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Theorem prmreclem6 13289
Description: Lemma for prmrec 13290. If the series  F was convergent, there would be some  k such that the sum starting from  k  +  1 sums to less than  1  /  2; this is a sufficient hypothesis for prmreclem5 13288 to produce the contradictory bound  N  /  2  < 
( 2 ^ k
) sqr N, which is false for  N  =  2 ^ ( 2 k  +  2 ). (Contributed by Mario Carneiro, 6-Aug-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
prmrec.1  |-  F  =  ( n  e.  NN  |->  if ( n  e.  Prime ,  ( 1  /  n
) ,  0 ) )
Assertion
Ref Expression
prmreclem6  |-  -.  seq  1 (  +  ,  F )  e.  dom  ~~>
Distinct variable group:    n, F

Proof of Theorem prmreclem6
Dummy variables  j 
k  m  p  r  w  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nnuz 10521 . . . . . . . . . 10  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
2 1z 10311 . . . . . . . . . . 11  |-  1  e.  ZZ
32a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  (  T. 
->  1  e.  ZZ )
4 nnrecre 10036 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  e.  NN  ->  (
1  /  n )  e.  RR )
54adantl 453 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (  T.  /\  n  e.  NN )  ->  (
1  /  n )  e.  RR )
6 0re 9091 . . . . . . . . . . . . 13  |-  0  e.  RR
7 ifcl 3775 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( 1  /  n
)  e.  RR  /\  0  e.  RR )  ->  if ( n  e. 
Prime ,  ( 1  /  n ) ,  0 )  e.  RR )
85, 6, 7sylancl 644 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (  T.  /\  n  e.  NN )  ->  if ( n  e.  Prime ,  ( 1  /  n
) ,  0 )  e.  RR )
9 prmrec.1 . . . . . . . . . . . 12  |-  F  =  ( n  e.  NN  |->  if ( n  e.  Prime ,  ( 1  /  n
) ,  0 ) )
108, 9fmptd 5893 . . . . . . . . . . 11  |-  (  T. 
->  F : NN --> RR )
1110ffvelrnda 5870 . . . . . . . . . 10  |-  ( (  T.  /\  j  e.  NN )  ->  ( F `  j )  e.  RR )
121, 3, 11serfre 11352 . . . . . . . . 9  |-  (  T. 
->  seq  1 (  +  ,  F ) : NN --> RR )
1312trud 1332 . . . . . . . 8  |-  seq  1
(  +  ,  F
) : NN --> RR
14 frn 5597 . . . . . . . 8  |-  (  seq  1 (  +  ,  F ) : NN --> RR  ->  ran  seq  1
(  +  ,  F
)  C_  RR )
1513, 14ax-mp 8 . . . . . . 7  |-  ran  seq  1 (  +  ,  F )  C_  RR
1615a1i 11 . . . . . 6  |-  (  seq  1 (  +  ,  F )  e.  dom  ~~>  ->  ran  seq  1 (  +  ,  F )  C_  RR )
17 1nn 10011 . . . . . . . . 9  |-  1  e.  NN
1813fdmi 5596 . . . . . . . . 9  |-  dom  seq  1 (  +  ,  F )  =  NN
1917, 18eleqtrri 2509 . . . . . . . 8  |-  1  e.  dom  seq  1 (  +  ,  F )
20 ne0i 3634 . . . . . . . . 9  |-  ( 1  e.  dom  seq  1
(  +  ,  F
)  ->  dom  seq  1
(  +  ,  F
)  =/=  (/) )
21 dm0rn0 5086 . . . . . . . . . 10  |-  ( dom 
seq  1 (  +  ,  F )  =  (/) 
<->  ran  seq  1 (  +  ,  F )  =  (/) )
2221necon3bii 2633 . . . . . . . . 9  |-  ( dom 
seq  1 (  +  ,  F )  =/=  (/) 
<->  ran  seq  1 (  +  ,  F )  =/=  (/) )
2320, 22sylib 189 . . . . . . . 8  |-  ( 1  e.  dom  seq  1
(  +  ,  F
)  ->  ran  seq  1
(  +  ,  F
)  =/=  (/) )
2419, 23ax-mp 8 . . . . . . 7  |-  ran  seq  1 (  +  ,  F )  =/=  (/)
2524a1i 11 . . . . . 6  |-  (  seq  1 (  +  ,  F )  e.  dom  ~~>  ->  ran  seq  1 (  +  ,  F )  =/=  (/) )
262a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  (  seq  1 (  +  ,  F )  e.  dom  ~~>  -> 
1  e.  ZZ )
27 climdm 12348 . . . . . . . . . 10  |-  (  seq  1 (  +  ,  F )  e.  dom  ~~>  <->  seq  1 (  +  ,  F )  ~~>  (  ~~>  `  seq  1 (  +  ,  F ) ) )
2827biimpi 187 . . . . . . . . 9  |-  (  seq  1 (  +  ,  F )  e.  dom  ~~>  ->  seq  1 (  +  ,  F )  ~~>  (  ~~>  `  seq  1 (  +  ,  F ) ) )
2913a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  (  seq  1 (  +  ,  F )  e.  dom  ~~>  ->  seq  1 (  +  ,  F ) : NN --> RR )
3029ffvelrnda 5870 . . . . . . . . 9  |-  ( (  seq  1 (  +  ,  F )  e. 
dom 
~~>  /\  k  e.  NN )  ->  (  seq  1
(  +  ,  F
) `  k )  e.  RR )
311, 26, 28, 30climrecl 12377 . . . . . . . 8  |-  (  seq  1 (  +  ,  F )  e.  dom  ~~>  -> 
(  ~~>  `  seq  1
(  +  ,  F
) )  e.  RR )
32 simpr 448 . . . . . . . . . 10  |-  ( (  seq  1 (  +  ,  F )  e. 
dom 
~~>  /\  k  e.  NN )  ->  k  e.  NN )
3328adantr 452 . . . . . . . . . 10  |-  ( (  seq  1 (  +  ,  F )  e. 
dom 
~~>  /\  k  e.  NN )  ->  seq  1 (  +  ,  F )  ~~>  (  ~~>  `  seq  1
(  +  ,  F
) ) )
34 eleq1 2496 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( n  =  j  ->  (
n  e.  Prime  <->  j  e.  Prime ) )
35 oveq2 6089 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( n  =  j  ->  (
1  /  n )  =  ( 1  / 
j ) )
36 eqidd 2437 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( n  =  j  ->  0  =  0 )
3734, 35, 36ifbieq12d 3761 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  =  j  ->  if ( n  e.  Prime ,  ( 1  /  n
) ,  0 )  =  if ( j  e.  Prime ,  ( 1  /  j ) ,  0 ) )
38 prmnn 13082 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( j  e.  Prime  ->  j  e.  NN )
3938adantl 453 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (  T.  /\  j  e. 
Prime )  ->  j  e.  NN )
4039nnrecred 10045 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (  T.  /\  j  e. 
Prime )  ->  ( 1  /  j )  e.  RR )
416a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (  T.  /\  -.  j  e.  Prime )  ->  0  e.  RR )
4240, 41ifclda 3766 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  (  T. 
->  if ( j  e. 
Prime ,  ( 1  /  j ) ,  0 )  e.  RR )
4342trud 1332 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  if ( j  e.  Prime ,  ( 1  /  j ) ,  0 )  e.  RR
4443elexi 2965 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  if ( j  e.  Prime ,  ( 1  /  j ) ,  0 )  e. 
_V
4537, 9, 44fvmpt 5806 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( j  e.  NN  ->  ( F `  j )  =  if ( j  e. 
