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Theorem psgnunilem2 27397
 Description: Lemma for psgnuni 27401. Induction step for moving a transposition as far to the right as possible. (Contributed by Stefan O'Rear, 24-Aug-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Feb-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
psgnunilem2.g
psgnunilem2.t pmTrsp
psgnunilem2.d
psgnunilem2.w Word
psgnunilem2.id g
psgnunilem2.l
psgnunilem2.ix ..^
psgnunilem2.a
psgnunilem2.al ..^
psgnunilem2.in Word g
Assertion
Ref Expression
psgnunilem2 Word g ..^ ..^
Distinct variable groups:   ,,,   ,,,   ,   ,   ,,,   ,,,,   ,,,   ,,,,   ,,
Allowed substitution hints:   (,,)   ()   ()   ()   (,)   (,,,)

Proof of Theorem psgnunilem2
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 psgnunilem2.w . . . . . . 7 Word
2 wrd0 11734 . . . . . . 7 Word
3 splcl 11783 . . . . . . 7 Word Word splice Word
41, 2, 3sylancl 645 . . . . . 6 splice Word
54adantr 453 . . . . 5 splice Word
6 fzossfz 11159 . . . . . . . . . . 11 ..^
7 psgnunilem2.ix . . . . . . . . . . 11 ..^
86, 7sseldi 3348 . . . . . . . . . 10
9 elfznn0 11085 . . . . . . . . . 10
108, 9syl 16 . . . . . . . . 9
11 2nn0 10240 . . . . . . . . . 10
12 nn0addcl 10257 . . . . . . . . . 10
1310, 11, 12sylancl 645 . . . . . . . . 9
1410nn0red 10277 . . . . . . . . . 10
15 nn0addge1 10268 . . . . . . . . . 10
1614, 11, 15sylancl 645 . . . . . . . . 9
17 elfz2nn0 11084 . . . . . . . . 9
1810, 13, 16, 17syl3anbrc 1139 . . . . . . . 8
19 psgnunilem2.g . . . . . . . . . . 11
20 psgnunilem2.t . . . . . . . . . . 11 pmTrsp
21 psgnunilem2.d . . . . . . . . . . 11
22 psgnunilem2.id . . . . . . . . . . 11 g
23 psgnunilem2.l . . . . . . . . . . 11
24 psgnunilem2.a . . . . . . . . . . 11
25 psgnunilem2.al . . . . . . . . . . 11 ..^
2619, 20, 21, 1, 22, 23, 7, 24, 25psgnunilem5 27396 . . . . . . . . . 10 ..^
27 fzofzp1 11191 . . . . . . . . . 10 ..^
2826, 27syl 16 . . . . . . . . 9
2910nn0cnd 10278 . . . . . . . . . . 11
30 ax-1cn 9050 . . . . . . . . . . . 12
3130a1i 11 . . . . . . . . . . 11
3229, 31, 31addassd 9112 . . . . . . . . . 10
33 df-2 10060 . . . . . . . . . . 11
3433oveq2i 6094 . . . . . . . . . 10
3532, 34syl6reqr 2489 . . . . . . . . 9
3623oveq2d 6099 . . . . . . . . 9
3728, 35, 363eltr4d 2519 . . . . . . . 8
382a1i 11 . . . . . . . 8 Word
391, 18, 37, 38spllen 11785 . . . . . . 7 splice
40 hash0 11648 . . . . . . . . . . 11
4140oveq1i 6093 . . . . . . . . . 10
42 df-neg 9296 . . . . . . . . . 10
4341, 42eqtr4i 2461 . . . . . . . . 9
44 2cn 10072 . . . . . . . . . . 11
45 pncan2 9314 . . . . . . . . . . 11
4629, 44, 45sylancl 645 . . . . . . . . . 10
4746negeqd 9302 . . . . . . . . 9
4843, 47syl5eq 2482 . . . . . . . 8
4923, 48oveq12d 6101 . . . . . . 7
50 elfzel2 11059 . . . . . . . . . 10
518, 50syl 16 . . . . . . . . 9
5251zcnd 10378 . . . . . . . 8
53 negsub 9351 . . . . . . . 8
5452, 44, 53sylancl 645 . . . . . . 7
5539, 49, 543eqtrd 2474 . . . . . 6 splice
5655adantr 453 . . . . 5 splice
57 splid 11784 . . . . . . . . 9 Word splice substr
581, 18, 37, 57syl12anc 1183 . . . . . . . 8 splice substr
5958oveq2d 6099 . . . . . . 7 g splice substr g
