Theorem projlem2 9187

Description: Part of Lemma 3.6 of [Beran] p. 100. We need the square root for the norm limit. Used by projlem28 9213.

Hypotheses

Ref	Expression
projlem1.1	|- R e. RR
projlem1.2	|- D e. RR
projlem2.3	|- 0 <_ R

Assertion

Ref	Expression
projlem2	|- (0 < D -> E.z e. NN (sqr` ((4 x. ((2 x. R) + 1)) / z)) < D)

Distinct variable groups:   z,R   z,D

Proof of Theorem projlem2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		projlem1.1	. . 3 |- R e. RR
2		projlem1.2	. . 3 |- D e. RR
3	1, 2	projlem1 9186	. 2 |- (0 < D -> E.z e. NN ((4 x. ((2 x. R) + 1)) / z) < (D^2))
4		lt2sqt 6630	. . . . . 6 |- ((((sqr` ((4 x. ((2 x. R) + 1)) / z)) e. RR /\ 0 <_ (sqr` ((4 x. ((2 x. R) + 1)) / z))) /\ (D e. RR /\ 0 <_ D)) -> ((sqr` ((4 x. ((2 x. R) + 1)) / z)) < D <-> ((sqr` ((4 x. ((2 x. R) + 1)) / z))^2) < (D^2)))
5		sqrclt 6710	. . . . . . . 8 |- ((((4 x. ((2 x. R) + 1)) / z) e. RR /\ 0 <_ ((4 x. ((2 x. R) + 1)) / z)) -> (sqr` ((4 x. ((2 x. R) + 1)) / z)) e. RR)
6		redivclt 5800	. . . . . . . . . 10 |- (((4 x. ((2 x. R) + 1)) e. RR /\ z e. RR /\ z =/= 0) -> ((4 x. ((2 x. R) + 1)) / z) e. RR)
7	6	3expa 833	. . . . . . . . 9 |- ((((4 x. ((2 x. R) + 1)) e. RR /\ z e. RR) /\ z =/= 0) -> ((4 x. ((2 x. R) + 1)) / z) e. RR)
8		nnret 5929	. . . . . . . . . 10 |- (z e. NN -> z e. RR)
9		4re 5982	. . . . . . . . . . 11 |- 4 e. RR
10		2re 5979	. . . . . . . . . . . . 13 |- 2 e. RR
11	10, 1	remulcl 5335	. . . . . . . . . . . 12 |- (2 x. R) e. RR
12		1re 5435	. . . . . . . . . . . 12 |- 1 e. RR
13	11, 12	readdcl 5334	. . . . . . . . . . 11 |- ((2 x. R) + 1) e. RR
14	9, 13	remulcl 5335	. . . . . . . . . 10 |- (4 x. ((2 x. R) + 1)) e. RR
15	8, 14	jctil 292	. . . . . . . . 9 |- (z e. NN -> ((4 x. ((2 x. R) + 1)) e. RR /\ z e. RR))
16		nnne0t 5949	. . . . . . . . 9 |- (z e. NN -> z =/= 0)
17	7, 15, 16	sylanc 471	. . . . . . . 8 |- (z e. NN -> ((4 x. ((2 x. R) + 1)) / z) e. RR)
18		0re 5440	. . . . . . . . . . 11 |- 0 e. RR
19		4pos 5992	. . . . . . . . . . . 12 |- 0 < 4
20		2pos 5989	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- 0 < 2
21	18, 10, 20	ltlei 5581	. . . . . . . . . . . . . 14 |- 0 <_ 2
22		projlem2.3	. . . . . . . . . . . . . 14 |- 0 <_ R
23	10, 1	mulge0 5607	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ((0 <_ 2 /\ 0 <_ R) -> 0 <_ (2 x. R))
24	21, 22, 23	mp2an 697	. . . . . . . . . . . . 13 |- 0 <_ (2 x. R)
25		lt01 5680	. . . . . . . . . . . . 13 |- 0 < 1
26	11, 12	addgegt0 5600	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((0 <_ (2 x. R) /\ 0 < 1) -> 0 < ((2 x. R) + 1))
