MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  psr1baslem Unicode version

Theorem psr1baslem 16264
Description: The set of finite bags on  1o is just the set of all functions from  1o to  NN0. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Feb-2015.)
Assertion
Ref Expression
psr1baslem  |-  ( NN0 
^m  1o )  =  { f  e.  ( NN0  ^m  1o )  |  ( `' f
" NN )  e. 
Fin }

Proof of Theorem psr1baslem
StepHypRef Expression
1 rabid2 2717 . 2  |-  ( ( NN0  ^m  1o )  =  { f  e.  ( NN0  ^m  1o )  |  ( `' f " NN )  e. 
Fin }  <->  A. f  e.  ( NN0  ^m  1o ) ( `' f " NN )  e.  Fin )
2 df1o2 6491 . . . 4  |-  1o  =  { (/) }
3 snfi 6941 . . . 4  |-  { (/) }  e.  Fin
42, 3eqeltri 2353 . . 3  |-  1o  e.  Fin
5 cnvimass 5033 . . . 4  |-  ( `' f " NN ) 
C_  dom  f
6 elmapi 6792 . . . . 5  |-  ( f  e.  ( NN0  ^m  1o )  ->  f : 1o --> NN0 )
7 fdm 5393 . . . . 5  |-  ( f : 1o --> NN0  ->  dom  f  =  1o )
86, 7syl 15 . . . 4  |-  ( f  e.  ( NN0  ^m  1o )  ->  dom  f  =  1o )
95, 8syl5sseq 3226 . . 3  |-  ( f  e.  ( NN0  ^m  1o )  ->  ( `' f " NN ) 
C_  1o )
10 ssfi 7083 . . 3  |-  ( ( 1o  e.  Fin  /\  ( `' f " NN )  C_  1o )  -> 
( `' f " NN )  e.  Fin )
114, 9, 10sylancr 644 . 2  |-  ( f  e.  ( NN0  ^m  1o )  ->  ( `' f " NN )  e.  Fin )
121, 11mprgbir 2613 1  |-  ( NN0 
^m  1o )  =  { f  e.  ( NN0  ^m  1o )  |  ( `' f
" NN )  e. 
Fin }
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    = wceq 1623    e. wcel 1684   {crab 2547    C_ wss 3152   (/)c0 3455   {csn 3640   `'ccnv 4688   dom cdm 4689   "cima 4692   -->wf 5251  (class class class)co 5858   1oc1o 6472    ^m cmap 6772   Fincfn 6863   NNcn 9746   NN0cn0 9965
This theorem is referenced by:  psr1bas  16270  ply1basf  16283  ply1plusgfvi  16320  coe1z  16340  coe1mul2  16346  coe1tm  16349  ply1coe  16368  deg1ldg  19478  deg1leb  19481  deg1val  19482
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-1o 6479  df-er 6660  df-map 6774  df-en 6864  df-fin 6867
  Copyright terms: Public domain W3C validator