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Theorem psrass1 16398
Description: Associative identity for the ring of power series. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
psrrng.s  |-  S  =  ( I mPwSer  R )
psrrng.i  |-  ( ph  ->  I  e.  V )
psrrng.r  |-  ( ph  ->  R  e.  Ring )
psrass.d  |-  D  =  { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f
" NN )  e. 
Fin }
psrass.t  |-  .X.  =  ( .r `  S )
psrass.b  |-  B  =  ( Base `  S
)
psrass.x  |-  ( ph  ->  X  e.  B )
psrass.y  |-  ( ph  ->  Y  e.  B )
psrass.z  |-  ( ph  ->  Z  e.  B )
Assertion
Ref Expression
psrass1  |-  ( ph  ->  ( ( X  .X.  Y )  .X.  Z
)  =  ( X 
.X.  ( Y  .X.  Z ) ) )
Distinct variable groups:    f, I    R, f    f, X    f, Z    f, Y
Allowed substitution hints:    ph( f)    B( f)    D( f)    S( f)    .X. ( f)    V( f)

Proof of Theorem psrass1
Dummy variables  x  k  z  g  h  j  n are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 psrrng.s . . . 4  |-  S  =  ( I mPwSer  R )
2 eqid 2389 . . . 4  |-  ( Base `  R )  =  (
Base `  R )
3 psrass.d . . . 4  |-  D  =  { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f
" NN )  e. 
Fin }
4 psrass.b . . . 4  |-  B  =  ( Base `  S
)
5 psrass.t . . . . 5  |-  .X.  =  ( .r `  S )
6 psrrng.r . . . . 5  |-  ( ph  ->  R  e.  Ring )
7 psrass.x . . . . . 6  |-  ( ph  ->  X  e.  B )
8 psrass.y . . . . . 6  |-  ( ph  ->  Y  e.  B )
91, 4, 5, 6, 7, 8psrmulcl 16381 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( X  .X.  Y
)  e.  B )
10 psrass.z . . . . 5  |-  ( ph  ->  Z  e.  B )
111, 4, 5, 6, 9, 10psrmulcl 16381 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( X  .X.  Y )  .X.  Z
)  e.  B )
121, 2, 3, 4, 11psrelbas 16373 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( X  .X.  Y )  .X.  Z
) : D --> ( Base `  R ) )
13 ffn 5533 . . 3  |-  ( ( ( X  .X.  Y
)  .X.  Z ) : D --> ( Base `  R
)  ->  ( ( X  .X.  Y )  .X.  Z )  Fn  D
)
1412, 13syl 16 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( X  .X.  Y )  .X.  Z
)  Fn  D )
151, 4, 5, 6, 8, 10psrmulcl 16381 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( Y  .X.  Z
)  e.  B )
161, 4, 5, 6, 7, 15psrmulcl 16381 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( X  .X.  ( Y  .X.  Z ) )  e.  B )
171, 2, 3, 4, 16psrelbas 16373 . . 3  |-  ( ph  ->  ( X  .X.  ( Y  .X.  Z ) ) : D --> ( Base `  R ) )
18 ffn 5533 . . 3  |-  ( ( X  .X.  ( Y  .X.  Z ) ) : D --> ( Base `  R
)  ->  ( X  .X.  ( Y  .X.  Z
) )  Fn  D
)
1917, 18syl 16 . 2  |-  ( ph  ->  ( X  .X.  ( Y  .X.  Z ) )  Fn  D )
20 eqid 2389 . . . . 5  |-  { g  e.  D  |  g  o R  <_  x }  =  { g  e.  D  |  g  o R  <_  x }
21 psrrng.i . . . . . 6  |-  ( ph  ->  I  e.  V )
2221adantr 452 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  D )  ->  I  e.  V )
23 simpr 448 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  D )  ->  x  e.  D )
24 rngcmn 15623 . . . . . . 7  |-  ( R  e.  Ring  ->  R  e. CMnd
)
256, 24syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  R  e. CMnd )
2625adantr 452 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  D )  ->  R  e. CMnd )
276ad2antrr 707 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  D )  /\  j  e.  { g  e.  D  |  g  o R  <_  x } )  ->  R  e.  Ring )
2827adantr 452 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  D )  /\  j  e.  { g  e.  D  |  g  o R  <_  x } )  /\  n  e.  { h  e.  D  |  h  o R  <_  ( x  o F  -  j ) } )  ->  R  e.  Ring )
291, 2, 3, 4, 7psrelbas 16373 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  X : D --> ( Base `  R ) )
3029ad2antrr 707 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  D )  /\  j  e.  { g  e.  D  |  g  o R  <_  x } )  ->  X : D --> ( Base `  R ) )
31 simpr 448 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  D )  /\  j  e.  { g  e.  D  |  g  o R  <_  x } )  -> 
j  e.  { g  e.  D  |  g  o R  <_  x } )
32 breq1 4158 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( g  =  j  ->  (
g  o R  <_  x 
<->  j  o R  <_  x ) )
3332elrab 3037 . . . . . . . . . . 11  |-  ( j  e.  { g  e.  D  |  g  o R  <_  x }  <->  ( j  e.  D  /\  j  o R  <_  x
) )
3431, 33sylib 189 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  D )  /\  j  e.  { g  e.  D  |  g  o R  <_  x } )  -> 
( j  e.  D  /\  j  o R  <_  x ) )
3534simpld 446 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  D )  /\  j  e.  { g  e.  D  |  g  o R  <_  x } )  -> 
j  e.  D )
3630, 35ffvelrnd 5812 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  D )  /\  j  e.  { g  e.  D  |  g  o R  <_  x } )  -> 
( X `  j
)  e.  ( Base `  R ) )
3736adantr 452 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  D )  /\  j  e.  { g  e.  D  |  g  o R  <_  x } )  /\  n  e.  { h  e.  D  |  h  o R  <_  ( x  o F  -  j ) } )  ->  ( X `  j )  e.  (
Base `  R )
)
381, 2, 3, 4, 8psrelbas 16373 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  Y : D --> ( Base `  R ) )
3938ad3antrrr 711 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  D )  /\  j  e.  { g  e.  D  |  g  o R  <_  x } )  /\  n  e.  { h  e.  D  |  h  o R  <_  ( x  o F  -  j ) } )  ->  Y : D
--> ( Base `  R
) )
