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Theorem prodmolem2a 25265
Description: Lemma for prodmo 25267. (Contributed by Scott Fenton, 4-Dec-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
prodmo.1  |-  F  =  ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 ) )
prodmo.2  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  B  e.  CC )
prodmo.3  |-  G  =  ( j  e.  NN  |->  [_ ( f `  j
)  /  k ]_ B )
prodmolem2.4  |-  H  =  ( j  e.  NN  |->  [_ ( K `  j
)  /  k ]_ B )
prodmolem2.5  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
prodmolem2.6  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
prodmolem2.7  |-  ( ph  ->  A  C_  ( ZZ>= `  M ) )
prodmolem2.8  |-  ( ph  ->  f : ( 1 ... N ) -1-1-onto-> A )
prodmolem2.9  |-  ( ph  ->  K  Isom  <  ,  <  ( ( 1 ... ( # `
 A ) ) ,  A ) )
Assertion
Ref Expression
prodmolem2a  |-  ( ph  ->  seq  M (  x.  ,  F )  ~~>  (  seq  1 (  x.  ,  G ) `  N
) )
Distinct variable groups:    A, k    k, F    ph, k    A, j    B, j    f, j, k   
j, G    j, k, ph    j, K, k    j, M, k    j, N, k
Allowed substitution hints:    ph( f)    A( f)    B( f, k)    F( f, j)    G( f, k)    H( f, j, k)    K( f)    M( f)    N( f)

Proof of Theorem prodmolem2a
Dummy variables  n  m  x are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 prodmo.1 . . 3  |-  F  =  ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 ) )
2 prodmo.2 . . 3  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  B  e.  CC )
3 prodmolem2.7 . . . 4  |-  ( ph  ->  A  C_  ( ZZ>= `  M ) )
4 prodmolem2.9 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  K  Isom  <  ,  <  ( ( 1 ... ( # `
 A ) ) ,  A ) )
5 prodmolem2.8 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  f : ( 1 ... N ) -1-1-onto-> A )
6 ovex 6109 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 1 ... N )  e. 
_V
76f1oen 7131 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( f : ( 1 ... N ) -1-1-onto-> A  ->  ( 1 ... N )  ~~  A )
85, 7syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( 1 ... N
)  ~~  A )
9 fzfid 11317 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( 1 ... N
)  e.  Fin )
108ensymd 7161 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  A  ~~  ( 1 ... N ) )
11 enfii 7329 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( 1 ... N
)  e.  Fin  /\  A  ~~  ( 1 ... N ) )  ->  A  e.  Fin )
129, 10, 11syl2anc 644 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  A  e.  Fin )
13 hashen 11636 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( 1 ... N
)  e.  Fin  /\  A  e.  Fin )  ->  ( ( # `  (
1 ... N ) )  =  ( # `  A
)  <->  ( 1 ... N )  ~~  A
) )
149, 12, 13syl2anc 644 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( # `  (
1 ... N ) )  =  ( # `  A
)  <->  ( 1 ... N )  ~~  A
) )
158, 14mpbird 225 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( # `  (
1 ... N ) )  =  ( # `  A
) )
16 prodmolem2.5 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
1716nnnn0d 10279 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  N  e.  NN0 )
18 hashfz1 11635 . . . . . . . . . . 11  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( # `  ( 1 ... N
) )  =  N )
