MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  psr1rclOLD Unicode version

Theorem psr1rclOLD 16372
Description: Obsolete version of elbasfv 13282 as of 5-Apr-2016. Reverse closure for ring existence from the univariate power series base set. (Contributed by Stefan O'Rear, 25-Mar-2015.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
psr1rcl.p  |-  P  =  (PwSer1 `  R )
psr1rcl.b  |-  B  =  ( Base `  P
)
Assertion
Ref Expression
psr1rclOLD  |-  ( F  e.  B  ->  R  e.  _V )

Proof of Theorem psr1rclOLD
StepHypRef Expression
1 n0i 3536 . 2  |-  ( F  e.  B  ->  -.  B  =  (/) )
2 psr1rcl.p . . . . 5  |-  P  =  (PwSer1 `  R )
3 fvprc 5599 . . . . 5  |-  ( -.  R  e.  _V  ->  (PwSer1 `  R )  =  (/) )
42, 3syl5eq 2402 . . . 4  |-  ( -.  R  e.  _V  ->  P  =  (/) )
54fveq2d 5609 . . 3  |-  ( -.  R  e.  _V  ->  (
Base `  P )  =  ( Base `  (/) ) )
6 psr1rcl.b . . 3  |-  B  =  ( Base `  P
)
7 baseid 13281 . . . 4  |-  Base  = Slot  ( Base `  ndx )
87str0 13275 . . 3  |-  (/)  =  (
Base `  (/) )
95, 6, 83eqtr4g 2415 . 2  |-  ( -.  R  e.  _V  ->  B  =  (/) )
101, 9nsyl2 119 1  |-  ( F  e.  B  ->  R  e.  _V )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    = wceq 1642    e. wcel 1710   _Vcvv 2864   (/)c0 3531   ` cfv 5334   ndxcnx 13236   Basecbs 13239  PwSer1cps1 16343
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1546  ax-5 1557  ax-17 1616  ax-9 1654  ax-8 1675  ax-13 1712  ax-14 1714  ax-6 1729  ax-7 1734  ax-11 1746  ax-12 1930  ax-ext 2339  ax-sep 4220  ax-nul 4228  ax-pow 4267  ax-pr 4293  ax-un 4591  ax-cnex 8880  ax-resscn 8881  ax-1cn 8882  ax-icn 8883  ax-addcl 8884  ax-addrcl 8885  ax-mulcl 8886  ax-mulrcl 8887  ax-i2m1 8892  ax-1ne0 8893  ax-rrecex 8896  ax-cnre 8897
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1319  df-ex 1542  df-nf 1545  df-sb 1649  df-eu 2213  df-mo 2214  df-clab 2345  df-cleq 2351  df-clel 2354  df-nfc 2483  df-ne 2523  df-ral 2624  df-rex 2625  df-reu 2626  df-rab 2628  df-v 2866  df-sbc 3068  df-csb 3158  df-dif 3231  df-un 3233  df-in 3235  df-ss 3242  df-pss 3244  df-nul 3532  df-if 3642  df-pw 3703  df-sn 3722  df-pr 3723  df-tp 3724  df-op 3725  df-uni 3907  df-iun 3986  df-br 4103  df-opab 4157  df-mpt 4158  df-tr 4193  df-eprel 4384  df-id 4388  df-po 4393  df-so 4394  df-fr 4431  df-we 4433  df-ord 4474  df-on 4475  df-lim 4476  df-suc 4477  df-om 4736  df-xp 4774  df-rel 4775  df-cnv 4776  df-co 4777  df-dm 4778  df-rn 4779  df-res 4780  df-ima 4781  df-iota 5298  df-fun 5336  df-fn 5337  df-f 5338  df-f1 5339  df-fo 5340  df-f1o 5341  df-fv 5342  df-ov 5945  df-recs 6472  df-rdg 6507  df-nn 9834  df-ndx 13242  df-slot 13243  df-base 13244
  Copyright terms: Public domain W3C validator