Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  psgnunilem3 Unicode version

Theorem psgnunilem3 27419
 Description: Lemma for psgnuni 27422. Any nonempty representation of the identity can be incrementally transformed into a representation two shorter. (Contributed by Stefan O'Rear, 25-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
psgnunilem3.g
psgnunilem3.t pmTrsp
psgnunilem3.d
psgnunilem3.w1 Word
psgnunilem3.l
psgnunilem3.w2
psgnunilem3.w3 g
psgnunilem3.in Word g
Assertion
Ref Expression
psgnunilem3
Distinct variable groups:   ,   ,   ,   ,   ,   ,
Allowed substitution hint:   ()

Proof of Theorem psgnunilem3
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 psgnunilem3.l . . . 4
2 psgnunilem3.w2 . . . 4
31, 2eqeltrrd 2358 . . 3
43nnnn0d 10018 . 2
5 psgnunilem3.w1 . . . . . . 7 Word
6 wrdf 11419 . . . . . . 7 Word ..^
75, 6syl 15 . . . . . 6 ..^
8 0nn0 9980 . . . . . . . . 9
98a1i 10 . . . . . . . 8
103nngt0d 9789 . . . . . . . 8
11 elfzo0 10904 . . . . . . . 8 ..^
129, 3, 10, 11syl3anbrc 1136 . . . . . . 7 ..^
131oveq2d 5874 . . . . . . 7 ..^ ..^
1412, 13eleqtrrd 2360 . . . . . 6 ..^
15 ffvelrn 5663 . . . . . 6 ..^ ..^
167, 14, 15syl2anc 642 . . . . 5
17 eqid 2283 . . . . . 6 pmTrsp pmTrsp
18 psgnunilem3.t . . . . . 6 pmTrsp
1917, 18pmtrfmvdn0 27403 . . . . 5
2016, 19syl 15 . . . 4
21 n0 3464 . . . 4
2220, 21sylib 188 . . 3
23 fzonel 10887 . . . . . . . . . 10 ..^
24 simpr1 961 . . . . . . . . . 10 g ..^ ..^ ..^
2523, 24mto 167 . . . . . . . . 9 g ..^ ..^
2625a1i 10 . . . . . . . 8 Word g ..^ ..^
2726nrex 2645 . . . . . . 7 Word g ..^ ..^
28 eleq1 2343 . . . . . . . . . . . 12 ..^ ..^
29 fveq2 5525 . . . . . . . . . . . . . . 15
3029difeq1d 3293 . . . . . . . . . . . . . 14
3130dmeqd 4881 . . . . . . . . . . . . 13
3231eleq2d 2350 . . . . . . . . . . . 12
33 oveq2 5866 . . . . . . . . . . . . 13 ..^ ..^
3433raleqdv 2742 . . . . . . . . . . . 12 ..^ ..^
3528, 32, 343anbi123d 1252 . . . . . . . . . . 11 ..^ ..^ ..^ ..^
3635anbi2d 684 . . . . . . . . . 10 g ..^ ..^ g ..^ ..^
3736rexbidv 2564 . . . . . . . . 9 Word g ..^ ..^ Word g ..^ ..^
3837imbi2d 307 . . . . . . . 8 Word g ..^ ..^ Word g ..^ ..^
39 eleq1 2343 . . . . . . . . . . . . 13 ..^ ..^
40 fveq2 5525 . . . . . . . . . . . . . . . 16
4140difeq1d 3293 . . . . . . . . . . . . . . 15
4241dmeqd 4881 . . . . . . . . . . . . . 14
4342eleq2d 2350 . . . . . . . . . . . . 13
44 oveq2 5866 . . . . . . . . . . . . . 14 ..^ ..^
4544raleqdv 2742 . . . . . . . . . . . . 13 ..^ ..^
4639, 43, 453anbi123d 1252 . . . . . . . . . . . 12 ..^ ..^ ..^ ..^
4746anbi2d 684 . . . . . . . . . . 11 g ..^ ..^ g ..^ ..^
4847rexbidv 2564 . . . . . . . . . 10 Word g ..^ ..^ Word g ..^ ..^
49 oveq2 5866 . . . . . . . . . . . . . 14 g g
5049eqeq1d 2291 . . . . . . . . . . . . 13 g g
51 fveq2 5525 . . . . . . . . . . . . . 14
5251eqeq1d 2291 . . . . . . . . . . . . 13
5350, 52anbi12d 691 . . . . . . . . . . . 12 g g
54 fveq1 5524 . . . . . . . . . . . . . . . 16
5554difeq1d 3293 . . . . . . . . . . . . . . 15
5655dmeqd 4881 . . . . . . . . . . . . . 14
5756eleq2d 2350 . . . . . . . . . . . . 13
58 fveq1 5524 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
5958difeq1d 3293 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
6059dmeqd 4881 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
6160eleq2d 2350 . . . . . . . . . . . . . . . 16
6261notbid 285 . . . . . . . . . . . . . . 15
6362ralbidv 2563 . . . . . . . . . . . . . 14 ..^ ..^
