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Theorem psrass1 16166
Description: Associative identity for the ring of power series. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
psrrng.s  |-  S  =  ( I mPwSer  R )
psrrng.i  |-  ( ph  ->  I  e.  V )
psrrng.r  |-  ( ph  ->  R  e.  Ring )
psrass.d  |-  D  =  { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f
" NN )  e. 
Fin }
psrass.t  |-  .X.  =  ( .r `  S )
psrass.b  |-  B  =  ( Base `  S
)
psrass.x  |-  ( ph  ->  X  e.  B )
psrass.y  |-  ( ph  ->  Y  e.  B )
psrass.z  |-  ( ph  ->  Z  e.  B )
Assertion
Ref Expression
psrass1  |-  ( ph  ->  ( ( X  .X.  Y )  .X.  Z
)  =  ( X 
.X.  ( Y  .X.  Z ) ) )
Distinct variable groups:    f, I    R, f    f, X    f, Z    f, Y
Allowed substitution hints:    ph( f)    B( f)    D( f)    S( f)    .X. ( f)    V( f)

Proof of Theorem psrass1
Dummy variables  x  k  z  g  h  j  n are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 psrrng.s . . . 4  |-  S  =  ( I mPwSer  R )
2 eqid 2296 . . . 4  |-  ( Base `  R )  =  (
Base `  R )
3 psrass.d . . . 4  |-  D  =  { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f
" NN )  e. 
Fin }
4 psrass.b . . . 4  |-  B  =  ( Base `  S
)
5 psrass.t . . . . 5  |-  .X.  =  ( .r `  S )
6 psrrng.r . . . . 5  |-  ( ph  ->  R  e.  Ring )
7 psrass.x . . . . . 6  |-  ( ph  ->  X  e.  B )
8 psrass.y . . . . . 6  |-  ( ph  ->  Y  e.  B )
91, 4, 5, 6, 7, 8psrmulcl 16149 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( X  .X.  Y
)  e.  B )
10 psrass.z . . . . 5  |-  ( ph  ->  Z  e.  B )
111, 4, 5, 6, 9, 10psrmulcl 16149 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( X  .X.  Y )  .X.  Z
)  e.  B )
121, 2, 3, 4, 11psrelbas 16141 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( X  .X.  Y )  .X.  Z
) : D --> ( Base `  R ) )
13 ffn 5405 . . 3  |-  ( ( ( X  .X.  Y
)  .X.  Z ) : D --> ( Base `  R
)  ->  ( ( X  .X.  Y )  .X.  Z )  Fn  D
)
1412, 13syl 15 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( X  .X.  Y )  .X.  Z
)  Fn  D )
151, 4, 5, 6, 8, 10psrmulcl 16149 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( Y  .X.  Z
)  e.  B )
161, 4, 5, 6, 7, 15psrmulcl 16149 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( X  .X.  ( Y  .X.  Z ) )  e.  B )
171, 2, 3, 4, 16psrelbas 16141 . . 3  |-  ( ph  ->  ( X  .X.  ( Y  .X.  Z ) ) : D --> ( Base `  R ) )
18 ffn 5405 . . 3  |-  ( ( X  .X.  ( Y  .X.  Z ) ) : D --> ( Base `  R
)  ->  ( X  .X.  ( Y  .X.  Z
) )  Fn  D
)
1917, 18syl 15 . 2  |-  ( ph  ->  ( X  .X.  ( Y  .X.  Z ) )  Fn  D )
20 eqid 2296 . . . 4  |-  ( .r
`  R )  =  ( .r `  R
)
219adantr 451 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  D )  ->  ( X  .X.  Y )  e.  B )
2210adantr 451 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  D )  ->  Z  e.  B )
23 simpr 447 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  D )  ->  x  e.  D )
241, 4, 20, 5, 3, 21, 22, 23psrmulval 16147 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  D )  ->  (
( ( X  .X.  Y )  .X.  Z
) `  x )  =  ( R  gsumg  ( k  e.  { g  e.  D  |  g  o R  <_  x }  |->  ( ( ( X 
.X.  Y ) `  k ) ( .r
`  R ) ( Z `  ( x  o F  -  k
) ) ) ) ) )
257adantr 451 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  D )  ->  X  e.  B )
2615adantr 451 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  D )  ->  ( Y  .X.  Z )  e.  B )
271, 4, 20, 5, 3, 25, 26, 23psrmulval 16147 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  D )  ->  (
( X  .X.  ( Y  .X.  Z ) ) `
 x )  =  ( R  gsumg  ( j  e.  {
g  e.  D  | 
g  o R  <_  x }  |->  ( ( X `  j ) ( .r `  R
) ( ( Y 
.X.  Z ) `  ( x  o F  -  j ) ) ) ) ) )
287ad2antrr 706 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  D )  /\  k  e.  { g  e.  D  |  g  o R  <_  x } )  ->  X  e.  B )
298ad2antrr 706 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  D )  /\  k  e.  { g  e.  D  |  g  o R  <_  x } )  ->  Y  e.  B )
30 simpr 447 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  D )  /\  k  e.  { g  e.  D  |  g  o R  <_  x } )  -> 
k  e.  { g  e.  D  |  g  o R  <_  x } )
31 breq1 4042 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( g  =  k  ->  (
g  o R  <_  x 
<->  k  o R  <_  x ) )
3231elrab 2936 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  e.  { g  e.  D  |  g  o R  <_  x }  <->  ( k  e.  D  /\  k  o R  <_  x
) )
3330, 32sylib 188 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  D )  /\  k  e.  { g  e.  D  |  g  o R  <_  x } )  -> 
( k  e.  D  /\  k  o R  <_  x ) )
3433simpld 445 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  D )  /\  k  e.  { g  e.  D  |  g  o R  <_  x } )  -> 
k  e.  D )
351, 4, 20, 5, 3, 28, 29, 34psrmulval 16147 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  D )  /\  k  e.  { g  e.  D  |  g  o R  <_  x } )  -> 
( ( X  .X.  Y ) `  k
)  =  ( R 
gsumg  ( j  e.  {
h  e.  D  |  h  o R  <_  k }  |->  ( ( X `
 j ) ( .r `  R ) ( Y `  (
k  o F  -  j ) ) ) ) ) )
3635oveq1d 5889 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  D )  /\  k  e.  { g  e.  D  |  g  o R  <_  x } )  -> 
( ( ( X 
.X.  Y ) `  k ) ( .r
`  R ) ( Z `  ( x  o F  -  k
) ) )  =  ( ( R  gsumg  ( j  e.  { h  e.  D  |  h  o R  <_  k }  |->  ( ( X `  j ) ( .r
`  R ) ( Y `  ( k  o F  -  j
) ) ) ) ) ( .r `  R ) ( Z `
 ( x  o F  -  k ) ) ) )
37 eqid 2296 . . . . . . . . 9  |-  ( 0g
`  R )  =  ( 0g `  R
)
38 eqid 2296 . . . . . . . . 9  |-  ( +g  `  R )  =  ( +g  `  R )
396ad2antrr 706 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  D )  /\  k  e.  { g  e.  D  |  g  o R  <_  x } )  ->  R  e.  Ring )
40 psrrng.i . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  I  e.  V )
4140ad2antrr 706 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  D )  /\  k  e.  { g  e.  D  |  g  o R  <_  x } )  ->  I  e.  V )
423psrbaglefi 16134 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( I  e.  V  /\  k  e.  D )  ->  { h  e.  D  |  h  o R  <_  k }  e.  Fin )
4341, 34, 42syl2anc 642 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  D )  /\  k  e.  { g  e.  D  |  g  o R  <_  x } )  ->  { h  e.  D  |  h  o R  <_  k }  e.  Fin )
441, 2, 3, 4, 10psrelbas 16141 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  Z : D --> ( Base `  R ) )
