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Theorem psgnunilem1 27519
Description: Lemma for psgnuni 27525. Given two consequtive transpositions in a representation of a permutation, either they are equal and therefore equivalent to the identity, or they are not and it is possible to commute them such that a chosen point in the left transposition is preserved in the right. By repeating this process, a point can be removed from a representation of the identity. (Contributed by Stefan O'Rear, 22-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
psgnunilem1.t  |-  T  =  ran  (pmTrsp `  D
)
psgnunilem1.d  |-  ( ph  ->  D  e.  V )
psgnunilem1.p  |-  ( ph  ->  P  e.  T )
psgnunilem1.q  |-  ( ph  ->  Q  e.  T )
psgnunilem1.a  |-  ( ph  ->  A  e.  dom  ( P  \  _I  ) )
Assertion
Ref Expression
psgnunilem1  |-  ( ph  ->  ( ( P  o.  Q )  =  (  _I  |`  D )  \/  E. r  e.  T  E. s  e.  T  ( ( P  o.  Q )  =  ( r  o.  s )  /\  A  e.  dom  ( s  \  _I  )  /\  -.  A  e. 
dom  ( r  \  _I  ) ) ) )
Distinct variable groups:    s, r, A    P, r, s    Q, r, s    T, r, s
Allowed substitution hints:    ph( s, r)    D( s, r)    V( s, r)

Proof of Theorem psgnunilem1
StepHypRef Expression
1 psgnunilem1.q . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  Q  e.  T )
2 eqid 2296 . . . . . . . . 9  |-  (pmTrsp `  D )  =  (pmTrsp `  D )
3 psgnunilem1.t . . . . . . . . 9  |-  T  =  ran  (pmTrsp `  D
)
42, 3pmtrfinv 27505 . . . . . . . 8  |-  ( Q  e.  T  ->  ( Q  o.  Q )  =  (  _I  |`  D ) )
51, 4syl 15 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( Q  o.  Q
)  =  (  _I  |`  D ) )
6 coeq1 4857 . . . . . . . 8  |-  ( P  =  Q  ->  ( P  o.  Q )  =  ( Q  o.  Q ) )
76eqeq1d 2304 . . . . . . 7  |-  ( P  =  Q  ->  (
( P  o.  Q
)  =  (  _I  |`  D )  <->  ( Q  o.  Q )  =  (  _I  |`  D )
) )
85, 7syl5ibrcom 213 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( P  =  Q  ->  ( P  o.  Q )  =  (  _I  |`  D )
) )
98adantr 451 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  A  e.  dom  ( Q  \  _I  ) )  ->  ( P  =  Q  ->  ( P  o.  Q )  =  (  _I  |`  D ) ) )
109imp 418 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  dom  ( Q  \  _I  ) )  /\  P  =  Q )  ->  ( P  o.  Q )  =  (  _I  |`  D ) )
1110orcd 381 . . 3  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  dom  ( Q  \  _I  ) )  /\  P  =  Q )  ->  (
( P  o.  Q
)  =  (  _I  |`  D )  \/  E. r  e.  T  E. s  e.  T  (
( P  o.  Q
)  =  ( r  o.  s )  /\  A  e.  dom  ( s 
\  _I  )  /\  -.  A  e.  dom  ( r  \  _I  ) ) ) )
12 psgnunilem1.p . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  P  e.  T )
132, 3pmtrfcnv 27508 . . . . . . . . . 10  |-  ( P  e.  T  ->  `' P  =  P )
1412, 13syl 15 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  `' P  =  P
)
1514eqcomd 2301 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  P  =  `' P
)
1615coeq2d 4862 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( P  o.  Q )  o.  P
)  =  ( ( P  o.  Q )  o.  `' P ) )
172, 3pmtrff1o 27507 . . . . . . . . 9  |-  ( P  e.  T  ->  P : D -1-1-onto-> D )
1812, 17syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  P : D -1-1-onto-> D )
192, 3pmtrfconj 27510 . . . . . . . 8  |-  ( ( Q  e.  T  /\  P : D -1-1-onto-> D )  ->  (
( P  o.  Q
)  o.  `' P
)  e.  T )
201, 18, 19syl2anc 642 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( P  o.  Q )  o.  `' P )  e.  T
)
2116, 20eqeltrd 2370 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( P  o.  Q )  o.  P
)  e.  T )
2221ad2antrr 706 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  dom  ( Q  \  _I  ) )  /\  P  =/=  Q )  ->  (
( P  o.  Q
)  o.  P )  e.  T )
2312ad2antrr 706 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  dom  ( Q  \  _I  ) )  /\  P  =/=  Q )  ->  P  e.  T )
24 coass 5207 . . . . . . 7  |-  ( ( ( P  o.  Q
