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Theorem psrass1lem 16447
Description: A group sum commutation used by psrass1 16474. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
psrbag.d  |-  D  =  { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f
" NN )  e. 
Fin }
psrbagconf1o.1  |-  S  =  { y  e.  D  |  y  o R  <_  F }
gsumbagdiag.i  |-  ( ph  ->  I  e.  V )
gsumbagdiag.f  |-  ( ph  ->  F  e.  D )
gsumbagdiag.b  |-  B  =  ( Base `  G
)
gsumbagdiag.g  |-  ( ph  ->  G  e. CMnd )
gsumbagdiag.x  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  S  /\  k  e.  { x  e.  D  |  x  o R  <_  ( F  o F  -  j ) } ) )  ->  X  e.  B )
psrass1lem.y  |-  ( k  =  ( n  o F  -  j )  ->  X  =  Y )
Assertion
Ref Expression
psrass1lem  |-  ( ph  ->  ( G  gsumg  ( n  e.  S  |->  ( G  gsumg  ( j  e.  {
x  e.  D  |  x  o R  <_  n }  |->  Y ) ) ) )  =  ( G  gsumg  ( j  e.  S  |->  ( G  gsumg  ( k  e.  {
x  e.  D  |  x  o R  <_  ( F  o F  -  j
) }  |->  X ) ) ) ) )
Distinct variable groups:    f, j,
k, n, x, y, F    f, G, j, k, n, x, y   
n, V, x, y   
f, I, n, x, y    ph, j, k    S, j, k, n, x    B, j, k    D, j, k, n, x, y    f, X, n, x, y    f, Y, k, x, y
Allowed substitution hints:    ph( x, y, f, n)    B( x, y, f, n)    D( f)    S( y, f)    I( j, k)    V( f, j, k)    X( j, k)    Y( j, n)

Proof of Theorem psrass1lem
Dummy variables  m  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 psrbag.d . . . 4  |-  D  =  { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f
" NN )  e. 
Fin }
2 psrbagconf1o.1 . . . 4  |-  S  =  { y  e.  D  |  y  o R  <_  F }
3 gsumbagdiag.i . . . 4  |-  ( ph  ->  I  e.  V )
4 gsumbagdiag.f . . . 4  |-  ( ph  ->  F  e.  D )
5 gsumbagdiag.b . . . 4  |-  B  =  ( Base `  G
)
6 gsumbagdiag.g . . . 4  |-  ( ph  ->  G  e. CMnd )
71, 2, 3, 4gsumbagdiaglem 16445 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( m  e.  S  /\  j  e.  { x  e.  D  |  x  o R  <_  ( F  o F  -  m ) } ) )  ->  (
j  e.  S  /\  m  e.  { x  e.  D  |  x  o R  <_  ( F  o F  -  j
) } ) )
8 gsumbagdiag.x . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  S  /\  k  e.  { x  e.  D  |  x  o R  <_  ( F  o F  -  j ) } ) )  ->  X  e.  B )
98anassrs 631 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  S )  /\  k  e.  { x  e.  D  |  x  o R  <_  ( F  o F  -  j ) } )  ->  X  e.  B )
10 eqid 2438 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  e.  { x  e.  D  |  x  o R  <_  ( F  o F  -  j
) }  |->  X )  =  ( k  e. 
{ x  e.  D  |  x  o R  <_  ( F  o F  -  j ) } 
|->  X )
119, 10fmptd 5896 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  j  e.  S )  ->  (
k  e.  { x  e.  D  |  x  o R  <_  ( F  o F  -  j
) }  |->  X ) : { x  e.  D  |  x  o R  <_  ( F  o F  -  j
) } --> B )
123adantr 453 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  j  e.  S )  ->  I  e.  V )
13 ssrab2 3430 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  { y  e.  D  |  y  o R  <_  F }  C_  D
142, 13eqsstri 3380 . . . . . . . . . . . . 13  |-  S  C_  D
154adantr 453 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  j  e.  S )  ->  F  e.  D )
16 simpr 449 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  j  e.  S )  ->  j  e.  S )
171, 2psrbagconcl 16443 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( I  e.  V  /\  F  e.  D  /\  j  e.  S )  ->  ( F  o F  -  j )  e.  S )
1812, 15, 16, 17syl3anc 1185 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  j  e.  S )  ->  ( F  o F  -  j
)  e.  S )
1914, 18sseldi 3348 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  j  e.  S )  ->  ( F  o F  -  j
)  e.  D )
20 eqid 2438 . . . . . . . . . . . . 13  |-  { x  e.  D  |  x  o R  <_  ( F  o F  -  j
) }  =  {
x  e.  D  |  x  o R  <_  ( F  o F  -  j
) }
211, 20psrbagconf1o 16444 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( I  e.  V  /\  ( F  o F  -  j )  e.  D )  ->  (
m  e.  { x  e.  D  |  x  o R  <_  ( F  o F  -  j
) }  |->  ( ( F  o F  -  j )  o F  -  m ) ) : { x  e.  D  |  x  o R  <_  ( F  o F  -  j
) } -1-1-onto-> { x  e.  D  |  x  o R  <_  ( F  o F  -  j ) } )
2212, 19, 21syl2anc 644 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  j  e.  S )  ->  (
m  e.  { x  e.  D  |  x  o R  <_  ( F  o F  -  j
) }  |->  ( ( F  o F  -  j )  o F  -  m ) ) : { x  e.  D  |  x  o R  <_  ( F  o F  -  j
) } -1-1-onto-> { x  e.  D  |  x  o R  <_  ( F  o F  -  j ) } )
23 f1of 5677 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( m  e.  { x  e.  D  |  x  o R  <_  ( F  o F  -  j
) }  |->  ( ( F  o F  -  j )  o F  -  m ) ) : { x  e.  D  |  x  o R  <_  ( F  o F  -  j
) } -1-1-onto-> { x  e.  D  |  x  o R  <_  ( F  o F  -  j ) }  ->  ( m  e. 
{ x  e.  D  |  x  o R  <_  ( F  o F  -  j ) } 
|->  ( ( F  o F  -  j )  o F  -  m
) ) : {
x  e.  D  |  x  o R  <_  ( F  o F  -  j
) } --> { x  e.  D  |  x  o R  <_  ( F  o F  -  j
) } )
2422, 23syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  j  e.  S )  ->  (
m  e.  { x  e.  D  |  x  o R  <_  ( F  o F  -  j
) }  |->  ( ( F  o F  -  j )  o F  -  m ) ) : { x  e.  D  |  x  o R  <_  ( F  o F  -  j
) } --> { x  e.  D  |  x  o R  <_  ( F  o F  -  j
) } )
25 fco 5603 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( k  e.  {
x  e.  D  |  x  o R  <_  ( F  o F  -  j
) }  |->  X ) : { x  e.  D  |  x  o R  <_  ( F  o F  -  j
) } --> B  /\  ( m  e.  { x  e.  D  |  x  o R  <_  ( F  o F  -  j
) }  |->  ( ( F  o F  -  j )  o F  -  m ) ) : { x  e.  D  |  x  o R  <_  ( F  o F  -  j
) } --> { x  e.  D  |  x  o R  <_  ( F  o F  -  j
) } )  -> 
( ( k  e. 