4544ad2antrr 706 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  D )  /\  k  e.  { g  e.  D  |  g  o R  <_  x } )  ->  Z : D --> ( Base `  R ) )
46 simplr 731 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  D )  /\  k  e.  { g  e.  D  |  g  o R  <_  x } )  ->  x  e.  D )
473psrbagf 16129 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( I  e.  V  /\  k  e.  D )  ->  k : I --> NN0 )
4841, 34, 47syl2anc 642 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  D )  /\  k  e.  { g  e.  D  |  g  o R  <_  x } )  -> 
k : I --> NN0 )
4933simprd 449 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  D )  /\  k  e.  { g  e.  D  |  g  o R  <_  x } )  -> 
k  o R  <_  x )
503psrbagcon 16133 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( I  e.  V  /\  ( x  e.  D  /\  k : I --> NN0  /\  k  o R  <_  x
) )  ->  (
( x  o F  -  k )  e.  D  /\  ( x  o F  -  k
)  o R  <_  x ) )
5141, 46, 48, 49, 50syl13anc 1184 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  D )  /\  k  e.  { g  e.  D  |  g  o R  <_  x } )  -> 
( ( x  o F  -  k )  e.  D  /\  (
x  o F  -  k )  o R  <_  x ) )
5251simpld 445 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  D )  /\  k  e.  { g  e.  D  |  g  o R  <_  x } )  -> 
( x  o F  -  k )  e.  D )
53 ffvelrn 5679 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( Z : D --> ( Base `  R )  /\  (
x  o F  -  k )  e.  D
)  ->  ( Z `  ( x  o F  -  k ) )  e.  ( Base `  R
) )
5445, 52, 53syl2anc 642 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  D )  /\  k  e.  { g  e.  D  |  g  o R  <_  x } )  -> 
( Z `  (
x  o F  -  k ) )  e.  ( Base `  R
) )
5539adantr 451 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  D )  /\  k  e.  { g  e.  D  |  g  o R  <_  x } )  /\  j  e.  { h  e.  D  |  h  o R  <_  k } )  ->  R  e.  Ring )
561, 2, 3, 4, 7psrelbas 16141 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  X : D --> ( Base `  R ) )
5756ad3antrrr 710 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  D )  /\  k  e.  { g  e.  D  |  g  o R  <_  x } )  /\  j  e.  { h  e.  D  |  h  o R  <_  k } )  ->  X : D --> ( Base `  R ) )
58 simpr 447 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  D )  /\  k  e.  { g  e.  D  |  g  o R  <_  x } )  /\  j  e.  { h  e.  D  |  h  o R  <_  k } )  -> 
j  e.  { h  e.  D  |  h  o R  <_  k } )
59 breq1 4042 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( h  =  j  ->  (
h  o R  <_ 
k  <->  j  o R  <_  k ) )
6059elrab 2936 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( j  e.  { h  e.  D  |  h  o R  <_  k }  <->  ( j  e.  D  /\  j  o R  <_  k
) )
6158, 60sylib 188 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  D )  /\  k  e.  { g  e.  D  |  g  o R  <_  x } )  /\  j  e.  { h  e.  D  |  h  o R  <_  k } )  -> 
( j  e.  D  /\  j  o R  <_  k ) )
6261simpld 445 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  D )  /\  k  e.  { g  e.  D  |  g  o R  <_  x } )  /\  j  e.  { h  e.  D  |  h  o R  <_  k } )  -> 
j  e.  D )
63 ffvelrn 5679 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( X : D --> ( Base `  R )  /\  j  e.  D )  ->  ( X `  j )  e.  ( Base `  R
) )
6457, 62, 63syl2anc 642 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  D )  /\  k  e.  { g  e.  D  |  g  o R  <_  x } )  /\  j  e.  { h  e.  D  |  h  o R  <_  k } )  -> 
( X `  j
)  e.  ( Base `  R ) )
651, 2, 3, 4, 8psrelbas 16141 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  Y : D --> ( Base `  R ) )
6665ad3antrrr 710 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  D )  /\  k  e.  { g  e.  D  |  g  o R  <_  x } )  /\  j  e.  { h  e.  D  |  h  o R  <_  k } )  ->  Y : D --> ( Base `  R ) )
6741adantr 451 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  D )  /\  k  e.  { g  e.  D  |  g  o R  <_  x } )  /\  j  e.  { h  e.  D  |  h  o R  <_  k } )  ->  I  e.  V )
6834adantr 451 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  D )  /\  k  e.  { g  e.  D  |  g  o R  <_  x } )  /\  j  e.  { h  e.  D  |  h  o R  <_  k } )  -> 
k  e.  D )
693psrbagf 16129 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( I  e.  V  /\  j  e.  D )  ->  j : I --> NN0 )
7067, 62, 69syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  D )  /\  k  e.  { g  e.  D  |  g  o R  <_  x } )  /\  j  e.  { h  e.  D  |  h  o R  <_  k } )  -> 
j : I --> NN0 )
7161simprd 449 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  D )  /\  k  e.  { g  e.  D  |  g  o R  <_  x } )  /\  j  e.  { h  e.  D  |  h  o R  <_  k } )  -> 
j  o R  <_ 
k )
723psrbagcon 16133 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( I  e.  V  /\  ( k  e.  D  /\  j : I --> NN0  /\  j  o R  <_  k
) )  ->  (
( k  o F  -  j )  e.  D  /\  ( k  o F  -  j
)  o R  <_ 
k ) )
7367, 68, 70, 71, 72syl13anc 1184 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  D )  /\  k  e.  { g  e.  D  |  g  o R  <_  x } )  /\  j  e.  { h  e.  D  |  h  o R  <_  k } )  -> 
( ( k  o F  -  j )  e.  D  /\  (
k  o F  -  j )  o R  <_  k ) )
7473simpld 445 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  D )  /\  k  e.  { g  e.  D  |  g  o R  <_  x } )  /\  j  e.  { h  e.  D  |  h  o R  <_  k } )  -> 
( k  o F  -  j )  e.  D )
75 ffvelrn 5679 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( Y : D --> ( Base `  R )  /\  (
k  o F  -  j )  e.  D
)  ->  ( Y `  ( k  o F  -  j ) )  e.  ( Base `  R
) )
7666, 74, 75syl2anc 642 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  D )  /\  k  e.  { g  e.  D  |  g  o R  <_  x } )  /\  j  e.  { h  e.  D  |  h  o R  <_  k } )  -> 
( Y `  (
k  o F  -  j ) )  e.  ( Base `  R
) )
772, 20rngcl 15370 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  ( X `  j )  e.  ( Base `  R
)  /\  ( Y `  ( k  o F  -  j ) )  e.  ( Base `  R
) )  ->  (
( X `  j
) ( .r `  R ) ( Y `
 ( k  o F  -  j ) ) )  e.  (
Base `  R )
)
7855, 64, 76, 77syl3anc 1182 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  D )  /\  k  e.  { g  e.  D  |  g  o R  <_  x } )  /\  j  e.  { h  e.  D  |  h  o R  <_  k } )  -> 
( ( X `  j ) ( .r
`  R ) ( Y `  ( k  o F  -  j
) ) )  e.  ( Base `  R
) )
79 eqid 2296 . . . . . . . . . . 11  |-  ( j  e.  { h  e.  D  |  h  o R  <_  k }  |->  ( ( X `  j ) ( .r
`  R ) ( Y `  ( k  o F  -  j
) ) ) )  =  ( j  e. 