Prime ,  ( 1  /  j ) ,  0 ) )
4645adantl 453 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (  seq  1 (  +  ,  F )  e. 
dom 
~~>  /\  j  e.  NN )  ->  ( F `  j )  =  if ( j  e.  Prime ,  ( 1  /  j
) ,  0 ) )
4743a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (  seq  1 (  +  ,  F )  e. 
dom 
~~>  /\  j  e.  NN )  ->  if ( j  e.  Prime ,  ( 1  /  j ) ,  0 )  e.  RR )
4846, 47eqeltrd 2510 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (  seq  1 (  +  ,  F )  e. 
dom 
~~>  /\  j  e.  NN )  ->  ( F `  j )  e.  RR )
4948adantlr 696 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( (  seq  1 (  +  ,  F )  e.  dom  ~~>  /\  k  e.  NN )  /\  j  e.  NN )  ->  ( F `  j )  e.  RR )
50 nnrp 10621 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( j  e.  NN  ->  j  e.  RR+ )
5150adantl 453 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (  seq  1 (  +  ,  F )  e. 
dom 
~~>  /\  j  e.  NN )  ->  j  e.  RR+ )
5251rpreccld 10658 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (  seq  1 (  +  ,  F )  e. 
dom 
~~>  /\  j  e.  NN )  ->  ( 1  / 
j )  e.  RR+ )
5352rpge0d 10652 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (  seq  1 (  +  ,  F )  e. 
dom 
~~>  /\  j  e.  NN )  ->  0  <_  (
1  /  j ) )
54 0le0 10081 . . . . . . . . . . . . 13  |-  0  <_  0
55 breq2 4216 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( 1  /  j )  =  if ( j  e.  Prime ,  ( 1  /  j ) ,  0 )  ->  (
0  <_  ( 1  /  j )  <->  0  <_  if ( j  e.  Prime ,  ( 1  /  j
) ,  0 ) ) )
56 breq2 4216 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 0  =  if ( j  e.  Prime ,  ( 1  /  j ) ,  0 )  ->  (
0  <_  0  <->  0  <_  if ( j  e.  Prime ,  ( 1  /  j
) ,  0 ) ) )
5755, 56ifboth 3770 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 0  <_  ( 1  /  j )  /\  0  <_  0 )  -> 
0  <_  if (
j  e.  Prime ,  ( 1  /  j ) ,  0 ) )
5853, 54, 57sylancl 644 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (  seq  1 (  +  ,  F )  e. 
dom 
~~>  /\  j  e.  NN )  ->  0  <_  if ( j  e.  Prime ,  ( 1  /  j
) ,  0 ) )
5958, 46breqtrrd 4238 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (  seq  1 (  +  ,  F )  e. 
dom 
~~>  /\  j  e.  NN )  ->  0  <_  ( F `  j )
)
6059adantlr 696 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( (  seq  1 (  +  ,  F )  e.  dom  ~~>  /\  k  e.  NN )  /\  j  e.  NN )  ->  0  <_  ( F `  j
) )
611, 32, 33, 49, 60climserle 12456 . . . . . . . . 9  |-  ( (  seq  1 (  +  ,  F )  e. 
dom 
~~>  /\  k  e.  NN )  ->  (  seq  1
(  +  ,  F
) `  k )  <_  (  ~~>  `  seq  1
(  +  ,  F
) ) )
6261ralrimiva 2789 . . . . . . . 8  |-  (  seq  1 (  +  ,  F )  e.  dom  ~~>  ->  A. k  e.  NN  (  seq  1 (  +  ,  F ) `  k )  <_  (  ~~>  ` 
seq  1 (  +  ,  F ) ) )
63 breq2 4216 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  (  ~~>  `  seq  1 (  +  ,  F ) )  -> 
( (  seq  1
(  +  ,  F
) `  k )  <_  x  <->  (  seq  1
(  +  ,  F
) `  k )  <_  (  ~~>  `  seq  1
(  +  ,  F
) ) ) )
6463ralbidv 2725 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  (  ~~>  `  seq  1 (  +  ,  F ) )  -> 
( A. k  e.  NN  (  seq  1
(  +  ,  F
) `  k )  <_  x  <->  A. k  e.  NN  (  seq  1 (  +  ,  F ) `  k )  <_  (  ~~>  ` 
seq  1 (  +  ,  F ) ) ) )
6564rspcev 3052 . . . . . . . 8  |-  ( ( (  ~~>  `  seq  1
(  +  ,  F
) )  e.  RR  /\ 
A. k  e.  NN  (  seq  1 (  +  ,  F ) `  k )  <_  (  ~~>  ` 
seq  1 (  +  ,  F ) ) )  ->  E. x  e.  RR  A. k  e.  NN  (  seq  1
(  +  ,  F
) `  k )  <_  x )
6631, 62, 65syl2anc 643 . . . . . . 7  |-  (  seq  1 (  +  ,  F )  e.  dom  ~~>  ->  E. x  e.  RR  A. k  e.  NN  (  seq  1 (  +  ,  F ) `  k
)  <_  x )
67 ffn 5591 . . . . . . . . 9  |-  (  seq  1 (  +  ,  F ) : NN --> RR  ->  seq  1 (  +  ,  F )  Fn  NN )
68 breq1 4215 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  =  (  seq  1
(  +  ,  F
) `  k )  ->  ( z  <_  x  <->  (  seq  1 (  +  ,  F ) `  k )  <_  x
) )
6968ralrn 5873 . . . . . . . . 9  |-  (  seq  1 (  +  ,  F )  Fn  NN  ->  ( A. z  e. 
