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Theorem pserulm 19814
Description: If  S is a region contained in a circle of radius  M  <  R, then the sequence of partial sums of the infinite series converges uniformly on  S. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
pserf.g  |-  G  =  ( x  e.  CC  |->  ( n  e.  NN0  |->  ( ( A `  n )  x.  (
x ^ n ) ) ) )
pserf.f  |-  F  =  ( y  e.  S  |-> 
sum_ j  e.  NN0  ( ( G `  y ) `  j
) )
pserf.a  |-  ( ph  ->  A : NN0 --> CC )
pserf.r  |-  R  =  sup ( { r  e.  RR  |  seq  0 (  +  , 
( G `  r
) )  e.  dom  ~~>  } ,  RR* ,  <  )
pserulm.h  |-  H  =  ( i  e.  NN0  |->  ( y  e.  S  |->  (  seq  0 (  +  ,  ( G `
 y ) ) `
 i ) ) )
pserulm.m  |-  ( ph  ->  M  e.  RR )
pserulm.l  |-  ( ph  ->  M  <  R )
pserulm.y  |-  ( ph  ->  S  C_  ( `' abs " ( 0 [,] M ) ) )
Assertion
Ref Expression
pserulm  |-  ( ph  ->  H ( ~~> u `  S ) F )
Distinct variable groups:    j, n, r, x, y, A    i,
j, y, H    i, M, j, y    x, i, r    i, G, j, r, y    S, i, j, y    ph, i,
j, y
Allowed substitution hints:    ph( x, n, r)    A( i)    R( x, y, i, j, n, r)    S( x, n, r)    F( x, y, i, j, n, r)    G( x, n)    H( x, n, r)    M( x, n, r)

Proof of Theorem pserulm
Dummy variables  k  m  w  z  f are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pserulm.y . . . . . 6  |-  ( ph  ->  S  C_  ( `' abs " ( 0 [,] M ) ) )
21adantr 451 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  M  <  0 )  ->  S  C_  ( `' abs " (
0 [,] M ) ) )
3 0xr 8894 . . . . . . . . 9  |-  0  e.  RR*
4 pserulm.m . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  M  e.  RR )
54rexrd 8897 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  M  e.  RR* )
6 icc0 10720 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 0  e.  RR*  /\  M  e.  RR* )  ->  (
( 0 [,] M
)  =  (/)  <->  M  <  0 ) )
73, 5, 6sylancr 644 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( 0 [,] M )  =  (/)  <->  M  <  0 ) )
87biimpar 471 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  M  <  0 )  ->  (
0 [,] M )  =  (/) )
98imaeq2d 5028 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  M  <  0 )  ->  ( `' abs " ( 0 [,] M ) )  =  ( `' abs "
(/) ) )
10 ima0 5046 . . . . . 6  |-  ( `' abs " (/) )  =  (/)
119, 10syl6eq 2344 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  M  <  0 )  ->  ( `' abs " ( 0 [,] M ) )  =  (/) )
122, 11sseqtrd 3227 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  M  <  0 )  ->  S  C_  (/) )
13 ss0 3498 . . . 4  |-  ( S 
C_  (/)  ->  S  =  (/) )
1412, 13syl 15 . . 3  |-  ( (
ph  /\  M  <  0 )  ->  S  =  (/) )
15 nn0uz 10278 . . . 4  |-  NN0  =  ( ZZ>= `  0 )
16 0z 10051 . . . . 5  |-  0  e.  ZZ
1716a1i 10 . . . 4  |-  ( ph  ->  0  e.  ZZ )
1816a1i 10 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  y  e.  S )  ->  0  e.  ZZ )
19 pserf.g . . . . . . . . . . . 12  |-  G  =  ( x  e.  CC  |->  ( n  e.  NN0  |->  ( ( A `  n )  x.  (
x ^ n ) ) ) )
20 pserf.a . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  A : NN0 --> CC )
2120adantr 451 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  y  e.  S )  ->  A : NN0 --> CC )
22 cnvimass 5049 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( `' abs " ( 0 [,] M ) ) 
C_  dom  abs
23 absf 11837 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  abs : CC
--> RR
2423fdmi 5410 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  dom  abs  =  CC
2522, 24sseqtri 3223 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( `' abs " ( 0 [,] M ) ) 
C_  CC
261, 25syl6ss 3204 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  S  C_  CC )
2726sselda 3193 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  y  e.  S )  ->  y  e.  CC )
2819, 21, 27psergf 19804 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  y  e.  S )  ->  ( G `  y ) : NN0 --> CC )
29 ffvelrn 5679 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( G `  y
) : NN0 --> CC  /\  j  e.  NN0 )  -> 
( ( G `  y ) `  j
)  e.  CC )
3028, 29sylan 457 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  S )  /\  j  e.  NN0 )  ->  (
( G `  y
) `  j )  e.  CC )
