MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pserdv2 Structured version   Unicode version

Theorem pserdv2 20336
Description: The derivative of a power series on its region of convergence. (Contributed by Mario Carneiro, 31-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
pserf.g  |-  G  =  ( x  e.  CC  |->  ( n  e.  NN0  |->  ( ( A `  n )  x.  (
x ^ n ) ) ) )
pserf.f  |-  F  =  ( y  e.  S  |-> 
sum_ j  e.  NN0  ( ( G `  y ) `  j
) )
pserf.a  |-  ( ph  ->  A : NN0 --> CC )
pserf.r  |-  R  =  sup ( { r  e.  RR  |  seq  0 (  +  , 
( G `  r
) )  e.  dom  ~~>  } ,  RR* ,  <  )
psercn.s  |-  S  =  ( `' abs " (
0 [,) R ) )
psercn.m  |-  M  =  if ( R  e.  RR ,  ( ( ( abs `  a
)  +  R )  /  2 ) ,  ( ( abs `  a
)  +  1 ) )
pserdv.b  |-  B  =  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) ( ( ( abs `  a
)  +  M )  /  2 ) )
Assertion
Ref Expression
pserdv2  |-  ( ph  ->  ( CC  _D  F
)  =  ( y  e.  S  |->  sum_ k  e.  NN  ( ( k  x.  ( A `  k ) )  x.  ( y ^ (
k  -  1 ) ) ) ) )
Distinct variable groups:    j, a,
k, n, r, x, y, A    j, M, k, y    B, j, k, x, y    j, G, k, r, y    S, a, j, k, y    F, a    ph, a, j, k, y
Allowed substitution hints:    ph( x, n, r)    B( n, r, a)    R( x, y, j, k, n, r, a)    S( x, n, r)    F( x, y, j, k, n, r)    G( x, n, a)    M( x, n, r, a)

Proof of Theorem pserdv2
Dummy variable  m is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pserf.g . . 3  |-  G  =  ( x  e.  CC  |->  ( n  e.  NN0  |->  ( ( A `  n )  x.  (
x ^ n ) ) ) )
2 pserf.f . . 3  |-  F  =  ( y  e.  S  |-> 
sum_ j  e.  NN0  ( ( G `  y ) `  j
) )
3 pserf.a . . 3  |-  ( ph  ->  A : NN0 --> CC )
4 pserf.r . . 3  |-  R  =  sup ( { r  e.  RR  |  seq  0 (  +  , 
( G `  r
) )  e.  dom  ~~>  } ,  RR* ,  <  )
5 psercn.s . . 3  |-  S  =  ( `' abs " (
0 [,) R ) )
6 psercn.m . . 3  |-  M  =  if ( R  e.  RR ,  ( ( ( abs `  a
)  +  R )  /  2 ) ,  ( ( abs `  a
)  +  1 ) )
7 pserdv.b . . 3  |-  B  =  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) ( ( ( abs `  a
)  +  M )  /  2 ) )
81, 2, 3, 4, 5, 6, 7pserdv 20335 . 2  |-  ( ph  ->  ( CC  _D  F
)  =  ( y  e.  S  |->  sum_ m  e.  NN0  ( ( ( m  +  1 )  x.  ( A `  ( m  +  1
) ) )  x.  ( y ^ m
) ) ) )
9 nn0uz 10510 . . . . 5  |-  NN0  =  ( ZZ>= `  0 )
10 nnuz 10511 . . . . . 6  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
11 1e0p1 10400 . . . . . . 7  |-  1  =  ( 0  +  1 )
1211fveq2i 5723 . . . . . 6  |-  ( ZZ>= ` 
1 )  =  (
ZZ>= `  ( 0  +  1 ) )
1310, 12eqtri 2455 . . . . 5  |-  NN  =  ( ZZ>= `  ( 0  +  1 ) )
14 id 20 . . . . . . 7  |-  ( k  =  ( 1  +  m )  ->  k  =  ( 1  +  m ) )
15 fveq2 5720 . . . . . . 7  |-  ( k  =  ( 1  +  m )  ->  ( A `  k )  =  ( A `  ( 1  +  m
) ) )
1614, 15oveq12d 6091 . . . . . 6  |-  ( k  =  ( 1  +  m )  ->  (
k  x.  ( A `
 k ) )  =  ( ( 1  +  m )  x.  ( A `  (
1  +  m ) ) ) )
