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Theorem propsrc 25971
Description: Properties of a source. (Contributed by FL, 30-May-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
propsrc.1  |-  M  =  dom  ( dom_ `  T
)
propsrc.2  |-  D  =  ( dom_ `  T
)
propsrc.4  |-  S  =  ( T  Source  I )
Assertion
Ref Expression
propsrc  |-  ( ( T  e.  Cat OLD  /\  I  e.  A  /\  F  e.  S )  ->  ( F : I --> M  /\  A. x  e.  I  A. y  e.  I  ( D `  ( F `  x
) )  =  ( D `  ( F `
 y ) ) ) )
Distinct variable groups:    x, y, I    x, T, y    x, F, y
Allowed substitution hints:    A( x, y)    D( x, y)    S( x, y)    M( x, y)

Proof of Theorem propsrc
Dummy variables  i 
c  s are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 propsrc.4 . . . 4  |-  S  =  ( T  Source  I )
21eleq2i 2360 . . 3  |-  ( F  e.  S  <->  F  e.  ( T  Source  I ) )
3 elex 2809 . . . 4  |-  ( I  e.  A  ->  I  e.  _V )
4 simpl 443 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( c  =  T  /\  i  =  I )  ->  c  =  T )
54fveq2d 5545 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( c  =  T  /\  i  =  I )  ->  ( dom_ `  c
)  =  ( dom_ `  T ) )
65dmeqd 4897 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( c  =  T  /\  i  =  I )  ->  dom  ( dom_ `  c
)  =  dom  ( dom_ `  T ) )
7 simpr 447 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( c  =  T  /\  i  =  I )  ->  i  =  I )
86, 7oveq12d 5892 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( c  =  T  /\  i  =  I )  ->  ( dom  ( dom_ `  c )  ^m  i
)  =  ( dom  ( dom_ `  T
)  ^m  I )
)
95fveq1d 5543 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( c  =  T  /\  i  =  I )  ->  ( ( dom_ `  c
) `  ( s `  x ) )  =  ( ( dom_ `  T
) `  ( s `  x ) ) )
105fveq1d 5543 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( c  =  T  /\  i  =  I )  ->  ( ( dom_ `  c
) `  ( s `  y ) )  =  ( ( dom_ `  T
) `  ( s `  y ) ) )
119, 10eqeq12d 2310 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( c  =  T  /\  i  =  I )  ->  ( ( ( dom_ `  c ) `  (
s `  x )
)  =  ( (
dom_ `  c ) `  ( s `  y
) )  <->  ( ( dom_ `  T ) `  ( s `  x
) )  =  ( ( dom_ `  T
) `  ( s `  y ) ) ) )
127, 11raleqbidv 2761 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( c  =  T  /\  i  =  I )  ->  ( A. y  e.  i  ( ( dom_ `  c ) `  (
s `  x )
)  =  ( (
dom_ `  c ) `  ( s `  y
) )  <->  A. y  e.  I  ( ( dom_ `  T ) `  ( s `  x
) )  =  ( ( dom_ `  T
) `  ( s `  y ) ) ) )
137, 12raleqbidv 2761 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( c  =  T  /\  i  =  I )  ->  ( A. x  e.  i  A. y  e.  i  ( ( dom_ `  c ) `  (
s `  x )
)  =  ( (
dom_ `  c ) `  ( s `  y
) )  <->  A. x  e.  I  A. y  e.  I  ( ( dom_ `  T ) `  ( s `  x
) )  =  ( ( dom_ `  T
) `  ( s `  y ) ) ) )
148, 13rabeqbidv 2796 . . . . . . . . 9  |-  ( ( c  =  T  /\  i  =  I )  ->  { s  e.  ( dom  ( dom_ `  c
)  ^m  i )  |  A. x  e.  i 
A. y  e.  i  ( ( dom_ `  c
) `  ( s `  x ) )  =  ( ( dom_ `  c
) `  ( s `  y ) ) }  =  { s  e.  ( dom  ( dom_ `  T )  ^m  I
)  |  A. x  e.  I  A. y  e.  I  ( ( dom_ `  T ) `  ( s `  x
) )  =  ( ( dom_ `  T
) `  ( s `  y ) ) } )
15 df-source 25969 . . . . . . . . 9  |-  Source  =  ( c  e.  Cat OLD  ,  i  e.  _V  |->  { s  e.  ( dom  ( dom_ `  c
