Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pserulm Unicode version

Theorem pserulm 19798
 Description: If is a region contained in a circle of radius , then the sequence of partial sums of the infinite series converges uniformly on . (Contributed by Mario Carneiro, 26-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
pserf.g
pserf.f
pserf.a
pserf.r
pserulm.h
pserulm.m
pserulm.l
pserulm.y
Assertion
Ref Expression
pserulm
Distinct variable groups:   ,,,,,   ,,,   ,,,   ,,   ,,,,   ,,,   ,,,
Allowed substitution hints:   (,,)   ()   (,,,,,)   (,,)   (,,,,,)   (,)   (,,)   (,,)

Proof of Theorem pserulm
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pserulm.y . . . . . 6
21adantr 451 . . . . 5
3 0xr 8878 . . . . . . . . 9
4 pserulm.m . . . . . . . . . 10
54rexrd 8881 . . . . . . . . 9
6 icc0 10704 . . . . . . . . 9
73, 5, 6sylancr 644 . . . . . . . 8
87biimpar 471 . . . . . . 7
98imaeq2d 5012 . . . . . 6
10 ima0 5030 . . . . . 6
119, 10syl6eq 2331 . . . . 5
122, 11sseqtrd 3214 . . . 4
13 ss0 3485 . . . 4
1412, 13syl 15 . . 3
15 nn0uz 10262 . . . 4
16 0z 10035 . . . . 5
1716a1i 10 . . . 4
1816a1i 10 . . . . . . . . . 10
19 pserf.g . . . . . . . . . . . 12
20 pserf.a . . . . . . . . . . . . 13
2120adantr 451 . . . . . . . . . . . 12
22 cnvimass 5033 . . . . . . . . . . . . . . 15
23 absf 11821 . . . . . . . . . . . . . . . 16
2423fdmi 5394 . . . . . . . . . . . . . . 15
2522, 24sseqtri 3210 . . . . . . . . . . . . . 14
261, 25syl6ss 3191 . . . . . . . . . . . . 13
2726sselda 3180 . . . . . . . . . . . 12
2819, 21, 27psergf 19788 . . . . . . . . . . 11
29 ffvelrn 5663 . . . . . . . . . . 11
3028, 29sylan 457 . . . . . . . . . 10
3115, 18, 30serf 11074 . . . . . . . . 9
32 ffvelrn 5663 . . . . . . . . 9
3331, 32sylan 457 . . . . . . . 8
3433an32s 779 . . . . . . 7
35 eqid 2283 . . . . . . 7
3634, 35fmptd 5684 . . . . . 6
37 cnex 8818 . . . . . . 7
38 ssexg 4160 . . . . . . . . 9
3926, 37, 38sylancl 643 . . . . . . . 8
4039adantr 451 . . . . . . 7
41 elmapg 6785 . . . . . . 7
4237, 40, 41sylancr 644 . . . . . 6
4336, 42mpbird 223 . . . . 5
44 pserulm.h . . . . 5
4543, 44fmptd 5684 . . . 4
46 eqidd 2284 . . . . . 6
47 pserf.r . . . . . . 7
481sselda 3180 . . . . . . . . . . . . 13
49 ffn 5389 . . . . . . . . . . . . . 14
50 elpreima 5645 . . . . . . . . . . . . . 14
5123, 49, 50mp2b 9 . . . . . . . . . . . . 13
5248, 51sylib 188 . . . . . . . . . . . 12
5352simprd 449 . . . . . . . . . . 11
54 0re 8838 . . . . . . . . . . . 12
554adantr 451 . . . . . . . . . . . 12
56 elicc2 10715 . . . . . . . . . . . 12
5754, 55, 56sylancr 644 . . . . . . . . . . 11
5853, 57mpbid 201 . . . . . . . . . 10
5958simp1d 967 . . . . . . . . 9
6059rexrd 8881 . . . . . . . 8
615adantr 451 . . . . . . . 8
62 iccssxr 10732 . . . . . . . . . 10
6319, 20, 47radcnvcl 19793 . . . . . . . . . 10