3115, 18, 30serf 11090 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  y  e.  S )  ->  seq  0 (  +  , 
( G `  y
) ) : NN0 --> CC )
32 ffvelrn 5679 . . . . . . . . 9  |-  ( (  seq  0 (  +  ,  ( G `  y ) ) : NN0 --> CC  /\  i  e.  NN0 )  ->  (  seq  0 (  +  , 
( G `  y
) ) `  i
)  e.  CC )
3331, 32sylan 457 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  S )  /\  i  e.  NN0 )  ->  (  seq  0 (  +  , 
( G `  y
) ) `  i
)  e.  CC )
3433an32s 779 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  NN0 )  /\  y  e.  S )  ->  (  seq  0 (  +  , 
( G `  y
) ) `  i
)  e.  CC )
35 eqid 2296 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  S  |->  (  seq  0 (  +  , 
( G `  y
) ) `  i
) )  =  ( y  e.  S  |->  (  seq  0 (  +  ,  ( G `  y ) ) `  i ) )
3634, 35fmptd 5700 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  i  e.  NN0 )  ->  ( y  e.  S  |->  (  seq  0 (  +  , 
( G `  y
) ) `  i
) ) : S --> CC )
37 cnex 8834 . . . . . . 7  |-  CC  e.  _V
38 ssexg 4176 . . . . . . . . 9  |-  ( ( S  C_  CC  /\  CC  e.  _V )  ->  S  e.  _V )
3926, 37, 38sylancl 643 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  S  e.  _V )
4039adantr 451 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  i  e.  NN0 )  ->  S  e.  _V )
41 elmapg 6801 . . . . . . 7  |-  ( ( CC  e.  _V  /\  S  e.  _V )  ->  ( ( y  e.  S  |->  (  seq  0
(  +  ,  ( G `  y ) ) `  i ) )  e.  ( CC 
^m  S )  <->  ( y  e.  S  |->  (  seq  0 (  +  , 
( G `  y
) ) `  i
) ) : S --> CC ) )
4237, 40, 41sylancr 644 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  i  e.  NN0 )  ->  ( (
y  e.  S  |->  (  seq  0 (  +  ,  ( G `  y ) ) `  i ) )  e.  ( CC  ^m  S
)  <->  ( y  e.  S  |->  (  seq  0
(  +  ,  ( G `  y ) ) `  i ) ) : S --> CC ) )
4336, 42mpbird 223 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  i  e.  NN0 )  ->  ( y  e.  S  |->  (  seq  0 (  +  , 
( G `  y
) ) `  i
) )  e.  ( CC  ^m  S ) )
44 pserulm.h . . . . 5  |-  H  =  ( i  e.  NN0  |->  ( y  e.  S  |->  (  seq  0 (  +  ,  ( G `
 y ) ) `
 i ) ) )
4543, 44fmptd 5700 . . . 4  |-  ( ph  ->  H : NN0 --> ( CC 
^m  S ) )
46 eqidd 2297 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  S )  /\  j  e.  NN0 )  ->  (
( G `  y
) `  j )  =  ( ( G `
 y ) `  j ) )
47 pserf.r . . . . . . 7  |-  R  =  sup ( { r  e.  RR  |  seq  0 (  +  , 
( G `  r
) )  e.  dom  ~~>  } ,  RR* ,  <  )
481sselda 3193 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  y  e.  S )  ->  y  e.  ( `' abs " (
0 [,] M ) ) )
49 ffn 5405 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( abs
: CC --> RR  ->  abs 
Fn  CC )
50 elpreima 5661 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( abs 
Fn  CC  ->  ( y  e.  ( `' abs " ( 0 [,] M
) )  <->  ( y  e.  CC  /\  ( abs `  y )  e.  ( 0 [,] M ) ) ) )
5123, 49, 50mp2b 9 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  e.  ( `' abs " ( 0 [,] M
) )  <->  ( y  e.  CC  /\  ( abs `  y )  e.  ( 0 [,] M ) ) )
5248, 51sylib 188 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  y  e.  S )  ->  (
y  e.  CC  /\  ( abs `  y )  e.  ( 0 [,] M ) ) )
5352simprd 449 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  y  e.  S )  ->  ( abs `  y )  e.  ( 0 [,] M
) )
54 0re 8854 . . . . . . . . . . . 12  |-  0  e.  RR
554adantr 451 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  y  e.  S )  ->  M  e.  RR )
56 elicc2 10731 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  M  e.  RR )  ->  ( ( abs `  y
)  e.  ( 0 [,] M )  <->  ( ( abs `  y )  e.  RR  /\  0  <_ 
( abs `  y
)  /\  ( abs `  y )  <_  M
) ) )
5754, 55, 56sylancr 644 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  y  e.  S )  ->  (
( abs `  y
)  e.  ( 0 [,] M )  <->  ( ( abs `  y )  e.  RR  /\  0  <_ 
( abs `  y
)  /\  ( abs `  y )  <_  M
) ) )
5853, 57mpbid 201 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  y  e.  S )  ->  (
( abs `  y
)  e.  RR  /\  0  <_  ( abs `  y
)  /\  ( abs `  y )  <_  M
) )
5958simp1d 967 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  y  e.  S )  ->  ( abs `  y )  e.  RR )
6059rexrd 8897 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  y  e.  S )  ->  ( abs `  y )  e. 
