Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  psgneldm2i Structured version   Unicode version

Theorem psgneldm2i 27405
Description: A sequence of transpositions describes a finitary permutation. (Contributed by Stefan O'Rear, 28-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
psgnval.g  |-  G  =  ( SymGrp `  D )
psgnval.t  |-  T  =  ran  (pmTrsp `  D
)
psgnval.n  |-  N  =  (pmSgn `  D )
Assertion
Ref Expression
psgneldm2i  |-  ( ( D  e.  V  /\  W  e. Word  T )  ->  ( G  gsumg  W )  e.  dom  N )

Proof of Theorem psgneldm2i
Dummy variable  w is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2436 . . 3  |-  ( G 
gsumg  W )  =  ( G  gsumg  W )
2 oveq2 6089 . . . . 5  |-  ( w  =  W  ->  ( G  gsumg  w )  =  ( G  gsumg  W ) )
32eqeq2d 2447 . . . 4  |-  ( w  =  W  ->  (
( G  gsumg  W )  =  ( G  gsumg  w )  <->  ( G  gsumg  W )  =  ( G 
gsumg  W ) ) )
43rspcev 3052 . . 3  |-  ( ( W  e. Word  T  /\  ( G  gsumg  W )  =  ( G  gsumg  W ) )  ->  E. w  e. Word  T ( G  gsumg  W )  =  ( G  gsumg  w ) )
51, 4mpan2 653 . 2  |-  ( W  e. Word  T  ->  E. w  e. Word  T ( G  gsumg  W )  =  ( G  gsumg  w ) )
6 psgnval.g . . . 4  |-  G  =  ( SymGrp `  D )
7 psgnval.t . . . 4  |-  T  =  ran  (pmTrsp `  D
)
8 psgnval.n . . . 4  |-  N  =  (pmSgn `  D )
96, 7, 8psgneldm2 27404 . . 3  |-  ( D  e.  V  ->  (
( G  gsumg  W )  e.  dom  N  <->  E. w  e. Word  T ( G  gsumg  W )  =  ( G  gsumg  w ) ) )
109biimpar 472 . 2  |-  ( ( D  e.  V  /\  E. w  e. Word  T ( G  gsumg  W )  =  ( G  gsumg  w ) )  -> 
( G  gsumg  W )  e.  dom  N )
115, 10sylan2 461 1  |-  ( ( D  e.  V  /\  W  e. Word  T )  ->  ( G  gsumg  W )  e.  dom  N )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    = wceq 1652    e. wcel 1725   E.wrex 2706   dom cdm 4878   ran crn 4879   ` cfv 5454  (class class class)co 6081  Word cword 11717    gsumg cgsu 13724   SymGrpcsymg 15092  pmTrspcpmtr 27361  pmSgncpsgn 27391
This theorem is referenced by:  psgnvalii  27409
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-rep 4320  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701  ax-cnex 9046  ax-resscn 9047  ax-1cn 9048  ax-icn 9049  ax-addcl 9050  ax-addrcl 9051  ax-mulcl 9052  ax-mulrcl 9053  ax-mulcom 9054  ax-addass 9055  ax-mulass 9056  ax-distr 9057  ax-i2m1 9058  ax-1ne0 9059  ax-1rid 9060  ax-rnegex 9061  ax-rrecex 9062  ax-cnre 9063  ax-pre-lttri 9064  ax-pre-lttrn 9065  ax-pre-ltadd 9066  ax-pre-mulgt0 9067
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rmo 2713  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-pss 3336  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-tp 3822  df-op 3823  df-uni 4016  df-int 4051  df-iun 4095  df-iin 4096  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-tr 4303  df-eprel 4494  df-id 4498  df-po 4503  df-so 4504  df-fr 4541  df-se 4542  df-we 4543  df-ord 4584  df-on 4585  df-lim 4586  df-suc 4587  df-om 4846  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-isom 5463  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-1st 6349  df-2nd 6350  df-riota 6549  df-recs 6633  df-rdg 6668  df-1o 6724  df-2o 6725  df-oadd 6728  df-er 6905  df-map 7020  df-en 7110  df-dom 7111  df-sdom 7112  df-fin 7113  df-card 7826  df-pnf 9122  df-mnf 9123  df-xr 9124  df-ltxr 9125  df-le 9126  df-sub 9293  df-neg 9294  df-nn 10001  df-2 10058  df-3 10059  df-4 10060  df-5 10061  df-6 10062  df-7 10063  df-8 10064  df-9 10065  df-n0 10222  df-z 10283  df-uz 10489  df-fz 11044  df-fzo 11136  df-seq 11324  df-hash 11619  df-word 11723  df-concat 11724  df-s1 11725  df-struct 13471  df-ndx 13472  df-slot 13473  df-base 13474  df-sets 13475  df-ress 13476  df-plusg 13542  df-tset 13548  df-0g 13727  df-gsum 13728  df-mre 13811  df-mrc 13812  df-acs 13814  df-mnd 14690  df-submnd 14739  df-grp 14812  df-minusg 14813  df-subg 14941  df-symg 15093  df-pmtr 27362  df-psgn 27392
  Copyright terms: Public domain W3C validator