27	24, 25, 26	mp2an 697	. . . . . . . . . . . 12 |- 0 < ((2 x. R) + 1)
28	9, 13, 19, 27	mulgt0i 5608	. . . . . . . . . . 11 |- 0 < (4 x. ((2 x. R) + 1))
29	18, 14, 28	ltlei 5581	. . . . . . . . . 10 |- 0 <_ (4 x. ((2 x. R) + 1))
30		divge0t 5856	. . . . . . . . . 10 |- ((((4 x. ((2 x. R) + 1)) e. RR /\ 0 <_ (4 x. ((2 x. R) + 1))) /\ (z e. RR /\ 0 < z)) -> 0 <_ ((4 x. ((2 x. R) + 1)) / z))
31	14, 29, 30	mpanl12 708	. . . . . . . . 9 |- ((z e. RR /\ 0 < z) -> 0 <_ ((4 x. ((2 x. R) + 1)) / z))
32		nngt0t 5946	. . . . . . . . 9 |- (z e. NN -> 0 < z)
33	31, 8, 32	sylanc 471	. . . . . . . 8 |- (z e. NN -> 0 <_ ((4 x. ((2 x. R) + 1)) / z))
34	5, 17, 33	sylanc 471	. . . . . . 7 |- (z e. NN -> (sqr` ((4 x. ((2 x. R) + 1)) / z)) e. RR)
35		sqrge0t 6712	. . . . . . . 8 |- ((((4 x. ((2 x. R) + 1)) / z) e. RR /\ 0 <_ ((4 x. ((2 x. R) + 1)) / z)) -> 0 <_ (sqr` ((4 x. ((2 x. R) + 1)) / z)))
36	35, 17, 33	sylanc 471	. . . . . . 7 |- (z e. NN -> 0 <_ (sqr` ((4 x. ((2 x. R) + 1)) / z)))
37	34, 36	jca 288	. . . . . 6 |- (z e. NN -> ((sqr` ((4 x. ((2 x. R) + 1)) / z)) e. RR /\ 0 <_ (sqr` ((4 x. ((2 x. R) + 1)) / z))))
38	18, 2	ltle 5580	. . . . . . 7 |- (0 < D -> 0 <_ D)
39	38, 2	jctil 292	. . . . . 6 |- (0 < D -> (D e. RR /\ 0 <_ D))
40	4, 37, 39	syl2an 454	. . . . 5 |- ((z e. NN /\ 0 < D) -> ((sqr` ((4 x. ((2 x. R) + 1)) / z)) < D <-> ((sqr` ((4 x. ((2 x. R) + 1)) / z))^2) < (D^2)))
41	40	ancoms 436	. . . 4 |- ((0 < D /\ z e. NN) -> ((sqr` ((4 x. ((2 x. R) + 1)) / z)) < D <-> ((sqr` ((4 x. ((2 x. R) + 1)) / z))^2) < (D^2)))
42		sqsqrt 6723	. . . . . . 7 |- ((((4 x. ((2 x. R) + 1)) / z) e. RR /\ 0 <_ ((4 x. ((2 x. R) + 1)) / z)) -> ((sqr` ((4 x. ((2 x. R) + 1)) / z))^2) = ((4 x. ((2 x. R) + 1)) / z))
43	42, 17, 33	sylanc 471	. . . . . 6 |- (z e. NN -> ((sqr` ((4 x. ((2 x. R) + 1)) / z))^2) = ((4 x. ((2 x. R) + 1)) / z))
44	43	breq1d 2629	. . . . 5 |- (z e. NN -> (((sqr` ((4 x. ((2 x. R) + 1)) / z))^2) < (D^2) <-> ((4 x. ((2 x. R) + 1)) / z) < (D^2)))
45	44	adantl 388	. . . 4 |- ((0 < D /\ z e. NN) -> (((sqr` ((4 x. ((2 x. R) + 1)) / z))^2) < (D^2) <-> ((4 x. ((2 x. R) + 1)) / z) < (D^2)))
46	41, 45	bitrd 528	. . 3 |- ((0 < D /\ z e. NN) -> ((sqr` ((4 x. ((2 x. R) + 1)) / z)) < D <-> ((4 x. ((2 x. R) + 1)) / z) < (D^2)))
47	46	rexbidva 1660	. 2 |- (0 < D -> (E.z e. NN (sqr` ((4 x. ((2 x. R) + 1)) / z)) < D <-> E.z e. NN ((4 x. ((2 x. R) + 1)) / z) < (D^2)))
48	3, 47	mpbird 196	1 |- (0 < D -> E.z e. NN (sqr` ((4 x. ((2 x. R) + 1)) / z)) < D)