1917, 18syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( # `  (
1 ... N ) )  =  N )
2015, 19eqtr3d 2472 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( # `  A
)  =  N )
2120oveq2d 6100 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( 1 ... ( # `
 A ) )  =  ( 1 ... N ) )
22 isoeq4 6045 . . . . . . . 8  |-  ( ( 1 ... ( # `  A ) )  =  ( 1 ... N
)  ->  ( K  Isom  <  ,  <  (
( 1 ... ( # `
 A ) ) ,  A )  <->  K  Isom  <  ,  <  ( ( 1 ... N ) ,  A ) ) )
2321, 22syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( K  Isom  <  ,  <  ( ( 1 ... ( # `  A
) ) ,  A
)  <->  K  Isom  <  ,  <  ( ( 1 ... N ) ,  A
) ) )
244, 23mpbid 203 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  K  Isom  <  ,  <  ( ( 1 ... N
) ,  A ) )
25 isof1o 6048 . . . . . 6  |-  ( K 
Isom  <  ,  <  (
( 1 ... N
) ,  A )  ->  K : ( 1 ... N ) -1-1-onto-> A )
26 f1of 5677 . . . . . 6  |-  ( K : ( 1 ... N ) -1-1-onto-> A  ->  K :
( 1 ... N
) --> A )
2724, 25, 263syl 19 . . . . 5  |-  ( ph  ->  K : ( 1 ... N ) --> A )
28 nnuz 10526 . . . . . . 7  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
2916, 28syl6eleq 2528 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  N  e.  ( ZZ>= ` 
1 ) )
30 eluzfz2 11070 . . . . . 6  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  1
)  ->  N  e.  ( 1 ... N
) )
3129, 30syl 16 . . . . 5  |-  ( ph  ->  N  e.  ( 1 ... N ) )
3227, 31ffvelrnd 5874 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( K `  N
)  e.  A )
333, 32sseldd 3351 . . 3  |-  ( ph  ->  ( K `  N
)  e.  ( ZZ>= `  M ) )
343sselda 3350 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  j  e.  A )  ->  j  e.  ( ZZ>= `  M )
)
3524, 25syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  K : ( 1 ... N ) -1-1-onto-> A )
36 f1ocnvfv2 6018 . . . . . . . . 9  |-  ( ( K : ( 1 ... N ) -1-1-onto-> A  /\  j  e.  A )  ->  ( K `  ( `' K `  j ) )  =  j )
3735, 36sylan 459 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  j  e.  A )  ->  ( K `  ( `' K `  j )
)  =  j )
38 f1ocnv 5690 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( K : ( 1 ... N ) -1-1-onto-> A  ->  `' K : A -1-1-onto-> ( 1 ... N
) )
39 f1of 5677 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( `' K : A -1-1-onto-> ( 1 ... N )  ->  `' K : A --> ( 1 ... N ) )
4035, 38, 393syl 19 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  `' K : A --> ( 1 ... N ) )
4140ffvelrnda 5873 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  j  e.  A )  ->  ( `' K `  j )  e.  ( 1 ... N ) )
42 elfzle2 11066 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( `' K `  j )  e.  ( 1 ... N )  ->  ( `' K `  j )  <_  N )
4341, 42syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  j  e.  A )  ->  ( `' K `  j )  <_  N )
4424adantr 453 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  j  e.  A )  ->  K  Isom  <  ,  <  (
( 1 ... N
) ,  A ) )
45 fzssuz 11098 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 1 ... N )  C_  ( ZZ>= `  1 )
46 uzssz 10510 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ZZ>= ` 
1 )  C_  ZZ
47 zssre 10294 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ZZ  C_  RR
4846, 47sstri 3359 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ZZ>= ` 