64 fveq2 5525 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
6564difeq1d 3293 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
6665dmeqd 4881 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
6766eleq2d 2350 . . . . . . . . . . . . . . . 16
6867notbid 285 . . . . . . . . . . . . . . 15
6968cbvralv 2764 . . . . . . . . . . . . . 14 ..^ ..^
7063, 69syl6bb 252 . . . . . . . . . . . . 13 ..^ ..^
7157, 703anbi23d 1255 . . . . . . . . . . . 12 ..^ ..^ ..^ ..^
7253, 71anbi12d 691 . . . . . . . . . . 11 g ..^ ..^ g ..^ ..^
7372cbvrexv 2765 . . . . . . . . . 10 Word g ..^ ..^ Word g ..^ ..^
7448, 73syl6bb 252 . . . . . . . . 9 Word g ..^ ..^ Word g ..^ ..^
7574imbi2d 307 . . . . . . . 8 Word g ..^ ..^ Word g ..^ ..^
76 eleq1 2343 . . . . . . . . . . . 12 ..^ ..^
77 fveq2 5525 . . . . . . . . . . . . . . 15
7877difeq1d 3293 . . . . . . . . . . . . . 14
7978dmeqd 4881 . . . . . . . . . . . . 13
8079eleq2d 2350 . . . . . . . . . . . 12
81 oveq2 5866 . . . . . . . . . . . . 13 ..^ ..^
8281raleqdv 2742 . . . . . . . . . . . 12 ..^ ..^
8376, 80, 823anbi123d 1252 . . . . . . . . . . 11 ..^ ..^ ..^ ..^
8483anbi2d 684 . . . . . . . . . 10 g ..^ ..^ g ..^ ..^
8584rexbidv 2564 . . . . . . . . 9 Word g ..^ ..^ Word g ..^ ..^
8685imbi2d 307 . . . . . . . 8 Word g ..^ ..^ Word g ..^ ..^
87 eleq1 2343 . . . . . . . . . . . 12 ..^ ..^
88 fveq2 5525 . . . . . . . . . . . . . . 15
8988difeq1d 3293 . . . . . . . . . . . . . 14
9089dmeqd 4881 . . . . . . . . . . . . 13
9190eleq2d 2350 . . . . . . . . . . . 12
92 oveq2 5866 . . . . . . . . . . . . 13 ..^ ..^
9392raleqdv 2742 . . . . . . . . . . . 12 ..^ ..^
9487, 91, 933anbi123d 1252 . . . . . . . . . . 11 ..^ ..^ ..^ ..^
9594anbi2d 684 . . . . . . . . . 10 g ..^ ..^ g ..^ ..^
9695rexbidv 2564 . . . . . . . . 9 Word g ..^ ..^ Word g ..^ ..^
9796imbi2d 307 . . . . . . . 8 Word g ..^ ..^ Word g ..^ ..^
985adantr 451 . . . . . . . . 9 Word
99 psgnunilem3.w3 . . . . . . . . . . 11 g
10099, 1jca 518 . . . . . . . . . 10 g
101100adantr 451 . . . . . . . . 9 g
10212adantr 451 . . . . . . . . . 10 ..^
103 simpr 447 . . . . . . . . . 10
104 ral0 3558 . . . . . . . . . . . 12
105 fzo0 10893 . . . . . . . . . . . . 13 ..^
106105raleqi 2740 . . . . . . . . . . . 12 ..^
107104, 106mpbir 200 . . . . . . . . . . 11 ..^
108107a1i 10 . . . . . . . . . 10 ..^
109102, 103, 1083jca 1132 . . . . . . . . 9 ..^ ..^
110 oveq2 5866 . . . . . . . . . . . . 13 g g
111110eqeq1d 2291 . . . . . . . . . . . 12 g g
112 fveq2 5525 . . . . . . . . . . . . 13
113112eqeq1d 2291 . . . . . . . . . . . 12
114111, 113anbi12d 691 . . . . . . . . . . 11 g g
115 fveq1 5524 . . . . . . . . . . . . . . 15
116115difeq1d 3293 . . . . . . . . . . . . . 14
117116dmeqd 4881 . . . . . . . . . . . . 13
118117eleq2d 2350 . . . . . . . . . . . 12
119 fveq1 5524 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
120119difeq1d 3293 . . . . . . . . . . . . . . . 16
121120dmeqd 4881 . . . . . . . . . . . . . . 15
122121eleq2d 2350 . . . . . . . . . . . . . 14
123122notbid 285 . . . . . . . . . . . . 13
124123ralbidv 2563 . . . . . . . . . . . 12 ..^ ..^
125118, 1243anbi23d 1255 . . . . . . . . . . 11 ..^ ..^ ..^ ..^
126114, 125anbi12d 691 . . . . . . . . . 10 g ..^ ..^ g ..^ ..^
127126rspcev 2884 . . . . . . . . 9 Word g ..^ ..^ Word g ..^ ..^
12898, 101, 109, 127syl12anc 1180 . . . . . . . 8 Word g ..^ ..^
129 psgnunilem3.g . . . . . . . . . . . . 13
130 psgnunilem3.d . . . . . . . . . . . . . 14