)  ^m  i )  |  A. x  e.  i 
A. y  e.  i  ( ( dom_ `  c
) `  ( s `  x ) )  =  ( ( dom_ `  c
) `  ( s `  y ) ) } )
16 ovex 5899 . . . . . . . . . 10  |-  ( dom  ( dom_ `  T
)  ^m  I )  e.  _V
1716rabex 4181 . . . . . . . . 9  |-  { s  e.  ( dom  ( dom_ `  T )  ^m  I )  |  A. x  e.  I  A. y  e.  I  (
( dom_ `  T ) `  ( s `  x
) )  =  ( ( dom_ `  T
) `  ( s `  y ) ) }  e.  _V
1814, 15, 17ovmpt2a 5994 . . . . . . . 8  |-  ( ( T  e.  Cat OLD  /\  I  e.  _V )  ->  ( T  Source  I )  =  { s  e.  ( dom  ( dom_ `  T )  ^m  I
)  |  A. x  e.  I  A. y  e.  I  ( ( dom_ `  T ) `  ( s `  x
) )  =  ( ( dom_ `  T
) `  ( s `  y ) ) } )
1918eleq2d 2363 . . . . . . 7  |-  ( ( T  e.  Cat OLD  /\  I  e.  _V )  ->  ( F  e.  ( T  Source  I )  <->  F  e.  { s  e.  ( dom  ( dom_ `  T
)  ^m  I )  |  A. x  e.  I  A. y  e.  I 
( ( dom_ `  T
) `  ( s `  x ) )  =  ( ( dom_ `  T
) `  ( s `  y ) ) } ) )
20 fveq1 5540 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( s  =  F  ->  (
s `  x )  =  ( F `  x ) )
2120fveq2d 5545 . . . . . . . . . . 11  |-  ( s  =  F  ->  (
( dom_ `  T ) `  ( s `  x
) )  =  ( ( dom_ `  T
) `  ( F `  x ) ) )
22 fveq1 5540 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( s  =  F  ->  (
s `  y )  =  ( F `  y ) )
2322fveq2d 5545 . . . . . . . . . . 11  |-  ( s  =  F  ->  (
( dom_ `  T ) `  ( s `  y
) )  =  ( ( dom_ `  T
) `  ( F `  y ) ) )
2421, 23eqeq12d 2310 . . . . . . . . . 10  |-  ( s  =  F  ->  (
( ( dom_ `  T
) `  ( s `  x ) )  =  ( ( dom_ `  T
) `  ( s `  y ) )  <->  ( ( dom_ `  T ) `  ( F `  x ) )  =  ( (
dom_ `  T ) `  ( F `  y
) ) ) )
25242ralbidv 2598 . . . . . . . . 9  |-  ( s  =  F  ->  ( A. x  e.  I  A. y  e.  I 
( ( dom_ `  T
) `  ( s `  x ) )  =  ( ( dom_ `  T
) `  ( s `  y ) )  <->  A. x  e.  I  A. y  e.  I  ( ( dom_ `  T ) `  ( F `  x ) )  =  ( (
dom_ `  T ) `  ( F `  y
) ) ) )
2625elrab 2936 . . . . . . . 8  |-  ( F  e.  { s  e.  ( dom  ( dom_ `  T )  ^m  I
)  |  A. x  e.  I  A. y  e.  I  ( ( dom_ `  T ) `  ( s `  x
) )  =  ( ( dom_ `  T
) `  ( s `  y ) ) }  <-> 
( F  e.  ( dom  ( dom_ `  T
)  ^m  I )  /\  A. x  e.  I  A. y  e.  I 
( ( dom_ `  T
) `  ( F `  x ) )  =  ( ( dom_ `  T
) `  ( F `  y ) ) ) )
27 propsrc.1 . . . . . . . . . . 11  |-  M  =  dom  ( dom_ `  T
)
28 oveq1 5881 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( dom  ( dom_ `  T
)  =  M  -> 
( dom  ( dom_ `  T )  ^m  I
)  =  ( M  ^m  I ) )
2928eqcoms 2299 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( M  =  dom  ( dom_ `  T )  ->  ( dom  ( dom_ `  T
)  ^m  I )  =  ( M  ^m  I ) )
3029eleq2d 2363 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( M  =  dom  ( dom_ `  T )  ->  ( F  e.  ( dom  ( dom_ `  T )  ^m  I )  <->  F  e.  ( M  ^m  I ) ) )
3130biimpd 198 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( M  =  dom  ( dom_ `  T )  ->  ( F  e.  ( dom  ( dom_ `  T )  ^m  I )  ->  F  e.  ( M  ^m  I
) ) )
32 simpr 447 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( T  e.  Cat OLD  /\  I  e.  _V )  ->  I  e.  _V )
33 fvex 5555 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( dom_ `  T )  e.  _V
3433dmex 4957 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  dom  ( dom_ `  T )  e. 