1 )  C_  RR
4945, 48sstri 3359 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 1 ... N )  C_  RR
50 ressxr 9134 . . . . . . . . . . . 12  |-  RR  C_  RR*
5149, 50sstri 3359 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 1 ... N )  C_  RR*
5251a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  j  e.  A )  ->  (
1 ... N )  C_  RR* )
53 uzssz 10510 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ZZ>= `  M )  C_  ZZ
5453, 47sstri 3359 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ZZ>= `  M )  C_  RR
5554, 50sstri 3359 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ZZ>= `  M )  C_  RR*
563, 55syl6ss 3362 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  A  C_  RR* )
5756adantr 453 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  j  e.  A )  ->  A  C_ 
RR* )
5831adantr 453 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  j  e.  A )  ->  N  e.  ( 1 ... N
) )
59 leisorel 11714 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( K  Isom  <  ,  <  ( ( 1 ... N
) ,  A )  /\  ( ( 1 ... N )  C_  RR* 
/\  A  C_  RR* )  /\  ( ( `' K `  j )  e.  ( 1 ... N )  /\  N  e.  ( 1 ... N ) ) )  ->  (
( `' K `  j )  <_  N  <->  ( K `  ( `' K `  j ) )  <_  ( K `  N ) ) )
6044, 52, 57, 41, 58, 59syl122anc 1194 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  j  e.  A )  ->  (
( `' K `  j )  <_  N  <->  ( K `  ( `' K `  j ) )  <_  ( K `  N ) ) )
6143, 60mpbid 203 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  j  e.  A )  ->  ( K `  ( `' K `  j )
)  <_  ( K `  N ) )
6237, 61eqbrtrrd 4237 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  j  e.  A )  ->  j  <_  ( K `  N
) )
633, 53syl6ss 3362 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  A  C_  ZZ )
6463sselda 3350 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  j  e.  A )  ->  j  e.  ZZ )
65 eluzelz 10501 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( K `  N )  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( K `  N )  e.  ZZ )
6633, 65syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( K `  N
)  e.  ZZ )
6766adantr 453 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  j  e.  A )  ->  ( K `  N )  e.  ZZ )
68 eluz 10504 . . . . . . . 8  |-  ( ( j  e.  ZZ  /\  ( K `  N )  e.  ZZ )  -> 
( ( K `  N )  e.  (
ZZ>= `  j )  <->  j  <_  ( K `  N ) ) )
6964, 67, 68syl2anc 644 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  j  e.  A )  ->  (
( K `  N
)  e.  ( ZZ>= `  j )  <->  j  <_  ( K `  N ) ) )
7062, 69mpbird 225 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  j  e.  A )  ->  ( K `  N )  e.  ( ZZ>= `  j )
)
71 elfzuzb 11058 . . . . . 6  |-  ( j  e.  ( M ... ( K `  N ) )  <->  ( j  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  ( K `  N
)  e.  ( ZZ>= `  j ) ) )
7234, 70, 71sylanbrc 647 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  j  e.  A )  ->  j  e.  ( M ... ( K `  N )
) )
7372ex 425 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( j  e.  A  ->  j  e.  ( M ... ( K `  N ) ) ) )
7473ssrdv 3356 . . 3  |-  ( ph  ->  A  C_  ( M ... ( K `  N
) ) )
751, 2, 33, 74fprodcvg 25261 . 2  |-  ( ph  ->  seq  M (  x.  ,  F )  ~~>  (  seq 
