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Theorem prmreclem4 12982
Description: Lemma for prmrec 12985. Show by induction that the indexed (nondisjoint) union  W `  k is at most the size of the prime reciprocal series. The key counting lemma is hashdvds 12859, to show that the number of numbers in  1 ... N that divide  k is at most  N  /  k. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
prmrec.1  |-  F  =  ( n  e.  NN  |->  if ( n  e.  Prime ,  ( 1  /  n
) ,  0 ) )
prmrec.2  |-  ( ph  ->  K  e.  NN )
prmrec.3  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
prmrec.4  |-  M  =  { n  e.  ( 1 ... N )  |  A. p  e.  ( Prime  \  (
1 ... K ) )  -.  p  ||  n }
prmrec.5  |-  ( ph  ->  seq  1 (  +  ,  F )  e. 
dom 
~~>  )
prmrec.6  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  (
ZZ>= `  ( K  + 
1 ) ) if ( k  e.  Prime ,  ( 1  /  k
) ,  0 )  <  ( 1  / 
2 ) )
prmrec.7  |-  W  =  ( p  e.  NN  |->  { n  e.  (
1 ... N )  |  ( p  e.  Prime  /\  p  ||  n ) } )
Assertion
Ref Expression
prmreclem4  |-  ( ph  ->  ( N  e.  (
ZZ>= `  K )  -> 
( # `  U_ k  e.  ( ( K  + 
1 ) ... N
) ( W `  k ) )  <_ 
( N  x.  sum_ k  e.  ( ( K  +  1 ) ... N ) if ( k  e.  Prime ,  ( 1  /  k
) ,  0 ) ) ) )
Distinct variable groups:    k, n, p, F    k, K, n, p    k, M, n, p    ph, k, n, p   
k, W    k, N, n, p
Allowed substitution hints:    W( n, p)

Proof of Theorem prmreclem4
Dummy variables  j  x are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq2 5882 . . . . . . 7  |-  ( x  =  K  ->  (
( K  +  1 ) ... x )  =  ( ( K  +  1 ) ... K ) )
21iuneq1d 3944 . . . . . 6  |-  ( x  =  K  ->  U_ k  e.  ( ( K  + 
1 ) ... x
) ( W `  k )  =  U_ k  e.  ( ( K  +  1 ) ... K ) ( W `  k ) )
32fveq2d 5545 . . . . 5  |-  ( x  =  K  ->  ( # `
 U_ k  e.  ( ( K  +  1 ) ... x ) ( W `  k
) )  =  (
# `  U_ k  e.  ( ( K  + 
1 ) ... K
) ( W `  k ) ) )
41sumeq1d 12190 . . . . . 6  |-  ( x  =  K  ->  sum_ k  e.  ( ( K  + 
1 ) ... x
) if ( k  e.  Prime ,  ( 1  /  k ) ,  0 )  =  sum_ k  e.  ( ( K  +  1 ) ... K ) if ( k  e.  Prime ,  ( 1  /  k
) ,  0 ) )
54oveq2d 5890 . . . . 5  |-  ( x  =  K  ->  ( N  x.  sum_ k  e.  ( ( K  + 
1 ) ... x
) if ( k  e.  Prime ,  ( 1  /  k ) ,  0 ) )  =  ( N  x.  sum_ k  e.  ( ( K  +  1 ) ... K ) if ( k  e.  Prime ,  ( 1  /  k
) ,  0 ) ) )
63, 5breq12d 4052 . . . 4  |-  ( x  =  K  ->  (
( # `  U_ k  e.  ( ( K  + 
1 ) ... x
) ( W `  k ) )  <_ 
( N  x.  sum_ k  e.  ( ( K  +  1 ) ... x ) if ( k  e.  Prime ,  ( 1  /  k
) ,  0 ) )  <->  ( # `  U_ k  e.  ( ( K  + 
1 ) ... K
) ( W `  k ) )  <_ 
( N  x.  sum_ k  e.  ( ( K  +  1 ) ... K ) if ( k  e.  Prime ,  ( 1  /  k
) ,  0 ) ) ) )
76imbi2d 307 . . 3  |-  ( x  =  K  ->  (
( ph  ->  ( # `  U_ k  e.  ( ( K  +  1 ) ... x ) ( W `  k
) )  <_  ( N  x.  sum_ k  e.  ( ( K  + 
1 ) ... x
) if ( k  e.  Prime ,  ( 1  /  k ) ,  0 ) ) )  <-> 
( ph  ->  ( # `  U_ k  e.  ( ( K  +  1 ) ... K ) ( W `  k
) )  <_  ( N  x.  sum_ k  e.  ( ( K  + 
1 ) ... K
) if ( k  e.  Prime ,  ( 1  /  k ) ,  0 ) ) ) ) )
8 oveq2 5882 . . . . . . 7  |-  ( x  =  j  ->  (
( K  +  1 ) ... x )  =  ( ( K  +  1 ) ... j ) )
98iuneq1d 3944 . . . . . 6  |-  ( x  =  j  ->  U_ k  e.  ( ( K  + 
1 ) ... x
) ( W `  k )  =  U_ k  e.  ( ( K  +  1 ) ... j ) ( W `  k ) )
109fveq2d 5545 . . . . 5  |-  ( x  =  j  ->  ( # `
 U_ k  e.  ( ( K  +  1 ) ... x ) ( W `  k
) )  =  (
# `  U_ k  e.  ( ( K  + 
1 ) ... j
) ( W `  k ) ) )
118sumeq1d 12190 . . . . . 6  |-  ( x  =  j  ->  sum_ k  e.  ( ( K  + 
1 ) ... x
) if ( k  e.  Prime ,  ( 1  /  k ) ,  0 )  =  sum_ k  e.  ( ( K  +  1 ) ... j ) if ( k  e.  Prime ,  ( 1  /  k
) ,  0 ) )
1211oveq2d 5890 . . . . 5  |-  ( x  =  j  ->  ( N  x.  sum_ k  e.  ( ( K  + 
1 ) ... x
) if ( k  e.  Prime ,  ( 1  /  k ) ,  0 ) )  =  ( N  x.  sum_ k  e.  ( ( K  +  1 ) ... j ) if ( k  e.  Prime ,  ( 1  /  k
) ,  0 ) ) )
1310, 12breq12d 4052 . . . 4  |-  ( x  =  j  ->  (
( # `  U_ k  e.  ( ( K  + 
1 ) ... x
) ( W `  k ) )  <_ 
( N  x.  sum_ k  e.  ( ( K  +  1 ) ... x ) if ( k  e.  Prime ,  ( 1  /  k
) ,  0 ) )  <->  ( # `  U_ k  e.  ( ( K  + 
1 ) ... j
) ( W `  k ) )  <_ 
( N  x.  sum_ k  e.  ( ( K  +  1 ) ... j ) if ( k  e.  Prime ,  ( 1  /  k
) ,  0 ) ) ) )
1413imbi2d 307 . . 3  |-  ( x  =  j  ->  (
( ph  ->  ( # `  U_ k  e.  ( ( K  +  1 ) ... x ) ( W `  k
) )  <_  ( N  x.  sum_ k  e.  ( ( K  + 
1 ) ... x
) if ( k  e.  Prime ,  ( 1  /  k ) ,  0 ) ) )  <-> 
( ph  ->  ( # `  U_ k  e.  ( ( K  +  1 ) ... j ) ( W `  k
) )  <_  ( N  x.  sum_ k  e.  ( ( K  + 
1 ) ... j
) if ( k  e.  Prime ,  ( 1  /  k ) ,  0 ) ) ) ) )
15 oveq2 5882 . . . . . . 7  |-  ( x  =  ( j  +  1 )  ->  (
( K  +  1 ) ... x )  =  ( ( K  +  1 ) ... ( j  +  1 ) ) )
1615iuneq1d 3944 . . . . . 6  |-  ( x  =  ( j  +  1 )  ->  U_ k  e.  ( ( K  + 
1 ) ... x
) ( W `  k )  =  U_ k  e.  ( ( K  +  1 ) ... ( j  +  1 ) ) ( W `  k ) )
1716fveq2d 5545 . . . . 5  |-  ( x  =  ( j  +  1 )  ->  ( # `
 U_ k  e.  ( ( K  +  1 ) ... x ) ( W `  k
) )  =  (
# `  U_ k  e.  ( ( K  + 
1 ) ... (
j  +  1 ) ) ( W `  k ) ) )
1815sumeq1d 12190 . . . . . 6  |-  ( x  =  ( j  +  1 )  ->  sum_ k  e.  ( ( K  + 
1 ) ... x
) if ( k  e.  Prime ,  ( 1  /  k ) ,  0 )  =  sum_ k  e.  ( ( K  +  1 ) ... ( j  +  1 ) ) if ( k  e.  Prime ,  ( 1  /  k
) ,  0 ) )
1918oveq2d 5890 . . . . 5  |-  ( x  =  ( j  +  1 )  ->  ( N  x.  sum_ k  e.  ( ( K  + 
1 ) ... x
) if ( k  e.  Prime ,  ( 1  /  k ) ,  0 ) )  =  ( N  x.  sum_ k  e.  ( ( K  +  1 ) ... ( j  +  1 ) ) if ( k  e.  Prime ,  ( 1  /  k
) ,  0 ) ) )
2017, 19breq12d 4052 . . . 4  |-  ( x  =  ( j  +  1 )  ->  (
( # `  U_ k  e.  ( ( K  + 
1 ) ... x
) ( W `  k ) )  <_ 
( N  x.  sum_ k  e.  ( ( K  +  1 ) ... x ) if ( k  e.  Prime ,  ( 1  /  k
) ,  0 ) )  <->  ( # `  U_ k  e.  ( ( K  + 
1 ) ... (
j  +  1 ) ) ( W `  k ) )  <_ 
( N  x.  sum_ k  e.  ( ( K  +  1 ) ... ( j  +  1 ) ) if ( k  e.  Prime ,  ( 1  /  k
) ,  0 ) ) ) )
2120imbi2d 307 . . 3  |-  ( x  =  ( j  +  1 )  ->  (
( ph  ->  ( # `  U_ k  e.  ( ( K  +  1 ) ... x ) ( W `  k
) )  <_  ( N  x.  sum_ k  e.  ( ( K  + 
1 ) ... x
) if ( k  e.  Prime ,  ( 1  /  k ) ,  0 ) ) )  <-> 
( ph  ->  ( # `  U_ k  e.  ( ( K  +  1 ) ... ( j  +  1 ) ) ( W `  k