ran  seq  1 (  +  ,  F ) z  <_  x  <->  A. k  e.  NN  (  seq  1
(  +  ,  F
) `  k )  <_  x ) )
7013, 67, 69mp2b 10 . . . . . . . 8  |-  ( A. z  e.  ran  seq  1
(  +  ,  F
) z  <_  x  <->  A. k  e.  NN  (  seq  1 (  +  ,  F ) `  k
)  <_  x )
7170rexbii 2730 . . . . . . 7  |-  ( E. x  e.  RR  A. z  e.  ran  seq  1
(  +  ,  F
) z  <_  x  <->  E. x  e.  RR  A. k  e.  NN  (  seq  1 (  +  ,  F ) `  k
)  <_  x )
7266, 71sylibr 204 . . . . . 6  |-  (  seq  1 (  +  ,  F )  e.  dom  ~~>  ->  E. x  e.  RR  A. z  e.  ran  seq  1 (  +  ,  F ) z  <_  x )
73 suprcl 9968 . . . . . 6  |-  ( ( ran  seq  1 (  +  ,  F ) 
C_  RR  /\  ran  seq  1 (  +  ,  F )  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. z  e.  ran  seq  1 (  +  ,  F ) z  <_  x )  ->  sup ( ran  seq  1 (  +  ,  F ) ,  RR ,  <  )  e.  RR )
7416, 25, 72, 73syl3anc 1184 . . . . 5  |-  (  seq  1 (  +  ,  F )  e.  dom  ~~>  ->  sup ( ran  seq  1
(  +  ,  F
) ,  RR ,  <  )  e.  RR )
75 2rp 10617 . . . . . 6  |-  2  e.  RR+
76 rpreccl 10635 . . . . . 6  |-  ( 2  e.  RR+  ->  ( 1  /  2 )  e.  RR+ )
7775, 76ax-mp 8 . . . . 5  |-  ( 1  /  2 )  e.  RR+
78 ltsubrp 10643 . . . . 5  |-  ( ( sup ( ran  seq  1 (  +  ,  F ) ,  RR ,  <  )  e.  RR  /\  ( 1  /  2
)  e.  RR+ )  ->  ( sup ( ran 
seq  1 (  +  ,  F ) ,  RR ,  <  )  -  ( 1  / 
2 ) )  <  sup ( ran  seq  1
(  +  ,  F
) ,  RR ,  <  ) )
7974, 77, 78sylancl 644 . . . 4  |-  (  seq  1 (  +  ,  F )  e.  dom  ~~>  -> 
( sup ( ran 
seq  1 (  +  ,  F ) ,  RR ,  <  )  -  ( 1  / 
2 ) )  <  sup ( ran  seq  1
(  +  ,  F
) ,  RR ,  <  ) )
80 rpre 10618 . . . . . . 7  |-  ( ( 1  /  2 )  e.  RR+  ->  ( 1  /  2 )  e.  RR )
8177, 80ax-mp 8 . . . . . 6  |-  ( 1  /  2 )  e.  RR
82 resubcl 9365 . . . . . 6  |-  ( ( sup ( ran  seq  1 (  +  ,  F ) ,  RR ,  <  )  e.  RR  /\  ( 1  /  2
)  e.  RR )  ->  ( sup ( ran  seq  1 (  +  ,  F ) ,  RR ,  <  )  -  ( 1  / 
2 ) )  e.  RR )
8374, 81, 82sylancl 644 . . . . 5  |-  (  seq  1 (  +  ,  F )  e.  dom  ~~>  -> 
( sup ( ran 
seq  1 (  +  ,  F ) ,  RR ,  <  )  -  ( 1  / 
2 ) )  e.  RR )
84 suprlub 9970 . . . . 5  |-  ( ( ( ran  seq  1
(  +  ,  F
)  C_  RR  /\  ran  seq  1 (  +  ,  F )  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. z  e.  ran  seq  1 (  +  ,  F ) z  <_  x )  /\  ( sup ( ran 
seq  1 (  +  ,  F ) ,  RR ,  <  )  -  ( 1  / 
2 ) )  e.  RR )  ->  (
( sup ( ran 
seq  1 (  +  ,  F ) ,  RR ,  <  )  -  ( 1  / 
2 ) )  <  sup ( ran  seq  1
(  +  ,  F
) ,  RR ,  <  )  <->  E. y  e.  ran  seq  1 (  +  ,  F ) ( sup ( ran  seq  1
(  +  ,  F
) ,  RR ,  <  )  -  ( 1  /  2 ) )  <  y ) )
8516, 25, 72, 83, 84syl31anc 1187 . . . 4  |-  (  seq  1 (  +  ,  F )  e.  dom  ~~>  -> 
( ( sup ( ran  seq  1 (  +  ,  F ) ,  RR ,  <  )  -  ( 1  / 
2 ) )  <  sup ( ran  seq  1
(  +  ,  F
) ,  RR ,  <  )  <->  E. y  e.  ran  seq  1 (  +  ,  F ) ( sup ( ran  seq  1
(  +  ,  F
) ,  RR ,  <  )  -  ( 1  /  2 ) )  <  y ) )
8679, 85mpbid 202 . . 3  |-  (  seq  1 (  +  ,  F )  e.  dom  ~~>  ->  E. y  e.  ran  seq  1 (  +  ,  F ) ( sup ( ran  seq  1
(  +  ,  F
) ,  RR ,  <  )  -  ( 1  /  2 ) )  <  y )
87 breq2 4216 . . . . 5  |-  ( y  =  (  seq  1
(  +  ,  F
) `  k )  ->  ( ( sup ( ran  seq  1 (  +  ,  F ) ,  RR ,  <  )  -  ( 1  / 
2 ) )  < 
y  <->  ( sup ( ran  seq  1 (  +  ,  F ) ,  RR ,  <  )  -  ( 1  / 
2 ) )  < 
(  seq  1 (  +  ,  F ) `
 k ) ) )
8887rexrn 5872 . . . 4  |-  (  seq  1 (  +  ,  F )  Fn  NN  ->  ( E. y  e. 
ran  seq  1 (  +  ,  F ) ( sup ( ran  seq  1 (  +  ,  F ) ,  RR ,  <  )  -  (
1  /  2 ) )  <  y  <->  E. k  e.  NN  ( sup ( ran  seq  1 (  +  ,  F ) ,  RR ,  <  )  -  ( 1  / 
2 ) )  < 
(  seq  1 (  +  ,  F ) `
 k ) ) )
8913, 67, 88mp2b 10 . . 3  |-  ( E. y  e.  ran  seq  1 (  +  ,  F ) ( sup ( ran  seq  1
(  +  ,  F
) ,  RR ,  <  )  -  ( 1  /  2 ) )  <  y  <->  E. k  e.  NN  ( sup ( ran  seq  1 (  +  ,  F ) ,  RR ,  <  )  -  ( 1  / 
2 ) )  < 
(  seq  1 (  +  ,  F ) `
 k ) )
9086, 89sylib 189 . 2  |-  (  seq  1 (  +  ,  F )  e.  dom  ~~>  ->  E. k  e.  NN  ( sup ( ran  seq  1 (  +  ,  F ) ,  RR ,  <  )  -  (
1  /  2 ) )  <  (  seq  1 (  +  ,  F ) `  k
) )
91 2re 10069 . . . . . 6  |-  2  e.  RR
92 2nn 10133 . . . . . . . . 9  |-  2  e.  NN
93 nnmulcl 10023 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 2  e.  NN  /\  k  e.  NN )  ->  ( 2  x.  k
)  e.  NN )
9492, 32, 93sylancr 645 . . . . . . . 8  |-  ( (  seq  1 (  +  ,  F )  e. 
dom 
~~>  /\  k  e.  NN )  ->  ( 2  x.  k )  e.  NN )
9594peano2nnd 10017 . . . . . . 7  |-  ( (  seq  1 (  +  ,  F )  e. 
dom 
~~>  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( 2  x.  k )  +  1 )  e.  NN )
9695nnnn0d 10274 . . . . . 6  |-  ( (  seq  1 (  +  ,  F )  e. 
dom 
~~>  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( 2  x.  k )  +  1 )  e.  NN0 )
97 reexpcl 11398 . . . . . 6  |-  ( ( 2  e.  RR  /\  ( ( 2  x.  k )  +  1 )  e.  NN0 )  ->  ( 2 ^ (
( 2  x.  k
)  +  1 ) )  e.  RR )
9891, 96, 97sylancr 645 . . . . 5  |-  ( (  seq  1 (  +  ,  F )  e. 
dom 
~~>  /\  k  e.  NN )  ->  ( 2 ^ ( ( 2  x.  k )  +  1 ) )  e.  RR )
9998ltnrd 9207 . . . 4  |-  ( (  seq  1 (  +  ,  F )  e. 
dom 
~~>  /\  k  e.  NN )  ->  -.  ( 2 ^ ( ( 2  x.  k )  +  1 ) )  < 
( 2 ^ (
( 2  x.  k
)  +  1 ) ) )
10032adantr 452 . . . . . . 7  |-  ( ( (  seq  1 (  +  ,  F )  e.  dom  ~~>  /\  k  e.  NN )  /\  sum_ j  e.  ( ZZ>= `  ( k  +  1 ) ) if ( j  e.  Prime ,  ( 1  /  j ) ,  0 )  < 
( 1  /  2
) )  ->  k  e.  NN )
101 peano2nn 10012 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  e.  NN  ->  (
k  +  1 )  e.  NN )
102101adantl 453 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (  seq  1 (  +  ,  F )  e. 
dom 
~~>  /\  k  e.  NN )  ->  ( k  +  1 )  e.  NN )
103102nnnn0d 10274 . . . . . . . . . 10  |-  ( (  seq  1 (  +  ,  F )  e. 
