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Theorem psrass1 16461
Description: Associative identity for the ring of power series. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
psrrng.s  |-  S  =  ( I mPwSer  R )
psrrng.i  |-  ( ph  ->  I  e.  V )
psrrng.r  |-  ( ph  ->  R  e.  Ring )
psrass.d  |-  D  =  { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f
" NN )  e. 
Fin }
psrass.t  |-  .X.  =  ( .r `  S )
psrass.b  |-  B  =  ( Base `  S
)
psrass.x  |-  ( ph  ->  X  e.  B )
psrass.y  |-  ( ph  ->  Y  e.  B )
psrass.z  |-  ( ph  ->  Z  e.  B )
Assertion
Ref Expression
psrass1  |-  ( ph  ->  ( ( X  .X.  Y )  .X.  Z
)  =  ( X 
.X.  ( Y  .X.  Z ) ) )
Distinct variable groups:    f, I    R, f    f, X    f, Z    f, Y
Allowed substitution hints:    ph( f)    B( f)    D( f)    S( f)    .X. ( f)    V( f)

Proof of Theorem psrass1
Dummy variables  x  k  z  g  h  j  n are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 psrrng.s . . . 4  |-  S  =  ( I mPwSer  R )
2 eqid 2435 . . . 4  |-  ( Base `  R )  =  (
Base `  R )
3 psrass.d . . . 4  |-  D  =  { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f
" NN )  e. 
Fin }
4 psrass.b . . . 4  |-  B  =  ( Base `  S
)
5 psrass.t . . . . 5  |-  .X.  =  ( .r `  S )
6 psrrng.r . . . . 5  |-  ( ph  ->  R  e.  Ring )
7 psrass.x . . . . . 6  |-  ( ph  ->  X  e.  B )
8 psrass.y . . . . . 6  |-  ( ph  ->  Y  e.  B )
91, 4, 5, 6, 7, 8psrmulcl 16444 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( X  .X.  Y
)  e.  B )
10 psrass.z . . . . 5  |-  ( ph  ->  Z  e.  B )
111, 4, 5, 6, 9, 10psrmulcl 16444 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( X  .X.  Y )  .X.  Z
)  e.  B )
121, 2, 3, 4, 11psrelbas 16436 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( X  .X.  Y )  .X.  Z
) : D --> ( Base `  R ) )
13 ffn 5583 . . 3  |-  ( ( ( X  .X.  Y
)  .X.  Z ) : D --> ( Base `  R
)  ->  ( ( X  .X.  Y )  .X.  Z )  Fn  D
)
1412, 13syl 16 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( X  .X.  Y )  .X.  Z
)  Fn  D )
151, 4, 5, 6, 8, 10psrmulcl 16444 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( Y  .X.  Z
)  e.  B )
161, 4, 5, 6, 7, 15psrmulcl 16444 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( X  .X.  ( Y  .X.  Z ) )  e.  B )
171, 2, 3, 4, 16psrelbas 16436 . . 3  |-  ( ph  ->  ( X  .X.  ( Y  .X.  Z ) ) : D --> ( Base `  R ) )
18 ffn 5583 . . 3  |-  ( ( X  .X.  ( Y  .X.  Z ) ) : D --> ( Base `  R
)  ->  ( X  .X.  ( Y  .X.  Z
) )  Fn  D
)
1917, 18syl 16 . 2  |-  ( ph  ->  ( X  .X.  ( Y  .X.  Z ) )  Fn  D )
20 eqid 2435 . . . . 5  |-  { g  e.  D  |  g  o R  <_  x }  =  { g  e.  D  |  g  o R  <_  x }
21 psrrng.i . . . . . 6  |-  ( ph  ->  I  e.  V )
2221adantr 452 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  D )  ->  I  e.  V )
23 simpr 448 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  D )  ->  x  e.  D )
24 rngcmn 15686 . . . . . . 7  |-  ( R  e.  Ring  ->  R  e. CMnd
)
256, 24syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  R  e. CMnd )
2625adantr 452 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  D )  ->  R  e. CMnd )
276ad2antrr 707 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  D )  /\  j  e.  { g  e.  D  |  g  o R  <_  x } )  ->  R  e.  Ring )
2827adantr 452 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  D )  /\  j  e.  { g  e.  D  |  g  o R  <_  x } )  /\  n  e.  { h  e.  D  |  h  o R  <_  ( x  o F  -  j ) } )  ->  R  e.  Ring )
291, 2, 3, 4, 7psrelbas 16436 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  X : D --> ( Base `  R ) )
3029ad2antrr 707 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  D )  /\  j  e.  { g  e.  D  |  g  o R  <_  x } )  ->  X : D --> ( Base `  R ) )
31 simpr 448 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  D )  /\  j  e.  { g  e.  D  |  g  o R  <_  x } )  -> 
j  e.  { g  e.  D  |  g  o R  <_  x } )
32 breq1 4207 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( g  =  j  ->  (
g  o R  <_  x 
<->  j  o R  <_  x ) )
3332elrab 3084 . . . . . . . . . . 11  |-  ( j  e.  { g  e.  D  |  g  o R  <_  x }  <->  ( j  e.  D  /\  j  o R  <_  x
) )
3431, 33sylib 189 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  D )  /\  j  e.  { g  e.  D  |  g  o R  <_  x } )  -> 
( j  e.  D  /\  j  o R  <_  x ) )
3534simpld 446 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  D )  /\  j  e.  { g  e.  D  |  g  o R  <_  x } )  -> 
j  e.  D )
3630, 35ffvelrnd 5863 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  D )  /\  j  e.  { g  e.  D  |  g  o R  <_  x } )  -> 
( X `  j
)  e.  ( Base `  R ) )
3736adantr 452 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  D )  /\  j  e.  { g  e.  D  |  g  o R  <_  x } )  /\  n  e.  { h  e.  D  |  h  o R  <_  ( x  o F  -  j ) } )  ->  ( X `  j )  e.  (
Base `  R )
)
381, 2, 3, 4, 8psrelbas 16436 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  Y : D --> ( Base `  R ) )
3938ad3antrrr 711 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  D )  /\  j  e.  { g  e.  D  |  g  o R  <_  x } )  /\  n  e.  { h  e.  D  |  h  o R  <_  ( x  o F  -  j ) } )  ->  Y : D
--> ( Base `  R
) )