M (  x.  ,  F ) `  ( K `  N )
) )
76 mulid2 9094 . . . . 5  |-  ( m  e.  CC  ->  (
1  x.  m )  =  m )
7776adantl 454 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  m  e.  CC )  ->  ( 1  x.  m )  =  m )
78 mulid1 9093 . . . . 5  |-  ( m  e.  CC  ->  (
m  x.  1 )  =  m )
7978adantl 454 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  m  e.  CC )  ->  ( m  x.  1 )  =  m )
80 mulcl 9079 . . . . 5  |-  ( ( m  e.  CC  /\  x  e.  CC )  ->  ( m  x.  x
)  e.  CC )
8180adantl 454 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( m  e.  CC  /\  x  e.  CC ) )  -> 
( m  x.  x
)  e.  CC )
82 ax-1cn 9053 . . . . 5  |-  1  e.  CC
8382a1i 11 . . . 4  |-  ( ph  ->  1  e.  CC )
8431, 21eleqtrrd 2515 . . . 4  |-  ( ph  ->  N  e.  ( 1 ... ( # `  A
) ) )
85 iftrue 3747 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  e.  A  ->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 )  =  B )
8685adantl 454 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 )  =  B )
8786, 2eqeltrd 2512 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 )  e.  CC )
8887ex 425 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( k  e.  A  ->  if ( k  e.  A ,  B , 
1 )  e.  CC ) )
89 iffalse 3748 . . . . . . . . 9  |-  ( -.  k  e.  A  ->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 )  =  1 )
9089, 82syl6eqel 2526 . . . . . . . 8  |-  ( -.  k  e.  A  ->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 )  e.  CC )
9188, 90pm2.61d1 154 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  if ( k  e.  A ,  B , 
1 )  e.  CC )
9291adantr 453 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ZZ )  ->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 )  e.  CC )
9392, 1fmptd 5896 . . . . 5  |-  ( ph  ->  F : ZZ --> CC )
94 elfzelz 11064 . . . . 5  |-  ( m  e.  ( M ... ( K `  ( # `  A ) ) )  ->  m  e.  ZZ )
95 ffvelrn 5871 . . . . 5  |-  ( ( F : ZZ --> CC  /\  m  e.  ZZ )  ->  ( F `  m
)  e.  CC )
9693, 94, 95syl2an 465 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  m  e.  ( M ... ( K `
 ( # `  A
) ) ) )  ->  ( F `  m )  e.  CC )
97 fveq2 5731 . . . . . . 7  |-  ( k  =  m  ->  ( F `  k )  =  ( F `  m ) )
9897eqeq1d 2446 . . . . . 6  |-  ( k  =  m  ->  (
( F `  k
)  =  1  <->  ( F `  m )  =  1 ) )
99 fzssuz 11098 . . . . . . . . . 10  |-  ( M ... ( K `  ( # `  A ) ) )  C_  ( ZZ>=
`  M )
10099, 53sstri 3359 . . . . . . . . 9  |-  ( M ... ( K `  ( # `  A ) ) )  C_  ZZ
101 eldifi 3471 . . . . . . . . 9  |-  ( k  e.  ( ( M ... ( K `  ( # `  A ) ) )  \  A
)  ->  k  e.  ( M ... ( K `
 ( # `  A
) ) ) )
102100, 101sseldi 3348 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  ( ( M ... ( K `  ( # `  A ) ) )  \  A
)  ->  k  e.  ZZ )
103 eldifn 3472 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  e.  ( ( M ... ( K `  ( # `  A ) ) )  \  A
)  ->  -.  k  e.  A )
104103, 89syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( k  e.  ( ( M ... ( K `  ( # `  A ) ) )  \  A
)  ->  if (
k  e.  A ,  B ,  1 )  =  1 )
105104, 82syl6eqel 2526 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  ( ( M ... ( K `  ( # `  A ) ) )  \  A
)  ->  if (
k  e.  A ,  B ,  1 )  e.  CC )
1061fvmpt2 5815 . . . . . . . 8  |-  ( ( k  e.  ZZ  /\  if ( k  e.  A ,  B ,  1 )  e.  CC )  -> 