{ h  e.  D  |  h  o R  <_  k }  |->  ( ( X `  j ) ( .r `  R
) ( Y `  ( k  o F  -  j ) ) ) )
8078, 79fmptd 5700 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  D )  /\  k  e.  { g  e.  D  |  g  o R  <_  x } )  -> 
( j  e.  {
h  e.  D  |  h  o R  <_  k }  |->  ( ( X `
 j ) ( .r `  R ) ( Y `  (
k  o F  -  j ) ) ) ) : { h  e.  D  |  h  o R  <_  k } --> ( Base `  R
) )
8143, 80fisuppfi 14466 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  D )  /\  k  e.  { g  e.  D  |  g  o R  <_  x } )  -> 
( `' ( j  e.  { h  e.  D  |  h  o R  <_  k }  |->  ( ( X `  j ) ( .r
`  R ) ( Y `  ( k  o F  -  j
) ) ) )
" ( _V  \  { ( 0g `  R ) } ) )  e.  Fin )
822, 37, 38, 20, 39, 43, 54, 78, 81gsummulc1 15406 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  D )  /\  k  e.  { g  e.  D  |  g  o R  <_  x } )  -> 
( R  gsumg  ( j  e.  {
h  e.  D  |  h  o R  <_  k }  |->  ( ( ( X `  j ) ( .r `  R
) ( Y `  ( k  o F  -  j ) ) ) ( .r `  R ) ( Z `
 ( x  o F  -  k ) ) ) ) )  =  ( ( R 
gsumg  ( j  e.  {
h  e.  D  |  h  o R  <_  k }  |->  ( ( X `
 j ) ( .r `  R ) ( Y `  (
k  o F  -  j ) ) ) ) ) ( .r
`  R ) ( Z `  ( x  o F  -  k
) ) ) )
8354adantr 451 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  D )  /\  k  e.  { g  e.  D  |  g  o R  <_  x } )  /\  j  e.  { h  e.  D  |  h  o R  <_  k } )  -> 
( Z `  (
x  o F  -  k ) )  e.  ( Base `  R
) )
842, 20rngass 15373 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  (
( X `  j
)  e.  ( Base `  R )  /\  ( Y `  ( k  o F  -  j
) )  e.  (
Base `  R )  /\  ( Z `  (
x  o F  -  k ) )  e.  ( Base `  R
) ) )  -> 
( ( ( X `
 j ) ( .r `  R ) ( Y `  (
k  o F  -  j ) ) ) ( .r `  R
) ( Z `  ( x  o F  -  k ) ) )  =  ( ( X `  j ) ( .r `  R
) ( ( Y `
 ( k  o F  -  j ) ) ( .r `  R ) ( Z `
 ( x  o F  -  k ) ) ) ) )
8555, 64, 76, 83, 84syl13anc 1184 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  D )  /\  k  e.  { g  e.  D  |  g  o R  <_  x } )  /\  j  e.  { h  e.  D  |  h  o R  <_  k } )  -> 
( ( ( X `
 j ) ( .r `  R ) ( Y `  (
k  o F  -  j ) ) ) ( .r `  R
) ( Z `  ( x  o F  -  k ) ) )  =  ( ( X `  j ) ( .r `  R
) ( ( Y `
 ( k  o F  -  j ) ) ( .r `  R ) ( Z `
 ( x  o F  -  k ) ) ) ) )
86 ovex 5899 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( x `  z )  -  ( j `  z ) )  e. 
_V
8786a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  D )  /\  k  e.  {
g  e.  D  | 
g  o R  <_  x } )  /\  j  e.  { h  e.  D  |  h  o R  <_  k } )  /\  z  e.  I )  ->  ( ( x `  z )  -  (
j `  z )
)  e.  _V )
88 ovex 5899 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( k `  z )  -  ( j `  z ) )  e. 
_V
8988a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  D )  /\  k  e.  {
g  e.  D  | 
g  o R  <_  x } )  /\  j  e.  { h  e.  D  |  h  o R  <_  k } )  /\  z  e.  I )  ->  ( ( k `  z )  -  (
j `  z )
)  e.  _V )
903psrbagf 16129 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( I  e.  V  /\  x  e.  D )  ->  x : I --> NN0 )
9140, 90sylan 457 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  x  e.  D )  ->  x : I --> NN0 )
9291ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  D )  /\  k  e.  { g  e.  D  |  g  o R  <_  x } )  /\  j  e.  { h  e.  D  |  h  o R  <_  k } )  ->  x : I --> NN0 )
93 ffvelrn 5679 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( x : I --> NN0  /\  z  e.  I )  ->  ( x `  z
)  e.  NN0 )
9492, 93sylan 457 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  D )  /\  k  e.  {
g  e.  D  | 
g  o R  <_  x } )  /\  j  e.  { h  e.  D  |  h  o R  <_  k } )  /\  z  e.  I )  ->  ( x `  z
)  e.  NN0 )
95 ffvelrn 5679 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( j : I --> NN0  /\  z  e.  I )  ->  ( j `  z
)  e.  NN0 )
9670, 95sylan 457 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  D )  /\  k  e.  {
g  e.  D  | 
g  o R  <_  x } )  /\  j  e.  { h  e.  D  |  h  o R  <_  k } )  /\  z  e.  I )  ->  ( j `  z
)  e.  NN0 )
9792feqmptd 5591 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  D )  /\  k  e.  { g  e.  D  |  g  o R  <_  x } )  /\  j  e.  { h  e.  D  |  h  o R  <_  k } )  ->  x  =  ( z  e.  I  |->  ( x `
 z ) ) )
9870feqmptd 5591 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  D )  /\  k  e.  { g  e.  D  |  g  o R  <_  x } )  /\  j  e.  { h  e.  D  |  h  o R  <_  k } )  -> 
j  =  ( z  e.  I  |->  ( j `
 z ) ) )
9967, 94, 96, 97, 98offval2 6111 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  D )  /\  k  e.  { g  e.  D  |  g  o R  <_  x } )  /\  j  e.  { h  e.  D  |  h  o R  <_  k } )  -> 
( x  o F  -  j )  =  ( z  e.  I  |->  ( ( x `  z )  -  (
j `  z )
) ) )
10048adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  D )  /\  k  e.  { g  e.  D  |  g  o R  <_  x } )  /\  j  e.  { h  e.  D  |  h  o R  <_  k } )  -> 
k : I --> NN0 )
101 ffvelrn 5679 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( k : I --> NN0  /\  z  e.  I )  ->  ( k `  z
)  e.  NN0 )
102100, 101sylan 457 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  D )  /\  k  e.  {
g  e.  D  | 
g  o R  <_  x } )  /\  j  e.  { h  e.  D  |  h  o R  <_  k } )  /\  z  e.  I )  ->  ( k `  z
)  e.  NN0 )
103100feqmptd 5591 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  D )  /\  k  e.  { g  e.  D  |  g  o R  <_  x } )  /\  j  e.  { h  e.  D  |  h  o R  <_  k } )  -> 
k  =  ( z  e.  I  |->  ( k `
 z ) ) )
10467, 102, 96, 103, 98offval2 6111 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  D )  /\  k  e.  { g  e.  D  |  g  o R  <_  x } )  /\  j  e.  { h  e.  D  |  h  o R  <_  k } )  -> 
( k  o F  -  j )  =  ( z  e.  I  |->  ( ( k `  z )  -  (
j `  z )
) ) )