40 simpr 448 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  D )  /\  j  e.  { g  e.  D  |  g  o R  <_  x } )  /\  n  e.  { h  e.  D  |  h  o R  <_  ( x  o F  -  j ) } )  ->  n  e.  { h  e.  D  |  h  o R  <_  (
x  o F  -  j ) } )
41 breq1 4207 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( h  =  n  ->  (
h  o R  <_ 
( x  o F  -  j )  <->  n  o R  <_  ( x  o F  -  j ) ) )
4241elrab 3084 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  e.  { h  e.  D  |  h  o R  <_  ( x  o F  -  j
) }  <->  ( n  e.  D  /\  n  o R  <_  ( x  o F  -  j
) ) )
4340, 42sylib 189 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  D )  /\  j  e.  { g  e.  D  |  g  o R  <_  x } )  /\  n  e.  { h  e.  D  |  h  o R  <_  ( x  o F  -  j ) } )  ->  ( n  e.  D  /\  n  o R  <_  ( x  o F  -  j
) ) )
4443simpld 446 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  D )  /\  j  e.  { g  e.  D  |  g  o R  <_  x } )  /\  n  e.  { h  e.  D  |  h  o R  <_  ( x  o F  -  j ) } )  ->  n  e.  D )
4539, 44ffvelrnd 5863 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  D )  /\  j  e.  { g  e.  D  |  g  o R  <_  x } )  /\  n  e.  { h  e.  D  |  h  o R  <_  ( x  o F  -  j ) } )  ->  ( Y `  n )  e.  (
Base `  R )
)
461, 2, 3, 4, 10psrelbas 16436 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  Z : D --> ( Base `  R ) )
4746ad3antrrr 711 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  D )  /\  j  e.  { g  e.  D  |  g  o R  <_  x } )  /\  n  e.  { h  e.  D  |  h  o R  <_  ( x  o F  -  j ) } )  ->  Z : D
--> ( Base `  R
) )
4821ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  D )  /\  j  e.  { g  e.  D  |  g  o R  <_  x } )  ->  I  e.  V )
4948adantr 452 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  D )  /\  j  e.  { g  e.  D  |  g  o R  <_  x } )  /\  n  e.  { h  e.  D  |  h  o R  <_  ( x  o F  -  j ) } )  ->  I  e.  V )
50 simplr 732 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  D )  /\  j  e.  { g  e.  D  |  g  o R  <_  x } )  ->  x  e.  D )
513psrbagf 16424 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( I  e.  V  /\  j  e.  D )  ->  j : I --> NN0 )
5248, 35, 51syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  D )  /\  j  e.  { g  e.  D  |  g  o R  <_  x } )  -> 
j : I --> NN0 )
5334simprd 450 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  D )  /\  j  e.  { g  e.  D  |  g  o R  <_  x } )  -> 
j  o R  <_  x )
543psrbagcon 16428 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( I  e.  V  /\  ( x  e.  D  /\  j : I --> NN0  /\  j  o R  <_  x
) )  ->  (
( x  o F  -  j )  e.  D  /\  ( x  o F  -  j
)  o R  <_  x ) )
5548, 50, 52, 53, 54syl13anc 1186 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  D )  /\  j  e.  { g  e.  D  |  g  o R  <_  x } )  -> 
( ( x  o F  -  j )  e.  D  /\  (
x  o F  -  j )  o R  <_  x ) )
5655simpld 446 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  D )  /\  j  e.  { g  e.  D  |  g  o R  <_  x } )  -> 
( x  o F  -  j )  e.  D )
5756adantr 452 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  D )  /\  j  e.  { g  e.  D  |  g  o R  <_  x } )  /\  n  e.  { h  e.  D  |  h  o R  <_  ( x  o F  -  j ) } )  ->  ( x  o F  -  j
)  e.  D )
583psrbagf 16424 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( I  e.  V  /\  n  e.  D )  ->  n : I --> NN0 )
5949, 44, 58syl2anc 643 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  D )  /\  j  e.  { g  e.  D  |  g  o R  <_  x } )  /\  n  e.  { h  e.  D  |  h  o R  <_  ( x  o F  -  j ) } )  ->  n :
I --> NN0 )
6043simprd 450 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  D )  /\  j  e.  { g  e.  D  |  g  o R  <_  x } )  /\  n  e.  { h  e.  D  |  h  o R  <_  ( x  o F  -  j ) } )  ->  n  o R  <_  ( x  o F  -  j ) )
613psrbagcon 16428 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( I  e.  V  /\  ( ( x  o F  -  j )  e.  D  /\  n : I --> NN0  /\  n  o R  <_  (
x  o F  -  j ) ) )  ->  ( ( ( x  o F  -  j )  o F  -  n )  e.  D  /\  ( ( x  o F  -  j )  o F  -  n )  o R  <_  ( x  o F  -  j
) ) )
6249, 57, 59, 60, 61syl13anc 1186 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  D )  /\  j  e.  { g  e.  D  |  g  o R  <_  x } )  /\  n  e.  { h  e.  D  |  h  o R  <_  ( x  o F  -  j ) } )  ->  ( (
( x  o F  -  j )  o F  -  n )  e.  D  /\  (
( x  o F  -  j )  o F  -  n )  o R  <_  (
x  o F  -  j ) ) )
6362simpld 446 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  D )  /\  j  e.  { g  e.  D  |  g  o R  <_  x } )  /\  n  e.  { h  e.  D  |  h  o R  <_  ( x  o F  -  j ) } )  ->  ( (
x  o F  -  j )  o F  -  n )  e.  D )
6447, 63ffvelrnd 5863 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  D )  /\  j  e.  { g  e.  D  |  g  o R  <_  x } )  /\  n  e.  { h  e.  D  |  h  o R  <_  ( x  o F  -  j ) } )  ->  ( Z `  ( ( x  o F  -  j )  o F  -  n
) )  e.  (
Base `  R )
)
65 eqid 2435 . . . . . . . . 9  |-  ( .r
`  R )  =  ( .r `  R
)
662, 65rngcl 15669 . . . . . . . 8  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  ( Y `  n )  e.  ( Base `  R
)  /\  ( Z `  ( ( x  o F  -  j )  o F  -  n
) )  e.  (
Base `  R )
)  ->  ( ( Y `  n )
( .r `  R
) ( Z `  ( ( x  o F  -  j )  o F  -  n
) ) )  e.  ( Base `  R
) )
6728, 45, 64, 66syl3anc 1184 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  D )  /\  j  e.  { g  e.  D  |  g  o R  <_  x } )  /\  n  e.  { h  e.  D  |  h  o R  <_  ( x  o F  -  j ) } )  ->  ( ( Y `  n )
