MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pserdv2 Unicode version

Theorem pserdv2 19822
Description: The derivative of a power series on its region of convergence. (Contributed by Mario Carneiro, 31-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
pserf.g  |-  G  =  ( x  e.  CC  |->  ( n  e.  NN0  |->  ( ( A `  n )  x.  (
x ^ n ) ) ) )
pserf.f  |-  F  =  ( y  e.  S  |-> 
sum_ j  e.  NN0  ( ( G `  y ) `  j
) )
pserf.a  |-  ( ph  ->  A : NN0 --> CC )
pserf.r  |-  R  =  sup ( { r  e.  RR  |  seq  0 (  +  , 
( G `  r
) )  e.  dom  ~~>  } ,  RR* ,  <  )
psercn.s  |-  S  =  ( `' abs " (
0 [,) R ) )
psercn.m  |-  M  =  if ( R  e.  RR ,  ( ( ( abs `  a
)  +  R )  /  2 ) ,  ( ( abs `  a
)  +  1 ) )
pserdv.b  |-  B  =  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) ( ( ( abs `  a
)  +  M )  /  2 ) )
Assertion
Ref Expression
pserdv2  |-  ( ph  ->  ( CC  _D  F
)  =  ( y  e.  S  |->  sum_ k  e.  NN  ( ( k  x.  ( A `  k ) )  x.  ( y ^ (
k  -  1 ) ) ) ) )
Distinct variable groups:    j, a,
k, n, r, x, y, A    j, M, k, y    B, j, k, x, y    j, G, k, r, y    S, a, j, k, y    F, a    ph, a, j, k, y
Allowed substitution hints:    ph( x, n, r)    B( n, r, a)    R( x, y, j, k, n, r, a)    S( x, n, r)    F( x, y, j, k, n, r)    G( x, n, a)    M( x, n, r, a)

Proof of Theorem pserdv2
Dummy variable  m is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pserf.g . . 3  |-  G  =  ( x  e.  CC  |->  ( n  e.  NN0  |->  ( ( A `  n )  x.  (
x ^ n ) ) ) )
2 pserf.f . . 3  |-  F  =  ( y  e.  S  |-> 
sum_ j  e.  NN0  ( ( G `  y ) `  j
) )
3 pserf.a . . 3  |-  ( ph  ->  A : NN0 --> CC )
4 pserf.r . . 3  |-  R  =  sup ( { r  e.  RR  |  seq  0 (  +  , 
( G `  r
) )  e.  dom  ~~>  } ,  RR* ,  <  )
5 psercn.s . . 3  |-  S  =  ( `' abs " (
0 [,) R ) )
6 psercn.m . . 3  |-  M  =  if ( R  e.  RR ,  ( ( ( abs `  a
)  +  R )  /  2 ) ,  ( ( abs `  a
)  +  1 ) )
7 pserdv.b . . 3  |-  B  =  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) ( ( ( abs `  a
)  +  M )  /  2 ) )
81, 2, 3, 4, 5, 6, 7pserdv 19821 . 2  |-  ( ph  ->  ( CC  _D  F
)  =  ( y  e.  S  |->  sum_ m  e.  NN0  ( ( ( m  +  1 )  x.  ( A `  ( m  +  1
) ) )  x.  ( y ^ m
) ) ) )
9 nn0uz 10278 . . . . 5  |-  NN0  =  ( ZZ>= `  0 )
10 nnuz 10279 . . . . . 6  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
11 1e0p1 10168 . . . . . . 7  |-  1  =  ( 0  +  1 )
1211fveq2i 5544 . . . . . 6  |-  ( ZZ>= ` 
1 )  =  (
ZZ>= `  ( 0  +  1 ) )
1310, 12eqtri 2316 . . . . 5  |-  NN  =  ( ZZ>= `  ( 0  +  1 ) )
14 id 19 . . . . . . 7  |-  ( k  =  ( 1  +  m )  ->  k  =  ( 1  +  m ) )
15 fveq2 5541 . . . . . . 7  |-  ( k  =  ( 1  +  m )  ->  ( A `  k )  =  ( A `  ( 1  +  m
) ) )
1614, 15oveq12d 5892 . . . . . 6  |-  ( k  =  ( 1  +  m )  ->  (
k  x.  ( A `
 k ) )  =  ( ( 1  +  m )  x.  ( A `  (
1  +  m ) ) ) )
17 oveq1 5881 . . . . . . 7  |-  ( k  =  ( 1  +  m )  ->  (
k  -  1 )  =  ( ( 1  +  m )  - 
1 ) )
1817oveq2d 5890 . . . . . 6  |-  ( k  =  ( 1  +  m )  ->  (
y ^ ( k  -  1 ) )  =  ( y ^
( ( 1  +  m )  -  1 ) ) )
1916, 18oveq12d 5892 . . . . 5  |-  ( k  =  ( 1  +  m )  ->  (
( k  x.  ( A `  k )
)  x.  ( y ^ ( k  - 
1 ) ) )  =  ( ( ( 1  +  m )  x.  ( A `  ( 1  +  m
) ) )  x.  ( y ^ (
( 1  +  m
)  -  1 ) ) ) )
20 1z 10069 . . . . . 6  |-  1  e.  ZZ
2120a1i 10 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  y  e.  S )  ->  1  e.  ZZ )
22 0z 10051 . . . . . 6  |-  0  e.  ZZ
2322a1i 10 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  y  e.  S )  ->  0  e.  ZZ )
24 nncn 9770 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  NN  ->  k  e.  CC )
