MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  psr1baslem Unicode version

Theorem psr1baslem 16280
Description: The set of finite bags on  1o is just the set of all functions from  1o to  NN0. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Feb-2015.)
Assertion
Ref Expression
psr1baslem  |-  ( NN0 
^m  1o )  =  { f  e.  ( NN0  ^m  1o )  |  ( `' f
" NN )  e. 
Fin }

Proof of Theorem psr1baslem
StepHypRef Expression
1 rabid2 2730 . 2  |-  ( ( NN0  ^m  1o )  =  { f  e.  ( NN0  ^m  1o )  |  ( `' f " NN )  e. 
Fin }  <->  A. f  e.  ( NN0  ^m  1o ) ( `' f " NN )  e.  Fin )
2 df1o2 6507 . . . 4  |-  1o  =  { (/) }
3 snfi 6957 . . . 4  |-  { (/) }  e.  Fin
42, 3eqeltri 2366 . . 3  |-  1o  e.  Fin
5 cnvimass 5049 . . . 4  |-  ( `' f " NN ) 
C_  dom  f
6 elmapi 6808 . . . . 5  |-  ( f  e.  ( NN0  ^m  1o )  ->  f : 1o --> NN0 )
7 fdm 5409 . . . . 5  |-  ( f : 1o --> NN0  ->  dom  f  =  1o )
86, 7syl 15 . . . 4  |-  ( f  e.  ( NN0  ^m  1o )  ->  dom  f  =  1o )
95, 8syl5sseq 3239 . . 3  |-  ( f  e.  ( NN0  ^m  1o )  ->  ( `' f " NN ) 
C_  1o )
10 ssfi 7099 . . 3  |-  ( ( 1o  e.  Fin  /\  ( `' f " NN )  C_  1o )  -> 
( `' f " NN )  e.  Fin )
114, 9, 10sylancr 644 . 2  |-  ( f  e.  ( NN0  ^m  1o )  ->  ( `' f " NN )  e.  Fin )
121, 11mprgbir 2626 1  |-  ( NN0 
^m  1o )  =  { f  e.  ( NN0  ^m  1o )  |  ( `' f
" NN )  e. 
Fin }
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    = wceq 1632    e. wcel 1696   {crab 2560    C_ wss 3165   (/)c0 3468   {csn 3653   `'ccnv 4704   dom cdm 4705   "cima 4708   -->wf 5267  (class class class)co 5874   1oc1o 6488    ^m cmap 6788   Fincfn 6879   NNcn 9762   NN0cn0 9981
This theorem is referenced by:  psr1bas  16286  ply1basf  16299  ply1plusgfvi  16336  coe1z  16356  coe1mul2  16362  coe1tm  16365  ply1coe  16384  deg1ldg  19494  deg1leb  19497  deg1val  19498
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-ral 2561  df-rex 2562  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-1o 6495  df-er 6676  df-map 6790  df-en 6880  df-fin 6883
  Copyright terms: Public domain W3C validator