( .r `  R
) ( Z `  ( ( x  o F  -  j )  o F  -  n
) ) )  e.  ( Base `  R
) )
682, 65rngcl 15669 . . . . . . 7  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  ( X `  j )  e.  ( Base `  R
)  /\  ( ( Y `  n )
( .r `  R
) ( Z `  ( ( x  o F  -  j )  o F  -  n
) ) )  e.  ( Base `  R
) )  ->  (
( X `  j
) ( .r `  R ) ( ( Y `  n ) ( .r `  R
) ( Z `  ( ( x  o F  -  j )  o F  -  n
) ) ) )  e.  ( Base `  R
) )
6928, 37, 67, 68syl3anc 1184 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  D )  /\  j  e.  { g  e.  D  |  g  o R  <_  x } )  /\  n  e.  { h  e.  D  |  h  o R  <_  ( x  o F  -  j ) } )  ->  ( ( X `  j )
( .r `  R
) ( ( Y `
 n ) ( .r `  R ) ( Z `  (
( x  o F  -  j )  o F  -  n ) ) ) )  e.  ( Base `  R
) )
7069anasss 629 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  D )  /\  (
j  e.  { g  e.  D  |  g  o R  <_  x }  /\  n  e.  {
h  e.  D  |  h  o R  <_  (
x  o F  -  j ) } ) )  ->  ( ( X `  j )
( .r `  R
) ( ( Y `
 n ) ( .r `  R ) ( Z `  (
( x  o F  -  j )  o F  -  n ) ) ) )  e.  ( Base `  R
) )
71 fveq2 5720 . . . . . . 7  |-  ( n  =  ( k  o F  -  j )  ->  ( Y `  n )  =  ( Y `  ( k  o F  -  j
) ) )
72 oveq2 6081 . . . . . . . 8  |-  ( n  =  ( k  o F  -  j )  ->  ( ( x  o F  -  j
)  o F  -  n )  =  ( ( x  o F  -  j )  o F  -  ( k  o F  -  j
) ) )
7372fveq2d 5724 . . . . . . 7  |-  ( n  =  ( k  o F  -  j )  ->  ( Z `  ( ( x  o F  -  j )  o F  -  n
) )  =  ( Z `  ( ( x  o F  -  j )  o F  -  ( k  o F  -  j ) ) ) )
7471, 73oveq12d 6091 . . . . . 6  |-  ( n  =  ( k  o F  -  j )  ->  ( ( Y `
 n ) ( .r `  R ) ( Z `  (
( x  o F  -  j )  o F  -  n ) ) )  =  ( ( Y `  (
k  o F  -  j ) ) ( .r `  R ) ( Z `  (
( x  o F  -  j )  o F  -  ( k  o F  -  j
) ) ) ) )
7574oveq2d 6089 . . . . 5  |-  ( n  =  ( k  o F  -  j )  ->  ( ( X `
 j ) ( .r `  R ) ( ( Y `  n ) ( .r
`  R ) ( Z `  ( ( x  o F  -  j )  o F  -  n ) ) ) )  =  ( ( X `  j
) ( .r `  R ) ( ( Y `  ( k  o F  -  j
) ) ( .r
`  R ) ( Z `  ( ( x  o F  -  j )  o F  -  ( k  o F  -  j ) ) ) ) ) )
763, 20, 22, 23, 2, 26, 70, 75psrass1lem 16434 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  D )  ->  ( R  gsumg  ( k  e.  {
g  e.  D  | 
g  o R  <_  x }  |->  ( R 
gsumg  ( j  e.  {
h  e.  D  |  h  o R  <_  k }  |->  ( ( X `
 j ) ( .r `  R ) ( ( Y `  ( k  o F  -  j ) ) ( .r `  R
) ( Z `  ( ( x  o F  -  j )  o F  -  (
k  o F  -  j ) ) ) ) ) ) ) ) )  =  ( R  gsumg  ( j  e.  {
g  e.  D  | 
g  o R  <_  x }  |->  ( R 
gsumg  ( n  e.  { h  e.  D  |  h  o R  <_  ( x  o F  -  j
) }  |->  ( ( X `  j ) ( .r `  R
) ( ( Y `
 n ) ( .r `  R ) ( Z `  (
( x  o F  -  j )  o F  -  n ) ) ) ) ) ) ) ) )
777ad2antrr 707 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  D )  /\  k  e.  { g  e.  D  |  g  o R  <_  x } )  ->  X  e.  B )
788ad2antrr 707 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  D )  /\  k  e.  { g  e.  D  |  g  o R  <_  x } )  ->  Y  e.  B )
79 simpr 448 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  D )  /\  k  e.  { g  e.  D  |  g  o R  <_  x } )  -> 
k  e.  { g  e.  D  |  g  o R  <_  x } )
80 breq1 4207 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( g  =  k  ->  (
g  o R  <_  x 
<->  k  o R  <_  x ) )
8180elrab 3084 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  e.  { g  e.  D  |  g  o R  <_  x }  <->  ( k  e.  D  /\  k  o R  <_  x
) )
8279, 81sylib 189 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  D )  /\  k  e.  { g  e.  D  |  g  o R  <_  x } )  -> 
( k  e.  D  /\  k  o R  <_  x ) )
8382simpld 446 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  D )  /\  k  e.  { g  e.  D  |  g  o R  <_  x } )  -> 
k  e.  D )
841, 4, 65, 5, 3, 77, 78, 83psrmulval 16442 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  D )  /\  k  e.  { g  e.  D  |  g  o R  <_  x } )  -> 
( ( X  .X.  Y ) `  k
)  =  ( R 
gsumg  ( j  e.  {
h  e.  D  |  h  o R  <_  k }  |->  ( ( X `
 j ) ( .r `  R ) ( Y `  (
k  o F  -  j ) ) ) ) ) )
8584oveq1d 6088 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  D )  /\  k  e.  { g  e.  D  |  g  o R  <_  x } )  -> 
( ( ( X 
.X.  Y ) `  k ) ( .r
`  R ) ( Z `  ( x  o F  -  k
) ) )  =  ( ( R  gsumg  ( j  e.  { h  e.  D  |  h  o R  <_  k }  |->  ( ( X `  j ) ( .r
`  R ) ( Y `  ( k  o F  -  j
) ) ) ) ) ( .r `  R ) ( Z `
 ( x  o F  -  k ) ) ) )
86 eqid 2435 . . . . . . . 8  |-  ( 0g
`  R )  =  ( 0g `  R
)
87 eqid 2435 . . . . . . . 8  |-  ( +g  `  R )  =  ( +g  `  R )
886ad2antrr 707 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  D )  /\  k  e.  { g  e.  D  |  g  o R  <_  x } )  ->  R  e.  Ring )
8921ad2antrr 707 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  D )  /\  k  e.  { g  e.  D  |  g  o R  <_  x } )  ->  I  e.  V )
903psrbaglefi 16429 . . . . . . . . 9  |-  ( ( I  e.  V  /\  k  e.  D )  ->  { h  e.  D  |  h  o R  <_  k }  e.  Fin )
9189, 83, 90syl2anc 643 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  D )  /\  k  e.  { g  e.  D  |  g  o R  <_  x } )  ->  { h  e.  D  |  h  o R  <_  k }  e.  Fin )
9246ad2antrr 707 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  D )  /\  k  e.  { g  e.  D  |  g  o R  <_  x } )  ->  Z : D --> ( Base `  R ) )
93 simplr 732 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  D )  /\  k  e.  { g  e.  D  |  g  o R  <_  x } )  ->  x  e.  D )