10567, 87, 89, 99, 104offval2 6111 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  D )  /\  k  e.  { g  e.  D  |  g  o R  <_  x } )  /\  j  e.  { h  e.  D  |  h  o R  <_  k } )  -> 
( ( x  o F  -  j )  o F  -  (
k  o F  -  j ) )  =  ( z  e.  I  |->  ( ( ( x `
 z )  -  ( j `  z
) )  -  (
( k `  z
)  -  ( j `
 z ) ) ) ) )
10667, 94, 102, 97, 103offval2 6111 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  D )  /\  k  e.  { g  e.  D  |  g  o R  <_  x } )  /\  j  e.  { h  e.  D  |  h  o R  <_  k } )  -> 
( x  o F  -  k )  =  ( z  e.  I  |->  ( ( x `  z )  -  (
k `  z )
) ) )
107 nn0cn 9991 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( x `  z )  e.  NN0  ->  ( x `
 z )  e.  CC )
108 nn0cn 9991 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( k `  z )  e.  NN0  ->  ( k `
 z )  e.  CC )
109 nn0cn 9991 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( j `  z )  e.  NN0  ->  ( j `
 z )  e.  CC )
110 nnncan2 9100 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( x `  z
)  e.  CC  /\  ( k `  z
)  e.  CC  /\  ( j `  z
)  e.  CC )  ->  ( ( ( x `  z )  -  ( j `  z ) )  -  ( ( k `  z )  -  (
j `  z )
) )  =  ( ( x `  z
)  -  ( k `
 z ) ) )
111107, 108, 109, 110syl3an 1224 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( x `  z
)  e.  NN0  /\  ( k `  z
)  e.  NN0  /\  ( j `  z
)  e.  NN0 )  ->  ( ( ( x `
 z )  -  ( j `  z
) )  -  (
( k `  z
)  -  ( j `
 z ) ) )  =  ( ( x `  z )  -  ( k `  z ) ) )
11294, 102, 96, 111syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  D )  /\  k  e.  {
g  e.  D  | 
g  o R  <_  x } )  /\  j  e.  { h  e.  D  |  h  o R  <_  k } )  /\  z  e.  I )  ->  ( ( ( x `
 z )  -  ( j `  z
) )  -  (
( k `  z
)  -  ( j `
 z ) ) )  =  ( ( x `  z )  -  ( k `  z ) ) )
113112mpteq2dva 4122 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  D )  /\  k  e.  { g  e.  D  |  g  o R  <_  x } )  /\  j  e.  { h  e.  D  |  h  o R  <_  k } )  -> 
( z  e.  I  |->  ( ( ( x `
 z )  -  ( j `  z
) )  -  (
( k `  z
)  -  ( j `
 z ) ) ) )  =  ( z  e.  I  |->  ( ( x `  z
)  -  ( k `
 z ) ) ) )
114106, 113eqtr4d 2331 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  D )  /\  k  e.  { g  e.  D  |  g  o R  <_  x } )  /\  j  e.  { h  e.  D  |  h  o R  <_  k } )  -> 
( x  o F  -  k )  =  ( z  e.  I  |->  ( ( ( x `
 z )  -  ( j `  z
) )  -  (
( k `  z
)  -  ( j `
 z ) ) ) ) )
115105, 114eqtr4d 2331 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  D )  /\  k  e.  { g  e.  D  |  g  o R  <_  x } )  /\  j  e.  { h  e.  D  |  h  o R  <_  k } )  -> 
( ( x  o F  -  j )  o F  -  (
k  o F  -  j ) )  =  ( x  o F  -  k ) )
116115fveq2d 5545 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  D )  /\  k  e.  { g  e.  D  |  g  o R  <_  x } )  /\  j  e.  { h  e.  D  |  h  o R  <_  k } )  -> 
( Z `  (
( x  o F  -  j )  o F  -  ( k  o F  -  j
) ) )  =  ( Z `  (
x  o F  -  k ) ) )
117116oveq2d 5890 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  D )  /\  k  e.  { g  e.  D  |  g  o R  <_  x } )  /\  j  e.  { h  e.  D  |  h  o R  <_  k } )  -> 
( ( Y `  ( k  o F  -  j ) ) ( .r `  R
) ( Z `  ( ( x  o F  -  j )  o F  -  (
k  o F  -  j ) ) ) )  =  ( ( Y `  ( k  o F  -  j
) ) ( .r
`  R ) ( Z `  ( x  o F  -  k
) ) ) )
118117oveq2d 5890 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  D )  /\  k  e.  { g  e.  D  |  g  o R  <_  x } )  /\  j  e.  { h  e.  D  |  h  o R  <_  k } )  -> 
( ( X `  j ) ( .r
`  R ) ( ( Y `  (
k  o F  -  j ) ) ( .r `  R ) ( Z `  (
( x  o F  -  j )  o F  -  ( k  o F  -  j
) ) ) ) )  =  ( ( X `  j ) ( .r `  R
) ( ( Y `
 ( k  o F  -  j ) ) ( .r `  R ) ( Z `
 ( x  o F  -  k ) ) ) ) )
11985, 118eqtr4d 2331 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  D )  /\  k  e.  { g  e.  D  |  g  o R  <_  x } )  /\  j  e.  { h  e.  D  |  h  o R  <_  k } )  -> 
( ( ( X `
 j ) ( .r `  R ) ( Y `  (
k  o F  -  j ) ) ) ( .r `  R
) ( Z `  ( x  o F  -  k ) ) )  =  ( ( X `  j ) ( .r `  R
) ( ( Y `
 ( k  o F  -  j ) ) ( .r `  R ) ( Z `
 ( ( x  o F  -  j
)  o F  -  ( k  o F  -  j ) ) ) ) ) )
120119mpteq2dva 4122 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  D )  /\  k  e.  { g  e.  D  |  g  o R  <_  x } )  -> 
( j  e.  {
h  e.  D  |  h  o R  <_  k }  |->  ( ( ( X `  j ) ( .r `  R
) ( Y `  ( k  o F  -  j ) ) ) ( .r `  R ) ( Z `
 ( x  o F  -  k ) ) ) )  =  ( j  e.  {
h  e.  D  |  h  o R  <_  k }  |->  ( ( X `
 j ) ( .r `  R ) ( ( Y `  ( k  o F  -  j ) ) ( .r `  R
) ( Z `  ( ( x  o F  -  j )  o F  -  (
k  o F  -  j ) ) ) ) ) ) )
121120oveq2d 5890 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  D )  /\  k  e.  { g  e.  D  |  g  o R  <_  x } )  -> 
( R  gsumg  ( j  e.  {
h  e.  D  |  h  o R  <_  k }  |->  ( ( ( X `  j ) ( .r `  R
) ( Y `  ( k  o F  -  j ) ) ) ( .r `  R ) ( Z `
 ( x  o F  -  k ) ) ) ) )  =  ( R  gsumg  ( j  e.  { h  e.  D  |  h  o R  <_  k }  |->  ( ( X `  j ) ( .r
`  R ) ( ( Y `  (
k  o F  -  j ) ) ( .r `  R ) ( Z `  (
( x  o F  -  j )  o F  -  ( k  o F  -  j
) ) ) ) ) ) ) )
12236, 82, 1213eqtr2d 2334 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  D )  /\  k  e.  { g  e.  D  |  g  o R  <_  x } )  -> 
( ( ( X 
.X.  Y ) `  k ) ( .r
`  R ) ( Z `  ( x  o F  -  k
) ) )  =  ( R  gsumg  ( j  e.  {
h  e.  D  |  h  o R  <_  k }  |->  ( ( X `
 j ) ( .r `  R ) ( ( Y `  ( k  o F  -  j ) ) ( .r `  R
) ( Z `  ( ( x  o F  -  j )  o F  -  (
k  o F  -  j ) ) ) ) ) ) ) )
123122mpteq2dva 4122 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  D )  ->  (
k  e.  { g  e.  D  |  g  o R  <_  x }  |->  ( ( ( X  .X.  Y ) `  k ) ( .r
`  R ) ( Z `  ( x  o F  -  k
) ) ) )  =  ( k  e. 
