Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  psgnghm2 Unicode version

Theorem psgnghm2 26944
Description: The sign is a homomorphism from the finite symmetric group to the numeric signs. (Contributed by Stefan O'Rear, 28-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
psgnghm2.s  |-  S  =  ( SymGrp `  D )
psgnghm2.n  |-  N  =  (pmSgn `  D )
psgnghm2.u  |-  U  =  ( (mulGrp ` fld )s  { 1 ,  -u
1 } )
Assertion
Ref Expression
psgnghm2  |-  ( D  e.  Fin  ->  N  e.  ( S  GrpHom  U ) )

Proof of Theorem psgnghm2
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 psgnghm2.s . . 3  |-  S  =  ( SymGrp `  D )
2 psgnghm2.n . . 3  |-  N  =  (pmSgn `  D )
3 eqid 2366 . . 3  |-  ( Ss  dom 
N )  =  ( Ss 
dom  N )
4 psgnghm2.u . . 3  |-  U  =  ( (mulGrp ` fld )s  { 1 ,  -u
1 } )
51, 2, 3, 4psgnghm 26943 . 2  |-  ( D  e.  Fin  ->  N  e.  ( ( Ss  dom  N
)  GrpHom  U ) )
6 difss 3390 . . . . . . . . . 10  |-  ( x 
\  _I  )  C_  x
7 dmss 4981 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  \  _I  )  C_  x  ->  dom  ( x 
\  _I  )  C_  dom  x )
86, 7ax-mp 8 . . . . . . . . 9  |-  dom  (
x  \  _I  )  C_ 
dom  x
9 eqid 2366 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( Base `  S )  =  (
Base `  S )
101, 9elsymgbas2 14983 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  ( Base `  S
)  ->  ( x  e.  ( Base `  S
)  <->  x : D -1-1-onto-> D
) )
1110ibi 232 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  ( Base `  S
)  ->  x : D
-1-1-onto-> D )
12 f1odm 5582 . . . . . . . . . 10  |-  ( x : D -1-1-onto-> D  ->  dom  x  =  D )
1311, 12syl 15 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  ( Base `  S
)  ->  dom  x  =  D )
148, 13syl5sseq 3312 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ( Base `  S
)  ->  dom  ( x 
\  _I  )  C_  D )
15 ssfi 7226 . . . . . . . 8  |-  ( ( D  e.  Fin  /\  dom  ( x  \  _I  )  C_  D )  ->  dom  ( x  \  _I  )  e.  Fin )
1614, 15sylan2 460 . . . . . . 7  |-  ( ( D  e.  Fin  /\  x  e.  ( Base `  S ) )  ->  dom  ( x  \  _I  )  e.  Fin )
1716ralrimiva 2711 . . . . . 6  |-  ( D  e.  Fin  ->  A. x  e.  ( Base `  S
) dom  ( x  \  _I  )  e.  Fin )
18 rabid2 2802 . . . . . 6  |-  ( (
Base `  S )  =  { x  e.  (
Base `  S )  |  dom  ( x  \  _I  )  e.  Fin }  <->  A. x  e.  ( Base `  S ) dom  ( x  \  _I  )  e.  Fin )
1917, 18sylibr 203 . . . . 5  |-  ( D  e.  Fin  ->  ( Base `  S )  =  { x  e.  (
Base `  S )  |  dom  ( x  \  _I  )  e.  Fin } )
20 eqid 2366 . . . . . . 7  |-  { x  e.  ( Base `  S
)  |  dom  (
x  \  _I  )  e.  Fin }  =  {
x  e.  ( Base `  S )  |  dom  ( x  \  _I  )  e.  Fin }
211, 9, 20, 2psgnfn 26930 . . . . . 6  |-  N  Fn  { x  e.  ( Base `  S )  |  dom  ( x  \  _I  )  e.  Fin }
22 fndm 5448 . . . . . 6  |-  ( N  Fn  { x  e.  ( Base `  S
)  |  dom  (
x  \  _I  )  e.  Fin }  ->  dom  N  =  { x  e.  ( Base `  S
)  |  dom  (
x  \  _I  )  e.  Fin } )
2321, 22ax-mp 8 . . . . 5  |-  dom  N  =  { x  e.  (
Base `  S )  |  dom  ( x  \  _I  )  e.  Fin }
2419, 23syl6eqr 2416 . . . 4  |-  ( D  e.  Fin  ->  ( Base `  S )  =  dom  N )
25 eqimss 3316 . . . 4  |-  ( (
Base `  S )  =  dom  N  ->  ( Base `  S )  C_  dom  N )
26 fvex 5646 . . . . . 6  |-  ( SymGrp `  D )  e.  _V
271, 26eqeltri 2436 . . . . 5  |-  S  e. 
_V
28 fvex 5646 . . . . . . 7  |-  (pmSgn `  D )  e.  _V
292, 28eqeltri 2436 . . . . . 6  |-  N  e. 