943psrbagf 16424 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( I  e.  V  /\  k  e.  D )  ->  k : I --> NN0 )
9589, 83, 94syl2anc 643 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  D )  /\  k  e.  { g  e.  D  |  g  o R  <_  x } )  -> 
k : I --> NN0 )
9682simprd 450 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  D )  /\  k  e.  { g  e.  D  |  g  o R  <_  x } )  -> 
k  o R  <_  x )
973psrbagcon 16428 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( I  e.  V  /\  ( x  e.  D  /\  k : I --> NN0  /\  k  o R  <_  x
) )  ->  (
( x  o F  -  k )  e.  D  /\  ( x  o F  -  k
)  o R  <_  x ) )
9889, 93, 95, 96, 97syl13anc 1186 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  D )  /\  k  e.  { g  e.  D  |  g  o R  <_  x } )  -> 
( ( x  o F  -  k )  e.  D  /\  (
x  o F  -  k )  o R  <_  x ) )
9998simpld 446 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  D )  /\  k  e.  { g  e.  D  |  g  o R  <_  x } )  -> 
( x  o F  -  k )  e.  D )
10092, 99ffvelrnd 5863 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  D )  /\  k  e.  { g  e.  D  |  g  o R  <_  x } )  -> 
( Z `  (
x  o F  -  k ) )  e.  ( Base `  R
) )
10188adantr 452 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  D )  /\  k  e.  { g  e.  D  |  g  o R  <_  x } )  /\  j  e.  { h  e.  D  |  h  o R  <_  k } )  ->  R  e.  Ring )
10229ad3antrrr 711 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  D )  /\  k  e.  { g  e.  D  |  g  o R  <_  x } )  /\  j  e.  { h  e.  D  |  h  o R  <_  k } )  ->  X : D --> ( Base `  R ) )
103 simpr 448 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  D )  /\  k  e.  { g  e.  D  |  g  o R  <_  x } )  /\  j  e.  { h  e.  D  |  h  o R  <_  k } )  -> 
j  e.  { h  e.  D  |  h  o R  <_  k } )
104 breq1 4207 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( h  =  j  ->  (
h  o R  <_ 
k  <->  j  o R  <_  k ) )
105104elrab 3084 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( j  e.  { h  e.  D  |  h  o R  <_  k }  <->  ( j  e.  D  /\  j  o R  <_  k
) )
106103, 105sylib 189 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  D )  /\  k  e.  { g  e.  D  |  g  o R  <_  x } )  /\  j  e.  { h  e.  D  |  h  o R  <_  k } )  -> 
( j  e.  D  /\  j  o R  <_  k ) )
107106simpld 446 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  D )  /\  k  e.  { g  e.  D  |  g  o R  <_  x } )  /\  j  e.  { h  e.  D  |  h  o R  <_  k } )  -> 
j  e.  D )
108102, 107ffvelrnd 5863 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  D )  /\  k  e.  { g  e.  D  |  g  o R  <_  x } )  /\  j  e.  { h  e.  D  |  h  o R  <_  k } )  -> 
( X `  j
)  e.  ( Base `  R ) )
10938ad3antrrr 711 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  D )  /\  k  e.  { g  e.  D  |  g  o R  <_  x } )  /\  j  e.  { h  e.  D  |  h  o R  <_  k } )  ->  Y : D --> ( Base `  R ) )
11089adantr 452 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  D )  /\  k  e.  { g  e.  D  |  g  o R  <_  x } )  /\  j  e.  { h  e.  D  |  h  o R  <_  k } )  ->  I  e.  V )
11183adantr 452 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  D )  /\  k  e.  { g  e.  D  |  g  o R  <_  x } )  /\  j  e.  { h  e.  D  |  h  o R  <_  k } )  -> 
k  e.  D )
112110, 107, 51syl2anc 643 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  D )  /\  k  e.  { g  e.  D  |  g  o R  <_  x } )  /\  j  e.  { h  e.  D  |  h  o R  <_  k } )  -> 
j : I --> NN0 )
113106simprd 450 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  D )  /\  k  e.  { g  e.  D  |  g  o R  <_  x } )  /\  j  e.  { h  e.  D  |  h  o R  <_  k } )  -> 
j  o R  <_ 
k )
1143psrbagcon 16428 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( I  e.  V  /\  ( k  e.  D  /\  j : I --> NN0  /\  j  o R  <_  k
) )  ->  (
( k  o F  -  j )  e.  D  /\  ( k  o F  -  j
)  o R  <_ 
k ) )
115110, 111, 112, 113, 114syl13anc 1186 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  D )  /\  k  e.  { g  e.  D  |  g  o R  <_  x } )  /\  j  e.  { h  e.  D  |  h  o R  <_  k } )  -> 
( ( k  o F  -  j )  e.  D  /\  (
k  o F  -  j )  o R  <_  k ) )
116115simpld 446 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  D )  /\  k  e.  { g  e.  D  |  g  o R  <_  x } )  /\  j  e.  { h  e.  D  |  h  o R  <_  k } )  -> 
( k  o F  -  j )  e.  D )
117109, 116ffvelrnd 5863 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  D )  /\  k  e.  { g  e.  D  |  g  o R  <_  x } )  /\  j  e.  { h  e.  D  |  h  o R  <_  k } )  -> 
( Y `  (
k  o F  -  j ) )  e.  ( Base `  R
) )
1182, 65rngcl 15669 . . . . . . . . 9  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  ( X `  j )  e.  ( Base `  R
)  /\  ( Y `  ( k  o F  -  j ) )  e.  ( Base `  R
) )  ->  (
( X `  j
) ( .r `  R ) ( Y `
 ( k  o F  -  j ) ) )  e.  (
Base `  R )
)
119101, 108, 117, 118syl3anc 1184 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  D )  /\  k  e.  { g  e.  D  |  g  o R  <_  x } )  /\  j  e.  { h  e.  D  |  h  o R  <_  k } )  -> 
( ( X `  j ) ( .r
`  R ) ( Y `  ( k  o F  -  j
) ) )  e.  ( Base `  R
) )
120 eqid 2435 . . . . . . . . . 10  |-  ( j  e.  { h  e.  D  |  h  o R  <_  k }  |->  ( ( X `  j ) ( .r
`  R ) ( Y `  ( k  o F  -  j
) ) ) )  =  ( j  e. 