RR* )
615adantr 451 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  y  e.  S )  ->  M  e.  RR* )
62 iccssxr 10748 . . . . . . . . . 10  |-  ( 0 [,]  +oo )  C_  RR*
6319, 20, 47radcnvcl 19809 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  R  e.  ( 0 [,]  +oo ) )
6462, 63sseldi 3191 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  R  e.  RR* )
6564adantr 451 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  y  e.  S )  ->  R  e.  RR* )
6658simp3d 969 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  y  e.  S )  ->  ( abs `  y )  <_  M )
67 pserulm.l . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  M  <  R )
6867adantr 451 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  y  e.  S )  ->  M  <  R )
6960, 61, 65, 66, 68xrlelttrd 10507 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  y  e.  S )  ->  ( abs `  y )  < 
R )
7019, 21, 47, 27, 69radcnvlt2 19811 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  y  e.  S )  ->  seq  0 (  +  , 
( G `  y
) )  e.  dom  ~~>  )
7115, 18, 46, 30, 70isumcl 12240 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  y  e.  S )  ->  sum_ j  e.  NN0  ( ( G `
 y ) `  j )  e.  CC )
72 pserf.f . . . . 5  |-  F  =  ( y  e.  S  |-> 
sum_ j  e.  NN0  ( ( G `  y ) `  j
) )
7371, 72fmptd 5700 . . . 4  |-  ( ph  ->  F : S --> CC )
7415, 17, 45, 73ulm0 19786 . . 3  |-  ( (
ph  /\  S  =  (/) )  ->  H ( ~~> u `  S ) F )
7514, 74syldan 456 . 2  |-  ( (
ph  /\  M  <  0 )  ->  H
( ~~> u `  S
) F )
76 simpr 447 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  i  e.  NN0 )  ->  i  e.  NN0 )
7776, 15syl6eleq 2386 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  i  e.  NN0 )  ->  i  e.  ( ZZ>= `  0 )
)
78 elfznn0 10838 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  e.  ( 0 ... i )  ->  k  e.  NN0 )
7978adantl 452 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  NN0 )  /\  k  e.  ( 0 ... i
) )  ->  k  e.  NN0 )
8039ad2antrr 706 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  NN0 )  /\  k  e.  ( 0 ... i
) )  ->  S  e.  _V )
81 mptexg 5761 . . . . . . . . . . 11  |-  ( S  e.  _V  ->  (
y  e.  S  |->  ( ( G `  y
) `  k )
)  e.  _V )
8280, 81syl 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  NN0 )  /\  k  e.  ( 0 ... i
) )  ->  (
y  e.  S  |->  ( ( G `  y
) `  k )
)  e.  _V )
83 fveq2 5541 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( w  =  y  ->  ( G `  w )  =  ( G `  y ) )
8483fveq1d 5543 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( w  =  y  ->  (
( G `  w
) `  m )  =  ( ( G `
 y ) `  m ) )
8584cbvmptv 4127 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( w  e.  S  |->  ( ( G `  w ) `
 m ) )  =  ( y  e.  S  |->  ( ( G `
 y ) `  m ) )
86 fveq2 5541 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( m  =  k  ->  (
( G `  y
) `  m )  =  ( ( G `
 y ) `  k ) )
8786mpteq2dv 4123 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( m  =  k  ->  (
y  e.  S  |->  ( ( G `  y
) `  m )
)  =  ( y  e.  S  |->  ( ( G `  y ) `
 k ) ) )
8885, 87syl5eq 2340 . . . . . . . . . . 11  |-  ( m  =  k  ->  (
w  e.  S  |->  ( ( G `  w
) `  m )
)  =  ( y  e.  S  |->  ( ( G `  y ) `
 k ) ) )
89 eqid 2296 . . . . . . . . . . 11  |-  ( m  e.  NN0  |->  ( w  e.  S  |->  ( ( G `  w ) `
 m ) ) )  =  ( m  e.  NN0  |->  ( w  e.  S  |->  ( ( G `  w ) `
 m ) ) )
9088, 89fvmptg 5616 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( k  e.  NN0  /\  ( y  e.  S  |->  ( ( G `  y ) `  k
) )  e.  _V )  ->  ( ( m  e.  NN0  |->  ( w  e.  S  |->  ( ( G `  w ) `
 m ) ) ) `  k )  =  ( y  e.  S  |->  ( ( G `
 y ) `  k ) ) )
9179, 82, 90syl2anc 642 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  NN0 )  /\  k  e.  ( 0 ... i
) )  ->  (
( m  e.  NN0  |->  ( w  e.  S  |->  ( ( G `  w ) `  m
) ) ) `  k )  =  ( y  e.  S  |->  ( ( G `  y
) `  k )
) )
9240, 77, 91seqof 11119 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  i  e.  NN0 )  ->  (  seq  0 (  o F  +  ,  ( m  e.  NN0  |->  ( w  e.  S  |->  ( ( G `  w ) `
 m ) ) ) ) `  i
)  =  ( y  e.  S  |->  (  seq  0 (  +  , 
( G `  y
) ) `  i
) ) )
9392eqcomd 2301 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  i  e.  NN0 )  ->  ( y  e.  S  |->  (  seq  0 (  +  , 
( G `  y
) ) `  i
) )  =  (  seq  0 (  o F  +  ,  ( m  e.  NN0  |->  ( w  e.  S  |->  ( ( G `  w ) `
 m ) ) ) ) `  i
) )
9493mpteq2dva 4122 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( i  e.  NN0  |->  ( y  e.  S  |->  (  seq  0 (  +  ,  ( G `
 y ) ) `
 i ) ) )  =  ( i  e.  NN0  |->  (  seq  0 (  o F  +  ,  ( m  e.  NN0  |->  ( w  e.  S  |->  ( ( G `  w ) `
 m ) ) ) ) `  i
) ) )
95 seqfn 11074 . . . . . . . . 9  |-  ( 0  e.  ZZ  ->  seq  0 (  o F  +  ,  ( m  e.  NN0  |->  ( w  e.  S  |->  ( ( G `  w ) `
 m ) ) ) )  Fn  ( ZZ>=
`  0 ) )
9616, 95ax-mp 8 . . . . . . . 8  |-  seq  0
(  o F  +  ,  ( m  e. 
NN0  |->  ( w  e.  S  |->  ( ( G `
 w ) `  m ) ) ) )  Fn  ( ZZ>= ` 
0 )
9715fneq2i 5355 . . . . . . . 8  |-  (  seq  0 (  o F  +  ,  ( m  e.  NN0  |->  ( w  e.  S  |->  ( ( G `  w ) `
 m ) ) ) )  Fn  NN0  <->  seq  0 (  o F  +  ,  ( m  e.  NN0  |->  ( w  e.  S  |->  ( ( G `  w ) `
 m ) ) ) )  Fn  ( ZZ>=
`  0 ) )
9896, 97mpbir 200 . . . . . . 7  |-  seq  0
(  o F  +  ,  ( m  e. 