131130ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . 13 Word g ..^ ..^
132 simprl 732 . . . . . . . . . . . . 13 Word g ..^ ..^ Word
133 simpll 730 . . . . . . . . . . . . . 14 g ..^ ..^ g
134133ad2antll 709 . . . . . . . . . . . . 13 Word g ..^ ..^ g
135 simplr 731 . . . . . . . . . . . . . 14 g ..^ ..^
136135ad2antll 709 . . . . . . . . . . . . 13 Word g ..^ ..^
137 simpr1 961 . . . . . . . . . . . . . 14 g ..^ ..^ ..^
138137ad2antll 709 . . . . . . . . . . . . 13 Word g ..^ ..^ ..^
139 simpr2 962 . . . . . . . . . . . . . 14 g ..^ ..^
140139ad2antll 709 . . . . . . . . . . . . 13 Word g ..^ ..^
141 simpr3 963 . . . . . . . . . . . . . 14 g ..^ ..^ ..^
142141ad2antll 709 . . . . . . . . . . . . 13 Word g ..^ ..^ ..^
143 psgnunilem3.in . . . . . . . . . . . . . . 15 Word g
144 fveq2 5525 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
145144eqeq1d 2291 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
146 oveq2 5866 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 g g
147146eqeq1d 2291 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 g g
148145, 147anbi12d 691 . . . . . . . . . . . . . . . 16 g g
149148cbvrexv 2765 . . . . . . . . . . . . . . 15 Word g Word g
150143, 149sylnib 295 . . . . . . . . . . . . . 14 Word g
151150ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . 13 Word g ..^ ..^ Word g
152129, 18, 131, 132, 134, 136, 138, 140, 142, 151psgnunilem2 27418 . . . . . . . . . . . 12 Word g ..^ ..^ Word g ..^ ..^
153152expr 598 . . . . . . . . . . 11 Word g ..^ ..^ Word g ..^ ..^
154153rexlimdva 2667 . . . . . . . . . 10 Word g ..^ ..^ Word g ..^ ..^
155154a2i 12 . . . . . . . . 9 Word g ..^ ..^ Word g ..^ ..^
156155a1i 10 . . . . . . . 8 Word g ..^ ..^ Word g ..^ ..^
15738, 75, 86, 97, 128, 156nn0ind 10108 . . . . . . 7 Word g ..^ ..^
15827, 157mtoi 169 . . . . . 6
159158con2i 112 . . . . 5
160159ex 423 . . . 4
161160exlimdv 1664 . . 3
16222, 161mpd 14 . 2
1634, 162pm2.65i 165 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wn 3   wi 4   wa 358   w3a 934  wex 1528   wceq 1623   wcel 1684   wne 2446  wral 2543  wrex 2544   cdif 3149  c0 3455   class class class wbr 4023   cid 4304   cdm 4689   crn 4690   cres 4691  wf 5251  cfv 5255  (class class class)co 5858  cc0 8737  c1 8738   caddc 8740   clt 8867   cmin 9037  cn 9746  c2 9795  cn0 9965  ..^cfzo 10870  chash 11337  Word cword 11403   g cgsu 13401  csymg 14769  pmTrspcpmtr 27384 This theorem is referenced by:  psgnunilem4  27420 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814 This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-xor 1296  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-ot 3650  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-2o 6480  df-oadd 6483  df-er 6660  df-map 6774  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-fin 6867  df-card 7572  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-nn 9747  df-2 9804  df-3 9805  df-4 9806  df-5 9807  df-6 9808  df-7 9809  df-8 9810  df-9 9811  df-n0 9966  df-z 10025  df-uz 10231  df-fz 10783  df-fzo 10871  df-seq 11047  df-hash 11338  df-word 11409  df-concat 11410  df-s1 11411  df-substr 11412  df-splice 11413  df-s2 11498  df-struct 13150  df-ndx 13151  df-slot 13152  df-base 13153  df-sets 13154  df-ress 13155  df-plusg 13221  df-tset 13227  df-0g 13404  df-gsum 13405  df-mnd 14367  df-submnd 14416  df-grp 14489  df-minusg 14490  df-subg 14618  df-symg 14770  df-pmtr 27385
 Copyright terms: Public domain W3C validator