{ h  e.  D  |  h  o R  <_  k }  |->  ( ( X `  j ) ( .r `  R
) ( Y `  ( k  o F  -  j ) ) ) )
121119, 120fmptd 5885 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  D )  /\  k  e.  { g  e.  D  |  g  o R  <_  x } )  -> 
( j  e.  {
h  e.  D  |  h  o R  <_  k }  |->  ( ( X `
 j ) ( .r `  R ) ( Y `  (
k  o F  -  j ) ) ) ) : { h  e.  D  |  h  o R  <_  k } --> ( Base `  R
) )
12291, 121fisuppfi 14765 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  D )  /\  k  e.  { g  e.  D  |  g  o R  <_  x } )  -> 
( `' ( j  e.  { h  e.  D  |  h  o R  <_  k }  |->  ( ( X `  j ) ( .r
`  R ) ( Y `  ( k  o F  -  j
) ) ) )
" ( _V  \  { ( 0g `  R ) } ) )  e.  Fin )
1232, 86, 87, 65, 88, 91, 100, 119, 122gsummulc1 15705 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  D )  /\  k  e.  { g  e.  D  |  g  o R  <_  x } )  -> 
( R  gsumg  ( j  e.  {
h  e.  D  |  h  o R  <_  k }  |->  ( ( ( X `  j ) ( .r `  R
) ( Y `  ( k  o F  -  j ) ) ) ( .r `  R ) ( Z `
 ( x  o F  -  k ) ) ) ) )  =  ( ( R 
gsumg  ( j  e.  {
h  e.  D  |  h  o R  <_  k }  |->  ( ( X `
 j ) ( .r `  R ) ( Y `  (
k  o F  -  j ) ) ) ) ) ( .r
`  R ) ( Z `  ( x  o F  -  k
) ) ) )
124100adantr 452 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  D )  /\  k  e.  { g  e.  D  |  g  o R  <_  x } )  /\  j  e.  { h  e.  D  |  h  o R  <_  k } )  -> 
( Z `  (
x  o F  -  k ) )  e.  ( Base `  R
) )
1252, 65rngass 15672 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  (
( X `  j
)  e.  ( Base `  R )  /\  ( Y `  ( k  o F  -  j
) )  e.  (
Base `  R )  /\  ( Z `  (
x  o F  -  k ) )  e.  ( Base `  R
) ) )  -> 
( ( ( X `
 j ) ( .r `  R ) ( Y `  (
k  o F  -  j ) ) ) ( .r `  R
) ( Z `  ( x  o F  -  k ) ) )  =  ( ( X `  j ) ( .r `  R
) ( ( Y `
 ( k  o F  -  j ) ) ( .r `  R ) ( Z `
 ( x  o F  -  k ) ) ) ) )
126101, 108, 117, 124, 125syl13anc 1186 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  D )  /\  k  e.  { g  e.  D  |  g  o R  <_  x } )  /\  j  e.  { h  e.  D  |  h  o R  <_  k } )  -> 
( ( ( X `
 j ) ( .r `  R ) ( Y `  (
k  o F  -  j ) ) ) ( .r `  R
) ( Z `  ( x  o F  -  k ) ) )  =  ( ( X `  j ) ( .r `  R
) ( ( Y `
 ( k  o F  -  j ) ) ( .r `  R ) ( Z `
 ( x  o F  -  k ) ) ) ) )
1273psrbagf 16424 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( I  e.  V  /\  x  e.  D )  ->  x : I --> NN0 )
12821, 127sylan 458 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  x  e.  D )  ->  x : I --> NN0 )
129128ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  D )  /\  k  e.  { g  e.  D  |  g  o R  <_  x } )  /\  j  e.  { h  e.  D  |  h  o R  <_  k } )  ->  x : I --> NN0 )
130129ffvelrnda 5862 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  D )  /\  k  e.  {
g  e.  D  | 
g  o R  <_  x } )  /\  j  e.  { h  e.  D  |  h  o R  <_  k } )  /\  z  e.  I )  ->  ( x `  z
)  e.  NN0 )
13195adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  D )  /\  k  e.  { g  e.  D  |  g  o R  <_  x } )  /\  j  e.  { h  e.  D  |  h  o R  <_  k } )  -> 
k : I --> NN0 )
132131ffvelrnda 5862 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  D )  /\  k  e.  {
g  e.  D  | 
g  o R  <_  x } )  /\  j  e.  { h  e.  D  |  h  o R  <_  k } )  /\  z  e.  I )  ->  ( k `  z
)  e.  NN0 )
133112ffvelrnda 5862 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  D )  /\  k  e.  {
g  e.  D  | 
g  o R  <_  x } )  /\  j  e.  { h  e.  D  |  h  o R  <_  k } )  /\  z  e.  I )  ->  ( j `  z
)  e.  NN0 )
134 nn0cn 10223 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( x `  z )  e.  NN0  ->  ( x `
 z )  e.  CC )
135 nn0cn 10223 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( k `  z )  e.  NN0  ->  ( k `
 z )  e.  CC )
136 nn0cn 10223 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( j `  z )  e.  NN0  ->  ( j `
 z )  e.  CC )
137 nnncan2 9330 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( x `  z
)  e.  CC  /\  ( k `  z
)  e.  CC  /\  ( j `  z
)  e.  CC )  ->  ( ( ( x `  z )  -  ( j `  z ) )  -  ( ( k `  z )  -  (
j `  z )
) )  =  ( ( x `  z
)  -  ( k `
 z ) ) )
138134, 135, 136, 137syl3an 1226 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( x `  z
)  e.  NN0  /\  ( k `  z
)  e.  NN0  /\  ( j `  z
)  e.  NN0 )  ->  ( ( ( x `
 z )  -  ( j `  z
) )  -  (
( k `  z
)  -  ( j `
 z ) ) )  =  ( ( x `  z )  -  ( k `  z ) ) )
139130, 132, 133, 138syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  D )  /\  k  e.  {
g  e.  D  | 
g  o R  <_  x } )  /\  j  e.  { h  e.  D  |  h  o R  <_  k } )  /\  z  e.  I )  ->  ( ( ( x `
 z )  -  ( j `  z
) )  -  (
( k `  z
)  -  ( j `
 z ) ) )  =  ( ( x `  z )  -  ( k `  z ) ) )
140139mpteq2dva 4287 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  D )  /\  k  e.  { g  e.  D  |  g  o R  <_  x } )  /\  j  e.  { h  e.  D  |  h  o R  <_  k } )  -> 
( z  e.  I  |->  ( ( ( x `
 z )  -  ( j `  z
) )  -  (
( k `  z
)  -  ( j `
 z ) ) ) )  =  ( z  e.  I  |->  ( ( x `  z
)  -  ( k `
 z ) ) ) )
141 ovex 6098 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( x `  z )  -  ( j `  z ) )  e. 
_V
142141a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  D )  /\  k  e.  {
g  e.  D  | 
g  o R  <_  x } )  /\  j  e.  { h  e.  D  |  h  o R  <_  k } )  /\  z  e.  I )  ->  ( ( x `  z )  -  (
j `  z )
)  e.  _V )
143 ovex 6098 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( k `  z )  -  ( j `  z ) )  e. 