40 simpr 448 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  D )  /\  j  e.  { g  e.  D  |  g  o R  <_  x } )  /\  n  e.  { h  e.  D  |  h  o R  <_  ( x  o F  -  j ) } )  ->  n  e.  { h  e.  D  |  h  o R  <_  (
x  o F  -  j ) } )
41 breq1 4158 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( h  =  n  ->  (
h  o R  <_ 
( x  o F  -  j )  <->  n  o R  <_  ( x  o F  -  j ) ) )
4241elrab 3037 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  e.  { h  e.  D  |  h  o R  <_  ( x  o F  -  j
) }  <->  ( n  e.  D  /\  n  o R  <_  ( x  o F  -  j
) ) )
4340, 42sylib 189 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  D )  /\  j  e.  { g  e.  D  |  g  o R  <_  x } )  /\  n  e.  { h  e.  D  |  h  o R  <_  ( x  o F  -  j ) } )  ->  ( n  e.  D  /\  n  o R  <_  ( x  o F  -  j
) ) )
4443simpld 446 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  D )  /\  j  e.  { g  e.  D  |  g  o R  <_  x } )  /\  n  e.  { h  e.  D  |  h  o R  <_  ( x  o F  -  j ) } )  ->  n  e.  D )
4539, 44ffvelrnd 5812 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  D )  /\  j  e.  { g  e.  D  |  g  o R  <_  x } )  /\  n  e.  { h  e.  D  |  h  o R  <_  ( x  o F  -  j ) } )  ->  ( Y `  n )  e.  (
Base `  R )
)
461, 2, 3, 4, 10psrelbas 16373 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  Z : D --> ( Base `  R ) )
4746ad3antrrr 711 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  D )  /\  j  e.  { g  e.  D  |  g  o R  <_  x } )  /\  n  e.  { h  e.  D  |  h  o R  <_  ( x  o F  -  j ) } )  ->  Z : D
--> ( Base `  R
) )
4821ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  D )  /\  j  e.  { g  e.  D  |  g  o R  <_  x } )  ->  I  e.  V )
4948adantr 452 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  D )  /\  j  e.  { g  e.  D  |  g  o R  <_  x } )  /\  n  e.  { h  e.  D  |  h  o R  <_  ( x  o F  -  j ) } )  ->  I  e.  V )
50 simplr 732 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  D )  /\  j  e.  { g  e.  D  |  g  o R  <_  x } )  ->  x  e.  D )
513psrbagf 16361 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( I  e.  V  /\  j  e.  D )  ->  j : I --> NN0 )
5248, 35, 51syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  D )  /\  j  e.  { g  e.  D  |  g  o R  <_  x } )  -> 
j : I --> NN0 )
5334simprd 450 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  D )  /\  j  e.  { g  e.  D  |  g  o R  <_  x } )  -> 
j  o R  <_  x )
543psrbagcon 16365 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( I  e.  V  /\  ( x  e.  D  /\  j : I --> NN0  /\  j  o R  <_  x
) )  ->  (
( x  o F  -  j )  e.  D  /\  ( x  o F  -  j
)  o R  <_  x ) )
5548, 50, 52, 53, 54syl13anc 1186 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  D )  /\  j  e.  { g  e.  D  |  g  o R  <_  x } )  -> 
( ( x  o F  -  j )  e.  D  /\  (
x  o F  -  j )  o R  <_  x ) )
5655simpld 446 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  D )  /\  j  e.  { g  e.  D  |  g  o R  <_  x } )  -> 
( x  o F  -  j )  e.  D )
5756adantr 452 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  D )  /\  j  e.  { g  e.  D  |  g  o R  <_  x } )  /\  n  e.  { h  e.  D  |  h  o R  <_  ( x  o F  -  j ) } )  ->  ( x  o F  -  j
)  e.  D )
583psrbagf 16361 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( I  e.  V  /\  n  e.  D )  ->  n : I --> NN0 )
5949, 44, 58syl2anc 643 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  D )  /\  j  e.  { g  e.  D  |  g  o R  <_  x } )  /\  n  e.  { h  e.  D  |  h  o R  <_  ( x  o F  -  j ) } )  ->  n :
I --> NN0 )
6043simprd 450 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  D )  /\  j  e.  { g  e.  D  |  g  o R  <_  x } )  /\  n  e.  { h  e.  D  |  h  o R  <_  ( x  o F  -  j ) } )  ->  n  o R  <_  ( x  o F  -  j ) )
613psrbagcon 16365 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( I  e.  V  /\  ( ( x  o F  -  j )  e.  D  /\  n : I --> NN0  /\  n  o R  <_  (
x  o F  -  j ) ) )  ->  ( ( ( x  o F  -  j )  o F  -  n )  e.  D  /\  ( ( x  o F  -  j )  o F  -  n )  o R  <_  ( x  o F  -  j
) ) )
6249, 57, 59, 60, 61syl13anc 1186 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  D )  /\  j  e.  { g  e.  D  |  g  o R  <_  x } )  /\  n  e.  { h  e.  D  |  h  o R  <_  ( x  o F  -  j ) } )  ->  ( (
( x  o F  -  j )  o F  -  n )  e.  D  /\  (
( x  o F  -  j )  o F  -  n )  o R  <_  (
x  o F  -  j ) ) )
6362simpld 446 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  D )  /\  j  e.  { g  e.  D  |  g  o R  <_  x } )  /\  n  e.  { h  e.  D  |  h  o R  <_  ( x  o F  -  j ) } )  ->  ( (
x  o F  -  j )  o F  -  n )  e.  D )
6447, 63ffvelrnd 5812 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  D )  /\  j  e.  { g  e.  D  |  g  o R  <_  x } )  /\  n  e.  { h  e.  D  |  h  o R  <_  ( x  o F  -  j ) } )  ->  ( Z `  ( ( x  o F  -  j )  o F  -  n
) )  e.  (
Base `  R )
)
65 eqid 2389 . . . . . . . . 9  |-  ( .r
`  R )  =  ( .r `  R
)
662, 65rngcl 15606 . . . . . . . 8  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  ( Y `  n )  e.  ( Base `  R
)  /\  ( Z `  ( ( x  o F  -  j )  o F  -  n
) )  e.  (
Base `  R )
)  ->  ( ( Y `  n )
( .r `  R
) ( Z `  ( ( x  o F  -  j )  o F  -  n
) ) )  e.  ( Base `  R
) )
6728, 45, 64, 66syl3anc 1184 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  D )  /\  j  e.  { g  e.  D  |  g  o R  <_  x } )  /\  n  e.  { h  e.  D  |  h  o R  <_  ( x  o F  -  j ) } )  ->  ( ( Y `  n )