NN0  |->  ( w  e.  S  |->  ( ( G `
 w ) `  m ) ) ) )  Fn  NN0
99 dffn5 5584 . . . . . . 7  |-  (  seq  0 (  o F  +  ,  ( m  e.  NN0  |->  ( w  e.  S  |->  ( ( G `  w ) `
 m ) ) ) )  Fn  NN0  <->  seq  0 (  o F  +  ,  ( m  e.  NN0  |->  ( w  e.  S  |->  ( ( G `  w ) `
 m ) ) ) )  =  ( i  e.  NN0  |->  (  seq  0 (  o F  +  ,  ( m  e.  NN0  |->  ( w  e.  S  |->  ( ( G `  w ) `
 m ) ) ) ) `  i
) ) )
10098, 99mpbi 199 . . . . . 6  |-  seq  0
(  o F  +  ,  ( m  e. 
NN0  |->  ( w  e.  S  |->  ( ( G `
 w ) `  m ) ) ) )  =  ( i  e.  NN0  |->  (  seq  0 (  o F  +  ,  ( m  e.  NN0  |->  ( w  e.  S  |->  ( ( G `  w ) `
 m ) ) ) ) `  i
) )
10194, 44, 1003eqtr4g 2353 . . . . 5  |-  ( ph  ->  H  =  seq  0
(  o F  +  ,  ( m  e. 
NN0  |->  ( w  e.  S  |->  ( ( G `
 w ) `  m ) ) ) ) )
102101adantr 451 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  0  <_  M )  ->  H  =  seq  0 (  o F  +  ,  ( m  e.  NN0  |->  ( w  e.  S  |->  ( ( G `  w ) `
 m ) ) ) ) )
10316a1i 10 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  0  <_  M )  ->  0  e.  ZZ )
10439adantr 451 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  0  <_  M )  ->  S  e.  _V )
10520adantr 451 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  w  e.  S )  ->  A : NN0 --> CC )
10626sselda 3193 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  w  e.  S )  ->  w  e.  CC )
10719, 105, 106psergf 19804 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  w  e.  S )  ->  ( G `  w ) : NN0 --> CC )
108 ffvelrn 5679 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( G `  w
) : NN0 --> CC  /\  m  e.  NN0 )  -> 
( ( G `  w ) `  m
)  e.  CC )
109107, 108sylan 457 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  w  e.  S )  /\  m  e.  NN0 )  ->  (
( G `  w
) `  m )  e.  CC )
110109an32s 779 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN0 )  /\  w  e.  S )  ->  (
( G `  w
) `  m )  e.  CC )
111 eqid 2296 . . . . . . . . 9  |-  ( w  e.  S  |->  ( ( G `  w ) `
 m ) )  =  ( w  e.  S  |->  ( ( G `
 w ) `  m ) )
112110, 111fmptd 5700 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN0 )  ->  ( w  e.  S  |->  ( ( G `  w ) `
 m ) ) : S --> CC )
11339adantr 451 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN0 )  ->  S  e.  _V )
114 elmapg 6801 . . . . . . . . 9  |-  ( ( CC  e.  _V  /\  S  e.  _V )  ->  ( ( w  e.  S  |->  ( ( G `
 w ) `  m ) )  e.  ( CC  ^m  S
)  <->  ( w  e.  S  |->  ( ( G `
 w ) `  m ) ) : S --> CC ) )
11537, 113, 114sylancr 644 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN0 )  ->  ( (
w  e.  S  |->  ( ( G `  w
) `  m )
)  e.  ( CC 
^m  S )  <->  ( w  e.  S  |->  ( ( G `  w ) `
 m ) ) : S --> CC ) )
116112, 115mpbird 223 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN0 )  ->  ( w  e.  S  |->  ( ( G `  w ) `
 m ) )  e.  ( CC  ^m  S ) )
117116, 89fmptd 5700 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( m  e.  NN0  |->  ( w  e.  S  |->  ( ( G `  w ) `  m
) ) ) : NN0 --> ( CC  ^m  S ) )
118117adantr 451 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  0  <_  M )  ->  ( m  e.  NN0  |->  ( w  e.  S  |->  ( ( G `
 w ) `  m ) ) ) : NN0 --> ( CC 
^m  S ) )
119 fex 5765 . . . . . . . 8  |-  ( ( abs : CC --> RR  /\  CC  e.  _V )  ->  abs  e.  _V )
12023, 37, 119mp2an 653 . . . . . . 7  |-  abs  e.  _V
121 fvex 5555 . . . . . . 7  |-  ( G `
 M )  e. 
_V
122120, 121coex 5232 . . . . . 6  |-  ( abs 
o.  ( G `  M ) )  e. 