dom 
~~>  /\  k  e.  NN )  ->  ( k  +  1 )  e.  NN0 )
104 nnexpcl 11394 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 2  e.  NN  /\  ( k  +  1 )  e.  NN0 )  ->  ( 2 ^ (
k  +  1 ) )  e.  NN )
10592, 103, 104sylancr 645 . . . . . . . . 9  |-  ( (  seq  1 (  +  ,  F )  e. 
dom 
~~>  /\  k  e.  NN )  ->  ( 2 ^ ( k  +  1 ) )  e.  NN )
106105nnsqcld 11543 . . . . . . . 8  |-  ( (  seq  1 (  +  ,  F )  e. 
dom 
~~>  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( 2 ^ ( k  +  1 ) ) ^
2 )  e.  NN )
107106adantr 452 . . . . . . 7  |-  ( ( (  seq  1 (  +  ,  F )  e.  dom  ~~>  /\  k  e.  NN )  /\  sum_ j  e.  ( ZZ>= `  ( k  +  1 ) ) if ( j  e.  Prime ,  ( 1  /  j ) ,  0 )  < 
( 1  /  2
) )  ->  (
( 2 ^ (
k  +  1 ) ) ^ 2 )  e.  NN )
108 breq1 4215 . . . . . . . . . . 11  |-  ( p  =  w  ->  (
p  ||  r  <->  w  ||  r
) )
109108notbid 286 . . . . . . . . . 10  |-  ( p  =  w  ->  ( -.  p  ||  r  <->  -.  w  ||  r ) )
110109cbvralv 2932 . . . . . . . . 9  |-  ( A. p  e.  ( Prime  \  ( 1 ... k
) )  -.  p  ||  r  <->  A. w  e.  ( Prime  \  ( 1 ... k ) )  -.  w  ||  r
)
111 breq2 4216 . . . . . . . . . . 11  |-  ( r  =  n  ->  (
w  ||  r  <->  w  ||  n
) )
112111notbid 286 . . . . . . . . . 10  |-  ( r  =  n  ->  ( -.  w  ||  r  <->  -.  w  ||  n ) )
113112ralbidv 2725 . . . . . . . . 9  |-  ( r  =  n  ->  ( A. w  e.  ( Prime  \  ( 1 ... k ) )  -.  w  ||  r  <->  A. w  e.  ( Prime  \  (
1 ... k ) )  -.  w  ||  n
) )
114110, 113syl5bb 249 . . . . . . . 8  |-  ( r  =  n  ->  ( A. p  e.  ( Prime  \  ( 1 ... k ) )  -.  p  ||  r  <->  A. w  e.  ( Prime  \  (
1 ... k ) )  -.  w  ||  n
) )
115114cbvrabv 2955 . . . . . . 7  |-  { r  e.  ( 1 ... ( ( 2 ^ ( k  +  1 ) ) ^ 2 ) )  |  A. p  e.  ( Prime  \  ( 1 ... k
) )  -.  p  ||  r }  =  {
n  e.  ( 1 ... ( ( 2 ^ ( k  +  1 ) ) ^
2 ) )  | 
A. w  e.  ( Prime  \  ( 1 ... k ) )  -.  w  ||  n }
116 simpll 731 . . . . . . 7  |-  ( ( (  seq  1 (  +  ,  F )  e.  dom  ~~>  /\  k  e.  NN )  /\  sum_ j  e.  ( ZZ>= `  ( k  +  1 ) ) if ( j  e.  Prime ,  ( 1  /  j ) ,  0 )  < 
( 1  /  2
) )  ->  seq  1 (  +  ,  F )  e.  dom  ~~>  )
117 eleq1 2496 . . . . . . . . . 10  |-  ( m  =  j  ->  (
m  e.  Prime  <->  j  e.  Prime ) )
118 oveq2 6089 . . . . . . . . . 10  |-  ( m  =  j  ->  (
1  /  m )  =  ( 1  / 
j ) )
119 eqidd 2437 . . . . . . . . . 10  |-  ( m  =  j  ->  0  =  0 )
120117, 118, 119ifbieq12d 3761 . . . . . . . . 9  |-  ( m  =  j  ->  if ( m  e.  Prime ,  ( 1  /  m
) ,  0 )  =  if ( j  e.  Prime ,  ( 1  /  j ) ,  0 ) )
121120cbvsumv 12490 . . . . . . . 8  |-  sum_ m  e.  ( ZZ>= `  ( k  +  1 ) ) if ( m  e. 
Prime ,  ( 1  /  m ) ,  0 )  =  sum_ j  e.  ( ZZ>= `  ( k  +  1 ) ) if ( j  e.  Prime ,  ( 1  /  j ) ,  0 )
122 simpr 448 . . . . . . . 8  |-  ( ( (  seq  1 (  +  ,  F )  e.  dom  ~~>  /\  k  e.  NN )  /\  sum_ j  e.  ( ZZ>= `  ( k  +  1 ) ) if ( j  e.  Prime ,  ( 1  /  j ) ,  0 )  < 
( 1  /  2
) )  ->  sum_ j  e.  ( ZZ>= `  ( k  +  1 ) ) if ( j  e. 
Prime ,  ( 1  /  j ) ,  0 )  <  (
1  /  2 ) )
123121, 122syl5eqbr 4245 . . . . . . 7  |-  ( ( (  seq  1 (  +  ,  F )  e.  dom  ~~>  /\  k  e.  NN )  /\  sum_ j  e.  ( ZZ>= `  ( k  +  1 ) ) if ( j  e.  Prime ,  ( 1  /  j ) ,  0 )  < 
( 1  /  2
) )  ->  sum_ m  e.  ( ZZ>= `  ( k  +  1 ) ) if ( m  e. 
Prime ,  ( 1  /  m ) ,  0 )  <  (
1  /  2 ) )
124 eqid 2436 . . . . . . 7  |-  ( w  e.  NN  |->  { n  e.  ( 1 ... (
( 2 ^ (
k  +  1 ) ) ^ 2 ) )  |  ( w  e.  Prime  /\  w  ||  n ) } )  =  ( w  e.  NN  |->  { n  e.  ( 1 ... (
( 2 ^ (
k  +  1 ) ) ^ 2 ) )  |  ( w  e.  Prime  /\  w  ||  n ) } )
1259, 100, 107, 115, 116, 123, 124prmreclem5 13288 . . . . . 6  |-  ( ( (  seq  1 (  +  ,  F )  e.  dom  ~~>  /\  k  e.  NN )  /\  sum_ j  e.  ( ZZ>= `  ( k  +  1 ) ) if ( j  e.  Prime ,  ( 1  /  j ) ,  0 )  < 
( 1  /  2
) )  ->  (
( ( 2 ^ ( k  +  1 ) ) ^ 2 )  /  2 )  <  ( ( 2 ^ k )  x.  ( sqr `  (
( 2 ^ (
k  +  1 ) ) ^ 2 ) ) ) )
126125ex 424 . . . . 5  |-  ( (  seq  1 (  +  ,  F )  e. 
dom 
~~>  /\  k  e.  NN )  ->  ( sum_ j  e.  ( ZZ>= `  ( k  +  1 ) ) if ( j  e. 
