MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  prmz Unicode version

Theorem prmz 12778
Description: A prime number is an integer. (Contributed by Paul Chapman, 22-Jun-2011.) (Proof shortened by Jonathan Yan, 16-Jul-2017.)
Assertion
Ref Expression
prmz  |-  ( P  e.  Prime  ->  P  e.  ZZ )

Proof of Theorem prmz
StepHypRef Expression
1 prmnn 12777 . 2  |-  ( P  e.  Prime  ->  P  e.  NN )
21nnzd 10132 1  |-  ( P  e.  Prime  ->  P  e.  ZZ )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 1696   ZZcz 10040   Primecprime 12774
This theorem is referenced by:  dvdsprime  12787  coprm  12795  prmrp  12796  euclemma  12803  exprmfct  12805  isprm5  12807  maxprmfct  12808  prmdvdsexpb  12810  prmexpb  12812  prmfac1  12813  rpexp  12815  phiprmpw  12860  phiprm  12861  fermltl  12868  prmdiv  12869  prmdiveq  12870  oddprm  12884  pcneg  12942  pcprmpw2  12950  pcprmpw  12951  pcprod  12959  prmpwdvds  12967  prmunb  12977  prmreclem3  12981  prmreclem5  12983  1arithlem1  12986  1arithlem4  12989  1arith  12990  4sqlem11  13018  4sqlem12  13019  4sqlem13  13020  4sqlem14  13021  4sqlem17  13024  pgpfi  14932  sylow2alem2  14945  sylow2blem3  14949  gexexlem  15160  ablfacrplem  15316  ablfac1lem  15319  ablfac1b  15321  ablfac1eu  15324  pgpfac1lem2  15326  pgpfac1lem3a  15327  pgpfac1lem3  15328  pgpfac1lem4  15329  ablfaclem3  15338  prmirredlem  16462  wilthlem1  20322  wilthlem2  20323  ppisval  20357  vmappw  20370  muval1  20387  dvdssqf  20392  mumullem1  20433  mumul  20435  sqff1o  20436  dvdsppwf1o  20442  musum  20447  ppiublem1  20457  ppiublem2  20458  chtublem  20466  vmasum  20471  perfect1  20483  bposlem3  20541  bposlem6  20544  lgslem1  20551  lgsval2lem  20561  lgsvalmod  20570  lgsmod  20576  lgsdirprm  20584  lgsdir  20585  lgsdilem2  20586  lgsdi  20587  lgsne0  20588  lgsqr  20601  lgseisenlem1  20604  lgseisenlem2  20605  lgseisenlem3  20606  lgseisenlem4  20607  lgseisen  20608  lgsquadlem2  20610  lgsquadlem3  20611  lgsquad2lem2  20614  m1lgs  20617  2sqlem3  20621  2sqlem4  20622  2sqlem6  20624  2sqlem8  20627  2sqblem  20632  2sqb  20633  rpvmasumlem  20652  dchrisum0flblem1  20673  dchrisum0flblem2  20674  dirith  20694  nn0prpwlem  26341  nn0prpw  26342
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-er 6676  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-nn 9763  df-n0 9982  df-z 10041  df-prm 12775
  Copyright terms: Public domain W3C validator