_V
123122a1i 10 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  0  <_  M )  ->  ( abs  o.  ( G `  M
) )  e.  _V )
12420adantr 451 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  0  <_  M )  ->  A : NN0
--> CC )
1254adantr 451 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  0  <_  M )  ->  M  e.  RR )
126125recnd 8877 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  0  <_  M )  ->  M  e.  CC )
12719, 124, 126psergf 19804 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  0  <_  M )  ->  ( G `  M ) : NN0 --> CC )
128 fco 5414 . . . . . . 7  |-  ( ( abs : CC --> RR  /\  ( G `  M ) : NN0 --> CC )  ->  ( abs  o.  ( G `  M ) ) : NN0 --> RR )
12923, 127, 128sylancr 644 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  0  <_  M )  ->  ( abs  o.  ( G `  M
) ) : NN0 --> RR )
130 ffvelrn 5679 . . . . . 6  |-  ( ( ( abs  o.  ( G `  M )
) : NN0 --> RR  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( ( abs  o.  ( G `  M ) ) `  k )  e.  RR )
131129, 130sylan 457 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  0  <_  M )  /\  k  e.  NN0 )  ->  (
( abs  o.  ( G `  M )
) `  k )  e.  RR )
13226ad2antrr 706 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  0  <_  M )  /\  (
k  e.  NN0  /\  z  e.  S )
)  ->  S  C_  CC )
133 simprr 733 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  0  <_  M )  /\  (
k  e.  NN0  /\  z  e.  S )
)  ->  z  e.  S )
134132, 133sseldd 3194 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  0  <_  M )  /\  (
k  e.  NN0  /\  z  e.  S )
)  ->  z  e.  CC )
135 simprl 732 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  0  <_  M )  /\  (
k  e.  NN0  /\  z  e.  S )
)  ->  k  e.  NN0 )
136134, 135expcld 11261 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  0  <_  M )  /\  (
k  e.  NN0  /\  z  e.  S )
)  ->  ( z ^ k )  e.  CC )
137136abscld 11934 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  0  <_  M )  /\  (
k  e.  NN0  /\  z  e.  S )
)  ->  ( abs `  ( z ^ k
) )  e.  RR )
138126adantr 451 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  0  <_  M )  /\  (
k  e.  NN0  /\  z  e.  S )
)  ->  M  e.  CC )
139138, 135expcld 11261 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  0  <_  M )  /\  (
k  e.  NN0  /\  z  e.  S )
)  ->  ( M ^ k )  e.  CC )
140139abscld 11934 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  0  <_  M )  /\  (
k  e.  NN0  /\  z  e.  S )
)  ->  ( abs `  ( M ^ k
) )  e.  RR )
14120ad2antrr 706 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  0  <_  M )  /\  (
k  e.  NN0  /\  z  e.  S )
)  ->  A : NN0
--> CC )
142 ffvelrn 5679 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A : NN0 --> CC  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( A `  k
)  e.  CC )
143141, 135, 142syl2anc 642 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  0  <_  M )  /\  (
k  e.  NN0  /\  z  e.  S )
)  ->  ( A `  k )  e.  CC )
144143abscld 11934 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  0  <_  M )  /\  (
k  e.  NN0  /\  z  e.  S )
)  ->  ( abs `  ( A `  k
) )  e.  RR )
145143absge0d 11942 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  0  <_  M )  /\  (
k  e.  NN0  /\  z  e.  S )
)  ->  0  <_  ( abs `  ( A `
 k ) ) )
146134abscld 11934 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  0  <_  M )  /\  (
k  e.  NN0  /\  z  e.  S )
)  ->  ( abs `  z )  e.  RR )
1474ad2antrr 706 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  0  <_  M )  /\  (
k  e.  NN0  /\  z  e.  S )
)  ->  M  e.  RR )
148134absge0d 11942 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  0  <_  M )  /\  (
k  e.  NN0  /\  z  e.  S )
)  ->  0  <_  ( abs `  z ) )
14966ralrimiva 2639 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  A. y  e.  S  ( abs `  y )  <_  M )
150149ad2antrr 706 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  0  <_  M )  /\  (
k  e.  NN0  /\  z  e.  S )
)  ->  A. y  e.  S  ( abs `  y )  <_  M
)
151 fveq2 5541 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  =  z  ->  ( abs `  y )  =  ( abs `  z
) )
152151breq1d 4049 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  =  z  ->  (
( abs `  y
)  <_  M  <->  ( abs `  z )  <_  M
) )
153152rspcv 2893 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  e.  S  ->  ( A. y  e.  S  ( abs `  y )  <_  M  ->  ( abs `  z )  <_  M ) )
154133, 150, 153sylc 56 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  0  <_  M )  /\  (
k  e.  NN0  /\  z  e.  S )
)  ->  ( abs `  z )  <_  M
)
155 leexp1a 11176 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( abs `  z
)  e.  RR  /\  M  e.  RR  /\  k  e.  NN0 )  /\  (
0  <_  ( abs `  z )  /\  ( abs `  z )  <_  M ) )  -> 
( ( abs `  z
) ^ k )  <_  ( M ^
k ) )
156146, 147, 135, 148, 154, 155syl32anc 1190 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  0  <_  M )  /\  (
k  e.  NN0  /\  z  e.  S )
)  ->  ( ( abs `  z ) ^
k )  <_  ( M ^ k ) )
157134, 135absexpd 11950 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  0  <_  M )  /\  (
