Theorem prub 5110

Description: A positive fraction not in a positive real is an upper bound. Remark (1) of [Gleason] p. 122.

Assertion

Ref	Expression
prub	|- (((A e. P. /\ B e. A) /\ C e. Q.) -> (-. C e. A -> B <Q C))

Proof of Theorem prub

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eleq1 1537	. . . . . . 7 |- (B = C -> (B e. A <-> C e. A))
2	1	biimpcd 155	. . . . . 6 |- (B e. A -> (B = C -> C e. A))
3	2	adantl 390	. . . . 5 |- ((A e. P. /\ B e. A) -> (B = C -> C e. A))
4		prcdpq 5109	. . . . 5 |- ((A e. P. /\ B e. A) -> (C <Q B -> C e. A))
5	3, 4	jaod 426	. . . 4 |- ((A e. P. /\ B e. A) -> ((B = C \/ C <Q B) -> C e. A))
6	5	con3d 95	. . 3 |- ((A e. P. /\ B e. A) -> (-. C e. A -> -. (B = C \/ C <Q B)))
7	6	adantr 391	. 2 |- (((A e. P. /\ B e. A) /\ C e. Q.) -> (-. C e. A -> -. (B = C \/ C <Q B)))
8		ltsopq 5087	. . . 4 |- <Q Or Q.
9		sotric 2866	. . . 4 |- (( <Q Or Q. /\ (B e. Q. /\ C e. Q.)) -> (B <Q C <-> -. (B = C \/ C <Q B)))
10	8, 9	mpan 697	. . 3 |- ((B e. Q. /\ C e. Q.) -> (B <Q C <-> -. (B = C \/ C <Q B)))
11		elprpq 5107	. . 3 |- ((A e. P. /\ B e. A) -> B e. Q.)
12	10, 11	sylan 450	. 2 |- (((A e. P. /\ B e. A) /\ C e. Q.) -> (B <Q C <-> -. (B = C \/ C <Q B)))
13	7, 12	sylibrd 204	1 |- (((A e. P. /\ B e. A) /\ C e. Q.) -> (-. C e. A -> B <Q C))

Syntax hints:  -. wn 2   -> wi 3   <-> wb 146   \/ wo 222   /\ wa 223   = wceq 958   e. wcel 960   class class class wbr 2624   Or wor 2845  Q.cnq 4991   <Q cltq 4996  P.cnp 4997

This theorem is referenced by:  genpnnp 5120  psslinpr 5147  ltexprlem6 5159  ltexprlem7 5160  prlem936 5167  reclem4pr 5171

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 964  ax-gen 965  ax-8 966  ax-9 967  ax-10 968  ax-11 969  ax-12 970  ax-13 971  ax-14 972  ax-17 973  ax-4 975  ax-5o 977  ax-6o 980  ax-9o 1125  ax-10o 1142  ax-16 1212  ax-11o 1220  ax-ext 1462  ax-rep 2698  ax-sep 2708  ax-nul 2715  ax-pow 2748  ax-pr 2785  ax-un 2872  ax-inf2 4634

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 778  df-3an 779  df-ex 983  df-sb 1174  df-eu 1384  df-mo 1385  df-clab 1467  df-cleq 1472  df-clel 1475  df-ne 1590  df-ral 1652  df-rex 1653  df-reu 1654  df-rab 1655  df-v 1815  df-sbc 1945  df-csb 2005  df-dif 2052  df-un 2053  df-in 2054  df-ss 2056  df-pss 2058  df-nul 2284  df-if 2366  df-pw 2406  df-sn 2416  df-pr 2417  df-tp 2419  df-op 2420  df-uni 2508  df-int 2538  df-iun 2572  df-br 2625  df-opab 2672  df-tr 2686  df-eprel 2838  df-id 2841  df-po 2846  df-so 2856  df-fr 2923  df-we 2940  df-ord 2957  df-on 2958  df-lim 2959  df-suc 2960  df-om 3138  df-xp 3190  df-rel 3191  df-cnv 3192  df-co 3193  df-dm 3194  df-rn 3195  df-res 3196  df-ima 3197  df-fun 3198  df-fn 3199  df-f 3200  df-fv 3204  df-rdg 3938  df-opr 3971  df-oprab 3972  df-1st 4085  df-2nd 4086  df-1o 4139  df-oadd 4141  df-omul 4142  df-er 4267  df-ec 4269  df-qs 4272  df-ni 5012  df-mi 5014  df-lti 5015  df-enq 5049  df-nq 5050  df-ltq 5054  df-np 5098

Copyright terms: Public domain