MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  psr0 Unicode version

Theorem psr0 16144
Description: The zero element of the ring of power series. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Dec-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
psrgrp.s  |-  S  =  ( I mPwSer  R )
psrgrp.i  |-  ( ph  ->  I  e.  V )
psrgrp.r  |-  ( ph  ->  R  e.  Grp )
psr0.d  |-  D  =  { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f
" NN )  e. 
Fin }
psr0.o  |-  O  =  ( 0g `  R
)
psr0.z  |-  .0.  =  ( 0g `  S )
Assertion
Ref Expression
psr0  |-  ( ph  ->  .0.  =  ( D  X.  { O }
) )
Distinct variable group:    f, I
Allowed substitution hints:    ph( f)    D( f)    R( f)    S( f)    O( f)    V( f)    .0. ( f)

Proof of Theorem psr0
StepHypRef Expression
1 psrgrp.s . . 3  |-  S  =  ( I mPwSer  R )
2 psrgrp.i . . 3  |-  ( ph  ->  I  e.  V )
3 psrgrp.r . . 3  |-  ( ph  ->  R  e.  Grp )
4 psr0.d . . 3  |-  D  =  { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f
" NN )  e. 
Fin }
5 psr0.o . . 3  |-  O  =  ( 0g `  R
)
6 eqid 2283 . . 3  |-  ( Base `  S )  =  (
Base `  S )
7 eqid 2283 . . 3  |-  ( +g  `  S )  =  ( +g  `  S )
81, 2, 3, 4, 5, 6psr0cl 16139 . . 3  |-  ( ph  ->  ( D  X.  { O } )  e.  (
Base `  S )
)
91, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8psr0lid 16140 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( D  X.  { O } ) ( +g  `  S ) ( D  X.  { O } ) )  =  ( D  X.  { O } ) )
101, 2, 3psrgrp 16143 . . 3  |-  ( ph  ->  S  e.  Grp )
11 psr0.z . . . 4  |-  .0.  =  ( 0g `  S )
126, 7, 11grpid 14517 . . 3  |-  ( ( S  e.  Grp  /\  ( D  X.  { O } )  e.  (
Base `  S )
)  ->  ( (
( D  X.  { O } ) ( +g  `  S ) ( D  X.  { O }
) )  =  ( D  X.  { O } )  <->  .0.  =  ( D  X.  { O } ) ) )
1310, 8, 12syl2anc 642 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( ( D  X.  { O }
) ( +g  `  S
) ( D  X.  { O } ) )  =  ( D  X.  { O } )  <->  .0.  =  ( D  X.  { O } ) ) )
149, 13mpbid 201 1  |-  ( ph  ->  .0.  =  ( D  X.  { O }
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    = wceq 1623    e. wcel 1684   {crab 2547   {csn 3640    X. cxp 4687   `'ccnv 4688   "cima 4692   ` cfv 5255  (class class class)co 5858    ^m cmap 6772   Fincfn 6863   NNcn 9746   NN0cn0 9965   Basecbs 13148   +g cplusg 13208   0gc0g 13400   Grpcgrp 14362   mPwSer cmps 16087
This theorem is referenced by:  psrneg  16145  mpl0  16185
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-of 6078  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-oadd 6483  df-er 6660  df-map 6774  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-fin 6867  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-nn 9747  df-2 9804  df-3 9805  df-4 9806  df-5 9807  df-6 9808  df-7 9809  df-8 9810  df-9 9811  df-n0 9966  df-z 10025  df-uz 10231  df-fz 10783  df-struct 13150  df-ndx 13151  df-slot 13152  df-base 13153  df-plusg 13221  df-mulr 13222  df-sca 13224  df-vsca 13225  df-tset 13227  df-0g 13404  df-mnd 14367  df-grp 14489  df-minusg 14490  df-psr 16098
  Copyright terms: Public domain W3C validator