Prime ,  ( 1  /  j ) ,  0 )  <  (
1  /  2 )  ->  ( ( ( 2 ^ ( k  +  1 ) ) ^ 2 )  / 
2 )  <  (
( 2 ^ k
)  x.  ( sqr `  ( ( 2 ^ ( k  +  1 ) ) ^ 2 ) ) ) ) )
127 eqid 2436 . . . . . . . . 9  |-  ( ZZ>= `  ( k  +  1 ) )  =  (
ZZ>= `  ( k  +  1 ) )
128102nnzd 10374 . . . . . . . . 9  |-  ( (  seq  1 (  +  ,  F )  e. 
dom 
~~>  /\  k  e.  NN )  ->  ( k  +  1 )  e.  ZZ )
1291uztrn2 10503 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( k  +  1 )  e.  NN  /\  j  e.  ( ZZ>= `  ( k  +  1 ) ) )  -> 
j  e.  NN )
130102, 129sylan 458 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( (  seq  1 (  +  ,  F )  e.  dom  ~~>  /\  k  e.  NN )  /\  j  e.  ( ZZ>= `  ( k  +  1 ) ) )  ->  j  e.  NN )
131130, 45syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( (  seq  1 (  +  ,  F )  e.  dom  ~~>  /\  k  e.  NN )  /\  j  e.  ( ZZ>= `  ( k  +  1 ) ) )  ->  ( F `  j )  =  if ( j  e.  Prime ,  ( 1  /  j
) ,  0 ) )
13243a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ( (  seq  1 (  +  ,  F )  e.  dom  ~~>  /\  k  e.  NN )  /\  j  e.  ( ZZ>= `  ( k  +  1 ) ) )  ->  if (
j  e.  Prime ,  ( 1  /  j ) ,  0 )  e.  RR )
133 simpl 444 . . . . . . . . . 10  |-  ( (  seq  1 (  +  ,  F )  e. 
dom 
~~>  /\  k  e.  NN )  ->  seq  1 (  +  ,  F )  e.  dom  ~~>  )
13445adantl 453 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( (  seq  1 (  +  ,  F )  e.  dom  ~~>  /\  k  e.  NN )  /\  j  e.  NN )  ->  ( F `  j )  =  if ( j  e. 
Prime ,  ( 1  /  j ) ,  0 ) )
13543recni 9102 . . . . . . . . . . . . 13  |-  if ( j  e.  Prime ,  ( 1  /  j ) ,  0 )  e.  CC
136135a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( (  seq  1 (  +  ,  F )  e.  dom  ~~>  /\  k  e.  NN )  /\  j  e.  NN )  ->  if ( j  e.  Prime ,  ( 1  /  j
) ,  0 )  e.  CC )
137134, 136eqeltrd 2510 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( (  seq  1 (  +  ,  F )  e.  dom  ~~>  /\  k  e.  NN )  /\  j  e.  NN )  ->  ( F `  j )  e.  CC )
1381, 102, 137iserex 12450 . . . . . . . . . 10  |-  ( (  seq  1 (  +  ,  F )  e. 
dom 
~~>  /\  k  e.  NN )  ->  (  seq  1
(  +  ,  F
)  e.  dom  ~~>  <->  seq  ( k  +  1 ) (  +  ,  F )  e.  dom  ~~>  ) )
139133, 138mpbid 202 . . . . . . . . 9  |-  ( (  seq  1 (  +  ,  F )  e. 
dom 
~~>  /\  k  e.  NN )  ->  seq  ( k  +  1 ) (  +  ,  F )  e.  dom  ~~>  )
140127, 128, 131, 132, 139isumrecl 12549 . . . . . . . 8  |-  ( (  seq  1 (  +  ,  F )  e. 
dom 
~~>  /\  k  e.  NN )  ->  sum_ j  e.  (
ZZ>= `  ( k  +  1 ) ) if ( j  e.  Prime ,  ( 1  /  j
) ,  0 )  e.  RR )
14181a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( (  seq  1 (  +  ,  F )  e. 
dom 
~~>  /\  k  e.  NN )  ->  ( 1  / 
2 )  e.  RR )
142 elfznn 11080 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( j  e.  ( 1 ... k )  ->  j  e.  NN )
143142adantl 453 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( (  seq  1 (  +  ,  F )  e.  dom  ~~>  /\  k  e.  NN )  /\  j  e.  ( 1 ... k
) )  ->  j  e.  NN )
144143, 45syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( (  seq  1 (  +  ,  F )  e.  dom  ~~>  /\  k  e.  NN )  /\  j  e.  ( 1 ... k
) )  ->  ( F `  j )  =  if ( j  e. 
Prime ,  ( 1  /  j ) ,  0 ) )
14532, 1syl6eleq 2526 . . . . . . . . . 10  |-  ( (  seq  1 (  +  ,  F )  e. 
dom 
~~>  /\  k  e.  NN )  ->  k  e.  (
ZZ>= `  1 ) )
146135a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( (  seq  1 (  +  ,  F )  e.  dom  ~~>  /\  k  e.  NN )  /\  j  e.  ( 1 ... k
) )  ->  if ( j  e.  Prime ,  ( 1  /  j
) ,  0 )  e.  CC )
147144, 145, 146fsumser 12524 . . . . . . . . 9  |-  ( (  seq  1 (  +  ,  F )  e. 
dom 
~~>  /\  k  e.  NN )  ->  sum_ j  e.  ( 1 ... k ) if ( j  e. 
Prime ,  ( 1  /  j ) ,  0 )  =  (  seq  1 (  +  ,  F ) `  k ) )
148147, 30eqeltrd 2510 . . . . . . . 8  |-  ( (  seq  1 (  +  ,  F )  e. 
dom 
~~>  /\  k  e.  NN )  ->  sum_ j  e.  ( 1 ... k ) if ( j  e. 
Prime ,  ( 1  /  j ) ,  0 )  e.  RR )
149140, 141, 148ltadd2d 9226 . . . . . . 7  |-  ( (  seq  1 (  +  ,  F )  e. 
dom 
~~>  /\  k  e.  NN )  ->  ( sum_ j  e.  ( ZZ>= `  ( k  +  1 ) ) if ( j  e. 
Prime ,  ( 1  /  j ) ,  0 )  <  (
1  /  2 )  <-> 
( sum_ j  e.  ( 1 ... k ) if ( j  e. 
Prime ,  ( 1  /  j ) ,  0 )  +  sum_ j  e.  ( ZZ>= `  ( k  +  1 ) ) if ( j  e.  Prime ,  ( 1  /  j ) ,  0 ) )  <  ( sum_ j  e.  ( 1 ... k
) if ( j  e.  Prime ,  ( 1  /  j ) ,  0 )  +  ( 1  /  2 ) ) ) )
1501, 127, 102, 134, 136, 133isumsplit 12620 . . . . . . . . 9  |-  ( (  seq  1 (  +  ,  F )  e. 
dom 
~~>  /\  k  e.  NN )  ->  sum_ j  e.  NN  if ( j  e.  Prime ,  ( 1  /  j
) ,  0 )  =  ( sum_ j  e.  ( 1 ... (
( k  +  1 )  -  1 ) ) if ( j  e.  Prime ,  ( 1  /  j ) ,  0 )  +  sum_ j  e.  ( ZZ>= `  ( k  +  1 ) ) if ( j  e.  Prime ,  ( 1  /  j ) ,  0 ) ) )
151 nncn 10008 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  e.  NN  ->  k  e.  CC )
152151adantl 453 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (  seq  1 (  +  ,  F )  e. 
dom 
~~>  /\  k  e.  NN )  ->  k  e.  CC )
153 ax-1cn 9048 . . . . . . . . . . . . 13  |-  1  e.  CC
154 pncan 9311 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( k  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  ( ( k  +  1 )  -  1 )  =  k )
155152, 153, 154sylancl 644 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (  seq  1 (  +  ,  F )  e. 
dom 
~~>  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( k  +  1 )  - 
1 )  =  k )
156155oveq2d 6097 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (  seq  1 (  +  ,  F )  e. 
dom 
~~>  /\  k  e.  NN )  ->  ( 1 ... ( ( k  +  1 )  -  1 ) )  =  ( 1 ... k ) )
157156sumeq1d 12495 . . . . . . . . . 10  |-  ( (  seq  1 (  +  ,  F )  e. 
dom 
~~>  /\  k  e.  NN )  ->  sum_ j  e.  ( 1 ... ( ( k  +  1 )  -  1 ) ) if ( j  e. 