6462, 63sseldi 3178 . . . . . . . . 9
6564adantr 451 . . . . . . . 8
6658simp3d 969 . . . . . . . 8
67 pserulm.l . . . . . . . . 9
6867adantr 451 . . . . . . . 8
6960, 61, 65, 66, 68xrlelttrd 10491 . . . . . . 7
7019, 21, 47, 27, 69radcnvlt2 19795 . . . . . 6
7115, 18, 46, 30, 70isumcl 12224 . . . . 5
72 pserf.f . . . . 5
7371, 72fmptd 5684 . . . 4
7415, 17, 45, 73ulm0 19770 . . 3
7514, 74syldan 456 . 2
76 simpr 447 . . . . . . . . . 10
7776, 15syl6eleq 2373 . . . . . . . . 9
78 elfznn0 10822 . . . . . . . . . . 11
7978adantl 452 . . . . . . . . . 10
8039ad2antrr 706 . . . . . . . . . . 11
81 mptexg 5745 . . . . . . . . . . 11
8280, 81syl 15 . . . . . . . . . 10
83 fveq2 5525 . . . . . . . . . . . . . 14
8483fveq1d 5527 . . . . . . . . . . . . 13
8584cbvmptv 4111 . . . . . . . . . . . 12
86 fveq2 5525 . . . . . . . . . . . . 13
8786mpteq2dv 4107 . . . . . . . . . . . 12
8885, 87syl5eq 2327 . . . . . . . . . . 11
89 eqid 2283 . . . . . . . . . . 11
9088, 89fvmptg 5600 . . . . . . . . . 10
9179, 82, 90syl2anc 642 . . . . . . . . 9
9240, 77, 91seqof 11103 . . . . . . . 8
9392eqcomd 2288 . . . . . . 7
9493mpteq2dva 4106 . . . . . 6
95 seqfn 11058 . . . . . . . . 9
9616, 95ax-mp 8 . . . . . . . 8
9715fneq2i 5339 . . . . . . . 8
9896, 97mpbir 200 . . . . . . 7
99 dffn5 5568 . . . . . . 7
10098, 99mpbi 199 . . . . . 6
10194, 44, 1003eqtr4g 2340 . . . . 5
102101adantr 451 . . . 4
10316a1i 10 . . . . 5
10439adantr 451 . . . . 5
10520adantr 451 . . . . . . . . . . . 12
10626sselda 3180 . . . . . . . . . . . 12
10719, 105, 106psergf 19788 . . . . . . . . . . 11
108 ffvelrn 5663 . . . . . . . . . . 11
109107, 108sylan 457 . . . . . . . . . 10
110109an32s 779 . . . . . . . . 9
111 eqid 2283 . . . . . . . . 9
112110, 111fmptd 5684 . . . . . . . 8
11339adantr 451 . . . . . . . . 9
114 elmapg 6785 . . . . . . . . 9
11537, 113, 114sylancr 644 . . . . . . . 8
116112, 115mpbird 223 . . . . . . 7
117116, 89fmptd 5684 . . . . . 6
118117adantr 451 . . . . 5
119 fex 5749 . . . . . . . 8
12023, 37, 119mp2an 653 . . . . . . 7
121 fvex 5539 . . . . . . 7
122120, 121coex 5216 . . . . . 6
123122a1i 10 . . . . 5
12420adantr 451 . . . . . . . 8
1254adantr 451 . . . . . . . . 9
126125recnd 8861 . . . . . . . 8
12719, 124, 126psergf 19788 . . . . . . 7
128 fco 5398 . . . . . . 7
12923, 127, 128sylancr 644 . . . . . 6
130 ffvelrn 5663 . . . . . 6
131129, 130sylan 457 . . . . 5
13226ad2antrr 706 . . . . . . . . . . 11
133 simprr 733 . . . . . . . . . . 11
134132, 133sseldd 3181 . . . . . . . . . 10
135 simprl 732 . . . . . . . . . 10
136134, 135expcld 11245 . . . . . . . . 9
137136abscld 11918 . . . . . . . 8
138126adantr 451 . . . . . . . . . 10
139138, 135expcld 11245 . . . . . . . . 9
140139abscld 11918 . . . . . . . 8
14120ad2antrr 706 . . . . . . . . . 10
142 ffvelrn 5663 . . . . . . . . . 10
143141, 135, 142syl2anc 642 . . . . . . . . 9
