MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  prmunb Structured version   Unicode version

Theorem prmunb 13284
Description: The primes are unbounded. (Contributed by Paul Chapman, 28-Nov-2012.)
Assertion
Ref Expression
prmunb  |-  ( N  e.  NN  ->  E. p  e.  Prime  N  <  p
)
Distinct variable group:    N, p

Proof of Theorem prmunb
StepHypRef Expression
1 nnnn0 10230 . 2  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  NN0 )
2 faccl 11578 . . . 4  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ! `
 N )  e.  NN )
3 elnnuz 10524 . . . . 5  |-  ( ( ! `  N )  e.  NN  <->  ( ! `  N )  e.  (
ZZ>= `  1 ) )
4 eluzp1p1 10513 . . . . . 6  |-  ( ( ! `  N )  e.  ( ZZ>= `  1
)  ->  ( ( ! `  N )  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  ( 1  +  1 ) ) )
5 df-2 10060 . . . . . . 7  |-  2  =  ( 1  +  1 )
65fveq2i 5733 . . . . . 6  |-  ( ZZ>= ` 
2 )  =  (
ZZ>= `  ( 1  +  1 ) )
74, 6syl6eleqr 2529 . . . . 5  |-  ( ( ! `  N )  e.  ( ZZ>= `  1
)  ->  ( ( ! `  N )  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  2 )
)
83, 7sylbi 189 . . . 4  |-  ( ( ! `  N )  e.  NN  ->  (
( ! `  N
)  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  2
) )
9 exprmfct 13112 . . . 4  |-  ( ( ( ! `  N
)  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  E. p  e.  Prime  p  ||  (
( ! `  N
)  +  1 ) )
102, 8, 93syl 19 . . 3  |-  ( N  e.  NN0  ->  E. p  e.  Prime  p  ||  (
( ! `  N
)  +  1 ) )
11 prmz 13085 . . . . . . . . 9  |-  ( p  e.  Prime  ->  p  e.  ZZ )
12 nn0z 10306 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  NN0  ->  N  e.  ZZ )
13 eluz 10501 . . . . . . . . 9  |-  ( ( p  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( N  e.  (
ZZ>= `  p )  <->  p  <_  N ) )
1411, 12, 13syl2an 465 . . . . . . . 8  |-  ( ( p  e.  Prime  /\  N  e.  NN0 )  ->  ( N  e.  ( ZZ>= `  p )  <->  p  <_  N ) )
15 prmuz2 13099 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( p  e.  Prime  ->  p  e.  ( ZZ>= `  2 )
)
16 eluz2b2 10550 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( p  e.  ( ZZ>= `  2
)  <->  ( p  e.  NN  /\  1  < 
p ) )
1715, 16sylib 190 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( p  e.  Prime  ->  ( p  e.  NN  /\  1  <  p ) )
1817adantr 453 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( p  e.  Prime  /\  N  e.  ( ZZ>= `  p )
)  ->  ( p  e.  NN  /\  1  < 
p ) )
1918simpld 447 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( p  e.  Prime  /\  N  e.  ( ZZ>= `  p )
)  ->  p  e.  NN )
2019nnnn0d 10276 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( p  e.  Prime  /\  N  e.  ( ZZ>= `  p )
)  ->  p  e.  NN0 )
21 eluznn0 10548 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( p  e.  NN0  /\  N  e.  ( ZZ>= `  p ) )  ->  N  e.  NN0 )
2220, 21sylancom 650 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( p  e.  Prime  /\  N  e.  ( ZZ>= `  p )
)  ->  N  e.  NN0 )
23 nnz 10305 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ! `  N )  e.  NN  ->  ( ! `  N )  e.  ZZ )
2422, 2, 233syl 19 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( p  e.  Prime  /\  N  e.  ( ZZ>= `  p )
)  ->  ( ! `  N )  e.  ZZ )
2518simprd 451 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( p  e.  Prime  /\  N  e.  ( ZZ>= `  p )
)  ->  1  <  p )
26 dvdsfac 12906 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( p  e.  NN  /\  N  e.  ( ZZ>= `  p ) )  ->  p  ||  ( ! `  N ) )
2719, 26sylancom 650 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( p  e.  Prime  /\  N  e.  ( ZZ>= `  p )
)  ->  p  ||  ( ! `  N )
)
28 ndvdsp1 12931 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ! `  N
)  e.  ZZ  /\  p  e.  NN  /\  1  <  p )  ->  (
p  ||  ( ! `  N )  ->  -.  p  ||  ( ( ! `
 N )  +  1 ) ) )
2928imp 420 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ! `  N )  e.  ZZ  /\  p  e.  NN  /\  1  <  p )  /\  p  ||  ( ! `  N ) )  ->  -.  p  ||  ( ( ! `  N )  +  1 ) )
