MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  psercn2 Structured version   Unicode version

Theorem psercn2 20339
Description: Since by pserulm 20338 the series converges uniformly, it is also continuous by ulmcn 20315. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
pserf.g  |-  G  =  ( x  e.  CC  |->  ( n  e.  NN0  |->  ( ( A `  n )  x.  (
x ^ n ) ) ) )
pserf.f  |-  F  =  ( y  e.  S  |-> 
sum_ j  e.  NN0  ( ( G `  y ) `  j
) )
pserf.a  |-  ( ph  ->  A : NN0 --> CC )
pserf.r  |-  R  =  sup ( { r  e.  RR  |  seq  0 (  +  , 
( G `  r
) )  e.  dom  ~~>  } ,  RR* ,  <  )
pserulm.h  |-  H  =  ( i  e.  NN0  |->  ( y  e.  S  |->  (  seq  0 (  +  ,  ( G `
 y ) ) `
 i ) ) )
pserulm.m  |-  ( ph  ->  M  e.  RR )
pserulm.l  |-  ( ph  ->  M  <  R )
pserulm.y  |-  ( ph  ->  S  C_  ( `' abs " ( 0 [,] M ) ) )
Assertion
Ref Expression
psercn2  |-  ( ph  ->  F  e.  ( S
-cn-> CC ) )
Distinct variable groups:    j, n, r, x, y, A    i,
j, y, H    i, M, j, y    x, i, r    i, G, j, r, y    S, i, j, y    ph, i,
j, y
Allowed substitution hints:    ph( x, n, r)    A( i)    R( x, y, i, j, n, r)    S( x, n, r)    F( x, y, i, j, n, r)    G( x, n)    H( x, n, r)    M( x, n, r)

Proof of Theorem psercn2
Dummy variable  k is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nn0uz 10520 . 2  |-  NN0  =  ( ZZ>= `  0 )
2 0z 10293 . . 3  |-  0  e.  ZZ
32a1i 11 . 2  |-  ( ph  ->  0  e.  ZZ )
4 pserulm.y . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  S  C_  ( `' abs " ( 0 [,] M ) ) )
5 cnvimass 5224 . . . . . . . 8  |-  ( `' abs " ( 0 [,] M ) ) 
C_  dom  abs
6 absf 12141 . . . . . . . . 9  |-  abs : CC
--> RR
76fdmi 5596 . . . . . . . 8  |-  dom  abs  =  CC
85, 7sseqtri 3380 . . . . . . 7  |-  ( `' abs " ( 0 [,] M ) ) 
C_  CC
94, 8syl6ss 3360 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  S  C_  CC )
109adantr 452 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  i  e.  NN0 )  ->  S  C_  CC )
11 resmpt 5191 . . . . 5  |-  ( S 
C_  CC  ->  ( ( y  e.  CC  |->  (  seq  0 (  +  ,  ( G `  y ) ) `  i ) )  |`  S )  =  ( y  e.  S  |->  (  seq  0 (  +  ,  ( G `  y ) ) `  i ) ) )
1210, 11syl 16 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  i  e.  NN0 )  ->  ( (
y  e.  CC  |->  (  seq  0 (  +  ,  ( G `  y ) ) `  i ) )  |`  S )  =  ( y  e.  S  |->  (  seq  0 (  +  ,  ( G `  y ) ) `  i ) ) )
13 simplr 732 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  i  e.  NN0 )  /\  y  e.  CC )  /\  k  e.  (
0 ... i ) )  ->  y  e.  CC )
14 elfznn0 11083 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  e.  ( 0 ... i )  ->  k  e.  NN0 )
1514adantl 453 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  i  e.  NN0 )  /\  y  e.  CC )  /\  k  e.  (
0 ... i ) )  ->  k  e.  NN0 )
16 pserf.g . . . . . . . . . 10  |-  G  =  ( x  e.  CC  |->  ( n  e.  NN0  |->  ( ( A `  n )  x.  (
x ^ n ) ) ) )
1716pserval2 20327 . . . . . . . . 9  |-  ( ( y  e.  CC  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( ( G `  y ) `  k
)  =  ( ( A `  k )  x.  ( y ^
k ) ) )
1813, 15, 17syl2anc 643 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  i  e.  NN0 )  /\  y  e.  CC )  /\  k  e.  (
0 ... i ) )  ->  ( ( G `