144143abscld 11918 . . . . . . . 8
145143absge0d 11926 . . . . . . . 8
146134abscld 11918 . . . . . . . . . 10
1474ad2antrr 706 . . . . . . . . . 10
148134absge0d 11926 . . . . . . . . . 10
14966ralrimiva 2626 . . . . . . . . . . . 12
150149ad2antrr 706 . . . . . . . . . . 11
151 fveq2 5525 . . . . . . . . . . . . 13
152151breq1d 4033 . . . . . . . . . . . 12
153152rspcv 2880 . . . . . . . . . . 11
154133, 150, 153sylc 56 . . . . . . . . . 10
155 leexp1a 11160 . . . . . . . . . 10
156146, 147, 135, 148, 154, 155syl32anc 1190 . . . . . . . . 9
157134, 135absexpd 11934 . . . . . . . . 9
158138, 135absexpd 11934 . . . . . . . . . 10
159 absid 11781 . . . . . . . . . . . . 13
1604, 159sylan 457 . . . . . . . . . . . 12
161160adantr 451 . . . . . . . . . . 11
162161oveq1d 5873 . . . . . . . . . 10
163158, 162eqtrd 2315 . . . . . . . . 9
164156, 157, 1633brtr4d 4053 . . . . . . . 8
165137, 140, 144, 145, 164lemul2ad 9697 . . . . . . 7
166143, 136absmuld 11936 . . . . . . 7
167143, 139absmuld 11936 . . . . . . 7
168165, 166, 1673brtr4d 4053 . . . . . 6
16939ad2antrr 706 . . . . . . . . . . 11
170169, 81syl 15 . . . . . . . . . 10
171135, 170, 90syl2anc 642 . . . . . . . . 9
172171fveq1d 5527 . . . . . . . 8
173 fveq2 5525 . . . . . . . . . . 11
174173fveq1d 5527 . . . . . . . . . 10
175 eqid 2283 . . . . . . . . . 10
176 fvex 5539 . . . . . . . . . 10
177174, 175, 176fvmpt 5602 . . . . . . . . 9
178177ad2antll 709 . . . . . . . 8
17919pserval2 19787 . . . . . . . . 9
180134, 135, 179syl2anc 642 . . . . . . . 8
181172, 178, 1803eqtrd 2319 . . . . . . 7
182181fveq2d 5529 . . . . . 6
183127adantr 451 . . . . . . . 8
184 fvco3 5596 . . . . . . . 8
185183, 135, 184syl2anc 642 . . . . . . 7
18619pserval2 19787 . . . . . . . . 9
187138, 135, 186syl2anc 642 . . . . . . . 8
188187fveq2d 5529 . . . . . . 7
189185, 188eqtrd 2315 . . . . . 6
190168, 182, 1893brtr4d 4053 . . . . 5
19167adantr 451 . . . . . . . 8
192160, 191eqbrtrd 4043 . . . . . . 7
193 id 19 . . . . . . . . 9
194 fveq2 5525 . . . . . . . . . 10
195194fveq2d 5529 . . . . . . . . 9
196193, 195oveq12d 5876 . . . . . . . 8
197196cbvmptv 4111 . . . . . . 7
19819, 124, 47, 126, 192, 197radcnvlt1 19794 . . . . . 6
199198simprd 449 . . . . 5
20015, 103, 104, 118, 123, 131, 190, 199mtest 19781 . . . 4
201102, 200eqeltrd 2357 . . 3
202 eldmg 4874 . . . . . 6
203202ibi 232 . . . . 5
204 simpr 447 . . . . . . . 8
205 ulmcl 19760 . . . . . . . . . . 11
206205adantl 452 . . . . . . . . . 10
207206feqmptd 5575 . . . . . . . . 9
20816a1i 10 . . . . . . . . . . . 12
209 eqidd 2284 . . . . . . . . . . . 12
21028adantlr 695 . . . . . . . . . . . . 13
211210, 29sylan 457 . . . . . . . . . . . 12
21245ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . 13
213 simpr 447 . . . . . . . . . . . . 13
214 seqex 11048 . . . . . . . . . . . . . 14
215214a1i 10 . . . . . . . . . . . . 13
