Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  psgnghm2 Unicode version

Theorem psgnghm2 27314
Description: The sign is a homomorphism from the finite symmetric group to the numeric signs. (Contributed by Stefan O'Rear, 28-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
psgnghm2.s  |-  S  =  ( SymGrp `  D )
psgnghm2.n  |-  N  =  (pmSgn `  D )
psgnghm2.u  |-  U  =  ( (mulGrp ` fld )s  { 1 ,  -u
1 } )
Assertion
Ref Expression
psgnghm2  |-  ( D  e.  Fin  ->  N  e.  ( S  GrpHom  U ) )

Proof of Theorem psgnghm2
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 psgnghm2.s . . 3  |-  S  =  ( SymGrp `  D )
2 psgnghm2.n . . 3  |-  N  =  (pmSgn `  D )
3 eqid 2412 . . 3  |-  ( Ss  dom 
N )  =  ( Ss 
dom  N )
4 psgnghm2.u . . 3  |-  U  =  ( (mulGrp ` fld )s  { 1 ,  -u
1 } )
51, 2, 3, 4psgnghm 27313 . 2  |-  ( D  e.  Fin  ->  N  e.  ( ( Ss  dom  N
)  GrpHom  U ) )
6 difss 3442 . . . . . . . . . 10  |-  ( x 
\  _I  )  C_  x
7 dmss 5036 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  \  _I  )  C_  x  ->  dom  ( x 
\  _I  )  C_  dom  x )
86, 7ax-mp 8 . . . . . . . . 9  |-  dom  (
x  \  _I  )  C_ 
dom  x
9 eqid 2412 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( Base `  S )  =  (
Base `  S )
101, 9elsymgbas2 15059 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  ( Base `  S
)  ->  ( x  e.  ( Base `  S
)  <->  x : D -1-1-onto-> D
) )
1110ibi 233 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  ( Base `  S
)  ->  x : D
-1-1-onto-> D )
12 f1odm 5645 . . . . . . . . . 10  |-  ( x : D -1-1-onto-> D  ->  dom  x  =  D )
1311, 12syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  ( Base `  S
)  ->  dom  x  =  D )
148, 13syl5sseq 3364 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ( Base `  S
)  ->  dom  ( x 
\  _I  )  C_  D )
15 ssfi 7296 . . . . . . . 8  |-  ( ( D  e.  Fin  /\  dom  ( x  \  _I  )  C_  D )  ->  dom  ( x  \  _I  )  e.  Fin )
1614, 15sylan2 461 . . . . . . 7  |-  ( ( D  e.  Fin  /\  x  e.  ( Base `  S ) )  ->  dom  ( x  \  _I  )  e.  Fin )
1716ralrimiva 2757 . . . . . 6  |-  ( D  e.  Fin  ->  A. x  e.  ( Base `  S
) dom  ( x  \  _I  )  e.  Fin )
18 rabid2 2853 . . . . . 6  |-  ( (
Base `  S )  =  { x  e.  (
Base `  S )  |  dom  ( x  \  _I  )  e.  Fin }  <->  A. x  e.  ( Base `  S ) dom  ( x  \  _I  )  e.  Fin )
1917, 18sylibr 204 . . . . 5  |-  ( D  e.  Fin  ->  ( Base `  S )  =  { x  e.  (
Base `  S )  |  dom  ( x  \  _I  )  e.  Fin } )
20 eqid 2412 . . . . . . 7  |-  { x  e.  ( Base `  S
)  |  dom  (
x  \  _I  )  e.  Fin }  =  {
x  e.  ( Base `  S )  |  dom  ( x  \  _I  )  e.  Fin }
211, 9, 20, 2psgnfn 27300 . . . . . 6  |-  N  Fn  { x  e.  ( Base `  S )  |  dom  ( x  \  _I  )  e.  Fin }
22 fndm 5511 . . . . . 6  |-  ( N  Fn  { x  e.  ( Base `  S
)  |  dom  (
x  \  _I  )  e.  Fin }  ->  dom  N  =  { x  e.  ( Base `  S
)  |  dom  (
x  \  _I  )  e.  Fin } )
2321, 22ax-mp 8 . . . . 5  |-  dom  N  =  { x  e.  (
Base `  S )  |  dom  ( x  \  _I  )  e.  Fin }
2419, 23syl6eqr 2462 . . . 4  |-  ( D  e.  Fin  ->  ( Base `  S )  =  dom  N )
25 eqimss 3368 . . . 4  |-  ( (
Base `  S )  =  dom  N  ->  ( Base `  S )  C_  dom  N )
26 fvex 5709 . . . . . 6  |-  ( SymGrp `  D )  e.  _V
271, 26eqeltri 2482 . . . . 5  |-  S  e. 
_V
28 fvex 5709 . . . . . . 7  |-  (pmSgn `  D )  e.  _V
292, 28eqeltri 2482 . . . . . 6  |-  N  e. 