{ x  e.  D  |  x  o R  <_  ( F  o F  -  j ) } 
|->  X )  o.  (
m  e.  { x  e.  D  |  x  o R  <_  ( F  o F  -  j
) }  |->  ( ( F  o F  -  j )  o F  -  m ) ) ) : { x  e.  D  |  x  o R  <_  ( F  o F  -  j
) } --> B )
2611, 24, 25syl2anc 644 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  j  e.  S )  ->  (
( k  e.  {
x  e.  D  |  x  o R  <_  ( F  o F  -  j
) }  |->  X )  o.  ( m  e. 
{ x  e.  D  |  x  o R  <_  ( F  o F  -  j ) } 
|->  ( ( F  o F  -  j )  o F  -  m
) ) ) : { x  e.  D  |  x  o R  <_  ( F  o F  -  j ) } --> B )
2712adantr 453 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  S )  /\  m  e.  { x  e.  D  |  x  o R  <_  ( F  o F  -  j ) } )  ->  I  e.  V )
2815adantr 453 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  S )  /\  m  e.  { x  e.  D  |  x  o R  <_  ( F  o F  -  j ) } )  ->  F  e.  D )
291psrbagf 16437 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( I  e.  V  /\  F  e.  D )  ->  F : I --> NN0 )
3027, 28, 29syl2anc 644 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  S )  /\  m  e.  { x  e.  D  |  x  o R  <_  ( F  o F  -  j ) } )  ->  F :
I --> NN0 )
3130ffvelrnda 5873 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  j  e.  S )  /\  m  e.  { x  e.  D  |  x  o R  <_  ( F  o F  -  j
) } )  /\  z  e.  I )  ->  ( F `  z
)  e.  NN0 )
3216adantr 453 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  S )  /\  m  e.  { x  e.  D  |  x  o R  <_  ( F  o F  -  j ) } )  ->  j  e.  S )
3314, 32sseldi 3348 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  S )  /\  m  e.  { x  e.  D  |  x  o R  <_  ( F  o F  -  j ) } )  ->  j  e.  D )
341psrbagf 16437 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( I  e.  V  /\  j  e.  D )  ->  j : I --> NN0 )
3527, 33, 34syl2anc 644 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  S )  /\  m  e.  { x  e.  D  |  x  o R  <_  ( F  o F  -  j ) } )  ->  j :
I --> NN0 )
3635ffvelrnda 5873 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  j  e.  S )  /\  m  e.  { x  e.  D  |  x  o R  <_  ( F  o F  -  j
) } )  /\  z  e.  I )  ->  ( j `  z
)  e.  NN0 )
37 ssrab2 3430 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  { x  e.  D  |  x  o R  <_  ( F  o F  -  j
) }  C_  D
38 simpr 449 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  S )  /\  m  e.  { x  e.  D  |  x  o R  <_  ( F  o F  -  j ) } )  ->  m  e.  { x  e.  D  |  x  o R  <_  ( F  o F  -  j
) } )
3937, 38sseldi 3348 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  S )  /\  m  e.  { x  e.  D  |  x  o R  <_  ( F  o F  -  j ) } )  ->  m  e.  D )
401psrbagf 16437 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( I  e.  V  /\  m  e.  D )  ->  m : I --> NN0 )
4127, 39, 40syl2anc 644 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  S )  /\  m  e.  { x  e.  D  |  x  o R  <_  ( F  o F  -  j ) } )  ->  m :
I --> NN0 )
4241ffvelrnda 5873 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  j  e.  S )  /\  m  e.  { x  e.  D  |  x  o R  <_  ( F  o F  -  j
) } )  /\  z  e.  I )  ->  ( m `  z
)  e.  NN0 )
43 nn0cn 10236 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( F `  z )  e.  NN0  ->  ( F `
 z )  e.  CC )
44 nn0cn 10236 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( j `  z )  e.  NN0  ->  ( j `
 z )  e.  CC )
45 nn0cn 10236 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( m `  z )  e.  NN0  ->  ( m `
 z )  e.  CC )
46 sub32 9340 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( F `  z
)  e.  CC  /\  ( j `  z
)  e.  CC  /\  ( m `  z
)  e.  CC )  ->  ( ( ( F `  z )  -  ( j `  z ) )  -  ( m `  z
) )  =  ( ( ( F `  z )  -  (
m `  z )
)  -  ( j `
 z ) ) )
4743, 44, 45, 46syl3an 1227 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( F `  z
)  e.  NN0  /\  ( j `  z
)  e.  NN0  /\  ( m `  z
)  e.  NN0 )  ->  ( ( ( F `
 z )  -  ( j `  z
) )  -  (
m `  z )
)  =  ( ( ( F `  z
)  -  ( m `
 z ) )  -  ( j `  z ) ) )
4831, 36, 42, 47syl3anc 1185 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  j  e.  S )  /\  m  e.  { x  e.  D  |  x  o R  <_  ( F  o F  -  j
) } )  /\  z  e.  I )  ->  ( ( ( F `
 z )  -  ( j `  z
) )  -  (
m `  z )
)  =  ( ( ( F `  z
)  -  ( m `
 z ) )  -  ( j `  z ) ) )
4948mpteq2dva 4298 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  S )  /\  m  e.  { x  e.  D  |  x  o R  <_  ( F  o F  -  j ) } )  ->  ( z  e.  I  |->  ( ( ( F `  z
)  -  ( j `
 z ) )  -  ( m `  z ) ) )  =  ( z  e.  I  |->  ( ( ( F `  z )  -  ( m `  z ) )  -  ( j `  z
) ) ) )
50 ovex 6109 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( F `  z )  -  ( j `  z ) )  e. 
_V
5150a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  j  e.  S )  /\  m  e.  { x  e.  D  |  x  o R  <_  ( F  o F  -  j
) } )  /\  z  e.  I )  ->  ( ( F `  z )  -  (
j `  z )
)  e.  _V )
5230feqmptd 5782 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  S )  /\  m  e.  { x  e.  D  |  x  o R  <_  ( F  o F  -  j ) } )  ->  F  =  ( z  e.  I  |->  ( F `  z
) ) )
5335feqmptd 5782 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  S )  /\  m  e.  { x  e.  D  |  x  o R  <_  ( F  o F  -  j ) } )  ->  j  =  ( z  e.  I  |->  ( j `  z
) ) )
5427, 31, 36, 52, 53offval2 6325 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  S )  /\  m  e.  { x  e.  D  |  x  o R  <_  ( F  o F  -  j ) } )  ->  ( F  o F  -  j
)  =  ( z  e.  I  |->  ( ( F `  z )  -  ( j `  z ) ) ) )
5541feqmptd 5782 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  S )  /\  m  e.  { x  e.  D  |  x  o R  <_  ( F  o F  -  j ) } )  ->  m  =  ( z  e.  I  |->  ( m `  z
) ) )
5627, 51, 42, 54, 55offval2 6325 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  S )  /\  m  e.  { x  e.  D  |  x  o R  <_  ( F  o F  -  j ) } )  ->  ( ( F  o F  -  j
)  o F  -  m )  =  ( z  e.  I  |->  ( ( ( F `  z )  -  (
j `  z )
)  -  ( m `
 z ) ) ) )
57 ovex 6109 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( F `  z )  -  ( m `  z ) )  e. 
