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Theorem ps-2 29667
 Description: Lattice analog for the projective geometry axiom, "if a line intersects two sides of a triangle at different points then it also intersects the third side." Projective space condition PS2 in [MaedaMaeda] p. 68 and part of Theorem 16.4 in [MaedaMaeda] p. 69. (Contributed by NM, 1-Dec-2011.)
Hypotheses
Ref Expression
ps1.l
ps1.j
ps1.a
Assertion
Ref Expression
ps-2
Distinct variable groups:   ,   ,   ,   ,   ,   ,   ,   ,   ,

Proof of Theorem ps-2
StepHypRef Expression
1 simpl21 1033 . . . . 5
2 simp1 955 . . . . . . 7
3 simp21 988 . . . . . . 7
4 simp23 990 . . . . . . 7
5 ps1.l . . . . . . . 8
6 ps1.j . . . . . . . 8
7 ps1.a . . . . . . . 8
85, 6, 7hlatlej1 29564 . . . . . . 7
92, 3, 4, 8syl3anc 1182 . . . . . 6
109adantr 451 . . . . 5
11 simp3r 984 . . . . . . . 8
125, 6, 7hlatlej1 29564 . . . . . . . 8
132, 3, 11, 12syl3anc 1182 . . . . . . 7
14 oveq1 5865 . . . . . . . 8
1514breq2d 4035 . . . . . . 7
1613, 15syl5ibrcom 213 . . . . . 6
1716imp 418 . . . . 5
18 breq1 4026 . . . . . . 7
19 breq1 4026 . . . . . . 7
2018, 19anbi12d 691 . . . . . 6
2120rspcev 2884 . . . . 5
221, 10, 17, 21syl12anc 1180 . . . 4
2322a1d 22 . . 3
24 hlop 29552 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
25243ad2ant1 976 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
26 eqid 2283 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
27 eqid 2283 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2826, 27op0cl 29374 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2925, 28syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . 16
3026, 7atbase 29479 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
313, 30syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . 16
32 eqid 2283 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
3327, 32, 7atcvr0 29478 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
342, 3, 33syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . . 16
35 eqid 2283 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
3626, 35, 32cvrlt 29460 . . . . . . . . . . . . . . . 16
372, 29, 31, 34, 36syl31anc 1185 . . . . . . . . . . . . . . 15
38 hlpos 29555 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
39383ad2ant1 976 . . . . . . . . . . . . . . . 16
40 hllat 29553 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
41403ad2ant1 976 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
4226, 7atbase 29479 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
434, 42syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
4426, 6latjcl 14156 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
4541, 31, 43, 44syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . . . . . 16
4626, 5, 35pltletr 14105 . . . . . . . . . . . . . . . 16
4739, 29, 31, 45, 46syl13anc 1184 . . . . . . . . . . . . . . 15
4837, 9, 47mp2and 660 . . . . . . . . . . . . . 14
4935pltne 14096 . . . . . . . . . . . . . . 15
502, 29, 45, 49syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . . . 14
5148, 50mpd 14 . . . . . . . . . . . . 13
5251necomd 2529 . . . . . . . . . . . 12
5352adantr 451 . . . . . . . . . . 11
54 hlatl 29550 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
55543ad2ant1 976 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
56 simp3l 983 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
575, 7atncmp 29502 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
5855, 56, 3, 57syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
59 simp22 989 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
6026, 5, 6, 7hlexch1 29571 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
61603expia 1153 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
622, 56, 59, 31, 61syl13anc 1184 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
6358, 62sylbird 226 . . . . . . . . . . . . . . . 16
6463imp32 422 . . . . . . . . . . . . . . 15
6526, 7atbase 29479 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
6659, 65syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
6726, 7atbase 29479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
6856, 67syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
6926, 6latjcl 14156 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
7041, 31, 68, 69syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
7126, 5, 6latjlej1 14171 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
7241, 66, 70, 43, 71syl13anc 1184 . . . . . . . . . . . . . . . 16
7372adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . 15
7464, 73mpd 14 . . . . . . . . . . . . . 14
7574adantrrr 705 . . . . . . . . . . . . 13
7626, 7atbase 29479 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
7711, 76syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
7826, 6latjcl 14156 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
7941, 66, 43, 78syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
8026, 6latjcl 14156 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
8141, 70, 43, 80syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
8226, 5lattr 14162 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
8341, 77, 79, 81, 82syl13anc 1184 . . . . . . . . . . . . . . . 16
8483expdimp 426 . . . . . . . . . . . . . . 15
8584adantrl 696 . . . . . . . . . . . . . 14
8685adantrl 696 . . . . . . . . . . . . 13
8775, 86mpd 14 . . . . . . . . . . . 12
886, 7hlatj32 29561 . . . . . . . . . . . . . . 15
892, 3, 56, 4, 88syl13anc 1184 . . . . . . . . . . . . . 14
9089breq2d 4035 . . . . . . . . . . . . 13
9190adantr 451 . . . . . . . . . . . 12
9287, 91mpbid 201 . . . . . . . . . . 11
9353, 92jca 518 . . . . . . . . . 10
9493adantrrl 704 . . . . . . . . 9
9594ex 423 . . . . . . . 8
9626, 5, 6, 27, 7cvrat4 29632 . . . . . . . . 9
972, 45, 11, 56, 96syl13anc 1184 . . . . . . . 8
9895, 97syld 40 . . . . . . 7
9998impl 603 . . . . . 6
10099adantrlr 703 . . . . 5
1015, 7atncmp 29502 . . . . . . . . . . . . . . 15
10255, 11, 56, 101syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . . . 14
103 necom 2527 . . . . . . . . . . . . . 14
104102, 103syl6bb 252 . . . . . . . . . . . . 13
105104adantr 451 . . . . . . . . . . . 12
106 simpl1 958 . . . . . . . . . . . . 13
107 simpl3r 1011 . . . . . . . . . . . . 13
108 simpr 447 . . . . . . . . . . . . 13
10968adantr 451 . . . . . . . . . . . . 13
11026, 5, 6, 7hlexch1 29571 . . . . . . . . . . . . . 14
1111103expia 1153 . . . . . . . . . . . . 13
112106, 107, 108, 109, 111syl13anc 1184 . . . . . . . . . . . 12
113105, 112sylbird 226 . . . . . . . . . . 11
114113imp 418 . . . . . . . . . 10
115114an32s 779 . . . . . . . . 9
116115anim2d 548 . . . . . . . 8
117116reximdva 2655 . . . . . . 7
118117ad2ant2rl 729 . . . . . 6
119118adantrr 697 . . . . 5
120100, 119mpd 14 . . . 4
121120ex 423 . . 3
12223, 121pm2.61dane 2524 . 2
123122imp 418 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wn 3   wi 4   wb 176   wa 358   w3a 934   wceq 1623   wcel 1684   wne 2446  wrex 2544   class class class wbr 4023  cfv 5255  (class class class)co 5858  cbs 13148  cple 13215  cpo 14074  cplt 14075  cjn 14078  cp0 14143  clat 14151  cops 29362   ccvr 29452  catm 29453  cal 29454  chlt 29540 This theorem is referenced by:  ps-2b  29671  paddasslem3  30011 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512 This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-id 4309  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-undef 6298  df-riota 6304  df-poset 14080  df-plt 14092  df-lub 14108  df-glb 14109  df-join 14110  df-meet 14111  df-p0 14145  df-lat 14152  df-clat 14214  df-oposet 29366  df-ol 29368  df-oml 29369  df-covers 29456  df-ats 29457  df-atl 29488  df-cvlat 29512  df-hlat 29541
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