17 oveq1 6080 . . . . . . 7  |-  ( k  =  ( 1  +  m )  ->  (
k  -  1 )  =  ( ( 1  +  m )  - 
1 ) )
1817oveq2d 6089 . . . . . 6  |-  ( k  =  ( 1  +  m )  ->  (
y ^ ( k  -  1 ) )  =  ( y ^
( ( 1  +  m )  -  1 ) ) )
1916, 18oveq12d 6091 . . . . 5  |-  ( k  =  ( 1  +  m )  ->  (
( k  x.  ( A `  k )
)  x.  ( y ^ ( k  - 
1 ) ) )  =  ( ( ( 1  +  m )  x.  ( A `  ( 1  +  m
) ) )  x.  ( y ^ (
( 1  +  m
)  -  1 ) ) ) )
20 1z 10301 . . . . . 6  |-  1  e.  ZZ
2120a1i 11 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  y  e.  S )  ->  1  e.  ZZ )
22 0z 10283 . . . . . 6  |-  0  e.  ZZ
2322a1i 11 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  y  e.  S )  ->  0  e.  ZZ )
24 nncn 9998 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  NN  ->  k  e.  CC )
2524adantl 453 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  S )  /\  k  e.  NN )  ->  k  e.  CC )
263adantr 452 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  y  e.  S )  ->  A : NN0 --> CC )
27 nnnn0 10218 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  NN  ->  k  e.  NN0 )
28 ffvelrn 5860 . . . . . . . 8  |-  ( ( A : NN0 --> CC  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( A `  k
)  e.  CC )
2926, 27, 28syl2an 464 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  S )  /\  k  e.  NN )  ->  ( A `  k )  e.  CC )
3025, 29mulcld 9098 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  S )  /\  k  e.  NN )  ->  (
k  x.  ( A `
 k ) )  e.  CC )
31 cnvimass 5216 . . . . . . . . . . 11  |-  ( `' abs " ( 0 [,) R ) ) 
C_  dom  abs
32 absf 12131 . . . . . . . . . . . 12  |-  abs : CC
--> RR
3332fdmi 5588 . . . . . . . . . . 11  |-  dom  abs  =  CC
3431, 33sseqtri 3372 . . . . . . . . . 10  |-  ( `' abs " ( 0 [,) R ) ) 
C_  CC
355, 34eqsstri 3370 . . . . . . . . 9  |-  S  C_  CC
3635a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  S  C_  CC )
3736sselda 3340 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  y  e.  S )  ->  y  e.  CC )
38 nnm1nn0 10251 . . . . . . 7  |-  ( k  e.  NN  ->  (
k  -  1 )  e.  NN0 )
39 expcl 11389 . . . . . . 7  |-  ( ( y  e.  CC  /\  ( k  -  1 )  e.  NN0 )  ->  ( y ^ (
k  -  1 ) )  e.  CC )
4037, 38, 39syl2an 464 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  S )  /\  k  e.  NN )  ->  (
y ^ ( k  -  1 ) )  e.  CC )
4130, 40mulcld 9098 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  S )  /\  k  e.  NN )  ->  (
( k  x.  ( A `  k )
)  x.  ( y ^ ( k  - 
1 ) ) )  e.  CC )
429, 13, 19, 21, 23, 41isumshft 12609 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  y  e.  S )  ->  sum_ k  e.  NN  ( ( k  x.  ( A `  k ) )  x.  ( y ^ (
k  -  1 ) ) )  =  sum_ m  e.  NN0  ( (
( 1  +  m
)  x.  ( A `
 ( 1  +  m ) ) )  x.  ( y ^
( ( 1  +  m )  -  1 ) ) ) )
43 ax-1cn 9038 . . . . . . . 8  |-  1  e.  CC
44 nn0cn 10221 . . . . . . . . 9  |-  ( m  e.  NN0  ->  m  e.  CC )
