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Theorem psgnunilem2 27418
Description: Lemma for psgnuni 27422. Induction step for moving a transposition as far to the right as possible. (Contributed by Stefan O'Rear, 24-Aug-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Feb-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
psgnunilem2.g  |-  G  =  ( SymGrp `  D )
psgnunilem2.t  |-  T  =  ran  (pmTrsp `  D
)
psgnunilem2.d  |-  ( ph  ->  D  e.  V )
psgnunilem2.w  |-  ( ph  ->  W  e. Word  T )
psgnunilem2.id  |-  ( ph  ->  ( G  gsumg  W )  =  (  _I  |`  D )
)
psgnunilem2.l  |-  ( ph  ->  ( # `  W
)  =  L )
psgnunilem2.ix  |-  ( ph  ->  I  e.  ( 0..^ L ) )
psgnunilem2.a  |-  ( ph  ->  A  e.  dom  (
( W `  I
)  \  _I  )
)
psgnunilem2.al  |-  ( ph  ->  A. k  e.  ( 0..^ I )  -.  A  e.  dom  (
( W `  k
)  \  _I  )
)
psgnunilem2.in  |-  ( ph  ->  -.  E. x  e. Word  T ( ( # `  x )  =  ( L  -  2 )  /\  ( G  gsumg  x )  =  (  _I  |`  D ) ) )
Assertion
Ref Expression
psgnunilem2  |-  ( ph  ->  E. w  e. Word  T
( ( ( G 
gsumg  w )  =  (  _I  |`  D )  /\  ( # `  w
)  =  L )  /\  ( ( I  +  1 )  e.  ( 0..^ L )  /\  A  e.  dom  ( ( w `  ( I  +  1
) )  \  _I  )  /\  A. j  e.  ( 0..^ ( I  +  1 ) )  -.  A  e.  dom  ( ( w `  j )  \  _I  ) ) ) )
Distinct variable groups:    j, k, w, A    x, j, D, w    ph, j    j, G   
x, k, G, w   
j, I, k, w, x    T, j, w, x   
j, W, k, w, x    w, L, x
Allowed substitution hints:    ph( x, w, k)    A( x)    D( k)    T( k)    L( j, k)    V( x, w, j, k)

Proof of Theorem psgnunilem2
Dummy variables  r 
s are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 psgnunilem2.w . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  W  e. Word  T )
2 wrd0 11418 . . . . . . . 8  |-  (/)  e. Word  T
3 splcl 11467 . . . . . . . 8  |-  ( ( W  e. Word  T  /\  (/) 
e. Word  T )  ->  ( W splice  <. I ,  ( I  +  2 ) ,  (/) >. )  e. Word  T
)
41, 2, 3sylancl 643 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( W splice  <. I ,  ( I  +  2 ) ,  (/) >. )  e. Word  T )
54adantr 451 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( ( W `  I )  o.  ( W `  (
I  +  1 ) ) )  =  (  _I  |`  D )
)  ->  ( W splice  <.
I ,  ( I  +  2 ) ,  (/) >. )  e. Word  T
)
6 fzossfz 10892 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 0..^ L )  C_  (
0 ... L )
7 psgnunilem2.ix . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  I  e.  ( 0..^ L ) )
86, 7sseldi 3178 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  I  e.  ( 0 ... L ) )
9 elfznn0 10822 . . . . . . . . . . 11  |-  ( I  e.  ( 0 ... L )  ->  I  e.  NN0 )
108, 9syl 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  I  e.  NN0 )
11 2nn0 9982 . . . . . . . . . . 11  |-  2  e.  NN0
12 nn0addcl 9999 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( I  e.  NN0  /\  2  e.  NN0 )  -> 
( I  +  2 )  e.  NN0 )
1310, 11, 12sylancl 643 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( I  +  2 )  e.  NN0 )
1410nn0red 10019 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  I  e.  RR )
15 nn0addge1 10010 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( I  e.  RR  /\  2  e.  NN0 )  ->  I  <_  ( I  + 
2 ) )
1614, 11, 15sylancl 643 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  I  <_  ( I  +  2 ) )
17 elfz2nn0 10821 . . . . . . . . . 10  |-  ( I  e.  ( 0 ... ( I  +  2 ) )  <->  ( I  e.  NN0  /\  ( I  +  2 )  e. 
NN0  /\  I  <_  ( I  +  2 ) ) )
1810, 13, 16, 17syl3anbrc 1136 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  I  e.  ( 0 ... ( I  + 
2 ) ) )
1910nn0cnd 10020 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  I  e.  CC )
20 ax-1cn 8795 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  1  e.  CC
2120a1i 10 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  1  e.  CC )
2219, 21, 21addassd 8857 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( I  + 
1 )  +  1 )  =  ( I  +  ( 1  +  1 ) ) )
23 df-2 9804 . . . . . . . . . . . . 13  |-  2  =  ( 1  +  1 )
2423oveq2i 5869 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( I  +  2 )  =  ( I  +  ( 1  +  1 ) )
2522, 24syl6reqr 2334 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( I  +  2 )  =  ( ( I  +  1 )  +  1 ) )
26 psgnunilem2.g . . . . . . . . . . . . 13  |-  G  =  ( SymGrp `  D )
27 psgnunilem2.t . . . . . . . . . . . . 13  |-  T  =  ran  (pmTrsp `  D
)
28 psgnunilem2.d . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  D  e.  V )
29 psgnunilem2.id . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( G  gsumg  W )  =  (  _I  |`  D )
)
30 psgnunilem2.l . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( # `  W
)  =  L )
31 psgnunilem2.a . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  A  e.  dom  (
( W `  I
)  \  _I  )
)
32 psgnunilem2.al . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  A. k  e.  ( 0..^ I )  -.  A  e.  dom  (
( W `  k
)  \  _I  )
)
3326, 27, 28, 1, 29, 30, 7, 31, 32psgnunilem5 27417 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( I  +  1 )  e.  ( 0..^ L ) )
34 fzofzp1 10916 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( I  +  1 )  e.  ( 0..^ L )  ->  ( (
I  +  1 )  +  1 )  e.  ( 0 ... L
) )
3533, 34syl 15 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( I  + 
1 )  +  1 )  e.  ( 0 ... L ) )
3625, 35eqeltrd 2357 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( I  +  2 )  e.  ( 0 ... L ) )
3730oveq2d 5874 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( 0 ... ( # `
 W ) )  =  ( 0 ... L ) )
3836, 37eleqtrrd 2360 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( I  +  2 )  e.  ( 0 ... ( # `  W
) ) )
392a1i 10 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  -> 
(/)  e. Word  T )
401, 18, 38, 39spllen 11469 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( # `  ( W splice  <. I ,  ( I  +  2 ) ,  (/) >. ) )  =  ( ( # `  W
)  +  ( (
# `  (/) )  -  ( ( I  + 
2 )  -  I
) ) ) )
41 hash0 11355 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( # `  (/) )  =  0
4241oveq1i 5868 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
# `  (/) )  -  ( ( I  + 
2 )  -  I
) )  =  ( 0  -  ( ( I  +  2 )  -  I ) )
43 df-neg 9040 . . . . . . . . . . 11  |-  -u (
( I  +  2 )  -  I )  =  ( 0  -  ( ( I  + 
2 )  -  I
) )
4442, 43eqtr4i 2306 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
# `  (/) )  -  ( ( I  + 
2 )  -  I
) )  =  -u ( ( I  + 
2 )  -  I
)
45 2cn 9816 . . . . . . . . . . . 12  |-  2  e.  CC
46 pncan2 9058 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( I  e.  CC  /\  2  e.  CC )  ->  ( ( I  + 
2 )  -  I
)  =  2 )
4719, 45, 46sylancl 643 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( I  + 
2 )  -  I
)  =  2 )
4847negeqd 9046 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  -> 
-u ( ( I  +  2 )  -  I )  =  -u
2 )
4944, 48syl5eq 2327 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( # `  (/) )  -  ( ( I  + 
2 )  -  I
) )  =  -u
2 )
5030, 49oveq12d 5876 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( # `  W
)  +  ( (
# `  (/) )  -  ( ( I  + 
2 )  -  I
) ) )  =  ( L  +  -u
2 ) )
51 elfzel2 10796 . . . . . . . . . . 11  |-  ( I  e.  ( 0 ... L )  ->  L  e.  ZZ )
528, 51syl 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  L  e.  ZZ )
5352zcnd 10118 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  L  e.  CC )
54 negsub 9095 . . . . . . . . 9  |-  ( ( L  e.  CC  /\  2  e.  CC )  ->  ( L  +  -u
2 )  =  ( L  -  2 ) )
5553, 45, 54sylancl 643 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( L  +  -u
2 )  =  ( L  -  2 ) )
5640, 50, 553eqtrd 2319 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( # `  ( W splice  <. I ,  ( I  +  2 ) ,  (/) >. ) )  =  ( L  -  2 ) )
5756adantr 451 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( ( W `  I )  o.  ( W `  (
I  +  1 ) ) )  =  (  _I  |`  D )
)  ->  ( # `  ( W splice  <. I ,  ( I  +  2 ) ,  (/) >. ) )  =  ( L  -  2 ) )
58 splid 11468 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( W  e. Word  T  /\  ( I  e.  (
0 ... ( I  + 
2 ) )  /\  ( I  +  2
)  e.  ( 0 ... ( # `  W
) ) ) )  ->  ( W splice  <. I ,  ( I  +  2 ) ,  ( W substr  <. I ,  ( I  +  2 ) >.