) )  <_  ( N  x.  sum_ k  e.  ( ( K  + 
1 ) ... (
j  +  1 ) ) if ( k  e.  Prime ,  ( 1  /  k ) ,  0 ) ) ) ) )
22 oveq2 5882 . . . . . . 7  |-  ( x  =  N  ->  (
( K  +  1 ) ... x )  =  ( ( K  +  1 ) ... N ) )
2322iuneq1d 3944 . . . . . 6  |-  ( x  =  N  ->  U_ k  e.  ( ( K  + 
1 ) ... x
) ( W `  k )  =  U_ k  e.  ( ( K  +  1 ) ... N ) ( W `  k ) )
2423fveq2d 5545 . . . . 5  |-  ( x  =  N  ->  ( # `
 U_ k  e.  ( ( K  +  1 ) ... x ) ( W `  k
) )  =  (
# `  U_ k  e.  ( ( K  + 
1 ) ... N
) ( W `  k ) ) )
2522sumeq1d 12190 . . . . . 6  |-  ( x  =  N  ->  sum_ k  e.  ( ( K  + 
1 ) ... x
) if ( k  e.  Prime ,  ( 1  /  k ) ,  0 )  =  sum_ k  e.  ( ( K  +  1 ) ... N ) if ( k  e.  Prime ,  ( 1  /  k
) ,  0 ) )
2625oveq2d 5890 . . . . 5  |-  ( x  =  N  ->  ( N  x.  sum_ k  e.  ( ( K  + 
1 ) ... x
) if ( k  e.  Prime ,  ( 1  /  k ) ,  0 ) )  =  ( N  x.  sum_ k  e.  ( ( K  +  1 ) ... N ) if ( k  e.  Prime ,  ( 1  /  k
) ,  0 ) ) )
2724, 26breq12d 4052 . . . 4  |-  ( x  =  N  ->  (
( # `  U_ k  e.  ( ( K  + 
1 ) ... x
) ( W `  k ) )  <_ 
( N  x.  sum_ k  e.  ( ( K  +  1 ) ... x ) if ( k  e.  Prime ,  ( 1  /  k
) ,  0 ) )  <->  ( # `  U_ k  e.  ( ( K  + 
1 ) ... N
) ( W `  k ) )  <_ 
( N  x.  sum_ k  e.  ( ( K  +  1 ) ... N ) if ( k  e.  Prime ,  ( 1  /  k
) ,  0 ) ) ) )
2827imbi2d 307 . . 3  |-  ( x  =  N  ->  (
( ph  ->  ( # `  U_ k  e.  ( ( K  +  1 ) ... x ) ( W `  k
) )  <_  ( N  x.  sum_ k  e.  ( ( K  + 
1 ) ... x
) if ( k  e.  Prime ,  ( 1  /  k ) ,  0 ) ) )  <-> 
( ph  ->  ( # `  U_ k  e.  ( ( K  +  1 ) ... N ) ( W `  k
) )  <_  ( N  x.  sum_ k  e.  ( ( K  + 
1 ) ... N
) if ( k  e.  Prime ,  ( 1  /  k ) ,  0 ) ) ) ) )
29 0le0 9843 . . . . . 6  |-  0  <_  0
30 prmrec.3 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
3130nncnd 9778 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  N  e.  CC )
3231mul01d 9027 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( N  x.  0 )  =  0 )
3329, 32syl5breqr 4075 . . . . 5  |-  ( ph  ->  0  <_  ( N  x.  0 ) )
34 prmrec.2 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  K  e.  NN )
3534nnred 9777 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  K  e.  RR )
3635ltp1d 9703 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  K  <  ( K  +  1 ) )
3734nnzd 10132 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  K  e.  ZZ )
3837peano2zd 10136 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( K  +  1 )  e.  ZZ )
39 fzn 10826 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( K  +  1 )  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( K  <  ( K  +  1 )  <-> 
( ( K  + 
1 ) ... K
)  =  (/) ) )
4038, 37, 39syl2anc 642 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( K  <  ( K  +  1 )  <-> 
( ( K  + 
1 ) ... K
)  =  (/) ) )
4136, 40mpbid 201 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( K  + 
1 ) ... K
)  =  (/) )
4241iuneq1d 3944 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  U_ k  e.  ( ( K  +  1 ) ... K ) ( W `  k
)  =  U_ k  e.  (/)  ( W `  k ) )
43 0iun 3975 . . . . . . . 8  |-  U_ k  e.  (/)  ( W `  k )  =  (/)
4442, 43syl6eq 2344 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  U_ k  e.  ( ( K  +  1 ) ... K ) ( W `  k
)  =  (/) )
4544fveq2d 5545 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( # `  U_ k  e.  ( ( K  + 
1 ) ... K
) ( W `  k ) )  =  ( # `  (/) ) )
46 hash0 11371 . . . . . 6  |-  ( # `  (/) )  =  0
4745, 46syl6eq 2344 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( # `  U_ k  e.  ( ( K  + 
1 ) ... K
) ( W `  k ) )  =  0 )
4841sumeq1d 12190 . . . . . . 7  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  ( ( K  +  1 ) ... K ) if ( k  e. 
Prime ,  ( 1  /  k ) ,  0 )  =  sum_ k  e.  (/)  if ( k  e.  Prime ,  ( 1  /  k ) ,  0 ) )
49 sum0 12210 . . . . . . 7  |-  sum_ k  e.  (/)  if ( k  e.  Prime ,  ( 1  /  k ) ,  0 )  =  0
5048, 49syl6eq 2344 . . . . . 6  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  ( ( K  +  1 ) ... K ) if ( k  e. 
Prime ,  ( 1  /  k ) ,  0 )  =  0 )
5150oveq2d 5890 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( N  x.  sum_ k  e.  ( ( K  +  1 ) ... K ) if ( k  e.  Prime ,  ( 1  /  k
) ,  0 ) )  =  ( N  x.  0 ) )
5233, 47, 513brtr4d 4069 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( # `  U_ k  e.  ( ( K  + 
1 ) ... K
) ( W `  k ) )  <_ 
( N  x.  sum_ k  e.  ( ( K  +  1 ) ... K ) if ( k  e.  Prime ,  ( 1  /  k
) ,  0 ) ) )
5352a1i 10 . . 3  |-  ( K  e.  ZZ  ->  ( ph  ->  ( # `  U_ k  e.  ( ( K  + 
1 ) ... K
) ( W `  k ) )  <_ 
( N  x.  sum_ k  e.  ( ( K  +  1 ) ... K ) if ( k  e.  Prime ,  ( 1  /  k
) ,  0 ) ) ) )
54 fzfi 11050 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 1 ... N )  e. 
Fin
55 elfzuz 10810 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( k  e.  ( ( K  +  1 ) ... j )  ->  k  e.  ( ZZ>= `  ( K  +  1 ) ) )
5634peano2nnd 9779 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( K  +  1 )  e.  NN )
57 nnuz 10279 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
5857uztrn2 10261 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( K  +  1 )  e.  NN  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( K  +  1
) ) )  -> 
k  e.  NN )
5956, 58sylan 457 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( K  +  1 ) ) )  ->  k  e.  NN )
60 eleq1 2356 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( p  =  k  ->  (
p  e.  Prime  <->  k  e.  Prime ) )
61 breq1 4042 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( p  =  k  ->  (
p  ||  n  <->  k  ||  n ) )
6260, 61anbi12d 691 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( p  =  k  ->  (
( p  e.  Prime  /\  p  ||  n )  <-> 
( k  e.  Prime  /\  k  ||  n ) ) )
6362rabbidv 2793 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( p  =  k  ->  { n  e.  ( 1 ... N
)  |  ( p  e.  Prime  /\  p  ||  n ) }  =  { n  e.  (
1 ... N )  |  ( k  e.  Prime  /\  k  ||  n ) } )
64 prmrec.7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  W  =  ( p  e.  NN  |->  { n  e.  (
1 ... N )  |  ( p  e.  Prime  /\  p  ||  n ) } )
65 ovex 5899 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( 1 ... N )  e. 
