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Theorem prter2 26628
Description: The quotient set of the equivalence relation generated by a partition equals the partition itself. (Contributed by Rodolfo Medina, 17-Oct-2010.)
Hypothesis
Ref Expression
prtlem18.1  |-  .~  =  { <. x ,  y
>.  |  E. u  e.  A  ( x  e.  u  /\  y  e.  u ) }
Assertion
Ref Expression
prter2  |-  ( Prt 
A  ->  ( U. A /.  .~  )  =  ( A  \  { (/)
} ) )
Distinct variable group:    x, u, y, A
Allowed substitution hints:    .~ ( x, y, u)

Proof of Theorem prter2
Dummy variables  p  v  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 rexcom4 2943 . . . . . . . . . . 11  |-  ( E. v  e.  A  E. z ( z  e.  v  /\  p  =  [ z ]  .~  ) 
<->  E. z E. v  e.  A  ( z  e.  v  /\  p  =  [ z ]  .~  ) )
2 r19.41v 2829 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( E. v  e.  A  ( z  e.  v  /\  p  =  [ z ]  .~  )  <->  ( E. v  e.  A  z  e.  v  /\  p  =  [ z ]  .~  ) )
32exbii 1589 . . . . . . . . . . 11  |-  ( E. z E. v  e.  A  ( z  e.  v  /\  p  =  [ z ]  .~  ) 
<->  E. z ( E. v  e.  A  z  e.  v  /\  p  =  [ z ]  .~  ) )
41, 3bitri 241 . . . . . . . . . 10  |-  ( E. v  e.  A  E. z ( z  e.  v  /\  p  =  [ z ]  .~  ) 
<->  E. z ( E. v  e.  A  z  e.  v  /\  p  =  [ z ]  .~  ) )
5 df-rex 2680 . . . . . . . . . . 11  |-  ( E. z  e.  v  p  =  [ z ]  .~  <->  E. z ( z  e.  v  /\  p  =  [ z ]  .~  ) )
65rexbii 2699 . . . . . . . . . 10  |-  ( E. v  e.  A  E. z  e.  v  p  =  [ z ]  .~  <->  E. v  e.  A  E. z ( z  e.  v  /\  p  =  [ z ]  .~  ) )
7 vex 2927 . . . . . . . . . . . 12  |-  p  e. 
_V
87elqs 6924 . . . . . . . . . . 11  |-  ( p  e.  ( U. A /.  .~  )  <->  E. z  e.  U. A p  =  [ z ]  .~  )
9 df-rex 2680 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( E. z  e.  U. A p  =  [ z ]  .~  <->  E. z ( z  e.  U. A  /\  p  =  [ z ]  .~  ) )
10 eluni2 3987 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( z  e.  U. A  <->  E. v  e.  A  z  e.  v )
1110anbi1i 677 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( z  e.  U. A  /\  p  =  [
z ]  .~  )  <->  ( E. v  e.  A  z  e.  v  /\  p  =  [ z ]  .~  ) )
1211exbii 1589 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( E. z ( z  e. 
U. A  /\  p  =  [ z ]  .~  ) 
<->  E. z ( E. v  e.  A  z  e.  v  /\  p  =  [ z ]  .~  ) )
139, 12bitri 241 . . . . . . . . . . 11  |-  ( E. z  e.  U. A p  =  [ z ]  .~  <->  E. z ( E. v  e.  A  z  e.  v  /\  p  =  [ z ]  .~  ) )
148, 13bitri 241 . . . . . . . . . 10  |-  ( p  e.  ( U. A /.  .~  )  <->  E. z
( E. v  e.  A  z  e.  v  /\  p  =  [
z ]  .~  )
)
154, 6, 143bitr4ri 270 . . . . . . . . 9  |-  ( p  e.  ( U. A /.  .~  )  <->  E. v  e.  A  E. z  e.  v  p  =  [ z ]  .~  )
16 prtlem18.1 . . . . . . . . . . . 12  |-  .~  =  { <. x ,  y
>.  |  E. u  e.  A  ( x  e.  u  /\  y  e.  u ) }
1716prtlem19 26625 . . . . . . . . . . 11  |-  ( Prt 
A  ->  ( (
v  e.  A  /\  z  e.  v )  ->  v  =  [ z ]  .~  ) )
