Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  psgnuni Structured version   Unicode version

Theorem psgnuni 27401
 Description: If the same permutation can be written in more than one way as a product of transpositions, the parity of those products must agree; otherwise the product of one with the inverse of the other would be an odd representation of the identity. (Contributed by Stefan O'Rear, 27-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
psgnuni.g
psgnuni.t pmTrsp
psgnuni.d
psgnuni.w Word
psgnuni.x Word
psgnuni.e g g
Assertion
Ref Expression
psgnuni

Proof of Theorem psgnuni
StepHypRef Expression
1 psgnuni.w . . . . . 6 Word
2 lencl 11737 . . . . . 6 Word
31, 2syl 16 . . . . 5
43nn0zd 10375 . . . 4
5 m1expcl 11406 . . . 4
64, 5syl 16 . . 3
76zcnd 10378 . 2
8 psgnuni.x . . . . . 6 Word
9 lencl 11737 . . . . . 6 Word
108, 9syl 16 . . . . 5
1110nn0zd 10375 . . . 4
12 m1expcl 11406 . . . 4
1311, 12syl 16 . . 3
1413zcnd 10378 . 2
15 neg1cn 10069 . . . 4
16 ax-1cn 9050 . . . . 5
17 ax-1ne0 9061 . . . . 5
1816, 17negne0i 9377 . . . 4
19 expne0i 11414 . . . 4
2015, 18, 19mp3an12 1270 . . 3
2111, 20syl 16 . 2
22 m1expaddsub 27400 . . . . 5
234, 11, 22syl2anc 644 . . . 4
24 expsub 11429 . . . . . 6
2515, 18, 24mpanl12 665 . . . . 5
264, 11, 25syl2anc 644 . . . 4
2723, 26eqtr3d 2472 . . 3
28 revcl 11795 . . . . . . . 8 Word reverse Word
298, 28syl 16 . . . . . . 7 reverse Word
30 ccatlen 11746 . . . . . . 7 Word reverse Word concat reverse reverse
311, 29, 30syl2anc 644 . . . . . 6 concat reverse reverse
32 revlen 11796 . . . . . . . 8 Word reverse
338, 32syl 16 . . . . . . 7 reverse
3433oveq2d 6099 . . . . . 6 reverse
3531, 34eqtrd 2470 . . . . 5 concat reverse
3635oveq2d 6099 . . . 4 concat reverse
37 psgnuni.g . . . . 5
38 psgnuni.t . . . . 5 pmTrsp
39 psgnuni.d . . . . 5
40 ccatcl 11745 . . . . . 6 Word reverse Word concat reverse Word
411, 29, 40syl2anc 644 . . . . 5 concat reverse Word
42 psgnuni.e . . . . . . . . . 10 g g
4342fveq2d 5734 . . . . . . . . 9 g g
44 eqid 2438 . . . . . . . . . . 11
4538, 37, 44symgtrinv 27392 . . . . . . . . . 10 Word g g reverse
4639, 8, 45syl2anc 644 . . . . . . . . 9 g g reverse
4743, 46eqtr2d 2471 . . . . . . . 8 g reverse g
4847oveq2d 6099 . . . . . . 7 g g reverse g g
4937symggrp 15105 . . . . . . . . 9
5039, 49syl 16 . . . . . . . 8
51 grpmnd 14819 . . . . . . . . . 10
5250, 51syl 16 . . . . . . . . 9
53 eqid 2438 . . . . . . . . . . . 12
5438, 37, 53symgtrf 27389 . . . . . . . . . . 11
55 sswrd 11739 . . . . . . . . . . 11 Word Word
5654, 55ax-mp 8 . . . . . . . . . 10 Word Word
5756, 1sseldi 3348 . . . . . . . . 9 Word
5853gsumwcl 14788 . . . . . . . . 9 Word g
5952, 57, 58syl2anc 644 . . . . . . . 8 g
60 eqid 2438 . . . . . . . . 9
61 eqid 2438 . . . . . . . . 9
6253, 60, 61, 44grprinv 14854 . . . . . . . 8 g g g
6350, 59, 62syl2anc 644 . . . . . . 7 g g
6448, 63eqtrd 2470 . . . . . 6 g g reverse
6556, 29sseldi 3348 . . . . . . 7 reverse Word
6653, 60gsumccat 14789 . . . . . . 7 Word reverse Word g concat reverse g g reverse