)  o.  P )  o.  P )  =  ( ( P  o.  Q )  o.  ( P  o.  P )
)
252, 3pmtrfinv 27505 . . . . . . . . . 10  |-  ( P  e.  T  ->  ( P  o.  P )  =  (  _I  |`  D ) )
2612, 25syl 15 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( P  o.  P
)  =  (  _I  |`  D ) )
2726coeq2d 4862 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( P  o.  Q )  o.  ( P  o.  P )
)  =  ( ( P  o.  Q )  o.  (  _I  |`  D ) ) )
28 f1of 5488 . . . . . . . . . . 11  |-  ( P : D -1-1-onto-> D  ->  P : D
--> D )
2918, 28syl 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  P : D --> D )
302, 3pmtrff1o 27507 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( Q  e.  T  ->  Q : D -1-1-onto-> D )
311, 30syl 15 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  Q : D -1-1-onto-> D )
32 f1of 5488 . . . . . . . . . . 11  |-  ( Q : D -1-1-onto-> D  ->  Q : D
--> D )
3331, 32syl 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  Q : D --> D )
34 fco 5414 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( P : D --> D  /\  Q : D --> D )  ->  ( P  o.  Q ) : D --> D )
3529, 33, 34syl2anc 642 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( P  o.  Q
) : D --> D )
36 fcoi1 5431 . . . . . . . . 9  |-  ( ( P  o.  Q ) : D --> D  -> 
( ( P  o.  Q )  o.  (  _I  |`  D ) )  =  ( P  o.  Q ) )
3735, 36syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( P  o.  Q )  o.  (  _I  |`  D ) )  =  ( P  o.  Q ) )
3827, 37eqtrd 2328 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( P  o.  Q )  o.  ( P  o.  P )
)  =  ( P  o.  Q ) )
3924, 38syl5req 2341 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( P  o.  Q
)  =  ( ( ( P  o.  Q
)  o.  P )  o.  P ) )
4039ad2antrr 706 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  dom  ( Q  \  _I  ) )  /\  P  =/=  Q )  ->  ( P  o.  Q )  =  ( ( ( P  o.  Q )  o.  P )  o.  P ) )
41 psgnunilem1.a . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A  e.  dom  ( P  \  _I  ) )
4241ad2antrr 706 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  dom  ( Q  \  _I  ) )  /\  P  =/=  Q )  ->  A  e.  dom  ( P  \  _I  ) )
4318adantr 451 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( A  e.  dom  ( Q  \  _I  )  /\  A  e.  ( P " dom  ( Q  \  _I  )
) ) )  ->  P : D -1-1-onto-> D )
4431adantr 451 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( A  e.  dom  ( Q  \  _I  )  /\  A  e.  ( P " dom  ( Q  \  _I  )
) ) )  ->  Q : D -1-1-onto-> D )
452, 3pmtrfb 27509 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( P  e.  T  <->  ( D  e.  _V  /\  P : D
-1-1-onto-> D  /\  dom  ( P 
\  _I  )  ~~  2o ) )
4645simp3bi 972 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( P  e.  T  ->  dom  ( P  \  _I  )  ~~  2o )
4712, 46syl 15 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  dom  ( P  \  _I  )  ~~  2o )
4847adantr 451 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( A  e.  dom  ( Q  \  _I  )  /\  A  e.  ( P " dom  ( Q  \  _I  )
) ) )  ->  dom  ( P  \  _I  )  ~~  2o )
49 2onn 6654 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  2o  e.  om
50 nnfi 7069 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( 2o  e.  om  ->  2o  e.  Fin )
5149, 50ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  2o  e.  Fin
522, 3pmtrfb 27509 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( Q  e.  T  <->  ( D  e.  _V  /\  Q : D
-1-1-onto-> D  /\  dom  ( Q 
\  _I  )  ~~  2o ) )
5352simp3bi 972 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( Q  e.  T  ->  dom  ( Q  \  _I  )  ~~  2o )
541, 53syl 15 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  dom  ( Q  \  _I  )  ~~  2o )
55 enfi 7095 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( dom  ( Q  \  _I  )  ~~  2o  ->  ( dom  ( Q  \  _I  )  e.  Fin  <->  2o  e.  Fin ) )
5654, 55syl 15 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( dom  ( Q 
\  _I  )  e. 