_V
144143a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  D )  /\  k  e.  {
g  e.  D  | 
g  o R  <_  x } )  /\  j  e.  { h  e.  D  |  h  o R  <_  k } )  /\  z  e.  I )  ->  ( ( k `  z )  -  (
j `  z )
)  e.  _V )
145129feqmptd 5771 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  D )  /\  k  e.  { g  e.  D  |  g  o R  <_  x } )  /\  j  e.  { h  e.  D  |  h  o R  <_  k } )  ->  x  =  ( z  e.  I  |->  ( x `
 z ) ) )
146112feqmptd 5771 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  D )  /\  k  e.  { g  e.  D  |  g  o R  <_  x } )  /\  j  e.  { h  e.  D  |  h  o R  <_  k } )  -> 
j  =  ( z  e.  I  |->  ( j `
 z ) ) )
147110, 130, 133, 145, 146offval2 6314 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  D )  /\  k  e.  { g  e.  D  |  g  o R  <_  x } )  /\  j  e.  { h  e.  D  |  h  o R  <_  k } )  -> 
( x  o F  -  j )  =  ( z  e.  I  |->  ( ( x `  z )  -  (
j `  z )
) ) )
148131feqmptd 5771 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  D )  /\  k  e.  { g  e.  D  |  g  o R  <_  x } )  /\  j  e.  { h  e.  D  |  h  o R  <_  k } )  -> 
k  =  ( z  e.  I  |->  ( k `
 z ) ) )
149110, 132, 133, 148, 146offval2 6314 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  D )  /\  k  e.  { g  e.  D  |  g  o R  <_  x } )  /\  j  e.  { h  e.  D  |  h  o R  <_  k } )  -> 
( k  o F  -  j )  =  ( z  e.  I  |->  ( ( k `  z )  -  (
j `  z )
) ) )
150110, 142, 144, 147, 149offval2 6314 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  D )  /\  k  e.  { g  e.  D  |  g  o R  <_  x } )  /\  j  e.  { h  e.  D  |  h  o R  <_  k } )  -> 
( ( x  o F  -  j )  o F  -  (
k  o F  -  j ) )  =  ( z  e.  I  |->  ( ( ( x `
 z )  -  ( j `  z
) )  -  (
( k `  z
)  -  ( j `
 z ) ) ) ) )
151110, 130, 132, 145, 148offval2 6314 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  D )  /\  k  e.  { g  e.  D  |  g  o R  <_  x } )  /\  j  e.  { h  e.  D  |  h  o R  <_  k } )  -> 
( x  o F  -  k )  =  ( z  e.  I  |->  ( ( x `  z )  -  (
k `  z )
) ) )
152140, 150, 1513eqtr4d 2477 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  D )  /\  k  e.  { g  e.  D  |  g  o R  <_  x } )  /\  j  e.  { h  e.  D  |  h  o R  <_  k } )  -> 
( ( x  o F  -  j )  o F  -  (
k  o F  -  j ) )  =  ( x  o F  -  k ) )
153152fveq2d 5724 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  D )  /\  k  e.  { g  e.  D  |  g  o R  <_  x } )  /\  j  e.  { h  e.  D  |  h  o R  <_  k } )  -> 
( Z `  (
( x  o F  -  j )  o F  -  ( k  o F  -  j
) ) )  =  ( Z `  (
x  o F  -  k ) ) )
154153oveq2d 6089 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  D )  /\  k  e.  { g  e.  D  |  g  o R  <_  x } )  /\  j  e.  { h  e.  D  |  h  o R  <_  k } )  -> 
( ( Y `  ( k  o F  -  j ) ) ( .r `  R
) ( Z `  ( ( x  o F  -  j )  o F  -  (
k  o F  -  j ) ) ) )  =  ( ( Y `  ( k  o F  -  j
) ) ( .r
`  R ) ( Z `  ( x  o F  -  k
) ) ) )
155154oveq2d 6089 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  D )  /\  k  e.  { g  e.  D  |  g  o R  <_  x } )  /\  j  e.  { h  e.  D  |  h  o R  <_  k } )  -> 
( ( X `  j ) ( .r
`  R ) ( ( Y `  (
k  o F  -  j ) ) ( .r `  R ) ( Z `  (
( x  o F  -  j )  o F  -  ( k  o F  -  j
) ) ) ) )  =  ( ( X `  j ) ( .r `  R
) ( ( Y `
 ( k  o F  -  j ) ) ( .r `  R ) ( Z `
 ( x  o F  -  k ) ) ) ) )
156126, 155eqtr4d 2470 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  D )  /\  k  e.  { g  e.  D  |  g  o R  <_  x } )  /\  j  e.  { h  e.  D  |  h  o R  <_  k } )  -> 
( ( ( X `
 j ) ( .r `  R ) ( Y `  (
k  o F  -  j ) ) ) ( .r `  R
) ( Z `  ( x  o F  -  k ) ) )  =  ( ( X `  j ) ( .r `  R
) ( ( Y `
 ( k  o F  -  j ) ) ( .r `  R ) ( Z `
 ( ( x  o F  -  j
)  o F  -  ( k  o F  -  j ) ) ) ) ) )
157156mpteq2dva 4287 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  D )  /\  k  e.  { g  e.  D  |  g  o R  <_  x } )  -> 
( j  e.  {
h  e.  D  |  h  o R  <_  k }  |->  ( ( ( X `  j ) ( .r `  R
) ( Y `  ( k  o F  -  j ) ) ) ( .r `  R ) ( Z `
 ( x  o F  -  k ) ) ) )  =  ( j  e.  {
h  e.  D  |  h  o R  <_  k }  |->  ( ( X `
 j ) ( .r `  R ) ( ( Y `  ( k  o F  -  j ) ) ( .r `  R
) ( Z `  ( ( x  o F  -  j )  o F  -  (
k  o F  -  j ) ) ) ) ) ) )
158157oveq2d 6089 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  D )  /\  k  e.  { g  e.  D  |  g  o R  <_  x } )  -> 
( R  gsumg  ( j  e.  {
h  e.  D  |  h  o R  <_  k }  |->  ( ( ( X `  j ) ( .r `  R
) ( Y `  ( k  o F  -  j ) ) ) ( .r `  R ) ( Z `
 ( x  o F  -  k ) ) ) ) )  =  ( R  gsumg  ( j  e.  { h  e.  D  |  h  o R  <_  k }  |->  ( ( X `  j ) ( .r
`  R ) ( ( Y `  (
k  o F  -  j ) ) ( .r `  R ) ( Z `  (
( x  o F  -  j )  o F  -  ( k  o F  -  j
) ) ) ) ) ) ) )
15985, 123, 1583eqtr2d 2473 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  D )  /\  k  e.  { g  e.  D  |  g  o R  <_  x } )  -> 
( ( ( X 
.X.  Y ) `  k ) ( .r
`  R ) ( Z `  ( x  o F  -  k
) ) )  =  ( R  gsumg  ( j  e.  {
h  e.  D  |  h  o R  <_  k }  |->  ( ( X `
 j ) ( .r `  R ) ( ( Y `  ( k  o F  -  j ) ) ( .r `  R
) ( Z `  ( ( x  o F  -  j )  o F  -  (
k  o F  -  j ) ) ) ) ) ) ) )
160159mpteq2dva 4287 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  D )  ->  (
k  e.  { g  e.  D  |  g  o R  <_  x }  |->  ( ( ( X  .X.  Y ) `  k ) ( .r
`  R ) ( Z `  ( x  o F  -  k
) ) ) )  =  ( k  e. 