) >. )  =  W )
591, 18, 38, 58syl12anc 1180 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( W splice  <. I ,  ( I  +  2 ) ,  ( W substr  <. I ,  ( I  +  2 ) >.
) >. )  =  W )
6059oveq2d 5874 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( G  gsumg  ( W splice  <. I ,  ( I  +  2 ) ,  ( W substr  <. I ,  ( I  +  2 ) >.
) >. ) )  =  ( G  gsumg  W ) )
6160adantr 451 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( ( W `  I )  o.  ( W `  (
I  +  1 ) ) )  =  (  _I  |`  D )
)  ->  ( G  gsumg  ( W splice  <. I ,  ( I  +  2 ) ,  ( W substr  <. I ,  ( I  +  2 ) >. ) >. )
)  =  ( G 
gsumg  W ) )
62 eqid 2283 . . . . . . . 8  |-  ( Base `  G )  =  (
Base `  G )
6326symggrp 14780 . . . . . . . . . . 11  |-  ( D  e.  V  ->  G  e.  Grp )
6428, 63syl 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  G  e.  Grp )
65 grpmnd 14494 . . . . . . . . . 10  |-  ( G  e.  Grp  ->  G  e.  Mnd )
6664, 65syl 15 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  G  e.  Mnd )
6766adantr 451 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( ( W `  I )  o.  ( W `  (
I  +  1 ) ) )  =  (  _I  |`  D )
)  ->  G  e.  Mnd )
6827, 26, 62symgtrf 27410 . . . . . . . . . . 11  |-  T  C_  ( Base `  G )
69 sswrd 11423 . . . . . . . . . . 11  |-  ( T 
C_  ( Base `  G
)  -> Word  T  C_ Word  ( Base `  G ) )
7068, 69ax-mp 8 . . . . . . . . . 10  |- Word  T  C_ Word  (
Base `  G )
7170, 1sseldi 3178 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  W  e. Word  ( Base `  G ) )
7271adantr 451 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( ( W `  I )  o.  ( W `  (
I  +  1 ) ) )  =  (  _I  |`  D )
)  ->  W  e. Word  (
Base `  G )
)
7318adantr 451 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( ( W `  I )  o.  ( W `  (
I  +  1 ) ) )  =  (  _I  |`  D )
)  ->  I  e.  ( 0 ... (
I  +  2 ) ) )
7438adantr 451 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( ( W `  I )  o.  ( W `  (
I  +  1 ) ) )  =  (  _I  |`  D )
)  ->  ( I  +  2 )  e.  ( 0 ... ( # `
 W ) ) )
75 swrdcl 11452 . . . . . . . . . 10  |-  ( W  e. Word  ( Base `  G
)  ->  ( W substr  <.
I ,  ( I  +  2 ) >.
)  e. Word  ( Base `  G ) )
7671, 75syl 15 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( W substr  <. I ,  ( I  +  2 ) >. )  e. Word  ( Base `  G ) )
7776adantr 451 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( ( W `  I )  o.  ( W `  (
I  +  1 ) ) )  =  (  _I  |`  D )
)  ->  ( W substr  <.
I ,  ( I  +  2 ) >.
)  e. Word  ( Base `  G ) )
78 wrd0 11418 . . . . . . . . 9  |-  (/)  e. Word  ( Base `  G )
7978a1i 10 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( ( W `  I )  o.  ( W `  (
I  +  1 ) ) )  =  (  _I  |`  D )
)  ->  (/)  e. Word  ( Base `  G ) )
8030oveq2d 5874 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( 0..^ ( # `  W ) )  =  ( 0..^ L ) )
8133, 80eleqtrrd 2360 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( I  +  1 )  e.  ( 0..^ ( # `  W
) ) )
82 swrds2 11560 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( W  e. Word  T  /\  I  e.  NN0  /\  (
I  +  1 )  e.  ( 0..^ (
# `  W )
) )  ->  ( W substr  <. I ,  ( I  +  2 )
>. )  =  <" ( W `  I
) ( W `  ( I  +  1
) ) "> )
831, 10, 81, 82syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( W substr  <. I ,  ( I  +  2 ) >. )  =  <" ( W `  I
) ( W `  ( I  +  1
) ) "> )
8483oveq2d 5874 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( G  gsumg  ( W substr  <. I ,  ( I  +  2 ) >. ) )  =  ( G  gsumg 
<" ( W `  I ) ( W `
 ( I  + 
1 ) ) "> ) )
85 wrdf 11419 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( W  e. Word  T  ->  W : ( 0..^ (
# `  W )
) --> T )
861, 85syl 15 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  W : ( 0..^ ( # `  W
) ) --> T )
8780feq2d 5380 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( W : ( 0..^ ( # `  W
) ) --> T  <->  W :
( 0..^ L ) --> T ) )
8886, 87mpbid 201 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  W : ( 0..^ L ) --> T )
89 ffvelrn 5663 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( W : ( 0..^ L ) --> T  /\  I  e.  ( 0..^ L ) )  -> 
( W `  I
)  e.  T )
9088, 7, 89syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( W `  I
)  e.  T )
9168, 90sseldi 3178 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( W `  I
)  e.  ( Base `  G ) )
92 ffvelrn 5663 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( W : ( 0..^ L ) --> T  /\  ( I  +  1
)  e.  ( 0..^ L ) )  -> 
( W `  (
I  +  1 ) )  e.  T )
9388, 33, 92syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( W `  (
I  +  1 ) )  e.  T )
9468, 93sseldi 3178 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( W `  (
I  +  1 ) )  e.  ( Base `  G ) )
95 eqid 2283 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( +g  `  G )  =  ( +g  `  G )
9662, 95gsumws2 14465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( G  e.  Mnd  /\  ( W `  I )  e.  ( Base `  G
)  /\  ( W `  ( I  +  1 ) )  e.  (
Base `  G )
)  ->  ( G  gsumg  <" ( W `  I ) ( W `
 ( I  + 
1 ) ) "> )  =  ( ( W `  I
) ( +g  `  G
) ( W `  ( I  +  1
) ) ) )
9766, 91, 94, 96syl3anc 1182 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( G  gsumg 
<" ( W `  I ) ( W `
 ( I  + 
1 ) ) "> )  =  ( ( W `  I
) ( +g  `  G
) ( W `  ( I  +  1
) ) ) )
9826, 62, 95symgov 14777 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( W `  I
)  e.  ( Base `  G )  /\  ( W `  ( I  +  1 ) )  e.  ( Base `  G
) )  ->  (
( W `  I
) ( +g  `  G
) ( W `  ( I  +  1
) ) )  =  ( ( W `  I )  o.  ( W `  ( I  +  1 ) ) ) )
9991, 94, 98syl2anc 642 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( W `  I ) ( +g  `  G ) ( W `
 ( I  + 
1 ) ) )  =  ( ( W `
 I )  o.  ( W `  (
I  +  1 ) ) ) )
10084, 97, 993eqtrd 2319 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( G  gsumg  ( W substr  <. I ,  ( I  +  2 ) >. ) )  =  ( ( W `  I )  o.  ( W `  ( I  +  1 ) ) ) )
101100adantr 451 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( ( W `  I )  o.  ( W `  (
I  +  1 ) ) )  =  (  _I  |`  D )
)  ->  ( G  gsumg  ( W substr  <. I ,  ( I  +  2 )
>. ) )  =  ( ( W `  I
)  o.  ( W `
 ( I  + 
1 ) ) ) )
102 simpr 447 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( ( W `  I )  o.  ( W `  (
I  +  1 ) ) )  =  (  _I  |`  D )
)  ->  ( ( W `  I )  o.  ( W `  (
I  +  1 ) ) )  =  (  _I  |`  D )
)
10326symgid 14781 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( D  e.  V  ->  (  _I  |`  D )  =  ( 0g `  G
) )
10428, 103syl 15 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  (  _I  |`  D )  =  ( 0g `  G ) )
105 eqid 2283 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 0g