( .r `  R
) ( Z `  ( ( x  o F  -  j )  o F  -  n
) ) )  e.  ( Base `  R
) )
682, 65rngcl 15606 . . . . . . 7  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  ( X `  j )  e.  ( Base `  R
)  /\  ( ( Y `  n )
( .r `  R
) ( Z `  ( ( x  o F  -  j )  o F  -  n
) ) )  e.  ( Base `  R
) )  ->  (
( X `  j
) ( .r `  R ) ( ( Y `  n ) ( .r `  R
) ( Z `  ( ( x  o F  -  j )  o F  -  n
) ) ) )  e.  ( Base `  R
) )
6928, 37, 67, 68syl3anc 1184 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  D )  /\  j  e.  { g  e.  D  |  g  o R  <_  x } )  /\  n  e.  { h  e.  D  |  h  o R  <_  ( x  o F  -  j ) } )  ->  ( ( X `  j )
( .r `  R
) ( ( Y `
 n ) ( .r `  R ) ( Z `  (
( x  o F  -  j )  o F  -  n ) ) ) )  e.  ( Base `  R
) )
7069anasss 629 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  D )  /\  (
j  e.  { g  e.  D  |  g  o R  <_  x }  /\  n  e.  {
h  e.  D  |  h  o R  <_  (
x  o F  -  j ) } ) )  ->  ( ( X `  j )
( .r `  R
) ( ( Y `
 n ) ( .r `  R ) ( Z `  (
( x  o F  -  j )  o F  -  n ) ) ) )  e.  ( Base `  R
) )
71 fveq2 5670 . . . . . . 7  |-  ( n  =  ( k  o F  -  j )  ->  ( Y `  n )  =  ( Y `  ( k  o F  -  j
) ) )
72 oveq2 6030 . . . . . . . 8  |-  ( n  =  ( k  o F  -  j )  ->  ( ( x  o F  -  j
)  o F  -  n )  =  ( ( x  o F  -  j )  o F  -  ( k  o F  -  j
) ) )
7372fveq2d 5674 . . . . . . 7  |-  ( n  =  ( k  o F  -  j )  ->  ( Z `  ( ( x  o F  -  j )  o F  -  n
) )  =  ( Z `  ( ( x  o F  -  j )  o F  -  ( k  o F  -  j ) ) ) )
7471, 73oveq12d 6040 . . . . . 6  |-  ( n  =  ( k  o F  -  j )  ->  ( ( Y `
 n ) ( .r `  R ) ( Z `  (
( x  o F  -  j )  o F  -  n ) ) )  =  ( ( Y `  (
k  o F  -  j ) ) ( .r `  R ) ( Z `  (
( x  o F  -  j )  o F  -  ( k  o F  -  j
) ) ) ) )
7574oveq2d 6038 . . . . 5  |-  ( n  =  ( k  o F  -  j )  ->  ( ( X `
 j ) ( .r `  R ) ( ( Y `  n ) ( .r
`  R ) ( Z `  ( ( x  o F  -  j )  o F  -  n ) ) ) )  =  ( ( X `  j
) ( .r `  R ) ( ( Y `  ( k  o F  -  j
) ) ( .r
`  R ) ( Z `  ( ( x  o F  -  j )  o F  -  ( k  o F  -  j ) ) ) ) ) )
763, 20, 22, 23, 2, 26, 70, 75psrass1lem 16371 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  D )  ->  ( R  gsumg  ( k  e.  {
g  e.  D  | 
g  o R  <_  x }  |->  ( R 
gsumg  ( j  e.  {
h  e.  D  |  h  o R  <_  k }  |->  ( ( X `
 j ) ( .r `  R ) ( ( Y `  ( k  o F  -  j ) ) ( .r `  R
) ( Z `  ( ( x  o F  -  j )  o F  -  (
k  o F  -  j ) ) ) ) ) ) ) ) )  =  ( R  gsumg  ( j  e.  {
g  e.  D  | 
g  o R  <_  x }  |->  ( R 
gsumg  ( n  e.  { h  e.  D  |  h  o R  <_  ( x  o F  -  j
) }  |->  ( ( X `  j ) ( .r `  R
) ( ( Y `
 n ) ( .r `  R ) ( Z `  (
( x  o F  -  j )  o F  -  n ) ) ) ) ) ) ) ) )
777ad2antrr 707 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  D )  /\  k  e.  { g  e.  D  |  g  o R  <_  x } )  ->  X  e.  B )
788ad2antrr 707 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  D )  /\  k  e.  { g  e.  D  |  g  o R  <_  x } )  ->  Y  e.  B )
79 simpr 448 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  D )  /\  k  e.  { g  e.  D  |  g  o R  <_  x } )  -> 
k  e.  { g  e.  D  |  g  o R  <_  x } )
80 breq1 4158 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( g  =  k  ->  (
g  o R  <_  x 
<->  k  o R  <_  x ) )
8180elrab 3037 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  e.  { g  e.  D  |  g  o R  <_  x }  <->  ( k  e.  D  /\  k  o R  <_  x
) )
8279, 81sylib 189 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  D )  /\  k  e.  { g  e.  D  |  g  o R  <_  x } )  -> 
( k  e.  D  /\  k  o R  <_  x ) )
8382simpld 446 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  D )  /\  k  e.  { g  e.  D  |  g  o R  <_  x } )  -> 
k  e.  D )
841, 4, 65, 5, 3, 77, 78, 83psrmulval 16379 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  D )  /\  k  e.  { g  e.  D  |  g  o R  <_  x } )  -> 
( ( X  .X.  Y ) `  k
)  =  ( R 
gsumg  ( j  e.  {
h  e.  D  |  h  o R  <_  k }  |->  ( ( X `
 j ) ( .r `  R ) ( Y `  (
k  o F  -  j ) ) ) ) ) )
8584oveq1d 6037 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  D )  /\  k  e.  { g  e.  D  |  g  o R  <_  x } )  -> 
( ( ( X 
.X.  Y ) `  k ) ( .r
`  R ) ( Z `  ( x  o F  -  k
) ) )  =  ( ( R  gsumg  ( j  e.  { h  e.  D  |  h  o R  <_  k }  |->  ( ( X `  j ) ( .r
`  R ) ( Y `  ( k  o F  -  j
) ) ) ) ) ( .r `  R ) ( Z `
 ( x  o F  -  k ) ) ) )
86 eqid 2389 . . . . . . . 8  |-  ( 0g
`  R )  =  ( 0g `  R
)
87 eqid 2389 . . . . . . . 8  |-  ( +g  `  R )  =  ( +g  `  R )
886ad2antrr 707 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  D )  /\  k  e.  { g  e.  D  |  g  o R  <_  x } )  ->  R  e.  Ring )
8921ad2antrr 707 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  D )  /\  k  e.  { g  e.  D  |  g  o R  <_  x } )  ->  I  e.  V )
903psrbaglefi 16366 . . . . . . . . 9  |-  ( ( I  e.  V  /\  k  e.  D )  ->  { h  e.  D  |  h  o R  <_  k }  e.  Fin )
9189, 83, 90syl2anc 643 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  D )  /\  k  e.  { g  e.  D  |  g  o R  <_  x } )  ->  { h  e.  D  |  h  o R  <_  k }  e.  Fin )
9246ad2antrr 707 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  D )  /\  k  e.  { g  e.  D  |  g  o R  <_  x } )  ->  Z : D --> ( Base `  R ) )
93 simplr 732 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  D )  /\  k  e.  { g  e.  D  |  g  o R  <_  x } )  ->  x  e.  D )