4544adantl 453 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  S )  /\  m  e.  NN0 )  ->  m  e.  CC )
46 addcom 9242 . . . . . . . 8  |-  ( ( 1  e.  CC  /\  m  e.  CC )  ->  ( 1  +  m
)  =  ( m  +  1 ) )
4743, 45, 46sylancr 645 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  S )  /\  m  e.  NN0 )  ->  (
1  +  m )  =  ( m  + 
1 ) )
4847fveq2d 5724 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  S )  /\  m  e.  NN0 )  ->  ( A `  ( 1  +  m ) )  =  ( A `  (
m  +  1 ) ) )
4947, 48oveq12d 6091 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  S )  /\  m  e.  NN0 )  ->  (
( 1  +  m
)  x.  ( A `
 ( 1  +  m ) ) )  =  ( ( m  +  1 )  x.  ( A `  (
m  +  1 ) ) ) )
50 pncan2 9302 . . . . . . . 8  |-  ( ( 1  e.  CC  /\  m  e.  CC )  ->  ( ( 1  +  m )  -  1 )  =  m )
5143, 45, 50sylancr 645 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  S )  /\  m  e.  NN0 )  ->  (
( 1  +  m
)  -  1 )  =  m )
5251oveq2d 6089 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  S )  /\  m  e.  NN0 )  ->  (
y ^ ( ( 1  +  m )  -  1 ) )  =  ( y ^
m ) )
5349, 52oveq12d 6091 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  S )  /\  m  e.  NN0 )  ->  (
( ( 1  +  m )  x.  ( A `  ( 1  +  m ) ) )  x.  ( y ^
( ( 1  +  m )  -  1 ) ) )  =  ( ( ( m  +  1 )  x.  ( A `  (
m  +  1 ) ) )  x.  (
y ^ m ) ) )
5453sumeq2dv 12487 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  y  e.  S )  ->  sum_ m  e.  NN0  ( ( ( 1  +  m )  x.  ( A `  ( 1  +  m
) ) )  x.  ( y ^ (
( 1  +  m
)  -  1 ) ) )  =  sum_ m  e.  NN0  ( (
( m  +  1 )  x.  ( A `
 ( m  + 
1 ) ) )  x.  ( y ^
m ) ) )
5542, 54eqtr2d 2468 . . 3  |-  ( (
ph  /\  y  e.  S )  ->  sum_ m  e.  NN0  ( ( ( m  +  1 )  x.  ( A `  ( m  +  1
) ) )  x.  ( y ^ m
) )  =  sum_ k  e.  NN  (
( k  x.  ( A `  k )
)  x.  ( y ^ ( k  - 
1 ) ) ) )
5655mpteq2dva 4287 . 2  |-  ( ph  ->  ( y  e.  S  |-> 
sum_ m  e.  NN0  ( ( ( m  +  1 )  x.  ( A `  (
m  +  1 ) ) )  x.  (
y ^ m ) ) )  =  ( y  e.  S  |->  sum_ k  e.  NN  (
( k  x.  ( A `  k )
)  x.  ( y ^ ( k  - 
1 ) ) ) ) )
578, 56eqtrd 2467 1  |-  ( ph  ->  ( CC  _D  F
)  =  ( y  e.  S  |->  sum_ k  e.  NN  ( ( k  x.  ( A `  k ) )  x.  ( y ^ (
k  -  1 ) ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    = wceq 1652    e. wcel 1725   {crab 2701    C_ wss 3312   ifcif 3731    e. cmpt 4258   `'ccnv 4869   dom cdm 4870   "cima 4873    o. ccom 4874   -->wf 5442   ` cfv 5446  (class class class)co 6073   supcsup 7437   CCcc 8978   RRcr 8979   0cc0 8980   1c1 8981    + caddc 8983    x. cmul 8985   RR*cxr 9109    < clt 9110    - cmin 9281    / cdiv 9667   NNcn 9990   2c2 10039   NN0cn0 10211   ZZcz 10272   ZZ>=cuz 10478   [,)cico 10908    seq cseq 11313   ^cexp 11372   abscabs 12029    ~~> cli 12268   sum_csu 12469   ballcbl 16678    _D cdv 19740
This theorem is referenced by:  logtayl  20541