6059adantr 453 . . . . . 6 g splice substr g
61 eqid 2438 . . . . . . 7
6219symggrp 15105 . . . . . . . . . 10
6321, 62syl 16 . . . . . . . . 9
64 grpmnd 14819 . . . . . . . . 9
6563, 64syl 16 . . . . . . . 8
6665adantr 453 . . . . . . 7
6720, 19, 61symgtrf 27389 . . . . . . . . . 10
68 sswrd 11739 . . . . . . . . . 10 Word Word
6967, 68ax-mp 8 . . . . . . . . 9 Word Word
7069, 1sseldi 3348 . . . . . . . 8 Word
7170adantr 453 . . . . . . 7 Word
7218adantr 453 . . . . . . 7
7337adantr 453 . . . . . . 7
74 swrdcl 11768 . . . . . . . . 9 Word substr Word
7570, 74syl 16 . . . . . . . 8 substr Word
7675adantr 453 . . . . . . 7 substr Word
77 wrd0 11734 . . . . . . . 8 Word
7877a1i 11 . . . . . . 7 Word
7923oveq2d 6099 . . . . . . . . . . . . 13 ..^ ..^
8026, 79eleqtrrd 2515 . . . . . . . . . . . 12 ..^
81 swrds2 11882 . . . . . . . . . . . 12 Word ..^ substr
821, 10, 80, 81syl3anc 1185 . . . . . . . . . . 11 substr
8382oveq2d 6099 . . . . . . . . . 10 g substr g
84 wrdf 11735 . . . . . . . . . . . . . . 15 Word ..^
851, 84syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14 ..^
8679feq2d 5583 . . . . . . . . . . . . . 14 ..^ ..^
8785, 86mpbid 203 . . . . . . . . . . . . 13 ..^
8887, 7ffvelrnd 5873 . . . . . . . . . . . 12
8967, 88sseldi 3348 . . . . . . . . . . 11
9087, 26ffvelrnd 5873 . . . . . . . . . . . 12
9167, 90sseldi 3348 . . . . . . . . . . 11
92 eqid 2438 . . . . . . . . . . . 12
9361, 92gsumws2 14790 . . . . . . . . . . 11 g
9465, 89, 91, 93syl3anc 1185 . . . . . . . . . 10 g
9519, 61, 92symgov 15102 . . . . . . . . . . 11
9689, 91, 95syl2anc 644 . . . . . . . . . 10
9783, 94, 963eqtrd 2474 . . . . . . . . 9 g substr
9897adantr 453 . . . . . . . 8 g substr
99 simpr 449 . . . . . . . 8
10019symgid 15106 . . . . . . . . . . 11
10121, 100syl 16 . . . . . . . . . 10
102 eqid 2438 . . . . . . . . . . 11
103102gsum0 14782 . . . . . . . . . 10 g
104101, 103syl6eqr 2488 . . . . . . . . 9 g
105104adantr 453 . . . . . . . 8 g
10698, 99, 1053eqtrd 2474 . . . . . . 7 g substr g
10761, 66, 71, 72, 73, 76, 78, 106gsumspl 14791 . . . . . 6 g splice substr g splice
10822adantr 453 . . . . . 6 g
10960, 107, 1083eqtr3d 2478 . . . . 5 g splice
110 fveq2 5730 . . . . . . . 8 splice splice
111110eqeq1d 2446 . . . . . . 7 splice splice
112 oveq2 6091 . . . . . . . 8 splice g g splice
113112eqeq1d 2446 . . . . . . 7 splice g g splice
114111, 113anbi12d 693 . . . . . 6 splice g splice g splice
115114rspcev 3054 . . . . 5 splice Word splice g splice Word g
1165, 56, 109, 115syl12anc 1183 . . . 4 Word g
117 psgnunilem2.in . . . . 5 Word g
118117adantr 453 . . . 4 Word g
119116, 118pm2.21dd 102 . . 3 Word g ..^ ..^
120119ex 425 . 2 Word g ..^ ..^
1211adantr 453 . . . . . . 7 Word
122 simprl 734 . . . . . . . 8
123 simprr 735 . . . . . . . 8
124122, 123s2cld 11835 . . . . . . 7 Word
125 splcl 11783 . . . . . . 7 Word Word splice Word
126121, 124, 125syl2anc 644 . . . . . 6 splice Word
127126adantrr 699 . . . . 5 splice Word
12865adantr 453 . . . . . . . 8
12970adantr 453 . . . . . . . 8 Word
13018adantr 453 . . . . . . . 8
13137adantr 453 . . . . . . . 8