 y ) `  k )  =  ( ( A `  k
)  x.  ( y ^ k ) ) )
19 simpr 448 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  i  e.  NN0 )  ->  i  e.  NN0 )
2019, 1syl6eleq 2526 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  i  e.  NN0 )  ->  i  e.  ( ZZ>= `  0 )
)
2120adantr 452 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  NN0 )  /\  y  e.  CC )  ->  i  e.  ( ZZ>= `  0 )
)
22 pserf.a . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  A : NN0 --> CC )
2322adantr 452 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  i  e.  NN0 )  ->  A : NN0
--> CC )
2423ffvelrnda 5870 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  NN0 )  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( A `  k )  e.  CC )
2524adantlr 696 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  i  e.  NN0 )  /\  y  e.  CC )  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( A `  k )  e.  CC )
26 expcl 11399 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( y  e.  CC  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( y ^ k
)  e.  CC )
2726adantll 695 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  i  e.  NN0 )  /\  y  e.  CC )  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( y ^
k )  e.  CC )
2825, 27mulcld 9108 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  i  e.  NN0 )  /\  y  e.  CC )  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( ( A `
 k )  x.  ( y ^ k
) )  e.  CC )
2914, 28sylan2 461 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  i  e.  NN0 )  /\  y  e.  CC )  /\  k  e.  (
0 ... i ) )  ->  ( ( A `
 k )  x.  ( y ^ k
) )  e.  CC )
3018, 21, 29fsumser 12524 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  NN0 )  /\  y  e.  CC )  ->  sum_ k  e.  ( 0 ... i
) ( ( A `
 k )  x.  ( y ^ k
) )  =  (  seq  0 (  +  ,  ( G `  y ) ) `  i ) )
3130mpteq2dva 4295 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  i  e.  NN0 )  ->  ( y  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... i ) ( ( A `  k )  x.  (
y ^ k ) ) )  =  ( y  e.  CC  |->  (  seq  0 (  +  ,  ( G `  y ) ) `  i ) ) )
32 eqid 2436 . . . . . . . 8  |-  ( TopOpen ` fld )  =  ( TopOpen ` fld )
3332cnfldtopon 18817 . . . . . . . . 9  |-  ( TopOpen ` fld )  e.  (TopOn `  CC )
3433a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  i  e.  NN0 )  ->  ( TopOpen ` fld )  e.  (TopOn `  CC )
)
35 fzfid 11312 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  i  e.  NN0 )  ->  ( 0 ... i )  e. 
Fin )
3633a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  NN0 )  /\  k  e.  ( 0 ... i
) )  ->  ( TopOpen
` fld
)  e.  (TopOn `  CC ) )
37 ffvelrn 5868 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A : NN0 --> CC  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( A `  k
)  e.  CC )
3823, 14, 37syl2an 464 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  NN0 )  /\  k  e.  ( 0 ... i
) )  ->  ( A `  k )  e.  CC )
3936, 36, 38cnmptc 17694 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  NN0 )  /\  k  e.  ( 0 ... i
) )  ->  (
y  e.  CC  |->  ( A `  k ) )  e.  ( (
TopOpen ` fld )  Cn  ( TopOpen ` fld )
) )
4014adantl 453 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  NN0 )  /\  k  e.  ( 0 ... i