`  G )  =  ( 0g `  G
)
106105gsum0 14457 . . . . . . . . . . 11  |-  ( G 
gsumg  (/) )  =  ( 0g
`  G )
107104, 106syl6eqr 2333 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  (  _I  |`  D )  =  ( G  gsumg  (/) ) )
108107adantr 451 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( ( W `  I )  o.  ( W `  (
I  +  1 ) ) )  =  (  _I  |`  D )
)  ->  (  _I  |`  D )  =  ( G  gsumg  (/) ) )
109101, 102, 1083eqtrd 2319 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( ( W `  I )  o.  ( W `  (
I  +  1 ) ) )  =  (  _I  |`  D )
)  ->  ( G  gsumg  ( W substr  <. I ,  ( I  +  2 )
>. ) )  =  ( G  gsumg  (/) ) )
11062, 67, 72, 73, 74, 77, 79, 109gsumspl 14466 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( ( W `  I )  o.  ( W `  (
I  +  1 ) ) )  =  (  _I  |`  D )
)  ->  ( G  gsumg  ( W splice  <. I ,  ( I  +  2 ) ,  ( W substr  <. I ,  ( I  +  2 ) >. ) >. )
)  =  ( G 
gsumg  ( W splice  <. I ,  ( I  +  2 ) ,  (/) >. )
) )
11129adantr 451 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( ( W `  I )  o.  ( W `  (
I  +  1 ) ) )  =  (  _I  |`  D )
)  ->  ( G  gsumg  W )  =  (  _I  |`  D ) )
11261, 110, 1113eqtr3d 2323 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( ( W `  I )  o.  ( W `  (
I  +  1 ) ) )  =  (  _I  |`  D )
)  ->  ( G  gsumg  ( W splice  <. I ,  ( I  +  2 ) ,  (/) >. ) )  =  (  _I  |`  D ) )
113 fveq2 5525 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  ( W splice  <. I ,  ( I  +  2 ) ,  (/) >. )  ->  ( # `  x
)  =  ( # `  ( W splice  <. I ,  ( I  +  2 ) ,  (/) >. )
) )
114113eqeq1d 2291 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  ( W splice  <. I ,  ( I  +  2 ) ,  (/) >. )  ->  ( ( # `  x
)  =  ( L  -  2 )  <->  ( # `  ( W splice  <. I ,  ( I  +  2 ) ,  (/) >. ) )  =  ( L  -  2 ) ) )
115 oveq2 5866 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  ( W splice  <. I ,  ( I  +  2 ) ,  (/) >. )  ->  ( G  gsumg  x )  =  ( G  gsumg  ( W splice  <. I ,  ( I  +  2 ) ,  (/) >. )
) )
116115eqeq1d 2291 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  ( W splice  <. I ,  ( I  +  2 ) ,  (/) >. )  ->  ( ( G  gsumg  x )  =  (  _I  |`  D )  <-> 
( G  gsumg  ( W splice  <. I ,  ( I  +  2 ) ,  (/) >. )
)  =  (  _I  |`  D ) ) )
117114, 116anbi12d 691 . . . . . . 7  |-  ( x  =  ( W splice  <. I ,  ( I  +  2 ) ,  (/) >. )  ->  ( ( ( # `  x )  =  ( L  -  2 )  /\  ( G  gsumg  x )  =  (  _I  |`  D ) )  <->  ( ( # `  ( W splice  <. I ,  ( I  +  2 ) ,  (/) >. )
)  =  ( L  -  2 )  /\  ( G  gsumg  ( W splice  <. I ,  ( I  +  2 ) ,  (/) >. )
)  =  (  _I  |`  D ) ) ) )
118117rspcev 2884 . . . . . 6  |-  ( ( ( W splice  <. I ,  ( I  +  2 ) ,  (/) >. )  e. Word  T  /\  ( (
# `  ( W splice  <.
I ,  ( I  +  2 ) ,  (/) >. ) )  =  ( L  -  2 )  /\  ( G 
gsumg  ( W splice  <. I ,  ( I  +  2 ) ,  (/) >. )
)  =  (  _I  |`  D ) ) )  ->  E. x  e. Word  T
( ( # `  x
)  =  ( L  -  2 )  /\  ( G  gsumg  x )  =  (  _I  |`  D )
) )
1195, 57, 112, 118syl12anc 1180 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( ( W `  I )  o.  ( W `  (
I  +  1 ) ) )  =  (  _I  |`  D )
)  ->  E. x  e. Word  T ( ( # `  x )  =  ( L  -  2 )  /\  ( G  gsumg  x )  =  (  _I  |`  D ) ) )
120 psgnunilem2.in . . . . . 6  |-  ( ph  ->  -.  E. x  e. Word  T ( ( # `  x )  =  ( L  -  2 )  /\  ( G  gsumg  x )  =  (  _I  |`  D ) ) )
121120adantr 451 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( ( W `  I )  o.  ( W `  (
I  +  1 ) ) )  =  (  _I  |`  D )
)  ->  -.  E. x  e. Word  T ( ( # `  x )  =  ( L  -  2 )  /\  ( G  gsumg  x )  =  (  _I  |`  D ) ) )
122119, 121pm2.65i 165 . . . 4  |-  -.  ( ph  /\  ( ( W `
 I )  o.  ( W `  (
I  +  1 ) ) )  =  (  _I  |`  D )
)
123122pm2.21i 123 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( ( W `  I )  o.  ( W `  (
I  +  1 ) ) )  =  (  _I  |`  D )
)  ->  E. w  e. Word  T ( ( ( G  gsumg  w )  =  (  _I  |`  D )  /\  ( # `  w
)  =  L )  /\  ( ( I  +  1 )  e.  ( 0..^ L )  /\  A  e.  dom  ( ( w `  ( I  +  1
) )  \  _I  )  /\  A. j  e.  ( 0..^ ( I  +  1 ) )  -.  A  e.  dom  ( ( w `  j )  \  _I  ) ) ) )
124123ex 423 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( ( W `
 I )  o.  ( W `  (
I  +  1 ) ) )  =  (  _I  |`  D )  ->  E. w  e. Word  T
( ( ( G 
gsumg  w )  =  (  _I  |`  D )  /\  ( # `  w
)  =  L )  /\  ( ( I  +  1 )  e.  ( 0..^ L )  /\  A  e.  dom  ( ( w `  ( I  +  1
) )  \  _I  )  /\  A. j  e.  ( 0..^ ( I  +  1 ) )  -.  A  e.  dom  ( ( w `  j )  \  _I  ) ) ) ) )
1251adantr 451 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( r  e.  T  /\  s  e.  T ) )  ->  W  e. Word  T )
126 simprl 732 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( r  e.  T  /\  s  e.  T ) )  -> 
r  e.  T )
127 simprr 733 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( r  e.  T  /\  s  e.  T ) )  -> 
s  e.  T )
128126, 127s2cld 11519 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( r  e.  T  /\  s  e.  T ) )  ->  <" r s ">  e. Word  T )
129 splcl 11467 . . . . . . 7  |-  ( ( W  e. Word  T  /\  <" r s ">  e. Word  T )  ->  ( W splice  <. I ,  ( I  +  2 ) ,  <" r
s "> >. )  e. Word  T )
130125, 128, 129syl2anc 642 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( r  e.  T  /\  s  e.  T ) )  -> 
( W splice  <. I ,  ( I  +  2 ) ,  <" r
s "> >. )  e. Word  T )
131130adantrr 697 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( (
r  e.  T  /\  s  e.  T )  /\  ( ( ( W `
 I )  o.  ( W `  (
I  +  1 ) ) )  =  ( r  o.  s )  /\  A  e.  dom  ( s  \  _I  )  /\  -.  A  e. 
dom  ( r  \  _I  ) ) ) )  ->  ( W splice  <. I ,  ( I  +  2 ) ,  <" r
s "> >. )  e. Word  T )
13266adantr 451 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( (
r  e.  T  /\  s  e.  T )  /\  ( ( ( W `
 I )  o.  ( W `  (
I  +  1 ) ) )  =  ( r  o.  s )  /\  A  e.  dom  ( s  \  _I  )  /\  -.  A  e. 
dom  ( r  \  _I  ) ) ) )  ->  G  e.  Mnd )
13371adantr 451 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( (
r  e.  T  /\  s  e.  T )  /\  ( ( ( W `
 I )  o.  ( W `  (
I  +  1 ) ) )  =  ( r  o.  s )  /\  A  e.  dom  ( s  \  _I  )  /\  -.  A  e. 
dom  ( r  \  _I  ) ) ) )  ->  W  e. Word  ( Base `  G ) )
13418adantr 451 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( (
r  e.  T  /\  s  e.  T )  /\  ( ( ( W `
 I )  o.  ( W `  (
I  +  1 ) ) )  =  ( r  o.  s )  /\  A  e.  dom  ( s  \  _I  )  /\  -.  A  e. 
dom  ( r  \  _I  ) ) ) )  ->  I  e.  ( 0 ... ( I  +  2 ) ) )
13538adantr 451 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( (
r  e.  T  /\  s  e.  T )  /\  ( ( ( W `
 I )  o.  ( W `  (
I  +  1 ) ) )  =  ( r  o.  s )  /\  A  e.  dom  ( s  \  _I  )  /\  -.  A  e. 