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 146   /\ wa 223   = wceq 956   e. wcel 958   =/= wne 1585  E.wrex 1646   class class class wbr 2619  ` cfv 3182  (class class class)co 3963  RRcr 5233  0cc0 5234  1c1 5235   + caddc 5237   x. cmul 5239   / cdiv 5294   <_ cle 5295  NNcn 5296   < clt 5486  2c2 5961  4c4 5963  ^cexp 6568  sqrcsqr 6669

This theorem is referenced by:  projlem28 9213

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 962  ax-gen 963  ax-8 964  ax-9 965  ax-10 966  ax-11 967  ax-12 968  ax-13 969  ax-14 970  ax-17 971  ax-4 973  ax-5o 975  ax-6o 978  ax-9o 1123  ax-10o 1140  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-rep 2693  ax-sep 2703  ax-nul 2710  ax-pow 2742  ax-pr 2779  ax-un 2866  ax-inf2 4625

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 776  df-3an 777  df-ex 981  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1587  df-nel 1588  df-ral 1649  df-rex 1650  df-reu 1651  df-rab 1652  df-v 1812  df-sbc 1942  df-csb 2002  df-dif 2049  df-un 2050  df-in 2051  df-ss 2053  df-pss 2055  df-nul 2281  df-if 2362  df-pw 2402  df-sn 2412  df-pr 2413  df-tp 2415  df-op 2416  df-uni 2504  df-int 2534  df-iun 2568  df-br 2620  df-opab 2667  df-tr 2681  df-eprel 2832  df-id 2835  df-po 2840  df-so 2850  df-fr 2917  df-we 2934  df-ord 2951  df-on 2952  df-lim 2953  df-suc 2954  df-om 3132  df-xp 3184  df-rel 3185  df-cnv 3186  df-co 3187  df-dm 3188  df-rn 3189  df-res 3190  df-ima 3191  df-fun 3192  df-fn 3193  df-f 3194  df-f1 3195  df-fo 3196  df-f1o 3197  df-fv 3198  df-rdg 3932  df-opr 3965  df-oprab 3966  df-1st 4079  df-2nd 4080  df-1o 4133  df-oadd 4135  df-omul 4136  df-er 4261  df-ec 4263  df-qs 4266  df-en 4368  df-dom 4369  df-sdom 4370  df-sup 4574  df-ni 5000  df-pli 5001  df-mi 5002  df-lti 5003  df-plpq 5035  df-mpq 5036  df-enq 5037  df-nq 5038  df-plq 5039  df-mq 5040  df-rq 5041  df-ltq 5042  df-1q 5043  df-np 5086  df-1p 5087  df-plp 5088  df-mp 5089  df-ltp 5090  df-plpr 5164  df-mpr 5165  df-enr 5166  df-nr 5167  df-plr 5168  df-mr 5169  df-ltr 5170  df-0r 5171  df-1r 5172  df-m1r 5173  df-c 5240  df-0 5241  df-1 5242  df-i 5243  df-r 5244  df-plus 5245  df-mul 5246  df-lt 5247  df-sub 5356  df-neg 5358  df-pnf 5487  df-mnf 5488  df-xr 5489  df-ltxr 5490  df-le 5491  df-div 5703  df-n 5925  df-2 5970  df-3 5971  df-4 5972  df-n0 6100  df-z 6136  df-seq1 6308  df-exp 6569  df-sqr 6670

Copyright terms: Public domain