943psrbagf 16361 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( I  e.  V  /\  k  e.  D )  ->  k : I --> NN0 )
9589, 83, 94syl2anc 643 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  D )  /\  k  e.  { g  e.  D  |  g  o R  <_  x } )  -> 
k : I --> NN0 )
9682simprd 450 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  D )  /\  k  e.  { g  e.  D  |  g  o R  <_  x } )  -> 
k  o R  <_  x )
973psrbagcon 16365 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( I  e.  V  /\  ( x  e.  D  /\  k : I --> NN0  /\  k  o R  <_  x
) )  ->  (
( x  o F  -  k )  e.  D  /\  ( x  o F  -  k
)  o R  <_  x ) )
9889, 93, 95, 96, 97syl13anc 1186 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  D )  /\  k  e.  { g  e.  D  |  g  o R  <_  x } )  -> 
( ( x  o F  -  k )  e.  D  /\  (
x  o F  -  k )  o R  <_  x ) )
9998simpld 446 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  D )  /\  k  e.  { g  e.  D  |  g  o R  <_  x } )  -> 
( x  o F  -  k )  e.  D )
10092, 99ffvelrnd 5812 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  D )  /\  k  e.  { g  e.  D  |  g  o R  <_  x } )  -> 
( Z `  (
x  o F  -  k ) )  e.  ( Base `  R
) )
10188adantr 452 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  D )  /\  k  e.  { g  e.  D  |  g  o R  <_  x } )  /\  j  e.  { h  e.  D  |  h  o R  <_  k } )  ->  R  e.  Ring )
10229ad3antrrr 711 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  D )  /\  k  e.  { g  e.  D  |  g  o R  <_  x } )  /\  j  e.  { h  e.  D  |  h  o R  <_  k } )  ->  X : D --> ( Base `  R ) )
103 simpr 448 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  D )  /\  k  e.  { g  e.  D  |  g  o R  <_  x } )  /\  j  e.  { h  e.  D  |  h  o R  <_  k } )  -> 
j  e.  { h  e.  D  |  h  o R  <_  k } )
104 breq1 4158 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( h  =  j  ->  (
h  o R  <_ 
k  <->  j  o R  <_  k ) )
105104elrab 3037 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( j  e.  { h  e.  D  |  h  o R  <_  k }  <->  ( j  e.  D  /\  j  o R  <_  k
) )
106103, 105sylib 189 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  D )  /\  k  e.  { g  e.  D  |  g  o R  <_  x } )  /\  j  e.  { h  e.  D  |  h  o R  <_  k } )  -> 
( j  e.  D  /\  j  o R  <_  k ) )
107106simpld 446 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  D )  /\  k  e.  { g  e.  D  |  g  o R  <_  x } )  /\  j  e.  { h  e.  D  |  h  o R  <_  k } )  -> 
j  e.  D )
108102, 107ffvelrnd 5812 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  D )  /\  k  e.  { g  e.  D  |  g  o R  <_  x } )  /\  j  e.  { h  e.  D  |  h  o R  <_  k } )  -> 
( X `  j
)  e.  ( Base `  R ) )
10938ad3antrrr 711 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  D )  /\  k  e.  { g  e.  D  |  g  o R  <_  x } )  /\  j  e.  { h  e.  D  |  h  o R  <_  k } )  ->  Y : D --> ( Base `  R ) )
11089adantr 452 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  D )  /\  k  e.  { g  e.  D  |  g  o R  <_  x } )  /\  j  e.  { h  e.  D  |  h  o R  <_  k } )  ->  I  e.  V )
11183adantr 452 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  D )  /\  k  e.  { g  e.  D  |  g  o R  <_  x } )  /\  j  e.  { h  e.  D  |  h  o R  <_  k } )  -> 
k  e.  D )
112110, 107, 51syl2anc 643 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  D )  /\  k  e.  { g  e.  D  |  g  o R  <_  x } )  /\  j  e.  { h  e.  D  |  h  o R  <_  k } )  -> 
j : I --> NN0 )
113106simprd 450 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  D )  /\  k  e.  { g  e.  D  |  g  o R  <_  x } )  /\  j  e.  { h  e.  D  |  h  o R  <_  k } )  -> 
j  o R  <_ 
k )
1143psrbagcon 16365 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( I  e.  V  /\  ( k  e.  D  /\  j : I --> NN0  /\  j  o R  <_  k
) )  ->  (
( k  o F  -  j )  e.  D  /\  ( k  o F  -  j
)  o R  <_ 
k ) )
115110, 111, 112, 113, 114syl13anc 1186 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  D )  /\  k  e.  { g  e.  D  |  g  o R  <_  x } )  /\  j  e.  { h  e.  D  |  h  o R  <_  k } )  -> 
( ( k  o F  -  j )  e.  D  /\  (
k  o F  -  j )  o R  <_  k ) )
116115simpld 446 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  D )  /\  k  e.  { g  e.  D  |  g  o R  <_  x } )  /\  j  e.  { h  e.  D  |  h  o R  <_  k } )  -> 
( k  o F  -  j )  e.  D )
117109, 116ffvelrnd 5812 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  D )  /\  k  e.  { g  e.  D  |  g  o R  <_  x } )  /\  j  e.  { h  e.  D  |  h  o R  <_  k } )  -> 
( Y `  (
k  o F  -  j ) )  e.  ( Base `  R
) )
1182, 65rngcl 15606 . . . . . . . . 9  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  ( X `  j )  e.  ( Base `  R
)  /\  ( Y `  ( k  o F  -  j ) )  e.  ( Base `  R
) )  ->  (
( X `  j
) ( .r `  R ) ( Y `
 ( k  o F  -  j ) ) )  e.  (
Base `  R )
)
119101, 108, 117, 118syl3anc 1184 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  D )  /\  k  e.  { g  e.  D  |  g  o R  <_  x } )  /\  j  e.  { h  e.  D  |  h  o R  <_  k } )  -> 
( ( X `  j ) ( .r
`  R ) ( Y `  ( k  o F  -  j
) ) )  e.  ( Base `  R
) )
120 eqid 2389 . . . . . . . . . 10  |-  ( j  e.  { h  e.  D  |  h  o R  <_  k }  |->  ( ( X `  j ) ( .r
`  R ) ( Y `  ( k  o F  -  j
) ) ) )  =  ( j  e. 