1817ralrimivv 2765 . . . . . . . . . 10  |-  ( Prt 
A  ->  A. v  e.  A  A. z  e.  v  v  =  [ z ]  .~  )
19 2r19.29 26601 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A. v  e.  A  A. z  e.  v 
v  =  [ z ]  .~  /\  E. v  e.  A  E. z  e.  v  p  =  [ z ]  .~  )  ->  E. v  e.  A  E. z  e.  v 
( v  =  [
z ]  .~  /\  p  =  [ z ]  .~  ) )
2019ex 424 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. v  e.  A  A. z  e.  v  v  =  [ z ]  .~  ->  ( E. v  e.  A  E. z  e.  v  p  =  [
z ]  .~  ->  E. v  e.  A  E. z  e.  v  (
v  =  [ z ]  .~  /\  p  =  [ z ]  .~  ) ) )
2118, 20syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( Prt 
A  ->  ( E. v  e.  A  E. z  e.  v  p  =  [ z ]  .~  ->  E. v  e.  A  E. z  e.  v 
( v  =  [
z ]  .~  /\  p  =  [ z ]  .~  ) ) )
2215, 21syl5bi 209 . . . . . . . 8  |-  ( Prt 
A  ->  ( p  e.  ( U. A /.  .~  )  ->  E. v  e.  A  E. z  e.  v  ( v  =  [ z ]  .~  /\  p  =  [ z ]  .~  ) ) )
23 eqtr3 2431 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( v  =  [ z ]  .~  /\  p  =  [ z ]  .~  )  ->  v  =  p )
2423reximi 2781 . . . . . . . . 9  |-  ( E. z  e.  v  ( v  =  [ z ]  .~  /\  p  =  [ z ]  .~  )  ->  E. z  e.  v  v  =  p )
2524reximi 2781 . . . . . . . 8  |-  ( E. v  e.  A  E. z  e.  v  (
v  =  [ z ]  .~  /\  p  =  [ z ]  .~  )  ->  E. v  e.  A  E. z  e.  v 
v  =  p )
2622, 25syl6 31 . . . . . . 7  |-  ( Prt 
A  ->  ( p  e.  ( U. A /.  .~  )  ->  E. v  e.  A  E. z  e.  v  v  =  p ) )
27 df-rex 2680 . . . . . . . . . 10  |-  ( E. z  e.  v  v  =  p  <->  E. z
( z  e.  v  /\  v  =  p ) )
28 19.41v 1920 . . . . . . . . . 10  |-  ( E. z ( z  e.  v  /\  v  =  p )  <->  ( E. z  z  e.  v  /\  v  =  p
) )
2927, 28bitri 241 . . . . . . . . 9  |-  ( E. z  e.  v  v  =  p  <->  ( E. z  z  e.  v  /\  v  =  p
) )
3029simprbi 451 . . . . . . . 8  |-  ( E. z  e.  v  v  =  p  ->  v  =  p )
3130reximi 2781 . . . . . . 7  |-  ( E. v  e.  A  E. z  e.  v  v  =  p  ->  E. v  e.  A  v  =  p )
3226, 31syl6 31 . . . . . 6  |-  ( Prt 
A  ->  ( p  e.  ( U. A /.  .~  )  ->  E. v  e.  A  v  =  p ) )
33 risset 2721 . . . . . 6  |-  ( p  e.  A  <->  E. v  e.  A  v  =  p )
3432, 33syl6ibr 219 . . . . 5  |-  ( Prt 
A  ->  ( p  e.  ( U. A /.  .~  )  ->  p  e.  A ) )
3516prtlem400 26617 . . . . . 6  |-  -.  (/)  e.  ( U. A /.  .~  )
36 prtlem90 26604 . . . . . 6  |-  ( -.  (/)  e.  ( U. A /.  .~  )  ->  (
p  e.  ( U. A /.  .~  )  ->  p  =/=  (/) ) )
3735, 36mp1i 12 . . . . 5  |-  ( Prt 
A  ->  ( p  e.  ( U. A /.  .~  )  ->  p  =/=  (/) ) )
3834, 37jcad 520 . . . 4  |-  ( Prt 
A  ->  ( p  e.  ( U. A /.  .~  )  ->  ( p  e.  A  /\  p  =/=  (/) ) ) )
39 eldifsn 3895 . . . 4  |-  ( p  e.  ( A  \  { (/) } )  <->  ( p  e.  A  /\  p  =/=  (/) ) )
4038, 39syl6ibr 219 . . 3  |-  ( Prt 
A  ->  ( p  e.  ( U. A /.  .~  )  ->  p  e.  ( A  \  { (/) } ) ) )
41 neldifsn 3897 . . . . . . 7  |-  -.  (/)  e.  ( A  \  { (/) } )