k  e.  NN0  /\  z  e.  S )
)  ->  ( abs `  ( z ^ k
) )  =  ( ( abs `  z
) ^ k ) )
158138, 135absexpd 11950 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  0  <_  M )  /\  (
k  e.  NN0  /\  z  e.  S )
)  ->  ( abs `  ( M ^ k
) )  =  ( ( abs `  M
) ^ k ) )
159 absid 11797 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( M  e.  RR  /\  0  <_  M )  -> 
( abs `  M
)  =  M )
1604, 159sylan 457 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  0  <_  M )  ->  ( abs `  M )  =  M )
161160adantr 451 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  0  <_  M )  /\  (
k  e.  NN0  /\  z  e.  S )
)  ->  ( abs `  M )  =  M )
162161oveq1d 5889 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  0  <_  M )  /\  (
k  e.  NN0  /\  z  e.  S )
)  ->  ( ( abs `  M ) ^
k )  =  ( M ^ k ) )
163158, 162eqtrd 2328 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  0  <_  M )  /\  (
k  e.  NN0  /\  z  e.  S )
)  ->  ( abs `  ( M ^ k
) )  =  ( M ^ k ) )
164156, 157, 1633brtr4d 4069 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  0  <_  M )  /\  (
k  e.  NN0  /\  z  e.  S )
)  ->  ( abs `  ( z ^ k
) )  <_  ( abs `  ( M ^
k ) ) )
165137, 140, 144, 145, 164lemul2ad 9713 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  0  <_  M )  /\  (
k  e.  NN0  /\  z  e.  S )
)  ->  ( ( abs `  ( A `  k ) )  x.  ( abs `  (
z ^ k ) ) )  <_  (
( abs `  ( A `  k )
)  x.  ( abs `  ( M ^ k
) ) ) )
166143, 136absmuld 11952 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  0  <_  M )  /\  (
k  e.  NN0  /\  z  e.  S )
)  ->  ( abs `  ( ( A `  k )  x.  (
z ^ k ) ) )  =  ( ( abs `  ( A `  k )
)  x.  ( abs `  ( z ^ k
) ) ) )
167143, 139absmuld 11952 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  0  <_  M )  /\  (
k  e.  NN0  /\  z  e.  S )
)  ->  ( abs `  ( ( A `  k )  x.  ( M ^ k ) ) )  =  ( ( abs `  ( A `
 k ) )  x.  ( abs `  ( M ^ k ) ) ) )
168165, 166, 1673brtr4d 4069 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  0  <_  M )  /\  (
k  e.  NN0  /\  z  e.  S )
)  ->  ( abs `  ( ( A `  k )  x.  (
z ^ k ) ) )  <_  ( abs `  ( ( A `
 k )  x.  ( M ^ k
) ) ) )
16939ad2antrr 706 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  0  <_  M )  /\  (
k  e.  NN0  /\  z  e.  S )
)  ->  S  e.  _V )
170169, 81syl 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  0  <_  M )  /\  (
k  e.  NN0  /\  z  e.  S )
)  ->  ( y  e.  S  |->  ( ( G `  y ) `
 k ) )  e.  _V )
171135, 170, 90syl2anc 642 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  0  <_  M )  /\  (
k  e.  NN0  /\  z  e.  S )
)  ->  ( (
m  e.  NN0  |->  ( w  e.  S  |->  ( ( G `  w ) `
 m ) ) ) `  k )  =  ( y  e.  S  |->  ( ( G `
 y ) `  k ) ) )
172171fveq1d 5543 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  0  <_  M )  /\  (
k  e.  NN0  /\  z  e.  S )
)  ->  ( (
( m  e.  NN0  |->  ( w  e.  S  |->  ( ( G `  w ) `  m
) ) ) `  k ) `  z
)  =  ( ( y  e.  S  |->  ( ( G `  y
) `  k )
) `  z )
)
173 fveq2 5541 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  z  ->  ( G `  y )  =  ( G `  z ) )
174173fveq1d 5543 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  z  ->  (
( G `  y
) `  k )  =  ( ( G `
 z ) `  k ) )
175 eqid 2296 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  S  |->  ( ( G `  y ) `
 k ) )  =  ( y  e.  S  |->  ( ( G `
 y ) `  k ) )
176 fvex 5555 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( G `  z ) `
 k )  e. 
_V
177174, 175, 176fvmpt 5618 . . . . . . . . 9  |-  ( z  e.  S  ->  (
( y  e.  S  |->  ( ( G `  y ) `  k
) ) `  z
)  =  ( ( G `  z ) `
 k ) )
178177ad2antll 709 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  0  <_  M )  /\  (
k  e.  NN0  /\  z  e.  S )
)  ->  ( (
y  e.  S  |->  ( ( G `  y
) `  k )
) `  z )  =  ( ( G `
 z ) `  k ) )
17919pserval2 19803 . . . . . . . . 9  |-  ( ( z  e.  CC  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( ( G `  z ) `  k
)  =  ( ( A `  k )  x.  ( z ^
k ) ) )
180134, 135, 179syl2anc 642 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  0  <_  M )  /\  (
k  e.  NN0  /\  z  e.  S )
)  ->  ( ( G `  z ) `  k )  =  ( ( A `  k
)  x.  ( z ^ k ) ) )
181172, 178, 1803eqtrd 2332 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  0  <_  M )  /\  (
k  e.  NN0  /\  z  e.  S )
)  ->  ( (
( m  e.  NN0  |->  ( w  e.  S  |->  ( ( G `  w ) `  m
) ) ) `  k ) `  z
)  =  ( ( A `  k )  x.  ( z ^
k ) ) )
182181fveq2d 5545 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  0  <_  M )  /\  (
k  e.  NN0  /\  z  e.  S )
)  ->  ( abs `  ( ( ( m  e.  NN0  |->  ( w  e.  S  |->  ( ( G `  w ) `
 m ) ) ) `  k ) `
 z ) )  =  ( abs `  (
( A `  k
)  x.  ( z ^ k ) ) ) )
183127adantr 451 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  0  <_  M )  /\  (
k  e.  NN0  /\  z  e.  S )
)  ->  ( G `  M ) : NN0 --> CC )
184 fvco3 5612 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( G `  M
) : NN0 --> CC  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( ( abs  o.  ( G `  M ) ) `  k )  =  ( abs `  (
( G `  M
) `  k )
) )