216 simpr 447 . . . . . . . . . . . . . . . 16
21739ad3antrrr 710 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
218 mptexg 5745 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
219217, 218syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . 16
22044fvmpt2 5608 . . . . . . . . . . . . . . . 16
221216, 219, 220syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . 15
222221fveq1d 5527 . . . . . . . . . . . . . 14
223 simplr 731 . . . . . . . . . . . . . . 15
224 fvex 5539 . . . . . . . . . . . . . . 15
22535fvmpt2 5608 . . . . . . . . . . . . . . 15
226223, 224, 225sylancl 643 . . . . . . . . . . . . . 14
227222, 226eqtrd 2315 . . . . . . . . . . . . 13
228 simplr 731 . . . . . . . . . . . . 13
22915, 208, 212, 213, 215, 227, 228ulmclm 19766 . . . . . . . . . . . 12
23015, 208, 209, 211, 229isumclim 12220 . . . . . . . . . . 11
231230mpteq2dva 4106 . . . . . . . . . 10
23272, 231syl5eq 2327 . . . . . . . . 9
233207, 232eqtr4d 2318 . . . . . . . 8
234204, 233breqtrd 4047 . . . . . . 7
235234ex 423 . . . . . 6
236235exlimdv 1664 . . . . 5
237203, 236syl5 28 . . . 4
238237imp 418 . . 3
239201, 238syldan 456 . 2
24054a1i 10 . 2
24175, 239, 4, 240ltlecasei 8928 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wb 176   wa 358   w3a 934  wex 1528   wceq 1623   wcel 1684  wral 2543  crab 2547  cvv 2788   wss 3152  c0 3455   class class class wbr 4023   cmpt 4077  ccnv 4688   cdm 4689  cima 4692   ccom 4693   wfn 5250  wf 5251  cfv 5255  (class class class)co 5858   cof 6076   cmap 6772  csup 7193  cc 8735  cr 8736  cc0 8737   caddc 8740   cmul 8742   cpnf 8864  cxr 8866   clt 8867   cle 8868  cn0 9965  cz 10024  cuz 10230  cicc 10659  cfz 10782   cseq 11046  cexp 11104  cabs 11719   cli 11958  csu 12158  culm 19755 This theorem is referenced by:  psercn2  19799  pserdvlem2  19804 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-inf2 7342  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814  ax-pre-sup 8815  ax-addf 8816  ax-mulf 8817 This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-se 4353  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-isom 5264  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-of 6078  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-oadd 6483  df-er 6660  df-map 6774  df-pm 6775  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-fin 6867  df-sup 7194  df-oi 7225  df-card 7572  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-div 9424  df-nn 9747  df-2 9804  df-3 9805  df-n0 9966  df-z 10025  df-uz 10231  df-rp 10355  df-ico 10662  df-icc 10663  df-fz 10783  df-fzo 10871  df-fl 10925  df-seq 11047  df-exp 11105  df-hash 11338  df-cj 11584  df-re 11585  df-im 11586  df-sqr 11720  df-abs 11721  df-limsup 11945  df-clim 11962  df-rlim 11963  df-sum 12159  df-ulm 19756
 Copyright terms: Public domain W3C validator