Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  psgnghm Structured version   Unicode version

Theorem psgnghm 27414
 Description: The sign is a homomorphism from the finitary permutation group to the numeric signs. (Contributed by Stefan O'Rear, 28-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
psgnghm.s
psgnghm.n pmSgn
psgnghm.f s
psgnghm.u mulGrpflds
Assertion
Ref Expression
psgnghm

Proof of Theorem psgnghm
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 psgnghm.s . . . . . 6
2 eqid 2436 . . . . . 6
3 eqid 2436 . . . . . 6
4 psgnghm.n . . . . . 6 pmSgn
51, 2, 3, 4psgnfn 27401 . . . . 5
6 fndm 5544 . . . . 5
75, 6ax-mp 8 . . . 4
8 ssrab2 3428 . . . 4
97, 8eqsstri 3378 . . 3
10 psgnghm.f . . . 4 s
1110, 2ressbas2 13520 . . 3
129, 11ax-mp 8 . 2
13 psgnghm.u . . 3 mulGrpflds
1413cnmsgnbas 27412 . 2
15 fvex 5742 . . . 4
1612, 15eqeltri 2506 . . 3
17 eqid 2436 . . . 4
1810, 17ressplusg 13571 . . 3
1916, 18ax-mp 8 . 2
20 prex 4406 . . 3
21 eqid 2436 . . . . 5 mulGrpfld mulGrpfld
22 cnfldmul 16709 . . . . 5 fld
2321, 22mgpplusg 15652 . . . 4 mulGrpfld
2413, 23ressplusg 13571 . . 3
2520, 24ax-mp 8 . 2
261, 4psgndmsubg 27402 . . 3 SubGrp
2710subggrp 14947 . . 3 SubGrp
2826, 27syl 16 . 2
2913cnmsgngrp 27413 . . 3
3029a1i 11 . 2
31 fnfun 5542 . . . . . 6
325, 31ax-mp 8 . . . . 5
33 funfn 5482 . . . . 5
3432, 33mpbi 200 . . . 4
3534a1i 11 . . 3
36 eqid 2436 . . . . . 6 pmTrsp pmTrsp
371, 36, 4psgnvali 27408 . . . . 5 Word pmTrsp g
38 lencl 11735 . . . . . . . . . . 11 Word pmTrsp
3938nn0zd 10373 . . . . . . . . . 10 Word pmTrsp
40 m1expcl2 11403 . . . . . . . . . . 11
41 prcom 3882 . . . . . . . . . . 11
4240, 41syl6eleq 2526 . . . . . . . . . 10
4339, 42syl 16 . . . . . . . . 9 Word pmTrsp
4443adantl 453 . . . . . . . 8 Word pmTrsp
45 eleq1a 2505 . . . . . . . 8
4644, 45syl 16 . . . . . . 7 Word pmTrsp
4746adantld 454 . . . . . 6 Word pmTrsp g
4847rexlimdva 2830 . . . . 5 Word pmTrsp g
4937, 48syl5 30 . . . 4
5049ralrimiv 2788 . . 3
51 ffnfv 5894 . . 3
5235, 50, 51sylanbrc 646 . 2
531, 36, 4psgnvali 27408 . . . . . 6 Word pmTrsp g
5437, 53anim12i 550 . . . . 5 Word pmTrsp g Word pmTrsp g
55 reeanv 2875 . . . . 5 Word pmTrsp Word pmTrsp g g Word pmTrsp g Word pmTrsp g
5654, 55sylibr 204 . . . 4 Word pmTrsp Word pmTrsp g g
57 ccatcl 11743 . . . . . . . 8 Word pmTrsp Word pmTrsp concat Word pmTrsp
581, 36, 4psgnvalii 27409 . . . . . . . 8 concat Word pmTrsp g concat concat
5957, 58sylan2 461 . . . . . . 7 Word pmTrsp Word pmTrsp g concat concat
601symggrp 15103 . . . . . . . . . . 11
61 grpmnd 14817 . . . . . . . . . . 11
6260, 61syl 16 . . . . . . . . . 10
6336, 1, 2symgtrf 27387 . . . . . . . . . . . 12 pmTrsp
64 sswrd 11737 . . . . . . . . . . . 12 pmTrsp Word pmTrsp Word
6563, 64ax-mp 8 . . . . . . . . . . 11 Word pmTrsp Word
6665sseli 3344 . . . . . . . . . 10 Word pmTrsp Word
6765sseli 3344 . . . . . . . . . 10 Word pmTrsp Word
682, 17gsumccat 14787 . . . . . . . . . 10 Word Word g concat g g
6962, 66, 67, 68syl3an 1226 . . . . . . . . 9 Word pmTrsp Word pmTrsp g concat g g
70693expb 1154 . . . . . . . 8 Word pmTrsp Word pmTrsp g concat g g
7170fveq2d 5732 . . . . . . 7 Word pmTrsp Word pmTrsp g concat g g
72 ccatlen 11744 . . . . . . . . . 10 Word pmTrsp Word pmTrsp concat
7372adantl 453 . . . . . . . . 9 Word pmTrsp Word pmTrsp concat
7473oveq2d 6097 . . . . . . . 8 Word pmTrsp Word pmTrsp concat
75 neg1cn 10067 . . . . . . . . . 10
7675a1i 11 . . . . . . . . 9 Word pmTrsp Word pmTrsp
77 lencl 11735 . . . . . . . . . 10 Word pmTrsp
7877ad2antll 710 . . . . . . . . 9 Word pmTrsp Word pmTrsp
7938ad2antrl 709 . . . . . . . . 9 Word pmTrsp Word pmTrsp
8076, 78, 79expaddd 11525 . . . . . . . 8 Word pmTrsp Word pmTrsp