dom  ( r  \  _I  ) ) ) )  ->  ( I  + 
2 )  e.  ( 0 ... ( # `  W ) ) )
13670, 128sseldi 3178 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( r  e.  T  /\  s  e.  T ) )  ->  <" r s ">  e. Word  ( Base `  G ) )
137136adantrr 697 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( (
r  e.  T  /\  s  e.  T )  /\  ( ( ( W `
 I )  o.  ( W `  (
I  +  1 ) ) )  =  ( r  o.  s )  /\  A  e.  dom  ( s  \  _I  )  /\  -.  A  e. 
dom  ( r  \  _I  ) ) ) )  ->  <" r s ">  e. Word  ( Base `  G ) )
13876adantr 451 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( (
r  e.  T  /\  s  e.  T )  /\  ( ( ( W `
 I )  o.  ( W `  (
I  +  1 ) ) )  =  ( r  o.  s )  /\  A  e.  dom  ( s  \  _I  )  /\  -.  A  e. 
dom  ( r  \  _I  ) ) ) )  ->  ( W substr  <. I ,  ( I  +  2 ) >. )  e. Word  ( Base `  G ) )
139 simprr1 1003 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( (
r  e.  T  /\  s  e.  T )  /\  ( ( ( W `
 I )  o.  ( W `  (
I  +  1 ) ) )  =  ( r  o.  s )  /\  A  e.  dom  ( s  \  _I  )  /\  -.  A  e. 
dom  ( r  \  _I  ) ) ) )  ->  ( ( W `
 I )  o.  ( W `  (
I  +  1 ) ) )  =  ( r  o.  s ) )
140100adantr 451 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( (
r  e.  T  /\  s  e.  T )  /\  ( ( ( W `
 I )  o.  ( W `  (
I  +  1 ) ) )  =  ( r  o.  s )  /\  A  e.  dom  ( s  \  _I  )  /\  -.  A  e. 
dom  ( r  \  _I  ) ) ) )  ->  ( G  gsumg  ( W substr  <. I ,  ( I  +  2 ) >.
) )  =  ( ( W `  I
)  o.  ( W `
 ( I  + 
1 ) ) ) )
14166adantr 451 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( r  e.  T  /\  s  e.  T ) )  ->  G  e.  Mnd )
14268a1i 10 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  T  C_  ( Base `  G ) )
143142sselda 3180 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  r  e.  T )  ->  r  e.  ( Base `  G
) )
144143adantrr 697 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( r  e.  T  /\  s  e.  T ) )  -> 
r  e.  ( Base `  G ) )
145142sselda 3180 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  s  e.  T )  ->  s  e.  ( Base `  G
) )
146145adantrl 696 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( r  e.  T  /\  s  e.  T ) )  -> 
s  e.  ( Base `  G ) )
14762, 95gsumws2 14465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( G  e.  Mnd  /\  r  e.  ( Base `  G )  /\  s  e.  ( Base `  G
) )  ->  ( G  gsumg 
<" r s "> )  =  ( r ( +g  `  G
) s ) )
148141, 144, 146, 147syl3anc 1182 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( r  e.  T  /\  s  e.  T ) )  -> 
( G  gsumg 
<" r s "> )  =  ( r ( +g  `  G
) s ) )
14926, 62, 95symgov 14777 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( r  e.  ( Base `  G )  /\  s  e.  ( Base `  G
) )  ->  (
r ( +g  `  G
) s )  =  ( r  o.  s
) )
150144, 146, 149syl2anc 642 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( r  e.  T  /\  s  e.  T ) )  -> 
( r ( +g  `  G ) s )  =  ( r  o.  s ) )
151148, 150eqtrd 2315 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( r  e.  T  /\  s  e.  T ) )  -> 
( G  gsumg 
<" r s "> )  =  ( r  o.  s ) )
152151adantrr 697 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( (
r  e.  T  /\  s  e.  T )  /\  ( ( ( W `
 I )  o.  ( W `  (
I  +  1 ) ) )  =  ( r  o.  s )  /\  A  e.  dom  ( s  \  _I  )  /\  -.  A  e. 
dom  ( r  \  _I  ) ) ) )  ->  ( G  gsumg  <" r
s "> )  =  ( r  o.  s ) )
153139, 140, 1523eqtr4rd 2326 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( (
r  e.  T  /\  s  e.  T )  /\  ( ( ( W `
 I )  o.  ( W `  (
I  +  1 ) ) )  =  ( r  o.  s )  /\  A  e.  dom  ( s  \  _I  )  /\  -.  A  e. 
dom  ( r  \  _I  ) ) ) )  ->  ( G  gsumg  <" r
s "> )  =  ( G  gsumg  ( W substr  <. I ,  ( I  +  2 ) >.
) ) )
15462, 132, 133, 134, 135, 137, 138, 153gsumspl 14466 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( (
r  e.  T  /\  s  e.  T )  /\  ( ( ( W `
 I )  o.  ( W `  (
I  +  1 ) ) )  =  ( r  o.  s )  /\  A  e.  dom  ( s  \  _I  )  /\  -.  A  e. 
dom  ( r  \  _I  ) ) ) )  ->  ( G  gsumg  ( W splice  <. I ,  ( I  +  2 ) , 
<" r s "> >. ) )  =  ( G  gsumg  ( W splice  <. I ,  ( I  +  2 ) ,  ( W substr  <. I ,  ( I  +  2 ) >.
) >. ) ) )
15560adantr 451 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( (
r  e.  T  /\  s  e.  T )  /\  ( ( ( W `
 I )  o.  ( W `  (
I  +  1 ) ) )  =  ( r  o.  s )  /\  A  e.  dom  ( s  \  _I  )  /\  -.  A  e. 
dom  ( r  \  _I  ) ) ) )  ->  ( G  gsumg  ( W splice  <. I ,  ( I  +  2 ) ,  ( W substr  <. I ,  ( I  +  2 ) >. ) >. )
)  =  ( G 
gsumg  W ) )
15629adantr 451 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( (
r  e.  T  /\  s  e.  T )  /\  ( ( ( W `
 I )  o.  ( W `  (
I  +  1 ) ) )  =  ( r  o.  s )  /\  A  e.  dom  ( s  \  _I  )  /\  -.  A  e. 
dom  ( r  \  _I  ) ) ) )  ->  ( G  gsumg  W )  =  (  _I  |`  D ) )
157154, 155, 1563eqtrd 2319 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( (
r  e.  T  /\  s  e.  T )  /\  ( ( ( W `
 I )  o.  ( W `  (
I  +  1 ) ) )  =  ( r  o.  s )  /\  A  e.  dom  ( s  \  _I  )  /\  -.  A  e. 
dom  ( r  \  _I  ) ) ) )  ->  ( G  gsumg  ( W splice  <. I ,  ( I  +  2 ) , 
<" r s "> >. ) )  =  (  _I  |`  D ) )
15818adantr 451 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( r  e.  T  /\  s  e.  T ) )  ->  I  e.  ( 0 ... ( I  + 
2 ) ) )
15938adantr 451 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( r  e.  T  /\  s  e.  T ) )  -> 
( I  +  2 )  e.  ( 0 ... ( # `  W
) ) )
160125, 158, 159, 128spllen 11469 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( r  e.  T  /\  s  e.  T ) )  -> 
( # `  ( W splice  <. I ,  ( I  +  2 ) , 
<" r s "> >. ) )  =  ( ( # `  W
)  +  ( (
# `  <" r
s "> )  -  ( ( I  +  2 )  -  I ) ) ) )
161 s2len 11537 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( # `  <" r s "> )  =  2
162161oveq1i 5868 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
# `  <" r
s "> )  -  ( ( I  +  2 )  -  I ) )  =  ( 2  -  (
( I  +  2 )  -  I ) )
16347oveq2d 5874 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( 2  -  (
( I  +  2 )  -  I ) )  =  ( 2  -  2 ) )
16445subidi 9117 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 2  -  2 )  =  0
165163, 164syl6eq 2331 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( 2  -  (
( I  +  2 )  -  I ) )  =  0 )
166162, 165syl5eq 2327 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( # `  <" r s "> )  -  ( (
I  +  2 )  -  I ) )  =  0 )
167166oveq2d 5874 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( # `  W
)  +  ( (
# `  <" r
s "> )  -  ( ( I  +  2 )  -  I ) ) )  =  ( ( # `  W )  +  0 ) )
16830, 53eqeltrd 2357 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( # `  W
)  e.  CC )
169168addid1d 9012 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( # `  W
)  +  0 )  =  ( # `  W
) )
170167, 169, 303eqtrd 2319 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( # `  W
)  +  ( (
# `  <" r
s "> )  -  ( ( I  +  2 )  -  I ) ) )  =  L )
171170adantr 451 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( r  e.  T  /\  s  e.  T ) )  -> 
( ( # `  W
)  +  ( (
# `  <" r
s "> )  -  ( ( I  +  2 )  -  I ) ) )  =  L )
172160, 171eqtrd 2315 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( r  e.  T  /\  s  e.  T ) )  -> 
( # `  ( W splice  <. I ,  ( I  +  2 ) , 
<" r s "> >. ) )  =  L )
173172adantrr 697 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( (
r  e.  T  /\  s  e.  T )  /\  ( ( ( W `
 I )  o.  ( W `  (
I  +  1 ) ) )  =  ( r  o.  s )  /\  A  e.  dom  ( s  \  _I  )  /\  -.  A  e. 