3024, 19, 25, 27, 29syl31anc 1188 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( p  e.  Prime  /\  N  e.  ( ZZ>= `  p )
)  ->  -.  p  ||  ( ( ! `  N )  +  1 ) )
3130ex 425 . . . . . . . . 9  |-  ( p  e.  Prime  ->  ( N  e.  ( ZZ>= `  p
)  ->  -.  p  ||  ( ( ! `  N )  +  1 ) ) )
3231adantr 453 . . . . . . . 8  |-  ( ( p  e.  Prime  /\  N  e.  NN0 )  ->  ( N  e.  ( ZZ>= `  p )  ->  -.  p  ||  ( ( ! `
 N )  +  1 ) ) )
3314, 32sylbird 228 . . . . . . 7  |-  ( ( p  e.  Prime  /\  N  e.  NN0 )  ->  (
p  <_  N  ->  -.  p  ||  ( ( ! `  N )  +  1 ) ) )
3433con2d 110 . . . . . 6  |-  ( ( p  e.  Prime  /\  N  e.  NN0 )  ->  (
p  ||  ( ( ! `  N )  +  1 )  ->  -.  p  <_  N ) )
3534ancoms 441 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  p  e.  Prime )  -> 
( p  ||  (
( ! `  N
)  +  1 )  ->  -.  p  <_  N ) )
36 nn0re 10232 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN0  ->  N  e.  RR )
3711zred 10377 . . . . . 6  |-  ( p  e.  Prime  ->  p  e.  RR )
38 ltnle 9157 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  RR  /\  p  e.  RR )  ->  ( N  <  p  <->  -.  p  <_  N )
)
3936, 37, 38syl2an 465 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  p  e.  Prime )  -> 
( N  <  p  <->  -.  p  <_  N )
)
4035, 39sylibrd 227 . . . 4  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  p  e.  Prime )  -> 
( p  ||  (
( ! `  N
)  +  1 )  ->  N  <  p
) )
4140reximdva 2820 . . 3  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( E. p  e.  Prime  p  ||  ( ( ! `  N )  +  1 )  ->  E. p  e.  Prime  N  <  p
) )
4210, 41mpd 15 . 2  |-  ( N  e.  NN0  ->  E. p  e.  Prime  N  <  p
)
431, 42syl 16 1  |-  ( N  e.  NN  ->  E. p  e.  Prime  N  <  p
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 178    /\ wa 360    /\ w3a 937    e. wcel 1726   E.wrex 2708   class class class wbr 4214   ` cfv 5456  (class class class)co 6083   RRcr 8991   1c1 8993    + caddc 8995    < clt 9122    <_ cle 9123   NNcn 10002   2c2 10051   NN0cn0 10223   ZZcz 10284   ZZ>=cuz 10490   !cfa 11568    || cdivides 12854   Primecprime 13081
This theorem is referenced by:  prminf  13285  nn0prpw  26328
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-sep 4332  ax-nul 4340  ax-pow 4379  ax-pr 4405  ax-un 4703  ax-cnex 9048  ax-resscn 9049  ax-1cn 9050  ax-icn 9051  ax-addcl 9052  ax-addrcl 9053  ax-mulcl 9054  ax-mulrcl 9055  ax-mulcom 9056  ax-addass 9057  ax-mulass 9058  ax-distr 9059  ax-i2m1 9060  ax-1ne0 9061  ax-1rid 9062  ax-rnegex 9063  ax-rrecex 9064  ax-cnre 9065  ax-pre-lttri 9066  ax-pre-lttrn 9067  ax-pre-ltadd 9068  ax-pre-mulgt0 9069  ax-pre-sup 9070
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rmo 2715  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-int 4053  df-iun 4097  df-br 4215  df-opab 4269  df-mpt 4270  df-tr 4305  df-eprel 4496  df-id 4500  df-po 4505  df-so 4506  df-fr 4543  df-we 4545  df-ord 4586  df-on 4587  df-lim 4588  df-suc 4589  df-om 4848  df-xp 4886  df-rel 4887  df-cnv 4888  df-co 4889  df-dm 4890  df-rn 4891  df-res 4892  df-ima 4893  df-iota 5420  df-fun 5458  df-fn 5459  df-f 5460  df-f1 5461  df-fo 5462  df-f1o 5463  df-fv 5464  df-ov 6086  df-oprab 6087  df-mpt2 6088  df-1st 6351  df-2nd 6352  df-riota 6551  df-recs 6635  df-rdg 6670  df-1o 6726  df-2o 6727  df-oadd 6730  df-er 6907  df-en 7112  df-dom 7113  df-sdom 7114  df-fin 7115  df-sup 7448  df-pnf 9124  df-mnf 9125  df-xr 9126  df-ltxr 9127  df-le 9128  df-sub 9295  df-neg 9296  df-div 9680  df-nn 10003  df-2 10060  df-3 10061  df-n0 10224  df-z 10285  df-uz 10491  df-rp 10615  df-fz 11046  df-seq 11326  df-exp 11385  df-fac 11569  df-cj 11906  df-re 11907  df-im 11908  df-sqr 12042  df-abs 12043  df-dvds 12855  df-prm 13082
  Copyright terms: Public domain W3C validator