MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pserval2 Unicode version

Theorem pserval2 20284
Description: Value of the function  G that gives the sequence of monomials of a power series. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Feb-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
pser.g  |-  G  =  ( x  e.  CC  |->  ( n  e.  NN0  |->  ( ( A `  n )  x.  (
x ^ n ) ) ) )
Assertion
Ref Expression
pserval2  |-  ( ( X  e.  CC  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( ( G `  X ) `  N
)  =  ( ( A `  N )  x.  ( X ^ N ) ) )
Distinct variable groups:    x, n, A    n, N
Allowed substitution hints:    G( x, n)    N( x)    X( x, n)

Proof of Theorem pserval2
Dummy variable  y is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pser.g . . . 4  |-  G  =  ( x  e.  CC  |->  ( n  e.  NN0  |->  ( ( A `  n )  x.  (
x ^ n ) ) ) )
21pserval 20283 . . 3  |-  ( X  e.  CC  ->  ( G `  X )  =  ( y  e. 
NN0  |->  ( ( A `
 y )  x.  ( X ^ y
) ) ) )
32fveq1d 5693 . 2  |-  ( X  e.  CC  ->  (
( G `  X
) `  N )  =  ( ( y  e.  NN0  |->  ( ( A `  y )  x.  ( X ^
y ) ) ) `
 N ) )
4 fveq2 5691 . . . 4  |-  ( y  =  N  ->  ( A `  y )  =  ( A `  N ) )
5 oveq2 6052 . . . 4  |-  ( y  =  N  ->  ( X ^ y )  =  ( X ^ N
) )
64, 5oveq12d 6062 . . 3  |-  ( y  =  N  ->  (
( A `  y
)  x.  ( X ^ y ) )  =  ( ( A `
 N )  x.  ( X ^ N
) ) )
7 eqid 2408 . . 3  |-  ( y  e.  NN0  |->  ( ( A `  y )  x.  ( X ^
y ) ) )  =  ( y  e. 
NN0  |->  ( ( A `
 y )  x.  ( X ^ y
) ) )
8 ovex 6069 . . 3  |-  ( ( A `  N )  x.  ( X ^ N ) )  e. 
_V
96, 7, 8fvmpt 5769 . 2  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ( y  e.  NN0  |->  ( ( A `  y )  x.  ( X ^
y ) ) ) `
 N )  =  ( ( A `  N )  x.  ( X ^ N ) ) )
103, 9sylan9eq 2460 1  |-  ( ( X  e.  CC  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( ( G `  X ) `  N
)  =  ( ( A `  N )  x.  ( X ^ N ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1721    e. cmpt 4230   ` cfv 5417  (class class class)co 6044   CCcc 8948    x. cmul 8955   NN0cn0 10181   ^cexp 11341
This theorem is referenced by:  radcnvlem1  20286  radcnv0  20289  dvradcnv  20294  pserulm  20295  psercn2  20296  pserdvlem2  20301  abelth  20314
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2389  ax-rep 4284  ax-sep 4294  ax-nul 4302  ax-pow 4341  ax-pr 4367  ax-un 4664  ax-cnex 9006  ax-resscn 9007  ax-1cn 9008  ax-icn 9009  ax-addcl 9010  ax-addrcl 9011  ax-mulcl 9012  ax-mulrcl 9013  ax-i2m1 9018  ax-1ne0 9019  ax-rrecex 9022  ax-cnre 9023
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2262  df-mo 2263  df-clab 2395  df-cleq 2401  df-clel 2404  df-nfc 2533  df-ne 2573  df-ral 2675  df-rex 2676  df-reu 2677  df-rab 2679  df-v 2922  df-sbc 3126  df-csb 3216  df-dif 3287  df-un 3289  df-in 3291  df-ss 3298  df-pss 3300  df-nul 3593  df-if 3704  df-pw 3765  df-sn 3784  df-pr 3785  df-tp 3786  df-op 3787  df-uni 3980  df-iun 4059  df-br 4177  df-opab 4231  df-mpt 4232  df-tr 4267  df-eprel 4458  df-id 4462  df-po 4467  df-so 4468  df-fr 4505  df-we 4507  df-ord 4548  df-on 4549  df-lim 4550  df-suc 4551  df-om 4809  df-xp 4847  df-rel 4848  df-cnv 4849  df-co 4850  df-dm 4851  df-rn 4852  df-res 4853  df-ima 4854  df-iota 5381  df-fun 5419  df-fn 5420  df-f 5421  df-f1 5422  df-fo 5423  df-f1o 5424  df-fv 5425  df-ov 6047  df-recs 6596  df-rdg 6631  df-nn 9961  df-n0 10182
  Copyright terms: Public domain W3C validator