_V
6665rabex 4181 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  { n  e.  ( 1 ... N
)  |  ( k  e.  Prime  /\  k  ||  n ) }  e.  _V
6763, 64, 66fvmpt 5618 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( k  e.  NN  ->  ( W `  k )  =  { n  e.  ( 1 ... N )  |  ( k  e. 
Prime  /\  k  ||  n
) } )
6867adantl 452 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( W `
 k )  =  { n  e.  ( 1 ... N )  |  ( k  e. 
Prime  /\  k  ||  n
) } )
69 ssrab2 3271 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  { n  e.  ( 1 ... N
)  |  ( k  e.  Prime  /\  k  ||  n ) }  C_  ( 1 ... N
)
7069a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  { n  e.  ( 1 ... N
)  |  ( k  e.  Prime  /\  k  ||  n ) }  C_  ( 1 ... N
) )
7168, 70eqsstrd 3225 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( W `
 k )  C_  ( 1 ... N
) )
7259, 71syldan 456 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( K  +  1 ) ) )  ->  ( W `  k )  C_  (
1 ... N ) )
7355, 72sylan2 460 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ( K  + 
1 ) ... j
) )  ->  ( W `  k )  C_  ( 1 ... N
) )
7473ralrimiva 2639 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  A. k  e.  ( ( K  +  1 ) ... j ) ( W `  k
)  C_  ( 1 ... N ) )
7574adantr 451 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( ZZ>= `  K )
)  ->  A. k  e.  ( ( K  + 
1 ) ... j
) ( W `  k )  C_  (
1 ... N ) )
76 iunss 3959 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( U_ k  e.  ( ( K  +  1 ) ... j ) ( W `  k ) 
C_  ( 1 ... N )  <->  A. k  e.  ( ( K  + 
1 ) ... j
) ( W `  k )  C_  (
1 ... N ) )
7775, 76sylibr 203 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( ZZ>= `  K )
)  ->  U_ k  e.  ( ( K  + 
1 ) ... j
) ( W `  k )  C_  (
1 ... N ) )
78 ssfi 7099 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( 1 ... N
)  e.  Fin  /\  U_ k  e.  ( ( K  +  1 ) ... j ) ( W `  k ) 
C_  ( 1 ... N ) )  ->  U_ k  e.  (
( K  +  1 ) ... j ) ( W `  k
)  e.  Fin )
7954, 77, 78sylancr 644 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( ZZ>= `  K )
)  ->  U_ k  e.  ( ( K  + 
1 ) ... j
) ( W `  k )  e.  Fin )
80 hashcl 11366 . . . . . . . . . 10  |-  ( U_ k  e.  ( ( K  +  1 ) ... j ) ( W `  k )  e.  Fin  ->  ( # `
 U_ k  e.  ( ( K  +  1 ) ... j ) ( W `  k
) )  e.  NN0 )
8179, 80syl 15 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( ZZ>= `  K )
)  ->  ( # `  U_ k  e.  ( ( K  + 
1 ) ... j
) ( W `  k ) )  e. 
NN0 )
8281nn0red 10035 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( ZZ>= `  K )
)  ->  ( # `  U_ k  e.  ( ( K  + 
1 ) ... j
) ( W `  k ) )  e.  RR )
8330nnred 9777 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  N  e.  RR )
8483adantr 451 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( ZZ>= `  K )
)  ->  N  e.  RR )
85 fzfid 11051 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( ZZ>= `  K )
)  ->  ( ( K  +  1 ) ... j )  e. 
Fin )
8656adantr 451 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( ZZ>= `  K )
)  ->  ( K  +  1 )  e.  NN )
8786, 55, 58syl2an 463 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  ( ZZ>= `  K )
)  /\  k  e.  ( ( K  + 
1 ) ... j
) )  ->  k  e.  NN )
88 nnrecre 9798 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  e.  NN  ->  (
1  /  k )  e.  RR )
89 0re 8854 . . . . . . . . . . . 12  |-  0  e.  RR
90 ifcl 3614 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( 1  /  k
)  e.  RR  /\  0  e.  RR )  ->  if ( k  e. 
Prime ,  ( 1  /  k ) ,  0 )  e.  RR )
9188, 89, 90sylancl 643 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  e.  NN  ->  if ( k  e.  Prime ,  ( 1  /  k
) ,  0 )  e.  RR )
9287, 91syl 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  ( ZZ>= `  K )
)  /\  k  e.  ( ( K  + 
1 ) ... j
) )  ->  if ( k  e.  Prime ,  ( 1  /  k
) ,  0 )  e.  RR )
9385, 92fsumrecl 12223 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( ZZ>= `  K )
)  ->  sum_ k  e.  ( ( K  + 
1 ) ... j
) if ( k  e.  Prime ,  ( 1  /  k ) ,  0 )  e.  RR )
9484, 93remulcld 8879 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( ZZ>= `  K )
)  ->  ( N  x.  sum_ k  e.  ( ( K  +  1 ) ... j ) if ( k  e. 
Prime ,  ( 1  /  k ) ,  0 ) )  e.  RR )
95 prmnn 12777 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( j  +  1 )  e.  Prime  ->  ( j  +  1 )  e.  NN )
96 nnrecre 9798 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( j  +  1 )  e.  NN  ->  (
1  /  ( j  +  1 ) )  e.  RR )
9795, 96syl 15 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( j  +  1 )  e.  Prime  ->  ( 1  /  ( j  +  1 ) )  e.  RR )
9897adantl 452 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  ( ZZ>= `  K )
)  /\  ( j  +  1 )  e. 
Prime )  ->  ( 1  /  ( j  +  1 ) )  e.  RR )
9989a1i 10 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  ( ZZ>= `  K )
)  /\  -.  (
j  +  1 )  e.  Prime )  ->  0  e.  RR )
10098, 99ifclda 3605 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( ZZ>= `  K )
)  ->  if (
( j  +  1 )  e.  Prime ,  ( 1  /  ( j  +  1 ) ) ,  0 )  e.  RR )
10184, 100remulcld 8879 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( ZZ>= `  K )
)  ->  ( N  x.  if ( ( j  +  1 )  e. 
Prime ,  ( 1  /  ( j  +  1 ) ) ,  0 ) )  e.  RR )
10282, 94, 101leadd1d 9382 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( ZZ>= `  K )
)  ->  ( ( # `
 U_ k  e.  ( ( K  +  1 ) ... j ) ( W `  k
) )  <_  ( N  x.  sum_ k  e.  ( ( K  + 
1 ) ... j
) if ( k  e.  Prime ,  ( 1  /  k ) ,  0 ) )  <->  ( ( # `
 U_ k  e.  ( ( K  +  1 ) ... j ) ( W `  k
) )  +  ( N  x.  if ( ( j  +  1 )  e.  Prime ,  ( 1  /  ( j  +  1 ) ) ,  0 ) ) )  <_  ( ( N  x.  sum_ k  e.  ( ( K  + 
1 ) ... j
) if ( k  e.  Prime ,  ( 1  /  k ) ,  0 ) )  +  ( N  x.  if ( ( j  +  1 )  e.  Prime ,  ( 1  /  (
j  +  1 ) ) ,  0 ) ) ) ) )
103 eluzp1p1 10269 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( j  e.  ( ZZ>= `  K
)  ->  ( j  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  ( K  +  1 ) ) )
104103adantl 452 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( ZZ>= `  K )
)  ->  ( j  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  ( K  +  1 ) ) )
105 simpl 443 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( ZZ>= `  K )
)  ->  ph )
106 elfzuz 10810 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  e.  ( ( K  +  1 ) ... ( j  +  1 ) )  ->  k  e.  ( ZZ>= `  ( K  +  1 ) ) )
10791recnd 8877 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  e.  NN  ->  if ( k  e.  Prime ,  ( 1  /  k
) ,  0 )  e.  CC )
10859, 107syl 15 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( K  +  1 ) ) )  ->  if (
k  e.  Prime ,  ( 1  /  k ) ,  0 )  e.  CC )
109105, 106, 108syl2an 463 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  ( ZZ>= `  K )
)  /\  k  e.  ( ( K  + 
1 ) ... (
j  +  1 ) ) )  ->  if ( k  e.  Prime ,  ( 1  /  k
) ,  0 )  e.  CC )
110 eleq1 2356 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  =  ( j  +  1 )  ->  (
k  e.  Prime  <->  ( j  +  1 )  e. 
