Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  psgnghm2 Unicode version

Theorem psgnghm2 27438
Description: The sign is a homomorphism from the finite symmetric group to the numeric signs. (Contributed by Stefan O'Rear, 28-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
psgnghm2.s  |-  S  =  ( SymGrp `  D )
psgnghm2.n  |-  N  =  (pmSgn `  D )
psgnghm2.u  |-  U  =  ( (mulGrp ` fld )s  { 1 ,  -u
1 } )
Assertion
Ref Expression
psgnghm2  |-  ( D  e.  Fin  ->  N  e.  ( S  GrpHom  U ) )

Proof of Theorem psgnghm2
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 psgnghm2.s . . 3  |-  S  =  ( SymGrp `  D )
2 psgnghm2.n . . 3  |-  N  =  (pmSgn `  D )
3 eqid 2283 . . 3  |-  ( Ss  dom 
N )  =  ( Ss 
dom  N )
4 psgnghm2.u . . 3  |-  U  =  ( (mulGrp ` fld )s  { 1 ,  -u
1 } )
51, 2, 3, 4psgnghm 27437 . 2  |-  ( D  e.  Fin  ->  N  e.  ( ( Ss  dom  N
)  GrpHom  U ) )
6 difss 3303 . . . . . . . . . 10  |-  ( x 
\  _I  )  C_  x
7 dmss 4878 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  \  _I  )  C_  x  ->  dom  ( x 
\  _I  )  C_  dom  x )
86, 7ax-mp 8 . . . . . . . . 9  |-  dom  (
x  \  _I  )  C_ 
dom  x
9 eqid 2283 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( Base `  S )  =  (
Base `  S )
101, 9elsymgbas2 14773 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  ( Base `  S
)  ->  ( x  e.  ( Base `  S
)  <->  x : D -1-1-onto-> D
) )
1110ibi 232 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  ( Base `  S
)  ->  x : D
-1-1-onto-> D )
12 f1odm 5476 . . . . . . . . . 10  |-  ( x : D -1-1-onto-> D  ->  dom  x  =  D )
1311, 12syl 15 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  ( Base `  S
)  ->  dom  x  =  D )
148, 13syl5sseq 3226 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ( Base `  S
)  ->  dom  ( x 
\  _I  )  C_  D )
15 ssfi 7083 . . . . . . . 8  |-  ( ( D  e.  Fin  /\  dom  ( x  \  _I  )  C_  D )  ->  dom  ( x  \  _I  )  e.  Fin )
1614, 15sylan2 460 . . . . . . 7  |-  ( ( D  e.  Fin  /\  x  e.  ( Base `  S ) )  ->  dom  ( x  \  _I  )  e.  Fin )
1716ralrimiva 2626 . . . . . 6  |-  ( D  e.  Fin  ->  A. x  e.  ( Base `  S
) dom  ( x  \  _I  )  e.  Fin )
18 rabid2 2717 . . . . . 6  |-  ( (
Base `  S )  =  { x  e.  (
Base `  S )  |  dom  ( x  \  _I  )  e.  Fin }  <->  A. x  e.  ( Base `  S ) dom  ( x  \  _I  )  e.  Fin )
1917, 18sylibr 203 . . . . 5  |-  ( D  e.  Fin  ->  ( Base `  S )  =  { x  e.  (
Base `  S )  |  dom  ( x  \  _I  )  e.  Fin } )
20 eqid 2283 . . . . . . 7  |-  { x  e.  ( Base `  S
)  |  dom  (
x  \  _I  )  e.  Fin }  =  {
x  e.  ( Base `  S )  |  dom  ( x  \  _I  )  e.  Fin }
211, 9, 20, 2psgnfn 27424 . . . . . 6  |-  N  Fn  { x  e.  ( Base `  S )  |  dom  ( x  \  _I  )  e.  Fin }
22 fndm 5343 . . . . . 6  |-  ( N  Fn  { x  e.  ( Base `  S
)  |  dom  (
x  \  _I  )  e.  Fin }  ->  dom  N  =  { x  e.  ( Base `  S
)  |  dom  (
x  \  _I  )  e.  Fin } )
2321, 22ax-mp 8 . . . . 5  |-  dom  N  =  { x  e.  (
Base `  S )  |  dom  ( x  \  _I  )  e.  Fin }
2419, 23syl6eqr 2333 . . . 4  |-  ( D  e.  Fin  ->  ( Base `  S )  =  dom  N )
25 eqimss 3230 . . . 4  |-  ( (
Base `  S )  =  dom  N  ->  ( Base `  S )  C_  dom  N )
26 fvex 5539 . . . . . 6  |-  ( SymGrp `  D )  e.  _V
271, 26eqeltri 2353 . . . . 5  |-  S  e. 
