MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  prmz Unicode version

Theorem prmz 13003
Description: A prime number is an integer. (Contributed by Paul Chapman, 22-Jun-2011.) (Proof shortened by Jonathan Yan, 16-Jul-2017.)
Assertion
Ref Expression
prmz  |-  ( P  e.  Prime  ->  P  e.  ZZ )

Proof of Theorem prmz
StepHypRef Expression
1 prmnn 13002 . 2  |-  ( P  e.  Prime  ->  P  e.  NN )
21nnzd 10299 1  |-  ( P  e.  Prime  ->  P  e.  ZZ )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 1717   ZZcz 10207   Primecprime 12999
This theorem is referenced by:  dvdsprime  13012  coprm  13020  prmrp  13021  euclemma  13028  exprmfct  13030  isprm5  13032  maxprmfct  13033  prmdvdsexpb  13035  prmexpb  13037  prmfac1  13038  rpexp  13040  phiprmpw  13085  phiprm  13086  fermltl  13093  prmdiv  13094  prmdiveq  13095  oddprm  13109  pcneg  13167  pcprmpw2  13175  pcprmpw  13176  pcprod  13184  prmpwdvds  13192  prmunb  13202  prmreclem3  13206  prmreclem5  13208  1arithlem1  13211  1arithlem4  13214  1arith  13215  4sqlem11  13243  4sqlem12  13244  4sqlem13  13245  4sqlem14  13246  4sqlem17  13249  pgpfi  15159  sylow2alem2  15172  sylow2blem3  15176  gexexlem  15387  ablfacrplem  15543  ablfac1lem  15546  ablfac1b  15548  ablfac1eu  15551  pgpfac1lem2  15553  pgpfac1lem3a  15554  pgpfac1lem3  15555  pgpfac1lem4  15556  ablfaclem3  15565  prmirredlem  16689  wilthlem1  20711  wilthlem2  20712  ppisval  20746  vmappw  20759  muval1  20776  dvdssqf  20781  mumullem1  20822  mumul  20824  sqff1o  20825  dvdsppwf1o  20831  musum  20836  ppiublem1  20846  ppiublem2  20847  chtublem  20855  vmasum  20860  perfect1  20872  bposlem3  20930  bposlem6  20933  lgslem1  20940  lgsval2lem  20950  lgsvalmod  20959  lgsmod  20965  lgsdirprm  20973  lgsdir  20974  lgsdilem2  20975  lgsdi  20976  lgsne0  20977  lgsqr  20990  lgseisenlem1  20993  lgseisenlem2  20994  lgseisenlem3  20995  lgseisenlem4  20996  lgseisen  20997  lgsquadlem2  20999  lgsquadlem3  21000  lgsquad2lem2  21003  m1lgs  21006  2sqlem3  21010  2sqlem4  21011  2sqlem6  21013  2sqlem8  21016  2sqblem  21021  2sqb  21022  rpvmasumlem  21041  dchrisum0flblem1  21062  dchrisum0flblem2  21063  dirith  21083  nn0prpwlem  26009  nn0prpw  26010
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2361  ax-sep 4264  ax-nul 4272  ax-pow 4311  ax-pr 4337  ax-un 4634  ax-resscn 8973  ax-1cn 8974  ax-icn 8975  ax-addcl 8976  ax-addrcl 8977  ax-mulcl 8978  ax-mulrcl 8979  ax-mulcom 8980  ax-addass 8981  ax-mulass 8982  ax-distr 8983  ax-i2m1 8984  ax-1ne0 8985  ax-1rid 8986  ax-rnegex 8987  ax-rrecex 8988  ax-cnre 8989  ax-pre-lttri 8990  ax-pre-lttrn 8991  ax-pre-ltadd 8992  ax-pre-mulgt0 8993
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2235  df-mo 2236  df-clab 2367  df-cleq 2373  df-clel 2376  df-nfc 2505  df-ne 2545  df-nel 2546  df-ral 2647  df-rex 2648  df-reu 2649  df-rab 2651  df-v 2894  df-sbc 3098  df-csb 3188  df-dif 3259  df-un 3261  df-in 3263  df-ss 3270  df-pss 3272  df-nul 3565  df-if 3676  df-pw 3737  df-sn 3756  df-pr 3757  df-tp 3758  df-op 3759  df-uni 3951  df-iun 4030  df-br 4147  df-opab 4201  df-mpt 4202  df-tr 4237  df-eprel 4428  df-id 4432  df-po 4437  df-so 4438  df-fr 4475  df-we 4477  df-ord 4518  df-on 4519  df-lim 4520  df-suc 4521  df-om 4779  df-xp 4817  df-rel 4818  df-cnv 4819  df-co 4820  df-dm 4821  df-rn 4822  df-res 4823  df-ima 4824  df-iota 5351  df-fun 5389  df-fn 5390  df-f 5391  df-f1 5392  df-fo 5393  df-f1o 5394  df-fv 5395  df-ov 6016  df-oprab 6017  df-mpt2 6018  df-riota 6478  df-recs 6562  df-rdg 6597  df-er 6834  df-en 7039  df-dom 7040  df-sdom 7041  df-pnf 9048  df-mnf 9049  df-xr 9050  df-ltxr 9051  df-le 9052  df-sub 9218  df-neg 9219  df-nn 9926  df-n0 10147  df-z 10208  df-prm 13000
  Copyright terms: Public domain W3C validator