) )  ->  k  e.  NN0 )
4132expcn 18902 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( y  e.  CC  |->  ( y ^ k ) )  e.  ( ( TopOpen ` fld )  Cn  ( TopOpen ` fld ) ) )
4240, 41syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  NN0 )  /\  k  e.  ( 0 ... i
) )  ->  (
y  e.  CC  |->  ( y ^ k ) )  e.  ( (
TopOpen ` fld )  Cn  ( TopOpen ` fld )
) )
4332mulcn 18897 . . . . . . . . . 10  |-  x.  e.  ( ( ( TopOpen ` fld )  tX  ( TopOpen ` fld ) )  Cn  ( TopOpen
` fld
) )
4443a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  NN0 )  /\  k  e.  ( 0 ... i
) )  ->  x.  e.  ( ( ( TopOpen ` fld )  tX  ( TopOpen ` fld ) )  Cn  ( TopOpen
` fld
) ) )
4536, 39, 42, 44cnmpt12f 17698 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  NN0 )  /\  k  e.  ( 0 ... i
) )  ->  (
y  e.  CC  |->  ( ( A `  k
)  x.  ( y ^ k ) ) )  e.  ( (
TopOpen ` fld )  Cn  ( TopOpen ` fld )
) )
4632, 34, 35, 45fsumcn 18900 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  i  e.  NN0 )  ->  ( y  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... i ) ( ( A `  k )  x.  (
y ^ k ) ) )  e.  ( ( TopOpen ` fld )  Cn  ( TopOpen
` fld
) ) )
4732cncfcn1 18940 . . . . . . 7  |-  ( CC
-cn-> CC )  =  ( ( TopOpen ` fld )  Cn  ( TopOpen
` fld
) )
4846, 47syl6eleqr 2527 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  i  e.  NN0 )  ->  ( y  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... i ) ( ( A `  k )  x.  (
y ^ k ) ) )  e.  ( CC -cn-> CC ) )
4931, 48eqeltrrd 2511 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  i  e.  NN0 )  ->  ( y  e.  CC  |->  (  seq  0
(  +  ,  ( G `  y ) ) `  i ) )  e.  ( CC
-cn-> CC ) )
50 rescncf 18927 . . . . 5  |-  ( S 
C_  CC  ->  ( ( y  e.  CC  |->  (  seq  0 (  +  ,  ( G `  y ) ) `  i ) )  e.  ( CC -cn-> CC )  ->  ( ( y  e.  CC  |->  (  seq  0 (  +  , 
( G `  y
) ) `  i
) )  |`  S )  e.  ( S -cn-> CC ) ) )
5110, 49, 50sylc 58 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  i  e.  NN0 )  ->  ( (
y  e.  CC  |->  (  seq  0 (  +  ,  ( G `  y ) ) `  i ) )  |`  S )  e.  ( S -cn-> CC ) )
5212, 51eqeltrrd 2511 . . 3  |-  ( (
ph  /\  i  e.  NN0 )  ->  ( y  e.  S  |->  (  seq  0 (  +  , 
( G `  y
) ) `  i
) )  e.  ( S -cn-> CC ) )
53 pserulm.h . . 3  |-  H  =  ( i  e.  NN0  |->  ( y  e.  S  |->  (  seq  0 (  +  ,  ( G `
 y ) ) `
 i ) ) )
5452, 53fmptd 5893 . 2  |-  ( ph  ->  H : NN0 --> ( S
-cn-> CC ) )
55 pserf.f . . 3  |-  F  =  ( y  e.  S  |-> 
sum_ j  e.  NN0  ( ( G `  y ) `  j
) )
56 pserf.r . . 3  |-  R  =  sup ( { r  e.  RR  |  seq  0 (  +  , 
( G `  r
) )  e.  dom  ~~>  } ,  RR* ,  <  )
57 pserulm.m . . 3  |-  ( ph  ->  M  e.  RR )
58 pserulm.l . . 3  |-  ( ph  ->  M  <  R )
5916, 55, 22, 56, 53, 57, 58, 4pserulm 20338 . 2  |-  ( ph  ->  H ( ~~> u `  S ) F )
601, 3, 54, 59ulmcn 20315 1  |-  ( ph  ->  F  e.  ( S
-cn-> CC ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    = wceq 1652    e. wcel 1725   {crab 2709    C_ wss 3320   class class class wbr 4212    e. cmpt 4266   `'ccnv 4877   dom cdm 4878    |` cres 4880   "cima 4881   -->wf 5450   ` cfv 5454  (class class class)co 6081   supcsup 7445   CCcc 8988   RRcr 8989   0cc0 8990    + caddc 8993    x. cmul 8995   RR*cxr 9119    < clt 9120   NN0cn0 10221   ZZcz 10282   ZZ>=cuz 10488   [,]cicc 10919   ...cfz 11043    seq cseq 11323   ^cexp 11382   abscabs 12039    ~~> cli 12278   sum_csu 12479   TopOpenctopn 13649  ℂfldccnfld 16703  TopOnctopon 16959    Cn ccn 17288    tX ctx 17592   -cn->ccncf 18906
