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Theorem prter3 26853
Description: For every partition there exists a unique equivalence relation whose quotient set equals the partition. (Contributed by Rodolfo Medina, 19-Oct-2010.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 12-Aug-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
prtlem18.1  |-  .~  =  { <. x ,  y
>.  |  E. u  e.  A  ( x  e.  u  /\  y  e.  u ) }
Assertion
Ref Expression
prter3  |-  ( ( S  Er  U. A  /\  ( U. A /. S )  =  ( A  \  { (/) } ) )  ->  .~  =  S )
Distinct variable group:    x, u, y, A
Allowed substitution hints:    .~ ( x, y, u)    S( x, y, u)

Proof of Theorem prter3
Dummy variables  v  w  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 errel 6685 . . 3  |-  ( S  Er  U. A  ->  Rel  S )
21adantr 451 . 2  |-  ( ( S  Er  U. A  /\  ( U. A /. S )  =  ( A  \  { (/) } ) )  ->  Rel  S )
3 prtlem18.1 . . . 4  |-  .~  =  { <. x ,  y
>.  |  E. u  e.  A  ( x  e.  u  /\  y  e.  u ) }
43relopabi 4827 . . 3  |-  Rel  .~
53prtlem13 26839 . . . . . 6  |-  ( z  .~  w  <->  E. v  e.  A  ( z  e.  v  /\  w  e.  v ) )
6 simpll 730 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( S  Er  U. A  /\  ( U. A /. S )  =  ( A  \  { (/) } ) )  /\  (
v  e.  A  /\  z  e.  v )
)  ->  S  Er  U. A )
7 simprl 732 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( S  Er  U. A  /\  ( U. A /. S )  =  ( A  \  { (/) } ) )  /\  (
v  e.  A  /\  z  e.  v )
)  ->  v  e.  A )
8 ne0i 3474 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( z  e.  v  ->  v  =/=  (/) )
98ad2antll 709 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( S  Er  U. A  /\  ( U. A /. S )  =  ( A  \  { (/) } ) )  /\  (
v  e.  A  /\  z  e.  v )
)  ->  v  =/=  (/) )
10 eldifsn 3762 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( v  e.  ( A  \  { (/) } )  <->  ( v  e.  A  /\  v  =/=  (/) ) )
117, 9, 10sylanbrc 645 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( S  Er  U. A  /\  ( U. A /. S )  =  ( A  \  { (/) } ) )  /\  (
v  e.  A  /\  z  e.  v )
)  ->  v  e.  ( A  \  { (/) } ) )
12 simplr 731 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( S  Er  U. A  /\  ( U. A /. S )  =  ( A  \  { (/) } ) )  /\  (
v  e.  A  /\  z  e.  v )
)  ->  ( U. A /. S )  =  ( A  \  { (/)
} ) )
1311, 12eleqtrrd 2373 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( S  Er  U. A  /\  ( U. A /. S )  =  ( A  \  { (/) } ) )  /\  (
v  e.  A  /\  z  e.  v )
)  ->  v  e.  ( U. A /. S
) )
14 simprr 733 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( S  Er  U. A  /\  ( U. A /. S )  =  ( A  \  { (/) } ) )  /\  (
v  e.  A  /\  z  e.  v )
)  ->  z  e.  v )
15 qsel 6754 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( S  Er  U. A  /\  v  e.  ( U. A /. S )  /\  z  e.  v )  ->  v  =  [ z ] S
)
166, 13, 14, 15syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( S  Er  U. A  /\  ( U. A /. S )  =  ( A  \  { (/) } ) )  /\  (
v  e.  A  /\  z  e.  v )
)  ->  v  =  [ z ] S
)
1716eleq2d 2363 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( S  Er  U. A  /\  ( U. A /. S )  =  ( A  \  { (/) } ) )  /\  (
v  e.  A  /\  z  e.  v )
)  ->  ( w  e.  v  <->  w  e.  [ z ] S ) )
18 vex 2804 . . . . . . . . . . . 12  |-  w  e. 
_V
19 vex 2804 . . . . . . . . . . . 12  |-  z  e. 