dom  ( r  \  _I  ) ) ) )  ->  ( # `  ( W splice  <. I ,  ( I  +  2 ) ,  <" r s "> >. )
)  =  L )
174157, 173jca 518 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( (
r  e.  T  /\  s  e.  T )  /\  ( ( ( W `
 I )  o.  ( W `  (
I  +  1 ) ) )  =  ( r  o.  s )  /\  A  e.  dom  ( s  \  _I  )  /\  -.  A  e. 
dom  ( r  \  _I  ) ) ) )  ->  ( ( G 
gsumg  ( W splice  <. I ,  ( I  +  2 ) ,  <" r
s "> >. )
)  =  (  _I  |`  D )  /\  ( # `
 ( W splice  <. I ,  ( I  +  2 ) ,  <" r
s "> >. )
)  =  L ) )
17533adantr 451 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( (
r  e.  T  /\  s  e.  T )  /\  ( ( ( W `
 I )  o.  ( W `  (
I  +  1 ) ) )  =  ( r  o.  s )  /\  A  e.  dom  ( s  \  _I  )  /\  -.  A  e. 
dom  ( r  \  _I  ) ) ) )  ->  ( I  + 
1 )  e.  ( 0..^ L ) )
176 simprr2 1004 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( (
r  e.  T  /\  s  e.  T )  /\  ( ( ( W `
 I )  o.  ( W `  (
I  +  1 ) ) )  =  ( r  o.  s )  /\  A  e.  dom  ( s  \  _I  )  /\  -.  A  e. 
dom  ( r  \  _I  ) ) ) )  ->  A  e.  dom  ( s  \  _I  ) )
177 1nn0 9981 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  1  e.  NN0
178 2nn 9877 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  2  e.  NN
179 1lt2 9886 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  1  <  2
180 elfzo0 10904 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( 1  e.  ( 0..^ 2 )  <->  ( 1  e. 
NN0  /\  2  e.  NN  /\  1  <  2
) )
181177, 178, 179, 180mpbir3an 1134 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  1  e.  ( 0..^ 2 )
182161oveq2i 5869 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 0..^ ( # `  <" r s "> ) )  =  ( 0..^ 2 )
183181, 182eleqtrri 2356 . . . . . . . . . . . . 13  |-  1  e.  ( 0..^ ( # `  <" r s "> ) )
184183a1i 10 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( r  e.  T  /\  s  e.  T ) )  -> 
1  e.  ( 0..^ ( # `  <" r s "> ) ) )
185125, 158, 159, 128, 184splfv2a 11471 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( r  e.  T  /\  s  e.  T ) )  -> 
( ( W splice  <. I ,  ( I  +  2 ) ,  <" r
s "> >. ) `  ( I  +  1 ) )  =  (
<" r s "> `  1 )
)
186 s2fv1 11536 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( s  e.  T  ->  ( <" r s "> `  1 )  =  s )
187186ad2antll 709 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( r  e.  T  /\  s  e.  T ) )  -> 
( <" r s "> `  1
)  =  s )
188185, 187eqtrd 2315 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( r  e.  T  /\  s  e.  T ) )  -> 
( ( W splice  <. I ,  ( I  +  2 ) ,  <" r
s "> >. ) `  ( I  +  1 ) )  =  s )
189188adantrr 697 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( (
r  e.  T  /\  s  e.  T )  /\  ( ( ( W `
 I )  o.  ( W `  (
I  +  1 ) ) )  =  ( r  o.  s )  /\  A  e.  dom  ( s  \  _I  )  /\  -.  A  e. 
dom  ( r  \  _I  ) ) ) )  ->  ( ( W splice  <. I ,  ( I  +  2 ) , 
<" r s "> >. ) `  (
I  +  1 ) )  =  s )
190189difeq1d 3293 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( (
r  e.  T  /\  s  e.  T )  /\  ( ( ( W `
 I )  o.  ( W `  (
I  +  1 ) ) )  =  ( r  o.  s )  /\  A  e.  dom  ( s  \  _I  )  /\  -.  A  e. 
dom  ( r  \  _I  ) ) ) )  ->  ( ( ( W splice  <. I ,  ( I  +  2 ) ,  <" r s "> >. ) `  ( I  +  1 ) )  \  _I  )  =  ( s  \  _I  ) )
191190dmeqd 4881 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( (
r  e.  T  /\  s  e.  T )  /\  ( ( ( W `
 I )  o.  ( W `  (
I  +  1 ) ) )  =  ( r  o.  s )  /\  A  e.  dom  ( s  \  _I  )  /\  -.  A  e. 
dom  ( r  \  _I  ) ) ) )  ->  dom  ( (
( W splice  <. I ,  ( I  +  2 ) ,  <" r
s "> >. ) `  ( I  +  1 ) )  \  _I  )  =  dom  ( s 
\  _I  ) )
192176, 191eleqtrrd 2360 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( (
r  e.  T  /\  s  e.  T )  /\  ( ( ( W `
 I )  o.  ( W `  (
I  +  1 ) ) )  =  ( r  o.  s )  /\  A  e.  dom  ( s  \  _I  )  /\  -.  A  e. 
dom  ( r  \  _I  ) ) ) )  ->  A  e.  dom  ( ( ( W splice  <. I ,  ( I  +  2 ) , 
<" r s "> >. ) `  (
I  +  1 ) )  \  _I  )
)
193 fzosplitsni 10921 . . . . . . . . . . 11  |-  ( I  e.  ( ZZ>= `  0
)  ->  ( j  e.  ( 0..^ ( I  +  1 ) )  <-> 
( j  e.  ( 0..^ I )  \/  j  =  I ) ) )
194 nn0uz 10262 . . . . . . . . . . 11  |-  NN0  =  ( ZZ>= `  0 )
195193, 194eleq2s 2375 . . . . . . . . . 10  |-  ( I  e.  NN0  ->  ( j  e.  ( 0..^ ( I  +  1 ) )  <->  ( j  e.  ( 0..^ I )  \/  j  =  I ) ) )
19610, 195syl 15 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( j  e.  ( 0..^ ( I  + 
1 ) )  <->  ( j  e.  ( 0..^ I )  \/  j  =  I ) ) )
197196adantr 451 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( (
r  e.  T  /\  s  e.  T )  /\  ( ( ( W `
 I )  o.  ( W `  (
I  +  1 ) ) )  =  ( r  o.  s )  /\  A  e.  dom  ( s  \  _I  )  /\  -.  A  e. 
dom  ( r  \  _I  ) ) ) )  ->  ( j  e.  ( 0..^ ( I  +  1 ) )  <-> 
( j  e.  ( 0..^ I )  \/  j  =  I ) ) )
198 fveq2 5525 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( k  =  j  ->  ( W `  k )  =  ( W `  j ) )
199198difeq1d 3293 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( k  =  j  ->  (
( W `  k
)  \  _I  )  =  ( ( W `
 j )  \  _I  ) )
200199dmeqd 4881 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( k  =  j  ->  dom  ( ( W `  k )  \  _I  )  =  dom  ( ( W `  j ) 
\  _I  ) )
201200eleq2d 2350 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( k  =  j  ->  ( A  e.  dom  ( ( W `  k ) 
\  _I  )  <->  A  e.  dom  ( ( W `  j )  \  _I  ) ) )
202201notbid 285 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( k  =  j  ->  ( -.  A  e.  dom  ( ( W `  k )  \  _I  ) 
<->  -.  A  e.  dom  ( ( W `  j )  \  _I  ) ) )
203202rspccva 2883 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A. k  e.  ( 0..^ I )  -.  A  e.  dom  (
( W `  k
)  \  _I  )  /\  j  e.  (
0..^ I ) )  ->  -.  A  e.  dom  ( ( W `  j )  \  _I  ) )
20432, 203sylan 457 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( 0..^ I ) )  ->  -.  A  e.  dom  ( ( W `  j )  \  _I  ) )
205204adantlr 695 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
r  e.  T  /\  s  e.  T )
)  /\  j  e.  ( 0..^ I ) )  ->  -.  A  e.  dom  ( ( W `  j )  \  _I  ) )
2061ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  (
r  e.  T  /\  s  e.  T )
)  /\  j  e.  ( 0..^ I ) )  ->  W  e. Word  T
)
20718ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  (
r  e.  T  /\  s  e.  T )
)  /\  j  e.  ( 0..^ I ) )  ->  I  e.  ( 0 ... ( I  +  2 ) ) )
20838ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  (
r  e.  T  /\  s  e.  T )
)  /\  j  e.  ( 0..^ I ) )  ->  ( I  + 
2 )  e.  ( 0 ... ( # `  W ) ) )
209128adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  (
r  e.  T  /\  s  e.  T )
)  /\  j  e.  ( 0..^ I ) )  ->  <" r s ">  e. Word  T
)
210 simpr 447 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  (
r  e.  T  /\  s  e.  T )
)  /\  j  e.  ( 0..^ I ) )  ->  j  e.  ( 0..^ I ) )
211206, 207, 208, 209, 210splfv1 11470 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  (
r  e.  T  /\  s  e.  T )
)  /\  j  e.  ( 0..^ I ) )  ->  ( ( W splice  <. I ,  ( I  +  2 ) , 
<" r s "> >. ) `  j
)  =  ( W `
 j ) )
212211difeq1d 3293 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
r  e.  T  /\  s  e.  T )
)  /\  j  e.  ( 0..^ I ) )  ->  ( ( ( W splice  <. I ,  ( I  +  2 ) ,  <" r s "> >. ) `  j )  \  _I  )  =  ( ( W `  j )  \  _I  ) )
213212dmeqd 4881 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
r  e.  T  /\  s  e.  T )
)  /\  j  e.  ( 0..^ I ) )  ->  dom  ( (
( W splice  <. I ,  ( I  +  2 ) ,  <" r
s "> >. ) `  j )  \  _I  )  =  dom  ( ( W `  j ) 
\  _I  ) )
214213eleq2d 2350 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
r  e.  T  /\  s  e.  T )
)  /\  j  e.  ( 0..^ I ) )  ->  ( A  e. 
