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Theorem pserulm 20198
Description: If  S is a region contained in a circle of radius  M  <  R, then the sequence of partial sums of the infinite series converges uniformly on  S. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
pserf.g  |-  G  =  ( x  e.  CC  |->  ( n  e.  NN0  |->  ( ( A `  n )  x.  (
x ^ n ) ) ) )
pserf.f  |-  F  =  ( y  e.  S  |-> 
sum_ j  e.  NN0  ( ( G `  y ) `  j
) )
pserf.a  |-  ( ph  ->  A : NN0 --> CC )
pserf.r  |-  R  =  sup ( { r  e.  RR  |  seq  0 (  +  , 
( G `  r
) )  e.  dom  ~~>  } ,  RR* ,  <  )
pserulm.h  |-  H  =  ( i  e.  NN0  |->  ( y  e.  S  |->  (  seq  0 (  +  ,  ( G `
 y ) ) `
 i ) ) )
pserulm.m  |-  ( ph  ->  M  e.  RR )
pserulm.l  |-  ( ph  ->  M  <  R )
pserulm.y  |-  ( ph  ->  S  C_  ( `' abs " ( 0 [,] M ) ) )
Assertion
Ref Expression
pserulm  |-  ( ph  ->  H ( ~~> u `  S ) F )
Distinct variable groups:    j, n, r, x, y, A    i,
j, y, H    i, M, j, y    x, i, r    i, G, j, r, y    S, i, j, y    ph, i,
j, y
Allowed substitution hints:    ph( x, n, r)    A( i)    R( x, y, i, j, n, r)    S( x, n, r)    F( x, y, i, j, n, r)    G( x, n)    H( x, n, r)    M( x, n, r)

Proof of Theorem pserulm
Dummy variables  k  m  w  z  f are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pserulm.y . . . . . 6  |-  ( ph  ->  S  C_  ( `' abs " ( 0 [,] M ) ) )
21adantr 452 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  M  <  0 )  ->  S  C_  ( `' abs " (
0 [,] M ) ) )
3 0xr 9057 . . . . . . . . 9  |-  0  e.  RR*
4 pserulm.m . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  M  e.  RR )
54rexrd 9060 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  M  e.  RR* )
6 icc0 10889 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 0  e.  RR*  /\  M  e.  RR* )  ->  (
( 0 [,] M
)  =  (/)  <->  M  <  0 ) )
73, 5, 6sylancr 645 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( 0 [,] M )  =  (/)  <->  M  <  0 ) )
87biimpar 472 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  M  <  0 )  ->  (
0 [,] M )  =  (/) )
98imaeq2d 5136 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  M  <  0 )  ->  ( `' abs " ( 0 [,] M ) )  =  ( `' abs "
(/) ) )
10 ima0 5154 . . . . . 6  |-  ( `' abs " (/) )  =  (/)
119, 10syl6eq 2428 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  M  <  0 )  ->  ( `' abs " ( 0 [,] M ) )  =  (/) )
122, 11sseqtrd 3320 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  M  <  0 )  ->  S  C_  (/) )
13 ss0 3594 . . . 4  |-  ( S 
C_  (/)  ->  S  =  (/) )
1412, 13syl 16 . . 3  |-  ( (
ph  /\  M  <  0 )  ->  S  =  (/) )
15 nn0uz 10445 . . . 4  |-  NN0  =  ( ZZ>= `  0 )
16 0z 10218 . . . . 5  |-  0  e.  ZZ
1716a1i 11 . . . 4  |-  ( ph  ->  0  e.  ZZ )
1816a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  y  e.  S )  ->  0  e.  ZZ )
19 pserf.g . . . . . . . . . . . 12  |-  G  =  ( x  e.  CC  |->  ( n  e.  NN0  |->  ( ( A `  n )  x.  (
x ^ n ) ) ) )
20 pserf.a . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  A : NN0 --> CC )
2120adantr 452 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  y  e.  S )  ->  A : NN0 --> CC )
22 cnvimass 5157 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( `' abs " ( 0 [,] M ) ) 
C_  dom  abs
23 absf 12061 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  abs : CC
--> RR
2423fdmi 5529 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  dom  abs  =  CC
2522, 24sseqtri 3316 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( `' abs " ( 0 [,] M ) ) 
C_  CC
261, 25syl6ss 3296 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  S  C_  CC )
2726sselda 3284 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  y  e.  S )  ->  y  e.  CC )
2819, 21, 27psergf 20188 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  y  e.  S )  ->  ( G `  y ) : NN0 --> CC )
2928ffvelrnda 5802 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  S )  /\  j  e.  NN0 )  ->  (
( G `  y
) `  j )  e.  CC )
3015, 18, 29serf 11271 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  y  e.  S )  ->  seq  0 (  +  , 
( G `  y
) ) : NN0 --> CC )
3130ffvelrnda 5802 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  S )  /\  i  e.  NN0 )  ->  (  seq  0 (  +  , 
( G `  y
) ) `  i
)  e.  CC )
3231an32s 780 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  NN0 )  /\  y  e.  S )  ->  (  seq  0 (  +  , 
( G `  y
) ) `  i
)  e.  CC )
33 eqid 2380 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  S  |->  (  seq  0 (  +  , 
( G `  y
) ) `  i
) )  =  ( y  e.  S  |->  (  seq  0 (  +  ,  ( G `  y ) ) `  i ) )