6752, 57, 65, 66syl3anc 1185 . . . . . 6 g concat reverse g g reverse
6837symgid 15106 . . . . . . 7
6939, 68syl 16 . . . . . 6
7064, 67, 693eqtr4d 2480 . . . . 5 g concat reverse
7137, 38, 39, 41, 70psgnunilem4 27399 . . . 4 concat reverse
7236, 71eqtr3d 2472 . . 3
7327, 72eqtr3d 2472 . 2
747, 14, 21, 73diveq1d 9800 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wa 360   wceq 1653   wcel 1726   wne 2601   wss 3322   cid 4495   crn 4881   cres 4882  cfv 5456  (class class class)co 6083  cc 8990  cc0 8992  c1 8993   caddc 8995   cmin 9293  cneg 9294   cdiv 9679  cn0 10223  cz 10284  cexp 11384  chash 11620  Word cword 11719   concat cconcat 11720  reversecreverse 11724  cbs 13471   cplusg 13531  c0g 13725   g cgsu 13726  cmnd 14686  cgrp 14687  cminusg 14688  csymg 15094  pmTrspcpmtr 27363 This theorem is referenced by:  psgneu  27408 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4322  ax-sep 4332  ax-nul 4340  ax-pow 4379  ax-pr 4405  ax-un 4703  ax-cnex 9048  ax-resscn 9049  ax-1cn 9050  ax-icn 9051  ax-addcl 9052  ax-addrcl 9053  ax-mulcl 9054  ax-mulrcl 9055  ax-mulcom 9056  ax-addass 9057  ax-mulass 9058  ax-distr 9059  ax-i2m1 9060  ax-1ne0 9061  ax-1rid 9062  ax-rnegex 9063  ax-rrecex 9064  ax-cnre 9065  ax-pre-lttri 9066  ax-pre-lttrn 9067  ax-pre-ltadd 9068  ax-pre-mulgt0 9069 This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-xor 1315  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rmo 2715  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-ot 3826  df-uni 4018  df-int 4053  df-iun 4097  df-br 4215  df-opab 4269  df-mpt 4270  df-tr 4305  df-eprel 4496  df-id 4500  df-po 4505  df-so 4506  df-fr 4543  df-se 4544  df-we 4545  df-ord 4586  df-on 4587  df-lim 4588  df-suc 4589  df-om 4848  df-xp 4886  df-rel 4887  df-cnv 4888  df-co 4889  df-dm 4890  df-rn 4891  df-res 4892  df-ima 4893  df-iota 5420  df-fun 5458  df-fn 5459  df-f 5460  df-f1 5461  df-fo 5462  df-f1o 5463  df-fv 5464  df-isom 5465  df-ov 6086  df-oprab 6087  df-mpt2 6088  df-1st 6351  df-2nd 6352  df-tpos 6481  df-riota 6551  df-recs 6635  df-rdg 6670  df-1o 6726  df-2o 6727  df-oadd 6730  df-er 6907  df-map 7022  df-en 7112  df-dom 7113  df-sdom 7114  df-fin 7115  df-card 7828  df-pnf 9124  df-mnf 9125  df-xr 9126  df-ltxr 9127  df-le 9128  df-sub 9295  df-neg 9296  df-div 9680  df-nn 10003  df-2 10060  df-3 10061  df-4 10062  df-5 10063  df-6 10064  df-7 10065  df-8 10066  df-9 10067  df-n0 10224  df-z 10285  df-uz 10491  df-rp 10615  df-fz 11046  df-fzo 11138  df-seq 11326  df-exp 11385  df-hash 11621  df-word 11725  df-concat 11726  df-s1 11727  df-substr 11728  df-splice 11729  df-reverse 11730  df-s2 11814  df-struct 13473  df-ndx 13474  df-slot 13475  df-base 13476  df-sets 13477  df-ress 13478  df-plusg 13544  df-tset 13550  df-0g 13729  df-gsum 13730  df-mnd 14692  df-mhm 14740  df-submnd 14741  df-grp 14814  df-minusg 14815  df-subg 14943  df-ghm 15006  df-gim 15048  df-symg 15095  df-oppg 15144  df-pmtr 27364
 Copyright terms: Public domain W3C validator