Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  psgnpmtr Structured version   Unicode version

Theorem psgnpmtr 27424
Description: All transpositions are odd. (Contributed by Stefan O'Rear, 29-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
psgnval.g  |-  G  =  ( SymGrp `  D )
psgnval.t  |-  T  =  ran  (pmTrsp `  D
)
psgnval.n  |-  N  =  (pmSgn `  D )
Assertion
Ref Expression
psgnpmtr  |-  ( P  e.  T  ->  ( N `  P )  =  -u 1 )

Proof of Theorem psgnpmtr
StepHypRef Expression
1 psgnval.t . . . . . 6  |-  T  =  ran  (pmTrsp `  D
)
2 psgnval.g . . . . . 6  |-  G  =  ( SymGrp `  D )
3 eqid 2438 . . . . . 6  |-  ( Base `  G )  =  (
Base `  G )
41, 2, 3symgtrf 27401 . . . . 5  |-  T  C_  ( Base `  G )
54sseli 3346 . . . 4  |-  ( P  e.  T  ->  P  e.  ( Base `  G
) )
63gsumws1 14790 . . . 4  |-  ( P  e.  ( Base `  G
)  ->  ( G  gsumg  <" P "> )  =  P )
75, 6syl 16 . . 3  |-  ( P  e.  T  ->  ( G  gsumg 
<" P "> )  =  P )
87fveq2d 5735 . 2  |-  ( P  e.  T  ->  ( N `  ( G  gsumg  <" P "> ) )  =  ( N `  P ) )
92, 3elbasfv 13517 . . . . 5  |-  ( P  e.  ( Base `  G
)  ->  D  e.  _V )
105, 9syl 16 . . . 4  |-  ( P  e.  T  ->  D  e.  _V )
11 s1cl 11760 . . . 4  |-  ( P  e.  T  ->  <" P ">  e. Word  T )
12 psgnval.n . . . . 5  |-  N  =  (pmSgn `  D )
132, 1, 12psgnvalii 27423 . . . 4  |-  ( ( D  e.  _V  /\  <" P ">  e. Word  T )  ->  ( N `  ( G  gsumg  <" P "> ) )  =  (
-u 1 ^ ( # `
 <" P "> ) ) )
1410, 11, 13syl2anc 644 . . 3  |-  ( P  e.  T  ->  ( N `  ( G  gsumg  <" P "> ) )  =  (
-u 1 ^ ( # `
 <" P "> ) ) )
15 s1len 11763 . . . . 5  |-  ( # `  <" P "> )  =  1
1615oveq2i 6095 . . . 4  |-  ( -u
1 ^ ( # `  <" P "> ) )  =  (
-u 1 ^ 1 )
17 neg1cn 10072 . . . . 5  |-  -u 1  e.  CC
18 exp1 11392 . . . . 5  |-  ( -u
1  e.  CC  ->  (
-u 1 ^ 1 )  =  -u 1
)
1917, 18ax-mp 5 . . . 4  |-  ( -u
1 ^ 1 )  =  -u 1
2016, 19eqtri 2458 . . 3  |-  ( -u
1 ^ ( # `  <" P "> ) )  =  -u
1
2114, 20syl6eq 2486 . 2  |-  ( P  e.  T  ->  ( N `  ( G  gsumg  <" P "> ) )  =  -u
1 )
228, 21eqtr3d 2472 1  |-  ( P  e.  T  ->  ( N `  P )  =  -u 1 )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1653    e. wcel 1726   _Vcvv 2958   ran crn 4882   ` cfv 5457  (class class class)co 6084   CCcc 8993   1c1 8996   -ucneg 9297   ^cexp 11387   #chash 11623  Word cword 11722   <"cs1 11724   Basecbs 13474    gsumg cgsu 13729   SymGrpcsymg 15097  pmTrspcpmtr 27375  pmSgncpsgn 27405
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4323  ax-sep 4333  ax-nul 4341  ax-pow 4380  ax-pr 4406  ax-un 4704  ax-cnex 9051  ax-resscn 9052  ax-1cn 9053  ax-icn 9054  ax-addcl 9055  ax-addrcl 9056  ax-mulcl 9057  ax-mulrcl 9058  ax-mulcom 9059  ax-addass 9060  ax-mulass 9061  ax-distr 9062  ax-i2m1 9063  ax-1ne0 9064  ax-1rid 9065  ax-rnegex 9066  ax-rrecex 9067  ax-cnre 9068  ax-pre-lttri 9069  ax-pre-lttrn 9070  ax-pre-ltadd 9071  ax-pre-mulgt0 9072
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-xor 1315  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rmo 2715  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-ot 3826  df-uni 4018  df-int 4053  df-iun 4097  df-iin 4098  df-br 4216  df-opab 4270  df-mpt 4271  df-tr 4306  df-eprel 4497  df-id 4501  df-po 4506  df-so 4507  df-fr 4544  df-se 4545  df-we 4546  df-ord 4587  df-on 4588  df-lim 4589  df-suc 4590  df-om 4849  df-xp 4887  df-rel 4888  df-cnv 4889  df-co 4890  df-dm 4891  df-rn 4892  df-res 4893  df-ima 4894  df-iota 5421  df-fun 5459  df-fn 5460  df-f 5461  df-f1 5462  df-fo 5463  df-f1o 5464  df-fv 5465  df-isom 5466  df-ov 6087  df-oprab 6088  df-mpt2 6089  df-1st 6352  df-2nd 6353  df-tpos 6482  df-riota 6552  df-recs 6636  df-rdg 6671  df-1o 6727  df-2o 6728  df-oadd 6731  df-er 6908  df-map 7023  df-en 7113  df-dom 7114  df-sdom 7115  df-fin 7116  df-card 7831  df-pnf 9127  df-mnf 9128  df-xr 9129  df-ltxr 9130  df-le 9131  df-sub 9298  df-neg 9299  df-div 9683  df-nn 10006  df-2 10063  df-3 10064  df-4 10065  df-5 10066  df-6 10067  df-7 10068  df-8 10069  df-9 10070  df-n0 10227  df-z 10288  df-uz 10494  df-rp 10618  df-fz 11049  df-fzo 11141  df-seq 11329  df-exp 11388  df-hash 11624  df-word 11728  df-concat 11729  df-s1 11730  df-substr 11731  df-splice 11732  df-reverse 11733  df-s2 11817  df-struct 13476  df-ndx 13477  df-slot 13478  df-base 13479  df-sets 13480  df-ress 13481  df-plusg 13547  df-tset 13553  df-0g 13732  df-gsum 13733  df-mre 13816  df-mrc 13817  df-acs 13819  df-mnd 14695  df-mhm 14743  df-submnd 14744  df-grp 14817  df-minusg 14818  df-subg 14946  df-ghm 15009  df-gim 15051  df-symg 15098  df-oppg 15147  df-pmtr 27376  df-psgn 27406
  Copyright terms: Public domain W3C validator