_V
28 fvex 5539 . . . . . . 7  |-  (pmSgn `  D )  e.  _V
292, 28eqeltri 2353 . . . . . 6  |-  N  e. 
_V
3029dmex 4941 . . . . 5  |-  dom  N  e.  _V
313, 9ressid2 13196 . . . . 5  |-  ( ( ( Base `  S
)  C_  dom  N  /\  S  e.  _V  /\  dom  N  e.  _V )  -> 
( Ss  dom  N )  =  S )
3227, 30, 31mp3an23 1269 . . . 4  |-  ( (
Base `  S )  C_ 
dom  N  ->  ( Ss  dom 
N )  =  S )
3324, 25, 323syl 18 . . 3  |-  ( D  e.  Fin  ->  ( Ss  dom  N )  =  S )
3433oveq1d 5873 . 2  |-  ( D  e.  Fin  ->  (
( Ss  dom  N )  GrpHom  U )  =  ( S 
GrpHom  U ) )
355, 34eleqtrd 2359 1  |-  ( D  e.  Fin  ->  N  e.  ( S  GrpHom  U ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1623    e. wcel 1684   A.wral 2543   {crab 2547   _Vcvv 2788    \ cdif 3149    C_ wss 3152   {cpr 3641    _I cid 4304   dom cdm 4689    Fn wfn 5250   -1-1-onto->wf1o 5254   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   Fincfn 6863   1c1 8738   -ucneg 9038   Basecbs 13148   ↾s cress 13149    GrpHom cghm 14680   SymGrpcsymg 14769  mulGrpcmgp 15325  ℂfldccnfld 16377  pmSgncpsgn 27414
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814  ax-addf 8816  ax-mulf 8817
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-xor 1296  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-ot 3650  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-iin 3908  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-se 4353  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-isom 5264  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-tpos 6234  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-2o 6480  df-oadd 6483  df-er 6660  df-map 6774  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-fin 6867  df-card 7572  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-div 9424  df-nn 9747  df-2 9804  df-3 9805  df-4 9806  df-5 9807  df-6 9808  df-7 9809  df-8 9810  df-9 9811  df-10 9812  df-n0 9966  df-z 10025  df-dec 10125  df-uz 10231  df-rp 10355  df-fz 10783  df-fzo 10871  df-seq 11047  df-exp 11105  df-hash 11338  df-word 11409  df-concat 11410  df-s1 11411  df-substr 11412  df-splice 11413  df-reverse 11414  df-s2 11498  df-struct 13150  df-ndx 13151  df-slot 13152  df-base 13153  df-sets 13154  df-ress 13155  df-plusg 13221  df-mulr 13222  df-starv 13223  df-tset 13227  df-ple 13228  df-ds 13230  df-0g 13404  df-gsum 13405  df-mre 13488  df-mrc 13489  df-acs 13491  df-mnd 14367  df-mhm 14415  df-submnd 14416  df-grp 14489  df-minusg 14490  df-subg 14618  df-ghm 14681  df-gim 14723  df-symg 14770  df-oppg 14819  df-cmn 15091  df-abl 15092  df-mgp 15326  df-rng 15340  df-cring 15341  df-ur 15342  df-oppr 15405  df-dvdsr 15423  df-unit 15424  df-invr 15454  df-dvr 15465  df-drng 15514  df-cnfld 16378  df-pmtr 27385  df-psgn 27415
  Copyright terms: Public domain W3C validator