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Theorem prter2 26340
Description: The quotient set of the equivalence relation generated by a partition equals the partition itself. (Contributed by Rodolfo Medina, 17-Oct-2010.)
Hypothesis
Ref Expression
prtlem18.1  |-  .~  =  { <. x ,  y
>.  |  E. u  e.  A  ( x  e.  u  /\  y  e.  u ) }
Assertion
Ref Expression
prter2  |-  ( Prt 
A  ->  ( U. A /.  .~  )  =  ( A  \  { (/)
} ) )
Distinct variable group:    x, u, y, A
Allowed substitution hints:    .~ ( x, y, u)

Proof of Theorem prter2
Dummy variables  p  v  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 rexcom4 2892 . . . . . . . . . . 11  |-  ( E. v  e.  A  E. z ( z  e.  v  /\  p  =  [ z ]  .~  ) 
<->  E. z E. v  e.  A  ( z  e.  v  /\  p  =  [ z ]  .~  ) )
2 r19.41v 2778 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( E. v  e.  A  ( z  e.  v  /\  p  =  [ z ]  .~  )  <->  ( E. v  e.  A  z  e.  v  /\  p  =  [ z ]  .~  ) )
32exbii 1587 . . . . . . . . . . 11  |-  ( E. z E. v  e.  A  ( z  e.  v  /\  p  =  [ z ]  .~  ) 
<->  E. z ( E. v  e.  A  z  e.  v  /\  p  =  [ z ]  .~  ) )
41, 3bitri 240 . . . . . . . . . 10  |-  ( E. v  e.  A  E. z ( z  e.  v  /\  p  =  [ z ]  .~  ) 
<->  E. z ( E. v  e.  A  z  e.  v  /\  p  =  [ z ]  .~  ) )
5 df-rex 2634 . . . . . . . . . . 11  |-  ( E. z  e.  v  p  =  [ z ]  .~  <->  E. z ( z  e.  v  /\  p  =  [ z ]  .~  ) )
65rexbii 2653 . . . . . . . . . 10  |-  ( E. v  e.  A  E. z  e.  v  p  =  [ z ]  .~  <->  E. v  e.  A  E. z ( z  e.  v  /\  p  =  [ z ]  .~  ) )
7 vex 2876 . . . . . . . . . . . 12  |-  p  e. 
_V
87elqs 6854 . . . . . . . . . . 11  |-  ( p  e.  ( U. A /.  .~  )  <->  E. z  e.  U. A p  =  [ z ]  .~  )
9 df-rex 2634 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( E. z  e.  U. A p  =  [ z ]  .~  <->  E. z ( z  e.  U. A  /\  p  =  [ z ]  .~  ) )
10 eluni2 3933 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( z  e.  U. A  <->  E. v  e.  A  z  e.  v )
1110anbi1i 676 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( z  e.  U. A  /\  p  =  [
z ]  .~  )  <->  ( E. v  e.  A  z  e.  v  /\  p  =  [ z ]  .~  ) )
1211exbii 1587 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( E. z ( z  e. 
U. A  /\  p  =  [ z ]  .~  ) 
<->  E. z ( E. v  e.  A  z  e.  v  /\  p  =  [ z ]  .~  ) )
139, 12bitri 240 . . . . . . . . . . 11  |-  ( E. z  e.  U. A p  =  [ z ]  .~  <->  E. z ( E. v  e.  A  z  e.  v  /\  p  =  [ z ]  .~  ) )
148, 13bitri 240 . . . . . . . . . 10  |-  ( p  e.  ( U. A /.  .~  )  <->  E. z
( E. v  e.  A  z  e.  v  /\  p  =  [
z ]  .~  )
)
154, 6, 143bitr4ri 269 . . . . . . . . 9  |-  ( p  e.  ( U. A /.  .~  )  <->  E. v  e.  A  E. z  e.  v  p  =  [ z ]  .~  )
16 prtlem18.1 . . . . . . . . . . . 12  |-  .~  =  { <. x ,  y
>.  |  E. u  e.  A  ( x  e.  u  /\  y  e.  u ) }
1716prtlem19 26337 . . . . . . . . . . 11  |-  ( Prt 
A  ->  ( (
v  e.  A  /\  z  e.  v )  ->  v  =  [ z ]  .~  ) )
1817ralrimivv 2719 . . . . . . . . . 10  |-  ( Prt 
A  ->  A. v  e.  A  A. z  e.  v  v  =  [ z ]  .~  )