_V
3029dmex 5099 . . . . 5  |-  dom  N  e.  _V
313, 9ressid2 13480 . . . . 5  |-  ( ( ( Base `  S
)  C_  dom  N  /\  S  e.  _V  /\  dom  N  e.  _V )  -> 
( Ss  dom  N )  =  S )
3227, 30, 31mp3an23 1271 . . . 4  |-  ( (
Base `  S )  C_ 
dom  N  ->  ( Ss  dom 
N )  =  S )
3324, 25, 323syl 19 . . 3  |-  ( D  e.  Fin  ->  ( Ss  dom  N )  =  S )
3433oveq1d 6063 . 2  |-  ( D  e.  Fin  ->  (
( Ss  dom  N )  GrpHom  U )  =  ( S 
GrpHom  U ) )
355, 34eleqtrd 2488 1  |-  ( D  e.  Fin  ->  N  e.  ( S  GrpHom  U ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1649    e. wcel 1721   A.wral 2674   {crab 2678   _Vcvv 2924    \ cdif 3285    C_ wss 3288   {cpr 3783    _I cid 4461   dom cdm 4845    Fn wfn 5416   -1-1-onto->wf1o 5420   ` cfv 5421  (class class class)co 6048   Fincfn 7076   1c1 8955   -ucneg 9256   Basecbs 13432   ↾s cress 13433    GrpHom cghm 14966   SymGrpcsymg 15055  mulGrpcmgp 15611  ℂfldccnfld 16666  pmSgncpsgn 27290
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2393  ax-rep 4288  ax-sep 4298  ax-nul 4306  ax-pow 4345  ax-pr 4371  ax-un 4668  ax-cnex 9010  ax-resscn 9011  ax-1cn 9012  ax-icn 9013  ax-addcl 9014  ax-addrcl 9015  ax-mulcl 9016  ax-mulrcl 9017  ax-mulcom 9018  ax-addass 9019  ax-mulass 9020  ax-distr 9021  ax-i2m1 9022  ax-1ne0 9023  ax-1rid 9024  ax-rnegex 9025  ax-rrecex 9026  ax-cnre 9027  ax-pre-lttri 9028  ax-pre-lttrn 9029  ax-pre-ltadd 9030  ax-pre-mulgt0 9031  ax-addf 9033  ax-mulf 9034
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-xor 1311  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2399  df-cleq 2405  df-clel 2408  df-nfc 2537  df-ne 2577  df-nel 2578  df-ral 2679  df-rex 2680  df-reu 2681  df-rmo 2682  df-rab 2683  df-v 2926  df-sbc 3130  df-csb 3220  df-dif 3291  df-un 3293  df-in 3295  df-ss 3302  df-pss 3304  df-nul 3597  df-if 3708  df-pw 3769  df-sn 3788  df-pr 3789  df-tp 3790  df-op 3791  df-ot 3792  df-uni 3984  df-int 4019  df-iun 4063  df-iin 4064  df-br 4181  df-opab 4235  df-mpt 4236  df-tr 4271  df-eprel 4462  df-id 4466  df-po 4471  df-so 4472  df-fr 4509  df-se 4510  df-we 4511  df-ord 4552  df-on 4553  df-lim 4554  df-suc 4555  df-om 4813  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857  df-ima 4858  df-iota 5385  df-fun 5423  df-fn 5424  df-f 5425  df-f1 5426  df-fo 5427  df-f1o 5428  df-fv 5429  df-isom 5430  df-ov 6051  df-oprab 6052  df-mpt2 6053  df-1st 6316  df-2nd 6317  df-tpos 6446  df-riota 6516  df-recs 6600  df-rdg 6635  df-1o 6691  df-2o 6692  df-oadd 6695  df-er 6872  df-map 6987  df-en 7077  df-dom 7078  df-sdom 7079  df-fin 7080  df-card 7790  df-pnf 9086  df-mnf 9087  df-xr 9088  df-ltxr 9089  df-le 9090  df-sub 9257  df-neg 9258  df-div 9642  df-nn 9965  df-2 10022  df-3 10023  df-4 10024  df-5 10025  df-6 10026  df-7 10027  df-8 10028  df-9 10029  df-10 10030  df-n0 10186  df-z 10247  df-dec 10347  df-uz 10453  df-rp 10577  df-fz 11008  df-fzo 11099  df-seq 11287  df-exp 11346  df-hash 11582  df-word 11686  df-concat 11687  df-s1 11688  df-substr 11689  df-splice 11690  df-reverse 11691  df-s2 11775  df-struct 13434  df-ndx 13435  df-slot 13436  df-base 13437  df-sets 13438  df-ress 13439  df-plusg 13505  df-mulr 13506  df-starv 13507  df-tset 13511  df-ple 13512  df-ds 13514  df-unif 13515  df-0g 13690  df-gsum 13691  df-mre 13774  df-mrc 13775  df-acs 13777  df-mnd 14653  df-mhm 14701  df-submnd 14702  df-grp 14775  df-minusg 14776  df-subg 14904  df-ghm 14967  df-gim 15009  df-symg 15056  df-oppg 15105  df-cmn 15377  df-abl 15378  df-mgp 15612  df-rng 15626  df-cring 15627  df-ur 15628  df-oppr 15691  df-dvdsr 15709  df-unit 15710  df-invr 15740  df-dvr 15751  df-drng 15800  df-cnfld 16667  df-pmtr 27261  df-psgn 27291
  Copyright terms: Public domain W3C validator