3432, 33fmptd 5825 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  i  e.  NN0 )  ->  ( y  e.  S  |->  (  seq  0 (  +  , 
( G `  y
) ) `  i
) ) : S --> CC )
35 cnex 8997 . . . . . . 7  |-  CC  e.  _V
36 ssexg 4283 . . . . . . . . 9  |-  ( ( S  C_  CC  /\  CC  e.  _V )  ->  S  e.  _V )
3726, 35, 36sylancl 644 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  S  e.  _V )
3837adantr 452 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  i  e.  NN0 )  ->  S  e.  _V )
39 elmapg 6960 . . . . . . 7  |-  ( ( CC  e.  _V  /\  S  e.  _V )  ->  ( ( y  e.  S  |->  (  seq  0
(  +  ,  ( G `  y ) ) `  i ) )  e.  ( CC 
^m  S )  <->  ( y  e.  S  |->  (  seq  0 (  +  , 
( G `  y
) ) `  i
) ) : S --> CC ) )
4035, 38, 39sylancr 645 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  i  e.  NN0 )  ->  ( (
y  e.  S  |->  (  seq  0 (  +  ,  ( G `  y ) ) `  i ) )  e.  ( CC  ^m  S
)  <->  ( y  e.  S  |->  (  seq  0
(  +  ,  ( G `  y ) ) `  i ) ) : S --> CC ) )
4134, 40mpbird 224 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  i  e.  NN0 )  ->  ( y  e.  S  |->  (  seq  0 (  +  , 
( G `  y
) ) `  i
) )  e.  ( CC  ^m  S ) )
42 pserulm.h . . . . 5  |-  H  =  ( i  e.  NN0  |->  ( y  e.  S  |->  (  seq  0 (  +  ,  ( G `
 y ) ) `
 i ) ) )
4341, 42fmptd 5825 . . . 4  |-  ( ph  ->  H : NN0 --> ( CC 
^m  S ) )
44 eqidd 2381 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  S )  /\  j  e.  NN0 )  ->  (
( G `  y
) `  j )  =  ( ( G `
 y ) `  j ) )
45 pserf.r . . . . . . 7  |-  R  =  sup ( { r  e.  RR  |  seq  0 (  +  , 
( G `  r
) )  e.  dom  ~~>  } ,  RR* ,  <  )
461sselda 3284 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  y  e.  S )  ->  y  e.  ( `' abs " (
0 [,] M ) ) )
47 ffn 5524 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( abs
: CC --> RR  ->  abs 
Fn  CC )
48 elpreima 5782 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( abs 
Fn  CC  ->  ( y  e.  ( `' abs " ( 0 [,] M
) )  <->  ( y  e.  CC  /\  ( abs `  y )  e.  ( 0 [,] M ) ) ) )
4923, 47, 48mp2b 10 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  e.  ( `' abs " ( 0 [,] M
) )  <->  ( y  e.  CC  /\  ( abs `  y )  e.  ( 0 [,] M ) ) )
5046, 49sylib 189 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  y  e.  S )  ->  (
y  e.  CC  /\  ( abs `  y )  e.  ( 0 [,] M ) ) )
5150simprd 450 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  y  e.  S )  ->  ( abs `  y )  e.  ( 0 [,] M
) )
52 0re 9017 . . . . . . . . . . . 12  |-  0  e.  RR
534adantr 452 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  y  e.  S )  ->  M  e.  RR )
54 elicc2 10900 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  M  e.  RR )  ->  ( ( abs `  y
)  e.  ( 0 [,] M )  <->  ( ( abs `  y )  e.  RR  /\  0  <_ 
( abs `  y
)  /\  ( abs `  y )  <_  M
) ) )
5552, 53, 54sylancr 645 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  y  e.  S )  ->  (
( abs `  y
)  e.  ( 0 [,] M )  <->  ( ( abs `  y )  e.  RR  /\  0  <_ 
( abs `  y
)  /\  ( abs `  y )  <_  M
) ) )
5651, 55mpbid 202 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  y  e.  S )  ->  (
( abs `  y
)  e.  RR  /\  0  <_  ( abs `  y
)  /\  ( abs `  y )  <_  M
) )
5756simp1d 969 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  y  e.  S )  ->  ( abs `  y )  e.  RR )
5857rexrd 9060 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  y  e.  S )  ->  ( abs `  y )  e. 
RR* )
595adantr 452 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  y  e.  S )  ->  M  e.  RR* )
60 iccssxr 10918 . . . . . . . . . 10  |-  ( 0 [,]  +oo )  C_  RR*
6119, 20, 45radcnvcl 20193 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  R  e.  ( 0 [,]  +oo ) )
6260, 61sseldi 3282 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  R  e.  RR* )
6362adantr 452 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  y  e.  S )  ->  R  e.  RR* )
6456simp3d 971 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  y  e.  S )  ->  ( abs `  y )  <_  M )
65 pserulm.l . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  M  <  R )
6665adantr 452 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  y  e.  S )  ->  M  <  R )
6758, 59, 63, 64, 66xrlelttrd 10675 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  y  e.  S )  ->  ( abs `  y )  < 
R )
6819, 21, 45, 27, 67radcnvlt2 20195 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  y  e.  S )  ->  seq  0 (  +  , 
( G `  y
) )  e.  dom  ~~>  )
6915, 18, 44, 29, 68isumcl 12465 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  y  e.  S )  ->  sum_ j  e.  NN0  ( ( G `
 y ) `  j )  e.  CC )
70 pserf.f . . . . 5  |-  F  =  ( y  e.  S  |-> 
sum_ j  e.  NN0  ( ( G `  y ) `  j
) )
7169, 70fmptd 5825 . . . 4  |-  ( ph  ->  F : S --> CC )