_V
5857a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  j  e.  S )  /\  m  e.  { x  e.  D  |  x  o R  <_  ( F  o F  -  j
) } )  /\  z  e.  I )  ->  ( ( F `  z )  -  (
m `  z )
)  e.  _V )
5927, 31, 42, 52, 55offval2 6325 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  S )  /\  m  e.  { x  e.  D  |  x  o R  <_  ( F  o F  -  j ) } )  ->  ( F  o F  -  m
)  =  ( z  e.  I  |->  ( ( F `  z )  -  ( m `  z ) ) ) )
6027, 58, 36, 59, 53offval2 6325 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  S )  /\  m  e.  { x  e.  D  |  x  o R  <_  ( F  o F  -  j ) } )  ->  ( ( F  o F  -  m
)  o F  -  j )  =  ( z  e.  I  |->  ( ( ( F `  z )  -  (
m `  z )
)  -  ( j `
 z ) ) ) )
6149, 56, 603eqtr4d 2480 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  S )  /\  m  e.  { x  e.  D  |  x  o R  <_  ( F  o F  -  j ) } )  ->  ( ( F  o F  -  j
)  o F  -  m )  =  ( ( F  o F  -  m )  o F  -  j ) )
6219adantr 453 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  S )  /\  m  e.  { x  e.  D  |  x  o R  <_  ( F  o F  -  j ) } )  ->  ( F  o F  -  j
)  e.  D )
631, 20psrbagconcl 16443 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( I  e.  V  /\  ( F  o F  -  j )  e.  D  /\  m  e. 
{ x  e.  D  |  x  o R  <_  ( F  o F  -  j ) } )  ->  ( ( F  o F  -  j
)  o F  -  m )  e.  {
x  e.  D  |  x  o R  <_  ( F  o F  -  j
) } )
6427, 62, 38, 63syl3anc 1185 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  S )  /\  m  e.  { x  e.  D  |  x  o R  <_  ( F  o F  -  j ) } )  ->  ( ( F  o F  -  j
)  o F  -  m )  e.  {
x  e.  D  |  x  o R  <_  ( F  o F  -  j
) } )
6561, 64eqeltrrd 2513 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  S )  /\  m  e.  { x  e.  D  |  x  o R  <_  ( F  o F  -  j ) } )  ->  ( ( F  o F  -  m
)  o F  -  j )  e.  {
x  e.  D  |  x  o R  <_  ( F  o F  -  j
) } )
6661mpteq2dva 4298 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  j  e.  S )  ->  (
m  e.  { x  e.  D  |  x  o R  <_  ( F  o F  -  j
) }  |->  ( ( F  o F  -  j )  o F  -  m ) )  =  ( m  e. 
{ x  e.  D  |  x  o R  <_  ( F  o F  -  j ) } 
|->  ( ( F  o F  -  m )  o F  -  j
) ) )
67 nfcv 2574 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/_ n X
68 nfcsb1v 3285 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/_ k [_ n  /  k ]_ X
69 csbeq1a 3261 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  =  n  ->  X  =  [_ n  /  k ]_ X )
7067, 68, 69cbvmpt 4302 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  e.  { x  e.  D  |  x  o R  <_  ( F  o F  -  j
) }  |->  X )  =  ( n  e. 
{ x  e.  D  |  x  o R  <_  ( F  o F  -  j ) } 
|->  [_ n  /  k ]_ X )
7170a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  j  e.  S )  ->  (
k  e.  { x  e.  D  |  x  o R  <_  ( F  o F  -  j
) }  |->  X )  =  ( n  e. 
{ x  e.  D  |  x  o R  <_  ( F  o F  -  j ) } 
|->  [_ n  /  k ]_ X ) )
72 csbeq1 3256 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  =  ( ( F  o F  -  m
)  o F  -  j )  ->  [_ n  /  k ]_ X  =  [_ ( ( F  o F  -  m
)  o F  -  j )  /  k ]_ X )
7365, 66, 71, 72fmptco 5904 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  j  e.  S )  ->  (
( k  e.  {
x  e.  D  |  x  o R  <_  ( F  o F  -  j
) }  |->  X )  o.  ( m  e. 
{ x  e.  D  |  x  o R  <_  ( F  o F  -  j ) } 
|->  ( ( F  o F  -  j )  o F  -  m
) ) )  =  ( m  e.  {
x  e.  D  |  x  o R  <_  ( F  o F  -  j
) }  |->  [_ (
( F  o F  -  m )  o F  -  j )  /  k ]_ X
) )
7473feq1d 5583 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  j  e.  S )  ->  (
( ( k  e. 
{ x  e.  D  |  x  o R  <_  ( F  o F  -  j ) } 
|->  X )  o.  (
m  e.  { x  e.  D  |  x  o R  <_  ( F  o F  -  j
) }  |->  ( ( F  o F  -  j )  o F  -  m ) ) ) : { x  e.  D  |  x  o R  <_  ( F  o F  -  j
) } --> B  <->  ( m  e.  { x  e.  D  |  x  o R  <_  ( F  o F  -  j ) } 
|->  [_ ( ( F  o F  -  m
)  o F  -  j )  /  k ]_ X ) : {
x  e.  D  |  x  o R  <_  ( F  o F  -  j
) } --> B ) )
7526, 74mpbid 203 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  j  e.  S )  ->  (
m  e.  { x  e.  D  |  x  o R  <_  ( F  o F  -  j
) }  |->  [_ (
( F  o F  -  m )  o F  -  j )  /  k ]_ X
) : { x  e.  D  |  x  o R  <_  ( F  o F  -  j
) } --> B )
76 eqid 2438 . . . . . . . . 9  |-  ( m  e.  { x  e.  D  |  x  o R  <_  ( F  o F  -  j
) }  |->  [_ (
( F  o F  -  m )  o F  -  j )  /  k ]_ X
)  =  ( m  e.  { x  e.  D  |  x  o R  <_  ( F  o F  -  j
) }  |->  [_ (
( F  o F  -  m )  o F  -  j )  /  k ]_ X
)
7776fmpt 5893 . . . . . . . 8  |-  ( A. m  e.  { x  e.  D  |  x  o R  <_  ( F  o F  -  j
) } [_ (
( F  o F  -  m )  o F  -  j )  /  k ]_ X  e.  B  <->  ( m  e. 
