Mathbox for Scott Fenton < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  prodeq2w Structured version   Unicode version

Theorem prodeq2w 25240
 Description: Equality theorem for product, when the class expressions and are equal everywhere. Proved using only Extensionality. (Contributed by Scott Fenton, 4-Dec-2017.)
Assertion
Ref Expression
prodeq2w
Distinct variable group:   ,
Allowed substitution hints:   ()   ()

Proof of Theorem prodeq2w
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2438 . . . . . . . . . . . 12
2 ifeq1 3745 . . . . . . . . . . . . . 14
32alimi 1569 . . . . . . . . . . . . 13
4 alral 2766 . . . . . . . . . . . . 13
53, 4syl 16 . . . . . . . . . . . 12
6 mpteq12 4290 . . . . . . . . . . . 12
71, 5, 6sylancr 646 . . . . . . . . . . 11
87seqeq3d 11333 . . . . . . . . . 10
98breq1d 4224 . . . . . . . . 9
109anbi2d 686 . . . . . . . 8
1110exbidv 1637 . . . . . . 7
1211rexbidv 2728 . . . . . 6
137seqeq3d 11333 . . . . . . 7
1413breq1d 4224 . . . . . 6
1512, 143anbi23d 1258 . . . . 5
1615rexbidv 2728 . . . 4
17 fvex 5744 . . . . . . . . . . . 12
18 nfcv 2574 . . . . . . . . . . . . 13
19 nfcsb1v 3285 . . . . . . . . . . . . . 14
20 nfcsb1v 3285 . . . . . . . . . . . . . 14
2119, 20nfeq 2581 . . . . . . . . . . . . 13
22 csbeq1a 3261 . . . . . . . . . . . . . 14
23 csbeq1a 3261 . . . . . . . . . . . . . 14
2422, 23eqeq12d 2452 . . . . . . . . . . . . 13
2518, 21, 24spcgf 3033 . . . . . . . . . . . 12
2617, 25ax-mp 8 . . . . . . . . . . 11
2726mpteq2dv 4298 . . . . . . . . . 10
2827seqeq3d 11333 . . . . . . . . 9
2928fveq1d 5732 . . . . . . . 8
3029eqeq2d 2449 . . . . . . 7
3130anbi2d 686 . . . . . 6
3231exbidv 1637 . . . . 5
3332rexbidv 2728 . . . 4
3416, 33orbi12d 692 . . 3
3534iotabidv 5441 . 2
36 df-prod 25234 . 2
37 df-prod 25234 . 2
3835, 36, 373eqtr4g 2495 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wo 359   wa 360   w3a 937  wal 1550  wex 1551   wceq 1653   wcel 1726   wne 2601  wral 2707  wrex 2708  cvv 2958  csb 3253   wss 3322  cif 3741   class class class wbr 4214   cmpt 4268  cio 5418  wf1o 5455  cfv 5456  (class class class)co 6083  cc0 8992  c1 8993   cmul 8997  cn 10002  cz 10284  cuz 10490  cfz 11045   cseq 11325   cli 12280  cprod 25233 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-nul 4340 This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-ral 2712  df-rex 2713  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-nul 3631  df-if 3742  df-sn 3822  df-pr 3823  df-op 3825  df-uni 4018  df-br 4215  df-opab 4269  df-mpt 4270  df-cnv 4888  df-dm 4890  df-rn 4891  df-res 4892  df-ima 4893  df-iota 5420  df-fv 5464  df-ov 6086  df-oprab 6087  df-mpt2 6088  df-recs 6635  df-rdg 6670  df-seq 11326  df-prod 25234
 Copyright terms: Public domain W3C validator