MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  prmz Unicode version

Theorem prmz 12762
Description: A prime number is an integer. (Contributed by Paul Chapman, 22-Jun-2011.) (Proof shortened by Jonathan Yan, 16-Jul-2017.)
Assertion
Ref Expression
prmz  |-  ( P  e.  Prime  ->  P  e.  ZZ )

Proof of Theorem prmz
StepHypRef Expression
1 prmnn 12761 . 2  |-  ( P  e.  Prime  ->  P  e.  NN )
21nnzd 10116 1  |-  ( P  e.  Prime  ->  P  e.  ZZ )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 1684   ZZcz 10024   Primecprime 12758
This theorem is referenced by:  dvdsprime  12771  coprm  12779  prmrp  12780  euclemma  12787  exprmfct  12789  isprm5  12791  maxprmfct  12792  prmdvdsexpb  12794  prmexpb  12796  prmfac1  12797  rpexp  12799  phiprmpw  12844  phiprm  12845  fermltl  12852  prmdiv  12853  prmdiveq  12854  oddprm  12868  pcneg  12926  pcprmpw2  12934  pcprmpw  12935  pcprod  12943  prmpwdvds  12951  prmunb  12961  prmreclem3  12965  prmreclem5  12967  1arithlem1  12970  1arithlem4  12973  1arith  12974  4sqlem11  13002  4sqlem12  13003  4sqlem13  13004  4sqlem14  13005  4sqlem17  13008  pgpfi  14916  sylow2alem2  14929  sylow2blem3  14933  gexexlem  15144  ablfacrplem  15300  ablfac1lem  15303  ablfac1b  15305  ablfac1eu  15308  pgpfac1lem2  15310  pgpfac1lem3a  15311  pgpfac1lem3  15312  pgpfac1lem4  15313  ablfaclem3  15322  prmirredlem  16446  wilthlem1  20306  wilthlem2  20307  ppisval  20341  vmappw  20354  muval1  20371  dvdssqf  20376  mumullem1  20417  mumul  20419  sqff1o  20420  dvdsppwf1o  20426  musum  20431  ppiublem1  20441  ppiublem2  20442  chtublem  20450  vmasum  20455  perfect1  20467  bposlem3  20525  bposlem6  20528  lgslem1  20535  lgsval2lem  20545  lgsvalmod  20554  lgsmod  20560  lgsdirprm  20568  lgsdir  20569  lgsdilem2  20570  lgsdi  20571  lgsne0  20572  lgsqr  20585  lgseisenlem1  20588  lgseisenlem2  20589  lgseisenlem3  20590  lgseisenlem4  20591  lgseisen  20592  lgsquadlem2  20594  lgsquadlem3  20595  lgsquad2lem2  20598  m1lgs  20601  2sqlem3  20605  2sqlem4  20606  2sqlem6  20608  2sqlem8  20611  2sqblem  20616  2sqb  20617  rpvmasumlem  20636  dchrisum0flblem1  20657  dchrisum0flblem2  20658  dirith  20678  nn0prpwlem  26238  nn0prpw  26239
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-er 6660  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-nn 9747  df-n0 9966  df-z 10025  df-prm 12759
  Copyright terms: Public domain W3C validator