Prime ) )
111 oveq2 5882 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  =  ( j  +  1 )  ->  (
1  /  k )  =  ( 1  / 
( j  +  1 ) ) )
112 eqidd 2297 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  =  ( j  +  1 )  ->  0  =  0 )
113110, 111, 112ifbieq12d 3600 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  =  ( j  +  1 )  ->  if ( k  e.  Prime ,  ( 1  /  k
) ,  0 )  =  if ( ( j  +  1 )  e.  Prime ,  ( 1  /  ( j  +  1 ) ) ,  0 ) )
114104, 109, 113fsumm1 12232 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( ZZ>= `  K )
)  ->  sum_ k  e.  ( ( K  + 
1 ) ... (
j  +  1 ) ) if ( k  e.  Prime ,  ( 1  /  k ) ,  0 )  =  (
sum_ k  e.  ( ( K  +  1 ) ... ( ( j  +  1 )  -  1 ) ) if ( k  e. 
Prime ,  ( 1  /  k ) ,  0 )  +  if ( ( j  +  1 )  e.  Prime ,  ( 1  /  (
j  +  1 ) ) ,  0 ) ) )
115 eluzelz 10254 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( j  e.  ( ZZ>= `  K
)  ->  j  e.  ZZ )
116115adantl 452 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( ZZ>= `  K )
)  ->  j  e.  ZZ )
117116zcnd 10134 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( ZZ>= `  K )
)  ->  j  e.  CC )
118 ax-1cn 8811 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  1  e.  CC
119 pncan 9073 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( j  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  ( ( j  +  1 )  -  1 )  =  j )
120117, 118, 119sylancl 643 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( ZZ>= `  K )
)  ->  ( (
j  +  1 )  -  1 )  =  j )
121120oveq2d 5890 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( ZZ>= `  K )
)  ->  ( ( K  +  1 ) ... ( ( j  +  1 )  - 
1 ) )  =  ( ( K  + 
1 ) ... j
) )
122121sumeq1d 12190 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( ZZ>= `  K )
)  ->  sum_ k  e.  ( ( K  + 
1 ) ... (
( j  +  1 )  -  1 ) ) if ( k  e.  Prime ,  ( 1  /  k ) ,  0 )  =  sum_ k  e.  ( ( K  +  1 ) ... j ) if ( k  e.  Prime ,  ( 1  /  k
) ,  0 ) )
123122oveq1d 5889 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( ZZ>= `  K )
)  ->  ( sum_ k  e.  ( ( K  +  1 ) ... ( ( j  +  1 )  - 
1 ) ) if ( k  e.  Prime ,  ( 1  /  k
) ,  0 )  +  if ( ( j  +  1 )  e.  Prime ,  ( 1  /  ( j  +  1 ) ) ,  0 ) )  =  ( sum_ k  e.  ( ( K  +  1 ) ... j ) if ( k  e. 
Prime ,  ( 1  /  k ) ,  0 )  +  if ( ( j  +  1 )  e.  Prime ,  ( 1  /  (
j  +  1 ) ) ,  0 ) ) )
124114, 123eqtrd 2328 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( ZZ>= `  K )
)  ->  sum_ k  e.  ( ( K  + 
1 ) ... (
j  +  1 ) ) if ( k  e.  Prime ,  ( 1  /  k ) ,  0 )  =  (
sum_ k  e.  ( ( K  +  1 ) ... j ) if ( k  e. 
Prime ,  ( 1  /  k ) ,  0 )  +  if ( ( j  +  1 )  e.  Prime ,  ( 1  /  (
j  +  1 ) ) ,  0 ) ) )
125124oveq2d 5890 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( ZZ>= `  K )
)  ->  ( N  x.  sum_ k  e.  ( ( K  +  1 ) ... ( j  +  1 ) ) if ( k  e. 
Prime ,  ( 1  /  k ) ,  0 ) )  =  ( N  x.  ( sum_ k  e.  ( ( K  +  1 ) ... j ) if ( k  e.  Prime ,  ( 1  /  k
) ,  0 )  +  if ( ( j  +  1 )  e.  Prime ,  ( 1  /  ( j  +  1 ) ) ,  0 ) ) ) )
12631adantr 451 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( ZZ>= `  K )
)  ->  N  e.  CC )
12793recnd 8877 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( ZZ>= `  K )
)  ->  sum_ k  e.  ( ( K  + 
1 ) ... j
) if ( k  e.  Prime ,  ( 1  /  k ) ,  0 )  e.  CC )
128100recnd 8877 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( ZZ>= `  K )
)  ->  if (
( j  +  1 )  e.  Prime ,  ( 1  /  ( j  +  1 ) ) ,  0 )  e.  CC )
129126, 127, 128adddid 8875 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( ZZ>= `  K )
)  ->  ( N  x.  ( sum_ k  e.  ( ( K  +  1 ) ... j ) if ( k  e. 
Prime ,  ( 1  /  k ) ,  0 )  +  if ( ( j  +  1 )  e.  Prime ,  ( 1  /  (
j  +  1 ) ) ,  0 ) ) )  =  ( ( N  x.  sum_ k  e.  ( ( K  +  1 ) ... j ) if ( k  e.  Prime ,  ( 1  /  k
) ,  0 ) )  +  ( N  x.  if ( ( j  +  1 )  e.  Prime ,  ( 1  /  ( j  +  1 ) ) ,  0 ) ) ) )
130125, 129eqtrd 2328 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( ZZ>= `  K )
)  ->  ( N  x.  sum_ k  e.  ( ( K  +  1 ) ... ( j  +  1 ) ) if ( k  e. 
Prime ,  ( 1  /  k ) ,  0 ) )  =  ( ( N  x.  sum_ k  e.  ( ( K  +  1 ) ... j ) if ( k  e.  Prime ,  ( 1  /  k
) ,  0 ) )  +  ( N  x.  if ( ( j  +  1 )  e.  Prime ,  ( 1  /  ( j  +  1 ) ) ,  0 ) ) ) )
131130breq2d 4051 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( ZZ>= `  K )
)  ->  ( (
( # `  U_ k  e.  ( ( K  + 
1 ) ... j
) ( W `  k ) )  +  ( N  x.  if ( ( j  +  1 )  e.  Prime ,  ( 1  /  (
j  +  1 ) ) ,  0 ) ) )  <_  ( N  x.  sum_ k  e.  ( ( K  + 
1 ) ... (
j  +  1 ) ) if ( k  e.  Prime ,  ( 1  /  k ) ,  0 ) )  <->  ( ( # `
 U_ k  e.  ( ( K  +  1 ) ... j ) ( W `  k
) )  +  ( N  x.  if ( ( j  +  1 )  e.  Prime ,  ( 1  /  ( j  +  1 ) ) ,  0 ) ) )  <_  ( ( N  x.  sum_ k  e.  ( ( K  + 
1 ) ... j
) if ( k  e.  Prime ,  ( 1  /  k ) ,  0 ) )  +  ( N  x.  if ( ( j  +  1 )  e.  Prime ,  ( 1  /  (
j  +  1 ) ) ,  0 ) ) ) ) )
132102, 131bitr4d 247 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( ZZ>= `  K )
)  ->  ( ( # `
 U_ k  e.  ( ( K  +  1 ) ... j ) ( W `  k
) )  <_  ( N  x.  sum_ k  e.  ( ( K  + 
1 ) ... j
) if ( k  e.  Prime ,  ( 1  /  k ) ,  0 ) )  <->  ( ( # `
 U_ k  e.  ( ( K  +  1 ) ... j ) ( W `  k
) )  +  ( N  x.  if ( ( j  +  1 )  e.  Prime ,  ( 1  /  ( j  +  1 ) ) ,  0 ) ) )  <_  ( N  x.  sum_ k  e.  ( ( K  +  1 ) ... ( j  +  1 ) ) if ( k  e. 
Prime ,  ( 1  /  k ) ,  0 ) ) ) )
133106, 72sylan2 460 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ( K  + 
1 ) ... (
j  +  1 ) ) )  ->  ( W `  k )  C_  ( 1 ... N
) )
134133ralrimiva 2639 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  A. k  e.  ( ( K  +  1 ) ... ( j  +  1 ) ) ( W `  k
)  C_  ( 1 ... N ) )
135134adantr 451 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( ZZ>= `  K )
)  ->  A. k  e.  ( ( K  + 
1 ) ... (
j  +  1 ) ) ( W `  k )  C_  (
1 ... N ) )
136 iunss 3959 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( U_ k  e.  ( ( K  +  1 ) ... ( j  +  1 ) ) ( W `  k ) 
C_  ( 1 ... N )  <->  A. k  e.  ( ( K  + 
1 ) ... (
j  +  1 ) ) ( W `  k )  C_  (
1 ... N ) )
137135, 136sylibr 203 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( ZZ>= `  K )
)  ->  U_ k  e.  ( ( K  + 
1 ) ... (
j  +  1 ) ) ( W `  k )  C_  (
1 ... N ) )
138 ssfi 7099 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( 1 ... N
)  e.  Fin  /\  U_ k  e.  ( ( K  +  1 ) ... ( j  +  1 ) ) ( W `  k ) 
C_  ( 1 ... N ) )  ->  U_ k  e.  (
( K  +  1 ) ... ( j  +  1 ) ) ( W `  k
)  e.  Fin )
13954, 137, 138sylancr 644 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( ZZ>= `  K )
)  ->  U_ k  e.  ( ( K  + 
1 ) ... (
j  +  1 ) ) ( W `  k )  e.  Fin )
140 hashcl 11366 . . . . . . . . . 10  |-  ( U_ k  e.  ( ( K  +  1 ) ... ( j  +  1 ) ) ( W `  k )  e.  Fin  ->  ( # `
 U_ k  e.  ( ( K  +  1 ) ... ( j  +  1 ) ) ( W `  k
) )  e.  NN0 )
141139, 140syl 15 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( ZZ>= `  K )
)  ->  ( # `  U_ k  e.  ( ( K  + 
1 ) ... (
j  +  1 ) ) ( W `  k ) )  e. 