{ h  e.  D  |  h  o R  <_  k }  |->  ( ( X `  j ) ( .r `  R
) ( Y `  ( k  o F  -  j ) ) ) )
121119, 120fmptd 5834 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  D )  /\  k  e.  { g  e.  D  |  g  o R  <_  x } )  -> 
( j  e.  {
h  e.  D  |  h  o R  <_  k }  |->  ( ( X `
 j ) ( .r `  R ) ( Y `  (
k  o F  -  j ) ) ) ) : { h  e.  D  |  h  o R  <_  k } --> ( Base `  R
) )
12291, 121fisuppfi 14702 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  D )  /\  k  e.  { g  e.  D  |  g  o R  <_  x } )  -> 
( `' ( j  e.  { h  e.  D  |  h  o R  <_  k }  |->  ( ( X `  j ) ( .r
`  R ) ( Y `  ( k  o F  -  j
) ) ) )
" ( _V  \  { ( 0g `  R ) } ) )  e.  Fin )
1232, 86, 87, 65, 88, 91, 100, 119, 122gsummulc1 15642 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  D )  /\  k  e.  { g  e.  D  |  g  o R  <_  x } )  -> 
( R  gsumg  ( j  e.  {
h  e.  D  |  h  o R  <_  k }  |->  ( ( ( X `  j ) ( .r `  R
) ( Y `  ( k  o F  -  j ) ) ) ( .r `  R ) ( Z `
 ( x  o F  -  k ) ) ) ) )  =  ( ( R 
gsumg  ( j  e.  {
h  e.  D  |  h  o R  <_  k }  |->  ( ( X `
 j ) ( .r `  R ) ( Y `  (
k  o F  -  j ) ) ) ) ) ( .r
`  R ) ( Z `  ( x  o F  -  k
) ) ) )
124100adantr 452 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  D )  /\  k  e.  { g  e.  D  |  g  o R  <_  x } )  /\  j  e.  { h  e.  D  |  h  o R  <_  k } )  -> 
( Z `  (
x  o F  -  k ) )  e.  ( Base `  R
) )
1252, 65rngass 15609 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  (
( X `  j
)  e.  ( Base `  R )  /\  ( Y `  ( k  o F  -  j
) )  e.  (
Base `  R )  /\  ( Z `  (
x  o F  -  k ) )  e.  ( Base `  R
) ) )  -> 
( ( ( X `
 j ) ( .r `  R ) ( Y `  (
k  o F  -  j ) ) ) ( .r `  R
) ( Z `  ( x  o F  -  k ) ) )  =  ( ( X `  j ) ( .r `  R
) ( ( Y `
 ( k  o F  -  j ) ) ( .r `  R ) ( Z `
 ( x  o F  -  k ) ) ) ) )
126101, 108, 117, 124, 125syl13anc 1186 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  D )  /\  k  e.  { g  e.  D  |  g  o R  <_  x } )  /\  j  e.  { h  e.  D  |  h  o R  <_  k } )  -> 
( ( ( X `
 j ) ( .r `  R ) ( Y `  (
k  o F  -  j ) ) ) ( .r `  R
) ( Z `  ( x  o F  -  k ) ) )  =  ( ( X `  j ) ( .r `  R
) ( ( Y `
 ( k  o F  -  j ) ) ( .r `  R ) ( Z `
 ( x  o F  -  k ) ) ) ) )
1273psrbagf 16361 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( I  e.  V  /\  x  e.  D )  ->  x : I --> NN0 )
12821, 127sylan 458 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  x  e.  D )  ->  x : I --> NN0 )
129128ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  D )  /\  k  e.  { g  e.  D  |  g  o R  <_  x } )  /\  j  e.  { h  e.  D  |  h  o R  <_  k } )  ->  x : I --> NN0 )
130129ffvelrnda 5811 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  D )  /\  k  e.  {
g  e.  D  | 
g  o R  <_  x } )  /\  j  e.  { h  e.  D  |  h  o R  <_  k } )  /\  z  e.  I )  ->  ( x `  z
)  e.  NN0 )
13195adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  D )  /\  k  e.  { g  e.  D  |  g  o R  <_  x } )  /\  j  e.  { h  e.  D  |  h  o R  <_  k } )  -> 
k : I --> NN0 )
132131ffvelrnda 5811 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  D )  /\  k  e.  {
g  e.  D  | 
g  o R  <_  x } )  /\  j  e.  { h  e.  D  |  h  o R  <_  k } )  /\  z  e.  I )  ->  ( k `  z
)  e.  NN0 )
133112ffvelrnda 5811 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  D )  /\  k  e.  {
g  e.  D  | 
g  o R  <_  x } )  /\  j  e.  { h  e.  D  |  h  o R  <_  k } )  /\  z  e.  I )  ->  ( j `  z
)  e.  NN0 )
134 nn0cn 10165 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( x `  z )  e.  NN0  ->  ( x `
 z )  e.  CC )
135 nn0cn 10165 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( k `  z )  e.  NN0  ->  ( k `
 z )  e.  CC )
136 nn0cn 10165 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( j `  z )  e.  NN0  ->  ( j `
 z )  e.  CC )
137 nnncan2 9272 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( x `  z
)  e.  CC  /\  ( k `  z
)  e.  CC  /\  ( j `  z
)  e.  CC )  ->  ( ( ( x `  z )  -  ( j `  z ) )  -  ( ( k `  z )  -  (
j `  z )
) )  =  ( ( x `  z
)  -  ( k `
 z ) ) )
138134, 135, 136, 137syl3an 1226 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( x `  z
)  e.  NN0  /\  ( k `  z
)  e.  NN0  /\  ( j `  z
)  e.  NN0 )  ->  ( ( ( x `
 z )  -  ( j `  z
) )  -  (
( k `  z
)  -  ( j `
 z ) ) )  =  ( ( x `  z )  -  ( k `  z ) ) )
139130, 132, 133, 138syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  D )  /\  k  e.  {
g  e.  D  | 
g  o R  <_  x } )  /\  j  e.  { h  e.  D  |  h  o R  <_  k } )  /\  z  e.  I )  ->  ( ( ( x `
 z )  -  ( j `  z
) )  -  (
( k `  z
)  -  ( j `
 z ) ) )  =  ( ( x `  z )  -  ( k `  z ) ) )
140139mpteq2dva 4238 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  D )  /\  k  e.  { g  e.  D  |  g  o R  <_  x } )  /\  j  e.  { h  e.  D  |  h  o R  <_  k } )  -> 
( z  e.  I  |->  ( ( ( x `
 z )  -  ( j `  z
) )  -  (
( k `  z
)  -  ( j `
 z ) ) ) )  =  ( z  e.  I  |->  ( ( x `  z
)  -  ( k `
 z ) ) ) )
141 ovex 6047 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( x `  z )  -  ( j `  z ) )  e. 
_V
142141a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  D )  /\  k  e.  {
g  e.  D  | 
g  o R  <_  x } )  /\  j  e.  { h  e.  D  |  h  o R  <_  k } )  /\  z  e.  I )  ->  ( ( x `  z )  -  (
j `  z )
)  e.  _V )
143 ovex 6047 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( k `  z )  -  ( j `  z ) )  e. 