Fin 
<->  2o  e.  Fin )
)
5751, 56mpbiri 224 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  dom  ( Q  \  _I  )  e.  Fin )
5857adantr 451 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( A  e.  dom  ( Q  \  _I  )  /\  A  e.  ( P " dom  ( Q  \  _I  )
) ) )  ->  dom  ( Q  \  _I  )  e.  Fin )
5941adantr 451 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( A  e.  dom  ( Q  \  _I  )  /\  A  e.  ( P " dom  ( Q  \  _I  )
) ) )  ->  A  e.  dom  ( P 
\  _I  ) )
60 en2eleq 27484 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  dom  ( P  \  _I  )  /\  dom  ( P  \  _I  )  ~~  2o )  ->  dom  ( P  \  _I  )  =  { A ,  U. ( dom  ( P  \  _I  )  \  { A } ) } )
6159, 48, 60syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( A  e.  dom  ( Q  \  _I  )  /\  A  e.  ( P " dom  ( Q  \  _I  )
) ) )  ->  dom  ( P  \  _I  )  =  { A ,  U. ( dom  ( P  \  _I  )  \  { A } ) } )
62 simprl 732 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( A  e.  dom  ( Q  \  _I  )  /\  A  e.  ( P " dom  ( Q  \  _I  )
) ) )  ->  A  e.  dom  ( Q 
\  _I  ) )
63 difss 3316 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( P 
\  _I  )  C_  P
64 dmss 4894 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( P  \  _I  )  C_  P  ->  dom  ( P 
\  _I  )  C_  dom  P )
6563, 64ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  dom  ( P  \  _I  )  C_  dom  P
66 f1odm 5492 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( P : D -1-1-onto-> D  ->  dom  P  =  D )
6718, 66syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  dom  P  =  D )
6865, 67syl5sseq 3239 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  dom  ( P  \  _I  )  C_  D )
6968, 41sseldd 3194 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  A  e.  D )
70 eqid 2296 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  dom  ( P  \  _I  )  =  dom  ( P  \  _I  )
712, 3, 70pmtrffv 27504 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( P  e.  T  /\  A  e.  D )  ->  ( P `  A
)  =  if ( A  e.  dom  ( P  \  _I  ) , 
U. ( dom  ( P  \  _I  )  \  { A } ) ,  A ) )
7212, 69, 71syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( P `  A
)  =  if ( A  e.  dom  ( P  \  _I  ) , 
U. ( dom  ( P  \  _I  )  \  { A } ) ,  A ) )
73 iftrue 3584 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( A  e.  dom  ( P 
\  _I  )  ->  if ( A  e.  dom  ( P  \  _I  ) ,  U. ( dom  ( P  \  _I  )  \  { A } ) ,  A )  =  U. ( dom  ( P  \  _I  )  \  { A } ) )
7441, 73syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  if ( A  e. 
dom  ( P  \  _I  ) ,  U. ( dom  ( P  \  _I  )  \  { A }
) ,  A )  =  U. ( dom  ( P  \  _I  )  \  { A }
) )
7572, 74eqtrd 2328 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( P `  A
)  =  U. ( dom  ( P  \  _I  )  \  { A }
) )
7675adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( A  e.  dom  ( Q  \  _I  )  /\  A  e.  ( P " dom  ( Q  \  _I  )
) ) )  -> 
( P `  A
)  =  U. ( dom  ( P  \  _I  )  \  { A }
) )
77 f1ofn 5489 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( P : D -1-1-onto-> D  ->  P  Fn  D )
7818, 77syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  P  Fn  D )
7978adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  ( A  e.  dom  ( Q  \  _I  )  /\  A  e.  ( P " dom  ( Q  \  _I  )
) ) )  ->  P  Fn  D )
80 imassrn 5041 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( P
" dom  ( Q  \  _I  ) )  C_  ran  P
81 frn 5411 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( P : D --> D  ->  ran  P  C_  D )
8280, 81syl5ss 3203 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( P : D --> D  -> 
( P " dom  ( Q  \  _I  )
)  C_  D )
8329, 82syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( P " dom  ( Q  \  _I  )
)  C_  D )
8483adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  ( A  e.  dom  ( Q  \  _I  )  /\  A  e.  ( P " dom  ( Q  \  _I  )
) ) )  -> 
( P " dom  ( Q  \  _I  )
)  C_  D )
85 simprr 733 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  ( A  e.  dom  ( Q  \  _I  )  /\  A  e.  ( P " dom  ( Q  \  _I  )
) ) )  ->  A  e.  ( P " dom  ( Q  \  _I  ) ) )
86 fnfvima 5772 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( P  Fn  D  /\  ( P " dom  ( Q  \  _I  ) ) 
C_  D  /\  A  e.  ( P " dom  ( Q  \  _I  )
) )  ->  ( P `  A )  e.  ( P " ( P " dom  ( Q 
\  _I  ) ) ) )
8779, 84, 85, 86syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( A  e.  dom  ( Q  \  _I  )  /\  A  e.  ( P " dom  ( Q  \  _I  )
) ) )  -> 
( P `  A
)  e.  ( P
" ( P " dom  ( Q  \  _I  ) ) ) )
88 imaco 5194 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( P  o.  P )
" dom  ( Q  \  _I  ) )  =  ( P " ( P " dom  ( Q 
\  _I  ) ) )
8926imaeq1d 5027 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  ( ( P  o.  P ) " dom  ( Q  \  _I  )
)  =  ( (  _I  |`  D ) " dom  ( Q  \  _I  ) ) )
90 difss 3316 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( Q 
\  _I  )  C_  Q
91 dmss 4894 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( Q  \  _I  )  C_  Q  ->  dom  ( Q 
\  _I  )  C_  dom  Q )
9290, 91ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  dom  ( Q  \  _I  )  C_  dom  Q
93 f1odm 5492 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( Q : D -1-1-onto-> D  ->  dom  Q  =  D )
9492, 93syl5sseq 3239 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( Q : D -1-1-onto-> D  ->  dom  ( Q 
\  _I  )  C_  D )
9531, 94syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  dom  ( Q  \  _I  )  C_  D )
96 resiima 5045 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( dom  ( Q  \  _I  )  C_  D  ->  (
(  _I  |`  D )
" dom  ( Q  \  _I  ) )  =  dom  ( Q  \  _I  ) )
9795, 96syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  ( (  _I  |`  D )
" dom  ( Q  \  _I  ) )  =  dom  ( Q  \  _I  ) )
9889, 97eqtrd 2328 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( ( P  o.  P ) " dom  ( Q  \  _I  )
)  =  dom  ( Q  \  _I  ) )
9988, 98syl5eqr 2342 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( P " ( P " dom  ( Q 
\  _I  ) ) )  =  dom  ( Q  \  _I  ) )
10099adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( A  e.  dom  ( Q  \  _I  )  /\  A  e.  ( P " dom  ( Q  \  _I  )
) ) )  -> 
( P " ( P " dom  ( Q 
\  _I  ) ) )  =  dom  ( Q  \  _I  ) )
10187, 100eleqtrd 2372 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( A  e.  dom  ( Q  \  _I  )  /\  A  e.  ( P " dom  ( Q  \  _I  )
) ) )  -> 
( P `  A
)  e.  dom  ( Q  \  _I  ) )
10276, 101eqeltrrd 2371 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( A  e.  dom  ( Q  \  _I  )  /\  A  e.  ( P " dom  ( Q  \  _I  )
) ) )  ->  U. ( dom  ( P 
\  _I  )  \  { A } )  e. 