NN0 )
142141nn0red 10035 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( ZZ>= `  K )
)  ->  ( # `  U_ k  e.  ( ( K  + 
1 ) ... (
j  +  1 ) ) ( W `  k ) )  e.  RR )
14357uztrn2 10261 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( K  e.  NN  /\  j  e.  ( ZZ>= `  K ) )  -> 
j  e.  NN )
14434, 143sylan 457 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( ZZ>= `  K )
)  ->  j  e.  NN )
145144peano2nnd 9779 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( ZZ>= `  K )
)  ->  ( j  +  1 )  e.  NN )
14671ralrimiva 2639 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  A. k  e.  NN  ( W `  k ) 
C_  ( 1 ... N ) )
147146adantr 451 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( ZZ>= `  K )
)  ->  A. k  e.  NN  ( W `  k )  C_  (
1 ... N ) )
148 fveq2 5541 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( k  =  ( j  +  1 )  ->  ( W `  k )  =  ( W `  ( j  +  1 ) ) )
149148sseq1d 3218 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  =  ( j  +  1 )  ->  (
( W `  k
)  C_  ( 1 ... N )  <->  ( W `  ( j  +  1 ) )  C_  (
1 ... N ) ) )
150149rspcv 2893 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( j  +  1 )  e.  NN  ->  ( A. k  e.  NN  ( W `  k ) 
C_  ( 1 ... N )  ->  ( W `  ( j  +  1 ) ) 
C_  ( 1 ... N ) ) )
151145, 147, 150sylc 56 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( ZZ>= `  K )
)  ->  ( W `  ( j  +  1 ) )  C_  (
1 ... N ) )
152 ssfi 7099 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( 1 ... N
)  e.  Fin  /\  ( W `  ( j  +  1 ) ) 
C_  ( 1 ... N ) )  -> 
( W `  (
j  +  1 ) )  e.  Fin )
15354, 151, 152sylancr 644 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( ZZ>= `  K )
)  ->  ( W `  ( j  +  1 ) )  e.  Fin )
154 hashcl 11366 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( W `  ( j  +  1 ) )  e.  Fin  ->  ( # `
 ( W `  ( j  +  1 ) ) )  e. 
NN0 )
155153, 154syl 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( ZZ>= `  K )
)  ->  ( # `  ( W `  ( j  +  1 ) ) )  e.  NN0 )
156155nn0red 10035 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( ZZ>= `  K )
)  ->  ( # `  ( W `  ( j  +  1 ) ) )  e.  RR )
15782, 156readdcld 8878 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( ZZ>= `  K )
)  ->  ( ( # `
 U_ k  e.  ( ( K  +  1 ) ... j ) ( W `  k
) )  +  (
# `  ( W `  ( j  +  1 ) ) ) )  e.  RR )
15882, 101readdcld 8878 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( ZZ>= `  K )
)  ->  ( ( # `
 U_ k  e.  ( ( K  +  1 ) ... j ) ( W `  k
) )  +  ( N  x.  if ( ( j  +  1 )  e.  Prime ,  ( 1  /  ( j  +  1 ) ) ,  0 ) ) )  e.  RR )
15938adantr 451 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( ZZ>= `  K )
)  ->  ( K  +  1 )  e.  ZZ )
160 simpr 447 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( ZZ>= `  K )
)  ->  j  e.  ( ZZ>= `  K )
)
16134nncnd 9778 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  K  e.  CC )
162161adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( ZZ>= `  K )
)  ->  K  e.  CC )
163 pncan 9073 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( K  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  ( ( K  + 
1 )  -  1 )  =  K )
164162, 118, 163sylancl 643 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( ZZ>= `  K )
)  ->  ( ( K  +  1 )  -  1 )  =  K )
165164fveq2d 5545 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( ZZ>= `  K )
)  ->  ( ZZ>= `  ( ( K  + 
1 )  -  1 ) )  =  (
ZZ>= `  K ) )
166160, 165eleqtrrd 2373 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( ZZ>= `  K )
)  ->  j  e.  ( ZZ>= `  ( ( K  +  1 )  -  1 ) ) )
167 fzsuc2 10858 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( K  +  1 )  e.  ZZ  /\  j  e.  ( ZZ>= `  ( ( K  + 
1 )  -  1 ) ) )  -> 
( ( K  + 
1 ) ... (
j  +  1 ) )  =  ( ( ( K  +  1 ) ... j )  u.  { ( j  +  1 ) } ) )
168159, 166, 167syl2anc 642 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( ZZ>= `  K )
)  ->  ( ( K  +  1 ) ... ( j  +  1 ) )  =  ( ( ( K  +  1 ) ... j )  u.  {
( j  +  1 ) } ) )
169168iuneq1d 3944 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( ZZ>= `  K )
)  ->  U_ k  e.  ( ( K  + 
1 ) ... (
j  +  1 ) ) ( W `  k )  =  U_ k  e.  ( (
( K  +  1 ) ... j )  u.  { ( j  +  1 ) } ) ( W `  k ) )
170 iunxun 3999 . . . . . . . . . . . 12  |-  U_ k  e.  ( ( ( K  +  1 ) ... j )  u.  {
( j  +  1 ) } ) ( W `  k )  =  ( U_ k  e.  ( ( K  + 
1 ) ... j
) ( W `  k )  u.  U_ k  e.  { (
j  +  1 ) }  ( W `  k ) )
171 ovex 5899 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( j  +  1 )  e. 
_V
172171, 148iunxsn 3997 . . . . . . . . . . . . 13  |-  U_ k  e.  { ( j  +  1 ) }  ( W `  k )  =  ( W `  ( j  +  1 ) )
173172uneq2i 3339 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( U_ k  e.  ( ( K  +  1 ) ... j ) ( W `  k )  u.  U_ k  e. 