7215, 17, 43, 71ulm0 20167 . . 3  |-  ( (
ph  /\  S  =  (/) )  ->  H ( ~~> u `  S ) F )
7314, 72syldan 457 . 2  |-  ( (
ph  /\  M  <  0 )  ->  H
( ~~> u `  S
) F )
74 simpr 448 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  i  e.  NN0 )  ->  i  e.  NN0 )
7574, 15syl6eleq 2470 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  i  e.  NN0 )  ->  i  e.  ( ZZ>= `  0 )
)
76 elfznn0 11008 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  e.  ( 0 ... i )  ->  k  e.  NN0 )
7776adantl 453 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  NN0 )  /\  k  e.  ( 0 ... i
) )  ->  k  e.  NN0 )
7837ad2antrr 707 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  NN0 )  /\  k  e.  ( 0 ... i
) )  ->  S  e.  _V )
79 mptexg 5897 . . . . . . . . . . 11  |-  ( S  e.  _V  ->  (
y  e.  S  |->  ( ( G `  y
) `  k )
)  e.  _V )
8078, 79syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  NN0 )  /\  k  e.  ( 0 ... i
) )  ->  (
y  e.  S  |->  ( ( G `  y
) `  k )
)  e.  _V )
81 fveq2 5661 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( w  =  y  ->  ( G `  w )  =  ( G `  y ) )
8281fveq1d 5663 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( w  =  y  ->  (
( G `  w
) `  m )  =  ( ( G `
 y ) `  m ) )
8382cbvmptv 4234 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( w  e.  S  |->  ( ( G `  w ) `
 m ) )  =  ( y  e.  S  |->  ( ( G `
 y ) `  m ) )
84 fveq2 5661 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( m  =  k  ->  (
( G `  y
) `  m )  =  ( ( G `
 y ) `  k ) )
8584mpteq2dv 4230 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( m  =  k  ->  (
y  e.  S  |->  ( ( G `  y
) `  m )
)  =  ( y  e.  S  |->  ( ( G `  y ) `
 k ) ) )
8683, 85syl5eq 2424 . . . . . . . . . . 11  |-  ( m  =  k  ->  (
w  e.  S  |->  ( ( G `  w
) `  m )
)  =  ( y  e.  S  |->  ( ( G `  y ) `
 k ) ) )
87 eqid 2380 . . . . . . . . . . 11  |-  ( m  e.  NN0  |->  ( w  e.  S  |->  ( ( G `  w ) `
 m ) ) )  =  ( m  e.  NN0  |->  ( w  e.  S  |->  ( ( G `  w ) `
 m ) ) )
8886, 87fvmptg 5736 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( k  e.  NN0  /\  ( y  e.  S  |->  ( ( G `  y ) `  k
) )  e.  _V )  ->  ( ( m  e.  NN0  |->  ( w  e.  S  |->  ( ( G `  w ) `
 m ) ) ) `  k )  =  ( y  e.  S  |->  ( ( G `
 y ) `  k ) ) )
8977, 80, 88syl2anc 643 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  NN0 )  /\  k  e.  ( 0 ... i
) )  ->  (
( m  e.  NN0  |->  ( w  e.  S  |->  ( ( G `  w ) `  m
) ) ) `  k )  =  ( y  e.  S  |->  ( ( G `  y
) `  k )
) )
9038, 75, 89seqof 11300 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  i  e.  NN0 )  ->  (  seq  0 (  o F  +  ,  ( m  e.  NN0  |->  ( w  e.  S  |->  ( ( G `  w ) `
 m ) ) ) ) `  i
)  =  ( y  e.  S  |->  (  seq  0 (  +  , 
( G `  y
) ) `  i
) ) )
9190eqcomd 2385 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  i  e.  NN0 )  ->  ( y  e.  S  |->  (  seq  0 (  +  , 
( G `  y
) ) `  i
) )  =  (  seq  0 (  o F  +  ,  ( m  e.  NN0  |->  ( w  e.  S  |->  ( ( G `  w ) `
 m ) ) ) ) `  i
) )
9291mpteq2dva 4229 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( i  e.  NN0  |->  ( y  e.  S  |->  (  seq  0 (  +  ,  ( G `
 y ) ) `
 i ) ) )  =  ( i  e.  NN0  |->  (  seq  0 (  o F  +  ,  ( m  e.  NN0  |->  ( w  e.  S  |->  ( ( G `  w ) `
 m ) ) ) ) `  i
) ) )
93 seqfn 11255 . . . . . . . . 9  |-  ( 0  e.  ZZ  ->  seq  0 (  o F  +  ,  ( m  e.  NN0  |->  ( w  e.  S  |->  ( ( G `  w ) `
 m ) ) ) )  Fn  ( ZZ>=
`  0 ) )
9416, 93ax-mp 8 . . . . . . . 8  |-  seq  0
(  o F  +  ,  ( m  e. 
NN0  |->  ( w  e.  S  |->  ( ( G `
 w ) `  m ) ) ) )  Fn  ( ZZ>= ` 
0 )
9515fneq2i 5473 . . . . . . . 8  |-  (  seq  0 (  o F  +  ,  ( m  e.  NN0  |->  ( w  e.  S  |->  ( ( G `  w ) `
 m ) ) ) )  Fn  NN0  <->  seq  0 (  o F  +  ,  ( m  e.  NN0  |->  ( w  e.  S  |->  ( ( G `  w ) `
 m ) ) ) )  Fn  ( ZZ>=
`  0 ) )
9694, 95mpbir 201 . . . . . . 7  |-  seq  0
(  o F  +  ,  ( m  e. 
NN0  |->  ( w  e.  S  |->  ( ( G `
 w ) `  m ) ) ) )  Fn  NN0
97 dffn5 5704 . . . . . . 7  |-  (  seq  0 (  o F  +  ,  ( m  e.  NN0  |->  ( w  e.  S  |->  ( ( G `  w ) `
 m ) ) ) )  Fn  NN0  <->  seq  0 (  o F  +  ,  ( m  e.  NN0  |->  ( w  e.  S  |->  ( ( G `  w ) `
 m ) ) ) )  =  ( i  e.  NN0  |->  (  seq  0 (  o F  +  ,  ( m  e.  NN0  |->  ( w  e.  S  |->  ( ( G `  w ) `
 m ) ) ) ) `  i
) ) )
9896, 97mpbi 200 . . . . . 6  |-  seq  0
(  o F  +  ,  ( m  e. 
NN0  |->  ( w  e.  S  |->  ( ( G `
 w ) `  m ) ) ) )  =  ( i  e.  NN0  |->  (  seq  0 (  o F  +  ,  ( m  e.  NN0  |->  ( w  e.  S  |->  ( ( G `  w ) `
 m ) ) ) ) `  i
) )
9992, 42, 983eqtr4g 2437 . . . . 5  |-  ( ph  ->  H  =  seq  0
(  o F  +  ,  ( m  e. 