{ x  e.  D  |  x  o R  <_  ( F  o F  -  j ) } 
|->  [_ ( ( F  o F  -  m
)  o F  -  j )  /  k ]_ X ) : {
x  e.  D  |  x  o R  <_  ( F  o F  -  j
) } --> B )
7875, 77sylibr 205 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  j  e.  S )  ->  A. m  e.  { x  e.  D  |  x  o R  <_  ( F  o F  -  j ) }
[_ ( ( F  o F  -  m
)  o F  -  j )  /  k ]_ X  e.  B
)
7978r19.21bi 2806 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  S )  /\  m  e.  { x  e.  D  |  x  o R  <_  ( F  o F  -  j ) } )  ->  [_ ( ( F  o F  -  m )  o F  -  j )  / 
k ]_ X  e.  B
)
8079anasss 630 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  S  /\  m  e.  { x  e.  D  |  x  o R  <_  ( F  o F  -  j ) } ) )  ->  [_ (
( F  o F  -  m )  o F  -  j )  /  k ]_ X  e.  B )
817, 80syldan 458 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( m  e.  S  /\  j  e.  { x  e.  D  |  x  o R  <_  ( F  o F  -  m ) } ) )  ->  [_ (
( F  o F  -  m )  o F  -  j )  /  k ]_ X  e.  B )
821, 2, 3, 4, 5, 6, 81gsumbagdiag 16446 . . 3  |-  ( ph  ->  ( G  gsumg  ( m  e.  S ,  j  e.  { x  e.  D  |  x  o R  <_  ( F  o F  -  m
) }  |->  [_ (
( F  o F  -  m )  o F  -  j )  /  k ]_ X
) )  =  ( G  gsumg  ( j  e.  S ,  m  e.  { x  e.  D  |  x  o R  <_  ( F  o F  -  j
) }  |->  [_ (
( F  o F  -  m )  o F  -  j )  /  k ]_ X
) ) )
83 eqid 2438 . . . 4  |-  ( 0g
`  G )  =  ( 0g `  G
)
841psrbaglefi 16442 . . . . . 6  |-  ( ( I  e.  V  /\  F  e.  D )  ->  { y  e.  D  |  y  o R  <_  F }  e.  Fin )
853, 4, 84syl2anc 644 . . . . 5  |-  ( ph  ->  { y  e.  D  |  y  o R  <_  F }  e.  Fin )
862, 85syl5eqel 2522 . . . 4  |-  ( ph  ->  S  e.  Fin )
873adantr 453 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  m  e.  S )  ->  I  e.  V )
884adantr 453 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  m  e.  S )  ->  F  e.  D )
89 simpr 449 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  m  e.  S )  ->  m  e.  S )
901, 2psrbagconcl 16443 . . . . . . 7  |-  ( ( I  e.  V  /\  F  e.  D  /\  m  e.  S )  ->  ( F  o F  -  m )  e.  S )
9187, 88, 89, 90syl3anc 1185 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  m  e.  S )  ->  ( F  o F  -  m
)  e.  S )
9214, 91sseldi 3348 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  m  e.  S )  ->  ( F  o F  -  m
)  e.  D )
931psrbaglefi 16442 . . . . 5  |-  ( ( I  e.  V  /\  ( F  o F  -  m )  e.  D
)  ->  { x  e.  D  |  x  o R  <_  ( F  o F  -  m
) }  e.  Fin )
9487, 92, 93syl2anc 644 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  m  e.  S )  ->  { x  e.  D  |  x  o R  <_  ( F  o F  -  m
) }  e.  Fin )
95 xpfi 7381 . . . . 5  |-  ( ( S  e.  Fin  /\  S  e.  Fin )  ->  ( S  X.  S
)  e.  Fin )
9686, 86, 95syl2anc 644 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( S  X.  S
)  e.  Fin )
97 simprl 734 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( m  e.  S  /\  j  e.  { x  e.  D  |  x  o R  <_  ( F  o F  -  m ) } ) )  ->  m  e.  S )
987simpld 447 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( m  e.  S  /\  j  e.  { x  e.  D  |  x  o R  <_  ( F  o F  -  m ) } ) )  ->  j  e.  S )
99 brxp 4912 . . . . . . 7  |-  ( m ( S  X.  S
) j  <->  ( m  e.  S  /\  j  e.  S ) )
10097, 98, 99sylanbrc 647 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( m  e.  S  /\  j  e.  { x  e.  D  |  x  o R  <_  ( F  o F  -  m ) } ) )  ->  m
( S  X.  S
) j )
101100pm2.24d 138 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( m  e.  S  /\  j  e.  { x  e.  D  |  x  o R  <_  ( F  o F  -  m ) } ) )  ->  ( -.  m ( S  X.  S ) j  ->  [_ ( ( F  o F  -  m )  o F  -  j
)  /  k ]_ X  =  ( 0g `  G ) ) )
102101impr 604 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( (
m  e.  S  /\  j  e.  { x  e.  D  |  x  o R  <_  ( F  o F  -  m
) } )  /\  -.  m ( S  X.  S ) j ) )  ->  [_ ( ( F  o F  -  m )  o F  -  j )  / 
k ]_ X  =  ( 0g `  G ) )
1035, 83, 6, 86, 94, 81, 96, 102gsum2d2 15553 . . 3  |-  ( ph  ->  ( G  gsumg  ( m  e.  S ,  j  e.  { x  e.  D  |  x  o R  <_  ( F  o F  -  m
) }  |->  [_ (
( F  o F  -  m )  o F  -  j )  /  k ]_ X
) )  =  ( G  gsumg  ( m  e.  S  |->  ( G  gsumg  ( j  e.  {
x  e.  D  |  x  o R  <_  ( F  o F  -  m
) }  |->  [_ (
( F  o F  -  m )  o F  -  j )  /  k ]_ X
) ) ) ) )
1041psrbaglefi 16442 . . . . 5  |-  ( ( I  e.  V  /\  ( F  o F  -  j )  e.  D )  ->  { x  e.  D  |  x  o R  <_  ( F  o F  -  j
) }  e.  Fin )