dom  ( ( ( W splice  <. I ,  ( I  +  2 ) ,  <" r s "> >. ) `  j )  \  _I  ) 
<->  A  e.  dom  (
( W `  j
)  \  _I  )
) )
215205, 214mtbird 292 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
r  e.  T  /\  s  e.  T )
)  /\  j  e.  ( 0..^ I ) )  ->  -.  A  e.  dom  ( ( ( W splice  <. I ,  ( I  +  2 ) , 
<" r s "> >. ) `  j
)  \  _I  )
)
216215ex 423 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( r  e.  T  /\  s  e.  T ) )  -> 
( j  e.  ( 0..^ I )  ->  -.  A  e.  dom  ( ( ( W splice  <. I ,  ( I  +  2 ) , 
<" r s "> >. ) `  j
)  \  _I  )
) )
217216adantrr 697 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( (
r  e.  T  /\  s  e.  T )  /\  ( ( ( W `
 I )  o.  ( W `  (
I  +  1 ) ) )  =  ( r  o.  s )  /\  A  e.  dom  ( s  \  _I  )  /\  -.  A  e. 
dom  ( r  \  _I  ) ) ) )  ->  ( j  e.  ( 0..^ I )  ->  -.  A  e.  dom  ( ( ( W splice  <. I ,  ( I  +  2 ) , 
<" r s "> >. ) `  j
)  \  _I  )
) )
218 simprr3 1005 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( (
r  e.  T  /\  s  e.  T )  /\  ( ( ( W `
 I )  o.  ( W `  (
I  +  1 ) ) )  =  ( r  o.  s )  /\  A  e.  dom  ( s  \  _I  )  /\  -.  A  e. 
dom  ( r  \  _I  ) ) ) )  ->  -.  A  e.  dom  ( r  \  _I  ) )
219 0nn0 9980 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  0  e.  NN0
220 2pos 9828 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  0  <  2
221 elfzo0 10904 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( 0  e.  ( 0..^ 2 )  <->  ( 0  e. 
NN0  /\  2  e.  NN  /\  0  <  2
) )
222219, 178, 220, 221mpbir3an 1134 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  0  e.  ( 0..^ 2 )
223222, 182eleqtrri 2356 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  0  e.  ( 0..^ ( # `  <" r s "> ) )
224223a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  ( r  e.  T  /\  s  e.  T ) )  -> 
0  e.  ( 0..^ ( # `  <" r s "> ) ) )
225125, 158, 159, 128, 224splfv2a 11471 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( r  e.  T  /\  s  e.  T ) )  -> 
( ( W splice  <. I ,  ( I  +  2 ) ,  <" r
s "> >. ) `  ( I  +  0 ) )  =  (
<" r s "> `  0 )
)
22619addid1d 9012 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( I  +  0 )  =  I )
227226adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  ( r  e.  T  /\  s  e.  T ) )  -> 
( I  +  0 )  =  I )
228227fveq2d 5529 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( r  e.  T  /\  s  e.  T ) )  -> 
( ( W splice  <. I ,  ( I  +  2 ) ,  <" r
s "> >. ) `  ( I  +  0 ) )  =  ( ( W splice  <. I ,  ( I  +  2 ) ,  <" r
s "> >. ) `  I ) )
229 s2fv0 11535 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( r  e.  T  ->  ( <" r s "> `  0 )  =  r )
230229ad2antrl 708 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( r  e.  T  /\  s  e.  T ) )  -> 
( <" r s "> `  0
)  =  r )
231225, 228, 2303eqtr3d 2323 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( r  e.  T  /\  s  e.  T ) )  -> 
( ( W splice  <. I ,  ( I  +  2 ) ,  <" r
s "> >. ) `  I )  =  r )
232231difeq1d 3293 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( r  e.  T  /\  s  e.  T ) )  -> 
( ( ( W splice  <. I ,  ( I  +  2 ) , 
<" r s "> >. ) `  I
)  \  _I  )  =  ( r  \  _I  ) )
233232dmeqd 4881 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( r  e.  T  /\  s  e.  T ) )  ->  dom  ( ( ( W splice  <. I ,  ( I  +  2 ) , 
<" r s "> >. ) `  I
)  \  _I  )  =  dom  ( r  \  _I  ) )
234233eleq2d 2350 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( r  e.  T  /\  s  e.  T ) )  -> 
( A  e.  dom  ( ( ( W splice  <. I ,  ( I  +  2 ) , 
<" r s "> >. ) `  I
)  \  _I  )  <->  A  e.  dom  ( r 
\  _I  ) ) )
235234adantrr 697 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( (
r  e.  T  /\  s  e.  T )  /\  ( ( ( W `
 I )  o.  ( W `  (
I  +  1 ) ) )  =  ( r  o.  s )  /\  A  e.  dom  ( s  \  _I  )  /\  -.  A  e. 
dom  ( r  \  _I  ) ) ) )  ->  ( A  e. 
dom  ( ( ( W splice  <. I ,  ( I  +  2 ) ,  <" r s "> >. ) `  I )  \  _I  ) 
<->  A  e.  dom  (
r  \  _I  )
) )
236218, 235mtbird 292 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( (
r  e.  T  /\  s  e.  T )  /\  ( ( ( W `
 I )  o.  ( W `  (
I  +  1 ) ) )  =  ( r  o.  s )  /\  A  e.  dom  ( s  \  _I  )  /\  -.  A  e. 
dom  ( r  \  _I  ) ) ) )  ->  -.  A  e.  dom  ( ( ( W splice  <. I ,  ( I  +  2 ) , 
<" r s "> >. ) `  I
)  \  _I  )
)
237 fveq2 5525 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( j  =  I  ->  (
( W splice  <. I ,  ( I  +  2 ) ,  <" r
s "> >. ) `  j )  =  ( ( W splice  <. I ,  ( I  +  2 ) ,  <" r
s "> >. ) `  I ) )
238237difeq1d 3293 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( j  =  I  ->  (
( ( W splice  <. I ,  ( I  +  2 ) ,  <" r
s "> >. ) `  j )  \  _I  )  =  ( (
( W splice  <. I ,  ( I  +  2 ) ,  <" r
s "> >. ) `  I )  \  _I  ) )
239238dmeqd 4881 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( j  =  I  ->  dom  ( ( ( W splice  <. I ,  ( I  +  2 ) , 
<" r s "> >. ) `  j
)  \  _I  )  =  dom  ( ( ( W splice  <. I ,  ( I  +  2 ) ,  <" r s "> >. ) `  I )  \  _I  ) )
240239eleq2d 2350 . . . . . . . . . . 11  |-  ( j  =  I  ->  ( A  e.  dom  ( ( ( W splice  <. I ,  ( I  +  2 ) ,  <" r
s "> >. ) `  j )  \  _I  ) 
<->  A  e.  dom  (
( ( W splice  <. I ,  ( I  +  2 ) ,  <" r
s "> >. ) `  I )  \  _I  ) ) )
241240notbid 285 . . . . . . . . . 10  |-  ( j  =  I  ->  ( -.  A  e.  dom  ( ( ( W splice  <. I ,  ( I  +  2 ) , 
<" r s "> >. ) `  j
)  \  _I  )  <->  -.  A  e.  dom  (
( ( W splice  <. I ,  ( I  +  2 ) ,  <" r
s "> >. ) `  I )  \  _I  ) ) )
242236, 241syl5ibrcom 213 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( (
r  e.  T  /\  s  e.  T )  /\  ( ( ( W `
 I )  o.  ( W `  (
I  +  1 ) ) )  =  ( r  o.  s )  /\  A  e.  dom  ( s  \  _I  )  /\  -.  A  e. 