_V
144143a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  D )  /\  k  e.  {
g  e.  D  | 
g  o R  <_  x } )  /\  j  e.  { h  e.  D  |  h  o R  <_  k } )  /\  z  e.  I )  ->  ( ( k `  z )  -  (
j `  z )
)  e.  _V )
145129feqmptd 5720 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  D )  /\  k  e.  { g  e.  D  |  g  o R  <_  x } )  /\  j  e.  { h  e.  D  |  h  o R  <_  k } )  ->  x  =  ( z  e.  I  |->  ( x `
 z ) ) )
146112feqmptd 5720 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  D )  /\  k  e.  { g  e.  D  |  g  o R  <_  x } )  /\  j  e.  { h  e.  D  |  h  o R  <_  k } )  -> 
j  =  ( z  e.  I  |->  ( j `
 z ) ) )
147110, 130, 133, 145, 146offval2 6263 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  D )  /\  k  e.  { g  e.  D  |  g  o R  <_  x } )  /\  j  e.  { h  e.  D  |  h  o R  <_  k } )  -> 
( x  o F  -  j )  =  ( z  e.  I  |->  ( ( x `  z )  -  (
j `  z )
) ) )
148131feqmptd 5720 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  D )  /\  k  e.  { g  e.  D  |  g  o R  <_  x } )  /\  j  e.  { h  e.  D  |  h  o R  <_  k } )  -> 
k  =  ( z  e.  I  |->  ( k `
 z ) ) )
149110, 132, 133, 148, 146offval2 6263 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  D )  /\  k  e.  { g  e.  D  |  g  o R  <_  x } )  /\  j  e.  { h  e.  D  |  h  o R  <_  k } )  -> 
( k  o F  -  j )  =  ( z  e.  I  |->  ( ( k `  z )  -  (
j `  z )
) ) )
150110, 142, 144, 147, 149offval2 6263 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  D )  /\  k  e.  { g  e.  D  |  g  o R  <_  x } )  /\  j  e.  { h  e.  D  |  h  o R  <_  k } )  -> 
( ( x  o F  -  j )  o F  -  (
k  o F  -  j ) )  =  ( z  e.  I  |->  ( ( ( x `
 z )  -  ( j `  z
) )  -  (
( k `  z
)  -  ( j `
 z ) ) ) ) )
151110, 130, 132, 145, 148offval2 6263 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  D )  /\  k  e.  { g  e.  D  |  g  o R  <_  x } )  /\  j  e.  { h  e.  D  |  h  o R  <_  k } )  -> 
( x  o F  -  k )  =  ( z  e.  I  |->  ( ( x `  z )  -  (
k `  z )
) ) )
152140, 150, 1513eqtr4d 2431 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  D )  /\  k  e.  { g  e.  D  |  g  o R  <_  x } )  /\  j  e.  { h  e.  D  |  h  o R  <_  k } )  -> 
( ( x  o F  -  j )  o F  -  (
k  o F  -  j ) )  =  ( x  o F  -  k ) )
153152fveq2d 5674 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  D )  /\  k  e.  { g  e.  D  |  g  o R  <_  x } )  /\  j  e.  { h  e.  D  |  h  o R  <_  k } )  -> 
( Z `  (
( x  o F  -  j )  o F  -  ( k  o F  -  j
) ) )  =  ( Z `  (
x  o F  -  k ) ) )
154153oveq2d 6038 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  D )  /\  k  e.  { g  e.  D  |  g  o R  <_  x } )  /\  j  e.  { h  e.  D  |  h  o R  <_  k } )  -> 
( ( Y `  ( k  o F  -  j ) ) ( .r `  R
) ( Z `  ( ( x  o F  -  j )  o F  -  (
k  o F  -  j ) ) ) )  =  ( ( Y `  ( k  o F  -  j
) ) ( .r
`  R ) ( Z `  ( x  o F  -  k
) ) ) )
155154oveq2d 6038 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  D )  /\  k  e.  { g  e.  D  |  g  o R  <_  x } )  /\  j  e.  { h  e.  D  |  h  o R  <_  k } )  -> 
( ( X `  j ) ( .r
`  R ) ( ( Y `  (
k  o F  -  j ) ) ( .r `  R ) ( Z `  (
( x  o F  -  j )  o F  -  ( k  o F  -  j
) ) ) ) )  =  ( ( X `  j ) ( .r `  R
) ( ( Y `
 ( k  o F  -  j ) ) ( .r `  R ) ( Z `
 ( x  o F  -  k ) ) ) ) )
156126, 155eqtr4d 2424 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  D )  /\  k  e.  { g  e.  D  |  g  o R  <_  x } )  /\  j  e.  { h  e.  D  |  h  o R  <_  k } )  -> 
( ( ( X `
 j ) ( .r `  R ) ( Y `  (
k  o F  -  j ) ) ) ( .r `  R
) ( Z `  ( x  o F  -  k ) ) )  =  ( ( X `  j ) ( .r `  R
) ( ( Y `
 ( k  o F  -  j ) ) ( .r `  R ) ( Z `
 ( ( x  o F  -  j
)  o F  -  ( k  o F  -  j ) ) ) ) ) )
157156mpteq2dva 4238 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  D )  /\  k  e.  { g  e.  D  |  g  o R  <_  x } )  -> 
( j  e.  {
h  e.  D  |  h  o R  <_  k }  |->  ( ( ( X `  j ) ( .r `  R
) ( Y `  ( k  o F  -  j ) ) ) ( .r `  R ) ( Z `
 ( x  o F  -  k ) ) ) )  =  ( j  e.  {
h  e.  D  |  h  o R  <_  k }  |->  ( ( X `
 j ) ( .r `  R ) ( ( Y `  ( k  o F  -  j ) ) ( .r `  R
) ( Z `  ( ( x  o F  -  j )  o F  -  (
k  o F  -  j ) ) ) ) ) ) )
158157oveq2d 6038 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  D )  /\  k  e.  { g  e.  D  |  g  o R  <_  x } )  -> 
( R  gsumg  ( j  e.  {
h  e.  D  |  h  o R  <_  k }  |->  ( ( ( X `  j ) ( .r `  R
) ( Y `  ( k  o F  -  j ) ) ) ( .r `  R ) ( Z `
 ( x  o F  -  k ) ) ) ) )  =  ( R  gsumg  ( j  e.  { h  e.  D  |  h  o R  <_  k }  |->  ( ( X `  j ) ( .r
`  R ) ( ( Y `  (
k  o F  -  j ) ) ( .r `  R ) ( Z `  (
( x  o F  -  j )  o F  -  ( k  o F  -  j
) ) ) ) ) ) ) )
15985, 123, 1583eqtr2d 2427 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  D )  /\  k  e.  { g  e.  D  |  g  o R  <_  x } )  -> 
( ( ( X 
.X.  Y ) `  k ) ( .r
`  R ) ( Z `  ( x  o F  -  k
) ) )  =  ( R  gsumg  ( j  e.  {
h  e.  D  |  h  o R  <_  k }  |->  ( ( X `
 j ) ( .r `  R ) ( ( Y `  ( k  o F  -  j ) ) ( .r `  R
) ( Z `  ( ( x  o F  -  j )  o F  -  (
k  o F  -  j ) ) ) ) ) ) ) )
160159mpteq2dva 4238 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  D )  ->  (
k  e.  { g  e.  D  |  g  o R  <_  x }  |->  ( ( ( X  .X.  Y ) `  k ) ( .r
`  R ) ( Z `  ( x  o F  -  k
) ) ) )  =  ( k  e. 
