Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  psgnunilem1 Unicode version

Theorem psgnunilem1 27519
 Description: Lemma for psgnuni 27525. Given two consequtive transpositions in a representation of a permutation, either they are equal and therefore equivalent to the identity, or they are not and it is possible to commute them such that a chosen point in the left transposition is preserved in the right. By repeating this process, a point can be removed from a representation of the identity. (Contributed by Stefan O'Rear, 22-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
psgnunilem1.t pmTrsp
psgnunilem1.d
psgnunilem1.p
psgnunilem1.q
psgnunilem1.a
Assertion
Ref Expression
psgnunilem1
Distinct variable groups:   ,,   ,,   ,,   ,,
Allowed substitution hints:   (,)   (,)   (,)

Proof of Theorem psgnunilem1
StepHypRef Expression
1 psgnunilem1.q . . . . . . . 8
2 eqid 2296 . . . . . . . . 9 pmTrsp pmTrsp
3 psgnunilem1.t . . . . . . . . 9 pmTrsp
42, 3pmtrfinv 27505 . . . . . . . 8
51, 4syl 15 . . . . . . 7
6 coeq1 4857 . . . . . . . 8
76eqeq1d 2304 . . . . . . 7
85, 7syl5ibrcom 213 . . . . . 6
98adantr 451 . . . . 5
109imp 418 . . . 4
1110orcd 381 . . 3
12 psgnunilem1.p . . . . . . . . . 10
132, 3pmtrfcnv 27508 . . . . . . . . . 10
1412, 13syl 15 . . . . . . . . 9
1514eqcomd 2301 . . . . . . . 8
1615coeq2d 4862 . . . . . . 7
172, 3pmtrff1o 27507 . . . . . . . . 9
1812, 17syl 15 . . . . . . . 8
192, 3pmtrfconj 27510 . . . . . . . 8
201, 18, 19syl2anc 642 . . . . . . 7
2116, 20eqeltrd 2370 . . . . . 6
2221ad2antrr 706 . . . . 5
2312ad2antrr 706 . . . . 5
24 coass 5207 . . . . . . 7
252, 3pmtrfinv 27505 . . . . . . . . . 10
2612, 25syl 15 . . . . . . . . 9
2726coeq2d 4862 . . . . . . . 8
28 f1of 5488 . . . . . . . . . . 11
2918, 28syl 15 . . . . . . . . . 10
302, 3pmtrff1o 27507 . . . . . . . . . . . 12
311, 30syl 15 . . . . . . . . . . 11
32 f1of 5488 . . . . . . . . . . 11
3331, 32syl 15 . . . . . . . . . 10
34 fco 5414 . . . . . . . . . 10
3529, 33, 34syl2anc 642 . . . . . . . . 9
36 fcoi1 5431 . . . . . . . . 9
3735, 36syl 15 . . . . . . . 8
3827, 37eqtrd 2328 . . . . . . 7
3924, 38syl5req 2341 . . . . . 6
4039ad2antrr 706 . . . . 5
41 psgnunilem1.a . . . . . 6
4241ad2antrr 706 . . . . 5
4318adantr 451 . . . . . . . . . 10
4431adantr 451 . . . . . . . . . 10
452, 3pmtrfb 27509 . . . . . . . . . . . . 13
4645simp3bi 972 . . . . . . . . . . . 12
4712, 46syl 15 . . . . . . . . . . 11
4847adantr 451 . . . . . . . . . 10
49 2onn 6654 . . . . . . . . . . . . . . 15
50 nnfi 7069 . . . . . . . . . . . . . . 15
5149, 50ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . . 14
522, 3pmtrfb 27509 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
5352simp3bi 972 . . . . . . . . . . . . . . . 16
541, 53syl 15 . . . . . . . . . . . . . . 15
55 enfi 7095 . . . . . . . . . . . . . . 15
5654, 55syl 15 . . . . . . . . . . . . . 14
5751, 56mpbiri 224 . . . . . . . . . . . . 13
5857adantr 451 . . . . . . . . . . . 12
5941adantr 451 . . . . . . . . . . . . . 14
60 en2eleq 27484 . . . . . . . . . . . . . 14
6159, 48, 60syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . 13
62 simprl 732 . . . . . . . . . . . . . 14
63 difss 3316 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
64 dmss 4894 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
6563, 64ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
66 f1odm 5492 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
6718, 66syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
6865, 67syl5sseq 3239 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
6968, 41sseldd 3194 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
70 eqid 2296 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
712, 3, 70pmtrffv 27504 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
7212, 69, 71syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
73 iftrue 3584 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
7441, 73syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
7572, 74eqtrd 2328 . . . . . . . . . . . . . . . 16
7675adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . 15
77 f1ofn 5489 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
7818, 77syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
7978adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
80 imassrn 5041 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
81 frn 5411 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
8280, 81syl5ss 3203 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
8329, 82syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
8483adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
85 simprr 733 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
86 fnfvima 5772 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
8779, 84, 85, 86syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . . . . . 16
88 imaco 5194 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
8926imaeq1d 5027 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