NN0  |->  ( w  e.  S  |->  ( ( G `
 w ) `  m ) ) ) ) )
10099adantr 452 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  0  <_  M )  ->  H  =  seq  0 (  o F  +  ,  ( m  e.  NN0  |->  ( w  e.  S  |->  ( ( G `  w ) `
 m ) ) ) ) )
10116a1i 11 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  0  <_  M )  ->  0  e.  ZZ )
10237adantr 452 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  0  <_  M )  ->  S  e.  _V )
10320adantr 452 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  w  e.  S )  ->  A : NN0 --> CC )
10426sselda 3284 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  w  e.  S )  ->  w  e.  CC )
10519, 103, 104psergf 20188 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  w  e.  S )  ->  ( G `  w ) : NN0 --> CC )
106105ffvelrnda 5802 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  w  e.  S )  /\  m  e.  NN0 )  ->  (
( G `  w
) `  m )  e.  CC )
107106an32s 780 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN0 )  /\  w  e.  S )  ->  (
( G `  w
) `  m )  e.  CC )
108 eqid 2380 . . . . . . . . 9  |-  ( w  e.  S  |->  ( ( G `  w ) `
 m ) )  =  ( w  e.  S  |->  ( ( G `
 w ) `  m ) )
109107, 108fmptd 5825 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN0 )  ->  ( w  e.  S  |->  ( ( G `  w ) `
 m ) ) : S --> CC )
11037adantr 452 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN0 )  ->  S  e.  _V )
111 elmapg 6960 . . . . . . . . 9  |-  ( ( CC  e.  _V  /\  S  e.  _V )  ->  ( ( w  e.  S  |->  ( ( G `
 w ) `  m ) )  e.  ( CC  ^m  S
)  <->  ( w  e.  S  |->  ( ( G `
 w ) `  m ) ) : S --> CC ) )
11235, 110, 111sylancr 645 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN0 )  ->  ( (
w  e.  S  |->  ( ( G `  w
) `  m )
)  e.  ( CC 
^m  S )  <->  ( w  e.  S  |->  ( ( G `  w ) `
 m ) ) : S --> CC ) )
113109, 112mpbird 224 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN0 )  ->  ( w  e.  S  |->  ( ( G `  w ) `
 m ) )  e.  ( CC  ^m  S ) )
114113, 87fmptd 5825 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( m  e.  NN0  |->  ( w  e.  S  |->  ( ( G `  w ) `  m
) ) ) : NN0 --> ( CC  ^m  S ) )
115114adantr 452 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  0  <_  M )  ->  ( m  e.  NN0  |->  ( w  e.  S  |->  ( ( G `
 w ) `  m ) ) ) : NN0 --> ( CC 
^m  S ) )
116 fex 5901 . . . . . . . 8  |-  ( ( abs : CC --> RR  /\  CC  e.  _V )  ->  abs  e.  _V )
11723, 35, 116mp2an 654 . . . . . . 7  |-  abs  e.  _V
118 fvex 5675 . . . . . . 7  |-  ( G `
 M )  e. 
_V
119117, 118coex 5346 . . . . . 6  |-  ( abs 
o.  ( G `  M ) )  e. 
_V
120119a1i 11 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  0  <_  M )  ->  ( abs  o.  ( G `  M
) )  e.  _V )
12120adantr 452 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  0  <_  M )  ->  A : NN0
--> CC )
1224adantr 452 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  0  <_  M )  ->  M  e.  RR )
123122recnd 9040 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  0  <_  M )  ->  M  e.  CC )
12419, 121, 123psergf 20188 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  0  <_  M )  ->  ( G `  M ) : NN0 --> CC )
125 fco 5533 . . . . . . 7  |-  ( ( abs : CC --> RR  /\  ( G `  M ) : NN0 --> CC )  ->  ( abs  o.  ( G `  M ) ) : NN0 --> RR )
12623, 124, 125sylancr 645 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  0  <_  M )  ->  ( abs  o.  ( G `  M
) ) : NN0 --> RR )
127126ffvelrnda 5802 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  0  <_  M )  /\  k  e.  NN0 )  ->  (
( abs  o.  ( G `  M )
) `  k )  e.  RR )
12826ad2antrr 707 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  0  <_  M )  /\  (
k  e.  NN0  /\  z  e.  S )
)  ->  S  C_  CC )
129 simprr 734 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  0  <_  M )  /\  (
k  e.  NN0  /\  z  e.  S )
)  ->  z  e.  S )
130128, 129sseldd 3285 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  0  <_  M )  /\  (
k  e.  NN0  /\  z  e.  S )
)  ->  z  e.  CC )
131 simprl 733 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  0  <_  M )  /\  (
k  e.  NN0  /\  z  e.  S )
)  ->  k  e.  NN0 )
132130, 131expcld 11443 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  0  <_  M )  /\  (
k  e.  NN0  /\  z  e.  S )
)  ->  ( z ^ k )  e.  CC )
133132abscld 12158 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  0  <_  M )  /\  (
k  e.  NN0  /\  z  e.  S )
)  ->  ( abs `  ( z ^ k
) )  e.  RR )
134123adantr 452 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  0  <_  M )  /\  (
k  e.  NN0  /\  z  e.  S )
)  ->  M  e.  CC )
135134, 131expcld 11443 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  0  <_  M )  /\  (
k  e.  NN0  /\  z  e.  S )
)  ->  ( M ^ k )  e.  CC )
136135abscld 12158 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  0  <_  M )  /\  (
k  e.  NN0  /\  z  e.  S )
)  ->  ( abs `  ( M ^ k
) )  e.  RR )
13720ad2antrr 707 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  0  <_  M )  /\  (
k  e.  NN0  /\  z  e.  S )
)  ->  A : NN0
--> CC )
138137, 131ffvelrnd 5803 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  0  <_  M )  /\  (
k  e.  NN0  /\  z  e.  S )
)  ->  ( A `  k )  e.  CC )
139138abscld 12158 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  0  <_  M )  /\  (
k  e.  NN0  /\  z  e.  S )
)  ->  ( abs `  ( A `  k
) )  e.  RR )
