Users' Mathboxes Mathbox for Scott Fenton < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  prod0 Structured version   Unicode version

Theorem prod0 25270
Description: A product over the empty set is one. (Contributed by Scott Fenton, 5-Dec-2017.)
Assertion
Ref Expression
prod0  |-  prod_ k  e.  (/) A  =  1

Proof of Theorem prod0
StepHypRef Expression
1 1z 10312 . 2  |-  1  e.  ZZ
2 nnuz 10522 . . 3  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
3 id 21 . . 3  |-  ( 1  e.  ZZ  ->  1  e.  ZZ )
4 ax-1ne0 9060 . . . 4  |-  1  =/=  0
54a1i 11 . . 3  |-  ( 1  e.  ZZ  ->  1  =/=  0 )
62prodfclim1 25222 . . 3  |-  ( 1  e.  ZZ  ->  seq  1 (  x.  , 
( NN  X.  {
1 } ) )  ~~>  1 )
7 0ss 3657 . . . 4  |-  (/)  C_  NN
87a1i 11 . . 3  |-  ( 1  e.  ZZ  ->  (/)  C_  NN )
9 fvconst2g 5946 . . . 4  |-  ( ( 1  e.  ZZ  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( NN  X.  { 1 } ) `
 k )  =  1 )
10 noel 3633 . . . . 5  |-  -.  k  e.  (/)
11 iffalse 3747 . . . . 5  |-  ( -.  k  e.  (/)  ->  if ( k  e.  (/) ,  A ,  1 )  =  1 )
1210, 11ax-mp 8 . . . 4  |-  if ( k  e.  (/) ,  A ,  1 )  =  1
139, 12syl6eqr 2487 . . 3  |-  ( ( 1  e.  ZZ  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( NN  X.  { 1 } ) `
 k )  =  if ( k  e.  (/) ,  A ,  1 ) )
1410pm2.21i 126 . . . 4  |-  ( k  e.  (/)  ->  A  e.  CC )
1514adantl 454 . . 3  |-  ( ( 1  e.  ZZ  /\  k  e.  (/) )  ->  A  e.  CC )
162, 3, 5, 6, 8, 13, 15zprodn0 25266 . 2  |-  ( 1  e.  ZZ  ->  prod_ k  e.  (/) A  =  1 )
171, 16ax-mp 8 1  |-  prod_ k  e.  (/) A  =  1
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    /\ wa 360    = wceq 1653    e. wcel 1726    =/= wne 2600    C_ wss 3321   (/)c0 3629   ifcif 3740   {csn 3815    X. cxp 4877   ` cfv 5455   CCcc 8989   0cc0 8991   1c1 8992   NNcn 10001   ZZcz 10283   prod_cprod 25232
This theorem is referenced by:  prod1  25271  fprodf1o  25273  fprodcllem  25278  fprodmul  25285  fproddiv  25286  fprodfac  25297  fprodconst  25303  fprodn0  25304  fprod2d  25306  risefac0  25344
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2418  ax-rep 4321  ax-sep 4331  ax-nul 4339  ax-pow 4378  ax-pr 4404  ax-un 4702  ax-inf2 7597  ax-cnex 9047  ax-resscn 9048  ax-1cn 9049  ax-icn 9050  ax-addcl 9051  ax-addrcl 9052  ax-mulcl 9053  ax-mulrcl 9054  ax-mulcom 9055  ax-addass 9056  ax-mulass 9057  ax-distr 9058  ax-i2m1 9059  ax-1ne0 9060  ax-1rid 9061  ax-rnegex 9062  ax-rrecex 9063  ax-cnre 9064  ax-pre-lttri 9065  ax-pre-lttrn 9066  ax-pre-ltadd 9067  ax-pre-mulgt0 9068  ax-pre-sup 9069
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2424  df-cleq 2430  df-clel 2433  df-nfc 2562  df-ne 2602  df-nel 2603  df-ral 2711  df-rex 2712  df-reu 2713  df-rmo 2714  df-rab 2715  df-v 2959  df-sbc 3163  df-csb 3253  df-dif 3324  df-un 3326  df-in 3328  df-ss 3335  df-pss 3337  df-nul 3630  df-if 3741  df-pw 3802  df-sn 3821  df-pr 3822  df-tp 3823  df-op 3824  df-uni 4017  df-int 4052  df-iun 4096  df-br 4214  df-opab 4268  df-mpt 4269  df-tr 4304  df-eprel 4495  df-id 4499  df-po 4504  df-so 4505  df-fr 4542  df-se 4543  df-we 4544  df-ord 4585  df-on 4586  df-lim 4587  df-suc 4588  df-om 4847  df-xp 4885  df-rel 4886  df-cnv 4887  df-co 4888  df-dm 4889  df-rn 4890  df-res 4891  df-ima 4892  df-iota 5419  df-fun 5457  df-fn 5458  df-f 5459  df-f1 5460  df-fo 5461  df-f1o 5462  df-fv 5463  df-isom 5464  df-ov 6085  df-oprab 6086  df-mpt2 6087  df-1st 6350  df-2nd 6351  df-riota 6550  df-recs 6634  df-rdg 6669  df-1o 6725  df-oadd 6729  df-er 6906  df-en 7111  df-dom 7112  df-sdom 7113  df-fin 7114  df-sup 7447  df-oi 7480  df-card 7827  df-pnf 9123  df-mnf 9124  df-xr 9125  df-ltxr 9126  df-le 9127  df-sub 9294  df-neg 9295  df-div 9679  df-nn 10002  df-2 10059  df-3 10060  df-n0 10223  df-z 10284  df-uz 10490  df-rp 10614  df-fz 11045  df-fzo 11137  df-seq 11325  df-exp 11384  df-hash 11620  df-cj 11905  df-re 11906  df-im 11907  df-sqr 12041  df-abs 12042  df-clim 12283  df-prod 25233
  Copyright terms: Public domain W3C validator