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Theorem prter2 26768
Description: The quotient set of the equivalence relation generated by a partition equals the partition itself. (Contributed by Rodolfo Medina, 17-Oct-2010.)
Hypothesis
Ref Expression
prtlem18.1  |-  .~  =  { <. x ,  y
>.  |  E. u  e.  A  ( x  e.  u  /\  y  e.  u ) }
Assertion
Ref Expression
prter2  |-  ( Prt 
A  ->  ( U. A /.  .~  )  =  ( A  \  { (/)
} ) )
Distinct variable group:    x, u, y, A
Allowed substitution hints:    .~ ( x, y, u)

Proof of Theorem prter2
Dummy variables  p  v  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 rexcom4 2981 . . . . . . . . . . 11  |-  ( E. v  e.  A  E. z ( z  e.  v  /\  p  =  [ z ]  .~  ) 
<->  E. z E. v  e.  A  ( z  e.  v  /\  p  =  [ z ]  .~  ) )
2 r19.41v 2867 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( E. v  e.  A  ( z  e.  v  /\  p  =  [ z ]  .~  )  <->  ( E. v  e.  A  z  e.  v  /\  p  =  [ z ]  .~  ) )
32exbii 1593 . . . . . . . . . . 11  |-  ( E. z E. v  e.  A  ( z  e.  v  /\  p  =  [ z ]  .~  ) 
<->  E. z ( E. v  e.  A  z  e.  v  /\  p  =  [ z ]  .~  ) )
41, 3bitri 242 . . . . . . . . . 10  |-  ( E. v  e.  A  E. z ( z  e.  v  /\  p  =  [ z ]  .~  ) 
<->  E. z ( E. v  e.  A  z  e.  v  /\  p  =  [ z ]  .~  ) )
5 df-rex 2717 . . . . . . . . . . 11  |-  ( E. z  e.  v  p  =  [ z ]  .~  <->  E. z ( z  e.  v  /\  p  =  [ z ]  .~  ) )
65rexbii 2736 . . . . . . . . . 10  |-  ( E. v  e.  A  E. z  e.  v  p  =  [ z ]  .~  <->  E. v  e.  A  E. z ( z  e.  v  /\  p  =  [ z ]  .~  ) )
7 vex 2965 . . . . . . . . . . . 12  |-  p  e. 
_V
87elqs 6986 . . . . . . . . . . 11  |-  ( p  e.  ( U. A /.  .~  )  <->  E. z  e.  U. A p  =  [ z ]  .~  )
9 df-rex 2717 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( E. z  e.  U. A p  =  [ z ]  .~  <->  E. z ( z  e.  U. A  /\  p  =  [ z ]  .~  ) )
10 eluni2 4043 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( z  e.  U. A  <->  E. v  e.  A  z  e.  v )
1110anbi1i 678 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( z  e.  U. A  /\  p  =  [
z ]  .~  )  <->  ( E. v  e.  A  z  e.  v  /\  p  =  [ z ]  .~  ) )
1211exbii 1593 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( E. z ( z  e. 
U. A  /\  p  =  [ z ]  .~  ) 
<->  E. z ( E. v  e.  A  z  e.  v  /\  p  =  [ z ]  .~  ) )
139, 12bitri 242 . . . . . . . . . . 11  |-  ( E. z  e.  U. A p  =  [ z ]  .~  <->  E. z ( E. v  e.  A  z  e.  v  /\  p  =  [ z ]  .~  ) )
148, 13bitri 242 . . . . . . . . . 10  |-  ( p  e.  ( U. A /.  .~  )  <->  E. z
( E. v  e.  A  z  e.  v  /\  p  =  [
z ]  .~  )
)
154, 6, 143bitr4ri 271 . . . . . . . . 9  |-  ( p  e.  ( U. A /.  .~  )  <->  E. v  e.  A  E. z  e.  v  p  =  [ z ]  .~  )
16 prtlem18.1 . . . . . . . . . . . 12  |-  .~  =  { <. x ,  y
>.  |  E. u  e.  A  ( x  e.  u  /\  y  e.  u ) }
1716prtlem19 26765 . . . . . . . . . . 11  |-  ( Prt 
A  ->  ( (
v  e.  A  /\  z  e.  v )  ->  v  =  [ z ]  .~  ) )