dom  ( Q  \  _I  ) )
103 prssi 3787 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  dom  ( Q  \  _I  )  /\  U. ( dom  ( P 
\  _I  )  \  { A } )  e. 
dom  ( Q  \  _I  ) )  ->  { A ,  U. ( dom  ( P  \  _I  )  \  { A } ) } 
C_  dom  ( Q  \  _I  ) )
10462, 102, 103syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( A  e.  dom  ( Q  \  _I  )  /\  A  e.  ( P " dom  ( Q  \  _I  )
) ) )  ->  { A ,  U. ( dom  ( P  \  _I  )  \  { A }
) }  C_  dom  ( Q  \  _I  )
)
10561, 104eqsstrd 3225 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( A  e.  dom  ( Q  \  _I  )  /\  A  e.  ( P " dom  ( Q  \  _I  )
) ) )  ->  dom  ( P  \  _I  )  C_  dom  ( Q 
\  _I  ) )
106 ensym 6926 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( dom  ( Q  \  _I  )  ~~  2o  ->  2o  ~~ 
dom  ( Q  \  _I  ) )
10754, 106syl 15 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  2o  ~~  dom  ( Q  \  _I  ) )
108 entr 6929 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( dom  ( P  \  _I  )  ~~  2o  /\  2o  ~~  dom  ( Q 
\  _I  ) )  ->  dom  ( P  \  _I  )  ~~  dom  ( Q  \  _I  )
)
10947, 107, 108syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  dom  ( P  \  _I  )  ~~  dom  ( Q  \  _I  ) )
110109adantr 451 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( A  e.  dom  ( Q  \  _I  )  /\  A  e.  ( P " dom  ( Q  \  _I  )
) ) )  ->  dom  ( P  \  _I  )  ~~  dom  ( Q 
\  _I  ) )
111 fisseneq 7090 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( dom  ( Q  \  _I  )  e.  Fin  /\ 
dom  ( P  \  _I  )  C_  dom  ( Q  \  _I  )  /\  dom  ( P  \  _I  )  ~~  dom  ( Q 
\  _I  ) )  ->  dom  ( P  \  _I  )  =  dom  ( Q  \  _I  )
)
11258, 105, 110, 111syl3anc 1182 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( A  e.  dom  ( Q  \  _I  )  /\  A  e.  ( P " dom  ( Q  \  _I  )
) ) )  ->  dom  ( P  \  _I  )  =  dom  ( Q 
\  _I  ) )
113112eqcomd 2301 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( A  e.  dom  ( Q  \  _I  )  /\  A  e.  ( P " dom  ( Q  \  _I  )
) ) )  ->  dom  ( Q  \  _I  )  =  dom  ( P 
\  _I  ) )
114 f1otrspeq 27493 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( P : D -1-1-onto-> D  /\  Q : D -1-1-onto-> D )  /\  ( dom  ( P  \  _I  )  ~~  2o  /\  dom  ( Q 
\  _I  )  =  dom  ( P  \  _I  ) ) )  ->  P  =  Q )
11543, 44, 48, 113, 114syl22anc 1183 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( A  e.  dom  ( Q  \  _I  )  /\  A  e.  ( P " dom  ( Q  \  _I  )
) ) )  ->  P  =  Q )
116115expr 598 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  A  e.  dom  ( Q  \  _I  ) )  ->  ( A  e.  ( P " dom  ( Q  \  _I  ) )  ->  P  =  Q ) )
117116necon3ad 2495 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  A  e.  dom  ( Q  \  _I  ) )  ->  ( P  =/=  Q  ->  -.  A  e.  ( P " dom  ( Q  \  _I  ) ) ) )
118117imp 418 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  dom  ( Q  \  _I  ) )  /\  P  =/=  Q )  ->  -.  A  e.  ( P " dom  ( Q  \  _I  ) ) )
11916difeq1d 3306 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( ( P  o.  Q )  o.  P )  \  _I  )  =  ( (
( P  o.  Q
)  o.  `' P
)  \  _I  )
)
