MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  prmunb Unicode version

Theorem prmunb 12961
Description: The primes are unbounded. (Contributed by Paul Chapman, 28-Nov-2012.)
Assertion
Ref Expression
prmunb  |-  ( N  e.  NN  ->  E. p  e.  Prime  N  <  p
)
Distinct variable group:    N, p

Proof of Theorem prmunb
StepHypRef Expression
1 nnnn0 9972 . 2  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  NN0 )
2 faccl 11298 . . . 4  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ! `
 N )  e.  NN )
3 elnnuz 10264 . . . . 5  |-  ( ( ! `  N )  e.  NN  <->  ( ! `  N )  e.  (
ZZ>= `  1 ) )
4 eluzp1p1 10253 . . . . . 6  |-  ( ( ! `  N )  e.  ( ZZ>= `  1
)  ->  ( ( ! `  N )  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  ( 1  +  1 ) ) )
5 df-2 9804 . . . . . . 7  |-  2  =  ( 1  +  1 )
65fveq2i 5528 . . . . . 6  |-  ( ZZ>= ` 
2 )  =  (
ZZ>= `  ( 1  +  1 ) )
74, 6syl6eleqr 2374 . . . . 5  |-  ( ( ! `  N )  e.  ( ZZ>= `  1
)  ->  ( ( ! `  N )  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  2 )
)
83, 7sylbi 187 . . . 4  |-  ( ( ! `  N )  e.  NN  ->  (
( ! `  N
)  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  2
) )
9 exprmfct 12789 . . . 4  |-  ( ( ( ! `  N
)  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  E. p  e.  Prime  p  ||  (
( ! `  N
)  +  1 ) )
102, 8, 93syl 18 . . 3  |-  ( N  e.  NN0  ->  E. p  e.  Prime  p  ||  (
( ! `  N
)  +  1 ) )
11 prmz 12762 . . . . . . . . 9  |-  ( p  e.  Prime  ->  p  e.  ZZ )
12 nn0z 10046 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  NN0  ->  N  e.  ZZ )
13 eluz 10241 . . . . . . . . 9  |-  ( ( p  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( N  e.  (
ZZ>= `  p )  <->  p  <_  N ) )
1411, 12, 13syl2an 463 . . . . . . . 8  |-  ( ( p  e.  Prime  /\  N  e.  NN0 )  ->  ( N  e.  ( ZZ>= `  p )  <->  p  <_  N ) )
15 prmuz2 12776 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( p  e.  Prime  ->  p  e.  ( ZZ>= `  2 )
)
16 eluz2b2 10290 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( p  e.  ( ZZ>= `  2
)  <->  ( p  e.  NN  /\  1  < 
p ) )
1715, 16sylib 188 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( p  e.  Prime  ->  ( p  e.  NN  /\  1  <  p ) )
1817adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( p  e.  Prime  /\  N  e.  ( ZZ>= `  p )
)  ->  ( p  e.  NN  /\  1  < 
p ) )
1918simpld 445 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( p  e.  Prime  /\  N  e.  ( ZZ>= `  p )
)  ->  p  e.  NN )
2019nnnn0d 10018 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( p  e.  Prime  /\  N  e.  ( ZZ>= `  p )
)  ->  p  e.  NN0 )
21 eluznn0 10288 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( p  e.  NN0  /\  N  e.  ( ZZ>= `  p ) )  ->  N  e.  NN0 )
2220, 21sylancom 648 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( p  e.  Prime  /\  N  e.  ( ZZ>= `  p )
)  ->  N  e.  NN0 )
23 nnz 10045 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ! `  N )  e.  NN  ->  ( ! `  N )  e.  ZZ )
2422, 2, 233syl 18 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( p  e.  Prime  /\  N  e.  ( ZZ>= `  p )
)  ->  ( ! `  N )  e.  ZZ )
2518simprd 449 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( p  e.  Prime  /\  N  e.  ( ZZ>= `  p )
)  ->  1  <  p )