{ g  e.  D  |  g  o R  <_  x }  |->  ( R 
gsumg  ( j  e.  {
h  e.  D  |  h  o R  <_  k }  |->  ( ( X `
 j ) ( .r `  R ) ( ( Y `  ( k  o F  -  j ) ) ( .r `  R
) ( Z `  ( ( x  o F  -  j )  o F  -  (
k  o F  -  j ) ) ) ) ) ) ) ) )
124123oveq2d 5890 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  D )  ->  ( R  gsumg  ( k  e.  {
g  e.  D  | 
g  o R  <_  x }  |->  ( ( ( X  .X.  Y
) `  k )
( .r `  R
) ( Z `  ( x  o F  -  k ) ) ) ) )  =  ( R  gsumg  ( k  e.  {
g  e.  D  | 
g  o R  <_  x }  |->  ( R 
gsumg  ( j  e.  {
h  e.  D  |  h  o R  <_  k }  |->  ( ( X `
 j ) ( .r `  R ) ( ( Y `  ( k  o F  -  j ) ) ( .r `  R
) ( Z `  ( ( x  o F  -  j )  o F  -  (
k  o F  -  j ) ) ) ) ) ) ) ) ) )
1258ad2antrr 706 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  D )  /\  j  e.  { g  e.  D  |  g  o R  <_  x } )  ->  Y  e.  B )
12610ad2antrr 706 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  D )  /\  j  e.  { g  e.  D  |  g  o R  <_  x } )  ->  Z  e.  B )
12740ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  D )  /\  j  e.  { g  e.  D  |  g  o R  <_  x } )  ->  I  e.  V )
128 simplr 731 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  D )  /\  j  e.  { g  e.  D  |  g  o R  <_  x } )  ->  x  e.  D )
129 simpr 447 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  D )  /\  j  e.  { g  e.  D  |  g  o R  <_  x } )  -> 
j  e.  { g  e.  D  |  g  o R  <_  x } )
130 breq1 4042 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( g  =  j  ->  (
g  o R  <_  x 
<->  j  o R  <_  x ) )
131130elrab 2936 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( j  e.  { g  e.  D  |  g  o R  <_  x }  <->  ( j  e.  D  /\  j  o R  <_  x
) )
132129, 131sylib 188 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  D )  /\  j  e.  { g  e.  D  |  g  o R  <_  x } )  -> 
( j  e.  D  /\  j  o R  <_  x ) )
133132simpld 445 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  D )  /\  j  e.  { g  e.  D  |  g  o R  <_  x } )  -> 
j  e.  D )
134127, 133, 69syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  D )  /\  j  e.  { g  e.  D  |  g  o R  <_  x } )  -> 
j : I --> NN0 )
135132simprd 449 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  D )  /\  j  e.  { g  e.  D  |  g  o R  <_  x } )  -> 
j  o R  <_  x )
1363psrbagcon 16133 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( I  e.  V  /\  ( x  e.  D  /\  j : I --> NN0  /\  j  o R  <_  x
) )  ->  (
( x  o F  -  j )  e.  D  /\  ( x  o F  -  j
)  o R  <_  x ) )
137127, 128, 134, 135, 136syl13anc 1184 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  D )  /\  j  e.  { g  e.  D  |  g  o R  <_  x } )  -> 
( ( x  o F  -  j )  e.  D  /\  (
x  o F  -  j )  o R  <_  x ) )
138137simpld 445 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  D )  /\  j  e.  { g  e.  D  |  g  o R  <_  x } )  -> 
( x  o F  -  j )  e.  D )
1391, 4, 20, 5, 3, 125, 126, 138psrmulval 16147 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  D )  /\  j  e.  { g  e.  D  |  g  o R  <_  x } )  -> 
( ( Y  .X.  Z ) `  (
x  o F  -  j ) )  =  ( R  gsumg  ( n  e.  {
h  e.  D  |  h  o R  <_  (
x  o F  -  j ) }  |->  ( ( Y `  n
) ( .r `  R ) ( Z `
 ( ( x  o F  -  j
)  o F  -  n ) ) ) ) ) )
140139oveq2d 5890 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  D )  /\  j  e.  { g  e.  D  |  g  o R  <_  x } )  -> 
( ( X `  j ) ( .r
`  R ) ( ( Y  .X.  Z
) `  ( x  o F  -  j
) ) )  =  ( ( X `  j ) ( .r
`  R ) ( R  gsumg  ( n  e.  {
h  e.  D  |  h  o R  <_  (
x  o F  -  j ) }  |->  ( ( Y `  n
) ( .r `  R ) ( Z `
 ( ( x  o F  -  j
)  o F  -  n ) ) ) ) ) ) )
1416ad2antrr 706 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  D )  /\  j  e.  { g  e.  D  |  g  o R  <_  x } )  ->  R  e.  Ring )
1423psrbaglefi 16134 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( I  e.  V  /\  ( x  o F  -  j )  e.  D )  ->  { h  e.  D  |  h  o R  <_  ( x  o F  -  j
) }  e.  Fin )
143127, 138, 142syl2anc 642 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  D )  /\  j  e.  { g  e.  D  |  g  o R  <_  x } )  ->  { h  e.  D  |  h  o R  <_  ( x  o F  -  j ) }  e.  Fin )
14456ad2antrr 706 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  D )  /\  j  e.  { g  e.  D  |  g  o R  <_  x } )  ->  X : D --> ( Base `  R ) )
145144, 133, 63syl2anc 642 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  D )  /\  j  e.  { g  e.  D  |  g  o R  <_  x } )  -> 
( X `  j
)  e.  ( Base `  R ) )
146141adantr 451 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  D )  /\  j  e.  { g  e.  D  |  g  o R  <_  x } )  /\  n  e.  { h  e.  D  |  h  o R  <_  ( x  o F  -  j ) } )  ->  R  e.  Ring )
14765ad3antrrr 710 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  D )  /\  j  e.  { g  e.  D  |  g  o R  <_  x } )  /\  n  e.  { h  e.  D  |  h  o R  <_  ( x  o F  -  j ) } )  ->  Y : D
--> ( Base `  R
) )