120119dmeqd 4897 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  dom  ( ( ( P  o.  Q )  o.  P )  \  _I  )  =  dom  ( ( ( P  o.  Q )  o.  `' P )  \  _I  ) )
121 f1omvdconj 27492 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( Q : D --> D  /\  P : D -1-1-onto-> D )  ->  dom  ( ( ( P  o.  Q )  o.  `' P )  \  _I  )  =  ( P " dom  ( Q  \  _I  ) ) )
12233, 18, 121syl2anc 642 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  dom  ( ( ( P  o.  Q )  o.  `' P ) 
\  _I  )  =  ( P " dom  ( Q  \  _I  )
) )
123120, 122eqtrd 2328 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  dom  ( ( ( P  o.  Q )  o.  P )  \  _I  )  =  ( P " dom  ( Q 
\  _I  ) ) )
124123eleq2d 2363 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( A  e.  dom  ( ( ( P  o.  Q )  o.  P )  \  _I  ) 
<->  A  e.  ( P
" dom  ( Q  \  _I  ) ) ) )
125124ad2antrr 706 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  dom  ( Q  \  _I  ) )  /\  P  =/=  Q )  ->  ( A  e.  dom  ( ( ( P  o.  Q
)  o.  P ) 
\  _I  )  <->  A  e.  ( P " dom  ( Q  \  _I  ) ) ) )
126118, 125mtbird 292 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  dom  ( Q  \  _I  ) )  /\  P  =/=  Q )  ->  -.  A  e.  dom  ( ( ( P  o.  Q
)  o.  P ) 
\  _I  ) )
127 coeq1 4857 . . . . . . . 8  |-  ( r  =  ( ( P  o.  Q )  o.  P )  ->  (
r  o.  s )  =  ( ( ( P  o.  Q )  o.  P )  o.  s ) )
128127eqeq2d 2307 . . . . . . 7  |-  ( r  =  ( ( P  o.  Q )  o.  P )  ->  (
( P  o.  Q
)  =  ( r  o.  s )  <->  ( P  o.  Q )  =  ( ( ( P  o.  Q )  o.  P
)  o.  s ) ) )
129 difeq1 3300 . . . . . . . . . 10  |-  ( r  =  ( ( P  o.  Q )  o.  P )  ->  (
r  \  _I  )  =  ( ( ( P  o.  Q )  o.  P )  \  _I  ) )
130129dmeqd 4897 . . . . . . . . 9  |-  ( r  =  ( ( P  o.  Q )  o.  P )  ->  dom  ( r  \  _I  )  =  dom  ( ( ( P  o.  Q
)  o.  P ) 
\  _I  ) )
131130eleq2d 2363 . . . . . . . 8  |-  ( r  =  ( ( P  o.  Q )  o.  P )  ->  ( A  e.  dom  ( r 
\  _I  )  <->  A  e.  dom  ( ( ( P  o.  Q )  o.  P )  \  _I  ) ) )
132131notbid 285 . . . . . . 7  |-  ( r  =  ( ( P  o.  Q )  o.  P )  ->  ( -.  A  e.  dom  ( r  \  _I  ) 
<->  -.  A  e.  dom  ( ( ( P  o.  Q )  o.  P )  \  _I  ) ) )
133128, 1323anbi13d 1254 . . . . . 6  |-  ( r  =  ( ( P  o.  Q )  o.  P )  ->  (
( ( P  o.  Q )  =  ( r  o.  s )  /\  A  e.  dom  ( s  \  _I  )  /\  -.  A  e. 
dom  ( r  \  _I  ) )  <->  ( ( P  o.  Q )  =  ( ( ( P  o.  Q )  o.  P )  o.  s )  /\  A  e.  dom  ( s  \  _I  )  /\  -.  A  e.  dom  ( ( ( P  o.  Q )  o.  P )  \  _I  ) ) ) )
134 coeq2 4858 . . . . . . . 8  |-  ( s  =  P  ->  (
( ( P  o.  Q )  o.  P
)  o.  s )  =  ( ( ( P  o.  Q )  o.  P )  o.  P ) )
135134eqeq2d 2307 . . . . . . 7  |-  ( s  =  P  ->  (
( P  o.  Q
)  =  ( ( ( P  o.  Q
)  o.  P )  o.  s )  <->  ( P  o.  Q )  =  ( ( ( P  o.  Q )  o.  P
)  o.  P ) ) )
136 difeq1 3300 . . . . . . . . 9  |-  ( s  =  P  ->  (
s  \  _I  )  =  ( P  \  _I  ) )
137136dmeqd 4897 . . . . . . . 8  |-  ( s  =  P  ->  dom  ( s  \  _I  )  =  dom  ( P 
\  _I  ) )
138137eleq2d 2363 . . . . . . 7  |-  ( s  =  P  ->  ( A  e.  dom  ( s 
\  _I  )  <->  A  e.  dom  ( P  \  _I  ) ) )
139135, 1383anbi12d 1253 . . . . . 6  |-  ( s  =  P  ->  (
( ( P  o.  Q )  =  ( ( ( P  o.  Q )  o.  P
)  o.  s )  /\  A  e.  dom  ( s  \  _I  )  /\  -.  A  e. 
