MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  psr1lmod Unicode version

Theorem psr1lmod 16564
Description: Univariate power series form a left module. (Contributed by Stefan O'Rear, 26-Mar-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
psr1lmod.p  |-  P  =  (PwSer1 `  R )
Assertion
Ref Expression
psr1lmod  |-  ( R  e.  Ring  ->  P  e. 
LMod )

Proof of Theorem psr1lmod
StepHypRef Expression
1 psr1lmod.p . . 3  |-  P  =  (PwSer1 `  R )
21psr1val 16505 . 2  |-  P  =  ( ( 1o ordPwSer  R ) `
 (/) )
3 1on 6661 . . 3  |-  1o  e.  On
43a1i 11 . 2  |-  ( R  e.  Ring  ->  1o  e.  On )
5 id 20 . 2  |-  ( R  e.  Ring  ->  R  e. 
Ring )
6 0ss 3593 . . 3  |-  (/)  C_  ( 1o  X.  1o )
76a1i 11 . 2  |-  ( R  e.  Ring  ->  (/)  C_  ( 1o  X.  1o ) )
82, 4, 5, 7opsrlmod 16561 1  |-  ( R  e.  Ring  ->  P  e. 
LMod )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1649    e. wcel 1717    C_ wss 3257   (/)c0 3565   Oncon0 4516    X. cxp 4810   ` cfv 5388   1oc1o 6647   Ringcrg 15581   LModclmod 15871  PwSer1cps1 16490
This theorem is referenced by:  ply1lmod  16567
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2362  ax-rep 4255  ax-sep 4265  ax-nul 4273  ax-pow 4312  ax-pr 4338  ax-un 4635  ax-cnex 8973  ax-resscn 8974  ax-1cn 8975  ax-icn 8976  ax-addcl 8977  ax-addrcl 8978  ax-mulcl 8979  ax-mulrcl 8980  ax-mulcom 8981  ax-addass 8982  ax-mulass 8983  ax-distr 8984  ax-i2m1 8985  ax-1ne0 8986  ax-1rid 8987  ax-rnegex 8988  ax-rrecex 8989  ax-cnre 8990  ax-pre-lttri 8991  ax-pre-lttrn 8992  ax-pre-ltadd 8993  ax-pre-mulgt0 8994
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2236  df-mo 2237  df-clab 2368  df-cleq 2374  df-clel 2377  df-nfc 2506  df-ne 2546  df-nel 2547  df-ral 2648  df-rex 2649  df-reu 2650  df-rmo 2651  df-rab 2652  df-v 2895  df-sbc 3099  df-csb 3189  df-dif 3260  df-un 3262  df-in 3264  df-ss 3271  df-pss 3273  df-nul 3566  df-if 3677  df-pw 3738  df-sn 3757  df-pr 3758  df-tp 3759  df-op 3760  df-uni 3952  df-int 3987  df-iun 4031  df-br 4148  df-opab 4202  df-mpt 4203  df-tr 4238  df-eprel 4429  df-id 4433  df-po 4438  df-so 4439  df-fr 4476  df-we 4478  df-ord 4519  df-on 4520  df-lim 4521  df-suc 4522  df-om 4780  df-xp 4818  df-rel 4819  df-cnv 4820  df-co 4821  df-dm 4822  df-rn 4823  df-res 4824  df-ima 4825  df-iota 5352  df-fun 5390  df-fn 5391  df-f 5392  df-f1 5393  df-fo 5394  df-f1o 5395  df-fv 5396  df-ov 6017  df-oprab 6018  df-mpt2 6019  df-of 6238  df-1st 6282  df-2nd 6283  df-riota 6479  df-recs 6563  df-rdg 6598  df-1o 6654  df-oadd 6658  df-er 6835  df-map 6950  df-en 7040  df-dom 7041  df-sdom 7042  df-fin 7043  df-pnf 9049  df-mnf 9050  df-xr 9051  df-ltxr 9052  df-le 9053  df-sub 9219  df-neg 9220  df-nn 9927  df-2 9984  df-3 9985  df-4 9986  df-5 9987  df-6 9988  df-7 9989  df-8 9990  df-9 9991  df-10 9992  df-n0 10148  df-z 10209  df-uz 10415  df-fz 10970  df-struct 13392  df-ndx 13393  df-slot 13394  df-base 13395  df-sets 13396  df-plusg 13463  df-mulr 13464  df-sca 13466  df-vsca 13467  df-tset 13469  df-ple 13470  df-0g 13648  df-mnd 14611  df-grp 14733  df-minusg 14734  df-mgp 15570  df-rng 15584  df-ur 15586  df-lmod 15873  df-psr 16338  df-opsr 16346  df-psr1 16497
  Copyright terms: Public domain W3C validator