Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  psgnpmtr Unicode version

Theorem psgnpmtr 27309
Description: All transpositions are odd. (Contributed by Stefan O'Rear, 29-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
psgnval.g  |-  G  =  ( SymGrp `  D )
psgnval.t  |-  T  =  ran  (pmTrsp `  D
)
psgnval.n  |-  N  =  (pmSgn `  D )
Assertion
Ref Expression
psgnpmtr  |-  ( P  e.  T  ->  ( N `  P )  =  -u 1 )

Proof of Theorem psgnpmtr
StepHypRef Expression
1 psgnval.t . . . . . 6  |-  T  =  ran  (pmTrsp `  D
)
2 psgnval.g . . . . . 6  |-  G  =  ( SymGrp `  D )
3 eqid 2412 . . . . . 6  |-  ( Base `  G )  =  (
Base `  G )
41, 2, 3symgtrf 27286 . . . . 5  |-  T  C_  ( Base `  G )
54sseli 3312 . . . 4  |-  ( P  e.  T  ->  P  e.  ( Base `  G
) )
63gsumws1 14748 . . . 4  |-  ( P  e.  ( Base `  G
)  ->  ( G  gsumg  <" P "> )  =  P )
75, 6syl 16 . . 3  |-  ( P  e.  T  ->  ( G  gsumg 
<" P "> )  =  P )
87fveq2d 5699 . 2  |-  ( P  e.  T  ->  ( N `  ( G  gsumg  <" P "> ) )  =  ( N `  P ) )
92, 3elbasfv 13475 . . . . 5  |-  ( P  e.  ( Base `  G
)  ->  D  e.  _V )
105, 9syl 16 . . . 4  |-  ( P  e.  T  ->  D  e.  _V )
11 s1cl 11718 . . . 4  |-  ( P  e.  T  ->  <" P ">  e. Word  T )
12 psgnval.n . . . . 5  |-  N  =  (pmSgn `  D )
132, 1, 12psgnvalii 27308 . . . 4  |-  ( ( D  e.  _V  /\  <" P ">  e. Word  T )  ->  ( N `  ( G  gsumg  <" P "> ) )  =  (
-u 1 ^ ( # `
 <" P "> ) ) )
1410, 11, 13syl2anc 643 . . 3  |-  ( P  e.  T  ->  ( N `  ( G  gsumg  <" P "> ) )  =  (
-u 1 ^ ( # `
 <" P "> ) ) )
15 s1len 11721 . . . . 5  |-  ( # `  <" P "> )  =  1
1615oveq2i 6059 . . . 4  |-  ( -u
1 ^ ( # `  <" P "> ) )  =  (
-u 1 ^ 1 )
17 neg1cn 10031 . . . . 5  |-  -u 1  e.  CC
18 exp1 11350 . . . . 5  |-  ( -u
1  e.  CC  ->  (
-u 1 ^ 1 )  =  -u 1
)
1917, 18ax-mp 8 . . . 4  |-  ( -u
1 ^ 1 )  =  -u 1
2016, 19eqtri 2432 . . 3  |-  ( -u
1 ^ ( # `  <" P "> ) )  =  -u
1
2114, 20syl6eq 2460 . 2  |-  ( P  e.  T  ->  ( N `  ( G  gsumg  <" P "> ) )  =  -u
1 )
228, 21eqtr3d 2446 1  |-  ( P  e.  T  ->  ( N `  P )  =  -u 1 )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1649    e. wcel 1721   _Vcvv 2924   ran crn 4846   ` cfv 5421  (class class class)co 6048   CCcc 8952   1c1 8955   -ucneg 9256   ^cexp 11345   #chash 11581  Word cword 11680   <"cs1 11682   Basecbs 13432    gsumg cgsu 13687   SymGrpcsymg 15055  pmTrspcpmtr 27260  pmSgncpsgn 27290
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2393  ax-rep 4288  ax-sep 4298  ax-nul 4306  ax-pow 4345  ax-pr 4371  ax-un 4668  ax-cnex 9010  ax-resscn 9011  ax-1cn 9012  ax-icn 9013  ax-addcl 9014  ax-addrcl 9015  ax-mulcl 9016  ax-mulrcl 9017  ax-mulcom 9018  ax-addass 9019  ax-mulass 9020  ax-distr 9021  ax-i2m1 9022  ax-1ne0 9023  ax-1rid 9024  ax-rnegex 9025  ax-rrecex 9026  ax-cnre 9027  ax-pre-lttri 9028  ax-pre-lttrn 9029  ax-pre-ltadd 9030  ax-pre-mulgt0 9031
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-xor 1311  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2399  df-cleq 2405  df-clel 2408  df-nfc 2537  df-ne 2577  df-nel 2578  df-ral 2679  df-rex 2680  df-reu 2681  df-rmo 2682  df-rab 2683  df-v 2926  df-sbc 3130  df-csb 3220  df-dif 3291  df-un 3293  df-in 3295  df-ss 3302  df-pss 3304  df-nul 3597  df-if 3708  df-pw 3769  df-sn 3788  df-pr 3789  df-tp 3790  df-op 3791  df-ot 3792  df-uni 3984  df-int 4019  df-iun 4063  df-iin 4064  df-br 4181  df-opab 4235  df-mpt 4236  df-tr 4271  df-eprel 4462  df-id 4466  df-po 4471  df-so 4472  df-fr 4509  df-se 4510  df-we 4511  df-ord 4552  df-on 4553  df-lim 4554  df-suc 4555  df-om 4813  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857  df-ima 4858  df-iota 5385  df-fun 5423  df-fn 5424  df-f 5425  df-f1 5426  df-fo 5427  df-f1o 5428  df-fv 5429  df-isom 5430  df-ov 6051  df-oprab 6052  df-mpt2 6053  df-1st 6316  df-2nd 6317  df-tpos 6446  df-riota 6516  df-recs 6600  df-rdg 6635  df-1o 6691  df-2o 6692  df-oadd 6695  df-er 6872  df-map 6987  df-en 7077  df-dom 7078  df-sdom 7079  df-fin 7080  df-card 7790  df-pnf 9086  df-mnf 9087  df-xr 9088  df-ltxr 9089  df-le 9090  df-sub 9257  df-neg 9258  df-div 9642  df-nn 9965  df-2 10022  df-3 10023  df-4 10024  df-5 10025  df-6 10026  df-7 10027  df-8 10028  df-9 10029  df-n0 10186  df-z 10247  df-uz 10453  df-rp 10577  df-fz 11008  df-fzo 11099  df-seq 11287  df-exp 11346  df-hash 11582  df-word 11686  df-concat 11687  df-s1 11688  df-substr 11689  df-splice 11690  df-reverse 11691  df-s2 11775  df-struct 13434  df-ndx 13435  df-slot 13436  df-base 13437  df-sets 13438  df-ress 13439  df-plusg 13505  df-tset 13511  df-0g 13690  df-gsum 13691  df-mre 13774  df-mrc 13775  df-acs 13777  df-mnd 14653  df-mhm 14701  df-submnd 14702  df-grp 14775  df-minusg 14776  df-subg 14904  df-ghm 14967  df-gim 15009  df-symg 15056  df-oppg 15105  df-pmtr 27261  df-psgn 27291
  Copyright terms: Public domain W3C validator