ,  0 ) ) ) )
267259, 266mpand 657 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( ZZ>= `  K )
)  ->  ( (
( # `  U_ k  e.  ( ( K  + 
1 ) ... j
) ( W `  k ) )  +  ( N  x.  if ( ( j  +  1 )  e.  Prime ,  ( 1  /  (
j  +  1 ) ) ,  0 ) ) )  <_  ( N  x.  sum_ k  e.  ( ( K  + 
1 ) ... (
j  +  1 ) ) if ( k  e.  Prime ,  ( 1  /  k ) ,  0 ) )  -> 
( # `  U_ k  e.  ( ( K  + 
1 ) ... (
j  +  1 ) ) ( W `  k ) )  <_ 
( N  x.  sum_ k  e.  ( ( K  +  1 ) ... ( j  +  1 ) ) if ( k  e.  Prime ,  ( 1  /  k
) ,  0 ) ) ) )
268131, 267sylbid 207 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( ZZ>= `  K )
)  ->  ( ( # `
 U_ k  e.  ( ( K  +  1 ) ... j ) ( W `  k
) )  <_  ( N  x.  sum_ k  e.  ( ( K  + 
1 ) ... j
) if ( k  e.  Prime ,  ( 1  /  k ) ,  0 ) )  -> 
( # `  U_ k  e.  ( ( K  + 
1 ) ... (
j  +  1 ) ) ( W `  k ) )  <_ 
( N  x.  sum_ k  e.  ( ( K  +  1 ) ... ( j  +  1 ) ) if ( k  e.  Prime ,  ( 1  /  k
) ,  0 ) ) ) )
269268expcom 425 . . . 4  |-  ( j  e.  ( ZZ>= `  K
)  ->  ( ph  ->  ( ( # `  U_ k  e.  ( ( K  + 
1 ) ... j
) ( W `  k ) )  <_ 
( N  x.  sum_ k  e.  ( ( K  +  1 ) ... j ) if ( k  e.  Prime ,  ( 1  /  k
) ,  0 ) )  ->  ( # `  U_ k  e.  ( ( K  + 
1 ) ... (
j  +  1 ) ) ( W `  k ) )  <_ 
( N  x.  sum_ k  e.  ( ( K  +  1 ) ... ( j  +  1 ) ) if ( k  e.  Prime ,  ( 1  /  k
) ,  0 ) ) ) ) )
270269a2d 24 . . 3  |-  ( j  e.  ( ZZ>= `  K
)  ->  ( ( ph  ->  ( # `  U_ k  e.  ( ( K  + 
1 ) ... j
) ( W `  k ) )  <_ 
( N  x.  sum_ k  e.  ( ( K  +  1 ) ... j ) if ( k  e.  Prime ,  ( 1  /  k
) ,  0 ) ) )  ->  ( ph  ->  ( # `  U_ k  e.  ( ( K  + 
1 ) ... (
j  +  1 ) ) ( W `  k ) )  <_ 
( N  x.  sum_ k  e.  ( ( K  +  1 ) ... ( j  +  1 ) ) if ( k  e.  Prime ,  ( 1  /  k
) ,  0 ) ) ) ) )
2717, 14, 21, 28, 53, 270uzind4 10526 . 2  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  K
)  ->  ( ph  ->  ( # `  U_ k  e.  ( ( K  + 
1 ) ... N
) ( W `  k ) )  <_ 
( N  x.  sum_ k  e.  ( ( K  +  1 ) ... N ) if ( k  e.  Prime ,  ( 1  /  k
) ,  0 ) ) ) )
272271com12 29 1  |-  ( ph  ->  ( N  e.  (
ZZ>= `  K )  -> 
( # `  U_ k  e.  ( ( K  + 
1 ) ... N
) ( W `  k ) )  <_ 
( N  x.  sum_ k  e.  ( ( K  +  1 ) ... N ) if ( k  e.  Prime ,  ( 1  /  k
) ,  0 ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    = wceq 1652    e. wcel 1725   A.wral 2697   {crab 2701    \ cdif 3309    u. cun 3310    C_ wss 3312   (/)c0 3620   ifcif 3731   {csn 3806   U_ciun 4085   class class class wbr 4204    e. cmpt 4258   dom cdm 4870   ` cfv 5446  (class class class)co 6073   Fincfn 7101   CCcc 8980   RRcr 8981   0cc0 8982   1c1 8983    + caddc 8985    x. cmul 8987    < clt 9112    <_ cle 9113    - cmin 9283    / cdiv 9669   NNcn 9992   2c2 10041   NN0cn0 10213   ZZcz 10274   ZZ>=cuz 10480   ...cfz 11035   |_cfl 11193    seq cseq 11315   #chash 11610    ~~> cli 12270   sum_csu 12471    || cdivides 12844   Primecprime 13071
This theorem is referenced by:  prmreclem5  13280
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-inf2 7588  ax-cnex 9038  ax-resscn 9039  ax-1cn 9040  ax-icn 9041  ax-addcl 9042  ax-addrcl 9043  ax-mulcl 9044  ax-mulrcl 9045  ax-mulcom 9046  ax-addass 9047  ax-mulass 9048  ax-distr 9049  ax-i2m1 9050  ax-1ne0 9051  ax-1rid 9052  ax-rnegex 9053  ax-rrecex 9054  ax-cnre 9055  ax-pre-lttri 9056  ax-pre-lttrn 9057  ax-pre-ltadd 9058  ax-pre-mulgt0 9059  ax-pre-sup 9060
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rmo 2705  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-int 4043  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-se 4534  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-isom 5455  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-1st 6341  df-2nd 6342  df-riota 6541  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-1o 6716  df-oadd 6720  df-er 6897  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-fin 7105  df-sup 7438  df-oi 7471  df-card 7818  df-cda 8040  df-pnf 9114  df-mnf 9115  df-xr 9116  df-ltxr 9117  df-le 9118  df-sub 9285  df-neg 9286  df-div 9670  df-nn 9993  df-2 10050  df-3 10051  df-n0 10214  df-z 10275  df-uz 10481  df-rp 10605  df-fz 11036  df-fzo 11128  df-fl 11194  df-seq 11316  df-exp 11375  df-hash 11611  df-cj 11896  df-re 11897  df-im 11898  df-sqr 12032  df-abs 12033  df-clim 12274  df-sum 12472  df-dvds 12845  df-prm 13072
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