_V
3029dmex 5044 . . . . 5  |-  dom  N  e.  _V
313, 9ressid2 13404 . . . . 5  |-  ( ( ( Base `  S
)  C_  dom  N  /\  S  e.  _V  /\  dom  N  e.  _V )  -> 
( Ss  dom  N )  =  S )
3227, 30, 31mp3an23 1270 . . . 4  |-  ( (
Base `  S )  C_ 
dom  N  ->  ( Ss  dom 
N )  =  S )
3324, 25, 323syl 18 . . 3  |-  ( D  e.  Fin  ->  ( Ss  dom  N )  =  S )
3433oveq1d 5996 . 2  |-  ( D  e.  Fin  ->  (
( Ss  dom  N )  GrpHom  U )  =  ( S 
GrpHom  U ) )
355, 34eleqtrd 2442 1  |-  ( D  e.  Fin  ->  N  e.  ( S  GrpHom  U ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1647    e. wcel 1715   A.wral 2628   {crab 2632   _Vcvv 2873    \ cdif 3235    C_ wss 3238   {cpr 3730    _I cid 4407   dom cdm 4792    Fn wfn 5353   -1-1-onto->wf1o 5357   ` cfv 5358  (class class class)co 5981   Fincfn 7006   1c1 8885   -ucneg 9185   Basecbs 13356   ↾s cress 13357    GrpHom cghm 14890   SymGrpcsymg 14979  mulGrpcmgp 15535  ℂfldccnfld 16593  pmSgncpsgn 26920
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1551  ax-5 1562  ax-17 1621  ax-9 1659  ax-8 1680  ax-13 1717  ax-14 1719  ax-6 1734  ax-7 1739  ax-11 1751  ax-12 1937  ax-ext 2347  ax-rep 4233  ax-sep 4243  ax-nul 4251  ax-pow 4290  ax-pr 4316  ax-un 4615  ax-cnex 8940  ax-resscn 8941  ax-1cn 8942  ax-icn 8943  ax-addcl 8944  ax-addrcl 8945  ax-mulcl 8946  ax-mulrcl 8947  ax-mulcom 8948  ax-addass 8949  ax-mulass 8950  ax-distr 8951  ax-i2m1 8952  ax-1ne0 8953  ax-1rid 8954  ax-rnegex 8955  ax-rrecex 8956  ax-cnre 8957  ax-pre-lttri 8958  ax-pre-lttrn 8959  ax-pre-ltadd 8960  ax-pre-mulgt0 8961  ax-addf 8963  ax-mulf 8964
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 936  df-3an 937  df-xor 1310  df-tru 1324  df-ex 1547  df-nf 1550  df-sb 1654  df-eu 2221  df-mo 2222  df-clab 2353  df-cleq 2359  df-clel 2362  df-nfc 2491  df-ne 2531  df-nel 2532  df-ral 2633  df-rex 2634  df-reu 2635  df-rmo 2636  df-rab 2637  df-v 2875  df-sbc 3078  df-csb 3168  df-dif 3241  df-un 3243  df-in 3245  df-ss 3252  df-pss 3254  df-nul 3544  df-if 3655  df-pw 3716  df-sn 3735  df-pr 3736  df-tp 3737  df-op 3738  df-ot 3739  df-uni 3930  df-int 3965  df-iun 4009  df-iin 4010  df-br 4126  df-opab 4180  df-mpt 4181  df-tr 4216  df-eprel 4408  df-id 4412  df-po 4417  df-so 4418  df-fr 4455  df-se 4456  df-we 4457  df-ord 4498  df-on 4499  df-lim 4500  df-suc 4501  df-om 4760  df-xp 4798  df-rel 4799  df-cnv 4800  df-co 4801  df-dm 4802  df-rn 4803  df-res 4804  df-ima 4805  df-iota 5322  df-fun 5360  df-fn 5361  df-f 5362  df-f1 5363  df-fo 5364  df-f1o 5365  df-fv 5366  df-isom 5367  df-ov 5984  df-oprab 5985  df-mpt2 5986  df-1st 6249  df-2nd 6250  df-tpos 6376  df-riota 6446  df-recs 6530  df-rdg 6565  df-1o 6621  df-2o 6622  df-oadd 6625  df-er 6802  df-map 6917  df-en 7007  df-dom 7008  df-sdom 7009  df-fin 7010  df-card 7719  df-pnf 9016  df-mnf 9017  df-xr 9018  df-ltxr 9019  df-le 9020  df-sub 9186  df-neg 9187  df-div 9571  df-nn 9894  df-2 9951  df-3 9952  df-4 9953  df-5 9954  df-6 9955  df-7 9956  df-8 9957  df-9 9958  df-10 9959  df-n0 10115  df-z 10176  df-dec 10276  df-uz 10382  df-rp 10506  df-fz 10936  df-fzo 11026  df-seq 11211  df-exp 11270  df-hash 11506  df-word 11610  df-concat 11611  df-s1 11612  df-substr 11613  df-splice 11614  df-reverse 11615  df-s2 11699  df-struct 13358  df-ndx 13359  df-slot 13360  df-base 13361  df-sets 13362  df-ress 13363  df-plusg 13429  df-mulr 13430  df-starv 13431  df-tset 13435  df-ple 13436  df-ds 13438  df-unif 13439  df-0g 13614  df-gsum 13615  df-mre 13698  df-mrc 13699  df-acs 13701  df-mnd 14577  df-mhm 14625  df-submnd 14626  df-grp 14699  df-minusg 14700  df-subg 14828  df-ghm 14891  df-gim 14933  df-symg 14980  df-oppg 15029  df-cmn 15301  df-abl 15302  df-mgp 15536  df-rng 15550  df-cring 15551  df-ur 15552  df-oppr 15615  df-dvdsr 15633  df-unit 15634  df-invr 15664  df-dvr 15675  df-drng 15724  df-cnfld 16594  df-pmtr 26891  df-psgn 26921
  Copyright terms: Public domain W3C validator