_V
3532, 34jctil 523 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( T  e.  Cat OLD  /\  I  e.  _V )  ->  ( dom  ( dom_ `  T )  e.  _V  /\  I  e.  _V )
)
36 eleq1 2356 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( M  =  dom  ( dom_ `  T )  ->  ( M  e.  _V  <->  dom  ( dom_ `  T )  e.  _V ) )
3736anbi1d 685 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( M  =  dom  ( dom_ `  T )  ->  (
( M  e.  _V  /\  I  e.  _V )  <->  ( dom  ( dom_ `  T
)  e.  _V  /\  I  e.  _V )
) )
3835, 37syl5ibr 212 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( M  =  dom  ( dom_ `  T )  ->  (
( T  e.  Cat OLD 
/\  I  e.  _V )  ->  ( M  e. 
_V  /\  I  e.  _V ) ) )
3927, 38ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( T  e.  Cat OLD  /\  I  e.  _V )  ->  ( M  e.  _V  /\  I  e.  _V )
)
40 elmapg 6801 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( M  e.  _V  /\  I  e.  _V )  ->  ( F  e.  ( M  ^m  I )  <-> 
F : I --> M ) )
4139, 40syl 15 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( T  e.  Cat OLD  /\  I  e.  _V )  ->  ( F  e.  ( M  ^m  I )  <-> 
F : I --> M ) )
4241biimpd 198 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( T  e.  Cat OLD  /\  I  e.  _V )  ->  ( F  e.  ( M  ^m  I )  ->  F : I --> M ) )
4331, 42syl9 66 . . . . . . . . . . 11  |-  ( M  =  dom  ( dom_ `  T )  ->  (
( T  e.  Cat OLD 
/\  I  e.  _V )  ->  ( F  e.  ( dom  ( dom_ `  T )  ^m  I
)  ->  F :
I --> M ) ) )
4427, 43ax-mp 8 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( T  e.  Cat OLD  /\  I  e.  _V )  ->  ( F  e.  ( dom  ( dom_ `  T
)  ^m  I )  ->  F : I --> M ) )
45 propsrc.2 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  D  =  ( dom_ `  T
)
4645eqcomi 2300 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( dom_ `  T )  =  D
4746fveq1i 5542 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
dom_ `  T ) `  ( F `  x
) )  =  ( D `  ( F `
 x ) )
4846fveq1i 5542 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
dom_ `  T ) `  ( F `  y
) )  =  ( D `  ( F `
 y ) )
4947, 48eqeq12i 2309 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( dom_ `  T
) `  ( F `  x ) )  =  ( ( dom_ `  T
) `  ( F `  y ) )  <->  ( D `  ( F `  x
) )  =  ( D `  ( F `
 y ) ) )
50492ralbii 2582 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A. x  e.  I  A. y  e.  I  (
( dom_ `  T ) `  ( F `  x
) )  =  ( ( dom_ `  T
) `  ( F `  y ) )  <->  A. x  e.  I  A. y  e.  I  ( D `  ( F `  x
) )  =  ( D `  ( F `
 y ) ) )
5150biimpi 186 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A. x  e.  I  A. y  e.  I  (
( dom_ `  T ) `  ( F `  x
) )  =  ( ( dom_ `  T
) `  ( F `  y ) )  ->  A. x  e.  I  A. y  e.  I 
( D `  ( F `  x )
)  =  ( D `
 ( F `  y ) ) )
5251a1i 10 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( T  e.  Cat OLD  /\  I  e.  _V )  ->  ( A. x  e.  I  A. y  e.  I  ( ( dom_ `  T ) `  ( F `  x )