19 2r19.29 26311 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A. v  e.  A  A. z  e.  v 
v  =  [ z ]  .~  /\  E. v  e.  A  E. z  e.  v  p  =  [ z ]  .~  )  ->  E. v  e.  A  E. z  e.  v 
( v  =  [
z ]  .~  /\  p  =  [ z ]  .~  ) )
2019ex 423 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. v  e.  A  A. z  e.  v  v  =  [ z ]  .~  ->  ( E. v  e.  A  E. z  e.  v  p  =  [
z ]  .~  ->  E. v  e.  A  E. z  e.  v  (
v  =  [ z ]  .~  /\  p  =  [ z ]  .~  ) ) )
2118, 20syl 15 . . . . . . . . 9  |-  ( Prt 
A  ->  ( E. v  e.  A  E. z  e.  v  p  =  [ z ]  .~  ->  E. v  e.  A  E. z  e.  v 
( v  =  [
z ]  .~  /\  p  =  [ z ]  .~  ) ) )
2215, 21syl5bi 208 . . . . . . . 8  |-  ( Prt 
A  ->  ( p  e.  ( U. A /.  .~  )  ->  E. v  e.  A  E. z  e.  v  ( v  =  [ z ]  .~  /\  p  =  [ z ]  .~  ) ) )
23 eqtr3 2385 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( v  =  [ z ]  .~  /\  p  =  [ z ]  .~  )  ->  v  =  p )
2423reximi 2735 . . . . . . . . 9  |-  ( E. z  e.  v  ( v  =  [ z ]  .~  /\  p  =  [ z ]  .~  )  ->  E. z  e.  v  v  =  p )
2524reximi 2735 . . . . . . . 8  |-  ( E. v  e.  A  E. z  e.  v  (
v  =  [ z ]  .~  /\  p  =  [ z ]  .~  )  ->  E. v  e.  A  E. z  e.  v 
v  =  p )
2622, 25syl6 29 . . . . . . 7  |-  ( Prt 
A  ->  ( p  e.  ( U. A /.  .~  )  ->  E. v  e.  A  E. z  e.  v  v  =  p ) )
27 df-rex 2634 . . . . . . . . . 10  |-  ( E. z  e.  v  v  =  p  <->  E. z
( z  e.  v  /\  v  =  p ) )
28 19.41v 1911 . . . . . . . . . 10  |-  ( E. z ( z  e.  v  /\  v  =  p )  <->  ( E. z  z  e.  v  /\  v  =  p
) )
2927, 28bitri 240 . . . . . . . . 9  |-  ( E. z  e.  v  v  =  p  <->  ( E. z  z  e.  v  /\  v  =  p
) )
3029simprbi 450 . . . . . . . 8  |-  ( E. z  e.  v  v  =  p  ->  v  =  p )
3130reximi 2735 . . . . . . 7  |-  ( E. v  e.  A  E. z  e.  v  v  =  p  ->  E. v  e.  A  v  =  p )
3226, 31syl6 29 . . . . . 6  |-  ( Prt 
A  ->  ( p  e.  ( U. A /.  .~  )  ->  E. v  e.  A  v  =  p ) )
33 risset 2675 . . . . . 6  |-  ( p  e.  A  <->  E. v  e.  A  v  =  p )
3432, 33syl6ibr 218 . . . . 5  |-  ( Prt 
A  ->  ( p  e.  ( U. A /.  .~  )  ->  p  e.  A ) )
3516prtlem400 26329 . . . . . 6  |-  -.  (/)  e.  ( U. A /.  .~  )
36 prtlem90 26314 . . . . . 6  |-  ( -.  (/)  e.  ( U. A /.  .~  )  ->  (
p  e.  ( U. A /.  .~  )  ->  p  =/=  (/) ) )
3735, 36mp1i 11 . . . . 5  |-  ( Prt 
A  ->  ( p  e.  ( U. A /.  .~  )  ->  p  =/=  (/) ) )
3834, 37jcad 519 . . . 4  |-  ( Prt 
A  ->  ( p  e.  ( U. A /.  .~  )  ->  ( p  e.  A  /\  p  =/=  (/) ) ) )
39 eldifsn 3842 . . . 4  |-  ( p  e.  ( A  \  { (/) } )  <->  ( p  e.  A  /\  p  =/=  (/) ) )
4038, 39syl6ibr 218 . . 3  |-  ( Prt 
A  ->  ( p  e.  ( U. A /.  .~  )  ->  p  e.  ( A  \  { (/) } ) ) )
41 0ex 4252 . . . . . . . 8  |-  (/)  e.  _V
42 prtlem80 26315 . . . . . . . 8  |-  ( (/)  e.  _V  ->  -.  (/)  e.  ( A  \  { (/) } ) )
4341, 42ax-mp 8 . . . . . . 7  |-  -.  (/)  e.  ( A  \  { (/) } )
44 n0el 26316 . . . . . . 7  |-  ( -.  (/)  e.  ( A  \  { (/) } )  <->  A. p  e.  ( A  \  { (/)