{ ( j  +  1 ) }  ( W `  k )
)  =  ( U_ k  e.  ( ( K  +  1 ) ... j ) ( W `  k )  u.  ( W `  ( j  +  1 ) ) )
174170, 173eqtri 2316 . . . . . . . . . . 11  |-  U_ k  e.  ( ( ( K  +  1 ) ... j )  u.  {
( j  +  1 ) } ) ( W `  k )  =  ( U_ k  e.  ( ( K  + 
1 ) ... j
) ( W `  k )  u.  ( W `  ( j  +  1 ) ) )
175169, 174syl6eq 2344 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( ZZ>= `  K )
)  ->  U_ k  e.  ( ( K  + 
1 ) ... (
j  +  1 ) ) ( W `  k )  =  (
U_ k  e.  ( ( K  +  1 ) ... j ) ( W `  k
)  u.  ( W `
 ( j  +  1 ) ) ) )
176175fveq2d 5545 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( ZZ>= `  K )
)  ->  ( # `  U_ k  e.  ( ( K  + 
1 ) ... (
j  +  1 ) ) ( W `  k ) )  =  ( # `  ( U_ k  e.  (
( K  +  1 ) ... j ) ( W `  k
)  u.  ( W `
 ( j  +  1 ) ) ) ) )
177 hashun2 11381 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
U_ k  e.  ( ( K  +  1 ) ... j ) ( W `  k
)  e.  Fin  /\  ( W `  ( j  +  1 ) )  e.  Fin )  -> 
( # `  ( U_ k  e.  ( ( K  +  1 ) ... j ) ( W `  k )  u.  ( W `  ( j  +  1 ) ) ) )  <_  ( ( # `  U_ k  e.  ( ( K  +  1 ) ... j ) ( W `  k
) )  +  (
# `  ( W `  ( j  +  1 ) ) ) ) )
17879, 153, 177syl2anc 642 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( ZZ>= `  K )
)  ->  ( # `  ( U_ k  e.  (
( K  +  1 ) ... j ) ( W `  k
)  u.  ( W `
 ( j  +  1 ) ) ) )  <_  ( ( # `
 U_ k  e.  ( ( K  +  1 ) ... j ) ( W `  k
) )  +  (
# `  ( W `  ( j  +  1 ) ) ) ) )
179176, 178eqbrtrd 4059 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( ZZ>= `  K )
)  ->  ( # `  U_ k  e.  ( ( K  + 
1 ) ... (
j  +  1 ) ) ( W `  k ) )  <_ 
( ( # `  U_ k  e.  ( ( K  + 
1 ) ... j
) ( W `  k ) )  +  ( # `  ( W `  ( j  +  1 ) ) ) ) )
18084, 145nndivred 9810 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( ZZ>= `  K )
)  ->  ( N  /  ( j  +  1 ) )  e.  RR )
181 flle 10947 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( N  /  ( j  +  1 ) )  e.  RR  ->  ( |_ `  ( N  / 
( j  +  1 ) ) )  <_ 
( N  /  (
j  +  1 ) ) )
182180, 181syl 15 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( ZZ>= `  K )
)  ->  ( |_ `  ( N  /  (
j  +  1 ) ) )  <_  ( N  /  ( j  +  1 ) ) )
183 elfznn 10835 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( n  e.  ( 1 ... N )  ->  n  e.  NN )
184183nncnd 9778 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( n  e.  ( 1 ... N )  ->  n  e.  CC )
185184subid1d 9162 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( n  e.  ( 1 ... N )  ->  (
n  -  0 )  =  n )
186185breq2d 4051 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( n  e.  ( 1 ... N )  ->  (
( j  +  1 )  ||  ( n  -  0 )  <->  ( j  +  1 )  ||  n ) )
187186rabbiia 2791 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  { n  e.  ( 1 ... N
)  |  ( j  +  1 )  ||  ( n  -  0
) }  =  {
n  e.  ( 1 ... N )  |  ( j  +  1 )  ||  n }
188187fveq2i 5544 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( # `  { n  e.  ( 1 ... N )  |  ( j  +  1 )  ||  (
n  -  0 ) } )  =  (
# `  { n  e.  ( 1 ... N
)  |  ( j  +  1 )  ||  n } )
189 1z 10069 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  1  e.  ZZ
190189a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( ZZ>= `  K )
)  ->  1  e.  ZZ )
19130nnnn0d 10034 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  N  e.  NN0 )
192 nn0uz 10278 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  NN0  =  ( ZZ>= `  0 )
193118subidi 9133 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( 1  -  1 )  =  0
194193fveq2i 5544 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ZZ>= `  ( 1  -  1 ) )  =  (
ZZ>= `  0 )
195192, 194eqtr4i 2319 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  NN0  =  ( ZZ>= `  ( 1  -  1 ) )
196191, 195syl6eleq 2386 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  N  e.  ( ZZ>= `  ( 1  -  1 ) ) )
197196adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( ZZ>= `  K )
)  ->  N  e.  ( ZZ>= `  ( 1  -  1 ) ) )
198 0z 10051 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  0  e.  ZZ
199198a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( ZZ>= `  K )
)  ->  0  e.  ZZ )
200145, 190, 197, 199hashdvds 12859 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( ZZ>= `  K )
)  ->  ( # `  {
n  e.  ( 1 ... N )  |  ( j  +  1 )  ||  ( n  -  0 ) } )  =  ( ( |_ `  ( ( N  -  0 )  /  ( j  +  1 ) ) )  -  ( |_ `  ( ( ( 1  -  1 )  - 
0 )  /  (
j  +  1 ) ) ) ) )
201126subid1d 9162 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( ZZ>= `  K )
)  ->  ( N  -  0 )  =  N )
202201oveq1d 5889 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( ZZ>= `  K )
)  ->  ( ( N  -  0 )  /  ( j  +  1 ) )  =  ( N  /  (
j  +  1 ) ) )
203202fveq2d 5545 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( ZZ>= `  K )
)  ->  ( |_ `  ( ( N  - 
0 )  /  (
j  +  1 ) ) )  =  ( |_ `  ( N  /  ( j  +  1 ) ) ) )
204193oveq1i 5884 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( 1  -  1 )  -  0 )  =  ( 0  -  0 )
205 0cn 8847 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  0  e.  CC
206205subidi 9133 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( 0  -  0 )  =  0
207204, 206eqtri 2316 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( 1  -  1 )  -  0 )  =  0
208207oveq1i 5884 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( 1  -  1 )  -  0 )  /  ( j  +  1 ) )  =  ( 0  /  (
j  +  1 ) )
209145nncnd 9778 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( ZZ>= `  K )
)  ->  ( j  +  1 )  e.  CC )
210145nnne0d 9806 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( ZZ>= `  K )
)  ->  ( j  +  1 )  =/=  0 )
211209, 210div0d 9551 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( ZZ>= `  K )
)  ->  ( 0  /  ( j  +  1 ) )  =  0 )
212208, 211syl5eq 2340 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( ZZ>= `  K )
)  ->  ( (
( 1  -  1 )  -  0 )  /  ( j  +  1 ) )  =  0 )
213212fveq2d 5545 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( ZZ>= `  K )
)  ->  ( |_ `  ( ( ( 1  -  1 )  - 
0 )  /  (
j  +  1 ) ) )  =  ( |_ `  0 ) )
214 flid 10955 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( 0  e.  ZZ  ->  ( |_ `  0 )  =  0 )
215198, 214ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( |_
`  0 )  =  0
216213, 215syl6eq 2344 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( ZZ>= `  K )
)  ->  ( |_ `  ( ( ( 1  -  1 )  - 
0 )  /  (
j  +  1 ) ) )  =  0 )
217203, 216oveq12d 5892 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( ZZ>= `  K )
)  ->  ( ( |_ `  ( ( N  -  0 )  / 
( j  +  1 ) ) )  -  ( |_ `  ( ( ( 1  -  1 )  -  0 )  /  ( j  +  1 ) ) ) )  =  ( ( |_ `  ( N  /  ( j  +  1 ) ) )  -  0 ) )
218180flcld 10946 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( ZZ>= `  K )
)  ->  ( |_ `  ( N  /  (
j  +  1 ) ) )  e.  ZZ )
219218zcnd 10134 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( ZZ>= `  K )
)  ->  ( |_ `  ( N  /  (
j  +  1 ) ) )  e.  CC )
220219subid1d 9162 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( ZZ>= `  K )
)  ->  ( ( |_ `  ( N  / 
( j  +  1 ) ) )  - 
0 )  =  ( |_ `  ( N  /  ( j  +  1 ) ) ) )
221200, 217, 2203eqtrd 2332 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( ZZ>= `  K )
)  ->  ( # `  {
n  e.  ( 1 ... N )  |  ( j  +  1 )  ||  ( n  -  0 ) } )  =  ( |_
`  ( N  / 
( j  +  1 ) ) ) )
222188, 221syl5eqr 2342 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( ZZ>= `  K )
)  ->  ( # `  {
n  e.  ( 1 ... N )  |  ( j  +  1 )  ||  n }
)  =  ( |_
`  ( N  / 
( j  +  1 ) ) ) )
223126, 209, 210divrecd 9555 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( ZZ>= `  K )
)  ->  ( N  /  ( j  +  1 ) )  =  ( N  x.  (
1  /  ( j  +  1 ) ) ) )
224223eqcomd 2301 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( ZZ>= `  K )
)  ->  ( N  x.  ( 1  /  (
j  +  1 ) ) )  =  ( N  /  ( j  +  1 ) ) )
225182, 222, 2243brtr4d 4069 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( ZZ>= `  K )
)  ->  ( # `  {
n  e.  ( 1 ... N )  |  ( j  +  1 )  ||  n }
)  <_  ( N  x.  ( 1  /  (
j  +  1 ) ) ) )
226225adantr 451 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  ( ZZ>= `  K )
)  /\  ( j  +  1 )  e. 
Prime )  ->  ( # `  { n  e.  ( 1 ... N )  |  ( j  +  1 )  ||  n } )  <_  ( N  x.  ( 1  /  ( j  +  1 ) ) ) )
227 eleq1 2356 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( p  =  ( j  +  1 )  ->  (
p  e.  Prime  <->  ( j  +  1 )  e. 
Prime ) )
228 breq1 4042 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( p  =  ( j  +  1 )  ->  (
p  ||  n  <->  ( j  +  1 )  ||  n ) )
229227, 228anbi12d 691 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( p  =  ( j  +  1 )  ->  (
( p  e.  Prime  /\  p  ||  n )  <-> 
( ( j  +  1 )  e.  Prime  /\  ( j  +  1 )  ||  n ) ) )
230229rabbidv 2793 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( p  =  ( j  +  1 )  ->  { n  e.  ( 1 ... N
)  |  ( p  e.  Prime  /\  p  ||  n ) }  =  { n  e.  (
1 ... N )  |  ( ( j  +  1 )  e.  Prime  /\  ( j  +  1 )  ||  n ) } )
23165rabex 4181 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  { n  e.  ( 1 ... N
)  |  ( ( j  +  1 )  e.  Prime  /\  (
j  +  1 ) 
||  n ) }  e.  _V
232230, 64, 231fvmpt 5618 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( j  +  1 )  e.  NN  ->  ( W `  ( j  +  1 ) )  =  { n  e.  ( 1 ... N
)  |  ( ( j  +  1 )  e.  Prime  /\  (
j  +  1 ) 
||  n ) } )
233145, 232syl 15 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( ZZ>= `  K )
)  ->  ( W `  ( j  +  1 ) )  =  {
n  e.  ( 1 ... N )  |  ( ( j  +  1 )  e.  Prime  /\  ( j  +  1 )  ||  n ) } )
234233adantr 451 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  ( ZZ>= `  K )
)  /\  ( j  +  1 )  e. 