{ g  e.  D  |  g  o R  <_  x }  |->  ( R 
gsumg  ( j  e.  {
h  e.  D  |  h  o R  <_  k }  |->  ( ( X `
 j ) ( .r `  R ) ( ( Y `  ( k  o F  -  j ) ) ( .r `  R
) ( Z `  ( ( x  o F  -  j )  o F  -  (
k  o F  -  j ) ) ) ) ) ) ) ) )
161160oveq2d 6089 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  D )  ->  ( R  gsumg  ( k  e.  {
g  e.  D  | 
g  o R  <_  x }  |->  ( ( ( X  .X.  Y
) `  k )
( .r `  R
) ( Z `  ( x  o F  -  k ) ) ) ) )  =  ( R  gsumg  ( k  e.  {
g  e.  D  | 
g  o R  <_  x }  |->  ( R 
gsumg  ( j  e.  {
h  e.  D  |  h  o R  <_  k }  |->  ( ( X `
 j ) ( .r `  R ) ( ( Y `  ( k  o F  -  j ) ) ( .r `  R
) ( Z `  ( ( x  o F  -  j )  o F  -  (
k  o F  -  j ) ) ) ) ) ) ) ) ) )
1628ad2antrr 707 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  D )  /\  j  e.  { g  e.  D  |  g  o R  <_  x } )  ->  Y  e.  B )
16310ad2antrr 707 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  D )  /\  j  e.  { g  e.  D  |  g  o R  <_  x } )  ->  Z  e.  B )
1641, 4, 65, 5, 3, 162, 163, 56psrmulval 16442 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  D )  /\  j  e.  { g  e.  D  |  g  o R  <_  x } )  -> 
( ( Y  .X.  Z ) `  (
x  o F  -  j ) )  =  ( R  gsumg  ( n  e.  {
h  e.  D  |  h  o R  <_  (
x  o F  -  j ) }  |->  ( ( Y `  n
) ( .r `  R ) ( Z `
 ( ( x  o F  -  j
)  o F  -  n ) ) ) ) ) )
165164oveq2d 6089 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  D )  /\  j  e.  { g  e.  D  |  g  o R  <_  x } )  -> 
( ( X `  j ) ( .r
`  R ) ( ( Y  .X.  Z
) `  ( x  o F  -  j
) ) )  =  ( ( X `  j ) ( .r
`  R ) ( R  gsumg  ( n  e.  {
h  e.  D  |  h  o R  <_  (
x  o F  -  j ) }  |->  ( ( Y `  n
) ( .r `  R ) ( Z `
 ( ( x  o F  -  j
)  o F  -  n ) ) ) ) ) ) )
1663psrbaglefi 16429 . . . . . . . . 9  |-  ( ( I  e.  V  /\  ( x  o F  -  j )  e.  D )  ->  { h  e.  D  |  h  o R  <_  ( x  o F  -  j
) }  e.  Fin )
16748, 56, 166syl2anc 643 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  D )  /\  j  e.  { g  e.  D  |  g  o R  <_  x } )  ->  { h  e.  D  |  h  o R  <_  ( x  o F  -  j ) }  e.  Fin )
168 cnvimass 5216 . . . . . . . . . 10  |-  ( `' ( n  e.  {
h  e.  D  |  h  o R  <_  (
x  o F  -  j ) }  |->  ( ( Y `  n
) ( .r `  R ) ( Z `
 ( ( x  o F  -  j
)  o F  -  n ) ) ) ) " ( _V 
\  { ( 0g
`  R ) } ) )  C_  dom  ( n  e.  { h  e.  D  |  h  o R  <_  ( x  o F  -  j
) }  |->  ( ( Y `  n ) ( .r `  R
) ( Z `  ( ( x  o F  -  j )  o F  -  n
) ) ) )
169 eqid 2435 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  e.  { h  e.  D  |  h  o R  <_  ( x  o F  -  j
) }  |->  ( ( Y `  n ) ( .r `  R
) ( Z `  ( ( x  o F  -  j )  o F  -  n
) ) ) )  =  ( n  e. 
{ h  e.  D  |  h  o R  <_  ( x  o F  -  j ) } 
|->  ( ( Y `  n ) ( .r
`  R ) ( Z `  ( ( x  o F  -  j )  o F  -  n ) ) ) )
170169dmmptss 5358 . . . . . . . . . 10  |-  dom  (
n  e.  { h  e.  D  |  h  o R  <_  ( x  o F  -  j
) }  |->  ( ( Y `  n ) ( .r `  R
) ( Z `  ( ( x  o F  -  j )  o F  -  n
) ) ) ) 
C_  { h  e.  D  |  h  o R  <_  ( x  o F  -  j
) }
171168, 170sstri 3349 . . . . . . . . 9  |-  ( `' ( n  e.  {
h  e.  D  |  h  o R  <_  (
x  o F  -  j ) }  |->  ( ( Y `  n
) ( .r `  R ) ( Z `
 ( ( x  o F  -  j
)  o F  -  n ) ) ) ) " ( _V 
\  { ( 0g
`  R ) } ) )  C_  { h  e.  D  |  h  o R  <_  ( x  o F  -  j
) }
172 ssfi 7321 . . . . . . . . 9  |-  ( ( { h  e.  D  |  h  o R  <_  ( x  o F  -  j ) }  e.  Fin  /\  ( `' ( n  e. 
{ h  e.  D  |  h  o R  <_  ( x  o F  -  j ) } 
|->  ( ( Y `  n ) ( .r
`  R ) ( Z `  ( ( x  o F  -  j )  o F  -  n ) ) ) ) " ( _V  \  { ( 0g
`  R ) } ) )  C_  { h  e.  D  |  h  o R  <_  ( x  o F  -  j
) } )  -> 
( `' ( n  e.  { h  e.  D  |  h  o R  <_  ( x  o F  -  j
) }  |->  ( ( Y `  n ) ( .r `  R
) ( Z `  ( ( x  o F  -  j )  o F  -  n
) ) ) )
" ( _V  \  { ( 0g `  R ) } ) )  e.  Fin )
173167, 171, 172sylancl 644 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  D )  /\  j  e.  { g  e.  D  |  g  o R  <_  x } )  -> 
( `' ( n  e.  { h  e.  D  |  h  o R  <_  ( x  o F  -  j
) }  |->  ( ( Y `  n ) ( .r `  R
) ( Z `  ( ( x  o F  -  j )  o F  -  n
) ) ) )
" ( _V  \  { ( 0g `  R ) } ) )  e.  Fin )
1742, 86, 87, 65, 27, 167, 36, 67, 173gsummulc2 15706 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  D )  /\  j  e.  { g  e.  D  |  g  o R  <_  x } )  -> 
( R  gsumg  ( n  e.  {
h  e.  D  |  h  o R  <_  (
x  o F  -  j ) }  |->  ( ( X `  j
) ( .r `  R ) ( ( Y `  n ) ( .r `  R
) ( Z `  ( ( x  o F  -  j )  o F  -  n
) ) ) ) ) )  =  ( ( X `  j
) ( .r `  R ) ( R 
gsumg  ( n  e.  { h  e.  D  |  h  o R  <_  ( x  o F  -  j
) }  |->  ( ( Y `  n ) ( .r `  R
) ( Z `  ( ( x  o F  -  j )  o F  -  n
) ) ) ) ) ) )
175165, 174eqtr4d 2470 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  D )  /\  j  e.  { g  e.  D  |  g  o R  <_  x } )  -> 
( ( X `  j ) ( .r
`  R ) ( ( Y  .X.  Z
) `  ( x  o F  -  j
) ) )  =  ( R  gsumg  ( n  e.  {
h  e.  D  |  h  o R  <_  (
x  o F  -  j ) }  |->  ( ( X `  j
) ( .r `  R ) ( ( Y `  n ) ( .r `  R
) ( Z `  ( ( x  o F  -  j )  o F  -  n