26 dvdsfac 12583 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( p  e.  NN  /\  N  e.  ( ZZ>= `  p ) )  ->  p  ||  ( ! `  N ) )
2719, 26sylancom 648 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( p  e.  Prime  /\  N  e.  ( ZZ>= `  p )
)  ->  p  ||  ( ! `  N )
)
28 ndvdsp1 12608 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ! `  N
)  e.  ZZ  /\  p  e.  NN  /\  1  <  p )  ->  (
p  ||  ( ! `  N )  ->  -.  p  ||  ( ( ! `
 N )  +  1 ) ) )
2928imp 418 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ! `  N )  e.  ZZ  /\  p  e.  NN  /\  1  <  p )  /\  p  ||  ( ! `  N ) )  ->  -.  p  ||  ( ( ! `  N )  +  1 ) )
3024, 19, 25, 27, 29syl31anc 1185 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( p  e.  Prime  /\  N  e.  ( ZZ>= `  p )
)  ->  -.  p  ||  ( ( ! `  N )  +  1 ) )
3130ex 423 . . . . . . . . 9  |-  ( p  e.  Prime  ->  ( N  e.  ( ZZ>= `  p
)  ->  -.  p  ||  ( ( ! `  N )  +  1 ) ) )
3231adantr 451 . . . . . . . 8  |-  ( ( p  e.  Prime  /\  N  e.  NN0 )  ->  ( N  e.  ( ZZ>= `  p )  ->  -.  p  ||  ( ( ! `
 N )  +  1 ) ) )
3314, 32sylbird 226 . . . . . . 7  |-  ( ( p  e.  Prime  /\  N  e.  NN0 )  ->  (
p  <_  N  ->  -.  p  ||  ( ( ! `  N )  +  1 ) ) )
3433con2d 107 . . . . . 6  |-  ( ( p  e.  Prime  /\  N  e.  NN0 )  ->  (
p  ||  ( ( ! `  N )  +  1 )  ->  -.  p  <_  N ) )
3534ancoms 439 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  p  e.  Prime )  -> 
( p  ||  (
( ! `  N
)  +  1 )  ->  -.  p  <_  N ) )
36 nn0re 9974 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN0  ->  N  e.  RR )
3711zred 10117 . . . . . 6  |-  ( p  e.  Prime  ->  p  e.  RR )
38 ltnle 8902 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  RR  /\  p  e.  RR )  ->  ( N  <  p  <->  -.  p  <_  N )
)
3936, 37, 38syl2an 463 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  p  e.  Prime )  -> 
( N  <  p  <->  -.  p  <_  N )
)
4035, 39sylibrd 225 . . . 4  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  p  e.  Prime )  -> 
( p  ||  (
( ! `  N
)  +  1 )  ->  N  <  p
) )
4140reximdva 2655 . . 3  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( E. p  e.  Prime  p  ||  ( ( ! `  N )  +  1 )  ->  E. p  e.  Prime  N  <  p
) )
4210, 41mpd 14 . 2  |-  ( N  e.  NN0  ->  E. p  e.  Prime  N  <  p
)
431, 42syl 15 1  |-  ( N  e.  NN  ->  E. p  e.  Prime  N  <  p
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934    e. wcel 1684   E.wrex 2544   class class class wbr 4023   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   RRcr 8736   1c1 8738    + caddc 8740    < clt 8867    <_ cle 8868   NNcn 9746   2c2 9795   NN0cn0 9965   ZZcz 10024   ZZ>=cuz 10230   !cfa 11288    || cdivides 12531   Primecprime 12758
This theorem is referenced by:  prminf  12962  nn0prpw  26239
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814  ax-pre-sup 8815
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-2o 6480  df-oadd 6483  df-er 6660  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-fin 6867  df-sup 7194  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-div 9424  df-nn 9747  df-2 9804  df-3 9805  df-n0 9966  df-z 10025  df-uz 10231  df-rp 10355  df-fz 10783  df-seq 11047  df-exp 11105  df-fac 11289  df-cj 11584  df-re 11585  df-im 11586  df-sqr 11720  df-abs 11721  df-dvds 12532  df-prm 12759
  Copyright terms: Public domain W3C validator