10512, 19, 104syl2anc 644 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  j  e.  S )  ->  { x  e.  D  |  x  o R  <_  ( F  o F  -  j
) }  e.  Fin )
106 simprl 734 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  S  /\  m  e.  { x  e.  D  |  x  o R  <_  ( F  o F  -  j ) } ) )  ->  j  e.  S )
1071, 2, 3, 4gsumbagdiaglem 16445 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  S  /\  m  e.  { x  e.  D  |  x  o R  <_  ( F  o F  -  j ) } ) )  ->  (
m  e.  S  /\  j  e.  { x  e.  D  |  x  o R  <_  ( F  o F  -  m
) } ) )
108107simpld 447 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  S  /\  m  e.  { x  e.  D  |  x  o R  <_  ( F  o F  -  j ) } ) )  ->  m  e.  S )
109 brxp 4912 . . . . . . 7  |-  ( j ( S  X.  S
) m  <->  ( j  e.  S  /\  m  e.  S ) )
110106, 108, 109sylanbrc 647 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  S  /\  m  e.  { x  e.  D  |  x  o R  <_  ( F  o F  -  j ) } ) )  ->  j
( S  X.  S
) m )
111110pm2.24d 138 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  S  /\  m  e.  { x  e.  D  |  x  o R  <_  ( F  o F  -  j ) } ) )  ->  ( -.  j ( S  X.  S ) m  ->  [_ ( ( F  o F  -  m )  o F  -  j
)  /  k ]_ X  =  ( 0g `  G ) ) )
112111impr 604 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( (
j  e.  S  /\  m  e.  { x  e.  D  |  x  o R  <_  ( F  o F  -  j
) } )  /\  -.  j ( S  X.  S ) m ) )  ->  [_ ( ( F  o F  -  m )  o F  -  j )  / 
k ]_ X  =  ( 0g `  G ) )
1135, 83, 6, 86, 105, 80, 96, 112gsum2d2 15553 . . 3  |-  ( ph  ->  ( G  gsumg  ( j  e.  S ,  m  e.  { x  e.  D  |  x  o R  <_  ( F  o F  -  j
) }  |->  [_ (
( F  o F  -  m )  o F  -  j )  /  k ]_ X
) )  =  ( G  gsumg  ( j  e.  S  |->  ( G  gsumg  ( m  e.  {
x  e.  D  |  x  o R  <_  ( F  o F  -  j
) }  |->  [_ (
( F  o F  -  m )  o F  -  j )  /  k ]_ X
) ) ) ) )
11482, 103, 1133eqtr3d 2478 . 2  |-  ( ph  ->  ( G  gsumg  ( m  e.  S  |->  ( G  gsumg  ( j  e.  {
x  e.  D  |  x  o R  <_  ( F  o F  -  m
) }  |->  [_ (
( F  o F  -  m )  o F  -  j )  /  k ]_ X
) ) ) )  =  ( G  gsumg  ( j  e.  S  |->  ( G 
gsumg  ( m  e.  { x  e.  D  |  x  o R  <_  ( F  o F  -  j
) }  |->  [_ (
( F  o F  -  m )  o F  -  j )  /  k ]_ X
) ) ) ) )
1156adantr 453 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  m  e.  S )  ->  G  e. CMnd )
11681anassrs 631 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  S )  /\  j  e.  { x  e.  D  |  x  o R  <_  ( F  o F  -  m ) } )  ->  [_ ( ( F  o F  -  m )  o F  -  j )  / 
k ]_ X  e.  B
)
117 eqid 2438 . . . . . . . . 9  |-  ( j  e.  { x  e.  D  |  x  o R  <_  ( F  o F  -  m
) }  |->  [_ (
( F  o F  -  m )  o F  -  j )  /  k ]_ X
)  =  ( j  e.  { x  e.  D  |  x  o R  <_  ( F  o F  -  m
) }  |->  [_ (
( F  o F  -  m )  o F  -  j )  /  k ]_ X
)
118116, 117fmptd 5896 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  m  e.  S )  ->  (
j  e.  { x  e.  D  |  x  o R  <_  ( F  o F  -  m
) }  |->  [_ (
( F  o F  -  m )  o F  -  j )  /  k ]_ X
) : { x  e.  D  |  x  o R  <_  ( F  o F  -  m
) } --> B )
119 cnvimass 5227 . . . . . . . . . 10  |-  ( `' ( j  e.  {
x  e.  D  |  x  o R  <_  ( F  o F  -  m
) }  |->  [_ (
( F  o F  -  m )  o F  -  j )  /  k ]_ X
) " ( _V 
\  { ( 0g
`  G ) } ) )  C_  dom  ( j  e.  {
x  e.  D  |  x  o R  <_  ( F  o F  -  m
) }  |->  [_ (
( F  o F  -  m )  o F  -  j )  /  k ]_ X
)
120117dmmptss 5369 . . . . . . . . . 10  |-  dom  (
j  e.  { x  e.  D  |  x  o R  <_  ( F  o F  -  m
) }  |->  [_ (
( F  o F  -  m )  o F  -  j )  /  k ]_ X
)  C_  { x  e.  D  |  x  o R  <_  ( F  o F  -  m
) }
121119, 120sstri 3359 . . . . . . . . 9  |-  ( `' ( j  e.  {
x  e.  D  |  x  o R  <_  ( F  o F  -  m
) }  |->  [_ (
( F  o F  -  m )  o F  -  j )  /  k ]_ X
) " ( _V 
\  { ( 0g
`  G ) } ) )  C_  { x  e.  D  |  x  o R  <_  ( F  o F  -  m
) }
122 ssfi 7332 . . . . . . . . 9  |-  ( ( { x  e.  D  |  x  o R  <_  ( F  o F  -  m ) }  e.  Fin  /\  ( `' ( j  e. 
{ x  e.  D  |  x  o R  <_  ( F  o F  -  m ) } 
|->  [_ ( ( F  o F  -  m
)  o F  -  j )  /  k ]_ X ) " ( _V  \  { ( 0g
`  G ) } ) )  C_  { x  e.  D  |  x  o R  <_  ( F  o F  -  m
) } )  -> 
( `' ( j  e.  { x  e.  D  |  x  o R  <_  ( F  o F  -  m
) }  |->  [_ (
( F  o F  -  m )  o F  -  j )  /  k ]_ X
) " ( _V 
\  { ( 0g
`  G ) } ) )  e.  Fin )
12394, 121, 122sylancl 645 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  m  e.  S )  ->  ( `' ( j  e. 