2524adantl 452 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  S )  /\  k  e.  NN )  ->  k  e.  CC )
263adantr 451 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  y  e.  S )  ->  A : NN0 --> CC )
27 nnnn0 9988 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  NN  ->  k  e.  NN0 )
28 ffvelrn 5679 . . . . . . . 8  |-  ( ( A : NN0 --> CC  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( A `  k
)  e.  CC )
2926, 27, 28syl2an 463 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  S )  /\  k  e.  NN )  ->  ( A `  k )  e.  CC )
3025, 29mulcld 8871 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  S )  /\  k  e.  NN )  ->  (
k  x.  ( A `
 k ) )  e.  CC )
31 cnvimass 5049 . . . . . . . . . . 11  |-  ( `' abs " ( 0 [,) R ) ) 
C_  dom  abs
32 absf 11837 . . . . . . . . . . . 12  |-  abs : CC
--> RR
3332fdmi 5410 . . . . . . . . . . 11  |-  dom  abs  =  CC
3431, 33sseqtri 3223 . . . . . . . . . 10  |-  ( `' abs " ( 0 [,) R ) ) 
C_  CC
355, 34eqsstri 3221 . . . . . . . . 9  |-  S  C_  CC
3635a1i 10 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  S  C_  CC )
3736sselda 3193 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  y  e.  S )  ->  y  e.  CC )
38 nnm1nn0 10021 . . . . . . 7  |-  ( k  e.  NN  ->  (
k  -  1 )  e.  NN0 )
39 expcl 11137 . . . . . . 7  |-  ( ( y  e.  CC  /\  ( k  -  1 )  e.  NN0 )  ->  ( y ^ (
k  -  1 ) )  e.  CC )
4037, 38, 39syl2an 463 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  S )  /\  k  e.  NN )  ->  (
y ^ ( k  -  1 ) )  e.  CC )
4130, 40mulcld 8871 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  S )  /\  k  e.  NN )  ->  (
( k  x.  ( A `  k )
)  x.  ( y ^ ( k  - 
1 ) ) )  e.  CC )
429, 13, 19, 21, 23, 41isumshft 12314 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  y  e.  S )  ->  sum_ k  e.  NN  ( ( k  x.  ( A `  k ) )  x.  ( y ^ (
k  -  1 ) ) )  =  sum_ m  e.  NN0  ( (
( 1  +  m
)  x.  ( A `
 ( 1  +  m ) ) )  x.  ( y ^
( ( 1  +  m )  -  1 ) ) ) )
43 ax-1cn 8811 . . . . . . . 8  |-  1  e.  CC
44 nn0cn 9991 . . . . . . . . 9  |-  ( m  e.  NN0  ->  m  e.  CC )
4544adantl 452 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  S )  /\  m  e.  NN0 )  ->  m  e.  CC )
46 addcom 9014 . . . . . . . 8  |-  ( ( 1  e.  CC  /\  m  e.  CC )  ->  ( 1  +  m
)  =  ( m  +  1 ) )
4743, 45, 46sylancr 644 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  S )  /\  m  e.  NN0 )  ->  (
1  +  m )  =  ( m  + 
1 ) )
4847fveq2d 5545 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  S )  /\  m  e.  NN0 )  ->  ( A `  ( 1  +  m ) )  =  ( A `  (
m  +  1 ) ) )
4947, 48oveq12d 5892 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  S )  /\  m  e.  NN0 )  ->  (
( 1  +  m
)  x.  ( A `
 ( 1  +  m ) ) )  =  ( ( m  +  1 )  x.  ( A `  (
m  +  1 ) ) ) )
50 pncan2 9074 . . . . . . . 8  |-  ( ( 1  e.  CC  /\  m  e.  CC )  ->  ( ( 1  +  m )  -  1 )  =  m )
5143, 45, 50sylancr 644 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  S )  /\  m  e.  NN0 )  ->  (
( 1  +  m
)  -  1 )  =  m )
5251oveq2d 5890 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  S )  /\  m  e.  NN0 )  ->  (
y ^ ( ( 1  +  m )  -  1 ) )  =  ( y ^
m ) )
5349, 52oveq12d 5892 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  S )  /\  m  e.  NN0 )  ->  (
( ( 1  +  m )  x.  ( A `  ( 1  +  m ) ) )  x.  ( y ^
( ( 1  +  m )  -  1 ) ) )  =  ( ( ( m  +  1 )  x.  ( A `  (
m  +  1 ) ) )  x.  (
y ^ m ) ) )
5453sumeq2dv 12192 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  y  e.  S )  ->  sum_ m  e.  NN0  ( ( ( 1  +  m )  x.  ( A `  ( 1  +  m
) ) )  x.  ( y ^ (
( 1  +  m
)  -  1 ) ) )  =  sum_ m  e.  NN0  ( (
( m  +  1 )  x.  ( A `
