MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  prmz Structured version   Unicode version

Theorem prmz 13075
Description: A prime number is an integer. (Contributed by Paul Chapman, 22-Jun-2011.) (Proof shortened by Jonathan Yan, 16-Jul-2017.)
Assertion
Ref Expression
prmz  |-  ( P  e.  Prime  ->  P  e.  ZZ )

Proof of Theorem prmz
StepHypRef Expression
1 prmnn 13074 . 2  |-  ( P  e.  Prime  ->  P  e.  NN )
21nnzd 10366 1  |-  ( P  e.  Prime  ->  P  e.  ZZ )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 1725   ZZcz 10274   Primecprime 13071
This theorem is referenced by:  dvdsprime  13084  coprm  13092  prmrp  13093  euclemma  13100  exprmfct  13102  isprm5  13104  maxprmfct  13105  prmdvdsexpb  13107  prmexpb  13109  prmfac1  13110  rpexp  13112  phiprmpw  13157  phiprm  13158  fermltl  13165  prmdiv  13166  prmdiveq  13167  oddprm  13181  pcneg  13239  pcprmpw2  13247  pcprmpw  13248  pcprod  13256  prmpwdvds  13264  prmunb  13274  prmreclem3  13278  prmreclem5  13280  1arithlem1  13283  1arithlem4  13286  1arith  13287  4sqlem11  13315  4sqlem12  13316  4sqlem13  13317  4sqlem14  13318  4sqlem17  13321  pgpfi  15231  sylow2alem2  15244  sylow2blem3  15248  gexexlem  15459  ablfacrplem  15615  ablfac1lem  15618  ablfac1b  15620  ablfac1eu  15623  pgpfac1lem2  15625  pgpfac1lem3a  15626  pgpfac1lem3  15627  pgpfac1lem4  15628  ablfaclem3  15637  prmirredlem  16765  wilthlem1  20843  wilthlem2  20844  ppisval  20878  vmappw  20891  muval1  20908  dvdssqf  20913  mumullem1  20954  mumul  20956  sqff1o  20957  dvdsppwf1o  20963  musum  20968  ppiublem1  20978  ppiublem2  20979  chtublem  20987  vmasum  20992  perfect1  21004  bposlem3  21062  bposlem6  21065  lgslem1  21072  lgsval2lem  21082  lgsvalmod  21091  lgsmod  21097  lgsdirprm  21105  lgsdir  21106  lgsdilem2  21107  lgsdi  21108  lgsne0  21109  lgsqr  21122  lgseisenlem1  21125  lgseisenlem2  21126  lgseisenlem3  21127  lgseisenlem4  21128  lgseisen  21129  lgsquadlem2  21131  lgsquadlem3  21132  lgsquad2lem2  21135  m1lgs  21138  2sqlem3  21142  2sqlem4  21143  2sqlem6  21145  2sqlem8  21148  2sqblem  21153  2sqb  21154  rpvmasumlem  21173  dchrisum0flblem1  21194  dchrisum0flblem2  21195  dirith  21215  nn0prpwlem  26306  nn0prpw  26307  reumodprminv  28183  modprm0  28184
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-resscn 9039  ax-1cn 9040  ax-icn 9041  ax-addcl 9042  ax-addrcl 9043  ax-mulcl 9044  ax-mulrcl 9045  ax-mulcom 9046  ax-addass 9047  ax-mulass 9048  ax-distr 9049  ax-i2m1 9050  ax-1ne0 9051  ax-1rid 9052  ax-rnegex 9053  ax-rrecex 9054  ax-cnre 9055  ax-pre-lttri 9056  ax-pre-lttrn 9057  ax-pre-ltadd 9058  ax-pre-mulgt0 9059
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-riota 6541  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-er 6897  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-pnf 9114  df-mnf 9115  df-xr 9116  df-ltxr 9117  df-le 9118  df-sub 9285  df-neg 9286  df-nn 9993  df-n0 10214  df-z 10275  df-prm 13072
  Copyright terms: Public domain W3C validator