Theorem projlem13 9198

Description: Part of Lemma 3.6 of [Beran] p. 100 (lemma for projection theorem). The infimum of the set of norms is nonnegative. Used by projlem18 9203 projlem19 9204 projlem28 9213.

Hypotheses

Ref	Expression
projlem11.1	|- A e. H~
projlem11.2	|- H e. CH
projlem11.3	|- S = {u e. RR | E.v e. H u = -u(normh` (v -h A))}
projlem11.4	|- R = -usup(S, RR, < )

Assertion

Ref	Expression
projlem13	|- 0 <_ R

Distinct variable groups:   v,u,A   u,H,v

Proof of Theorem projlem13

Step	Hyp	Ref	Expression
1		projlem11.4	. . . 4 |- R = -usup(S, RR, < )
2		projlem11.1	. . . . . . 7 |- A e. H~
3		projlem11.2	. . . . . . 7 |- H e. CH
4		projlem11.3	. . . . . . 7 |- S = {u e. RR | E.v e. H u = -u(normh` (v -h A))}
5	2, 3, 4	projlem9 9194	. . . . . 6 |- sup(S, RR, < ) e. RR
6	5	recn 5314	. . . . 5 |- sup(S, RR, < ) e. CC
7	2, 3, 4, 1	projlem11 9196	. . . . . 6 |- R e. RR
8	7	recn 5314	. . . . 5 |- R e. CC
9	6, 8	negcon2 5408	. . . 4 |- (sup(S, RR, < ) = -uR <-> R = -usup(S, RR, < ))
10	1, 9	mpbir 190	. . 3 |- sup(S, RR, < ) = -uR
11		0re 5440	. . . . . 6 |- 0 e. RR
12	11	renegcl 5416	. . . . 5 |- -u0 e. RR
13		eqeq1 1481	. . . . . . . . 9 |- (u = z -> (u = -u(normh` (v -h A)) <-> z = -u(normh` (v -h A))))
14	13	rexbidv 1664	. . . . . . . 8 |- (u = z -> (E.v e. H u = -u(normh` (v -h A)) <-> E.v e. H z = -u(normh` (v -h A))))
15	14, 4	elrab2 1907	. . . . . . 7 |- (z e. S <-> (z e. RR /\ E.v e. H z = -u(normh` (v -h A))))
16		lenltt 5510	. . . . . . . . . . . 12 |- ((z e. RR /\ -u0 e. RR) -> (z <_ -u0 <-> -. -u0 < z))
17	12, 16	mpan2 696	. . . . . . . . . . 11 |- (z e. RR -> (z <_ -u0 <-> -. -u0 < z))
18		breq1 2622	. . . . . . . . . . . . 13 |- (z = -u(normh` (v -h A)) -> (z <_ -u0 <-> -u(normh` (v -h A)) <_ -u0))
19	3	chel 9102	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- (v e. H -> v e. H~)
20	19, 2	jctir 293	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (v e. H -> (v e. H~ /\ A e. H~))
21		hvsubclt 8887	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ((v e. H~ /\ A e. H~) -> (v -h A) e. H~)
22		normge0t 8992	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ((v -h A) e. H~ -> 0 <_ (normh` (v -h A)))
23	20, 21, 22	3syl 20	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (v e. H -> 0 <_ (normh` (v -h A)))
24		normclt 8991	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ((v -h A) e. H~ -> (normh` (v -h A)) e. RR)
25	20, 21, 24	3syl 20	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- (v e. H -> (normh` (v -h A)) e. RR)
26	25, 11	jctil 292	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (v e. H -> (0 e. RR /\ (normh` (v -h A)) e. RR))
27		lenegt 5657	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ((0 e. RR /\ (normh` (v -h A)) e. RR) -> (0 <_ (normh` (v -h A)) <-> -u(normh` (v -h A)) <_ -u0))
28	26, 27	syl 10	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (v e. H -> (0 <_ (normh` (v -h A)) <-> -u(normh` (v -h A)) <_ -u0))
29	23, 28	mpbid 195	. . . . . . . . . . . . 13 |- (v e. H -> -u(normh` (v -h A)) <_ -u0)
30	18, 29	syl5bir 210	. . . . . . . . . . . 12 |- (z = -u(normh` (v -h A)) -> (v e. H -> z <_ -u0))
31	30	impcom 351	. . . . . . . . . . 11 |- ((v e. H /\ z = -u(normh` (v -h A))) -> z <_ -u0)
32	17, 31	syl5bi 208	. . . . . . . . . 10 |- (z e. RR -> ((v e. H /\ z = -u(normh` (v -h A))) -> -. -u0 < z))
33	32	exp3a 375	. . . . . . . . 9 |- (z e. RR -> (v e. H -> (z = -u(normh` (v -h A)) -> -. -u0 < z)))
34	33	r19.23adv 1746	. . . . . . . 8 |- (z e. RR -> (E.v e. H z = -u(normh` (v -h A)) -> -. -u0 < z))
35	34	imp 350	. . . . . . 7 |- ((z e. RR /\ E.v e. H z = -u(normh` (v -h A))) -> -. -u0 < z)
36	15, 35	sylbi 199	. . . . . 6 |- (z e. S -> -. -u0 < z)
37	36	rgen 1698	. . . . 5 |- A.z e. S -. -u0 < z
38		ltso 5512	. . . . . 6 |- < Or RR
39	2, 3, 4	projlem8 9193	. . . . . . 7 |- (S (_ RR /\ S =/= (/) /\ E.x e. RR A.y e. S y <_ x)
40	39	sup3i 6060	. . . . . 6 |- E.x e. RR (A.y e. S -. x < y /\ A.y e. RR (y < x -> E.z e. S y < z))
41	38, 40	supnubi 4587	. . . . 5 |- ((-u0 e. RR /\ A.z e. S -. -u0 < z) -> -. -u0 < sup(S, RR, < ))
42	12, 37, 41	mp2an 697	. . . 4 |- -. -u0 < sup(S, RR, < )
43	5, 12	lenlt 5578	. . . 4 |- (sup(S, RR, < ) <_ -u0 <-> -. -u0 < sup(S, RR, < ))
44	42, 43	mpbir 190	. . 3 |- sup(S, RR, < ) <_ -u0
45	10, 44	eqbrtrr 2636	. 2 |- -uR <_ -u0
46	11, 7	leneg 5604	. 2 |- (0 <_ R <-> -uR <_ -u0)
47	45, 46	mpbir 190	1 |- 0 <_ R