dom  ( ( ( P  o.  Q )  o.  P )  \  _I  ) )  <->  ( ( P  o.  Q )  =  ( ( ( P  o.  Q )  o.  P )  o.  P )  /\  A  e.  dom  ( P  \  _I  )  /\  -.  A  e.  dom  ( ( ( P  o.  Q )  o.  P )  \  _I  ) ) ) )
140133, 139rspc2ev 2905 . . . . 5  |-  ( ( ( ( P  o.  Q )  o.  P
)  e.  T  /\  P  e.  T  /\  ( ( P  o.  Q )  =  ( ( ( P  o.  Q )  o.  P
)  o.  P )  /\  A  e.  dom  ( P  \  _I  )  /\  -.  A  e.  dom  ( ( ( P  o.  Q )  o.  P )  \  _I  ) ) )  ->  E. r  e.  T  E. s  e.  T  ( ( P  o.  Q )  =  ( r  o.  s )  /\  A  e.  dom  ( s  \  _I  )  /\  -.  A  e. 
dom  ( r  \  _I  ) ) )
14122, 23, 40, 42, 126, 140syl113anc 1194 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  dom  ( Q  \  _I  ) )  /\  P  =/=  Q )  ->  E. r  e.  T  E. s  e.  T  ( ( P  o.  Q )  =  ( r  o.  s )  /\  A  e.  dom  ( s  \  _I  )  /\  -.  A  e.  dom  ( r  \  _I  ) ) )
142141olcd 382 . . 3  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  dom  ( Q  \  _I  ) )  /\  P  =/=  Q )  ->  (
( P  o.  Q
)  =  (  _I  |`  D )  \/  E. r  e.  T  E. s  e.  T  (
( P  o.  Q
)  =  ( r  o.  s )  /\  A  e.  dom  ( s 
\  _I  )  /\  -.  A  e.  dom  ( r  \  _I  ) ) ) )
14311, 142pm2.61dane 2537 . 2  |-  ( (
ph  /\  A  e.  dom  ( Q  \  _I  ) )  ->  (
( P  o.  Q
)  =  (  _I  |`  D )  \/  E. r  e.  T  E. s  e.  T  (
( P  o.  Q
)  =  ( r  o.  s )  /\  A  e.  dom  ( s 
\  _I  )  /\  -.  A  e.  dom  ( r  \  _I  ) ) ) )
1441adantr 451 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  -.  A  e.  dom  ( Q  \  _I  ) )  ->  Q  e.  T )
145 coass 5207 . . . . . . 7  |-  ( ( Q  o.  P )  o.  Q )  =  ( Q  o.  ( P  o.  Q )
)
1462, 3pmtrfcnv 27508 . . . . . . . . . 10  |-  ( Q  e.  T  ->  `' Q  =  Q )
1471, 146syl 15 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  `' Q  =  Q
)
148147eqcomd 2301 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  Q  =  `' Q
)
149148coeq2d 4862 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( Q  o.  P )  o.  Q
)  =  ( ( Q  o.  P )  o.  `' Q ) )
150145, 149syl5eqr 2342 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( Q  o.  ( P  o.  Q )
)  =  ( ( Q  o.  P )  o.  `' Q ) )
1512, 3pmtrfconj 27510 . . . . . . 7  |-  ( ( P  e.  T  /\  Q : D -1-1-onto-> D )  ->  (
( Q  o.  P
)  o.  `' Q
)  e.  T )
15212, 31, 151syl2anc 642 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( Q  o.  P )  o.  `' Q )  e.  T
)
153150, 152eqeltrd 2370 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( Q  o.  ( P  o.  Q )
)  e.  T )
154153adantr 451 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  -.  A  e.  dom  ( Q  \  _I  ) )  ->  ( Q  o.  ( P  o.  Q ) )  e.  T )
1555coeq1d 4861 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( Q  o.  Q )  o.  ( P  o.  Q )
)  =  ( (  _I  |`  D )  o.  ( P  o.  Q
) ) )
156 fcoi2 5432 . . . . . . . 8  |-  ( ( P  o.  Q ) : D --> D  -> 
( (  _I  |`  D )  o.  ( P  o.  Q ) )  =  ( P  o.  Q
) )
15735, 156syl 15 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( (  _I  |`  D )  o.  ( P  o.  Q ) )  =  ( P  o.  Q
) )
158155, 157eqtr2d 2329 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( P  o.  Q
)  =  ( ( Q  o.  Q )  o.  ( P  o.  Q ) ) )
159 coass 5207 . . . . . 6  |-  ( ( Q  o.  Q )  o.  ( P  o.  Q ) )  =  ( Q  o.  ( Q  o.  ( P  o.  Q ) ) )
160158, 159syl6eq 2344 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( P  o.  Q
)  =  ( Q  o.  ( Q  o.  ( P  o.  Q
) ) ) )
161160adantr 451 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  -.  A  e.  dom  ( Q  \  _I  ) )  ->  ( P  o.  Q )  =  ( Q  o.  ( Q  o.  ( P  o.  Q )