Prime ,  ( 1  /  j ) ,  0 )  =  sum_ j  e.  ( 1 ... k ) if ( j  e.  Prime ,  ( 1  /  j
) ,  0 ) )
158157oveq1d 6096 . . . . . . . . 9  |-  ( (  seq  1 (  +  ,  F )  e. 
dom 
~~>  /\  k  e.  NN )  ->  ( sum_ j  e.  ( 1 ... (
( k  +  1 )  -  1 ) ) if ( j  e.  Prime ,  ( 1  /  j ) ,  0 )  +  sum_ j  e.  ( ZZ>= `  ( k  +  1 ) ) if ( j  e.  Prime ,  ( 1  /  j ) ,  0 ) )  =  ( sum_ j  e.  ( 1 ... k
) if ( j  e.  Prime ,  ( 1  /  j ) ,  0 )  +  sum_ j  e.  ( ZZ>= `  ( k  +  1 ) ) if ( j  e.  Prime ,  ( 1  /  j ) ,  0 ) ) )
159150, 158eqtrd 2468 . . . . . . . 8  |-  ( (  seq  1 (  +  ,  F )  e. 
dom 
~~>  /\  k  e.  NN )  ->  sum_ j  e.  NN  if ( j  e.  Prime ,  ( 1  /  j
) ,  0 )  =  ( sum_ j  e.  ( 1 ... k
) if ( j  e.  Prime ,  ( 1  /  j ) ,  0 )  +  sum_ j  e.  ( ZZ>= `  ( k  +  1 ) ) if ( j  e.  Prime ,  ( 1  /  j ) ,  0 ) ) )
160159breq1d 4222 . . . . . . 7  |-  ( (  seq  1 (  +  ,  F )  e. 
dom 
~~>  /\  k  e.  NN )  ->  ( sum_ j  e.  NN  if ( j  e.  Prime ,  ( 1  /  j ) ,  0 )  <  ( sum_ j  e.  ( 1 ... k ) if ( j  e.  Prime ,  ( 1  /  j
) ,  0 )  +  ( 1  / 
2 ) )  <->  ( sum_ j  e.  ( 1 ... k ) if ( j  e.  Prime ,  ( 1  /  j
) ,  0 )  +  sum_ j  e.  (
ZZ>= `  ( k  +  1 ) ) if ( j  e.  Prime ,  ( 1  /  j
) ,  0 ) )  <  ( sum_ j  e.  ( 1 ... k ) if ( j  e.  Prime ,  ( 1  /  j
) ,  0 )  +  ( 1  / 
2 ) ) ) )
161149, 160bitr4d 248 . . . . . 6  |-  ( (  seq  1 (  +  ,  F )  e. 
dom 
~~>  /\  k  e.  NN )  ->  ( sum_ j  e.  ( ZZ>= `  ( k  +  1 ) ) if ( j  e. 
Prime ,  ( 1  /  j ) ,  0 )  <  (
1  /  2 )  <->  sum_ j  e.  NN  if ( j  e.  Prime ,  ( 1  /  j
) ,  0 )  <  ( sum_ j  e.  ( 1 ... k
) if ( j  e.  Prime ,  ( 1  /  j ) ,  0 )  +  ( 1  /  2 ) ) ) )
162 eqid 2436 . . . . . . . . . 10  |-  seq  1
(  +  ,  F
)  =  seq  1
(  +  ,  F
)
1631, 162, 26, 46, 47, 58, 66isumsup 12627 . . . . . . . . 9  |-  (  seq  1 (  +  ,  F )  e.  dom  ~~>  ->  sum_ j  e.  NN  if ( j  e.  Prime ,  ( 1  /  j
) ,  0 )  =  sup ( ran 
seq  1 (  +  ,  F ) ,  RR ,  <  )
)
164163, 74eqeltrd 2510 . . . . . . . 8  |-  (  seq  1 (  +  ,  F )  e.  dom  ~~>  ->  sum_ j  e.  NN  if ( j  e.  Prime ,  ( 1  /  j
) ,  0 )  e.  RR )
165164adantr 452 . . . . . . 7  |-  ( (  seq  1 (  +  ,  F )  e. 
dom 
~~>  /\  k  e.  NN )  ->  sum_ j  e.  NN  if ( j  e.  Prime ,  ( 1  /  j
) ,  0 )  e.  RR )
166165, 141, 148ltsubaddd 9622 . . . . . 6  |-  ( (  seq  1 (  +  ,  F )  e. 
dom 
~~>  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( sum_ j  e.  NN  if ( j  e.  Prime ,  ( 1  /  j
) ,  0 )  -  ( 1  / 
2 ) )  <  sum_ j  e.  ( 1 ... k ) if ( j  e.  Prime ,  ( 1  /  j
) ,  0 )  <->  sum_ j  e.  NN  if ( j  e.  Prime ,  ( 1  /  j
) ,  0 )  <  ( sum_ j  e.  ( 1 ... k
) if ( j  e.  Prime ,  ( 1  /  j ) ,  0 )  +  ( 1  /  2 ) ) ) )
167163adantr 452 . . . . . . . 8  |-  ( (  seq  1 (  +  ,  F )  e. 
dom 
~~>  /\  k  e.  NN )  ->  sum_ j  e.  NN  if ( j  e.  Prime ,  ( 1  /  j
) ,  0 )  =  sup ( ran 
seq  1 (  +  ,  F ) ,  RR ,  <  )
)
168167oveq1d 6096 . . . . . . 7  |-  ( (  seq  1 (  +  ,  F )  e. 
dom 
~~>  /\  k  e.  NN )  ->  ( sum_ j  e.  NN  if ( j  e.  Prime ,  ( 1  /  j ) ,  0 )  -  (
1  /  2 ) )  =  ( sup ( ran  seq  1
(  +  ,  F
) ,  RR ,  <  )  -  ( 1  /  2 ) ) )
169168, 147breq12d 4225 . . . . . 6  |-  ( (  seq  1 (  +  ,  F )  e. 
dom 
~~>  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( sum_ j  e.  NN  if ( j  e.  Prime ,  ( 1  /  j
) ,  0 )  -  ( 1  / 
2 ) )  <  sum_ j  e.  ( 1 ... k ) if ( j  e.  Prime ,  ( 1  /  j
) ,  0 )  <-> 
( sup ( ran 
seq  1 (  +  ,  F ) ,  RR ,  <  )  -  ( 1  / 
2 ) )  < 
(  seq  1 (  +  ,  F ) `
 k ) ) )
170161, 166, 1693bitr2d 273 . . . . 5  |-  ( (  seq  1 (  +  ,  F )  e. 
dom 
~~>  /\  k  e.  NN )  ->  ( sum_ j  e.  ( ZZ>= `  ( k  +  1 ) ) if ( j  e. 
