MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  prnmadd Structured version   Unicode version

Theorem prnmadd 8866
Description: A positive real has no largest member. Addition version. (Contributed by NM, 7-Apr-1996.) (Revised by Mario Carneiro, 11-May-2013.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
prnmadd  |-  ( ( A  e.  P.  /\  B  e.  A )  ->  E. x ( B  +Q  x )  e.  A )
Distinct variable groups:    x, A    x, B

Proof of Theorem prnmadd
Dummy variable  y is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 prnmax 8864 . 2  |-  ( ( A  e.  P.  /\  B  e.  A )  ->  E. y  e.  A  B  <Q  y )
2 ltrelnq 8795 . . . . . . 7  |-  <Q  C_  ( Q.  X.  Q. )
32brel 4918 . . . . . 6  |-  ( B 
<Q  y  ->  ( B  e.  Q.  /\  y  e.  Q. ) )
43simprd 450 . . . . 5  |-  ( B 
<Q  y  ->  y  e. 
Q. )
5 ltexnq 8844 . . . . . 6  |-  ( y  e.  Q.  ->  ( B  <Q  y  <->  E. x
( B  +Q  x
)  =  y ) )
65biimpcd 216 . . . . 5  |-  ( B 
<Q  y  ->  ( y  e.  Q.  ->  E. x
( B  +Q  x
)  =  y ) )
74, 6mpd 15 . . . 4  |-  ( B 
<Q  y  ->  E. x
( B  +Q  x
)  =  y )
8 eleq1a 2504 . . . . 5  |-  ( y  e.  A  ->  (
( B  +Q  x
)  =  y  -> 
( B  +Q  x
)  e.  A ) )
98eximdv 1632 . . . 4  |-  ( y  e.  A  ->  ( E. x ( B  +Q  x )  =  y  ->  E. x ( B  +Q  x )  e.  A ) )
107, 9syl5 30 . . 3  |-  ( y  e.  A  ->  ( B  <Q  y  ->  E. x
( B  +Q  x
)  e.  A ) )
1110rexlimiv 2816 . 2  |-  ( E. y  e.  A  B  <Q  y  ->  E. x
( B  +Q  x
)  e.  A )
121, 11syl 16 1  |-  ( ( A  e.  P.  /\  B  e.  A )  ->  E. x ( B  +Q  x )  e.  A )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359   E.wex 1550    = wceq 1652    e. wcel 1725   E.wrex 2698   class class class wbr 4204  (class class class)co 6073   Q.cnq 8719    +Q cplq 8722    <Q cltq 8725   P.cnp 8726
This theorem is referenced by:  ltexprlem1  8905  ltexprlem7  8911
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rmo 2705  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-int 4043  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-1st 6341  df-2nd 6342  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-1o 6716  df-oadd 6720  df-omul 6721  df-er 6897  df-ni 8741  df-pli 8742  df-mi 8743  df-lti 8744  df-plpq 8777  df-mpq 8778  df-ltpq 8779  df-enq 8780  df-nq 8781  df-erq 8782  df-plq 8783  df-mq 8784  df-1nq 8785  df-ltnq 8787  df-np 8850
  Copyright terms: Public domain W3C validator