{ x  e.  D  |  x  o R  <_  ( F  o F  -  m ) } 
|->  [_ ( ( F  o F  -  m
)  o F  -  j )  /  k ]_ X ) " ( _V  \  { ( 0g
`  G ) } ) )  e.  Fin )
1245, 83, 115, 94, 118, 123gsumcl 15526 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  m  e.  S )  ->  ( G  gsumg  ( j  e.  {
x  e.  D  |  x  o R  <_  ( F  o F  -  m
) }  |->  [_ (
( F  o F  -  m )  o F  -  j )  /  k ]_ X
) )  e.  B
)
125 eqid 2438 . . . . . . 7  |-  ( m  e.  S  |->  ( G 
gsumg  ( j  e.  {
x  e.  D  |  x  o R  <_  ( F  o F  -  m
) }  |->  [_ (
( F  o F  -  m )  o F  -  j )  /  k ]_ X
) ) )  =  ( m  e.  S  |->  ( G  gsumg  ( j  e.  {
x  e.  D  |  x  o R  <_  ( F  o F  -  m
) }  |->  [_ (
( F  o F  -  m )  o F  -  j )  /  k ]_ X
) ) )
126124, 125fmptd 5896 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( m  e.  S  |->  ( G  gsumg  ( j  e.  {
x  e.  D  |  x  o R  <_  ( F  o F  -  m
) }  |->  [_ (
( F  o F  -  m )  o F  -  j )  /  k ]_ X
) ) ) : S --> B )
1271, 2psrbagconf1o 16444 . . . . . . . 8  |-  ( ( I  e.  V  /\  F  e.  D )  ->  ( m  e.  S  |->  ( F  o F  -  m ) ) : S -1-1-onto-> S )
1283, 4, 127syl2anc 644 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( m  e.  S  |->  ( F  o F  -  m ) ) : S -1-1-onto-> S )
129 f1ocnv 5690 . . . . . . 7  |-  ( ( m  e.  S  |->  ( F  o F  -  m ) ) : S -1-1-onto-> S  ->  `' (
m  e.  S  |->  ( F  o F  -  m ) ) : S -1-1-onto-> S )
130 f1of 5677 . . . . . . 7  |-  ( `' ( m  e.  S  |->  ( F  o F  -  m ) ) : S -1-1-onto-> S  ->  `' (
m  e.  S  |->  ( F  o F  -  m ) ) : S --> S )
131128, 129, 1303syl 19 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  `' ( m  e.  S  |->  ( F  o F  -  m )
) : S --> S )
132 fco 5603 . . . . . 6  |-  ( ( ( m  e.  S  |->  ( G  gsumg  ( j  e.  {
x  e.  D  |  x  o R  <_  ( F  o F  -  m
) }  |->  [_ (
( F  o F  -  m )  o F  -  j )  /  k ]_ X
) ) ) : S --> B  /\  `' ( m  e.  S  |->  ( F  o F  -  m ) ) : S --> S )  ->  ( ( m  e.  S  |->  ( G 
gsumg  ( j  e.  {
x  e.  D  |  x  o R  <_  ( F  o F  -  m
) }  |->  [_ (
( F  o F  -  m )  o F  -  j )  /  k ]_ X
) ) )  o.  `' ( m  e.  S  |->  ( F  o F  -  m )
) ) : S --> B )
133126, 131, 132syl2anc 644 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( m  e.  S  |->  ( G  gsumg  ( j  e.  { x  e.  D  |  x  o R  <_  ( F  o F  -  m
) }  |->  [_ (
( F  o F  -  m )  o F  -  j )  /  k ]_ X
) ) )  o.  `' ( m  e.  S  |->  ( F  o F  -  m )
) ) : S --> B )
134 coass 5391 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( n  e.  S  |->  ( G  gsumg  ( j  e.  {
x  e.  D  |  x  o R  <_  n }  |->  Y ) ) )  o.  ( m  e.  S  |->  ( F  o F  -  m
) ) )  o.  `' ( m  e.  S  |->  ( F  o F  -  m )
) )  =  ( ( n  e.  S  |->  ( G  gsumg  ( j  e.  {
x  e.  D  |  x  o R  <_  n }  |->  Y ) ) )  o.  ( ( m  e.  S  |->  ( F  o F  -  m ) )  o.  `' ( m  e.  S  |->  ( F  o F  -  m )
) ) )
135 f1ococnv2 5705 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( m  e.  S  |->  ( F  o F  -  m ) ) : S -1-1-onto-> S  ->  ( (
m  e.  S  |->  ( F  o F  -  m ) )  o.  `' ( m  e.  S  |->  ( F  o F  -  m )
) )  =  (  _I  |`  S )
)
136128, 135syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( m  e.  S  |->  ( F  o F  -  m )
)  o.  `' ( m  e.  S  |->  ( F  o F  -  m ) ) )  =  (  _I  |`  S ) )
137136coeq2d 5038 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( n  e.  S  |->  ( G  gsumg  ( j  e.  { x  e.  D  |  x  o R  <_  n }  |->  Y ) ) )  o.  ( ( m  e.  S  |->  ( F  o F  -  m
) )  o.  `' ( m  e.  S  |->  ( F  o F  -  m ) ) ) )  =  ( ( n  e.  S  |->  ( G  gsumg  ( j  e.  {
x  e.  D  |  x  o R  <_  n }  |->  Y ) ) )  o.  (  _I  |`  S ) ) )
138134, 137syl5eq 2482 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( ( n  e.  S  |->  ( G 
gsumg  ( j  e.  {
x  e.  D  |  x  o R  <_  n }  |->  Y ) ) )  o.  ( m  e.  S  |->  ( F  o F  -  m
) ) )  o.  `' ( m  e.  S  |->  ( F  o F  -  m )
) )  =  ( ( n  e.  S  |->  ( G  gsumg  ( j  e.  {
x  e.  D  |  x  o R  <_  n }  |->  Y ) ) )  o.  (  _I  |`  S ) ) )
139 eqidd 2439 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( m  e.  S  |->  ( F  o F  -  m ) )  =  ( m  e.  S  |->  ( F  o F  -  m )
) )
140 eqidd 2439 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( n  e.  S  |->  ( G  gsumg  ( j  e.  {
x  e.  D  |  x  o R  <_  n }  |->  Y ) ) )  =  ( n  e.  S  |->  ( G 
gsumg  ( j  e.  {
x  e.  D  |  x  o R  <_  n }  |->  Y ) ) ) )
141 breq2 4219 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  =  ( F  o F  -  m )  ->  ( x  o R  <_  n  <->  x  o R  <_  ( F  o F  -  m )
) )
142141rabbidv 2950 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  =  ( F  o F  -  m )  ->  { x  e.  D  |  x  o R  <_  n }  =  {
x  e.  D  |  x  o R  <_  ( F  o F  -  m
) } )
143 ovex 6109 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  o F  -  j
)  e.  _V
144 nfcv 2574 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/_ k Y
145 psrass1lem.y . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  =  ( n  o F  -  j )  ->  X  =  Y )
