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Theorem prter3 26162
Description: For every partition there exists a unique equivalence relation whose quotient set equals the partition. (Contributed by Rodolfo Medina, 19-Oct-2010.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 12-Aug-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
prtlem18.1  |-  .~  =  { <. x ,  y
>.  |  E. u  e.  A  ( x  e.  u  /\  y  e.  u ) }
Assertion
Ref Expression
prter3  |-  ( ( S  Er  U. A  /\  ( U. A /. S )  =  ( A  \  { (/) } ) )  ->  .~  =  S )
Distinct variable group:    x, u, y, A
Allowed substitution hints:    .~ ( x, y, u)    S( x, y, u)

Proof of Theorem prter3
Dummy variables  v  w  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 errel 6669 . . 3  |-  ( S  Er  U. A  ->  Rel  S )
21adantr 451 . 2  |-  ( ( S  Er  U. A  /\  ( U. A /. S )  =  ( A  \  { (/) } ) )  ->  Rel  S )
3 prtlem18.1 . . . 4  |-  .~  =  { <. x ,  y
>.  |  E. u  e.  A  ( x  e.  u  /\  y  e.  u ) }
43relopabi 4811 . . 3  |-  Rel  .~
53prtlem13 26148 . . . . . 6  |-  ( z  .~  w  <->  E. v  e.  A  ( z  e.  v  /\  w  e.  v ) )
6 simpll 730 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( S  Er  U. A  /\  ( U. A /. S )  =  ( A  \  { (/) } ) )  /\  (
v  e.  A  /\  z  e.  v )
)  ->  S  Er  U. A )
7 simprl 732 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( S  Er  U. A  /\  ( U. A /. S )  =  ( A  \  { (/) } ) )  /\  (
v  e.  A  /\  z  e.  v )
)  ->  v  e.  A )
8 ne0i 3461 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( z  e.  v  ->  v  =/=  (/) )
98ad2antll 709 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( S  Er  U. A  /\  ( U. A /. S )  =  ( A  \  { (/) } ) )  /\  (
v  e.  A  /\  z  e.  v )
)  ->  v  =/=  (/) )
10 eldifsn 3749 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( v  e.  ( A  \  { (/) } )  <->  ( v  e.  A  /\  v  =/=  (/) ) )
117, 9, 10sylanbrc 645 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( S  Er  U. A  /\  ( U. A /. S )  =  ( A  \  { (/) } ) )  /\  (
v  e.  A  /\  z  e.  v )
)  ->  v  e.  ( A  \  { (/) } ) )
12 simplr 731 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( S  Er  U. A  /\  ( U. A /. S )  =  ( A  \  { (/) } ) )  /\  (
v  e.  A  /\  z  e.  v )
)  ->  ( U. A /. S )  =  ( A  \  { (/)
} ) )
1311, 12eleqtrrd 2360 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( S  Er  U. A  /\  ( U. A /. S )  =  ( A  \  { (/) } ) )  /\  (
v  e.  A  /\  z  e.  v )
)  ->  v  e.  ( U. A /. S
) )
14 simprr 733 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( S  Er  U. A  /\  ( U. A /. S )  =  ( A  \  { (/) } ) )  /\  (
v  e.  A  /\  z  e.  v )
)  ->  z  e.  v )
15 qsel 6738 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( S  Er  U. A  /\  v  e.  ( U. A /. S )  /\  z  e.  v )  ->  v  =  [ z ] S
)
166, 13, 14, 15syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( S  Er  U. A  /\  ( U. A /. S )  =  ( A  \  { (/) } ) )  /\  (
v  e.  A  /\  z  e.  v )
)  ->  v  =  [ z ] S
)
1716eleq2d 2350 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( S  Er  U. A  /\  ( U. A /. S )  =  ( A  \  { (/) } ) )  /\  (
v  e.  A  /\  z  e.  v )
)  ->  ( w  e.  v  <->  w  e.  [ z ] S ) )
18 vex 2791 . . . . . . . . . . . 12  |-  w  e. 
_V
19 vex 2791 . . . . . . . . . . . 12  |-  z  e. 