dom  ( r  \  _I  ) ) ) )  ->  ( j  =  I  ->  -.  A  e.  dom  ( ( ( W splice  <. I ,  ( I  +  2 ) ,  <" r s "> >. ) `  j )  \  _I  ) ) )
243217, 242jaod 369 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( (
r  e.  T  /\  s  e.  T )  /\  ( ( ( W `
 I )  o.  ( W `  (
I  +  1 ) ) )  =  ( r  o.  s )  /\  A  e.  dom  ( s  \  _I  )  /\  -.  A  e. 
dom  ( r  \  _I  ) ) ) )  ->  ( ( j  e.  ( 0..^ I )  \/  j  =  I )  ->  -.  A  e.  dom  ( ( ( W splice  <. I ,  ( I  +  2 ) ,  <" r
s "> >. ) `  j )  \  _I  ) ) )
244197, 243sylbid 206 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( (
r  e.  T  /\  s  e.  T )  /\  ( ( ( W `
 I )  o.  ( W `  (
I  +  1 ) ) )  =  ( r  o.  s )  /\  A  e.  dom  ( s  \  _I  )  /\  -.  A  e. 
dom  ( r  \  _I  ) ) ) )  ->  ( j  e.  ( 0..^ ( I  +  1 ) )  ->  -.  A  e.  dom  ( ( ( W splice  <. I ,  ( I  +  2 ) , 
<" r s "> >. ) `  j
)  \  _I  )
) )
245244ralrimiv 2625 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( (
r  e.  T  /\  s  e.  T )  /\  ( ( ( W `
 I )  o.  ( W `  (
I  +  1 ) ) )  =  ( r  o.  s )  /\  A  e.  dom  ( s  \  _I  )  /\  -.  A  e. 
dom  ( r  \  _I  ) ) ) )  ->  A. j  e.  ( 0..^ ( I  + 
1 ) )  -.  A  e.  dom  (
( ( W splice  <. I ,  ( I  +  2 ) ,  <" r
s "> >. ) `  j )  \  _I  ) )
246175, 192, 2453jca 1132 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( (
r  e.  T  /\  s  e.  T )  /\  ( ( ( W `
 I )  o.  ( W `  (
I  +  1 ) ) )  =  ( r  o.  s )  /\  A  e.  dom  ( s  \  _I  )  /\  -.  A  e. 
dom  ( r  \  _I  ) ) ) )  ->  ( ( I  +  1 )  e.  ( 0..^ L )  /\  A  e.  dom  ( ( ( W splice  <. I ,  ( I  +  2 ) , 
<" r s "> >. ) `  (
I  +  1 ) )  \  _I  )  /\  A. j  e.  ( 0..^ ( I  + 
1 ) )  -.  A  e.  dom  (
( ( W splice  <. I ,  ( I  +  2 ) ,  <" r
s "> >. ) `  j )  \  _I  ) ) )
247 oveq2 5866 . . . . . . . . 9  |-  ( w  =  ( W splice  <. I ,  ( I  +  2 ) ,  <" r
s "> >. )  ->  ( G  gsumg  w )  =  ( G  gsumg  ( W splice  <. I ,  ( I  +  2 ) ,  <" r
s "> >. )
) )
248247eqeq1d 2291 . . . . . . . 8  |-  ( w  =  ( W splice  <. I ,  ( I  +  2 ) ,  <" r
s "> >. )  ->  ( ( G  gsumg  w )  =  (  _I  |`  D )  <-> 
( G  gsumg  ( W splice  <. I ,  ( I  +  2 ) ,  <" r
s "> >. )
)  =  (  _I  |`  D ) ) )
249 fveq2 5525 . . . . . . . . 9  |-  ( w  =  ( W splice  <. I ,  ( I  +  2 ) ,  <" r
s "> >. )  ->  ( # `  w
)  =  ( # `  ( W splice  <. I ,  ( I  +  2 ) ,  <" r
s "> >. )
) )
250249eqeq1d 2291 . . . . . . . 8  |-  ( w  =  ( W splice  <. I ,  ( I  +  2 ) ,  <" r
s "> >. )  ->  ( ( # `  w
)  =  L  <->  ( # `  ( W splice  <. I ,  ( I  +  2 ) ,  <" r s "> >. )
)  =  L ) )
251248, 250anbi12d 691 . . . . . . 7  |-  ( w  =  ( W splice  <. I ,  ( I  +  2 ) ,  <" r
s "> >. )  ->  ( ( ( G 
gsumg  w )  =  (  _I  |`  D )  /\  ( # `  w
)  =  L )  <-> 
( ( G  gsumg  ( W splice  <. I ,  ( I  +  2 ) , 
<" r s "> >. ) )  =  (  _I  |`  D )  /\  ( # `  ( W splice  <. I ,  ( I  +  2 ) ,  <" r s "> >. )
)  =  L ) ) )
252 fveq1 5524 . . . . . . . . . . 11  |-  ( w  =  ( W splice  <. I ,  ( I  +  2 ) ,  <" r
s "> >. )  ->  ( w `  (
I  +  1 ) )  =  ( ( W splice  <. I ,  ( I  +  2 ) ,  <" r s "> >. ) `  ( I  +  1 ) ) )
253252difeq1d 3293 . . . . . . . . . 10  |-  ( w  =  ( W splice  <. I ,  ( I  +  2 ) ,  <" r
s "> >. )  ->  ( ( w `  ( I  +  1
) )  \  _I  )  =  ( (
( W splice  <. I ,  ( I  +  2 ) ,  <" r
s "> >. ) `  ( I  +  1 ) )  \  _I  ) )
254253dmeqd 4881 . . . . . . . . 9  |-  ( w  =  ( W splice  <. I ,  ( I  +  2 ) ,  <" r
s "> >. )  ->  dom  ( ( w `
 ( I  + 
1 ) )  \  _I  )  =  dom  ( ( ( W splice  <. I ,  ( I  +  2 ) , 
<" r s "> >. ) `  (
I  +  1 ) )  \  _I  )
)
255254eleq2d 2350 . . . . . . . 8  |-  ( w  =  ( W splice  <. I ,  ( I  +  2 ) ,  <" r
s "> >. )  ->  ( A  e.  dom  ( ( w `  ( I  +  1
) )  \  _I  ) 
<->  A  e.  dom  (
( ( W splice  <. I ,  ( I  +  2 ) ,  <" r
s "> >. ) `  ( I  +  1 ) )  \  _I  ) ) )
256 fveq1 5524 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( w  =  ( W splice  <. I ,  ( I  +  2 ) ,  <" r
s "> >. )  ->  ( w `  j
)  =  ( ( W splice  <. I ,  ( I  +  2 ) ,  <" r s "> >. ) `  j ) )
257256difeq1d 3293 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( w  =  ( W splice  <. I ,  ( I  +  2 ) ,  <" r
s "> >. )  ->  ( ( w `  j )  \  _I  )  =  ( (
( W splice  <. I ,  ( I  +  2 ) ,  <" r
s "> >. ) `  j )  \  _I  ) )
258257dmeqd 4881 . . . . . . . . . . 11  |-  ( w  =  ( W splice  <. I ,  ( I  +  2 ) ,  <" r
s "> >. )  ->  dom  ( ( w `
 j )  \  _I  )  =  dom  ( ( ( W splice  <. I ,  ( I  +  2 ) , 
<" r s "> >. ) `  j
)  \  _I  )
)
259258eleq2d 2350 . . . . . . . . . 10  |-  ( w  =  ( W splice  <. I ,  ( I  +  2 ) ,  <" r
s "> >. )  ->  ( A  e.  dom  ( ( w `  j )  \  _I  ) 
<->  A  e.  dom  (
( ( W splice  <. I ,  ( I  +  2 ) ,  <" r
s "> >. ) `  j )  \  _I  ) ) )
260259notbid 285 . . . . . . . . 9  |-  ( w  =  ( W splice  <. I ,  ( I  +  2 ) ,  <" r
s "> >. )  ->  ( -.  A  e. 
dom  ( ( w `
 j )  \  _I  )  <->  -.  A  e.  dom  ( ( ( W splice  <. I ,  ( I  +  2 ) , 
<" r s "> >. ) `  j
)  \  _I  )
) )
261260ralbidv 2563 . . . . . . . 8  |-  ( w  =  ( W splice  <. I ,  ( I  +  2 ) ,  <" r
s "> >. )  ->  ( A. j  e.  ( 0..^ ( I  +  1 ) )  -.  A  e.  dom  ( ( w `  j )  \  _I  ) 
<-> 
A. j  e.  ( 0..^ ( I  + 
1 ) )  -.  A  e.  dom  (
( ( W splice  <. I ,  ( I  +  2 ) ,  <" r
s "> >. ) `  j )  \  _I  ) ) )
262255, 2613anbi23d 1255 . . . . . . 7  |-  ( w  =  ( W splice  <. I ,  ( I  +  2 ) ,  <" r
s "> >. )  ->  ( ( ( I  +  1 )  e.  ( 0..^ L )  /\  A  e.  dom  ( ( w `  ( I  +  1
) )  \  _I  )  /\  A. j  e.  ( 0..^ ( I  +  1 ) )  -.  A  e.  dom  ( ( w `  j )  \  _I  ) )  <->  ( (
I  +  1 )  e.  ( 0..^ L )  /\  A  e. 