148 simpr 447 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  D )  /\  j  e.  { g  e.  D  |  g  o R  <_  x } )  /\  n  e.  { h  e.  D  |  h  o R  <_  ( x  o F  -  j ) } )  ->  n  e.  { h  e.  D  |  h  o R  <_  (
x  o F  -  j ) } )
149 breq1 4042 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( h  =  n  ->  (
h  o R  <_ 
( x  o F  -  j )  <->  n  o R  <_  ( x  o F  -  j ) ) )
150149elrab 2936 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  e.  { h  e.  D  |  h  o R  <_  ( x  o F  -  j
) }  <->  ( n  e.  D  /\  n  o R  <_  ( x  o F  -  j
) ) )
151148, 150sylib 188 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  D )  /\  j  e.  { g  e.  D  |  g  o R  <_  x } )  /\  n  e.  { h  e.  D  |  h  o R  <_  ( x  o F  -  j ) } )  ->  ( n  e.  D  /\  n  o R  <_  ( x  o F  -  j
) ) )
152151simpld 445 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  D )  /\  j  e.  { g  e.  D  |  g  o R  <_  x } )  /\  n  e.  { h  e.  D  |  h  o R  <_  ( x  o F  -  j ) } )  ->  n  e.  D )
153 ffvelrn 5679 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( Y : D --> ( Base `  R )  /\  n  e.  D )  ->  ( Y `  n )  e.  ( Base `  R
) )
154147, 152, 153syl2anc 642 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  D )  /\  j  e.  { g  e.  D  |  g  o R  <_  x } )  /\  n  e.  { h  e.  D  |  h  o R  <_  ( x  o F  -  j ) } )  ->  ( Y `  n )  e.  (
Base `  R )
)
15544ad3antrrr 710 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  D )  /\  j  e.  { g  e.  D  |  g  o R  <_  x } )  /\  n  e.  { h  e.  D  |  h  o R  <_  ( x  o F  -  j ) } )  ->  Z : D
--> ( Base `  R
) )
156127adantr 451 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  D )  /\  j  e.  { g  e.  D  |  g  o R  <_  x } )  /\  n  e.  { h  e.  D  |  h  o R  <_  ( x  o F  -  j ) } )  ->  I  e.  V )
157138adantr 451 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  D )  /\  j  e.  { g  e.  D  |  g  o R  <_  x } )  /\  n  e.  { h  e.  D  |  h  o R  <_  ( x  o F  -  j ) } )  ->  ( x  o F  -  j
)  e.  D )
1583psrbagf 16129 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( I  e.  V  /\  n  e.  D )  ->  n : I --> NN0 )
159156, 152, 158syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  D )  /\  j  e.  { g  e.  D  |  g  o R  <_  x } )  /\  n  e.  { h  e.  D  |  h  o R  <_  ( x  o F  -  j ) } )  ->  n :
I --> NN0 )
160151simprd 449 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  D )  /\  j  e.  { g  e.  D  |  g  o R  <_  x } )  /\  n  e.  { h  e.  D  |  h  o R  <_  ( x  o F  -  j ) } )  ->  n  o R  <_  ( x  o F  -  j ) )
1613psrbagcon 16133 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( I  e.  V  /\  ( ( x  o F  -  j )  e.  D  /\  n : I --> NN0  /\  n  o R  <_  (
x  o F  -  j ) ) )  ->  ( ( ( x  o F  -  j )  o F  -  n )  e.  D  /\  ( ( x  o F  -  j )  o F  -  n )  o R  <_  ( x  o F  -  j
) ) )
162156, 157, 159, 160, 161syl13anc 1184 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  D )  /\  j  e.  { g  e.  D  |  g  o R  <_  x } )  /\  n  e.  { h  e.  D  |  h  o R  <_  ( x  o F  -  j ) } )  ->  ( (
( x  o F  -  j )  o F  -  n )  e.  D  /\  (
( x  o F  -  j )  o F  -  n )  o R  <_  (
x  o F  -  j ) ) )
163162simpld 445 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  D )  /\  j  e.  { g  e.  D  |  g  o R  <_  x } )  /\  n  e.  { h  e.  D  |  h  o R  <_  ( x  o F  -  j ) } )  ->  ( (
x  o F  -  j )  o F  -  n )  e.  D )
164 ffvelrn 5679 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( Z : D --> ( Base `  R )  /\  (
( x  o F  -  j )  o F  -  n )  e.  D )  -> 
( Z `  (
( x  o F  -  j )  o F  -  n ) )  e.  ( Base `  R ) )
165155, 163, 164syl2anc 642 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  D )  /\  j  e.  { g  e.  D  |  g  o R  <_  x } )  /\  n  e.  { h  e.  D  |  h  o R  <_  ( x  o F  -  j ) } )  ->  ( Z `  ( ( x  o F  -  j )  o F  -  n
) )  e.  (
Base `  R )
)
1662, 20rngcl 15370 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  ( Y `  n )  e.  ( Base `  R
)  /\  ( Z `  ( ( x  o F  -  j )  o F  -  n
) )  e.  (
Base `  R )
)  ->  ( ( Y `  n )
( .r `  R
) ( Z `  ( ( x  o F  -  j )  o F  -  n
) ) )  e.  ( Base `  R
) )
167146, 154, 165, 166syl3anc 1182 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  D )  /\  j  e.  { g  e.  D  |  g  o R  <_  x } )  /\  n  e.  { h  e.  D  |  h  o R  <_  ( x  o F  -  j ) } )  ->  ( ( Y `  n )
( .r `  R
) ( Z `  ( ( x  o F  -  j )  o F  -  n
) ) )  e.  ( Base `  R
) )
168 cnvimass 5049 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( `' ( n  e.  {
h  e.  D  |  h  o R  <_  (
x  o F  -  j ) }  |->  ( ( Y `  n
) ( .r `  R ) ( Z `
 ( ( x  o F  -  j
)  o F  -  n ) ) ) ) " ( _V 
\  { ( 0g
`  R ) } ) )  C_  dom  ( n  e.  { h  e.  D  |  h  o R  <_  ( x  o F  -  j
) }  |->  ( ( Y `  n ) ( .r `  R
) ( Z `  ( ( x  o F  -  j )  o F  -  n
) ) ) )
169 eqid 2296 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  e.  { h  e.  D  |  h  o R  <_  ( x  o F  -  j
) }  |->  ( ( Y `  n ) ( .r `  R
) ( Z `  ( ( x  o F  -  j )  o F  -  n
) ) ) )  =  ( n  e. 