42 n0el 26606 . . . . . . 7  |-  ( -.  (/)  e.  ( A  \  { (/) } )  <->  A. p  e.  ( A  \  { (/)
} ) E. z 
z  e.  p )
4341, 42mpbi 200 . . . . . 6  |-  A. p  e.  ( A  \  { (/)
} ) E. z 
z  e.  p
4443rspec 2738 . . . . 5  |-  ( p  e.  ( A  \  { (/) } )  ->  E. z  z  e.  p )
45 eldifi 3437 . . . . 5  |-  ( p  e.  ( A  \  { (/) } )  ->  p  e.  A )
4644, 45jca 519 . . . 4  |-  ( p  e.  ( A  \  { (/) } )  -> 
( E. z  z  e.  p  /\  p  e.  A ) )
4716prtlem19 26625 . . . . . . . . 9  |-  ( Prt 
A  ->  ( (
p  e.  A  /\  z  e.  p )  ->  p  =  [ z ]  .~  ) )
4847ancomsd 441 . . . . . . . 8  |-  ( Prt 
A  ->  ( (
z  e.  p  /\  p  e.  A )  ->  p  =  [ z ]  .~  ) )
49 elunii 3988 . . . . . . . 8  |-  ( ( z  e.  p  /\  p  e.  A )  ->  z  e.  U. A
)
5048, 49jca2r 26590 . . . . . . 7  |-  ( Prt 
A  ->  ( (
z  e.  p  /\  p  e.  A )  ->  ( z  e.  U. A  /\  p  =  [
z ]  .~  )
) )
51 prtlem11 26613 . . . . . . . . 9  |-  ( p  e.  _V  ->  (
z  e.  U. A  ->  ( p  =  [
z ]  .~  ->  p  e.  ( U. A /.  .~  ) ) ) )
527, 51ax-mp 8 . . . . . . . 8  |-  ( z  e.  U. A  -> 
( p  =  [
z ]  .~  ->  p  e.  ( U. A /.  .~  ) ) )
5352imp 419 . . . . . . 7  |-  ( ( z  e.  U. A  /\  p  =  [
z ]  .~  )  ->  p  e.  ( U. A /.  .~  ) )
5450, 53syl6 31 . . . . . 6  |-  ( Prt 
A  ->  ( (
z  e.  p  /\  p  e.  A )  ->  p  e.  ( U. A /.  .~  ) ) )
5554eximdv 1629 . . . . 5  |-  ( Prt 
A  ->  ( E. z ( z  e.  p  /\  p  e.  A )  ->  E. z  p  e.  ( U. A /.  .~  ) ) )
56 19.41v 1920 . . . . 5  |-  ( E. z ( z  e.  p  /\  p  e.  A )  <->  ( E. z  z  e.  p  /\  p  e.  A
) )
57 19.9v 1672 . . . . 5  |-  ( E. z  p  e.  ( U. A /.  .~  ) 
<->  p  e.  ( U. A /.  .~  ) )
5855, 56, 573imtr3g 261 . . . 4  |-  ( Prt 
A  ->  ( ( E. z  z  e.  p  /\  p  e.  A
)  ->  p  e.  ( U. A /.  .~  ) ) )
5946, 58syl5 30 . . 3  |-  ( Prt 
A  ->  ( p  e.  ( A  \  { (/)
} )  ->  p  e.  ( U. A /.  .~  ) ) )
6040, 59impbid 184 . 2  |-  ( Prt 
A  ->  ( p  e.  ( U. A /.  .~  )  <->  p  e.  ( A  \  { (/) } ) ) )
6160eqrdv 2410 1  |-  ( Prt 
A  ->  ( U. A /.  .~  )  =  ( A  \  { (/)
} ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 359   E.wex 1547    = wceq 1649    e. wcel 1721    =/= wne 2575   A.wral 2674   E.wrex 2675   _Vcvv 2924    \ cdif 3285   (/)c0 3596   {csn 3782   U.cuni 3983   {copab 4233   [cec 6870   /.cqs 6871   Prt wprt 26618
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2393  ax-sep 4298  ax-nul 4306  ax-pr 4371
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2399  df-cleq 2405  df-clel 2408  df-nfc 2537  df-ne 2577  df-ral 2679  df-rex 2680  df-rab 2683  df-v 2926  df-sbc 3130  df-dif 3291  df-un 3293  df-in 3295  df-ss 3302  df-nul 3597  df-if 3708  df-sn 3788  df-pr 3789  df-op 3791  df-uni 3984  df-br 4181  df-opab 4235  df-xp 4851  df-cnv 4853  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857  df-ima 4858  df-ec 6874  df-qs 6878  df-prt 26619
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