13269, 124sseldi 3348 . . . . . . . . 9 Word
133132adantrr 699 . . . . . . . 8 Word
13475adantr 453 . . . . . . . 8 substr Word
135 simprr1 1006 . . . . . . . . 9
13697adantr 453 . . . . . . . . 9 g substr
13765adantr 453 . . . . . . . . . . . 12
13867a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14
139138sselda 3350 . . . . . . . . . . . . 13
140139adantrr 699 . . . . . . . . . . . 12
141138sselda 3350 . . . . . . . . . . . . 13
142141adantrl 698 . . . . . . . . . . . 12
14361, 92gsumws2 14790 . . . . . . . . . . . 12 g
144137, 140, 142, 143syl3anc 1185 . . . . . . . . . . 11 g
14519, 61, 92symgov 15102 . . . . . . . . . . . 12
146140, 142, 145syl2anc 644 . . . . . . . . . . 11
147144, 146eqtrd 2470 . . . . . . . . . 10 g
148147adantrr 699 . . . . . . . . 9 g
149135, 136, 1483eqtr4rd 2481 . . . . . . . 8 g g substr
15061, 128, 129, 130, 131, 133, 134, 149gsumspl 14791 . . . . . . 7 g splice g splice substr
15159adantr 453 . . . . . . 7 g splice substr g
15222adantr 453 . . . . . . 7 g
153150, 151, 1523eqtrd 2474 . . . . . 6 g splice
15418adantr 453 . . . . . . . . 9
15537adantr 453 . . . . . . . . 9
156121, 154, 155, 124spllen 11785 . . . . . . . 8 splice
157 s2len 11853 . . . . . . . . . . . . 13
158157oveq1i 6093 . . . . . . . . . . . 12
15946oveq2d 6099 . . . . . . . . . . . . 13
16044subidi 9373 . . . . . . . . . . . . 13
161159, 160syl6eq 2486 . . . . . . . . . . . 12
162158, 161syl5eq 2482 . . . . . . . . . . 11
163162oveq2d 6099 . . . . . . . . . 10
16423, 52eqeltrd 2512 . . . . . . . . . . 11
165164addid1d 9268 . . . . . . . . . 10
166163, 165, 233eqtrd 2474 . . . . . . . . 9
167166adantr 453 . . . . . . . 8
168156, 167eqtrd 2470 . . . . . . 7 splice
169168adantrr 699 . . . . . 6 splice
170153, 169jca 520 . . . . 5 g splice splice
17126adantr 453 . . . . . 6 ..^
172 simprr2 1007 . . . . . . 7
173 1nn0 10239 . . . . . . . . . . . . . . 15
174 2nn 10135 . . . . . . . . . . . . . . 15
175 1lt2 10144 . . . . . . . . . . . . . . 15
176 elfzo0 11173 . . . . . . . . . . . . . . 15 ..^
177173, 174, 175, 176mpbir3an 1137 . . . . . . . . . . . . . 14 ..^
178157oveq2i 6094 . . . . . . . . . . . . . 14 ..^ ..^
179177, 178eleqtrri 2511 . . . . . . . . . . . . 13 ..^
180179a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 ..^
181121, 154, 155, 124, 180splfv2a 11787 . . . . . . . . . . 11 splice
182 s2fv1 11852 . . . . . . . . . . . 12
183182ad2antll 711 . . . . . . . . . . 11
184181, 183eqtrd 2470 . . . . . . . . . 10 splice
185184adantrr 699 . . . . . . . . 9 splice
186185difeq1d 3466 . . . . . . . 8 splice
187186dmeqd 5074 . . . . . . 7 splice
188172, 187eleqtrrd 2515 . . . . . 6 splice
189 fzosplitsni 11198 . . . . . . . . . . 11 ..^ ..^
190 nn0uz 10522 . . . . . . . . . . 11
191189, 190eleq2s 2530 . . . . . . . . . 10 ..^ ..^
19210, 191syl 16 . . . . . . . . 9 ..^ ..^
193192adantr 453 . . . . . . . 8 ..^ ..^
194 fveq2 5730 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
195194difeq1d 3466 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
196195dmeqd 5074 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
197196eleq2d 2505 . . . . . . . . . . . . . . . 16