_V
2018, 19elec 6699 . . . . . . . . . . 11  |-  ( w  e.  [ z ] S  <->  z S w )
2117, 20syl6bb 252 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( S  Er  U. A  /\  ( U. A /. S )  =  ( A  \  { (/) } ) )  /\  (
v  e.  A  /\  z  e.  v )
)  ->  ( w  e.  v  <->  z S w ) )
2221anassrs 629 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( S  Er  U. A  /\  ( U. A /. S )  =  ( A  \  { (/)
} ) )  /\  v  e.  A )  /\  z  e.  v
)  ->  ( w  e.  v  <->  z S w ) )
2322pm5.32da 622 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( S  Er  U. A  /\  ( U. A /. S )  =  ( A  \  { (/) } ) )  /\  v  e.  A )  ->  (
( z  e.  v  /\  w  e.  v )  <->  ( z  e.  v  /\  z S w ) ) )
2423rexbidva 2560 . . . . . . 7  |-  ( ( S  Er  U. A  /\  ( U. A /. S )  =  ( A  \  { (/) } ) )  ->  ( E. v  e.  A  ( z  e.  v  /\  w  e.  v )  <->  E. v  e.  A  ( z  e.  v  /\  z S w ) ) )
25 simpll 730 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( S  Er  U. A  /\  ( U. A /. S )  =  ( A  \  { (/) } ) )  /\  z S w )  ->  S  Er  U. A )
26 simpr 447 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( S  Er  U. A  /\  ( U. A /. S )  =  ( A  \  { (/) } ) )  /\  z S w )  -> 
z S w )
2725, 26ercl 6671 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( S  Er  U. A  /\  ( U. A /. S )  =  ( A  \  { (/) } ) )  /\  z S w )  -> 
z  e.  U. A
)
28 eluni2 3831 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  e.  U. A  <->  E. v  e.  A  z  e.  v )
2927, 28sylib 188 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( S  Er  U. A  /\  ( U. A /. S )  =  ( A  \  { (/) } ) )  /\  z S w )  ->  E. v  e.  A  z  e.  v )
3029ex 423 . . . . . . . . 9  |-  ( ( S  Er  U. A  /\  ( U. A /. S )  =  ( A  \  { (/) } ) )  ->  (
z S w  ->  E. v  e.  A  z  e.  v )
)
3130pm4.71rd 616 . . . . . . . 8  |-  ( ( S  Er  U. A  /\  ( U. A /. S )  =  ( A  \  { (/) } ) )  ->  (
z S w  <->  ( E. v  e.  A  z  e.  v  /\  z S w ) ) )
32 r19.41v 2693 . . . . . . . 8  |-  ( E. v  e.  A  ( z  e.  v  /\  z S w )  <->  ( E. v  e.  A  z  e.  v  /\  z S w ) )
3331, 32syl6bbr 254 . . . . . . 7  |-  ( ( S  Er  U. A  /\  ( U. A /. S )  =  ( A  \  { (/) } ) )  ->  (
z S w  <->  E. v  e.  A  ( z  e.  v  /\  z S w ) ) )
3424, 33bitr4d 247 . . . . . 6  |-  ( ( S  Er  U. A  /\  ( U. A /. S )  =  ( A  \  { (/) } ) )  ->  ( E. v  e.  A  ( z  e.  v  /\  w  e.  v )  <->  z S w ) )
355, 34syl5bb 248 . . . . 5  |-  ( ( S  Er  U. A  /\  ( U. A /. S )  =  ( A  \  { (/) } ) )  ->  (
z  .~  w  <->  z S w ) )
3635adantl 452 . . . 4  |-  ( ( ( Rel  .~  /\  Rel  S )  /\  ( S  Er  U. A  /\  ( U. A /. S
)  =  ( A 
\  { (/) } ) ) )  ->  (
z  .~  w  <->  z S w ) )
3736eqbrrdv2 26143 . . 3  |-  ( ( ( Rel  .~  /\  Rel  S )  /\  ( S  Er  U. A  /\  ( U. A /. S
)  =  ( A 
\  { (/) } ) ) )  ->  .~  =  S )
384, 37mpanl1 661 . 2  |-  ( ( Rel  S  /\  ( S  Er  U. A  /\  ( U. A /. S
)  =  ( A 
\  { (/) } ) ) )  ->  .~  =  S )
392, 38mpancom 650 1  |-  ( ( S  Er  U. A  /\  ( U. A /. S )  =  ( A  \  { (/) } ) )  ->  .~  =  S )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1623    e. wcel 1684    =/= wne 2446   E.wrex 2544    \ cdif 3149   (/)c0 3455   {csn 3640   U.cuni 3827   class class class wbr 4023   {copab 4076   Rel wrel 4694    Er wer 6657   [cec 6658   /.cqs 6659
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pr 4214
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-uni 3828  df-br 4024  df-opab 4078  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-er 6660  df-ec 6662  df-qs 6666
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