( F `  k
)  =  if ( k  e.  A ,  B ,  1 ) )
107102, 105, 106syl2anc 644 . . . . . . 7  |-  ( k  e.  ( ( M ... ( K `  ( # `  A ) ) )  \  A
)  ->  ( F `  k )  =  if ( k  e.  A ,  B ,  1 ) )
108107, 104eqtrd 2470 . . . . . 6  |-  ( k  e.  ( ( M ... ( K `  ( # `  A ) ) )  \  A
)  ->  ( F `  k )  =  1 )
10998, 108vtoclga 3019 . . . . 5  |-  ( m  e.  ( ( M ... ( K `  ( # `  A ) ) )  \  A
)  ->  ( F `  m )  =  1 )
110109adantl 454 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  m  e.  ( ( M ... ( K `  ( # `  A ) ) ) 
\  A ) )  ->  ( F `  m )  =  1 )
111 isof1o 6048 . . . . . . . 8  |-  ( K 
Isom  <  ,  <  (
( 1 ... ( # `
 A ) ) ,  A )  ->  K : ( 1 ... ( # `  A
) ) -1-1-onto-> A )
112 f1of 5677 . . . . . . . 8  |-  ( K : ( 1 ... ( # `  A
) ) -1-1-onto-> A  ->  K :
( 1 ... ( # `
 A ) ) --> A )
1134, 111, 1123syl 19 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  K : ( 1 ... ( # `  A
) ) --> A )
114113ffvelrnda 5873 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 ... ( # `
 A ) ) )  ->  ( K `  x )  e.  A
)
115 iftrue 3747 . . . . . 6  |-  ( ( K `  x )  e.  A  ->  if ( ( K `  x )  e.  A ,  [_ ( K `  x )  /  k ]_ B ,  1 )  =  [_ ( K `
 x )  / 
k ]_ B )
116114, 115syl 16 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 ... ( # `
 A ) ) )  ->  if (
( K `  x
)  e.  A ,  [_ ( K `  x
)  /  k ]_ B ,  1 )  =  [_ ( K `
 x )  / 
k ]_ B )
11763adantr 453 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 ... ( # `
 A ) ) )  ->  A  C_  ZZ )
118117, 114sseldd 3351 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 ... ( # `
 A ) ) )  ->  ( K `  x )  e.  ZZ )
119 nfv 1630 . . . . . . . . 9  |-  F/ k
ph
120 nfv 1630 . . . . . . . . . . 11  |-  F/ k ( K `  x
)  e.  A
121 nfcsb1v 3285 . . . . . . . . . . 11  |-  F/_ k [_ ( K `  x
)  /  k ]_ B
122 nfcv 2574 . . . . . . . . . . 11  |-  F/_ k
1
123120, 121, 122nfif 3765 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ k if ( ( K `  x )  e.  A ,  [_ ( K `  x )  /  k ]_ B ,  1 )
124123nfel1 2584 . . . . . . . . 9  |-  F/ k if ( ( K `
 x )  e.  A ,  [_ ( K `  x )  /  k ]_ B ,  1 )  e.  CC
125119, 124nfim 1833 . . . . . . . 8  |-  F/ k ( ph  ->  if ( ( K `  x )  e.  A ,  [_ ( K `  x )  /  k ]_ B ,  1 )  e.  CC )
126 fvex 5745 . . . . . . . 8  |-  ( K `
 x )  e. 
_V
127 eleq1 2498 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  =  ( K `  x )  ->  (
k  e.  A  <->  ( K `  x )  e.  A
) )
128 csbeq1a 3261 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  =  ( K `  x )  ->  B  =  [_ ( K `  x )  /  k ]_ B )
129 eqidd 2439 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  =  ( K `  x )  ->  1  =  1 )
130127, 128, 129ifbieq12d 3763 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  =  ( K `  x )  ->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 )  =  if ( ( K `  x )  e.  A ,  [_ ( K `  x )  /  k ]_ B ,  1 ) )
131130eleq1d 2504 . . . . . . . . 9  |-  ( k  =  ( K `  x )  ->  ( if ( k  e.  A ,  B ,  1 )  e.  CC  <->  if (
( K `  x
)  e.  A ,  [_ ( K `  x
)  /  k ]_ B ,  1 )  e.  CC ) )
132131imbi2d 309 . . . . . . . 8  |-  ( k  =  ( K `  x )  ->  (
( ph  ->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 )  e.  CC )  <->  ( ph  ->  if ( ( K `