Prime )  ->  ( W `
 ( j  +  1 ) )  =  { n  e.  ( 1 ... N )  |  ( ( j  +  1 )  e. 
Prime  /\  ( j  +  1 )  ||  n
) } )
235 simpr 447 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  ( ZZ>= `  K )
)  /\  ( j  +  1 )  e. 
Prime )  ->  ( j  +  1 )  e. 
Prime )
236235biantrurd 494 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  ( ZZ>= `  K )
)  /\  ( j  +  1 )  e. 
Prime )  ->  ( ( j  +  1 ) 
||  n  <->  ( (
j  +  1 )  e.  Prime  /\  (
j  +  1 ) 
||  n ) ) )
237236rabbidv 2793 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  ( ZZ>= `  K )
)  /\  ( j  +  1 )  e. 
Prime )  ->  { n  e.  ( 1 ... N
)  |  ( j  +  1 )  ||  n }  =  {
n  e.  ( 1 ... N )  |  ( ( j  +  1 )  e.  Prime  /\  ( j  +  1 )  ||  n ) } )
238234, 237eqtr4d 2331 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  ( ZZ>= `  K )
)  /\  ( j  +  1 )  e. 
Prime )  ->  ( W `
 ( j  +  1 ) )  =  { n  e.  ( 1 ... N )  |  ( j  +  1 )  ||  n } )
239238fveq2d 5545 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  ( ZZ>= `  K )
)  /\  ( j  +  1 )  e. 
Prime )  ->  ( # `  ( W `  (
j  +  1 ) ) )  =  (
# `  { n  e.  ( 1 ... N
)  |  ( j  +  1 )  ||  n } ) )
240 iftrue 3584 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( j  +  1 )  e.  Prime  ->  if ( ( j  +  1 )  e.  Prime ,  ( 1  /  ( j  +  1 ) ) ,  0 )  =  ( 1  /  (
j  +  1 ) ) )
241240adantl 452 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  ( ZZ>= `  K )
)  /\  ( j  +  1 )  e. 
Prime )  ->  if ( ( j  +  1 )  e.  Prime ,  ( 1  /  ( j  +  1 ) ) ,  0 )  =  ( 1  /  (
j  +  1 ) ) )
242241oveq2d 5890 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  ( ZZ>= `  K )
)  /\  ( j  +  1 )  e. 
Prime )  ->  ( N  x.  if ( ( j  +  1 )  e.  Prime ,  ( 1  /  ( j  +  1 ) ) ,  0 ) )  =  ( N  x.  (
1  /  ( j  +  1 ) ) ) )
243226, 239, 2423brtr4d 4069 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  ( ZZ>= `  K )
)  /\  ( j  +  1 )  e. 
Prime )  ->  ( # `  ( W `  (
j  +  1 ) ) )  <_  ( N  x.  if (
( j  +  1 )  e.  Prime ,  ( 1  /  ( j  +  1 ) ) ,  0 ) ) )
24429a1i 10 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  ( ZZ>= `  K )
)  /\  -.  (
j  +  1 )  e.  Prime )  ->  0  <_  0 )
245 simpl 443 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( j  +  1 )  e.  Prime  /\  (
j  +  1 ) 
||  n )  -> 
( j  +  1 )  e.  Prime )
246245con3i 127 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( -.  ( j  +  1 )  e.  Prime  ->  -.  ( ( j  +  1 )  e.  Prime  /\  ( j  +  1 )  ||  n ) )
247246ralrimivw 2640 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( -.  ( j  +  1 )  e.  Prime  ->  A. n  e.  ( 1 ... N )  -.  ( ( j  +  1 )  e.  Prime  /\  ( j  +  1 )  ||  n ) )
248 rabeq0 3489 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( { n  e.  ( 1 ... N )  |  ( ( j  +  1 )  e.  Prime  /\  ( j  +  1 )  ||  n ) }  =  (/)  <->  A. n  e.  ( 1 ... N
)  -.  ( ( j  +  1 )  e.  Prime  /\  (
j  +  1 ) 
||  n ) )
249247, 248sylibr 203 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( -.  ( j  +  1 )  e.  Prime  ->  { n  e.  ( 1 ... N )  |  ( ( j  +  1 )  e.  Prime  /\  ( j  +  1 )  ||  n ) }  =  (/) )
250233, 249sylan9eq 2348 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  ( ZZ>= `  K )
)  /\  -.  (
j  +  1 )  e.  Prime )  ->  ( W `  ( j  +  1 ) )  =  (/) )
251250fveq2d 5545 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  ( ZZ>= `  K )
)  /\  -.  (
j  +  1 )  e.  Prime )  ->  ( # `
 ( W `  ( j  +  1 ) ) )  =  ( # `  (/) ) )
252251, 46syl6eq 2344 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  ( ZZ>= `  K )
)  /\  -.  (
j  +  1 )  e.  Prime )  ->  ( # `
 ( W `  ( j  +  1 ) ) )  =  0 )
253 iffalse 3585 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( -.  ( j  +  1 )  e.  Prime  ->  if ( ( j  +  1 )  e.  Prime ,  ( 1  /  (
j  +  1 ) ) ,  0 )  =  0 )
254253oveq2d 5890 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( -.  ( j  +  1 )  e.  Prime  ->  ( N  x.  if ( ( j  +  1 )  e.  Prime ,  ( 1  /  ( j  +  1 ) ) ,  0 ) )  =  ( N  x.  0 ) )
25532adantr 451 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( ZZ>= `  K )
)  ->  ( N  x.  0 )  =  0 )
256254, 255sylan9eqr 2350 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  ( ZZ>= `  K )
)  /\  -.  (
j  +  1 )  e.  Prime )  ->  ( N  x.  if (
( j  +  1 )  e.  Prime ,  ( 1  /  ( j  +  1 ) ) ,  0 ) )  =  0 )
257244, 252, 2563brtr4d 4069 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  ( ZZ>= `  K )
)  /\  -.  (
j  +  1 )  e.  Prime )  ->  ( # `
 ( W `  ( j  +  1 ) ) )  <_ 
( N  x.  if ( ( j  +  1 )  e.  Prime ,  ( 1  /  (
j  +  1 ) ) ,  0 ) ) )
258243, 257pm2.61dan 766 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( ZZ>= `  K )
)  ->  ( # `  ( W `  ( j  +  1 ) ) )  <_  ( N  x.  if ( ( j  +  1 )  e. 
Prime ,  ( 1  /  ( j  +  1 ) ) ,  0 ) ) )
259156, 101, 82, 258leadd2dd 9403 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( ZZ>= `  K )
)  ->  ( ( # `
 U_ k  e.  ( ( K  +  1 ) ... j ) ( W `  k
) )  +  (
# `  ( W `  ( j  +  1 ) ) ) )  <_  ( ( # `  U_ k  e.  ( ( K  +  1 ) ... j ) ( W `  k
) )  +  ( N  x.  if ( ( j  +  1 )  e.  Prime ,  ( 1  /  ( j  +  1 ) ) ,  0 ) ) ) )
260142, 157, 158, 179, 259letrd 8989 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( ZZ>= `  K )
)  ->  ( # `  U_ k  e.  ( ( K  + 
1 ) ... (
j  +  1 ) ) ( W `  k ) )  <_ 
( ( # `  U_ k  e.  ( ( K  + 
1 ) ... j
) ( W `  k ) )  +  ( N  x.  if ( ( j  +  1 )  e.  Prime ,  ( 1  /  (
j  +  1 ) ) ,  0 ) ) ) )
261 fzfid 11051 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( ZZ>= `  K )
)  ->  ( ( K  +  1 ) ... ( j  +  1 ) )  e. 
Fin )
26259, 91syl 15 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( K  +  1 ) ) )  ->  if (
k  e.  Prime ,  ( 1  /  k ) ,  0 )  e.  RR )
263105, 106, 262syl2an 463 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  ( ZZ>= `  K )
)  /\  k  e.  ( ( K  + 
1 ) ... (
j  +  1 ) ) )  ->  if ( k  e.  Prime ,  ( 1  /  k
) ,  0 )  e.  RR )
264261, 263fsumrecl 12223 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( ZZ>= `  K )
)  ->  sum_ k  e.  ( ( K  + 
1 ) ... (
j  +  1 ) ) if ( k  e.  Prime ,  ( 1  /  k ) ,  0 )  e.  RR )
26584, 264remulcld 8879 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( ZZ>= `  K )
)  ->  ( N  x.  sum_ k  e.  ( ( K  +  1 ) ... ( j  +  1 ) ) if ( k  e. 