)  =  ( (
dom_ `  T ) `  ( F `  y
) )  ->  A. x  e.  I  A. y  e.  I  ( D `  ( F `  x
) )  =  ( D `  ( F `
 y ) ) ) )
5344, 52anim12d 546 . . . . . . . . 9  |-  ( ( T  e.  Cat OLD  /\  I  e.  _V )  ->  ( ( F  e.  ( dom  ( dom_ `  T )  ^m  I
)  /\  A. x  e.  I  A. y  e.  I  ( ( dom_ `  T ) `  ( F `  x ) )  =  ( (
dom_ `  T ) `  ( F `  y
) ) )  -> 
( F : I --> M  /\  A. x  e.  I  A. y  e.  I  ( D `  ( F `  x
) )  =  ( D `  ( F `
 y ) ) ) ) )
5453com12 27 . . . . . . . 8  |-  ( ( F  e.  ( dom  ( dom_ `  T
)  ^m  I )  /\  A. x  e.  I  A. y  e.  I 
( ( dom_ `  T
) `  ( F `  x ) )  =  ( ( dom_ `  T
) `  ( F `  y ) ) )  ->  ( ( T  e.  Cat OLD  /\  I  e.  _V )  ->  ( F : I --> M  /\  A. x  e.  I  A. y  e.  I  ( D `  ( F `  x
) )  =  ( D `  ( F `
 y ) ) ) ) )
5526, 54sylbi 187 . . . . . . 7  |-  ( F  e.  { s  e.  ( dom  ( dom_ `  T )  ^m  I
)  |  A. x  e.  I  A. y  e.  I  ( ( dom_ `  T ) `  ( s `  x
) )  =  ( ( dom_ `  T
) `  ( s `  y ) ) }  ->  ( ( T  e.  Cat OLD  /\  I  e.  _V )  ->  ( F : I --> M  /\  A. x  e.  I  A. y  e.  I  ( D `  ( F `  x
) )  =  ( D `  ( F `
 y ) ) ) ) )
5619, 55syl6bi 219 . . . . . 6  |-  ( ( T  e.  Cat OLD  /\  I  e.  _V )  ->  ( F  e.  ( T  Source  I )  -> 
( ( T  e. 
Cat OLD  /\  I  e. 
_V )  ->  ( F : I --> M  /\  A. x  e.  I  A. y  e.  I  ( D `  ( F `  x ) )  =  ( D `  ( F `  y )
) ) ) ) )
5756pm2.43a 45 . . . . 5  |-  ( ( T  e.  Cat OLD  /\  I  e.  _V )  ->  ( F  e.  ( T  Source  I )  -> 
( F : I --> M  /\  A. x  e.  I  A. y  e.  I  ( D `  ( F `  x
) )  =  ( D `  ( F `
 y ) ) ) ) )
5857ex 423 . . . 4  |-  ( T  e.  Cat OLD  ->  ( I  e.  _V  ->  ( F  e.  ( T 
Source  I )  ->  ( F : I --> M  /\  A. x  e.  I  A. y  e.  I  ( D `  ( F `  x ) )  =  ( D `  ( F `  y )
) ) ) ) )
593, 58syl5 28 . . 3  |-  ( T  e.  Cat OLD  ->  ( I  e.  A  -> 
( F  e.  ( T  Source  I )  -> 
( F : I --> M  /\  A. x  e.  I  A. y  e.  I  ( D `  ( F `  x
) )  =  ( D `  ( F `
 y ) ) ) ) ) )
602, 59syl7bi 221 . 2  |-  ( T  e.  Cat OLD  ->  ( I  e.  A  -> 
( F  e.  S  ->  ( F : I --> M  /\  A. x  e.  I  A. y  e.  I  ( D `  ( F `  x
) )  =  ( D `  ( F `
 y ) ) ) ) ) )
61603imp 1145 1  |-  ( ( T  e.  Cat OLD  /\  I  e.  A  /\  F  e.  S )  ->  ( F : I --> M  /\  A. x  e.  I  A. y  e.  I  ( D `  ( F `  x
) )  =  ( D `  ( F `
 y ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1632    e. wcel 1696   A.wral 2556   {crab 2560   _Vcvv 2801   dom cdm 4705   -->wf 5267   ` cfv 5271  (class class class)co 5874    ^m cmap 6788   dom_cdom_ 25815    Cat
OLD ccatOLD 25855    Source csrce 25968
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-ral 2561  df-rex 2562  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-op 3662  df-uni 3844  df-br 4040  df-opab 4094  df-id 4325  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-map 6790  df-source 25969
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