146143, 144, 145csbief 3294 . . . . . . . . . . . 12  |-  [_ (
n  o F  -  j )  /  k ]_ X  =  Y
147 oveq1 6091 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  =  ( F  o F  -  m )  ->  ( n  o F  -  j )  =  ( ( F  o F  -  m )  o F  -  j
) )
148147csbeq1d 3259 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  =  ( F  o F  -  m )  ->  [_ ( n  o F  -  j )  /  k ]_ X  =  [_ ( ( F  o F  -  m
)  o F  -  j )  /  k ]_ X )
149146, 148syl5eqr 2484 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  =  ( F  o F  -  m )  ->  Y  =  [_ (
( F  o F  -  m )  o F  -  j )  /  k ]_ X
)
150142, 149mpteq12dv 4290 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  =  ( F  o F  -  m )  ->  ( j  e.  {
x  e.  D  |  x  o R  <_  n }  |->  Y )  =  ( j  e.  {
x  e.  D  |  x  o R  <_  ( F  o F  -  m
) }  |->  [_ (
( F  o F  -  m )  o F  -  j )  /  k ]_ X
) )
151150oveq2d 6100 . . . . . . . . 9  |-  ( n  =  ( F  o F  -  m )  ->  ( G  gsumg  ( j  e.  {
x  e.  D  |  x  o R  <_  n }  |->  Y ) )  =  ( G  gsumg  ( j  e.  { x  e.  D  |  x  o R  <_  ( F  o F  -  m
) }  |->  [_ (
( F  o F  -  m )  o F  -  j )  /  k ]_ X
) ) )
15291, 139, 140, 151fmptco 5904 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( n  e.  S  |->  ( G  gsumg  ( j  e.  { x  e.  D  |  x  o R  <_  n }  |->  Y ) ) )  o.  ( m  e.  S  |->  ( F  o F  -  m )
) )  =  ( m  e.  S  |->  ( G  gsumg  ( j  e.  {
x  e.  D  |  x  o R  <_  ( F  o F  -  m
) }  |->  [_ (
( F  o F  -  m )  o F  -  j )  /  k ]_ X
) ) ) )
153152coeq1d 5037 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( ( n  e.  S  |->  ( G 
gsumg  ( j  e.  {
x  e.  D  |  x  o R  <_  n }  |->  Y ) ) )  o.  ( m  e.  S  |->  ( F  o F  -  m
) ) )  o.  `' ( m  e.  S  |->  ( F  o F  -  m )
) )  =  ( ( m  e.  S  |->  ( G  gsumg  ( j  e.  {
x  e.  D  |  x  o R  <_  ( F  o F  -  m
) }  |->  [_ (
( F  o F  -  m )  o F  -  j )  /  k ]_ X
) ) )  o.  `' ( m  e.  S  |->  ( F  o F  -  m )
) ) )
154 coires1 5390 . . . . . . . . 9  |-  ( ( n  e.  S  |->  ( G  gsumg  ( j  e.  {
x  e.  D  |  x  o R  <_  n }  |->  Y ) ) )  o.  (  _I  |`  S ) )  =  ( ( n  e.  S  |->  ( G  gsumg  ( j  e.  { x  e.  D  |  x  o R  <_  n }  |->  Y ) ) )  |`  S )
155 ssid 3369 . . . . . . . . . 10  |-  S  C_  S
156 resmpt 5194 . . . . . . . . . 10  |-  ( S 
C_  S  ->  (
( n  e.  S  |->  ( G  gsumg  ( j  e.  {
x  e.  D  |  x  o R  <_  n }  |->  Y ) ) )  |`  S )  =  ( n  e.  S  |->  ( G  gsumg  ( j  e.  { x  e.  D  |  x  o R  <_  n }  |->  Y ) ) ) )
157155, 156ax-mp 5 . . . . . . . . 9  |-  ( ( n  e.  S  |->  ( G  gsumg  ( j  e.  {
x  e.  D  |  x  o R  <_  n }  |->  Y ) ) )  |`  S )  =  ( n  e.  S  |->  ( G  gsumg  ( j  e.  { x  e.  D  |  x  o R  <_  n }  |->  Y ) ) )
158154, 157eqtri 2458 . . . . . . . 8  |-  ( ( n  e.  S  |->  ( G  gsumg  ( j  e.  {
x  e.  D  |  x  o R  <_  n }  |->  Y ) ) )  o.  (  _I  |`  S ) )  =  ( n  e.  S  |->  ( G  gsumg  ( j  e.  {
x  e.  D  |  x  o R  <_  n }  |->  Y ) ) )
159158a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( n  e.  S  |->  ( G  gsumg  ( j  e.  { x  e.  D  |  x  o R  <_  n }  |->  Y ) ) )  o.  (  _I  |`  S ) )  =  ( n  e.  S  |->  ( G 
gsumg  ( j  e.  {
x  e.  D  |  x  o R  <_  n }  |->  Y ) ) ) )
160138, 153, 1593eqtr3d 2478 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( m  e.  S  |->  ( G  gsumg  ( j  e.  { x  e.  D  |  x  o R  <_  ( F  o F  -  m
) }  |->  [_ (
( F  o F  -  m )  o F  -  j )  /  k ]_ X
) ) )  o.  `' ( m  e.  S  |->  ( F  o F  -  m )
) )  =  ( n  e.  S  |->  ( G  gsumg  ( j  e.  {
x  e.  D  |  x  o R  <_  n }  |->  Y ) ) ) )
161160feq1d 5583 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( ( m  e.  S  |->  ( G 
gsumg  ( j  e.  {
x  e.  D  |  x  o R  <_  ( F  o F  -  m
) }  |->  [_ (
( F  o F  -  m )  o F  -  j )  /  k ]_ X
) ) )  o.  `' ( m  e.  S  |->  ( F  o F  -  m )
) ) : S --> B 
<->  ( n  e.  S  |->  ( G  gsumg  ( j  e.  {
x  e.  D  |  x  o R  <_  n }  |->  Y ) ) ) : S --> B ) )
162133, 161mpbid 203 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( n  e.  S  |->  ( G  gsumg  ( j  e.  {
x  e.  D  |  x  o R  <_  n }  |->  Y ) ) ) : S --> B )
163 cnvimass 5227 . . . . . 6  |-  ( `' ( n  e.  S  |->  ( G  gsumg  ( j  e.  {
x  e.  D  |  x  o R  <_  n }  |->  Y ) ) ) " ( _V 
\  { ( 0g
`  G ) } ) )  C_  dom  ( n  e.  S  |->  ( G  gsumg  ( j  e.  {
x  e.  D  |  x  o R  <_  n }  |->  Y ) ) )
164 eqid 2438 . . . . . . 7  |-  ( n  e.  S  |->  ( G 
gsumg  ( j  e.  {
x  e.  D  |  x  o R  <_  n }  |->  Y ) ) )  =  ( n  e.  S  |->  ( G 
gsumg  ( j  e.  {
x  e.  D  |  x  o R  <_  n }  |->  Y ) ) )
165164dmmptss 5369 . . . . . 6  |-  dom  (
n  e.  S  |->  ( G  gsumg  ( j  e.  {
x  e.  D  |  x  o R  <_  n }  |->  Y ) ) )  C_  S
166163, 165sstri 3359 . . . . 5  |-  ( `' ( n  e.  S  |->  ( G  gsumg  ( j  e.  {
x  e.  D  |  x  o R  <_  n }  |->  Y ) ) ) " ( _V 
\  { ( 0g
`  G ) } ) )  C_  S