_V
2018, 19elec 6715 . . . . . . . . . . 11  |-  ( w  e.  [ z ] S  <->  z S w )
2117, 20syl6bb 252 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( S  Er  U. A  /\  ( U. A /. S )  =  ( A  \  { (/) } ) )  /\  (
v  e.  A  /\  z  e.  v )
)  ->  ( w  e.  v  <->  z S w ) )
2221anassrs 629 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( S  Er  U. A  /\  ( U. A /. S )  =  ( A  \  { (/)
} ) )  /\  v  e.  A )  /\  z  e.  v
)  ->  ( w  e.  v  <->  z S w ) )
2322pm5.32da 622 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( S  Er  U. A  /\  ( U. A /. S )  =  ( A  \  { (/) } ) )  /\  v  e.  A )  ->  (
( z  e.  v  /\  w  e.  v )  <->  ( z  e.  v  /\  z S w ) ) )
2423rexbidva 2573 . . . . . . 7  |-  ( ( S  Er  U. A  /\  ( U. A /. S )  =  ( A  \  { (/) } ) )  ->  ( E. v  e.  A  ( z  e.  v  /\  w  e.  v )  <->  E. v  e.  A  ( z  e.  v  /\  z S w ) ) )
25 simpll 730 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( S  Er  U. A  /\  ( U. A /. S )  =  ( A  \  { (/) } ) )  /\  z S w )  ->  S  Er  U. A )
26 simpr 447 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( S  Er  U. A  /\  ( U. A /. S )  =  ( A  \  { (/) } ) )  /\  z S w )  -> 
z S w )
2725, 26ercl 6687 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( S  Er  U. A  /\  ( U. A /. S )  =  ( A  \  { (/) } ) )  /\  z S w )  -> 
z  e.  U. A
)
28 eluni2 3847 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  e.  U. A  <->  E. v  e.  A  z  e.  v )
2927, 28sylib 188 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( S  Er  U. A  /\  ( U. A /. S )  =  ( A  \  { (/) } ) )  /\  z S w )  ->  E. v  e.  A  z  e.  v )
3029ex 423 . . . . . . . . 9  |-  ( ( S  Er  U. A  /\  ( U. A /. S )  =  ( A  \  { (/) } ) )  ->  (
z S w  ->  E. v  e.  A  z  e.  v )
)
3130pm4.71rd 616 . . . . . . . 8  |-  ( ( S  Er  U. A  /\  ( U. A /. S )  =  ( A  \  { (/) } ) )  ->  (
z S w  <->  ( E. v  e.  A  z  e.  v  /\  z S w ) ) )
32 r19.41v 2706 . . . . . . . 8  |-  ( E. v  e.  A  ( z  e.  v  /\  z S w )  <->  ( E. v  e.  A  z  e.  v  /\  z S w ) )
3331, 32syl6bbr 254 . . . . . . 7  |-  ( ( S  Er  U. A  /\  ( U. A /. S )  =  ( A  \  { (/) } ) )  ->  (
z S w  <->  E. v  e.  A  ( z  e.  v  /\  z S w ) ) )
3424, 33bitr4d 247 . . . . . 6  |-  ( ( S  Er  U. A  /\  ( U. A /. S )  =  ( A  \  { (/) } ) )  ->  ( E. v  e.  A  ( z  e.  v  /\  w  e.  v )  <->  z S w ) )
355, 34syl5bb 248 . . . . 5  |-  ( ( S  Er  U. A  /\  ( U. A /. S )  =  ( A  \  { (/) } ) )  ->  (
z  .~  w  <->  z S w ) )
3635adantl 452 . . . 4  |-  ( ( ( Rel  .~  /\  Rel  S )  /\  ( S  Er  U. A  /\  ( U. A /. S
)  =  ( A 
\  { (/) } ) ) )  ->  (
z  .~  w  <->  z S w ) )
3736eqbrrdv2 26834 . . 3  |-  ( ( ( Rel  .~  /\  Rel  S )  /\  ( S  Er  U. A  /\  ( U. A /. S
)  =  ( A 
\  { (/) } ) ) )  ->  .~  =  S )
384, 37mpanl1 661 . 2  |-  ( ( Rel  S  /\  ( S  Er  U. A  /\  ( U. A /. S
)  =  ( A 
\  { (/) } ) ) )  ->  .~  =  S )
392, 38mpancom 650 1  |-  ( ( S  Er  U. A  /\  ( U. A /. S )  =  ( A  \  { (/) } ) )  ->  .~  =  S )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1632    e. wcel 1696    =/= wne 2459   E.wrex 2557    \ cdif 3162   (/)c0 3468   {csn 3653   U.cuni 3843   class class class wbr 4039   {copab 4092   Rel wrel 4710    Er wer 6673   [cec 6674   /.cqs 6675
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pr 4230
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-ral 2561  df-rex 2562  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3469  df-if 3579  df-sn 3659  df-pr 3660  df-op 3662  df-uni 3844  df-br 4040  df-opab 4094  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-er 6676  df-ec 6678  df-qs 6682
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