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Theorem pslem 14331
Description: Lemma for psref 14333 and others. (Contributed by NM, 12-May-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 30-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
pslem  |-  ( R  e.  PosetRel  ->  ( ( ( A R B  /\  B R C )  ->  A R C )  /\  ( A  e.  U. U. R  ->  A R A )  /\  ( ( A R B  /\  B R A )  ->  A  =  B )
) )

Proof of Theorem pslem
Dummy variables  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 psrel 14328 . . . . . 6  |-  ( R  e.  PosetRel  ->  Rel  R )
2 brrelex12 4742 . . . . . 6  |-  ( ( Rel  R  /\  A R B )  ->  ( A  e.  _V  /\  B  e.  _V ) )
31, 2sylan 457 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  PosetRel  /\  A R B )  ->  ( A  e.  _V  /\  B  e.  _V ) )
4 brrelex2 4744 . . . . . 6  |-  ( ( Rel  R  /\  B R C )  ->  C  e.  _V )
51, 4sylan 457 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  PosetRel  /\  B R C )  ->  C  e.  _V )
63, 5anim12dan 810 . . . 4  |-  ( ( R  e.  PosetRel  /\  ( A R B  /\  B R C ) )  -> 
( ( A  e. 
_V  /\  B  e.  _V )  /\  C  e. 
_V ) )
7 pstr2 14330 . . . . . 6  |-  ( R  e.  PosetRel  ->  ( R  o.  R )  C_  R
)
8 cotr 5071 . . . . . 6  |-  ( ( R  o.  R ) 
C_  R  <->  A. x A. y A. z ( ( x R y  /\  y R z )  ->  x R
z ) )
97, 8sylib 188 . . . . 5  |-  ( R  e.  PosetRel  ->  A. x A. y A. z ( ( x R y  /\  y R z )  ->  x R z ) )
109adantr 451 . . . 4  |-  ( ( R  e.  PosetRel  /\  ( A R B  /\  B R C ) )  ->  A. x A. y A. z ( ( x R y  /\  y R z )  ->  x R z ) )
11 simpr 447 . . . 4  |-  ( ( R  e.  PosetRel  /\  ( A R B  /\  B R C ) )  -> 
( A R B  /\  B R C ) )
12 breq12 4044 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  =  A  /\  y  =  B )  ->  ( x R y  <-> 
A R B ) )
13123adant3 975 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  =  A  /\  y  =  B  /\  z  =  C )  ->  ( x R y  <-> 
A R B ) )
14 breq12 4044 . . . . . . . . 9  |-  ( ( y  =  B  /\  z  =  C )  ->  ( y R z  <-> 
B R C ) )
15143adant1 973 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  =  A  /\  y  =  B  /\  z  =  C )  ->  ( y R z  <-> 
B R C ) )
1613, 15anbi12d 691 . . . . . . 7  |-  ( ( x  =  A  /\  y  =  B  /\  z  =  C )  ->  ( ( x R y  /\  y R z )  <->  ( A R B  /\  B R C ) ) )
17 breq12 4044 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  =  A  /\  z  =  C )  ->  ( x R z  <-> 
A R C ) )
18173adant2 974 . . . . . . 7  |-  ( ( x  =  A  /\  y  =  B  /\  z  =  C )  ->  ( x R z  <-> 
A R C ) )
1916, 18imbi12d 311 . . . . . 6  |-  ( ( x  =  A  /\  y  =  B  /\  z  =  C )  ->  ( ( ( x R y  /\  y R z )  ->  x R z )  <->  ( ( A R B  /\  B R C )  ->  A R C ) ) )
2019spc3gv 2886 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  _V  /\  B  e.  _V  /\  C  e.  _V )  ->  ( A. x A. y A. z ( ( x R y  /\  y R z )  ->  x R z )  -> 
( ( A R B  /\  B R C )  ->  A R C ) ) )
21203expa 1151 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  _V  /\  B  e.  _V )  /\  C  e.  _V )  ->  ( A. x A. y A. z ( ( x R y  /\  y R z )  ->  x R
z )  ->  (
( A R B  /\  B R C )  ->  A R C ) ) )
226, 10, 11, 21syl3c 57 . . 3  |-  ( ( R  e.  PosetRel  /\  ( A R B  /\  B R C ) )  ->  A R C )
2322ex 423 . 2  |-  ( R  e.  PosetRel  ->  ( ( A R B  /\  B R C )  ->  A R C ) )
24 psref2 14329 . . 3  |-  ( R  e.  PosetRel  ->  ( R  i^i  `' R )  =  (  _I  |`  U. U. R
) )
25 asymref2 5076 . . . 4  |-  ( ( R  i^i  `' R
)  =  (  _I  |`  U. U. R )  <-> 
( A. x  e. 