} ) E. z 
z  e.  p )
4543, 44mpbi 199 . . . . . 6  |-  A. p  e.  ( A  \  { (/)
} ) E. z 
z  e.  p
4645rspec 2692 . . . . 5  |-  ( p  e.  ( A  \  { (/) } )  ->  E. z  z  e.  p )
47 eldifi 3385 . . . . 5  |-  ( p  e.  ( A  \  { (/) } )  ->  p  e.  A )
4846, 47jca 518 . . . 4  |-  ( p  e.  ( A  \  { (/) } )  -> 
( E. z  z  e.  p  /\  p  e.  A ) )
4916prtlem19 26337 . . . . . . . . 9  |-  ( Prt 
A  ->  ( (
p  e.  A  /\  z  e.  p )  ->  p  =  [ z ]  .~  ) )
5049ancomsd 440 . . . . . . . 8  |-  ( Prt 
A  ->  ( (
z  e.  p  /\  p  e.  A )  ->  p  =  [ z ]  .~  ) )
51 elunii 3934 . . . . . . . 8  |-  ( ( z  e.  p  /\  p  e.  A )  ->  z  e.  U. A
)
5250, 51jca2r 26300 . . . . . . 7  |-  ( Prt 
A  ->  ( (
z  e.  p  /\  p  e.  A )  ->  ( z  e.  U. A  /\  p  =  [
z ]  .~  )
) )
53 prtlem11 26325 . . . . . . . . 9  |-  ( p  e.  _V  ->  (
z  e.  U. A  ->  ( p  =  [
z ]  .~  ->  p  e.  ( U. A /.  .~  ) ) ) )
547, 53ax-mp 8 . . . . . . . 8  |-  ( z  e.  U. A  -> 
( p  =  [
z ]  .~  ->  p  e.  ( U. A /.  .~  ) ) )
5554imp 418 . . . . . . 7  |-  ( ( z  e.  U. A  /\  p  =  [
z ]  .~  )  ->  p  e.  ( U. A /.  .~  ) )
5652, 55syl6 29 . . . . . 6  |-  ( Prt 
A  ->  ( (
z  e.  p  /\  p  e.  A )  ->  p  e.  ( U. A /.  .~  ) ) )
5756eximdv 1627 . . . . 5  |-  ( Prt 
A  ->  ( E. z ( z  e.  p  /\  p  e.  A )  ->  E. z  p  e.  ( U. A /.  .~  ) ) )
58 19.41v 1911 . . . . 5  |-  ( E. z ( z  e.  p  /\  p  e.  A )  <->  ( E. z  z  e.  p  /\  p  e.  A
) )
59 19.9v 1669 . . . . 5  |-  ( E. z  p  e.  ( U. A /.  .~  ) 
<->  p  e.  ( U. A /.  .~  ) )
6057, 58, 593imtr3g 260 . . . 4  |-  ( Prt 
A  ->  ( ( E. z  z  e.  p  /\  p  e.  A
)  ->  p  e.  ( U. A /.  .~  ) ) )
6148, 60syl5 28 . . 3  |-  ( Prt 
A  ->  ( p  e.  ( A  \  { (/)
} )  ->  p  e.  ( U. A /.  .~  ) ) )
6240, 61impbid 183 . 2  |-  ( Prt 
A  ->  ( p  e.  ( U. A /.  .~  )  <->  p  e.  ( A  \  { (/) } ) ) )
6362eqrdv 2364 1  |-  ( Prt 
A  ->  ( U. A /.  .~  )  =  ( A  \  { (/)
} ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 358   E.wex 1546    = wceq 1647    e. wcel 1715    =/= wne 2529   A.wral 2628   E.wrex 2629   _Vcvv 2873    \ cdif 3235   (/)c0 3543   {csn 3729   U.cuni 3929   {copab 4178   [cec 6800   /.cqs 6801   Prt wprt 26330
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1551  ax-5 1562  ax-17 1621  ax-9 1659  ax-8 1680  ax-14 1719  ax-6 1734  ax-7 1739  ax-11 1751  ax-12 1937  ax-ext 2347  ax-sep 4243  ax-nul 4251  ax-pr 4316
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 937  df-tru 1324  df-ex 1547  df-nf 1550  df-sb 1654  df-eu 2221  df-mo 2222  df-clab 2353  df-cleq 2359  df-clel 2362  df-nfc 2491  df-ne 2531  df-ral 2633  df-rex 2634  df-rab 2637  df-v 2875  df-sbc 3078  df-dif 3241  df-un 3243  df-in 3245  df-ss 3252  df-nul 3544  df-if 3655  df-sn 3735  df-pr 3736  df-op 3738  df-uni 3930  df-br 4126  df-opab 4180  df-xp 4798  df-cnv 4800  df-dm 4802  df-rn 4803  df-res 4804  df-ima 4805  df-ec 6804  df-qs 6808  df-prt 26331
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