) ) )
162 f1ofn 5489 . . . . . . . . . 10  |-  ( Q : D -1-1-onto-> D  ->  Q  Fn  D )
16331, 162syl 15 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  Q  Fn  D )
164 fnelnfp 26860 . . . . . . . . 9  |-  ( ( Q  Fn  D  /\  A  e.  D )  ->  ( A  e.  dom  ( Q  \  _I  )  <->  ( Q `  A )  =/=  A ) )
165163, 69, 164syl2anc 642 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( A  e.  dom  ( Q  \  _I  )  <->  ( Q `  A )  =/=  A ) )
166165necon2bbid 2517 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( Q `  A )  =  A  <->  -.  A  e.  dom  ( Q  \  _I  )
) )
167166biimpar 471 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  -.  A  e.  dom  ( Q  \  _I  ) )  ->  ( Q `  A )  =  A )
168 fnfvima 5772 . . . . . . . 8  |-  ( ( Q  Fn  D  /\  dom  ( P  \  _I  )  C_  D  /\  A  e.  dom  ( P  \  _I  ) )  ->  ( Q `  A )  e.  ( Q " dom  ( P  \  _I  )
) )
169163, 68, 41, 168syl3anc 1182 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( Q `  A
)  e.  ( Q
" dom  ( P  \  _I  ) ) )
170169adantr 451 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  -.  A  e.  dom  ( Q  \  _I  ) )  ->  ( Q `  A )  e.  ( Q " dom  ( P  \  _I  )
) )
171167, 170eqeltrrd 2371 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  -.  A  e.  dom  ( Q  \  _I  ) )  ->  A  e.  ( Q " dom  ( P  \  _I  )
) )
172150difeq1d 3306 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( Q  o.  ( P  o.  Q
) )  \  _I  )  =  ( (
( Q  o.  P
)  o.  `' Q
)  \  _I  )
)
173172dmeqd 4897 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  dom  ( ( Q  o.  ( P  o.  Q ) )  \  _I  )  =  dom  ( ( ( Q  o.  P )  o.  `' Q )  \  _I  ) )
174 f1omvdconj 27492 . . . . . . . 8  |-  ( ( P : D --> D  /\  Q : D -1-1-onto-> D )  ->  dom  ( ( ( Q  o.  P )  o.  `' Q )  \  _I  )  =  ( Q " dom  ( P  \  _I  ) ) )
17529, 31, 174syl2anc 642 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  dom  ( ( ( Q  o.  P )  o.  `' Q ) 
\  _I  )  =  ( Q " dom  ( P  \  _I  )
) )
176173, 175eqtrd 2328 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  dom  ( ( Q  o.  ( P  o.  Q ) )  \  _I  )  =  ( Q " dom  ( P 
\  _I  ) ) )
177176adantr 451 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  -.  A  e.  dom  ( Q  \  _I  ) )  ->  dom  ( ( Q  o.  ( P  o.  Q
) )  \  _I  )  =  ( Q " dom  ( P  \  _I  ) ) )
178171, 177eleqtrrd 2373 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  -.  A  e.  dom  ( Q  \  _I  ) )  ->  A  e.  dom  ( ( Q  o.  ( P  o.  Q ) )  \  _I  ) )
179 simpr 447 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  -.  A  e.  dom  ( Q  \  _I  ) )  ->  -.  A  e.  dom  ( Q 
\  _I  ) )
180 coeq1 4857 . . . . . . 7  |-  ( r  =  Q  ->  (
r  o.  s )  =  ( Q  o.  s ) )
181180eqeq2d 2307 . . . . . 6  |-  ( r  =  Q  ->  (
( P  o.  Q
)  =  ( r  o.  s )  <->  ( P  o.  Q )  =  ( Q  o.  s ) ) )
182 difeq1 3300 . . . . . . . . 9  |-  ( r  =  Q  ->  (
r  \  _I  )  =  ( Q  \  _I  ) )
183182dmeqd 4897 . . . . . . . 8  |-  ( r  =  Q  ->  dom  ( r  \  _I  )  =  dom  ( Q 
\  _I  ) )
184183eleq2d 2363 . . . . . . 7  |-  ( r  =  Q  ->  ( A  e.  dom  ( r 
\  _I  )  <->  A  e.  dom  ( Q  \  _I  ) ) )
185184notbid 285 . . . . . 6  |-  ( r  =  Q  ->  ( -.  A  e.  dom  ( r  \  _I  ) 
<->  -.  A  e.  dom  ( Q  \  _I  )
) )
186181, 1853anbi13d 1254 . . . . 5  |-  ( r  =  Q  ->  (
( ( P  o.  Q )  =  ( r  o.  s )  /\  A  e.  dom  ( s  \  _I  )  /\  -.  A  e. 