 x )  e.  A ,  [_ ( K `  x )  /  k ]_ B ,  1 )  e.  CC ) ) )
133125, 126, 132, 91vtoclf 3007 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  if ( ( K `
 x )  e.  A ,  [_ ( K `  x )  /  k ]_ B ,  1 )  e.  CC )
134133adantr 453 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 ... ( # `
 A ) ) )  ->  if (
( K `  x
)  e.  A ,  [_ ( K `  x
)  /  k ]_ B ,  1 )  e.  CC )
135 eleq1 2498 . . . . . . . 8  |-  ( n  =  ( K `  x )  ->  (
n  e.  A  <->  ( K `  x )  e.  A
) )
136 csbeq1 3256 . . . . . . . 8  |-  ( n  =  ( K `  x )  ->  [_ n  /  k ]_ B  =  [_ ( K `  x )  /  k ]_ B )
137 eqidd 2439 . . . . . . . 8  |-  ( n  =  ( K `  x )  ->  1  =  1 )
138135, 136, 137ifbieq12d 3763 . . . . . . 7  |-  ( n  =  ( K `  x )  ->  if ( n  e.  A ,  [_ n  /  k ]_ B ,  1 )  =  if ( ( K `  x )  e.  A ,  [_ ( K `  x )  /  k ]_ B ,  1 ) )
139 nfcv 2574 . . . . . . . . 9  |-  F/_ n if ( k  e.  A ,  B ,  1 )
140 nfv 1630 . . . . . . . . . 10  |-  F/ k  n  e.  A
141 nfcsb1v 3285 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ k [_ n  /  k ]_ B
142140, 141, 122nfif 3765 . . . . . . . . 9  |-  F/_ k if ( n  e.  A ,  [_ n  /  k ]_ B ,  1 )
143 eleq1 2498 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  =  n  ->  (
k  e.  A  <->  n  e.  A ) )
144 csbeq1a 3261 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  =  n  ->  B  =  [_ n  /  k ]_ B )
145 eqidd 2439 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  =  n  ->  1  =  1 )
146143, 144, 145ifbieq12d 3763 . . . . . . . . 9  |-  ( k  =  n  ->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 )  =  if ( n  e.  A ,  [_ n  /  k ]_ B ,  1 ) )
147139, 142, 146cbvmpt 4302 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 ) )  =  ( n  e.  ZZ  |->  if ( n  e.  A ,  [_ n  /  k ]_ B ,  1 ) )
1481, 147eqtri 2458 . . . . . . 7  |-  F  =  ( n  e.  ZZ  |->  if ( n  e.  A ,  [_ n  /  k ]_ B ,  1 ) )
149138, 148fvmptg 5807 . . . . . 6  |-  ( ( ( K `  x
)  e.  ZZ  /\  if ( ( K `  x )  e.  A ,  [_ ( K `  x )  /  k ]_ B ,  1 )  e.  CC )  -> 
( F `  ( K `  x )
)  =  if ( ( K `  x
)  e.  A ,  [_ ( K `  x
)  /  k ]_ B ,  1 ) )
150118, 134, 149syl2anc 644 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 ... ( # `
 A ) ) )  ->  ( F `  ( K `  x
) )  =  if ( ( K `  x )  e.  A ,  [_ ( K `  x )  /  k ]_ B ,  1 ) )
151 elfznn 11085 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  ( 1 ... ( # `  A
) )  ->  x  e.  NN )
152151adantl 454 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 ... ( # `
 A ) ) )  ->  x  e.  NN )
153116, 134eqeltrrd 2513 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 ... ( # `
 A ) ) )  ->  [_ ( K `
 x )  / 
k ]_ B  e.  CC )
154 fveq2 5731 . . . . . . . 8  |-  ( j  =  x  ->  ( K `  j )  =  ( K `  x ) )
155154csbeq1d 3259 . . . . . . 7  |-  ( j  =  x  ->  [_ ( K `  j )  /  k ]_ B  =  [_ ( K `  x )  /  k ]_ B )
156 prodmolem2.4 . . . . . . 7  |-  H  =  ( j  e.  NN  |->  [_ ( K `  j
)  /  k ]_ B )
157155, 156fvmptg 5807 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  NN  /\  [_ ( K `  x
)  /  k ]_ B  e.  CC )  ->  ( H `  x
)  =  [_ ( K `  x )  /  k ]_ B
)