 ( m  + 
1 ) ) )  x.  ( y ^
m ) ) )
5542, 54eqtr2d 2329 . . 3  |-  ( (
ph  /\  y  e.  S )  ->  sum_ m  e.  NN0  ( ( ( m  +  1 )  x.  ( A `  ( m  +  1
) ) )  x.  ( y ^ m
) )  =  sum_ k  e.  NN  (
( k  x.  ( A `  k )
)  x.  ( y ^ ( k  - 
1 ) ) ) )
5655mpteq2dva 4122 . 2  |-  ( ph  ->  ( y  e.  S  |-> 
sum_ m  e.  NN0  ( ( ( m  +  1 )  x.  ( A `  (
m  +  1 ) ) )  x.  (
y ^ m ) ) )  =  ( y  e.  S  |->  sum_ k  e.  NN  (
( k  x.  ( A `  k )
)  x.  ( y ^ ( k  - 
1 ) ) ) ) )
578, 56eqtrd 2328 1  |-  ( ph  ->  ( CC  _D  F
)  =  ( y  e.  S  |->  sum_ k  e.  NN  ( ( k  x.  ( A `  k ) )  x.  ( y ^ (
k  -  1 ) ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    = wceq 1632    e. wcel 1696   {crab 2560    C_ wss 3165   ifcif 3578    e. cmpt 4093   `'ccnv 4704   dom cdm 4705   "cima 4708    o. ccom 4709   -->wf 5267   ` cfv 5271  (class class class)co 5874   supcsup 7209   CCcc 8751   RRcr 8752   0cc0 8753   1c1 8754    + caddc 8756    x. cmul 8758   RR*cxr 8882    < clt 8883    - cmin 9053    / cdiv 9439   NNcn 9762   2c2 9811   NN0cn0 9981   ZZcz 10040   ZZ>=cuz 10246   [,)cico 10674    seq cseq 11062   ^cexp 11120   abscabs 11735    ~~> cli 11974   sum_csu 12174   ballcbl 16387    _D cdv 19229
This theorem is referenced by:  logtayl  20023
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-inf2 7358  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830  ax-pre-sup 8831  ax-addf 8832  ax-mulf 8833
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-int 3879  df-iun 3923  df-iin 3924  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-se 4369  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-isom 5280  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-of 6094  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-1o 6495  df-2o 6496  df-oadd 6499  df-er 6676  df-map 6790  df-pm 6791  df-ixp 6834  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-fin 6883  df-fi 7181  df-sup 7210  df-oi 7241  df-card 7588  df-cda 7810  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-div 9440  df-nn 9763  df-2 9820  df-3 9821  df-4 9822  df-5 9823  df-6 9824  df-7 9825  df-8 9826  df-9 9827  df-10 9828  df-n0 9982  df-z 10041  df-dec 10141  df-uz 10247  df-q 10333  df-rp 10371  df-xneg 10468  df-xadd 10469  df-xmul 10470  df-ioo 10676  df-ico 10678  df-icc 10679  df-fz 10799  df-fzo 10887  df-fl 10941  df-seq 11063  df-exp 11121  df-hash 11354  df-shft 11578  df-cj 11600  df-re 11601  df-im 11602  df-sqr 11736  df-abs 11737  df-limsup 11961  df-clim 11978  df-rlim 11979  df-sum 12175  df-struct 13166  df-ndx 13167  df-slot 13168  df-base 13169  df-sets 13170  df-ress 13171  df-plusg 13237  df-mulr 13238  df-starv 13239  df-sca 13240  df-vsca 13241  df-tset 13243  df-ple 13244  df-ds 13246  df-hom 13248  df-cco 13249  df-rest 13343  df-topn 13344  df-topgen 13360  df-pt 13361  df-prds 13364  df-xrs 13419  df-0g 13420  df-gsum 13421  df-qtop 13426  df-imas 13427  df-xps 13429  df-mre 13504  df-mrc 13505  df-acs 13507  df-mnd 14383  df-submnd 14432  df-mulg 14508  df-cntz 14809  df-cmn 15107  df-xmet 16389  df-met 16390  df-bl 16391  df-mopn 16392  df-cnfld 16394  df-top 16652  df-bases 16654  df-topon 16655  df-topsp 16656  df-cld 16772  df-ntr 16773  df-cls 16774  df-nei 16851  df-lp 16884  df-perf 16885  df-cn 16973  df-cnp 16974  df-haus 17059  df-cmp 17130  df-tx 17273  df-hmeo 17462  df-fbas 17536  df-fg 17537  df-fil 17557  df-fm 17649  df-flim 17650  df-flf 17651  df-xms 17901  df-ms 17902  df-tms 17903  df-cncf 18398  df-limc 19232  df-dv 19233  df-ulm 19772
  Copyright terms: Public domain W3C validator