This theorem is referenced by:  psercn  20342
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-rep 4320  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701  ax-inf2 7596  ax-cnex 9046  ax-resscn 9047  ax-1cn 9048  ax-icn 9049  ax-addcl 9050  ax-addrcl 9051  ax-mulcl 9052  ax-mulrcl 9053  ax-mulcom 9054  ax-addass 9055  ax-mulass 9056  ax-distr 9057  ax-i2m1 9058  ax-1ne0 9059  ax-1rid 9060  ax-rnegex 9061  ax-rrecex 9062  ax-cnre 9063  ax-pre-lttri 9064  ax-pre-lttrn 9065  ax-pre-ltadd 9066  ax-pre-mulgt0 9067  ax-pre-sup 9068  ax-addf 9069  ax-mulf 9070
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rmo 2713  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-pss 3336  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-tp 3822  df-op 3823  df-uni 4016  df-int 4051  df-iun 4095  df-iin 4096  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-tr 4303  df-eprel 4494  df-id 4498  df-po 4503  df-so 4504  df-fr 4541  df-se 4542  df-we 4543  df-ord 4584  df-on 4585  df-lim 4586  df-suc 4587  df-om 4846  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-isom 5463  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-of 6305  df-1st 6349  df-2nd 6350  df-riota 6549  df-recs 6633  df-rdg 6668  df-1o 6724  df-2o 6725  df-oadd 6728  df-er 6905  df-map 7020  df-pm 7021  df-ixp 7064  df-en 7110  df-dom 7111  df-sdom 7112  df-fin 7113  df-fi 7416  df-sup 7446  df-oi 7479  df-card 7826  df-cda 8048  df-pnf 9122  df-mnf 9123  df-xr 9124  df-ltxr 9125  df-le 9126  df-sub 9293  df-neg 9294  df-div 9678  df-nn 10001  df-2 10058  df-3 10059  df-4 10060  df-5 10061  df-6 10062  df-7 10063  df-8 10064  df-9 10065  df-10 10066  df-n0 10222  df-z 10283  df-dec 10383  df-uz 10489  df-q 10575  df-rp 10613  df-xneg 10710  df-xadd 10711  df-xmul 10712  df-ico 10922  df-icc 10923  df-fz 11044  df-fzo 11136  df-fl 11202  df-seq 11324  df-exp 11383  df-hash 11619  df-cj 11904  df-re 11905  df-im 11906  df-sqr 12040  df-abs 12041  df-limsup 12265  df-clim 12282  df-rlim 12283  df-sum 12480  df-struct 13471  df-ndx 13472  df-slot 13473  df-base 13474  df-sets 13475  df-ress 13476  df-plusg 13542  df-mulr 13543  df-starv 13544  df-sca 13545  df-vsca 13546  df-tset 13548  df-ple 13549  df-ds 13551  df-unif 13552  df-hom 13553  df-cco 13554  df-rest 13650  df-topn 13651  df-topgen 13667  df-pt 13668  df-prds 13671  df-xrs 13726  df-0g 13727  df-gsum 13728  df-qtop 13733  df-imas 13734  df-xps 13736  df-mre 13811  df-mrc 13812  df-acs 13814  df-mnd 14690  df-submnd 14739  df-mulg 14815  df-cntz 15116  df-cmn 15414  df-psmet 16694  df-xmet 16695  df-met 16696  df-bl 16697  df-mopn 16698  df-cnfld 16704  df-top 16963  df-bases 16965  df-topon 16966  df-topsp 16967  df-cn 17291  df-cnp 17292  df-tx 17594  df-hmeo 17787  df-xms 18350  df-ms 18351  df-tms 18352  df-cncf 18908  df-ulm 20293
  Copyright terms: Public domain W3C validator