185183, 135, 184syl2anc 642 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  0  <_  M )  /\  (
k  e.  NN0  /\  z  e.  S )
)  ->  ( ( abs  o.  ( G `  M ) ) `  k )  =  ( abs `  ( ( G `  M ) `
 k ) ) )
18619pserval2 19803 . . . . . . . . 9  |-  ( ( M  e.  CC  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( ( G `  M ) `  k
)  =  ( ( A `  k )  x.  ( M ^
k ) ) )
187138, 135, 186syl2anc 642 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  0  <_  M )  /\  (
k  e.  NN0  /\  z  e.  S )
)  ->  ( ( G `  M ) `  k )  =  ( ( A `  k
)  x.  ( M ^ k ) ) )
188187fveq2d 5545 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  0  <_  M )  /\  (
k  e.  NN0  /\  z  e.  S )
)  ->  ( abs `  ( ( G `  M ) `  k
) )  =  ( abs `  ( ( A `  k )  x.  ( M ^
k ) ) ) )
189185, 188eqtrd 2328 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  0  <_  M )  /\  (
k  e.  NN0  /\  z  e.  S )
)  ->  ( ( abs  o.  ( G `  M ) ) `  k )  =  ( abs `  ( ( A `  k )  x.  ( M ^
k ) ) ) )
190168, 182, 1893brtr4d 4069 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  0  <_  M )  /\  (
k  e.  NN0  /\  z  e.  S )
)  ->  ( abs `  ( ( ( m  e.  NN0  |->  ( w  e.  S  |->  ( ( G `  w ) `
 m ) ) ) `  k ) `
 z ) )  <_  ( ( abs 
o.  ( G `  M ) ) `  k ) )
19167adantr 451 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  0  <_  M )  ->  M  <  R )
192160, 191eqbrtrd 4059 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  0  <_  M )  ->  ( abs `  M )  <  R
)
193 id 19 . . . . . . . . 9  |-  ( i  =  m  ->  i  =  m )
194 fveq2 5541 . . . . . . . . . 10  |-  ( i  =  m  ->  (
( G `  M
) `  i )  =  ( ( G `
 M ) `  m ) )
195194fveq2d 5545 . . . . . . . . 9  |-  ( i  =  m  ->  ( abs `  ( ( G `
 M ) `  i ) )  =  ( abs `  (
( G `  M
) `  m )
) )
196193, 195oveq12d 5892 . . . . . . . 8  |-  ( i  =  m  ->  (
i  x.  ( abs `  ( ( G `  M ) `  i
) ) )  =  ( m  x.  ( abs `  ( ( G `
 M ) `  m ) ) ) )
197196cbvmptv 4127 . . . . . . 7  |-  ( i  e.  NN0  |->  ( i  x.  ( abs `  (
( G `  M
) `  i )
) ) )  =  ( m  e.  NN0  |->  ( m  x.  ( abs `  ( ( G `
 M ) `  m ) ) ) )
19819, 124, 47, 126, 192, 197radcnvlt1 19810 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  0  <_  M )  ->  (  seq  0 (  +  , 
( i  e.  NN0  |->  ( i  x.  ( abs `  ( ( G `
 M ) `  i ) ) ) ) )  e.  dom  ~~>  /\ 
seq  0 (  +  ,  ( abs  o.  ( G `  M ) ) )  e.  dom  ~~>  ) )
199198simprd 449 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  0  <_  M )  ->  seq  0
(  +  ,  ( abs  o.  ( G `
 M ) ) )  e.  dom  ~~>  )
20015, 103, 104, 118, 123, 131, 190, 199mtest 19797 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  0  <_  M )  ->  seq  0
(  o F  +  ,  ( m  e. 
NN0  |->  ( w  e.  S  |->  ( ( G `
 w ) `  m ) ) ) )  e.  dom  ( ~~> u `  S )
)
201102, 200eqeltrd 2370 . . 3  |-  ( (
ph  /\  0  <_  M )  ->  H  e.  dom  ( ~~> u `  S
) )
202 eldmg 4890 . . . . . 6  |-  ( H  e.  dom  ( ~~> u `  S )  ->  ( H  e.  dom  ( ~~> u `  S )  <->  E. f  H ( ~~> u `  S ) f ) )
203202ibi 232 . . . . 5  |-  ( H  e.  dom  ( ~~> u `  S )  ->  E. f  H ( ~~> u `  S ) f )
204 simpr 447 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  H ( ~~> u `  S )
f )  ->  H
( ~~> u `  S
) f )
205 ulmcl 19776 . . . . . . . . . . 11  |-  ( H ( ~~> u `  S
) f  ->  f : S --> CC )
206205adantl 452 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  H ( ~~> u `  S )
f )  ->  f : S --> CC )
207206feqmptd 5591 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  H ( ~~> u `  S )
f )  ->  f  =  ( y  e.  S  |->  ( f `  y ) ) )
20816a1i 10 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  H
( ~~> u `  S
) f )  /\  y  e.  S )  ->  0  e.  ZZ )
209 eqidd 2297 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  H ( ~~> u `  S ) f )  /\  y  e.  S
)  /\  j  e.  NN0 )  ->  ( ( G `  y ) `  j )  =  ( ( G `  y
) `  j )
)
21028adantlr 695 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  H
( ~~> u `  S
) f )  /\  y  e.  S )  ->  ( G `  y
) : NN0 --> CC )
211210, 29sylan 457 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  H ( ~~> u `  S ) f )  /\  y  e.  S
)  /\  j  e.  NN0 )  ->  ( ( G `  y ) `  j )  e.  CC )
21245ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  H
( ~~> u `  S
) f )  /\  y  e.  S )  ->  H : NN0 --> ( CC 
^m  S ) )
213 simpr 447 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  H
( ~~> u `  S
) f )  /\  y  e.  S )  ->  y  e.  S )
214 seqex 11064 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  seq  0
(  +  ,  ( G `  y ) )  e.  _V
215214a1i 10 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  H
( ~~> u `  S
) f )  /\  y  e.  S )  ->  seq  0 (  +  ,  ( G `  y ) )  e. 
_V )
216 simpr 447 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  H ( ~~> u `  S ) f )  /\  y  e.  S
)  /\  i  e.  NN0 )  ->  i  e.  NN0 )
21739ad3antrrr 710 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  H ( ~~> u `  S ) f )  /\  y  e.  S
)  /\  i  e.  NN0 )  ->  S  e.  _V )
218 mptexg 5761 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( S  e.  _V  ->  (
y  e.  S  |->  (  seq  0 (  +  ,  ( G `  y ) ) `  i ) )  e. 