) ) ) ) ) ) )
176175mpteq2dva 4287 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  D )  ->  (
j  e.  { g  e.  D  |  g  o R  <_  x }  |->  ( ( X `
 j ) ( .r `  R ) ( ( Y  .X.  Z ) `  (
x  o F  -  j ) ) ) )  =  ( j  e.  { g  e.  D  |  g  o R  <_  x }  |->  ( R  gsumg  ( n  e.  {
h  e.  D  |  h  o R  <_  (
x  o F  -  j ) }  |->  ( ( X `  j
) ( .r `  R ) ( ( Y `  n ) ( .r `  R
) ( Z `  ( ( x  o F  -  j )  o F  -  n
) ) ) ) ) ) ) )
177176oveq2d 6089 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  D )  ->  ( R  gsumg  ( j  e.  {
g  e.  D  | 
g  o R  <_  x }  |->  ( ( X `  j ) ( .r `  R
) ( ( Y 
.X.  Z ) `  ( x  o F  -  j ) ) ) ) )  =  ( R  gsumg  ( j  e.  {
g  e.  D  | 
g  o R  <_  x }  |->  ( R 
gsumg  ( n  e.  { h  e.  D  |  h  o R  <_  ( x  o F  -  j
) }  |->  ( ( X `  j ) ( .r `  R
) ( ( Y `
 n ) ( .r `  R ) ( Z `  (
( x  o F  -  j )  o F  -  n ) ) ) ) ) ) ) ) )
17876, 161, 1773eqtr4d 2477 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  D )  ->  ( R  gsumg  ( k  e.  {
g  e.  D  | 
g  o R  <_  x }  |->  ( ( ( X  .X.  Y
) `  k )
( .r `  R
) ( Z `  ( x  o F  -  k ) ) ) ) )  =  ( R  gsumg  ( j  e.  {
g  e.  D  | 
g  o R  <_  x }  |->  ( ( X `  j ) ( .r `  R
) ( ( Y 
.X.  Z ) `  ( x  o F  -  j ) ) ) ) ) )
1799adantr 452 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  D )  ->  ( X  .X.  Y )  e.  B )
18010adantr 452 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  D )  ->  Z  e.  B )
1811, 4, 65, 5, 3, 179, 180, 23psrmulval 16442 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  D )  ->  (
( ( X  .X.  Y )  .X.  Z
) `  x )  =  ( R  gsumg  ( k  e.  { g  e.  D  |  g  o R  <_  x }  |->  ( ( ( X 
.X.  Y ) `  k ) ( .r
`  R ) ( Z `  ( x  o F  -  k
) ) ) ) ) )
1827adantr 452 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  D )  ->  X  e.  B )
18315adantr 452 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  D )  ->  ( Y  .X.  Z )  e.  B )
1841, 4, 65, 5, 3, 182, 183, 23psrmulval 16442 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  D )  ->  (
( X  .X.  ( Y  .X.  Z ) ) `
 x )  =  ( R  gsumg  ( j  e.  {
g  e.  D  | 
g  o R  <_  x }  |->  ( ( X `  j ) ( .r `  R
) ( ( Y 
.X.  Z ) `  ( x  o F  -  j ) ) ) ) ) )
185178, 181, 1843eqtr4d 2477 . 2  |-  ( (
ph  /\  x  e.  D )  ->  (
( ( X  .X.  Y )  .X.  Z
) `  x )  =  ( ( X 
.X.  ( Y  .X.  Z ) ) `  x ) )
18614, 19, 185eqfnfvd 5822 1  |-  ( ph  ->  ( ( X  .X.  Y )  .X.  Z
)  =  ( X 
.X.  ( Y  .X.  Z ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    = wceq 1652    e. wcel 1725   {crab 2701   _Vcvv 2948    \ cdif 3309    C_ wss 3312   {csn 3806   class class class wbr 4204    e. cmpt 4258   `'ccnv 4869   dom cdm 4870   "cima 4873    Fn wfn 5441   -->wf 5442   ` cfv 5446  (class class class)co 6073    o Fcof 6295    o Rcofr 6296    ^m cmap 7010   Fincfn 7101   CCcc 8980    <_ cle 9113    - cmin 9283   NNcn 9992   NN0cn0 10213   Basecbs 13461   +g cplusg 13521   .rcmulr 13522   0gc0g 13715    gsumg cgsu 13716  CMndccmn 15404   Ringcrg 15652   mPwSer cmps 16398
This theorem is referenced by:  psrrng  16466
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-inf2 7588  ax-cnex 9038  ax-resscn 9039  ax-1cn 9040  ax-icn 9041  ax-addcl 9042  ax-addrcl 9043  ax-mulcl 9044  ax-mulrcl 9045  ax-mulcom 9046  ax-addass 9047  ax-mulass 9048  ax-distr 9049  ax-i2m1 9050  ax-1ne0 9051  ax-1rid 9052  ax-rnegex 9053  ax-rrecex 9054  ax-cnre 9055  ax-pre-lttri 9056  ax-pre-lttrn 9057  ax-pre-ltadd 9058  ax-pre-mulgt0 9059
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rmo 2705  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-int 4043  df-iun 4087  df-iin 4088  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-se 4534  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-isom 5455  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-of 6297  df-ofr 6298  df-1st 6341  df-2nd 6342  df-riota 6541  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-1o 6716  df-2o 6717  df-oadd 6720  df-er 6897  df-map 7012  df-pm 7013  df-ixp 7056  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-fin 7105  df-oi 7471  df-card 7818  df-pnf 9114  df-mnf 9115  df-xr 9116  df-ltxr 9117  df-le 9118  df-sub 9285  df-neg 9286  df-nn 9993  df-2 10050  df-3 10051  df-4 10052  df-5 10053  df-6 10054  df-7 10055  df-8 10056  df-9 10057  df-n0 10214  df-z 10275  df-uz 10481  df-fz 11036  df-fzo 11128  df-seq 11316  df-hash 11611  df-struct 13463  df-ndx 13464  df-slot 13465  df-base 13466  df-sets 13467  df-ress 13468  df-plusg 13534  df-mulr 13535  df-sca 13537  df-vsca 13538  df-tset 13540  df-0g 13719  df-gsum 13720  df-mre 13803  df-mrc 13804  df-acs 13806  df-mnd 14682  df-mhm 14730  df-submnd 14731  df-grp 14804  df-minusg 14805  df-mulg 14807  df-ghm 14996  df-cntz 15108  df-cmn 15406  df-abl 15407  df-mgp 15641  df-rng 15655  df-ur 15657  df-psr 16409
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