dom  ( ( ( W splice  <. I ,  ( I  +  2 ) ,  <" r s "> >. ) `  ( I  +  1 ) )  \  _I  )  /\  A. j  e.  ( 0..^ ( I  +  1 ) )  -.  A  e.  dom  ( ( ( W splice  <. I ,  ( I  +  2 ) , 
<" r s "> >. ) `  j
)  \  _I  )
) ) )
263251, 262anbi12d 691 . . . . . 6  |-  ( w  =  ( W splice  <. I ,  ( I  +  2 ) ,  <" r
s "> >. )  ->  ( ( ( ( G  gsumg  w )  =  (  _I  |`  D )  /\  ( # `  w
)  =  L )  /\  ( ( I  +  1 )  e.  ( 0..^ L )  /\  A  e.  dom  ( ( w `  ( I  +  1
) )  \  _I  )  /\  A. j  e.  ( 0..^ ( I  +  1 ) )  -.  A  e.  dom  ( ( w `  j )  \  _I  ) ) )  <->  ( (
( G  gsumg  ( W splice  <. I ,  ( I  +  2 ) ,  <" r
s "> >. )
)  =  (  _I  |`  D )  /\  ( # `
 ( W splice  <. I ,  ( I  +  2 ) ,  <" r
s "> >. )
)  =  L )  /\  ( ( I  +  1 )  e.  ( 0..^ L )  /\  A  e.  dom  ( ( ( W splice  <. I ,  ( I  +  2 ) , 
<" r s "> >. ) `  (
I  +  1 ) )  \  _I  )  /\  A. j  e.  ( 0..^ ( I  + 
1 ) )  -.  A  e.  dom  (
( ( W splice  <. I ,  ( I  +  2 ) ,  <" r
s "> >. ) `  j )  \  _I  ) ) ) ) )
264263rspcev 2884 . . . . 5  |-  ( ( ( W splice  <. I ,  ( I  +  2 ) ,  <" r
s "> >. )  e. Word  T  /\  ( ( ( G  gsumg  ( W splice  <. I ,  ( I  +  2 ) ,  <" r
s "> >. )
)  =  (  _I  |`  D )  /\  ( # `
 ( W splice  <. I ,  ( I  +  2 ) ,  <" r
s "> >. )
)  =  L )  /\  ( ( I  +  1 )  e.  ( 0..^ L )  /\  A  e.  dom  ( ( ( W splice  <. I ,  ( I  +  2 ) , 
<" r s "> >. ) `  (
I  +  1 ) )  \  _I  )  /\  A. j  e.  ( 0..^ ( I  + 
1 ) )  -.  A  e.  dom  (
( ( W splice  <. I ,  ( I  +  2 ) ,  <" r
s "> >. ) `  j )  \  _I  ) ) ) )  ->  E. w  e. Word  T
( ( ( G 
gsumg  w )  =  (  _I  |`  D )  /\  ( # `  w
)  =  L )  /\  ( ( I  +  1 )  e.  ( 0..^ L )  /\  A  e.  dom  ( ( w `  ( I  +  1
) )  \  _I  )  /\  A. j  e.  ( 0..^ ( I  +  1 ) )  -.  A  e.  dom  ( ( w `  j )  \  _I  ) ) ) )
265131, 174, 246, 264syl12anc 1180 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( (
r  e.  T  /\  s  e.  T )  /\  ( ( ( W `
 I )  o.  ( W `  (
I  +  1 ) ) )  =  ( r  o.  s )  /\  A  e.  dom  ( s  \  _I  )  /\  -.  A  e. 
dom  ( r  \  _I  ) ) ) )  ->  E. w  e. Word  T
( ( ( G 
gsumg  w )  =  (  _I  |`  D )  /\  ( # `  w
)  =  L )  /\  ( ( I  +  1 )  e.  ( 0..^ L )  /\  A  e.  dom  ( ( w `  ( I  +  1
) )  \  _I  )  /\  A. j  e.  ( 0..^ ( I  +  1 ) )  -.  A  e.  dom  ( ( w `  j )  \  _I  ) ) ) )
266265expr 598 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( r  e.  T  /\  s  e.  T ) )  -> 
( ( ( ( W `  I )  o.  ( W `  ( I  +  1
) ) )  =  ( r  o.  s
)  /\  A  e.  dom  ( s  \  _I  )  /\  -.  A  e. 
dom  ( r  \  _I  ) )  ->  E. w  e. Word  T ( ( ( G  gsumg  w )  =  (  _I  |`  D )  /\  ( # `  w
)  =  L )  /\  ( ( I  +  1 )  e.  ( 0..^ L )  /\  A  e.  dom  ( ( w `  ( I  +  1
) )  \  _I  )  /\  A. j  e.  ( 0..^ ( I  +  1 ) )  -.  A  e.  dom  ( ( w `  j )  \  _I  ) ) ) ) )
267266rexlimdvva 2674 . 2  |-  ( ph  ->  ( E. r  e.  T  E. s  e.  T  ( ( ( W `  I )  o.  ( W `  ( I  +  1
) ) )  =  ( r  o.  s
)  /\  A  e.  dom  ( s  \  _I  )  /\  -.  A  e. 
dom  ( r  \  _I  ) )  ->  E. w  e. Word  T ( ( ( G  gsumg  w )  =  (  _I  |`  D )  /\  ( # `  w
)  =  L )  /\  ( ( I  +  1 )  e.  ( 0..^ L )  /\  A  e.  dom  ( ( w `  ( I  +  1
) )  \  _I  )  /\  A. j  e.  ( 0..^ ( I  +  1 ) )  -.  A  e.  dom  ( ( w `  j )  \  _I  ) ) ) ) )
26827, 28, 90, 93, 31psgnunilem1 27416 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( ( W `
 I )  o.  ( W `  (
I  +  1 ) ) )  =  (  _I  |`  D )  \/  E. r  e.  T  E. s  e.  T  ( ( ( W `
 I )  o.  ( W `  (
I  +  1 ) ) )  =  ( r  o.  s )  /\  A  e.  dom  ( s  \  _I  )  /\  -.  A  e. 
dom  ( r  \  _I  ) ) ) )
269124, 267, 268mpjaod 370 1  |-  ( ph  ->  E. w  e. Word  T
( ( ( G 
gsumg  w )  =  (  _I  |`  D )  /\  ( # `  w
)  =  L )  /\  ( ( I  +  1 )  e.  ( 0..^ L )  /\  A  e.  dom  ( ( w `  ( I  +  1
) )  \  _I  )  /\  A. j  e.  ( 0..^ ( I  +  1 ) )  -.  A  e.  dom  ( ( w `  j )  \  _I  ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 176    \/ wo 357    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1623    e. wcel 1684   A.wral 2543   E.wrex 2544    \ cdif 3149    C_ wss 3152   (/)c0 3455   <.cop 3643   <.cotp 3644   class class class wbr 4023    _I cid 4304   dom cdm 4689   ran crn 4690    |` cres 4691    o. ccom 4693   -->wf 5251   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   CCcc 8735   RRcr 8736   0cc0 8737   1c1 8738    + caddc 8740    < clt 8867    <_ cle 8868    - cmin 9037   -ucneg 9038   NNcn 9746   2c2 9795   NN0cn0 9965   ZZcz 10024   ZZ>=cuz 10230   ...cfz 10782  ..^cfzo 10870   #chash 11337  Word cword 11403   substr csubstr 11406   splice csplice 11407   <"cs2 11491   Basecbs 13148   +g cplusg 13208   0gc0g 13400    gsumg cgsu 13401   Mndcmnd 14361   Grpcgrp 14362   SymGrpcsymg 14769  pmTrspcpmtr 27384
This theorem is referenced by:  psgnunilem3  27419
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-xor 1296  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-ot 3650  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-2o 6480  df-oadd 6483  df-er 6660  df-map 6774  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-fin 6867  df-card 7572  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-nn 9747  df-2 9804  df-3 9805  df-4 9806  df-5 9807  df-6 9808  df-7 9809  df-8 9810  df-9 9811  df-n0 9966  df-z 10025  df-uz 10231  df-fz 10783  df-fzo 10871  df-seq 11047  df-hash 11338  df-word 11409  df-concat 11410  df-s1 11411  df-substr 11412  df-splice 11413  df-s2 11498  df-struct 13150  df-ndx 13151  df-slot 13152  df-base 13153  df-sets 13154  df-ress 13155  df-plusg 13221  df-tset 13227  df-0g 13404  df-gsum 13405  df-mnd 14367  df-submnd 14416  df-grp 14489  df-minusg 14490  df-subg 14618  df-symg 14770  df-pmtr 27385
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