158152, 153, 157syl2anc 644 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 ... ( # `
 A ) ) )  ->  ( H `  x )  =  [_ ( K `  x )  /  k ]_ B
)
159116, 150, 1583eqtr4rd 2481 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 ... ( # `
 A ) ) )  ->  ( H `  x )  =  ( F `  ( K `
 x ) ) )
16077, 79, 81, 83, 4, 84, 3, 96, 110, 159seqcoll 11717 . . 3  |-  ( ph  ->  (  seq  M (  x.  ,  F ) `
 ( K `  N ) )  =  (  seq  1 (  x.  ,  H ) `
 N ) )
161 prodmo.3 . . . 4  |-  G  =  ( j  e.  NN  |->  [_ ( f `  j
)  /  k ]_ B )
16216, 16jca 520 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( N  e.  NN  /\  N  e.  NN ) )
1631, 2, 161, 156, 162, 5, 35prodmolem3 25264 . . 3  |-  ( ph  ->  (  seq  1 (  x.  ,  G ) `
 N )  =  (  seq  1 (  x.  ,  H ) `
 N ) )
164160, 163eqtr4d 2473 . 2  |-  ( ph  ->  (  seq  M (  x.  ,  F ) `
 ( K `  N ) )  =  (  seq  1 (  x.  ,  G ) `
 N ) )
16575, 164breqtrd 4239 1  |-  ( ph  ->  seq  M (  x.  ,  F )  ~~>  (  seq  1 (  x.  ,  G ) `  N
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 178    /\ wa 360    = wceq 1653    e. wcel 1726   [_csb 3253    \ cdif 3319    C_ wss 3322   ifcif 3741   class class class wbr 4215    e. cmpt 4269   `'ccnv 4880   -->wf 5453   -1-1-onto->wf1o 5456   ` cfv 5457    Isom wiso 5458  (class class class)co 6084    ~~ cen 7109   Fincfn 7112   CCcc 8993   RRcr 8994   1c1 8996    x. cmul 9000   RR*cxr 9124    < clt 9125    <_ cle 9126   NNcn 10005   NN0cn0 10226   ZZcz 10287   ZZ>=cuz 10493   ...cfz 11048    seq cseq 11328   #chash 11623    ~~> cli 12283
This theorem is referenced by:  prodmolem2  25266  zprod  25268
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4323  ax-sep 4333  ax-nul 4341  ax-pow 4380  ax-pr 4406  ax-un 4704  ax-inf2 7599  ax-cnex 9051  ax-resscn 9052  ax-1cn 9053  ax-icn 9054  ax-addcl 9055  ax-addrcl 9056  ax-mulcl 9057  ax-mulrcl 9058  ax-mulcom 9059  ax-addass 9060  ax-mulass 9061  ax-distr 9062  ax-i2m1 9063  ax-1ne0 9064  ax-1rid 9065  ax-rnegex 9066  ax-rrecex 9067  ax-cnre 9068  ax-pre-lttri 9069  ax-pre-lttrn 9070  ax-pre-ltadd 9071  ax-pre-mulgt0 9072
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rmo 2715  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-int 4053  df-iun 4097  df-br 4216  df-opab 4270  df-mpt 4271  df-tr 4306  df-eprel 4497  df-id 4501  df-po 4506  df-so 4507  df-fr 4544  df-we 4546  df-ord 4587  df-on 4588  df-lim 4589  df-suc 4590  df-om 4849  df-xp 4887  df-rel 4888  df-cnv 4889  df-co 4890  df-dm 4891  df-rn 4892  df-res 4893  df-ima 4894  df-iota 5421  df-fun 5459  df-fn 5460  df-f 5461  df-f1 5462  df-fo 5463  df-f1o 5464  df-fv 5465  df-isom 5466  df-ov 6087  df-oprab 6088  df-mpt2 6089  df-1st 6352  df-2nd 6353  df-riota 6552  df-recs 6636  df-rdg 6671  df-1o 6727  df-oadd 6731  df-er 6908  df-en 7113  df-dom 7114  df-sdom 7115  df-fin 7116  df-card 7831  df-pnf 9127  df-mnf 9128  df-xr 9129  df-ltxr 9130  df-le 9131  df-sub 9298  df-neg 9299  df-div 9683  df-nn 10006  df-2 10063  df-n0 10227  df-z 10288  df-uz 10494  df-rp 10618  df-fz 11049  df-fzo 11141  df-seq 11329  df-exp 11388  df-hash 11624  df-cj 11909  df-re 11910  df-im 11911  df-sqr 12045  df-abs 12046  df-clim 12287
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