1817ralrimivv 2803 . . . . . . . . . 10  |-  ( Prt 
A  ->  A. v  e.  A  A. z  e.  v  v  =  [ z ]  .~  )
19 2r19.29 26741 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A. v  e.  A  A. z  e.  v 
v  =  [ z ]  .~  /\  E. v  e.  A  E. z  e.  v  p  =  [ z ]  .~  )  ->  E. v  e.  A  E. z  e.  v 
( v  =  [
z ]  .~  /\  p  =  [ z ]  .~  ) )
2019ex 425 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. v  e.  A  A. z  e.  v  v  =  [ z ]  .~  ->  ( E. v  e.  A  E. z  e.  v  p  =  [
z ]  .~  ->  E. v  e.  A  E. z  e.  v  (
v  =  [ z ]  .~  /\  p  =  [ z ]  .~  ) ) )
2118, 20syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( Prt 
A  ->  ( E. v  e.  A  E. z  e.  v  p  =  [ z ]  .~  ->  E. v  e.  A  E. z  e.  v 
( v  =  [
z ]  .~  /\  p  =  [ z ]  .~  ) ) )
2215, 21syl5bi 210 . . . . . . . 8  |-  ( Prt 
A  ->  ( p  e.  ( U. A /.  .~  )  ->  E. v  e.  A  E. z  e.  v  ( v  =  [ z ]  .~  /\  p  =  [ z ]  .~  ) ) )
23 eqtr3 2461 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( v  =  [ z ]  .~  /\  p  =  [ z ]  .~  )  ->  v  =  p )
2423reximi 2819 . . . . . . . . 9  |-  ( E. z  e.  v  ( v  =  [ z ]  .~  /\  p  =  [ z ]  .~  )  ->  E. z  e.  v  v  =  p )
2524reximi 2819 . . . . . . . 8  |-  ( E. v  e.  A  E. z  e.  v  (
v  =  [ z ]  .~  /\  p  =  [ z ]  .~  )  ->  E. v  e.  A  E. z  e.  v 
v  =  p )
2622, 25syl6 32 . . . . . . 7  |-  ( Prt 
A  ->  ( p  e.  ( U. A /.  .~  )  ->  E. v  e.  A  E. z  e.  v  v  =  p ) )
27 df-rex 2717 . . . . . . . . . 10  |-  ( E. z  e.  v  v  =  p  <->  E. z
( z  e.  v  /\  v  =  p ) )
28 19.41v 1927 . . . . . . . . . 10  |-  ( E. z ( z  e.  v  /\  v  =  p )  <->  ( E. z  z  e.  v  /\  v  =  p
) )
2927, 28bitri 242 . . . . . . . . 9  |-  ( E. z  e.  v  v  =  p  <->  ( E. z  z  e.  v  /\  v  =  p
) )
3029simprbi 452 . . . . . . . 8  |-  ( E. z  e.  v  v  =  p  ->  v  =  p )
3130reximi 2819 . . . . . . 7  |-  ( E. v  e.  A  E. z  e.  v  v  =  p  ->  E. v  e.  A  v  =  p )
3226, 31syl6 32 . . . . . 6  |-  ( Prt 
A  ->  ( p  e.  ( U. A /.  .~  )  ->  E. v  e.  A  v  =  p ) )
33 risset 2759 . . . . . 6  |-  ( p  e.  A  <->  E. v  e.  A  v  =  p )
3432, 33syl6ibr 220 . . . . 5  |-  ( Prt 
A  ->  ( p  e.  ( U. A /.  .~  )  ->  p  e.  A ) )
3516prtlem400 26757 . . . . . 6  |-  -.  (/)  e.  ( U. A /.  .~  )
36 prtlem90 26744 . . . . . 6  |-  ( -.  (/)  e.  ( U. A /.  .~  )  ->  (
p  e.  ( U. A /.  .~  )  ->  p  =/=  (/) ) )
3735, 36mp1i 12 . . . . 5  |-  ( Prt 
A  ->  ( p  e.  ( U. A /.  .~  )  ->  p  =/=  (/) ) )
3834, 37jcad 521 . . . 4  |-  ( Prt 
A  ->  ( p  e.  ( U. A /.  .~  )  ->  ( p  e.  A  /\  p  =/=  (/) ) ) )
39 eldifsn 3951 . . . 4  |-  ( p  e.  ( A  \  { (/) } )  <->  ( p  e.  A  /\  p  =/=  (/) ) )
4038, 39syl6ibr 220 . . 3  |-  ( Prt 
A  ->  ( p  e.  ( U. A /.  .~  )  ->  p  e.  ( A  \  { (/) } ) ) )
41 neldifsn 3953 . . . . . . 7  |-  -.  (/)  e.  ( A  \  { (/) } )
42 n0el 26746 . . . . . . 7  |-  ( -.  (/)  e.  ( A  \  { (/) } )  <->  A. p  e.  ( A  \  { (/)