Prime ,  ( 1  /  j ) ,  0 )  <  (
1  /  2 )  <-> 
( sup ( ran 
seq  1 (  +  ,  F ) ,  RR ,  <  )  -  ( 1  / 
2 ) )  < 
(  seq  1 (  +  ,  F ) `
 k ) ) )
171 2cn 10070 . . . . . . . . . . . . 13  |-  2  e.  CC
172171a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (  seq  1 (  +  ,  F )  e. 
dom 
~~>  /\  k  e.  NN )  ->  2  e.  CC )
173153a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (  seq  1 (  +  ,  F )  e. 
dom 
~~>  /\  k  e.  NN )  ->  1  e.  CC )
174172, 152, 173adddid 9112 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (  seq  1 (  +  ,  F )  e. 
dom 
~~>  /\  k  e.  NN )  ->  ( 2  x.  ( k  +  1 ) )  =  ( ( 2  x.  k
)  +  ( 2  x.  1 ) ) )
175102nncnd 10016 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (  seq  1 (  +  ,  F )  e. 
dom 
~~>  /\  k  e.  NN )  ->  ( k  +  1 )  e.  CC )
176 mulcom 9076 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( k  +  1 )  e.  CC  /\  2  e.  CC )  ->  ( ( k  +  1 )  x.  2 )  =  ( 2  x.  ( k  +  1 ) ) )
177175, 171, 176sylancl 644 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (  seq  1 (  +  ,  F )  e. 
dom 
~~>  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( k  +  1 )  x.  2 )  =  ( 2  x.  ( k  +  1 ) ) )
17894nncnd 10016 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (  seq  1 (  +  ,  F )  e. 
dom 
~~>  /\  k  e.  NN )  ->  ( 2  x.  k )  e.  CC )
179178, 173, 173addassd 9110 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (  seq  1 (  +  ,  F )  e. 
dom 
~~>  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( ( 2  x.  k )  +  1 )  +  1 )  =  ( ( 2  x.  k
)  +  ( 1  +  1 ) ) )
1801532timesi 10101 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 2  x.  1 )  =  ( 1  +  1 )
181180oveq2i 6092 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 2  x.  k )  +  ( 2  x.  1 ) )  =  ( ( 2  x.  k )  +  ( 1  +  1 ) )
182179, 181syl6eqr 2486 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (  seq  1 (  +  ,  F )  e. 
dom 
~~>  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( ( 2  x.  k )  +  1 )  +  1 )  =  ( ( 2  x.  k
)  +  ( 2  x.  1 ) ) )
183174, 177, 1823eqtr4d 2478 . . . . . . . . . 10  |-  ( (  seq  1 (  +  ,  F )  e. 
dom 
~~>  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( k  +  1 )  x.  2 )  =  ( ( ( 2  x.  k )  +  1 )  +  1 ) )
184183oveq2d 6097 . . . . . . . . 9  |-  ( (  seq  1 (  +  ,  F )  e. 
dom 
~~>  /\  k  e.  NN )  ->  ( 2 ^ ( ( k  +  1 )  x.  2 ) )  =  ( 2 ^ ( ( ( 2  x.  k
)  +  1 )  +  1 ) ) )
185 2nn0 10238 . . . . . . . . . . 11  |-  2  e.  NN0
186185a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( (  seq  1 (  +  ,  F )  e. 
dom 
~~>  /\  k  e.  NN )  ->  2  e.  NN0 )
187172, 186, 103expmuld 11526 . . . . . . . . 9  |-  ( (  seq  1 (  +  ,  F )  e. 
dom 
~~>  /\  k  e.  NN )  ->  ( 2 ^ ( ( k  +  1 )  x.  2 ) )  =  ( ( 2 ^ (
k  +  1 ) ) ^ 2 ) )
188 expp1 11388 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 2  e.  CC  /\  ( ( 2  x.  k )  +  1 )  e.  NN0 )  ->  ( 2 ^ (
( ( 2  x.  k )  +  1 )  +  1 ) )  =  ( ( 2 ^ ( ( 2  x.  k )  +  1 ) )  x.  2 ) )
189171, 96, 188sylancr 645 . . . . . . . . 9  |-  ( (  seq  1 (  +  ,  F )  e. 
dom 
~~>  /\  k  e.  NN )  ->  ( 2 ^ ( ( ( 2  x.  k )  +  1 )  +  1 ) )  =  ( ( 2 ^ (
( 2  x.  k
)  +  1 ) )  x.  2 ) )
190184, 187, 1893eqtr3d 2476 . . . . . . . 8  |-  ( (  seq  1 (  +  ,  F )  e. 
dom 
~~>  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( 2 ^ ( k  +  1 ) ) ^
2 )  =  ( ( 2 ^ (
( 2  x.  k
)  +  1 ) )  x.  2 ) )
191190oveq1d 6096 . . . . . . 7  |-  ( (  seq  1 (  +  ,  F )  e. 
dom 
~~>  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( ( 2 ^ ( k  +  1 ) ) ^ 2 )  / 
2 )  =  ( ( ( 2 ^ ( ( 2  x.  k )  +  1 ) )  x.  2 )  /  2 ) )
192 expcl 11399 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 2  e.  CC  /\  ( ( 2  x.  k )  +  1 )  e.  NN0 )  ->  ( 2 ^ (
( 2  x.  k
)  +  1 ) )  e.  CC )
193171, 96, 192sylancr 645 . . . . . . . 8  |-  ( (  seq  1 (  +  ,  F )  e. 
dom 
~~>  /\  k  e.  NN )  ->  ( 2 ^ ( ( 2  x.  k )  +  1 ) )  e.  CC )
194 2ne0 10083 . . . . . . . . 9  |-  2  =/=  0
195 divcan4 9703 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( 2 ^ (
( 2  x.  k
)  +  1 ) )  e.  CC  /\  2  e.  CC  /\  2  =/=  0 )  ->  (
( ( 2 ^ ( ( 2  x.  k )  +  1 ) )  x.  2 )  /  2 )  =  ( 2 ^ ( ( 2  x.  k )  +  1 ) ) )
196171, 194, 195mp3an23 1271 . . . . . . . 8  |-  ( ( 2 ^ ( ( 2  x.  k )  +  1 ) )  e.  CC  ->  (
( ( 2 ^ ( ( 2  x.  k )  +  1 ) )  x.  2 )  /  2 )  =  ( 2 ^ ( ( 2  x.  k )  +  1 ) ) )
197193, 196syl 16 . . . . . . 7  |-  ( (  seq  1 (  +  ,  F )  e. 
dom 
~~>  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( ( 2 ^ ( ( 2  x.  k )  +  1 ) )  x.  2 )  / 
2 )  =  ( 2 ^ ( ( 2  x.  k )  +  1 ) ) )
198191, 197eqtrd 2468 . . . . . 6  |-  ( (  seq  1 (  +  ,  F )  e. 
dom 
~~>  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( ( 2 ^ ( k  +  1 ) ) ^ 2 )  / 
2 )  =  ( 2 ^ ( ( 2  x.  k )  +  1 ) ) )
199 nnnn0 10228 . . . . . . . . 9  |-  ( k  e.  NN  ->  k  e.  NN0 )
200199adantl 453 . . . . . . . 8  |-  ( (  seq  1 (  +  ,  F )  e. 
dom 
~~>  /\  k  e.  NN )  ->  k  e.  NN0 )
201172, 103, 200expaddd 11525 . . . . . . 7  |-  ( (  seq  1 (  +  ,  F )  e. 
dom 
~~>  /\  k  e.  NN )  ->  ( 2 ^ ( k  +  ( k  +  1 ) ) )  =  ( ( 2 ^ k
)  x.  ( 2 ^ ( k  +  1 ) ) ) )
2021522timesd 10210 . . . . . . . . . 10  |-  ( (  seq  1 (  +  ,  F )  e. 
dom 
~~>  /\  k  e.  NN )  ->  ( 2  x.  k )  =  ( k  +  k ) )
203202oveq1d 6096 . . . . . . . . 9  |-  ( (  seq  1 (  +  ,  F )  e. 
dom 
~~>  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( 2  x.  k )  +  1 )  =  ( ( k  +  k )  +  1 ) )
204152, 152, 173addassd 9110 . . . . . . . . 9  |-  ( (  seq  1 (  +  ,  F )  e. 