8174, 80eqtrd 2468 . . . . . . 7 Word pmTrsp Word pmTrsp concat
8259, 71, 813eqtr3d 2476 . . . . . 6 Word pmTrsp Word pmTrsp g g
83 oveq12 6090 . . . . . . . . 9 g g g g
8483fveq2d 5732 . . . . . . . 8 g g g g
85 oveq12 6090 . . . . . . . 8
8684, 85eqeqan12d 2451 . . . . . . 7 g g g g
8786an4s 800 . . . . . 6 g g g g
8882, 87syl5ibrcom 214 . . . . 5 Word pmTrsp Word pmTrsp g g
8988rexlimdvva 2837 . . . 4 Word pmTrsp Word pmTrsp g g
9056, 89syl5 30 . . 3
9190imp 419 . 2
9212, 14, 19, 25, 28, 30, 52, 91isghmd 15015 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wb 177   wa 359   wceq 1652   wcel 1725  wral 2705  wrex 2706  crab 2709  cvv 2956   cdif 3317   wss 3320  cpr 3815   cid 4493   cdm 4878   crn 4879   wfun 5448   wfn 5449  wf 5450  cfv 5454  (class class class)co 6081  cfn 7109  cc 8988  c1 8991   caddc 8993   cmul 8995  cneg 9292  cn0 10221  cz 10282  cexp 11382  chash 11618  Word cword 11717   concat cconcat 11718  cbs 13469   ↾s cress 13470   cplusg 13529   g cgsu 13724  cmnd 14684  cgrp 14685  SubGrpcsubg 14938   cghm 15003  csymg 15092  mulGrpcmgp 15648  ℂfldccnfld 16703  pmTrspcpmtr 27361  pmSgncpsgn 27391 This theorem is referenced by:  psgnghm2  27415 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-rep 4320  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701  ax-cnex 9046  ax-resscn 9047  ax-1cn 9048  ax-icn 9049  ax-addcl 9050  ax-addrcl 9051  ax-mulcl 9052  ax-mulrcl 9053  ax-mulcom 9054  ax-addass 9055  ax-mulass 9056  ax-distr 9057  ax-i2m1 9058  ax-1ne0 9059  ax-1rid 9060  ax-rnegex 9061  ax-rrecex 9062  ax-cnre 9063  ax-pre-lttri 9064  ax-pre-lttrn 9065  ax-pre-ltadd 9066  ax-pre-mulgt0 9067  ax-addf 9069  ax-mulf 9070 This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-xor 1314  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rmo 2713  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-pss 3336  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-tp 3822  df-op 3823  df-ot 3824  df-uni 4016  df-int 4051  df-iun 4095  df-iin 4096  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-tr 4303  df-eprel 4494  df-id 4498  df-po 4503  df-so 4504  df-fr 4541  df-se 4542  df-we 4543  df-ord 4584  df-on 4585  df-lim 4586  df-suc 4587  df-om 4846  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-isom 5463  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-1st 6349  df-2nd 6350  df-tpos 6479  df-riota 6549  df-recs 6633  df-rdg 6668  df-1o 6724  df-2o 6725  df-oadd 6728  df-er 6905  df-map 7020  df-en 7110  df-dom 7111  df-sdom 7112  df-fin 7113  df-card 7826  df-pnf 9122  df-mnf 9123  df-xr 9124  df-ltxr 9125  df-le 9126  df-sub 9293  df-neg 9294  df-div 9678  df-nn 10001  df-2 10058  df-3 10059  df-4 10060  df-5 10061  df-6 10062  df-7 10063  df-8 10064  df-9 10065  df-10 10066  df-n0 10222  df-z 10283  df-dec 10383  df-uz 10489  df-rp 10613  df-fz 11044  df-fzo 11136  df-seq 11324  df-exp 11383  df-hash 11619  df-word 11723  df-concat 11724  df-s1 11725  df-substr 11726  df-splice 11727  df-reverse 11728  df-s2 11812  df-struct 13471  df-ndx 13472  df-slot 13473  df-base 13474  df-sets 13475  df-ress 13476  df-plusg 13542  df-mulr 13543  df-starv 13544  df-tset 13548  df-ple 13549  df-ds 13551  df-unif 13552  df-0g 13727  df-gsum 13728  df-mre 13811  df-mrc 13812  df-acs 13814  df-mnd 14690  df-mhm 14738  df-submnd 14739  df-grp 14812  df-minusg 14813  df-subg 14941  df-ghm 15004  df-gim 15046  df-symg 15093  df-oppg 15142  df-cmn 15414  df-abl 15415  df-mgp 15649  df-rng 15663  df-cring 15664  df-ur 15665  df-oppr 15728  df-dvdsr 15746  df-unit 15747  df-invr 15777  df-dvr 15788  df-drng 15837  df-cnfld 16704  df-pmtr 27362  df-psgn 27392
 Copyright terms: Public domain W3C validator