MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  psr1cl Unicode version

Theorem psr1cl 16163
Description: The identity element of the ring of power series. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Dec-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
psrrng.s  |-  S  =  ( I mPwSer  R )
psrrng.i  |-  ( ph  ->  I  e.  V )
psrrng.r  |-  ( ph  ->  R  e.  Ring )
psr1cl.d  |-  D  =  { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f
" NN )  e. 
Fin }
psr1cl.z  |-  .0.  =  ( 0g `  R )
psr1cl.o  |-  .1.  =  ( 1r `  R )
psr1cl.u  |-  U  =  ( x  e.  D  |->  if ( x  =  ( I  X.  {
0 } ) ,  .1.  ,  .0.  )
)
psr1cl.b  |-  B  =  ( Base `  S
)
Assertion
Ref Expression
psr1cl  |-  ( ph  ->  U  e.  B )
Distinct variable groups:    x, f,  .0.    f, I, x    x, B    R, f, x    x, D    ph, x    x,  .1.    x, S
Allowed substitution hints:    ph( f)    B( f)    D( f)    S( f)    U( x, f)    .1. ( f)    V( x, f)

Proof of Theorem psr1cl
StepHypRef Expression
1 psrrng.r . . . . . 6  |-  ( ph  ->  R  e.  Ring )
2 eqid 2296 . . . . . . . 8  |-  ( Base `  R )  =  (
Base `  R )
3 psr1cl.o . . . . . . . 8  |-  .1.  =  ( 1r `  R )
42, 3rngidcl 15377 . . . . . . 7  |-  ( R  e.  Ring  ->  .1.  e.  ( Base `  R )
)
5 psr1cl.z . . . . . . . 8  |-  .0.  =  ( 0g `  R )
62, 5rng0cl 15378 . . . . . . 7  |-  ( R  e.  Ring  ->  .0.  e.  ( Base `  R )
)
7 ifcl 3614 . . . . . . 7  |-  ( (  .1.  e.  ( Base `  R )  /\  .0.  e.  ( Base `  R
) )  ->  if ( x  =  (
I  X.  { 0 } ) ,  .1.  ,  .0.  )  e.  (
Base `  R )
)
84, 6, 7syl2anc 642 . . . . . 6  |-  ( R  e.  Ring  ->  if ( x  =  ( I  X.  { 0 } ) ,  .1.  ,  .0.  )  e.  ( Base `  R ) )
91, 8syl 15 . . . . 5  |-  ( ph  ->  if ( x  =  ( I  X.  {
0 } ) ,  .1.  ,  .0.  )  e.  ( Base `  R
) )
109adantr 451 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  D )  ->  if ( x  =  (
I  X.  { 0 } ) ,  .1.  ,  .0.  )  e.  (
Base `  R )
)
11 psr1cl.u . . . 4  |-  U  =  ( x  e.  D  |->  if ( x  =  ( I  X.  {
0 } ) ,  .1.  ,  .0.  )
)
1210, 11fmptd 5700 . . 3  |-  ( ph  ->  U : D --> ( Base `  R ) )
13 fvex 5555 . . . 4  |-  ( Base `  R )  e.  _V
14 psr1cl.d . . . . 5  |-  D  =  { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f
" NN )  e. 
Fin }
15 ovex 5899 . . . . . 6  |-  ( NN0 
^m  I )  e. 
_V
1615rabex 4181 . . . . 5  |-  { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f " NN )  e.  Fin }  e.  _V
1714, 16eqeltri 2366 . . . 4  |-  D  e. 
_V
1813, 17elmap 6812 . . 3  |-  ( U  e.  ( ( Base `  R )  ^m  D
)  <->  U : D --> ( Base `  R ) )
1912, 18sylibr 203 . 2  |-  ( ph  ->  U  e.  ( (
Base `  R )  ^m  D ) )
20 psrrng.s . . 3  |-  S  =  ( I mPwSer  R )
21 psr1cl.b . . 3  |-  B  =  ( Base `  S
)
22 psrrng.i . . 3  |-  ( ph  ->  I  e.  V )
2320, 2, 14, 21, 22psrbas 16140 . 2  |-  ( ph  ->  B  =  ( (
Base `  R )  ^m  D ) )
2419, 23eleqtrrd 2373 1  |-  ( ph  ->  U  e.  B )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1632    e. wcel 1696   {crab 2560   _Vcvv 2801   ifcif 3578   {csn 3653    e. cmpt 4093    X. cxp 4703   `'ccnv 4704   "cima 4708   -->wf 5267   ` cfv 5271  (class class class)co 5874    ^m cmap 6788   Fincfn 6879   0cc0 8753   NNcn 9762   NN0cn0 9981   Basecbs 13164   0gc0g 13416   Ringcrg 15353   1rcur 15355   mPwSer cmps 16103
This theorem is referenced by:  psrlidm  16164  psrridm  16165  psrrng  16171  psr1  16172
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-int 3879  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-of 6094  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-1o 6495  df-oadd 6499  df-er 6676  df-map 6790  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-fin 6883  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-nn 9763  df-2 9820  df-3 9821  df-4 9822  df-5 9823  df-6 9824  df-7 9825  df-8 9826  df-9 9827  df-n0 9982  df-z 10041  df-uz 10247  df-fz 10799  df-struct 13166  df-ndx 13167  df-slot 13168  df-base 13169  df-sets 13170  df-plusg 13237  df-mulr 13238  df-sca 13240  df-vsca 13241  df-tset 13243  df-0g 13420  df-mnd 14383  df-grp 14505  df-mgp 15342  df-rng 15356  df-ur 15358  df-psr 16114
  Copyright terms: Public domain W3C validator