140138absge0d 12166 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  0  <_  M )  /\  (
k  e.  NN0  /\  z  e.  S )
)  ->  0  <_  ( abs `  ( A `
 k ) ) )
141130abscld 12158 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  0  <_  M )  /\  (
k  e.  NN0  /\  z  e.  S )
)  ->  ( abs `  z )  e.  RR )
1424ad2antrr 707 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  0  <_  M )  /\  (
k  e.  NN0  /\  z  e.  S )
)  ->  M  e.  RR )
143130absge0d 12166 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  0  <_  M )  /\  (
k  e.  NN0  /\  z  e.  S )
)  ->  0  <_  ( abs `  z ) )
14464ralrimiva 2725 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  A. y  e.  S  ( abs `  y )  <_  M )
145144ad2antrr 707 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  0  <_  M )  /\  (
k  e.  NN0  /\  z  e.  S )
)  ->  A. y  e.  S  ( abs `  y )  <_  M
)
146 fveq2 5661 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  =  z  ->  ( abs `  y )  =  ( abs `  z
) )
147146breq1d 4156 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  =  z  ->  (
( abs `  y
)  <_  M  <->  ( abs `  z )  <_  M
) )
148147rspcv 2984 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  e.  S  ->  ( A. y  e.  S  ( abs `  y )  <_  M  ->  ( abs `  z )  <_  M ) )
149129, 145, 148sylc 58 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  0  <_  M )  /\  (
k  e.  NN0  /\  z  e.  S )
)  ->  ( abs `  z )  <_  M
)
150 leexp1a 11358 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( abs `  z
)  e.  RR  /\  M  e.  RR  /\  k  e.  NN0 )  /\  (
0  <_  ( abs `  z )  /\  ( abs `  z )  <_  M ) )  -> 
( ( abs `  z
) ^ k )  <_  ( M ^
k ) )
151141, 142, 131, 143, 149, 150syl32anc 1192 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  0  <_  M )  /\  (
k  e.  NN0  /\  z  e.  S )
)  ->  ( ( abs `  z ) ^
k )  <_  ( M ^ k ) )
152130, 131absexpd 12174 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  0  <_  M )  /\  (
k  e.  NN0  /\  z  e.  S )
)  ->  ( abs `  ( z ^ k
) )  =  ( ( abs `  z
) ^ k ) )
153134, 131absexpd 12174 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  0  <_  M )  /\  (
k  e.  NN0  /\  z  e.  S )
)  ->  ( abs `  ( M ^ k
) )  =  ( ( abs `  M
) ^ k ) )
154 absid 12021 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( M  e.  RR  /\  0  <_  M )  -> 
( abs `  M
)  =  M )
1554, 154sylan 458 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  0  <_  M )  ->  ( abs `  M )  =  M )
156155adantr 452 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  0  <_  M )  /\  (
k  e.  NN0  /\  z  e.  S )
)  ->  ( abs `  M )  =  M )
157156oveq1d 6028 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  0  <_  M )  /\  (
k  e.  NN0  /\  z  e.  S )
)  ->  ( ( abs `  M ) ^
k )  =  ( M ^ k ) )
158153, 157eqtrd 2412 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  0  <_  M )  /\  (
k  e.  NN0  /\  z  e.  S )
)  ->  ( abs `  ( M ^ k
) )  =  ( M ^ k ) )
159151, 152, 1583brtr4d 4176 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  0  <_  M )  /\  (
k  e.  NN0  /\  z  e.  S )
)  ->  ( abs `  ( z ^ k
) )  <_  ( abs `  ( M ^
k ) ) )
160133, 136, 139, 140, 159lemul2ad 9876 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  0  <_  M )  /\  (
k  e.  NN0  /\  z  e.  S )
)  ->  ( ( abs `  ( A `  k ) )  x.  ( abs `  (
z ^ k ) ) )  <_  (
( abs `  ( A `  k )
)  x.  ( abs `  ( M ^ k
) ) ) )
161138, 132absmuld 12176 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  0  <_  M )  /\  (
k  e.  NN0  /\  z  e.  S )
)  ->  ( abs `  ( ( A `  k )  x.  (
z ^ k ) ) )  =  ( ( abs `  ( A `  k )
)  x.  ( abs `  ( z ^ k
) ) ) )
162138, 135absmuld 12176 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  0  <_  M )  /\  (
k  e.  NN0  /\  z  e.  S )
)  ->  ( abs `  ( ( A `  k )  x.  ( M ^ k ) ) )  =  ( ( abs `  ( A `
 k ) )  x.  ( abs `  ( M ^ k ) ) ) )
163160, 161, 1623brtr4d 4176 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  0  <_  M )  /\  (
k  e.  NN0  /\  z  e.  S )
)  ->  ( abs `  ( ( A `  k )  x.  (
z ^ k ) ) )  <_  ( abs `  ( ( A `
 k )  x.  ( M ^ k
) ) ) )
16437ad2antrr 707 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  0  <_  M )  /\  (
k  e.  NN0  /\  z  e.  S )
)  ->  S  e.  _V )
165164, 79syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  0  <_  M )  /\  (
k  e.  NN0  /\  z  e.  S )
)  ->  ( y  e.  S  |->  ( ( G `  y ) `
 k ) )  e.  _V )
166131, 165, 88syl2anc 643 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  0  <_  M )  /\  (
k  e.  NN0  /\  z  e.  S )
)  ->  ( (
m  e.  NN0  |->  ( w  e.  S  |->  ( ( G `  w ) `
 m ) ) ) `  k )  =  ( y  e.  S  |->  ( ( G `
 y ) `  k ) ) )
167166fveq1d 5663 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  0  <_  M )  /\  (
k  e.  NN0  /\  z  e.  S )
)  ->  ( (
( m  e.  NN0  |->  ( w  e.  S  |->  ( ( G `  w ) `  m
) ) ) `  k ) `  z
)  =  ( ( y  e.  S  |->  ( ( G `  y
) `  k )
) `  z )
)
168 fveq2 5661 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  z  ->  ( G `  y )  =  ( G `  z ) )
169168fveq1d 5663 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  z  ->  (
( G `  y
) `  k )  =  ( ( G `
 z ) `  k ) )
170 eqid 2380 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  S  |->  ( ( G `  y ) `
 k ) )  =  ( y  e.  S  |->  ( ( G `
 y ) `  k ) )
171 fvex 5675 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( G `  z ) `
 k )  e. 