90 difss 3316 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
91 dmss 4894 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
9290, 91ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
93 f1odm 5492 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
9492, 93syl5sseq 3239 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
9531, 94syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
96 resiima 5045 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
9795, 96syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
9889, 97eqtrd 2328 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
9988, 98syl5eqr 2342 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
10099adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . 16
10187, 100eleqtrd 2372 . . . . . . . . . . . . . . 15
10276, 101eqeltrrd 2371 . . . . . . . . . . . . . 14
103 prssi 3787 . . . . . . . . . . . . . 14
10462, 102, 103syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . 13
10561, 104eqsstrd 3225 . . . . . . . . . . . 12
106 ensym 6926 . . . . . . . . . . . . . . 15
10754, 106syl 15 . . . . . . . . . . . . . 14
108 entr 6929 . . . . . . . . . . . . . 14
10947, 107, 108syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . 13
110109adantr 451 . . . . . . . . . . . 12
111 fisseneq 7090 . . . . . . . . . . . 12
11258, 105, 110, 111syl3anc 1182 . . . . . . . . . . 11
113112eqcomd 2301 . . . . . . . . . 10
114 f1otrspeq 27493 . . . . . . . . . 10
11543, 44, 48, 113, 114syl22anc 1183 . . . . . . . . 9
116115expr 598 . . . . . . . 8
117116necon3ad 2495 . . . . . . 7
118117imp 418 . . . . . 6
11916difeq1d 3306 . . . . . . . . . 10
120119dmeqd 4897 . . . . . . . . 9
121 f1omvdconj 27492 . . . . . . . . . 10
12233, 18, 121syl2anc 642 . . . . . . . . 9
123120, 122eqtrd 2328 . . . . . . . 8
124123eleq2d 2363 . . . . . . 7
125124ad2antrr 706 . . . . . 6
126118, 125mtbird 292 . . . . 5
127 coeq1 4857 . . . . . . . 8
128127eqeq2d 2307 . . . . . . 7
129 difeq1 3300 . . . . . . . . . 10
130129dmeqd 4897 . . . . . . . . 9
131130eleq2d 2363 . . . . . . . 8
132131notbid 285 . . . . . . 7
133128, 1323anbi13d 1254 . . . . . 6
134 coeq2 4858 . . . . . . . 8
135134eqeq2d 2307 . . . . . . 7
136 difeq1 3300 . . . . . . . . 9
137136dmeqd 4897 . . . . . . . 8
138137eleq2d 2363 . . . . . . 7
139135, 1383anbi12d 1253 . . . . . 6
140133, 139rspc2ev 2905 . . . . 5
14122, 23, 40, 42, 126, 140syl113anc 1194 . . . 4
142141olcd 382 . . 3
14311, 142pm2.61dane 2537 . 2
1441adantr 451 . . . 4
145 coass 5207 . . . . . . 7
1462, 3pmtrfcnv 27508 . . . . . . . . . 10
1471, 146syl 15 . . . . . . . . 9
148147eqcomd 2301 . . . . . . . 8
149148coeq2d 4862 . . . . . . 7
150145, 149syl5eqr 2342 . . . . . 6
1512, 3pmtrfconj 27510 . . . . . . 7
15212, 31, 151syl2anc 642 . . . . . 6
153150, 152eqeltrd 2370 . . . . 5
154153adantr 451 . . . 4
1555coeq1d 4861 . . . . . . 7
156 fcoi2 5432 . . . . . . . 8
15735, 156syl 15 . . . . . . 7
158155, 157eqtr2d 2329 . . . . . 6
159 coass 5207 . . . . . 6
160158, 159syl6eq 2344 . . . . 5
161160adantr 451 . . . 4
162 f1ofn 5489 . . . . . . . . . 10
16331, 162syl 15 . . . . . . . . 9
164 fnelnfp 26860 . . . . . . . . 9
165163, 69, 164syl2anc 642 . . . . . . . 8
166165necon2bbid 2517 . . . . . . 7
167166biimpar 471 . . . . . 6
168 fnfvima 5772 . . . . . . . 8
169163, 68, 41, 168syl3anc 1182 . . . . . . 7
170169adantr 451 . . . . . 6
171167, 170eqeltrrd 2371 . . . . 5
172150difeq1d 3306 . . . . . . . 8
173172dmeqd 4897 . . . . . . 7
174 f1omvdconj 27492 . . . . . . . 8
17529, 31, 174syl2anc 642 . . . . . . 7
176173, 175eqtrd 2328 . . . . . 6
177176adantr 451 . . . . 5
178171, 177eleqtrrd 2373 . . . 4
179 simpr 447 . . . 4
180 coeq1 4857 . . . . . . 7
181180eqeq2d 2307 . . . . . 6
182 difeq1 3300 . . . . . . . . 9
183182dmeqd 4897 . . . . . . . 8
184183eleq2d 2363 . . . . . . 7
185184notbid 285 . . . . . 6
186181, 1853anbi13d 1254 . . . . 5
187 coeq2 4858 . . . . . . 7
188187eqeq2d 2307 . . . . . 6
189 difeq1 3300 . . . . . . . 8
190189dmeqd 4897 . . . . . . 7
191190eleq2d 2363 . . . . . 6
192188, 1913anbi12d 1253 . . . . 5
193186, 192rspc2ev 2905 . . . 4
194144, 154, 161, 178, 179, 193syl113anc 1194 . . 3
195194olcd 382 . 2
196143, 195pm2.61dan 766 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wn 3   wi 4   wb 176   wo 357   wa 358   w3a 934   wceq 1632   wcel 1696   wne 2459  wrex 2557  cvv 2801   cdif 3162   wss 3165  cif 3578  csn 3653  cpr 3654  cuni 3843   class class class wbr 4039   cid 4320  com 4672  ccnv 4704   cdm 4705   crn 4706   cres 4707  cima 4708   ccom 4709   wfn 5266  wf 5267  wf1o 5270  cfv 5271  c2o 6489   cen 6876  cfn 6879  pmTrspcpmtr 27487 This theorem is referenced by:  psgnunilem2  27521 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528 This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-1o 6495  df-2o 6496  df-er 6676  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-fin 6883  df-pmtr 27488
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