MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  psr1baslem Structured version   Unicode version

Theorem psr1baslem 16575
Description: The set of finite bags on  1o is just the set of all functions from  1o to  NN0. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Feb-2015.)
Assertion
Ref Expression
psr1baslem  |-  ( NN0 
^m  1o )  =  { f  e.  ( NN0  ^m  1o )  |  ( `' f
" NN )  e. 
Fin }

Proof of Theorem psr1baslem
StepHypRef Expression
1 rabid2 2877 . 2  |-  ( ( NN0  ^m  1o )  =  { f  e.  ( NN0  ^m  1o )  |  ( `' f " NN )  e. 
Fin }  <->  A. f  e.  ( NN0  ^m  1o ) ( `' f " NN )  e.  Fin )
2 df1o2 6728 . . . 4  |-  1o  =  { (/) }
3 snfi 7179 . . . 4  |-  { (/) }  e.  Fin
42, 3eqeltri 2505 . . 3  |-  1o  e.  Fin
5 cnvimass 5216 . . . 4  |-  ( `' f " NN ) 
C_  dom  f
6 elmapi 7030 . . . . 5  |-  ( f  e.  ( NN0  ^m  1o )  ->  f : 1o --> NN0 )
7 fdm 5587 . . . . 5  |-  ( f : 1o --> NN0  ->  dom  f  =  1o )
86, 7syl 16 . . . 4  |-  ( f  e.  ( NN0  ^m  1o )  ->  dom  f  =  1o )
95, 8syl5sseq 3388 . . 3  |-  ( f  e.  ( NN0  ^m  1o )  ->  ( `' f " NN ) 
C_  1o )
10 ssfi 7321 . . 3  |-  ( ( 1o  e.  Fin  /\  ( `' f " NN )  C_  1o )  -> 
( `' f " NN )  e.  Fin )
114, 9, 10sylancr 645 . 2  |-  ( f  e.  ( NN0  ^m  1o )  ->  ( `' f " NN )  e.  Fin )
121, 11mprgbir 2768 1  |-  ( NN0 
^m  1o )  =  { f  e.  ( NN0  ^m  1o )  |  ( `' f
" NN )  e. 
Fin }
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    = wceq 1652    e. wcel 1725   {crab 2701    C_ wss 3312   (/)c0 3620   {csn 3806   `'ccnv 4869   dom cdm 4870   "cima 4873   -->wf 5442  (class class class)co 6073   1oc1o 6709    ^m cmap 7010   Fincfn 7101   NNcn 9992   NN0cn0 10213
This theorem is referenced by:  psr1bas  16581  ply1basf  16592  ply1plusgfvi  16628  coe1z  16648  coe1mul2  16654  coe1tm  16657  ply1coe  16676  deg1ldg  20007  deg1leb  20010  deg1val  20011
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-ral 2702  df-rex 2703  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-1st 6341  df-2nd 6342  df-1o 6716  df-er 6897  df-map 7012  df-en 7102  df-fin 7105
  Copyright terms: Public domain W3C validator