Theorem psr1vsca 16301

Description: Value of scalar multiplication in a univariate power series ring. (Contributed by Stefan O'Rear, 21-Mar-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 2-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
psr1plusg.y	|- Y = (PwSer1 ` R )
psr1plusg.s	|- S = ( 1o mPwSer R )
psr1vscafval.n	|- .x. = ( .s ` Y )

Assertion

Ref	Expression
psr1vsca	|- .x. = ( .s ` S )

Proof of Theorem psr1vsca

Step	Hyp	Ref	Expression
1		psr1vscafval.n	. 2 |- .x. = ( .s ` Y )
2		psr1plusg.s	. . . 4 |- S = ( 1o mPwSer R )
3		psr1plusg.y	. . . . 5 |- Y = (PwSer1 ` R )
4	3	psr1val 16265	. . . 4 |- Y = ( ( 1o ordPwSer R ) ` (/) )
5		0ss 3483	. . . . 5 |- (/) C_ ( 1o X. 1o )
6	5	a1i 10	. . . 4 |- ( T. -> (/) C_ ( 1o X. 1o ) )
7	2, 4, 6	opsrvsca 16223	. . 3 |- ( T. -> ( .s ` S ) = ( .s ` Y ) )
8	7	trud 1314	. 2 |- ( .s ` S ) = ( .s ` Y )
9	1, 8	eqtr4i 2306	1 |- .x. = ( .s ` S )

Syntax hints:   T. wtru 1307   = wceq 1623   C_ wss 3152   (/)c0 3455   X. cxp 4687   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   1oc1o 6472   .scvsca 13212   mPwSer cmps 16087  PwSer₁cps1 16250

This theorem is referenced by:  ply1vsca  16304

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814

This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-er 6660  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-nn 9747  df-2 9804  df-3 9805  df-4 9806  df-5 9807  df-6 9808  df-7 9809  df-8 9810  df-9 9811  df-10 9812  df-ndx 13151  df-slot 13152  df-base 13153  df-sets 13154  df-vsca 13225  df-ple 13228  df-psr 16098  df-opsr 16106  df-psr1 16257