Prime ,  ( 1  /  k ) ,  0 ) )  e.  RR )
266 letr 8930 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( # `  U_ k  e.  ( ( K  + 
1 ) ... (
j  +  1 ) ) ( W `  k ) )  e.  RR  /\  ( (
# `  U_ k  e.  ( ( K  + 
1 ) ... j
) ( W `  k ) )  +  ( N  x.  if ( ( j  +  1 )  e.  Prime ,  ( 1  /  (
j  +  1 ) ) ,  0 ) ) )  e.  RR  /\  ( N  x.  sum_ k  e.  ( ( K  +  1 ) ... ( j  +  1 ) ) if ( k  e.  Prime ,  ( 1  /  k
) ,  0 ) )  e.  RR )  ->  ( ( (
# `  U_ k  e.  ( ( K  + 
1 ) ... (
j  +  1 ) ) ( W `  k ) )  <_ 
( ( # `  U_ k  e.  ( ( K  + 
1 ) ... j
) ( W `  k ) )  +  ( N  x.  if ( ( j  +  1 )  e.  Prime ,  ( 1  /  (
j  +  1 ) ) ,  0 ) ) )  /\  (
( # `  U_ k  e.  ( ( K  + 
1 ) ... j
) ( W `  k ) )  +  ( N  x.  if ( ( j  +  1 )  e.  Prime ,  ( 1  /  (
j  +  1 ) ) ,  0 ) ) )  <_  ( N  x.  sum_ k  e.  ( ( K  + 
1 ) ... (
j  +  1 ) ) if ( k  e.  Prime ,  ( 1  /  k ) ,  0 ) ) )  ->  ( # `  U_ k  e.  ( ( K  + 
1 ) ... (
j  +  1 ) ) ( W `  k ) )  <_ 
( N  x.  sum_ k  e.  ( ( K  +  1 ) ... ( j  +  1 ) ) if ( k  e.  Prime ,  ( 1  /  k
) ,  0 ) ) ) )
267142, 158, 265, 266syl3anc 1182 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( ZZ>= `  K )
)  ->  ( (
( # `  U_ k  e.  ( ( K  + 
1 ) ... (
j  +  1 ) ) ( W `  k ) )  <_ 
( ( # `  U_ k  e.  ( ( K  + 
1 ) ... j
) ( W `  k ) )  +  ( N  x.  if ( ( j  +  1 )  e.  Prime ,  ( 1  /  (
j  +  1 ) ) ,  0 ) ) )  /\  (
( # `  U_ k  e.  ( ( K  + 
1 ) ... j
) ( W `  k ) )  +  ( N  x.  if ( ( j  +  1 )  e.  Prime ,  ( 1  /  (
j  +  1 ) ) ,  0 ) ) )  <_  ( N  x.  sum_ k  e.  ( ( K  + 
1 ) ... (
j  +  1 ) ) if ( k  e.  Prime ,  ( 1  /  k ) ,  0 ) ) )  ->  ( # `  U_ k  e.  ( ( K  + 
1 ) ... (
j  +  1 ) ) ( W `  k ) )  <_ 
( N  x.  sum_ k  e.  ( ( K  +  1 ) ... ( j  +  1 ) ) if ( k  e.  Prime ,  ( 1  /  k
) ,  0 ) ) ) )
268260, 267mpand 656 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( ZZ>= `  K )
)  ->  ( (
( # `  U_ k  e.  ( ( K  + 
1 ) ... j
) ( W `  k ) )  +  ( N  x.  if ( ( j  +  1 )  e.  Prime ,  ( 1  /  (
j  +  1 ) ) ,  0 ) ) )  <_  ( N  x.  sum_ k  e.  ( ( K  + 
1 ) ... (
j  +  1 ) ) if ( k  e.  Prime ,  ( 1  /  k ) ,  0 ) )  -> 
( # `  U_ k  e.  ( ( K  + 
1 ) ... (
j  +  1 ) ) ( W `  k ) )  <_ 
( N  x.  sum_ k  e.  ( ( K  +  1 ) ... ( j  +  1 ) ) if ( k  e.  Prime ,  ( 1  /  k
) ,  0 ) ) ) )
269132, 268sylbid 206 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( ZZ>= `  K )
)  ->  ( ( # `
 U_ k  e.  ( ( K  +  1 ) ... j ) ( W `  k
) )  <_  ( N  x.  sum_ k  e.  ( ( K  + 
1 ) ... j
) if ( k  e.  Prime ,  ( 1  /  k ) ,  0 ) )  -> 
( # `  U_ k  e.  ( ( K  + 
1 ) ... (
j  +  1 ) ) ( W `  k ) )  <_ 
( N  x.  sum_ k  e.  ( ( K  +  1 ) ... ( j  +  1 ) ) if ( k  e.  Prime ,  ( 1  /  k
) ,  0 ) ) ) )
270269expcom 424 . . . 4  |-  ( j  e.  ( ZZ>= `  K
)  ->  ( ph  ->  ( ( # `  U_ k  e.  ( ( K  + 
1 ) ... j
) ( W `  k ) )  <_ 
( N  x.  sum_ k  e.  ( ( K  +  1 ) ... j ) if ( k  e.  Prime ,  ( 1  /  k
) ,  0 ) )  ->  ( # `  U_ k  e.  ( ( K  + 
1 ) ... (
j  +  1 ) ) ( W `  k ) )  <_ 
( N  x.  sum_ k  e.  ( ( K  +  1 ) ... ( j  +  1 ) ) if ( k  e.  Prime ,  ( 1  /  k
) ,  0 ) ) ) ) )
271270a2d 23 . . 3  |-  ( j  e.  ( ZZ>= `  K
)  ->  ( ( ph  ->  ( # `  U_ k  e.  ( ( K  + 
1 ) ... j
) ( W `  k ) )  <_ 
( N  x.  sum_ k  e.  ( ( K  +  1 ) ... j ) if ( k  e.  Prime ,  ( 1  /  k
) ,  0 ) ) )  ->  ( ph  ->  ( # `  U_ k  e.  ( ( K  + 
1 ) ... (
j  +  1 ) ) ( W `  k ) )  <_ 
( N  x.  sum_ k  e.  ( ( K  +  1 ) ... ( j  +  1 ) ) if ( k  e.  Prime ,  ( 1  /  k
) ,  0 ) ) ) ) )
2727, 14, 21, 28, 53, 271uzind4 10292 . 2  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  K
)  ->  ( ph  ->  ( # `  U_ k  e.  ( ( K  + 
1 ) ... N
) ( W `  k ) )  <_ 
( N  x.  sum_ k  e.  ( ( K  +  1 ) ... N ) if ( k  e.  Prime ,  ( 1  /  k
) ,  0 ) ) ) )
273272com12 27 1  |-  ( ph  ->  ( N  e.  (
ZZ>= `  K )  -> 
( # `  U_ k  e.  ( ( K  + 
1 ) ... N
) ( W `  k ) )  <_ 
( N  x.  sum_ k  e.  ( ( K  +  1 ) ... N ) if ( k  e.  Prime ,  ( 1  /  k
) ,  0 ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1632    e. wcel 1696   A.wral 2556   {crab 2560    \ cdif 3162    u. cun 3163    C_ wss 3165   (/)c0 3468   ifcif 3578   {csn 3653   U_ciun 3921   class class class wbr 4039    e. cmpt 4093   dom cdm 4705   ` cfv 5271  (class class class)co 5874   Fincfn 6879   CCcc 8751   RRcr 8752   0cc0 8753   1c1 8754    + caddc 8756    x. cmul 8758    < clt 8883    <_ cle 8884    - cmin 9053    / cdiv 9439   NNcn 9762   2c2 9811   NN0cn0 9981   ZZcz 10040   ZZ>=cuz 10246   ...cfz 10798   |_cfl 10940    seq cseq 11062   #chash 11353    ~~> cli 11974   sum_csu 12174    || cdivides 12547   Primecprime 12774
This theorem is referenced by:  prmreclem5  12983
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-inf2 7358  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830  ax-pre-sup 8831
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-int 3879  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-se 4369  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-isom 5280  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-1o 6495  df-oadd 6499  df-er 6676  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-fin 6883  df-sup 7210  df-oi 7241  df-card 7588  df-cda 7810  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-div 9440  df-nn 9763  df-2 9820  df-3 9821  df-n0 9982  df-z 10041  df-uz 10247  df-rp 10371  df-fz 10799  df-fzo 10887  df-fl 10941  df-seq 11063  df-exp 11121  df-hash 11354  df-cj 11600  df-re 11601  df-im 11602  df-sqr 11736  df-abs 11737  df-clim 11978  df-sum 12175  df-dvds 12548  df-prm 12775
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