{ h  e.  D  |  h  o R  <_  ( x  o F  -  j ) } 
|->  ( ( Y `  n ) ( .r
`  R ) ( Z `  ( ( x  o F  -  j )  o F  -  n ) ) ) )
170169dmmptss 5185 . . . . . . . . . . . 12  |-  dom  (
n  e.  { h  e.  D  |  h  o R  <_  ( x  o F  -  j
) }  |->  ( ( Y `  n ) ( .r `  R
) ( Z `  ( ( x  o F  -  j )  o F  -  n
) ) ) ) 
C_  { h  e.  D  |  h  o R  <_  ( x  o F  -  j
) }
171168, 170sstri 3201 . . . . . . . . . . 11  |-  ( `' ( n  e.  {
h  e.  D  |  h  o R  <_  (
x  o F  -  j ) }  |->  ( ( Y `  n
) ( .r `  R ) ( Z `
 ( ( x  o F  -  j
)  o F  -  n ) ) ) ) " ( _V 
\  { ( 0g
`  R ) } ) )  C_  { h  e.  D  |  h  o R  <_  ( x  o F  -  j
) }
172 ssfi 7099 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( { h  e.  D  |  h  o R  <_  ( x  o F  -  j ) }  e.  Fin  /\  ( `' ( n  e. 
{ h  e.  D  |  h  o R  <_  ( x  o F  -  j ) } 
|->  ( ( Y `  n ) ( .r
`  R ) ( Z `  ( ( x  o F  -  j )  o F  -  n ) ) ) ) " ( _V  \  { ( 0g
`  R ) } ) )  C_  { h  e.  D  |  h  o R  <_  ( x  o F  -  j
) } )  -> 
( `' ( n  e.  { h  e.  D  |  h  o R  <_  ( x  o F  -  j
) }  |->  ( ( Y `  n ) ( .r `  R
) ( Z `  ( ( x  o F  -  j )  o F  -  n
) ) ) )
" ( _V  \  { ( 0g `  R ) } ) )  e.  Fin )
173143, 171, 172sylancl 643 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  D )  /\  j  e.  { g  e.  D  |  g  o R  <_  x } )  -> 
( `' ( n  e.  { h  e.  D  |  h  o R  <_  ( x  o F  -  j
) }  |->  ( ( Y `  n ) ( .r `  R
) ( Z `  ( ( x  o F  -  j )  o F  -  n
) ) ) )
" ( _V  \  { ( 0g `  R ) } ) )  e.  Fin )
1742, 37, 38, 20, 141, 143, 145, 167, 173gsummulc2 15407 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  D )  /\  j  e.  { g  e.  D  |  g  o R  <_  x } )  -> 
( R  gsumg  ( n  e.  {
h  e.  D  |  h  o R  <_  (
x  o F  -  j ) }  |->  ( ( X `  j
) ( .r `  R ) ( ( Y `  n ) ( .r `  R
) ( Z `  ( ( x  o F  -  j )  o F  -  n
) ) ) ) ) )  =  ( ( X `  j
) ( .r `  R ) ( R 
gsumg  ( n  e.  { h  e.  D  |  h  o R  <_  ( x  o F  -  j
) }  |->  ( ( Y `  n ) ( .r `  R
) ( Z `  ( ( x  o F  -  j )  o F  -  n
) ) ) ) ) ) )
175140, 174eqtr4d 2331 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  D )  /\  j  e.  { g  e.  D  |  g  o R  <_  x } )  -> 
( ( X `  j ) ( .r
`  R ) ( ( Y  .X.  Z
) `  ( x  o F  -  j
) ) )  =  ( R  gsumg  ( n  e.  {
h  e.  D  |  h  o R  <_  (
x  o F  -  j ) }  |->  ( ( X `  j
) ( .r `  R ) ( ( Y `  n ) ( .r `  R
) ( Z `  ( ( x  o F  -  j )  o F  -  n
) ) ) ) ) ) )
176175mpteq2dva 4122 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  D )  ->  (
j  e.  { g  e.  D  |  g  o R  <_  x }  |->  ( ( X `
 j ) ( .r `  R ) ( ( Y  .X.  Z ) `  (
x  o F  -  j ) ) ) )  =  ( j  e.  { g  e.  D  |  g  o R  <_  x }  |->  ( R  gsumg  ( n  e.  {
h  e.  D  |  h  o R  <_  (
x  o F  -  j ) }  |->  ( ( X `  j
) ( .r `  R ) ( ( Y `  n ) ( .r `  R
) ( Z `  ( ( x  o F  -  j )  o F  -  n
) ) ) ) ) ) ) )
177176oveq2d 5890 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  D )  ->  ( R  gsumg  ( j  e.  {
g  e.  D  | 
g  o R  <_  x }  |->  ( ( X `  j ) ( .r `  R
) ( ( Y 
.X.  Z ) `  ( x  o F  -  j ) ) ) ) )  =  ( R  gsumg  ( j  e.  {
g  e.  D  | 
g  o R  <_  x }  |->  ( R 
gsumg  ( n  e.  { h  e.  D  |  h  o R  <_  ( x  o F  -  j
) }  |->  ( ( X `  j ) ( .r `  R
) ( ( Y `
 n ) ( .r `  R ) ( Z `  (
( x  o F  -  j )  o F  -  n ) ) ) ) ) ) ) ) )
178 eqid 2296 . . . . . . 7  |-  { g  e.  D  |  g  o R  <_  x }  =  { g  e.  D  |  g  o R  <_  x }
17940adantr 451 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  D )  ->  I  e.  V )
180 rngcmn 15387 . . . . . . . . 9  |-  ( R  e.  Ring  ->  R  e. CMnd
)
1816, 180syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  R  e. CMnd )
182181adantr 451 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  D )  ->  R  e. CMnd )
183145adantr 451 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  D )  /\  j  e.  { g  e.  D  |  g  o R  <_  x } )  /\  n  e.  { h  e.  D  |  h  o R  <_  ( x  o F  -  j ) } )  ->  ( X `  j )  e.  (
Base `  R )
)
1842, 20rngcl 15370 . . . . . . . . 9  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  ( X `  j )  e.  ( Base `  R
)  /\  ( ( Y `  n )
( .r `  R
) ( Z `  ( ( x  o F  -  j )  o F  -  n
) ) )  e.  ( Base `  R
) )  ->  (
( X `  j
) ( .r `  R ) ( ( Y `  n ) ( .r `  R
) ( Z `  ( ( x  o F  -  j )  o F  -  n
) ) ) )  e.  ( Base `  R
) )
185146, 183, 167, 184syl3anc 1182 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  D )  /\  j  e.  { g  e.  D  |  g  o R  <_  x } )  /\  n  e.  { h  e.  D  |  h  o R  <_  ( x  o F  -  j ) } )  ->  ( ( X `  j )
( .r `  R
) ( ( Y `
 n ) ( .r `  R ) ( Z `  (
( x  o F  -  j )  o F  -  n ) ) ) )  e.  ( Base `  R
) )
186185anasss 628 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  D )  /\  (
j  e.  { g  e.  D  |  g  o R  <_  x }  /\  n  e.  {
h  e.  D  |  h  o R  <_  (
x  o F  -  j ) } ) )  ->  ( ( X `  j )
( .r `  R
) ( ( Y `
 n ) ( .r `  R ) ( Z `  (
( x  o F  -  j )  o F  -  n ) ) ) )  e.  ( Base `  R
) )