_V
172169, 170, 171fvmpt 5738 . . . . . . . . 9  |-  ( z  e.  S  ->  (
( y  e.  S  |->  ( ( G `  y ) `  k
) ) `  z
)  =  ( ( G `  z ) `
 k ) )
173172ad2antll 710 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  0  <_  M )  /\  (
k  e.  NN0  /\  z  e.  S )
)  ->  ( (
y  e.  S  |->  ( ( G `  y
) `  k )
) `  z )  =  ( ( G `
 z ) `  k ) )
17419pserval2 20187 . . . . . . . . 9  |-  ( ( z  e.  CC  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( ( G `  z ) `  k
)  =  ( ( A `  k )  x.  ( z ^
k ) ) )
175130, 131, 174syl2anc 643 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  0  <_  M )  /\  (
k  e.  NN0  /\  z  e.  S )
)  ->  ( ( G `  z ) `  k )  =  ( ( A `  k
)  x.  ( z ^ k ) ) )
176167, 173, 1753eqtrd 2416 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  0  <_  M )  /\  (
k  e.  NN0  /\  z  e.  S )
)  ->  ( (
( m  e.  NN0  |->  ( w  e.  S  |->  ( ( G `  w ) `  m
) ) ) `  k ) `  z
)  =  ( ( A `  k )  x.  ( z ^
k ) ) )
177176fveq2d 5665 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  0  <_  M )  /\  (
k  e.  NN0  /\  z  e.  S )
)  ->  ( abs `  ( ( ( m  e.  NN0  |->  ( w  e.  S  |->  ( ( G `  w ) `
 m ) ) ) `  k ) `
 z ) )  =  ( abs `  (
( A `  k
)  x.  ( z ^ k ) ) ) )
178124adantr 452 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  0  <_  M )  /\  (
k  e.  NN0  /\  z  e.  S )
)  ->  ( G `  M ) : NN0 --> CC )
179 fvco3 5732 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( G `  M
) : NN0 --> CC  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( ( abs  o.  ( G `  M ) ) `  k )  =  ( abs `  (
( G `  M
) `  k )
) )
180178, 131, 179syl2anc 643 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  0  <_  M )  /\  (
k  e.  NN0  /\  z  e.  S )
)  ->  ( ( abs  o.  ( G `  M ) ) `  k )  =  ( abs `  ( ( G `  M ) `
 k ) ) )
18119pserval2 20187 . . . . . . . . 9  |-  ( ( M  e.  CC  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( ( G `  M ) `  k
)  =  ( ( A `  k )  x.  ( M ^
k ) ) )
182134, 131, 181syl2anc 643 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  0  <_  M )  /\  (
k  e.  NN0  /\  z  e.  S )
)  ->  ( ( G `  M ) `  k )  =  ( ( A `  k
)  x.  ( M ^ k ) ) )
183182fveq2d 5665 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  0  <_  M )  /\  (
k  e.  NN0  /\  z  e.  S )
)  ->  ( abs `  ( ( G `  M ) `  k
) )  =  ( abs `  ( ( A `  k )  x.  ( M ^
k ) ) ) )
184180, 183eqtrd 2412 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  0  <_  M )  /\  (
k  e.  NN0  /\  z  e.  S )
)  ->  ( ( abs  o.  ( G `  M ) ) `  k )  =  ( abs `  ( ( A `  k )  x.  ( M ^
k ) ) ) )
185163, 177, 1843brtr4d 4176 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  0  <_  M )  /\  (
k  e.  NN0  /\  z  e.  S )
)  ->  ( abs `  ( ( ( m  e.  NN0  |->  ( w  e.  S  |->  ( ( G `  w ) `
 m ) ) ) `  k ) `
 z ) )  <_  ( ( abs 
o.  ( G `  M ) ) `  k ) )
18665adantr 452 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  0  <_  M )  ->  M  <  R )
187155, 186eqbrtrd 4166 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  0  <_  M )  ->  ( abs `  M )  <  R
)
188 id 20 . . . . . . . . 9  |-  ( i  =  m  ->  i  =  m )
189 fveq2 5661 . . . . . . . . . 10  |-  ( i  =  m  ->  (
( G `  M
) `  i )  =  ( ( G `
 M ) `  m ) )
190189fveq2d 5665 . . . . . . . . 9  |-  ( i  =  m  ->  ( abs `  ( ( G `
 M ) `  i ) )  =  ( abs `  (
( G `  M
) `  m )
) )
191188, 190oveq12d 6031 . . . . . . . 8  |-  ( i  =  m  ->  (
i  x.  ( abs `  ( ( G `  M ) `  i
) ) )  =  ( m  x.  ( abs `  ( ( G `
 M ) `  m ) ) ) )
192191cbvmptv 4234 . . . . . . 7  |-  ( i  e.  NN0  |->  ( i  x.  ( abs `  (
( G `  M
) `  i )
) ) )  =  ( m  e.  NN0  |->  ( m  x.  ( abs `  ( ( G `
 M ) `  m ) ) ) )
19319, 121, 45, 123, 187, 192radcnvlt1 20194 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  0  <_  M )  ->  (  seq  0 (  +  , 
( i  e.  NN0  |->  ( i  x.  ( abs `  ( ( G `
 M ) `  i ) ) ) ) )  e.  dom  ~~>  /\ 
seq  0 (  +  ,  ( abs  o.  ( G `  M ) ) )  e.  dom  ~~>  ) )
194193simprd 450 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  0  <_  M )  ->  seq  0
(  +  ,  ( abs  o.  ( G `
 M ) ) )  e.  dom  ~~>  )
19515, 101, 102, 115, 120, 127, 185, 194mtest 20180 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  0  <_  M )  ->  seq  0
(  o F  +  ,  ( m  e. 