Syntax hints:  -. wn 2   <-> wb 146   /\ wa 223   = wceq 956   e. wcel 958  A.wral 1645  E.wrex 1646  {crab 1648   class class class wbr 2619  ` cfv 3182  (class class class)co 3963  supcsup 4573  RRcr 5233  0cc0 5234  -ucneg 5293   <_ cle 5295   < clt 5486  H~chil 8788   -h cmv 8792  normhcno 8794  CHcch 8798

This theorem is referenced by:  projlem18 9203  projlem19 9204  projlem28 9213

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 962  ax-gen 963  ax-8 964  ax-9 965  ax-10 966  ax-11 967  ax-12 968  ax-13 969  ax-14 970  ax-17 971  ax-4 973  ax-5o 975  ax-6o 978  ax-9o 1123  ax-10o 1140  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-rep 2693  ax-sep 2703  ax-nul 2710  ax-pow 2742  ax-pr 2779  ax-un 2866  ax-inf2 4625  ax-hilex 8869  ax-hfvadd 8870  ax-hv0cl 8873  ax-hfvmul 8875  ax-hvmul0 8880  ax-hfi 8946  ax-his1 8949  ax-his3 8951  ax-his4 8952

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 776  df-3an 777  df-ex 981  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1587  df-nel 1588  df-ral 1649  df-rex 1650  df-reu 1651  df-rab 1652  df-v 1812  df-sbc 1942  df-csb 2002  df-dif 2049  df-un 2050  df-in 2051  df-ss 2053  df-pss 2055  df-nul 2281  df-if 2362  df-pw 2402  df-sn 2412  df-pr 2413  df-tp 2415  df-op 2416  df-uni 2504  df-int 2534  df-iun 2568  df-br 2620  df-opab 2667  df-tr 2681  df-eprel 2832  df-id 2835  df-po 2840  df-so 2850  df-fr 2917  df-we 2934  df-ord 2951  df-on 2952  df-lim 2953  df-suc 2954  df-om 3132  df-xp 3184  df-rel 3185  df-cnv 3186  df-co 3187  df-dm 3188  df-rn 3189  df-res 3190  df-ima 3191  df-fun 3192  df-fn 3193  df-f 3194  df-f1 3195  df-fo 3196  df-f1o 3197  df-fv 3198  df-rdg 3932  df-opr 3965  df-oprab 3966  df-1st 4079  df-2nd 4080  df-1o 4133  df-oadd 4135  df-omul 4136  df-er 4261  df-ec 4263  df-qs 4266  df-en 4368  df-dom 4369  df-sdom 4370  df-sup 4574  df-ni 5000  df-pli 5001  df-mi 5002  df-lti 5003  df-plpq 5035  df-mpq 5036  df-enq 5037  df-nq 5038  df-plq 5039  df-mq 5040  df-rq 5041  df-ltq 5042  df-1q 5043  df-np 5086  df-1p 5087  df-plp 5088  df-mp 5089  df-ltp 5090  df-plpr 5164  df-mpr 5165  df-enr 5166  df-nr 5167  df-plr 5168  df-mr 5169  df-ltr 5170  df-0r 5171  df-1r 5172  df-m1r 5173  df-c 5240  df-0 5241  df-1 5242  df-i 5243  df-r 5244  df-plus 5245  df-mul 5246  df-lt 5247  df-sub 5356  df-neg 5358  df-pnf 5487  df-mnf 5488  df-xr 5489  df-ltxr 5490  df-le 5491  df-div 5703  df-sqr 6670  df-re 6751  df-im 6752  df-cj 6753  df-hnorm 8837  df-hvsub 8840  df-sh 9076  df-ch 9092

Copyright terms: Public domain