dom  ( r  \  _I  ) )  <->  ( ( P  o.  Q )  =  ( Q  o.  s )  /\  A  e.  dom  ( s  \  _I  )  /\  -.  A  e.  dom  ( Q  \  _I  ) ) ) )
187 coeq2 4858 . . . . . . 7  |-  ( s  =  ( Q  o.  ( P  o.  Q
) )  ->  ( Q  o.  s )  =  ( Q  o.  ( Q  o.  ( P  o.  Q )
) ) )
188187eqeq2d 2307 . . . . . 6  |-  ( s  =  ( Q  o.  ( P  o.  Q
) )  ->  (
( P  o.  Q
)  =  ( Q  o.  s )  <->  ( P  o.  Q )  =  ( Q  o.  ( Q  o.  ( P  o.  Q ) ) ) ) )
189 difeq1 3300 . . . . . . . 8  |-  ( s  =  ( Q  o.  ( P  o.  Q
) )  ->  (
s  \  _I  )  =  ( ( Q  o.  ( P  o.  Q ) )  \  _I  ) )
190189dmeqd 4897 . . . . . . 7  |-  ( s  =  ( Q  o.  ( P  o.  Q
) )  ->  dom  ( s  \  _I  )  =  dom  ( ( Q  o.  ( P  o.  Q ) ) 
\  _I  ) )
191190eleq2d 2363 . . . . . 6  |-  ( s  =  ( Q  o.  ( P  o.  Q
) )  ->  ( A  e.  dom  ( s 
\  _I  )  <->  A  e.  dom  ( ( Q  o.  ( P  o.  Q
) )  \  _I  ) ) )
192188, 1913anbi12d 1253 . . . . 5  |-  ( s  =  ( Q  o.  ( P  o.  Q
) )  ->  (
( ( P  o.  Q )  =  ( Q  o.  s )  /\  A  e.  dom  ( s  \  _I  )  /\  -.  A  e. 
dom  ( Q  \  _I  ) )  <->  ( ( P  o.  Q )  =  ( Q  o.  ( Q  o.  ( P  o.  Q )
) )  /\  A  e.  dom  ( ( Q  o.  ( P  o.  Q ) )  \  _I  )  /\  -.  A  e.  dom  ( Q  \  _I  ) ) ) )
193186, 192rspc2ev 2905 . . . 4  |-  ( ( Q  e.  T  /\  ( Q  o.  ( P  o.  Q )
)  e.  T  /\  ( ( P  o.  Q )  =  ( Q  o.  ( Q  o.  ( P  o.  Q ) ) )  /\  A  e.  dom  ( ( Q  o.  ( P  o.  Q
) )  \  _I  )  /\  -.  A  e. 
dom  ( Q  \  _I  ) ) )  ->  E. r  e.  T  E. s  e.  T  ( ( P  o.  Q )  =  ( r  o.  s )  /\  A  e.  dom  ( s  \  _I  )  /\  -.  A  e. 
dom  ( r  \  _I  ) ) )
194144, 154, 161, 178, 179, 193syl113anc 1194 . . 3  |-  ( (
ph  /\  -.  A  e.  dom  ( Q  \  _I  ) )  ->  E. r  e.  T  E. s  e.  T  ( ( P  o.  Q )  =  ( r  o.  s )  /\  A  e.  dom  ( s  \  _I  )  /\  -.  A  e.  dom  ( r  \  _I  ) ) )
195194olcd 382 . 2  |-  ( (
ph  /\  -.  A  e.  dom  ( Q  \  _I  ) )  ->  (
( P  o.  Q
)  =  (  _I  |`  D )  \/  E. r  e.  T  E. s  e.  T  (
( P  o.  Q
)  =  ( r  o.  s )  /\  A  e.  dom  ( s 
\  _I  )  /\  -.  A  e.  dom  ( r  \  _I  ) ) ) )
196143, 195pm2.61dan 766 1  |-  ( ph  ->  ( ( P  o.  Q )  =  (  _I  |`  D )  \/  E. r  e.  T  E. s  e.  T  ( ( P  o.  Q )  =  ( r  o.  s )  /\  A  e.  dom  ( s  \  _I  )  /\  -.  A  e. 
dom  ( r  \  _I  ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 176    \/ wo 357    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1632    e. wcel 1696    =/= wne 2459   E.wrex 2557   _Vcvv 2801    \ cdif 3162    C_ wss 3165   ifcif 3578   {csn 3653   {cpr 3654   U.cuni 3843   class class class wbr 4039    _I cid 4320   omcom 4672   `'ccnv 4704   dom cdm 4705   ran crn 4706    |` cres 4707   "cima 4708    o. ccom 4709    Fn wfn 5266   -->wf 5267   -1-1-onto->wf1o 5270   ` cfv 5271   2oc2o 6489    ~~ cen 6876   Fincfn 6879  pmTrspcpmtr 27487
This theorem is referenced by:  psgnunilem2  27521
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-1o 6495  df-2o 6496  df-er 6676  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-fin 6883  df-pmtr 27488
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