Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  psgnpmtr Unicode version

Theorem psgnpmtr 26756
Description: All transpositions are odd. (Contributed by Stefan O'Rear, 29-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
psgnval.g  |-  G  =  ( SymGrp `  D )
psgnval.t  |-  T  =  ran  (pmTrsp `  D
)
psgnval.n  |-  N  =  (pmSgn `  D )
Assertion
Ref Expression
psgnpmtr  |-  ( P  e.  T  ->  ( N `  P )  =  -u 1 )

Proof of Theorem psgnpmtr
StepHypRef Expression
1 psgnval.t . . . . . 6  |-  T  =  ran  (pmTrsp `  D
)
2 psgnval.g . . . . . 6  |-  G  =  ( SymGrp `  D )
3 eqid 2358 . . . . . 6  |-  ( Base `  G )  =  (
Base `  G )
41, 2, 3symgtrf 26733 . . . . 5  |-  T  C_  ( Base `  G )
54sseli 3252 . . . 4  |-  ( P  e.  T  ->  P  e.  ( Base `  G
) )
63gsumws1 14561 . . . 4  |-  ( P  e.  ( Base `  G
)  ->  ( G  gsumg  <" P "> )  =  P )
75, 6syl 15 . . 3  |-  ( P  e.  T  ->  ( G  gsumg 
<" P "> )  =  P )
87fveq2d 5612 . 2  |-  ( P  e.  T  ->  ( N `  ( G  gsumg  <" P "> ) )  =  ( N `  P ) )
92, 3elbasfv 13288 . . . . 5  |-  ( P  e.  ( Base `  G
)  ->  D  e.  _V )
105, 9syl 15 . . . 4  |-  ( P  e.  T  ->  D  e.  _V )
11 s1cl 11537 . . . 4  |-  ( P  e.  T  ->  <" P ">  e. Word  T )
12 psgnval.n . . . . 5  |-  N  =  (pmSgn `  D )
132, 1, 12psgnvalii 26755 . . . 4  |-  ( ( D  e.  _V  /\  <" P ">  e. Word  T )  ->  ( N `  ( G  gsumg  <" P "> ) )  =  (
-u 1 ^ ( # `
 <" P "> ) ) )
1410, 11, 13syl2anc 642 . . 3  |-  ( P  e.  T  ->  ( N `  ( G  gsumg  <" P "> ) )  =  (
-u 1 ^ ( # `
 <" P "> ) ) )
15 s1len 11540 . . . . 5  |-  ( # `  <" P "> )  =  1
1615oveq2i 5956 . . . 4  |-  ( -u
1 ^ ( # `  <" P "> ) )  =  (
-u 1 ^ 1 )
17 neg1cn 9903 . . . . 5  |-  -u 1  e.  CC
18 exp1 11202 . . . . 5  |-  ( -u
1  e.  CC  ->  (
-u 1 ^ 1 )  =  -u 1
)
1917, 18ax-mp 8 . . . 4  |-  ( -u
1 ^ 1 )  =  -u 1
2016, 19eqtri 2378 . . 3  |-  ( -u
1 ^ ( # `  <" P "> ) )  =  -u
1
2114, 20syl6eq 2406 . 2  |-  ( P  e.  T  ->  ( N `  ( G  gsumg  <" P "> ) )  =  -u
1 )
228, 21eqtr3d 2392 1  |-  ( P  e.  T  ->  ( N `  P )  =  -u 1 )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1642    e. wcel 1710   _Vcvv 2864   ran crn 4772   ` cfv 5337  (class class class)co 5945   CCcc 8825   1c1 8828   -ucneg 9128   ^cexp 11197   #chash 11430  Word cword 11499   <"cs1 11501   Basecbs 13245    gsumg cgsu 13500   SymGrpcsymg 14868  pmTrspcpmtr 26707  pmSgncpsgn 26737