dom 
~~>  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( k  +  k )  +  1 )  =  ( k  +  ( k  +  1 ) ) )
205203, 204eqtrd 2468 . . . . . . . 8  |-  ( (  seq  1 (  +  ,  F )  e. 
dom 
~~>  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( 2  x.  k )  +  1 )  =  ( k  +  ( k  +  1 ) ) )
206205oveq2d 6097 . . . . . . 7  |-  ( (  seq  1 (  +  ,  F )  e. 
dom 
~~>  /\  k  e.  NN )  ->  ( 2 ^ ( ( 2  x.  k )  +  1 ) )  =  ( 2 ^ ( k  +  ( k  +  1 ) ) ) )
207105nnrpd 10647 . . . . . . . . . 10  |-  ( (  seq  1 (  +  ,  F )  e. 
dom 
~~>  /\  k  e.  NN )  ->  ( 2 ^ ( k  +  1 ) )  e.  RR+ )
208207rprege0d 10655 . . . . . . . . 9  |-  ( (  seq  1 (  +  ,  F )  e. 
dom 
~~>  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( 2 ^ ( k  +  1 ) )  e.  RR  /\  0  <_ 
( 2 ^ (
k  +  1 ) ) ) )
209 sqrsq 12075 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( 2 ^ (
k  +  1 ) )  e.  RR  /\  0  <_  ( 2 ^ ( k  +  1 ) ) )  -> 
( sqr `  (
( 2 ^ (
k  +  1 ) ) ^ 2 ) )  =  ( 2 ^ ( k  +  1 ) ) )
210208, 209syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( (  seq  1 (  +  ,  F )  e. 
dom 
~~>  /\  k  e.  NN )  ->  ( sqr `  (
( 2 ^ (
k  +  1 ) ) ^ 2 ) )  =  ( 2 ^ ( k  +  1 ) ) )
211210oveq2d 6097 . . . . . . 7  |-  ( (  seq  1 (  +  ,  F )  e. 
dom 
~~>  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( 2 ^ k )  x.  ( sqr `  (
( 2 ^ (
k  +  1 ) ) ^ 2 ) ) )  =  ( ( 2 ^ k
)  x.  ( 2 ^ ( k  +  1 ) ) ) )
212201, 206, 2113eqtr4rd 2479 . . . . . 6  |-  ( (  seq  1 (  +  ,  F )  e. 
dom 
~~>  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( 2 ^ k )  x.  ( sqr `  (
( 2 ^ (
k  +  1 ) ) ^ 2 ) ) )  =  ( 2 ^ ( ( 2  x.  k )  +  1 ) ) )
213198, 212breq12d 4225 . . . . 5  |-  ( (  seq  1 (  +  ,  F )  e. 
dom 
~~>  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( ( ( 2 ^ (
k  +  1 ) ) ^ 2 )  /  2 )  < 
( ( 2 ^ k )  x.  ( sqr `  ( ( 2 ^ ( k  +  1 ) ) ^
2 ) ) )  <-> 
( 2 ^ (
( 2  x.  k
)  +  1 ) )  <  ( 2 ^ ( ( 2  x.  k )  +  1 ) ) ) )
214126, 170, 2133imtr3d 259 . . . 4  |-  ( (  seq  1 (  +  ,  F )  e. 
dom 
~~>  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( sup ( ran  seq  1
(  +  ,  F
) ,  RR ,  <  )  -  ( 1  /  2 ) )  <  (  seq  1
(  +  ,  F
) `  k )  ->  ( 2 ^ (
( 2  x.  k
)  +  1 ) )  <  ( 2 ^ ( ( 2  x.  k )  +  1 ) ) ) )
21599, 214mtod 170 . . 3  |-  ( (  seq  1 (  +  ,  F )  e. 
dom 
~~>  /\  k  e.  NN )  ->  -.  ( sup ( ran  seq  1 (  +  ,  F ) ,  RR ,  <  )  -  ( 1  / 
2 ) )  < 
(  seq  1 (  +  ,  F ) `
 k ) )
216215nrexdv 2809 . 2  |-  (  seq  1 (  +  ,  F )  e.  dom  ~~>  ->  -.  E. k  e.  NN  ( sup ( ran  seq  1 (  +  ,  F ) ,  RR ,  <  )  -  (
1  /  2 ) )  <  (  seq  1 (  +  ,  F ) `  k
) )
21790, 216pm2.65i 167 1  |-  -.  seq  1 (  +  ,  F )  e.  dom  ~~>
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    <-> wb 177    /\ wa 359    T. wtru 1325    = wceq 1652    e. wcel 1725    =/= wne 2599   A.wral 2705   E.wrex 2706   {crab 2709    \ cdif 3317    C_ wss 3320   (/)c0 3628   ifcif 3739   class class class wbr 4212    e. cmpt 4266   dom cdm 4878   ran crn 4879    Fn wfn 5449   -->wf 5450   ` cfv 5454  (class class class)co 6081   supcsup 7445   CCcc 8988   RRcr 8989   0cc0 8990   1c1 8991    + caddc 8993    x. cmul 8995    < clt 9120    <_ cle 9121    - cmin 9291    / cdiv 9677   NNcn 10000   2c2 10049   NN0cn0 10221   ZZcz 10282   ZZ>=cuz 10488   RR+crp 10612   ...cfz 11043    seq cseq 11323   ^cexp 11382   sqrcsqr 12038    ~~> cli 12278   sum_csu 12479    || cdivides 12852   Primecprime 13079
This theorem is referenced by:  prmrec  13290
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-rep 4320  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701  ax-inf2 7596  ax-cnex 9046  ax-resscn 9047  ax-1cn 9048  ax-icn 9049  ax-addcl 9050  ax-addrcl 9051  ax-mulcl 9052  ax-mulrcl 9053  ax-mulcom 9054  ax-addass 9055  ax-mulass 9056  ax-distr 9057  ax-i2m1 9058  ax-1ne0 9059  ax-1rid 9060  ax-rnegex 9061  ax-rrecex 9062  ax-cnre 9063  ax-pre-lttri 9064  ax-pre-lttrn 9065  ax-pre-ltadd 9066  ax-pre-mulgt0 9067  ax-pre-sup 9068
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rmo 2713  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-pss 3336  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-tp 3822  df-op 3823  df-uni 4016  df-int 4051  df-iun 4095  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-tr 4303  df-eprel 4494  df-id 4498  df-po 4503  df-so 4504  df-fr 4541  df-se 4542  df-we 4543  df-ord 4584  df-on 4585  df-lim 4586  df-suc 4587  df-om 4846  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-isom 5463  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-1st 6349  df-2nd 6350  df-riota 6549  df-recs 6633  df-rdg 6668  df-1o 6724  df-2o 6725  df-oadd 6728  df-er 6905  df-map 7020  df-pm 7021  df-en 7110  df-dom 7111  df-sdom 7112  df-fin 7113  df-sup 7446  df-oi 7479  df-card 7826  df-cda 8048  df-pnf 9122  df-mnf 9123  df-xr 9124  df-ltxr 9125  df-le 9126  df-sub 9293  df-neg 9294  df-div 9678  df-nn 10001  df-2 10058  df-3 10059  df-n0 10222  df-z 10283  df-uz 10489  df-q 10575  df-rp 10613  df-fz 11044  df-fzo 11136  df-fl 11202  df-mod 11251  df-seq 11324  df-exp 11383  df-hash 11619  df-cj 11904  df-re 11905  df-im 11906  df-sqr 12040  df-abs 12041  df-clim 12282  df-rlim 12283  df-sum 12480  df-dvds 12853  df-gcd 13007  df-prm 13080  df-pc 13211
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