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-inf2 7586  ax-cnex 9036  ax-resscn 9037  ax-1cn 9038  ax-icn 9039  ax-addcl 9040  ax-addrcl 9041  ax-mulcl 9042  ax-mulrcl 9043  ax-mulcom 9044  ax-addass 9045  ax-mulass 9046  ax-distr 9047  ax-i2m1 9048  ax-1ne0 9049  ax-1rid 9050  ax-rnegex 9051  ax-rrecex 9052  ax-cnre 9053  ax-pre-lttri 9054  ax-pre-lttrn 9055  ax-pre-ltadd 9056  ax-pre-mulgt0 9057  ax-pre-sup 9058  ax-addf 9059  ax-mulf 9060
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rmo 2705  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-int 4043  df-iun 4087  df-iin 4088  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-se 4534  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-isom 5455  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-of 6297  df-1st 6341  df-2nd 6342  df-riota 6541  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-1o 6716  df-2o 6717  df-oadd 6720  df-er 6897  df-map 7012  df-pm 7013  df-ixp 7056  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-fin 7105  df-fi 7408  df-sup 7438  df-oi 7469  df-card 7816  df-cda 8038  df-pnf 9112  df-mnf 9113  df-xr 9114  df-ltxr 9115  df-le 9116  df-sub 9283  df-neg 9284  df-div 9668  df-nn 9991  df-2 10048  df-3 10049  df-4 10050  df-5 10051  df-6 10052  df-7 10053  df-8 10054  df-9 10055  df-10 10056  df-n0 10212  df-z 10273  df-dec 10373  df-uz 10479  df-q 10565  df-rp 10603  df-xneg 10700  df-xadd 10701  df-xmul 10702  df-ioo 10910  df-ico 10912  df-icc 10913  df-fz 11034  df-fzo 11126  df-fl 11192  df-seq 11314  df-exp 11373  df-hash 11609  df-shft 11872  df-cj 11894  df-re 11895  df-im 11896  df-sqr 12030  df-abs 12031  df-limsup 12255  df-clim 12272  df-rlim 12273  df-sum 12470  df-struct 13461  df-ndx 13462  df-slot 13463  df-base 13464  df-sets 13465  df-ress 13466  df-plusg 13532  df-mulr 13533  df-starv 13534  df-sca 13535  df-vsca 13536  df-tset 13538  df-ple 13539  df-ds 13541  df-unif 13542  df-hom 13543  df-cco 13544  df-rest 13640  df-topn 13641  df-topgen 13657  df-pt 13658  df-prds 13661  df-xrs 13716  df-0g 13717  df-gsum 13718  df-qtop 13723  df-imas 13724  df-xps 13726  df-mre 13801  df-mrc 13802  df-acs 13804  df-mnd 14680  df-submnd 14729  df-mulg 14805  df-cntz 15106  df-cmn 15404  df-psmet 16684  df-xmet 16685  df-met 16686  df-bl 16687  df-mopn 16688  df-fbas 16689  df-fg 16690  df-cnfld 16694  df-top 16953  df-bases 16955  df-topon 16956  df-topsp 16957  df-cld 17073  df-ntr 17074  df-cls 17075  df-nei 17152  df-lp 17190  df-perf 17191  df-cn 17281  df-cnp 17282  df-haus 17369  df-cmp 17440  df-tx 17584  df-hmeo 17777  df-fil 17868  df-fm 17960  df-flim 17961  df-flf 17962  df-xms 18340  df-ms 18341  df-tms 18342  df-cncf 18898  df-limc 19743  df-dv 19744  df-ulm 20283
  Copyright terms: Public domain W3C validator