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1546  ax-5 1557  ax-17 1616  ax-9 1654  ax-8 1675  ax-13 1712  ax-14 1714  ax-6 1729  ax-7 1734  ax-11 1746  ax-12 1930  ax-ext 2339  ax-rep 4212  ax-sep 4222  ax-nul 4230  ax-pow 4269  ax-pr 4295  ax-un 4594  ax-cnex 8883  ax-resscn 8884  ax-1cn 8885  ax-icn 8886  ax-addcl 8887  ax-addrcl 8888  ax-mulcl 8889  ax-mulrcl 8890  ax-mulcom 8891  ax-addass 8892  ax-mulass 8893  ax-distr 8894  ax-i2m1 8895  ax-1ne0 8896  ax-1rid 8897  ax-rnegex 8898  ax-rrecex 8899  ax-cnre 8900  ax-pre-lttri 8901  ax-pre-lttrn 8902  ax-pre-ltadd 8903  ax-pre-mulgt0 8904
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-xor 1305  df-tru 1319  df-ex 1542  df-nf 1545  df-sb 1649  df-eu 2213  df-mo 2214  df-clab 2345  df-cleq 2351  df-clel 2354  df-nfc 2483  df-ne 2523  df-nel 2524  df-ral 2624  df-rex 2625  df-reu 2626  df-rmo 2627  df-rab 2628  df-v 2866  df-sbc 3068  df-csb 3158  df-dif 3231  df-un 3233  df-in 3235  df-ss 3242  df-pss 3244  df-nul 3532  df-if 3642  df-pw 3703  df-sn 3722  df-pr 3723  df-tp 3724  df-op 3725  df-ot 3726  df-uni 3909  df-int 3944  df-iun 3988  df-iin 3989  df-br 4105  df-opab 4159  df-mpt 4160  df-tr 4195  df-eprel 4387  df-id 4391  df-po 4396  df-so 4397  df-fr 4434  df-se 4435  df-we 4436  df-ord 4477  df-on 4478  df-lim 4479  df-suc 4480  df-om 4739  df-xp 4777  df-rel 4778  df-cnv 4779  df-co 4780  df-dm 4781  df-rn 4782  df-res 4783  df-ima 4784  df-iota 5301  df-fun 5339  df-fn 5340  df-f 5341  df-f1 5342  df-fo 5343  df-f1o 5344  df-fv 5345  df-isom 5346  df-ov 5948  df-oprab 5949  df-mpt2 5950  df-1st 6209  df-2nd 6210  df-tpos 6321  df-riota 6391  df-recs 6475  df-rdg 6510  df-1o 6566  df-2o 6567  df-oadd 6570  df-er 6747  df-map 6862  df-en 6952  df-dom 6953  df-sdom 6954  df-fin 6955  df-card 7662  df-pnf 8959  df-mnf 8960  df-xr 8961  df-ltxr 8962  df-le 8963  df-sub 9129  df-neg 9130  df-div 9514  df-nn 9837  df-2 9894  df-3 9895  df-4 9896  df-5 9897  df-6 9898  df-7 9899  df-8 9900  df-9 9901  df-n0 10058  df-z 10117  df-uz 10323  df-rp 10447  df-fz 10875  df-fzo 10963  df-seq 11139  df-exp 11198  df-hash 11431  df-word 11505  df-concat 11506  df-s1 11507  df-substr 11508  df-splice 11509  df-reverse 11510  df-s2 11594  df-struct 13247  df-ndx 13248  df-slot 13249  df-base 13250  df-sets 13251  df-ress 13252  df-plusg 13318  df-tset 13324  df-0g 13503  df-gsum 13504  df-mre 13587  df-mrc 13588  df-acs 13590  df-mnd 14466  df-mhm 14514  df-submnd 14515  df-grp 14588  df-minusg 14589  df-subg 14717  df-ghm 14780  df-gim 14822  df-symg 14869  df-oppg 14918  df-pmtr 26708  df-psgn 26738
  Copyright terms: Public domain W3C validator