U. U. R x R x  /\  A. x A. y ( ( x R y  /\  y R x )  ->  x  =  y )
) )
2625simplbi 446 . . 3  |-  ( ( R  i^i  `' R
)  =  (  _I  |`  U. U. R )  ->  A. x  e.  U. U. R x R x )
27 breq12 4044 . . . . 5  |-  ( ( x  =  A  /\  x  =  A )  ->  ( x R x  <-> 
A R A ) )
2827anidms 626 . . . 4  |-  ( x  =  A  ->  (
x R x  <->  A R A ) )
2928rspccv 2894 . . 3  |-  ( A. x  e.  U. U. R x R x  ->  ( A  e.  U. U. R  ->  A R A ) )
3024, 26, 293syl 18 . 2  |-  ( R  e.  PosetRel  ->  ( A  e. 
U. U. R  ->  A R A ) )
313adantrr 697 . . . 4  |-  ( ( R  e.  PosetRel  /\  ( A R B  /\  B R A ) )  -> 
( A  e.  _V  /\  B  e.  _V )
)
3225simprbi 450 . . . . . 6  |-  ( ( R  i^i  `' R
)  =  (  _I  |`  U. U. R )  ->  A. x A. y
( ( x R y  /\  y R x )  ->  x  =  y ) )
3324, 32syl 15 . . . . 5  |-  ( R  e.  PosetRel  ->  A. x A. y
( ( x R y  /\  y R x )  ->  x  =  y ) )
3433adantr 451 . . . 4  |-  ( ( R  e.  PosetRel  /\  ( A R B  /\  B R A ) )  ->  A. x A. y ( ( x R y  /\  y R x )  ->  x  =  y ) )
35 simpr 447 . . . 4  |-  ( ( R  e.  PosetRel  /\  ( A R B  /\  B R A ) )  -> 
( A R B  /\  B R A ) )
36 breq12 4044 . . . . . . . 8  |-  ( ( y  =  B  /\  x  =  A )  ->  ( y R x  <-> 
B R A ) )
3736ancoms 439 . . . . . . 7  |-  ( ( x  =  A  /\  y  =  B )  ->  ( y R x  <-> 
B R A ) )
3812, 37anbi12d 691 . . . . . 6  |-  ( ( x  =  A  /\  y  =  B )  ->  ( ( x R y  /\  y R x )  <->  ( A R B  /\  B R A ) ) )
39 eqeq12 2308 . . . . . 6  |-  ( ( x  =  A  /\  y  =  B )  ->  ( x  =  y  <-> 
A  =  B ) )
4038, 39imbi12d 311 . . . . 5  |-  ( ( x  =  A  /\  y  =  B )  ->  ( ( ( x R y  /\  y R x )  ->  x  =  y )  <->  ( ( A R B  /\  B R A )  ->  A  =  B ) ) )
4140spc2gv 2884 . . . 4  |-  ( ( A  e.  _V  /\  B  e.  _V )  ->  ( A. x A. y ( ( x R y  /\  y R x )  ->  x  =  y )  ->  ( ( A R B  /\  B R A )  ->  A  =  B ) ) )
4231, 34, 35, 41syl3c 57 . . 3  |-  ( ( R  e.  PosetRel  /\  ( A R B  /\  B R A ) )  ->  A  =  B )
4342ex 423 . 2  |-  ( R  e.  PosetRel  ->  ( ( A R B  /\  B R A )  ->  A  =  B ) )
4423, 30, 433jca 1132 1  |-  ( R  e.  PosetRel  ->  ( ( ( A R B  /\  B R C )  ->  A R C )  /\  ( A  e.  U. U. R  ->  A R A )  /\  ( ( A R B  /\  B R A )  ->  A  =  B )
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934   A.wal 1530    = wceq 1632    e. wcel 1696   A.wral 2556   _Vcvv 2801    i^i cin 3164    C_ wss 3165   U.cuni 3843   class class class wbr 4039    _I cid 4320   `'ccnv 4704    |` cres 4707    o. ccom 4709   Rel wrel 4710   PosetRelcps 14317
This theorem is referenced by:  psdmrn  14332  psref  14333  psasym  14335  pstr  14336
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pr 4230
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-ral 2561  df-rex 2562  df-rab 2565  df-v 2803  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3469  df-if 3579  df-sn 3659  df-pr 3660  df-op 3662  df-uni 3844  df-br 4040  df-opab 4094  df-id 4325  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-res 4717  df-ps 14322
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