{ g  e.  D  |  g  o R  <_  x }  |->  ( R 
gsumg  ( j  e.  {
h  e.  D  |  h  o R  <_  k }  |->  ( ( X `
 j ) ( .r `  R ) ( ( Y `  ( k  o F  -  j ) ) ( .r `  R
) ( Z `  ( ( x  o F  -  j )  o F  -  (
k  o F  -  j ) ) ) ) ) ) ) ) )
161160oveq2d 6038 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  D )  ->  ( R  gsumg  ( k  e.  {
g  e.  D  | 
g  o R  <_  x }  |->  ( ( ( X  .X.  Y
) `  k )
( .r `  R
) ( Z `  ( x  o F  -  k ) ) ) ) )  =  ( R  gsumg  ( k  e.  {
g  e.  D  | 
g  o R  <_  x }  |->  ( R 
gsumg  ( j  e.  {
h  e.  D  |  h  o R  <_  k }  |->  ( ( X `
 j ) ( .r `  R ) ( ( Y `  ( k  o F  -  j ) ) ( .r `  R
) ( Z `  ( ( x  o F  -  j )  o F  -  (
k  o F  -  j ) ) ) ) ) ) ) ) ) )
1628ad2antrr 707 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  D )  /\  j  e.  { g  e.  D  |  g  o R  <_  x } )  ->  Y  e.  B )
16310ad2antrr 707 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  D )  /\  j  e.  { g  e.  D  |  g  o R  <_  x } )  ->  Z  e.  B )
1641, 4, 65, 5, 3, 162, 163, 56psrmulval 16379 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  D )  /\  j  e.  { g  e.  D  |  g  o R  <_  x } )  -> 
( ( Y  .X.  Z ) `  (
x  o F  -  j ) )  =  ( R  gsumg  ( n  e.  {
h  e.  D  |  h  o R  <_  (
x  o F  -  j ) }  |->  ( ( Y `  n
) ( .r `  R ) ( Z `
 ( ( x  o F  -  j
)  o F  -  n ) ) ) ) ) )
165164oveq2d 6038 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  D )  /\  j  e.  { g  e.  D  |  g  o R  <_  x } )  -> 
( ( X `  j ) ( .r
`  R ) ( ( Y  .X.  Z
) `  ( x  o F  -  j
) ) )  =  ( ( X `  j ) ( .r
`  R ) ( R  gsumg  ( n  e.  {
h  e.  D  |  h  o R  <_  (
x  o F  -  j ) }  |->  ( ( Y `  n
) ( .r `  R ) ( Z `
 ( ( x  o F  -  j
)  o F  -  n ) ) ) ) ) ) )
1663psrbaglefi 16366 . . . . . . . . 9  |-  ( ( I  e.  V  /\  ( x  o F  -  j )  e.  D )  ->  { h  e.  D  |  h  o R  <_  ( x  o F  -  j
) }  e.  Fin )
16748, 56, 166syl2anc 643 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  D )  /\  j  e.  { g  e.  D  |  g  o R  <_  x } )  ->  { h  e.  D  |  h  o R  <_  ( x  o F  -  j ) }  e.  Fin )
168 cnvimass 5166 . . . . . . . . . 10  |-  ( `' ( n  e.  {
h  e.  D  |  h  o R  <_  (
x  o F  -  j ) }  |->  ( ( Y `  n
) ( .r `  R ) ( Z `
 ( ( x  o F  -  j
)  o F  -  n ) ) ) ) " ( _V 
\  { ( 0g
`  R ) } ) )  C_  dom  ( n  e.  { h  e.  D  |  h  o R  <_  ( x  o F  -  j
) }  |->  ( ( Y `  n ) ( .r `  R
) ( Z `  ( ( x  o F  -  j )  o F  -  n
) ) ) )
169 eqid 2389 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  e.  { h  e.  D  |  h  o R  <_  ( x  o F  -  j
) }  |->  ( ( Y `  n ) ( .r `  R
) ( Z `  ( ( x  o F  -  j )  o F  -  n
) ) ) )  =  ( n  e. 
{ h  e.  D  |  h  o R  <_  ( x  o F  -  j ) } 
|->  ( ( Y `  n ) ( .r
`  R ) ( Z `  ( ( x  o F  -  j )  o F  -  n ) ) ) )
170169dmmptss 5308 . . . . . . . . . 10  |-  dom  (
n  e.  { h  e.  D  |  h  o R  <_  ( x  o F  -  j
) }  |->  ( ( Y `  n ) ( .r `  R
) ( Z `  ( ( x  o F  -  j )  o F  -  n
) ) ) ) 
C_  { h  e.  D  |  h  o R  <_  ( x  o F  -  j
) }
171168, 170sstri 3302 . . . . . . . . 9  |-  ( `' ( n  e.  {
h  e.  D  |  h  o R  <_  (
x  o F  -  j ) }  |->  ( ( Y `  n
) ( .r `  R ) ( Z `
 ( ( x  o F  -  j
)  o F  -  n ) ) ) ) " ( _V 
\  { ( 0g
`  R ) } ) )  C_  { h  e.  D  |  h  o R  <_  ( x  o F  -  j
) }
172 ssfi 7267 . . . . . . . . 9  |-  ( ( { h  e.  D  |  h  o R  <_  ( x  o F  -  j ) }  e.  Fin  /\  ( `' ( n  e. 
{ h  e.  D  |  h  o R  <_  ( x  o F  -  j ) } 
|->  ( ( Y `  n ) ( .r
`  R ) ( Z `  ( ( x  o F  -  j )  o F  -  n ) ) ) ) " ( _V  \  { ( 0g
`  R ) } ) )  C_  { h  e.  D  |  h  o R  <_  ( x  o F  -  j
) } )  -> 
( `' ( n  e.  { h  e.  D  |  h  o R  <_  ( x  o F  -  j
) }  |->  ( ( Y `  n ) ( .r `  R
) ( Z `  ( ( x  o F  -  j )  o F  -  n
) ) ) )
" ( _V  \  { ( 0g `  R ) } ) )  e.  Fin )
173167, 171, 172sylancl 644 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  D )  /\  j  e.  { g  e.  D  |  g  o R  <_  x } )  -> 
( `' ( n  e.  { h  e.  D  |  h  o R  <_  ( x  o F  -  j
) }  |->  ( ( Y `  n ) ( .r `  R
) ( Z `  ( ( x  o F  -  j )  o F  -  n
) ) ) )
" ( _V  \  { ( 0g `  R ) } ) )  e.  Fin )
1742, 86, 87, 65, 27, 167, 36, 67, 173gsummulc2 15643 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  D )  /\  j  e.  { g  e.  D  |  g  o R  <_  x } )  -> 
( R  gsumg  ( n  e.  {
h  e.  D  |  h  o R  <_  (
x  o F  -  j ) }  |->  ( ( X `  j
) ( .r `  R ) ( ( Y `  n ) ( .r `  R
) ( Z `  ( ( x  o F  -  j )  o F  -  n
) ) ) ) ) )  =  ( ( X `  j
) ( .r `  R ) ( R 
gsumg  ( n  e.  { h  e.  D  |  h  o R  <_  ( x  o F  -  j
) }  |->  ( ( Y `  n ) ( .r `  R
) ( Z `  ( ( x  o F  -  j )  o F  -  n
) ) ) ) ) ) )
175165, 174eqtr4d 2424 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  D )  /\  j  e.  { g  e.  D  |  g  o R  <_  x } )  -> 
( ( X `  j ) ( .r
`  R ) ( ( Y  .X.  Z
) `  ( x  o F  -  j
) ) )  =  ( R  gsumg  ( n  e.  {
h  e.  D  |  h  o R  <_  (
x  o F  -  j ) }  |->  ( ( X `  j
) ( .r `  R ) ( ( Y `  n ) ( .r `  R
) ( Z `  ( ( x  o F  -  j )  o F  -  n
) ) ) ) ) ) )
176175mpteq2dva 4238 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  D )  ->  (
j  e.  { g  e.  D  |  g  o R  <_  x }  |->  ( ( X `
 j ) ( .r `  R ) ( ( Y  .X.  Z ) `  (
x  o F  -  j ) ) ) )  =  ( j  e.  { g  e.  D  |  g  o R  <_  x }  |->  ( R  gsumg  ( n  e.  {
