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Theorem prtlem17 26763
Description: Lemma for prter2 26768. (Contributed by Rodolfo Medina, 15-Oct-2010.)
Assertion
Ref Expression
prtlem17  |-  ( Prt 
A  ->  ( (
x  e.  A  /\  z  e.  x )  ->  ( E. y  e.  A  ( z  e.  y  /\  w  e.  y )  ->  w  e.  x ) ) )
Distinct variable groups:    x, y, A    x, z, y    y, w
Allowed substitution hints:    A( z, w)

Proof of Theorem prtlem17
StepHypRef Expression
1 df-rex 2717 . . 3  |-  ( E. y  e.  A  ( z  e.  y  /\  w  e.  y )  <->  E. y ( y  e.  A  /\  ( z  e.  y  /\  w  e.  y ) ) )
2 an32 775 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( x  e.  A  /\  y  e.  A
)  /\  z  e.  x )  <->  ( (
x  e.  A  /\  z  e.  x )  /\  y  e.  A
) )
3 prtlem14 26761 . . . . . . . . . . 11  |-  ( Prt 
A  ->  ( (
x  e.  A  /\  y  e.  A )  ->  ( ( z  e.  x  /\  z  e.  y )  ->  x  =  y ) ) )
4 elequ2 1732 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  y  ->  (
w  e.  x  <->  w  e.  y ) )
54biimprd 216 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  y  ->  (
w  e.  y  ->  w  e.  x )
)
63, 5syl8 68 . . . . . . . . . 10  |-  ( Prt 
A  ->  ( (
x  e.  A  /\  y  e.  A )  ->  ( ( z  e.  x  /\  z  e.  y )  ->  (
w  e.  y  ->  w  e.  x )
) ) )
76exp4a 591 . . . . . . . . 9  |-  ( Prt 
A  ->  ( (
x  e.  A  /\  y  e.  A )  ->  ( z  e.  x  ->  ( z  e.  y  ->  ( w  e.  y  ->  w  e.  x ) ) ) ) )
87imp3a 422 . . . . . . . 8  |-  ( Prt 
A  ->  ( (
( x  e.  A  /\  y  e.  A
)  /\  z  e.  x )  ->  (
z  e.  y  -> 
( w  e.  y  ->  w  e.  x
) ) ) )
92, 8syl5bir 211 . . . . . . 7  |-  ( Prt 
A  ->  ( (
( x  e.  A  /\  z  e.  x
)  /\  y  e.  A )  ->  (
z  e.  y  -> 
( w  e.  y  ->  w  e.  x
) ) ) )
109exp3a 427 . . . . . 6  |-  ( Prt 
A  ->  ( (
x  e.  A  /\  z  e.  x )  ->  ( y  e.  A  ->  ( z  e.  y  ->  ( w  e.  y  ->  w  e.  x ) ) ) ) )
1110imp5a 583 . . . . 5  |-  ( Prt 
A  ->  ( (
x  e.  A  /\  z  e.  x )  ->  ( y  e.  A  ->  ( ( z  e.  y  /\  w  e.  y )  ->  w  e.  x ) ) ) )
1211imp4b 575 . . . 4  |-  ( ( Prt  A  /\  (
x  e.  A  /\  z  e.  x )
)  ->  ( (
y  e.  A  /\  ( z  e.  y  /\  w  e.  y ) )  ->  w  e.  x ) )
1312exlimdv 1647 . . 3  |-  ( ( Prt  A  /\  (
x  e.  A  /\  z  e.  x )
)  ->  ( E. y ( y  e.  A  /\  ( z  e.  y  /\  w  e.  y ) )  ->  w  e.  x )
)
141, 13syl5bi 210 . 2  |-  ( ( Prt  A  /\  (
x  e.  A  /\  z  e.  x )
)  ->  ( E. y  e.  A  (
z  e.  y  /\  w  e.  y )  ->  w  e.  x ) )
1514ex 425 1  |-  ( Prt 
A  ->  ( (
x  e.  A  /\  z  e.  x )  ->  ( E. y  e.  A  ( z  e.  y  /\  w  e.  y )  ->  w  e.  x ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 360   E.wex 1551    e. wcel 1727   E.wrex 2712   Prt wprt 26758
This theorem is referenced by:  prtlem18  26764
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1668  ax-8 1689  ax-14 1731  ax-6 1746  ax-7 1751  ax-11 1763  ax-12 1953  ax-ext 2423
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2567  df-ne 2607  df-ral 2716  df-rex 2717  df-v 2964  df-dif 3309  df-in 3313  df-nul 3614  df-prt 26759
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