Mathbox for Scott Fenton < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  prodeq1f Structured version   Unicode version

Theorem prodeq1f 25236
 Description: Equality theorem for a product. (Contributed by Scott Fenton, 1-Dec-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
prodeq1f.1
prodeq1f.2
Assertion
Ref Expression
prodeq1f

Proof of Theorem prodeq1f
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 sseq1 3371 . . . . . 6
2 prodeq1f.1 . . . . . . . . . . . . 13
3 prodeq1f.2 . . . . . . . . . . . . 13
42, 3nfeq 2581 . . . . . . . . . . . 12
5 eleq2 2499 . . . . . . . . . . . . . 14
65ifbid 3759 . . . . . . . . . . . . 13
76adantr 453 . . . . . . . . . . . 12
84, 7mpteq2da 4296 . . . . . . . . . . 11
98seqeq3d 11333 . . . . . . . . . 10
109breq1d 4224 . . . . . . . . 9
1110anbi2d 686 . . . . . . . 8
1211exbidv 1637 . . . . . . 7
1312rexbidv 2728 . . . . . 6
148seqeq3d 11333 . . . . . . 7
1514breq1d 4224 . . . . . 6
161, 13, 153anbi123d 1255 . . . . 5
1716rexbidv 2728 . . . 4
18 f1oeq3 5669 . . . . . . 7
1918anbi1d 687 . . . . . 6
2019exbidv 1637 . . . . 5
2120rexbidv 2728 . . . 4
2217, 21orbi12d 692 . . 3
2322iotabidv 5441 . 2
24 df-prod 25234 . 2
25 df-prod 25234 . 2
2623, 24, 253eqtr4g 2495 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wo 359   wa 360   w3a 937  wex 1551   wceq 1653   wcel 1726  wnfc 2561   wne 2601  wrex 2708  csb 3253   wss 3322  cif 3741   class class class wbr 4214   cmpt 4268  cio 5418  wf1o 5455  cfv 5456  (class class class)co 6083  cc0 8992  c1 8993   cmul 8997  cn 10002  cz 10284  cuz 10490  cfz 11045   cseq 11325   cli 12280  cprod 25233 This theorem is referenced by:  prodeq1  25237 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419 This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ral 2712  df-rex 2713  df-rab 2716  df-v 2960  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-nul 3631  df-if 3742  df-sn 3822  df-pr 3823  df-op 3825  df-uni 4018  df-br 4215  df-opab 4269  df-mpt 4270  df-cnv 4888  df-dm 4890  df-rn 4891  df-res 4892  df-ima 4893  df-iota 5420  df-f 5460  df-f1 5461  df-fo 5462  df-f1o 5463  df-fv 5464  df-ov 6086  df-oprab 6087  df-mpt2 6088  df-recs 6635  df-rdg 6670  df-seq 11326  df-prod 25234
 Copyright terms: Public domain W3C validator