NN0  |->  ( w  e.  S  |->  ( ( G `
 w ) `  m ) ) ) )  e.  dom  ( ~~> u `  S )
)
196100, 195eqeltrd 2454 . . 3  |-  ( (
ph  /\  0  <_  M )  ->  H  e.  dom  ( ~~> u `  S
) )
197 eldmg 4998 . . . . . 6  |-  ( H  e.  dom  ( ~~> u `  S )  ->  ( H  e.  dom  ( ~~> u `  S )  <->  E. f  H ( ~~> u `  S ) f ) )
198197ibi 233 . . . . 5  |-  ( H  e.  dom  ( ~~> u `  S )  ->  E. f  H ( ~~> u `  S ) f )
199 simpr 448 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  H ( ~~> u `  S )
f )  ->  H
( ~~> u `  S
) f )
200 ulmcl 20157 . . . . . . . . . . 11  |-  ( H ( ~~> u `  S
) f  ->  f : S --> CC )
201200adantl 453 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  H ( ~~> u `  S )
f )  ->  f : S --> CC )
202201feqmptd 5711 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  H ( ~~> u `  S )
f )  ->  f  =  ( y  e.  S  |->  ( f `  y ) ) )
20316a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  H
( ~~> u `  S
) f )  /\  y  e.  S )  ->  0  e.  ZZ )
204 eqidd 2381 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  H ( ~~> u `  S ) f )  /\  y  e.  S
)  /\  j  e.  NN0 )  ->  ( ( G `  y ) `  j )  =  ( ( G `  y
) `  j )
)
20528adantlr 696 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  H
( ~~> u `  S
) f )  /\  y  e.  S )  ->  ( G `  y
) : NN0 --> CC )
206205ffvelrnda 5802 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  H ( ~~> u `  S ) f )  /\  y  e.  S
)  /\  j  e.  NN0 )  ->  ( ( G `  y ) `  j )  e.  CC )
20743ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  H
( ~~> u `  S
) f )  /\  y  e.  S )  ->  H : NN0 --> ( CC 
^m  S ) )
208 simpr 448 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  H
( ~~> u `  S
) f )  /\  y  e.  S )  ->  y  e.  S )
209 seqex 11245 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  seq  0
(  +  ,  ( G `  y ) )  e.  _V
210209a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  H
( ~~> u `  S
) f )  /\  y  e.  S )  ->  seq  0 (  +  ,  ( G `  y ) )  e. 
_V )
211 simpr 448 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  H ( ~~> u `  S ) f )  /\  y  e.  S
)  /\  i  e.  NN0 )  ->  i  e.  NN0 )
21237ad3antrrr 711 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  H ( ~~> u `  S ) f )  /\  y  e.  S
)  /\  i  e.  NN0 )  ->  S  e.  _V )
213 mptexg 5897 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( S  e.  _V  ->  (
y  e.  S  |->  (  seq  0 (  +  ,  ( G `  y ) ) `  i ) )  e. 
_V )
214212, 213syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  H ( ~~> u `  S ) f )  /\  y  e.  S
)  /\  i  e.  NN0 )  ->  ( y  e.  S  |->  (  seq  0 (  +  , 
( G `  y
) ) `  i
) )  e.  _V )
21542fvmpt2 5744 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( i  e.  NN0  /\  ( y  e.  S  |->  (  seq  0 (  +  ,  ( G `
 y ) ) `
 i ) )  e.  _V )  -> 
( H `  i
)  =  ( y  e.  S  |->  (  seq  0 (  +  , 
( G `  y
) ) `  i
) ) )
216211, 214, 215syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  H ( ~~> u `  S ) f )  /\  y  e.  S
)  /\  i  e.  NN0 )  ->  ( H `  i )  =  ( y  e.  S  |->  (  seq  0 (  +  ,  ( G `  y ) ) `  i ) ) )
217216fveq1d 5663 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  H ( ~~> u `  S ) f )  /\  y  e.  S
)  /\  i  e.  NN0 )  ->  ( ( H `  i ) `  y )  =  ( ( y  e.  S  |->  (  seq  0 (  +  ,  ( G `
 y ) ) `
 i ) ) `
 y ) )
218 simplr 732 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  H ( ~~> u `  S ) f )  /\  y  e.  S
)  /\  i  e.  NN0 )  ->  y  e.  S )
219 fvex 5675 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  (  seq  0 (  +  , 
( G `  y
) ) `  i
)  e.  _V
22033fvmpt2 5744 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( y  e.  S  /\  (  seq  0 (  +  ,  ( G `  y ) ) `  i )  e.  _V )  ->  ( ( y  e.  S  |->  (  seq  0 (  +  , 
( G `  y
) ) `  i
) ) `  y
)  =  (  seq  0 (  +  , 
( G `  y
) ) `  i
) )
221218, 219, 220sylancl 644 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  H ( ~~> u `  S ) f )  /\  y  e.  S
)  /\  i  e.  NN0 )  ->  ( (
y  e.  S  |->  (  seq  0 (  +  ,  ( G `  y ) ) `  i ) ) `  y )  =  (  seq  0 (  +  ,  ( G `  y ) ) `  i ) )
222217, 221eqtrd 2412 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  H ( ~~> u `  S ) f )  /\  y  e.  S
)  /\  i  e.  NN0 )  ->  ( ( H `  i ) `  y )  =  (  seq  0 (  +  ,  ( G `  y ) ) `  i ) )
223 simplr 732 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  H
( ~~> u `  S
) f )  /\  y  e.  S )  ->  H ( ~~> u `  S ) f )
22415, 203, 207, 208, 210, 222, 223ulmclm 20163 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  H