198197notbid 287 . . . . . . . . . . . . . . 15
199198rspccva 3053 . . . . . . . . . . . . . 14 ..^ ..^
20025, 199sylan 459 . . . . . . . . . . . . 13 ..^
201200adantlr 697 . . . . . . . . . . . 12 ..^
2021ad2antrr 708 . . . . . . . . . . . . . . 15 ..^ Word
20318ad2antrr 708 . . . . . . . . . . . . . . 15 ..^
20437ad2antrr 708 . . . . . . . . . . . . . . 15 ..^
205124adantr 453 . . . . . . . . . . . . . . 15 ..^ Word
206 simpr 449 . . . . . . . . . . . . . . 15 ..^ ..^
207202, 203, 204, 205, 206splfv1 11786 . . . . . . . . . . . . . 14 ..^ splice
208207difeq1d 3466 . . . . . . . . . . . . 13 ..^ splice
209208dmeqd 5074 . . . . . . . . . . . 12 ..^ splice
210201, 209neleqtrrd 2534 . . . . . . . . . . 11 ..^ splice
211210ex 425 . . . . . . . . . 10 ..^ splice
212211adantrr 699 . . . . . . . . 9 ..^ splice
213 simprr3 1008 . . . . . . . . . . 11
214 0nn0 10238 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
215 2pos 10084 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
216 elfzo0 11173 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ..^
217214, 174, 215, 216mpbir3an 1137 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ..^
218217, 178eleqtrri 2511 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ..^
219218a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ..^
220121, 154, 155, 124, 219splfv2a 11787 . . . . . . . . . . . . . . . 16 splice
22129addid1d 9268 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
222221adantr 453 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
223222fveq2d 5734 . . . . . . . . . . . . . . . 16 splice splice
224 s2fv0 11851 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
225224ad2antrl 710 . . . . . . . . . . . . . . . 16
226220, 223, 2253eqtr3d 2478 . . . . . . . . . . . . . . 15 splice
227226difeq1d 3466 . . . . . . . . . . . . . 14 splice
228227dmeqd 5074 . . . . . . . . . . . . 13 splice
229228eleq2d 2505 . . . . . . . . . . . 12 splice
230229adantrr 699 . . . . . . . . . . 11 splice
231213, 230mtbird 294 . . . . . . . . . 10 splice
232 fveq2 5730 . . . . . . . . . . . . . 14 splice splice
233232difeq1d 3466 . . . . . . . . . . . . 13 splice splice
234233dmeqd 5074 . . . . . . . . . . . 12 splice splice
235234eleq2d 2505 . . . . . . . . . . 11 splice splice
236235notbid 287 . . . . . . . . . 10 splice splice
237231, 236syl5ibrcom 215 . . . . . . . . 9 splice
238212, 237jaod 371 . . . . . . . 8 ..^ splice
239193, 238sylbid 208 . . . . . . 7 ..^ splice
240239ralrimiv 2790 . . . . . 6 ..^ splice
241171, 188, 2403jca 1135 . . . . 5 ..^ splice ..^ splice
242 oveq2 6091 . . . . . . . . 9 splice g g splice
243242eqeq1d 2446 . . . . . . . 8 splice g g splice
244 fveq2 5730 . . . . . . . . 9 splice splice
245244eqeq1d 2446 . . . . . . . 8 splice splice
246243, 245anbi12d 693 . . . . . . 7 splice g g splice splice
247 fveq1 5729 . . . . . . . . . . 11 splice splice
248247difeq1d 3466 . . . . . . . . . 10 splice splice
249248dmeqd 5074 . . . . . . . . 9 splice splice
250249eleq2d 2505 . . . . . . . 8 splice splice
251 fveq1 5729 . . . . . . . . . . . . 13 splice splice
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