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Theorem prtlem17 26250
Description: Lemma for prter2 26255. (Contributed by Rodolfo Medina, 15-Oct-2010.)
Assertion
Ref Expression
prtlem17  |-  ( Prt 
A  ->  ( (
x  e.  A  /\  z  e.  x )  ->  ( E. y  e.  A  ( z  e.  y  /\  w  e.  y )  ->  w  e.  x ) ) )
Distinct variable groups:    x, y, A    x, z, y    y, w
Allowed substitution hints:    A( z, w)

Proof of Theorem prtlem17
StepHypRef Expression
1 df-rex 2634 . . 3  |-  ( E. y  e.  A  ( z  e.  y  /\  w  e.  y )  <->  E. y ( y  e.  A  /\  ( z  e.  y  /\  w  e.  y ) ) )
2 an32 773 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( x  e.  A  /\  y  e.  A
)  /\  z  e.  x )  <->  ( (
x  e.  A  /\  z  e.  x )  /\  y  e.  A
) )
3 prtlem14 26248 . . . . . . . . . . 11  |-  ( Prt 
A  ->  ( (
x  e.  A  /\  y  e.  A )  ->  ( ( z  e.  x  /\  z  e.  y )  ->  x  =  y ) ) )
4 elequ2 1720 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  y  ->  (
w  e.  x  <->  w  e.  y ) )
54biimprd 214 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  y  ->  (
w  e.  y  ->  w  e.  x )
)
63, 5syl8 65 . . . . . . . . . 10  |-  ( Prt 
A  ->  ( (
x  e.  A  /\  y  e.  A )  ->  ( ( z  e.  x  /\  z  e.  y )  ->  (
w  e.  y  ->  w  e.  x )
) ) )
76exp4a 589 . . . . . . . . 9  |-  ( Prt 
A  ->  ( (
x  e.  A  /\  y  e.  A )  ->  ( z  e.  x  ->  ( z  e.  y  ->  ( w  e.  y  ->  w  e.  x ) ) ) ) )
87imp3a 420 . . . . . . . 8  |-  ( Prt 
A  ->  ( (
( x  e.  A  /\  y  e.  A
)  /\  z  e.  x )  ->  (
z  e.  y  -> 
( w  e.  y  ->  w  e.  x
) ) ) )
92, 8syl5bir 209 . . . . . . 7  |-  ( Prt 
A  ->  ( (
( x  e.  A  /\  z  e.  x
)  /\  y  e.  A )  ->  (
z  e.  y  -> 
( w  e.  y  ->  w  e.  x
) ) ) )
109exp3a 425 . . . . . 6  |-  ( Prt 
A  ->  ( (
x  e.  A  /\  z  e.  x )  ->  ( y  e.  A  ->  ( z  e.  y  ->  ( w  e.  y  ->  w  e.  x ) ) ) ) )
1110imp5a 581 . . . . 5  |-  ( Prt 
A  ->  ( (
x  e.  A  /\  z  e.  x )  ->  ( y  e.  A  ->  ( ( z  e.  y  /\  w  e.  y )  ->  w  e.  x ) ) ) )
1211imp4b 573 . . . 4  |-  ( ( Prt  A  /\  (
x  e.  A  /\  z  e.  x )
)  ->  ( (
y  e.  A  /\  ( z  e.  y  /\  w  e.  y ) )  ->  w  e.  x ) )
1312exlimdv 1641 . . 3  |-  ( ( Prt  A  /\  (
x  e.  A  /\  z  e.  x )
)  ->  ( E. y ( y  e.  A  /\  ( z  e.  y  /\  w  e.  y ) )  ->  w  e.  x )
)
141, 13syl5bi 208 . 2  |-  ( ( Prt  A  /\  (
x  e.  A  /\  z  e.  x )
)  ->  ( E. y  e.  A  (
z  e.  y  /\  w  e.  y )  ->  w  e.  x ) )
1514ex 423 1  |-  ( Prt 
A  ->  ( (
x  e.  A  /\  z  e.  x )  ->  ( E. y  e.  A  ( z  e.  y  /\  w  e.  y )  ->  w  e.  x ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358   E.wex 1546    = wceq 1647    e. wcel 1715   E.wrex 2629   Prt wprt 26245
This theorem is referenced by:  prtlem18  26251
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1551  ax-5 1562  ax-17 1621  ax-9 1659  ax-8 1680  ax-14 1719  ax-6 1734  ax-7 1739  ax-11 1751  ax-12 1937  ax-ext 2347
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-tru 1324  df-ex 1547  df-nf 1550  df-sb 1654  df-clab 2353  df-cleq 2359  df-clel 2362  df-nfc 2491  df-ne 2531  df-ral 2633  df-rex 2634  df-v 2875  df-dif 3241  df-in 3245  df-nul 3544  df-prt 26246
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