h  e.  D  |  h  o R  <_  (
x  o F  -  j ) }  |->  ( ( X `  j
) ( .r `  R ) ( ( Y `  n ) ( .r `  R
) ( Z `  ( ( x  o F  -  j )  o F  -  n
) ) ) ) ) ) ) )
177176oveq2d 6038 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  D )  ->  ( R  gsumg  ( j  e.  {
g  e.  D  | 
g  o R  <_  x }  |->  ( ( X `  j ) ( .r `  R
) ( ( Y 
.X.  Z ) `  ( x  o F  -  j ) ) ) ) )  =  ( R  gsumg  ( j  e.  {
g  e.  D  | 
g  o R  <_  x }  |->  ( R 
gsumg  ( n  e.  { h  e.  D  |  h  o R  <_  ( x  o F  -  j
) }  |->  ( ( X `  j ) ( .r `  R
) ( ( Y `
 n ) ( .r `  R ) ( Z `  (
( x  o F  -  j )  o F  -  n ) ) ) ) ) ) ) ) )
17876, 161, 1773eqtr4d 2431 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  D )  ->  ( R  gsumg  ( k  e.  {
g  e.  D  | 
g  o R  <_  x }  |->  ( ( ( X  .X.  Y
) `  k )
( .r `  R
) ( Z `  ( x  o F  -  k ) ) ) ) )  =  ( R  gsumg  ( j  e.  {
g  e.  D  | 
g  o R  <_  x }  |->  ( ( X `  j ) ( .r `  R
) ( ( Y 
.X.  Z ) `  ( x  o F  -  j ) ) ) ) ) )
1799adantr 452 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  D )  ->  ( X  .X.  Y )  e.  B )
18010adantr 452 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  D )  ->  Z  e.  B )
1811, 4, 65, 5, 3, 179, 180, 23psrmulval 16379 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  D )  ->  (
( ( X  .X.  Y )  .X.  Z
) `  x )  =  ( R  gsumg  ( k  e.  { g  e.  D  |  g  o R  <_  x }  |->  ( ( ( X 
.X.  Y ) `  k ) ( .r
`  R ) ( Z `  ( x  o F  -  k
) ) ) ) ) )
1827adantr 452 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  D )  ->  X  e.  B )
18315adantr 452 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  D )  ->  ( Y  .X.  Z )  e.  B )
1841, 4, 65, 5, 3, 182, 183, 23psrmulval 16379 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  D )  ->  (
( X  .X.  ( Y  .X.  Z ) ) `
 x )  =  ( R  gsumg  ( j  e.  {
g  e.  D  | 
g  o R  <_  x }  |->  ( ( X `  j ) ( .r `  R
) ( ( Y 
.X.  Z ) `  ( x  o F  -  j ) ) ) ) ) )
185178, 181, 1843eqtr4d 2431 . 2  |-  ( (
ph  /\  x  e.  D )  ->  (
( ( X  .X.  Y )  .X.  Z
) `  x )  =  ( ( X 
.X.  ( Y  .X.  Z ) ) `  x ) )
18614, 19, 185eqfnfvd 5771 1  |-  ( ph  ->  ( ( X  .X.  Y )  .X.  Z
)  =  ( X 
.X.  ( Y  .X.  Z ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1717   {crab 2655   _Vcvv 2901    \ cdif 3262    C_ wss 3265   {csn 3759   class class class wbr 4155    e. cmpt 4209   `'ccnv 4819   dom cdm 4820   "cima 4823    Fn wfn 5391   -->wf 5392   ` cfv 5396  (class class class)co 6022    o Fcof 6244    o Rcofr 6245    ^m cmap 6956   Fincfn 7047   CCcc 8923    <_ cle 9056    - cmin 9225   NNcn 9934   NN0cn0 10155   Basecbs 13398   +g cplusg 13458   .rcmulr 13459   0gc0g 13652    gsumg cgsu 13653  CMndccmn 15341   Ringcrg 15589   mPwSer cmps 16335
This theorem is referenced by:  psrrng  16403
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2370  ax-rep 4263  ax-sep 4273  ax-nul 4281  ax-pow 4320  ax-pr 4346  ax-un 4643  ax-inf2 7531  ax-cnex 8981  ax-resscn 8982  ax-1cn 8983  ax-icn 8984  ax-addcl 8985  ax-addrcl 8986  ax-mulcl 8987  ax-mulrcl 8988  ax-mulcom 8989  ax-addass 8990  ax-mulass 8991  ax-distr 8992  ax-i2m1 8993  ax-1ne0 8994  ax-1rid 8995  ax-rnegex 8996  ax-rrecex 8997  ax-cnre 8998  ax-pre-lttri 8999  ax-pre-lttrn 9000  ax-pre-ltadd 9001  ax-pre-mulgt0 9002
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2244  df-mo 2245  df-clab 2376  df-cleq 2382  df-clel 2385  df-nfc 2514  df-ne 2554  df-nel 2555  df-ral 2656  df-rex 2657  df-reu 2658  df-rmo 2659  df-rab 2660  df-v 2903  df-sbc 3107  df-csb 3197  df-dif 3268  df-un 3270  df-in 3272  df-ss 3279  df-pss 3281  df-nul 3574  df-if 3685  df-pw 3746  df-sn 3765  df-pr 3766  df-tp 3767  df-op 3768  df-uni 3960  df-int 3995  df-iun 4039  df-iin 4040  df-br 4156  df-opab 4210  df-mpt 4211  df-tr 4246  df-eprel 4437  df-id 4441  df-po 4446  df-so 4447  df-fr 4484  df-se 4485  df-we 4486  df-ord 4527  df-on 4528  df-lim 4529  df-suc 4530  df-om 4788  df-xp 4826  df-rel 4827  df-cnv 4828  df-co 4829  df-dm 4830  df-rn 4831  df-res 4832  df-ima 4833  df-iota 5360  df-fun 5398  df-fn 5399  df-f 5400  df-f1 5401  df-fo 5402  df-f1o 5403  df-fv 5404  df-isom 5405  df-ov 6025  df-oprab 6026  df-mpt2 6027  df-of 6246  df-ofr 6247  df-1st 6290  df-2nd 6291  df-riota 6487  df-recs 6571  df-rdg 6606  df-1o 6662  df-2o 6663  df-oadd 6666  df-er 6843  df-map 6958  df-pm 6959  df-ixp 7002  df-en 7048  df-dom 7049  df-sdom 7050  df-fin 7051  df-oi 7414  df-card 7761  df-pnf 9057  df-mnf 9058  df-xr 9059  df-ltxr 9060  df-le 9061  df-sub 9227  df-neg 9228  df-nn 9935  df-2 9992  df-3 9993  df-4 9994  df-5 9995  df-6 9996  df-7 9997  df-8 9998  df-9 9999  df-n0 10156  df-z 10217  df-uz 10423  df-fz 10978  df-fzo 11068  df-seq 11253  df-hash 11548  df-struct 13400  df-ndx 13401  df-slot 13402  df-base 13403  df-sets 13404  df-ress 13405  df-plusg 13471  df-mulr 13472  df-sca 13474  df-vsca 13475  df-tset 13477  df-0g 13656  df-gsum 13657  df-mre 13740  df-mrc 13741  df-acs 13743  df-mnd 14619  df-mhm 14667  df-submnd 14668  df-grp 14741  df-minusg 14742  df-mulg 14744  df-ghm 14933  df-cntz 15045  df-cmn 15343  df-abl 15344  df-mgp 15578  df-rng 15592  df-ur 15594  df-psr 16346
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