( ~~> u `  S
) f )  /\  y  e.  S )  ->  seq  0 (  +  ,  ( G `  y ) )  ~~>  ( f `
 y ) )
22515, 203, 204, 206, 224isumclim 12461 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  H
( ~~> u `  S
) f )  /\  y  e.  S )  -> 
sum_ j  e.  NN0  ( ( G `  y ) `  j
)  =  ( f `
 y ) )
226225mpteq2dva 4229 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  H ( ~~> u `  S )
f )  ->  (
y  e.  S  |->  sum_ j  e.  NN0  (
( G `  y
) `  j )
)  =  ( y  e.  S  |->  ( f `
 y ) ) )
22770, 226syl5eq 2424 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  H ( ~~> u `  S )
f )  ->  F  =  ( y  e.  S  |->  ( f `  y ) ) )
228202, 227eqtr4d 2415 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  H ( ~~> u `  S )
f )  ->  f  =  F )
229199, 228breqtrd 4170 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  H ( ~~> u `  S )
f )  ->  H
( ~~> u `  S
) F )
230229ex 424 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( H ( ~~> u `  S ) f  ->  H ( ~~> u `  S ) F ) )
231230exlimdv 1643 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( E. f  H ( ~~> u `  S
) f  ->  H
( ~~> u `  S
) F ) )
232198, 231syl5 30 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( H  e.  dom  (
~~> u `  S )  ->  H ( ~~> u `  S ) F ) )
233232imp 419 . . 3  |-  ( (
ph  /\  H  e.  dom  ( ~~> u `  S
) )  ->  H
( ~~> u `  S
) F )
234196, 233syldan 457 . 2  |-  ( (
ph  /\  0  <_  M )  ->  H ( ~~> u `  S ) F )
23552a1i 11 . 2  |-  ( ph  ->  0  e.  RR )
23673, 234, 4, 235ltlecasei 9107 1  |-  ( ph  ->  H ( ~~> u `  S ) F )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    /\ w3a 936   E.wex 1547    = wceq 1649    e. wcel 1717   A.wral 2642   {crab 2646   _Vcvv 2892    C_ wss 3256   (/)c0 3564   class class class wbr 4146    e. cmpt 4200   `'ccnv 4810   dom cdm 4811   "cima 4814    o. ccom 4815    Fn wfn 5382   -->wf 5383   ` cfv 5387  (class class class)co 6013    o Fcof 6235    ^m cmap 6947   supcsup 7373   CCcc 8914   RRcr 8915   0cc0 8916    + caddc 8919    x. cmul 8921    +oocpnf 9043   RR*cxr 9045    < clt 9046    <_ cle 9047   NN0cn0 10146   ZZcz 10207   ZZ>=cuz 10413   [,]cicc 10844   ...cfz 10968    seq cseq 11243   ^cexp 11302   abscabs 11959    ~~> cli 12198   sum_csu 12399   ~~> uculm 20152
This theorem is referenced by:  psercn2  20199  pserdvlem2  20204
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2361  ax-rep 4254  ax-sep 4264  ax-nul 4272  ax-pow 4311  ax-pr 4337  ax-un 4634  ax-inf2 7522  ax-cnex 8972  ax-resscn 8973  ax-1cn 8974  ax-icn 8975  ax-addcl 8976  ax-addrcl 8977  ax-mulcl 8978  ax-mulrcl 8979  ax-mulcom 8980  ax-addass 8981  ax-mulass 8982  ax-distr 8983  ax-i2m1 8984  ax-1ne0 8985  ax-1rid 8986  ax-rnegex 8987  ax-rrecex 8988  ax-cnre 8989  ax-pre-lttri 8990  ax-pre-lttrn 8991  ax-pre-ltadd 8992  ax-pre-mulgt0 8993  ax-pre-sup 8994  ax-addf 8995  ax-mulf 8996
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2235  df-mo 2236  df-clab 2367  df-cleq 2373  df-clel 2376  df-nfc 2505  df-ne 2545  df-nel 2546  df-ral 2647  df-rex 2648  df-reu 2649  df-rmo 2650  df-rab 2651  df-v 2894  df-sbc 3098  df-csb 3188  df-dif 3259  df-un 3261  df-in 3263  df-ss 3270  df-pss 3272  df-nul 3565  df-if 3676  df-pw 3737  df-sn 3756  df-pr 3757  df-tp 3758  df-op 3759  df-uni 3951  df-int 3986  df-iun 4030  df-br 4147  df-opab 4201  df-mpt 4202  df-tr 4237  df-eprel 4428  df-id 4432  df-po 4437  df-so 4438  df-fr 4475  df-se 4476  df-we 4477  df-ord 4518  df-on 4519  df-lim 4520  df-suc 4521  df-om 4779  df-xp 4817  df-rel 4818  df-cnv 4819  df-co 4820  df-dm 4821  df-rn 4822  df-res 4823  df-ima 4824  df-iota 5351  df-fun 5389  df-fn 5390  df-f 5391  df-f1 5392  df-fo 5393  df-f1o 5394  df-fv 5395  df-isom 5396  df-ov 6016  df-oprab 6017  df-mpt2 6018  df-of 6237  df-1st 6281  df-2nd 6282  df-riota 6478  df-recs 6562  df-rdg 6597  df-1o 6653  df-oadd 6657  df-er 6834  df-map 6949  df-pm 6950  df-en 7039  df-dom 7040  df-sdom 7041  df-fin 7042  df-sup 7374  df-oi 7405  df-card 7752  df-pnf 9048  df-mnf 9049  df-xr 9050  df-ltxr 9051  df-le 9052  df-sub 9218  df-neg 9219  df-div 9603  df-nn 9926  df-2 9983  df-3 9984  df-n0 10147  df-z 10208  df-uz 10414  df-rp 10538  df-ico 10847  df-icc 10848  df-fz 10969  df-fzo 11059  df-fl 11122  df-seq 11244  df-exp 11303  df-hash 11539  df-cj 11824  df-re 11825  df-im 11826  df-sqr 11960  df-abs 11961  df-limsup 12185  df-clim 12202  df-rlim 12203  df-sum 12400  df-ulm 20153
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