} ) E. z 
z  e.  p )
4341, 42mpbi 201 . . . . . 6  |-  A. p  e.  ( A  \  { (/)
} ) E. z 
z  e.  p
4443rspec 2776 . . . . 5  |-  ( p  e.  ( A  \  { (/) } )  ->  E. z  z  e.  p )
45 eldifi 3455 . . . . 5  |-  ( p  e.  ( A  \  { (/) } )  ->  p  e.  A )
4644, 45jca 520 . . . 4  |-  ( p  e.  ( A  \  { (/) } )  -> 
( E. z  z  e.  p  /\  p  e.  A ) )
4716prtlem19 26765 . . . . . . . . 9  |-  ( Prt 
A  ->  ( (
p  e.  A  /\  z  e.  p )  ->  p  =  [ z ]  .~  ) )
4847ancomsd 442 . . . . . . . 8  |-  ( Prt 
A  ->  ( (
z  e.  p  /\  p  e.  A )  ->  p  =  [ z ]  .~  ) )
49 elunii 4044 . . . . . . . 8  |-  ( ( z  e.  p  /\  p  e.  A )  ->  z  e.  U. A
)
5048, 49jca2r 26730 . . . . . . 7  |-  ( Prt 
A  ->  ( (
z  e.  p  /\  p  e.  A )  ->  ( z  e.  U. A  /\  p  =  [
z ]  .~  )
) )
51 prtlem11 26753 . . . . . . . . 9  |-  ( p  e.  _V  ->  (
z  e.  U. A  ->  ( p  =  [
z ]  .~  ->  p  e.  ( U. A /.  .~  ) ) ) )
527, 51ax-mp 5 . . . . . . . 8  |-  ( z  e.  U. A  -> 
( p  =  [
z ]  .~  ->  p  e.  ( U. A /.  .~  ) ) )
5352imp 420 . . . . . . 7  |-  ( ( z  e.  U. A  /\  p  =  [
z ]  .~  )  ->  p  e.  ( U. A /.  .~  ) )
5450, 53syl6 32 . . . . . 6  |-  ( Prt 
A  ->  ( (
z  e.  p  /\  p  e.  A )  ->  p  e.  ( U. A /.  .~  ) ) )
5554eximdv 1633 . . . . 5  |-  ( Prt 
A  ->  ( E. z ( z  e.  p  /\  p  e.  A )  ->  E. z  p  e.  ( U. A /.  .~  ) ) )
56 19.41v 1927 . . . . 5  |-  ( E. z ( z  e.  p  /\  p  e.  A )  <->  ( E. z  z  e.  p  /\  p  e.  A
) )
57 19.9v 1678 . . . . 5  |-  ( E. z  p  e.  ( U. A /.  .~  ) 
<->  p  e.  ( U. A /.  .~  ) )
5855, 56, 573imtr3g 262 . . . 4  |-  ( Prt 
A  ->  ( ( E. z  z  e.  p  /\  p  e.  A
)  ->  p  e.  ( U. A /.  .~  ) ) )
5946, 58syl5 31 . . 3  |-  ( Prt 
A  ->  ( p  e.  ( A  \  { (/)
} )  ->  p  e.  ( U. A /.  .~  ) ) )
6040, 59impbid 185 . 2  |-  ( Prt 
A  ->  ( p  e.  ( U. A /.  .~  )  <->  p  e.  ( A  \  { (/) } ) ) )
6160eqrdv 2440 1  |-  ( Prt 
A  ->  ( U. A /.  .~  )  =  ( A  \  { (/)
} ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 360   E.wex 1551    = wceq 1653    e. wcel 1727    =/= wne 2605   A.wral 2711   E.wrex 2712   _Vcvv 2962    \ cdif 3303   (/)c0 3613   {csn 3838   U.cuni 4039   {copab 4290   [cec 6932   /.cqs 6933   Prt wprt 26758
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1668  ax-8 1689  ax-14 1731  ax-6 1746  ax-7 1751  ax-11 1763  ax-12 1953  ax-ext 2423  ax-sep 4355  ax-nul 4363  ax-pr 4432
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2291  df-mo 2292  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2567  df-ne 2607  df-ral 2716  df-rex 2717  df-rab 2720  df-v 2964  df-sbc 3168  df-dif 3309  df-un 3311  df-in 3313  df-ss 3320  df-nul 3614  df-if 3764  df-sn 3844  df-pr 3845  df-op 3847  df-uni 4040  df-br 4238  df-opab 4292  df-xp 4913  df-cnv 4915  df-dm 4917  df-rn 4918  df-res 4919  df-ima 4920  df-ec 6936  df-qs 6940  df-prt 26759
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