187 fveq2 5541 . . . . . . . . 9  |-  ( n  =  ( k  o F  -  j )  ->  ( Y `  n )  =  ( Y `  ( k  o F  -  j
) ) )
188 oveq2 5882 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  =  ( k  o F  -  j )  ->  ( ( x  o F  -  j
)  o F  -  n )  =  ( ( x  o F  -  j )  o F  -  ( k  o F  -  j
) ) )
189188fveq2d 5545 . . . . . . . . 9  |-  ( n  =  ( k  o F  -  j )  ->  ( Z `  ( ( x  o F  -  j )  o F  -  n
) )  =  ( Z `  ( ( x  o F  -  j )  o F  -  ( k  o F  -  j ) ) ) )
190187, 189oveq12d 5892 . . . . . . . 8  |-  ( n  =  ( k  o F  -  j )  ->  ( ( Y `
 n ) ( .r `  R ) ( Z `  (
( x  o F  -  j )  o F  -  n ) ) )  =  ( ( Y `  (
k  o F  -  j ) ) ( .r `  R ) ( Z `  (
( x  o F  -  j )  o F  -  ( k  o F  -  j
) ) ) ) )
191190oveq2d 5890 . . . . . . 7  |-  ( n  =  ( k  o F  -  j )  ->  ( ( X `
 j ) ( .r `  R ) ( ( Y `  n ) ( .r
`  R ) ( Z `  ( ( x  o F  -  j )  o F  -  n ) ) ) )  =  ( ( X `  j
) ( .r `  R ) ( ( Y `  ( k  o F  -  j
) ) ( .r
`  R ) ( Z `  ( ( x  o F  -  j )  o F  -  ( k  o F  -  j ) ) ) ) ) )
1923, 178, 179, 23, 2, 182, 186, 191psrass1lem 16139 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  D )  ->  ( R  gsumg  ( k  e.  {
g  e.  D  | 
g  o R  <_  x }  |->  ( R 
gsumg  ( j  e.  {
h  e.  D  |  h  o R  <_  k }  |->  ( ( X `
 j ) ( .r `  R ) ( ( Y `  ( k  o F  -  j ) ) ( .r `  R
) ( Z `  ( ( x  o F  -  j )  o F  -  (
k  o F  -  j ) ) ) ) ) ) ) ) )  =  ( R  gsumg  ( j  e.  {
g  e.  D  | 
g  o R  <_  x }  |->  ( R 
gsumg  ( n  e.  { h  e.  D  |  h  o R  <_  ( x  o F  -  j
) }  |->  ( ( X `  j ) ( .r `  R
) ( ( Y `
 n ) ( .r `  R ) ( Z `  (
( x  o F  -  j )  o F  -  n ) ) ) ) ) ) ) ) )
193177, 192eqtr4d 2331 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  D )  ->  ( R  gsumg  ( j  e.  {
g  e.  D  | 
g  o R  <_  x }  |->  ( ( X `  j ) ( .r `  R
) ( ( Y 
.X.  Z ) `  ( x  o F  -  j ) ) ) ) )  =  ( R  gsumg  ( k  e.  {
g  e.  D  | 
g  o R  <_  x }  |->  ( R 
gsumg  ( j  e.  {
h  e.  D  |  h  o R  <_  k }  |->  ( ( X `
 j ) ( .r `  R ) ( ( Y `  ( k  o F  -  j ) ) ( .r `  R
) ( Z `  ( ( x  o F  -  j )  o F  -  (
k  o F  -  j ) ) ) ) ) ) ) ) ) )
194124, 193eqtr4d 2331 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  D )  ->  ( R  gsumg  ( k  e.  {
g  e.  D  | 
g  o R  <_  x }  |->  ( ( ( X  .X.  Y
) `  k )
( .r `  R
) ( Z `  ( x  o F  -  k ) ) ) ) )  =  ( R  gsumg  ( j  e.  {
g  e.  D  | 
g  o R  <_  x }  |->  ( ( X `  j ) ( .r `  R
) ( ( Y 
.X.  Z ) `  ( x  o F  -  j ) ) ) ) ) )
19527, 194eqtr4d 2331 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  D )  ->  (
( X  .X.  ( Y  .X.  Z ) ) `
 x )  =  ( R  gsumg  ( k  e.  {
g  e.  D  | 
g  o R  <_  x }  |->  ( ( ( X  .X.  Y
) `  k )
( .r `  R
) ( Z `  ( x  o F  -  k ) ) ) ) ) )
19624, 195eqtr4d 2331 . 2  |-  ( (
ph  /\  x  e.  D )  ->  (
( ( X  .X.  Y )  .X.  Z
) `  x )  =  ( ( X 
.X.  ( Y  .X.  Z ) ) `  x ) )
19714, 19, 196eqfnfvd 5641 1  |-  ( ph  ->  ( ( X  .X.  Y )  .X.  Z
)  =  ( X 
.X.  ( Y  .X.  Z ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    = wceq 1632    e. wcel 1696   {crab 2560   _Vcvv 2801    \ cdif 3162    C_ wss 3165   {csn 3653   class class class wbr 4039    e. cmpt 4093   `'ccnv 4704   dom cdm 4705   "cima 4708    Fn wfn 5266   -->wf 5267   ` cfv 5271  (class class class)co 5874    o Fcof 6092    o Rcofr 6093    ^m cmap 6788   Fincfn 6879   CCcc 8751    <_ cle 8884    - cmin 9053   NNcn 9762   NN0cn0 9981   Basecbs 13164   +g cplusg 13224   .rcmulr 13225   0gc0g 13416    gsumg cgsu 13417  CMndccmn 15105   Ringcrg 15353   mPwSer cmps 16103
This theorem is referenced by:  psrrng  16171
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-inf2 7358  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-int 3879  df-iun 3923  df-iin 3924  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-se 4369  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-isom 5280  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-of 6094  df-ofr 6095  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-1o 6495  df-2o 6496  df-oadd 6499  df-er 6676  df-map 6790  df-pm 6791  df-ixp 6834  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-fin 6883  df-oi 7241  df-card 7588  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-nn 9763  df-2 9820  df-3 9821  df-4 9822  df-5 9823  df-6 9824  df-7 9825  df-8 9826  df-9 9827  df-n0 9982  df-z 10041  df-uz 10247  df-fz 10799  df-fzo 10887  df-seq 11063  df-hash 11354  df-struct 13166  df-ndx 13167  df-slot 13168  df-base 13169  df-sets 13170  df-ress 13171  df-plusg 13237  df-mulr 13238  df-sca 13240  df-vsca 13241  df-tset 13243  df-0g 13420  df-gsum 13421  df-mre 13504  df-mrc 13505  df-acs 13507  df-mnd 14383  df-mhm 14431  df-submnd 14432  df-grp 14505  df-minusg 14506  df-mulg 14508  df-ghm 14697  df-cntz 14809  df-cmn 15107  df-abl 15108  df-mgp 15342  df-rng 15356  df-ur 15358  df-psr 16114
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