_V )
219217, 218syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  H ( ~~> u `  S ) f )  /\  y  e.  S
)  /\  i  e.  NN0 )  ->  ( y  e.  S  |->  (  seq  0 (  +  , 
( G `  y
) ) `  i
) )  e.  _V )
22044fvmpt2 5624 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( i  e.  NN0  /\  ( y  e.  S  |->  (  seq  0 (  +  ,  ( G `
 y ) ) `
 i ) )  e.  _V )  -> 
( H `  i
)  =  ( y  e.  S  |->  (  seq  0 (  +  , 
( G `  y
) ) `  i
) ) )
221216, 219, 220syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  H ( ~~> u `  S ) f )  /\  y  e.  S
)  /\  i  e.  NN0 )  ->  ( H `  i )  =  ( y  e.  S  |->  (  seq  0 (  +  ,  ( G `  y ) ) `  i ) ) )
222221fveq1d 5543 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  H ( ~~> u `  S ) f )  /\  y  e.  S
)  /\  i  e.  NN0 )  ->  ( ( H `  i ) `  y )  =  ( ( y  e.  S  |->  (  seq  0 (  +  ,  ( G `
 y ) ) `
 i ) ) `
 y ) )
223 simplr 731 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  H ( ~~> u `  S ) f )  /\  y  e.  S
)  /\  i  e.  NN0 )  ->  y  e.  S )
224 fvex 5555 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  (  seq  0 (  +  , 
( G `  y
) ) `  i
)  e.  _V
22535fvmpt2 5624 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( y  e.  S  /\  (  seq  0 (  +  ,  ( G `  y ) ) `  i )  e.  _V )  ->  ( ( y  e.  S  |->  (  seq  0 (  +  , 
( G `  y
) ) `  i
) ) `  y
)  =  (  seq  0 (  +  , 
( G `  y
) ) `  i
) )
226223, 224, 225sylancl 643 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  H ( ~~> u `  S ) f )  /\  y  e.  S
)  /\  i  e.  NN0 )  ->  ( (
y  e.  S  |->  (  seq  0 (  +  ,  ( G `  y ) ) `  i ) ) `  y )  =  (  seq  0 (  +  ,  ( G `  y ) ) `  i ) )
227222, 226eqtrd 2328 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  H ( ~~> u `  S ) f )  /\  y  e.  S
)  /\  i  e.  NN0 )  ->  ( ( H `  i ) `  y )  =  (  seq  0 (  +  ,  ( G `  y ) ) `  i ) )
228 simplr 731 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  H
( ~~> u `  S
) f )  /\  y  e.  S )  ->  H ( ~~> u `  S ) f )
22915, 208, 212, 213, 215, 227, 228ulmclm 19782 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  H
( ~~> u `  S
) f )  /\  y  e.  S )  ->  seq  0 (  +  ,  ( G `  y ) )  ~~>  ( f `
 y ) )
23015, 208, 209, 211, 229isumclim 12236 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  H
( ~~> u `  S
) f )  /\  y  e.  S )  -> 
sum_ j  e.  NN0  ( ( G `  y ) `  j
)  =  ( f `
 y ) )
231230mpteq2dva 4122 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  H ( ~~> u `  S )
f )  ->  (
y  e.  S  |->  sum_ j  e.  NN0  (
( G `  y
) `  j )
)  =  ( y  e.  S  |->  ( f `
 y ) ) )
23272, 231syl5eq 2340 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  H ( ~~> u `  S )
f )  ->  F  =  ( y  e.  S  |->  ( f `  y ) ) )
233207, 232eqtr4d 2331 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  H ( ~~> u `  S )
f )  ->  f  =  F )
234204, 233breqtrd 4063 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  H ( ~~> u `  S )
f )  ->  H
( ~~> u `  S
) F )
235234ex 423 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( H ( ~~> u `  S ) f  ->  H ( ~~> u `  S ) F ) )
236235exlimdv 1626 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( E. f  H ( ~~> u `  S
) f  ->  H
( ~~> u `  S
) F ) )
237203, 236syl5 28 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( H  e.  dom  (
~~> u `  S )  ->  H ( ~~> u `  S ) F ) )
238237imp 418 . . 3  |-  ( (
ph  /\  H  e.  dom  ( ~~> u `  S
) )  ->  H
( ~~> u `  S
) F )
239201, 238syldan 456 . 2  |-  ( (
ph  /\  0  <_  M )  ->  H ( ~~> u `  S ) F )
24054a1i 10 . 2  |-  ( ph  ->  0  e.  RR )
24175, 239, 4, 240ltlecasei 8944 1  |-  ( ph  ->  H ( ~~> u `  S ) F )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934   E.wex 1531    = wceq 1632    e. wcel 1696   A.wral 2556   {crab 2560   _Vcvv 2801    C_ wss 3165   (/)c0 3468   class class class wbr 4039    e. cmpt 4093   `'ccnv 4704   dom cdm 4705   "cima 4708    o. ccom 4709    Fn wfn 5266   -->wf 5267   ` cfv 5271  (class class class)co 5874    o Fcof 6092    ^m cmap 6788   supcsup 7209   CCcc 8751   RRcr 8752   0cc0 8753    + caddc 8756    x. cmul 8758    +oocpnf 8880   RR*cxr 8882    < clt 8883    <_ cle 8884   NN0cn0 9981   ZZcz 10040   ZZ>=cuz 10246   [,]cicc 10675   ...cfz 10798    seq cseq 11062   ^cexp 11120   abscabs 11735    ~~> cli 11974   sum_csu 12174   ~~> uculm 19771
This theorem is referenced by:  psercn2  19815  pserdvlem2  19820
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-inf2 7358  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830  ax-pre-sup 8831  ax-addf 8832  ax-mulf 8833
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-int 3879  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-se 4369  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-isom 5280  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-of 6094  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-1o 6495  df-oadd 6499  df-er 6676  df-map 6790  df-pm 6791  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-fin 6883  df-sup 7210  df-oi 7241  df-card 7588  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-div 9440  df-nn 9763  df-2 9820  df-3 9821  df-n0 9982  df-z 10041  df-uz 10247  df-rp 10371  df-ico 10678  df-icc 10679  df-fz 10799  df-fzo 10887  df-fl 10941  df-seq 11063  df-exp 11121  df-hash 11354  df-cj 11600  df-re 11601  df-im 11602  df-sqr 11736  df-abs 11737  df-limsup 11961  df-clim 11978  df-rlim 11979  df-sum 12175  df-ulm 19772
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