167 ssfi 7332 . . . . 5  |-  ( ( S  e.  Fin  /\  ( `' ( n  e.  S  |->  ( G  gsumg  ( j  e.  { x  e.  D  |  x  o R  <_  n }  |->  Y ) ) )
" ( _V  \  { ( 0g `  G ) } ) )  C_  S )  ->  ( `' ( n  e.  S  |->  ( G 
gsumg  ( j  e.  {
x  e.  D  |  x  o R  <_  n }  |->  Y ) ) ) " ( _V 
\  { ( 0g
`  G ) } ) )  e.  Fin )
16886, 166, 167sylancl 645 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( `' ( n  e.  S  |->  ( G 
gsumg  ( j  e.  {
x  e.  D  |  x  o R  <_  n }  |->  Y ) ) ) " ( _V 
\  { ( 0g
`  G ) } ) )  e.  Fin )
1695, 83, 6, 86, 162, 168, 128gsumf1o 15527 . . 3  |-  ( ph  ->  ( G  gsumg  ( n  e.  S  |->  ( G  gsumg  ( j  e.  {
x  e.  D  |  x  o R  <_  n }  |->  Y ) ) ) )  =  ( G  gsumg  ( ( n  e.  S  |->  ( G  gsumg  ( j  e.  { x  e.  D  |  x  o R  <_  n }  |->  Y ) ) )  o.  ( m  e.  S  |->  ( F  o F  -  m )
) ) ) )
170152oveq2d 6100 . . 3  |-  ( ph  ->  ( G  gsumg  ( ( n  e.  S  |->  ( G  gsumg  ( j  e.  { x  e.  D  |  x  o R  <_  n }  |->  Y ) ) )  o.  ( m  e.  S  |->  ( F  o F  -  m )
) ) )  =  ( G  gsumg  ( m  e.  S  |->  ( G  gsumg  ( j  e.  {
x  e.  D  |  x  o R  <_  ( F  o F  -  m
) }  |->  [_ (
( F  o F  -  m )  o F  -  j )  /  k ]_ X
) ) ) ) )
171169, 170eqtrd 2470 . 2  |-  ( ph  ->  ( G  gsumg  ( n  e.  S  |->  ( G  gsumg  ( j  e.  {
x  e.  D  |  x  o R  <_  n }  |->  Y ) ) ) )  =  ( G  gsumg  ( m  e.  S  |->  ( G  gsumg  ( j  e.  {
x  e.  D  |  x  o R  <_  ( F  o F  -  m
) }  |->  [_ (
( F  o F  -  m )  o F  -  j )  /  k ]_ X
) ) ) ) )
1726adantr 453 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  j  e.  S )  ->  G  e. CMnd )
173 cnvimass 5227 . . . . . . . 8  |-  ( `' ( k  e.  {
x  e.  D  |  x  o R  <_  ( F  o F  -  j
) }  |->  X )
" ( _V  \  { ( 0g `  G ) } ) )  C_  dom  ( k  e.  { x  e.  D  |  x  o R  <_  ( F  o F  -  j
) }  |->  X )
17410dmmptss 5369 . . . . . . . 8  |-  dom  (
k  e.  { x  e.  D  |  x  o R  <_  ( F  o F  -  j
) }  |->  X ) 
C_  { x  e.  D  |  x  o R  <_  ( F  o F  -  j
) }
175173, 174sstri 3359 . . . . . . 7  |-  ( `' ( k  e.  {
x  e.  D  |  x  o R  <_  ( F  o F  -  j
) }  |->  X )
" ( _V  \  { ( 0g `  G ) } ) )  C_  { x  e.  D  |  x  o R  <_  ( F  o F  -  j
) }
176 ssfi 7332 . . . . . . 7  |-  ( ( { x  e.  D  |  x  o R  <_  ( F  o F  -  j ) }  e.  Fin  /\  ( `' ( k  e. 
{ x  e.  D  |  x  o R  <_  ( F  o F  -  j ) } 
|->  X ) " ( _V  \  { ( 0g
`  G ) } ) )  C_  { x  e.  D  |  x  o R  <_  ( F  o F  -  j
) } )  -> 
( `' ( k  e.  { x  e.  D  |  x  o R  <_  ( F  o F  -  j
) }  |->  X )
" ( _V  \  { ( 0g `  G ) } ) )  e.  Fin )
177105, 175, 176sylancl 645 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  j  e.  S )  ->  ( `' ( k  e. 
{ x  e.  D  |  x  o R  <_  ( F  o F  -  j ) } 
|->  X ) " ( _V  \  { ( 0g
`  G ) } ) )  e.  Fin )
1785, 83, 172, 105, 11, 177, 22gsumf1o 15527 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  j  e.  S )  ->  ( G  gsumg  ( k  e.  {
x  e.  D  |  x  o R  <_  ( F  o F  -  j
) }  |->  X ) )  =  ( G 
gsumg  ( ( k  e. 
{ x  e.  D  |  x  o R  <_  ( F  o F  -  j ) } 
|->  X )  o.  (
m  e.  { x  e.  D  |  x  o R  <_  ( F  o F  -  j
) }  |->  ( ( F  o F  -  j )  o F  -  m ) ) ) ) )
17973oveq2d 6100 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  j  e.  S )  ->  ( G  gsumg  ( ( k  e. 
{ x  e.  D  |  x  o R  <_  ( F  o F  -  j ) } 
|->  X )  o.  (
m  e.  { x  e.  D  |  x  o R  <_  ( F  o F  -  j
) }  |->  ( ( F  o F  -  j )  o F  -  m ) ) ) )  =  ( G  gsumg  ( m  e.  {
x  e.  D  |  x  o R  <_  ( F  o F  -  j
) }  |->  [_ (
( F  o F  -  m )  o F  -  j )  /  k ]_ X
) ) )
180178, 179eqtrd 2470 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  j  e.  S )  ->  ( G  gsumg  ( k  e.  {
x  e.  D  |  x  o R  <_  ( F  o F  -  j
) }  |->  X ) )  =  ( G 
gsumg  ( m  e.  { x  e.  D  |  x  o R  <_  ( F  o F  -  j
) }  |->  [_ (
( F  o F  -  m )  o F  -  j )  /  k ]_ X
) ) )
181180mpteq2dva 4298 . . 3  |-  ( ph  ->  ( j  e.  S  |->  ( G  gsumg  ( k  e.  {
x  e.  D  |  x  o R  <_  ( F  o F  -  j
) }  |->  X ) ) )  =  ( j  e.  S  |->  ( G  gsumg  ( m  e.  {
x  e.  D  |  x  o R  <_  ( F  o F  -  j
) }  |->  [_ (
( F  o F  -  m )  o F  -  j )  /  k ]_ X
) ) ) )
182181oveq2d 6100 . 2  |-  ( ph  ->  ( G  gsumg  ( j  e.  S  |->  ( G  gsumg  ( k  e.  {
x  e.  D  |  x  o R  <_  ( F  o F  -  j
) }  |->  X ) ) ) )  =  ( G  gsumg  ( j  e.  S  |->  ( G  gsumg  ( m  e.  {
x  e.  D  |  x  o R  <_  ( F  o F  -  j
) }  |->  [_ (
( F  o F  -  m )  o F  -  j )  /  k ]_ X
) ) ) ) )
183114, 171, 1823eqtr4d 2480 1  |-  ( ph  ->  ( G  gsumg  ( n  e.  S  |->  ( G  gsumg  ( j  e.  {
x  e.  D  |  x  o R  <_  n }  |->  Y ) ) ) )  =  ( G  gsumg  ( j  e.  S  |->  ( G  gsumg  ( k  e.  {
x  e.  D  |  x  o R  <_  ( F  o F  -  j
) }  |->  X ) ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 360    = wceq 1653    e. wcel 1726   A.wral 2707   {crab 2711   _Vcvv 2958   [_csb 3253    \ cdif 3319    C_ wss 3322   {csn 3816   class class class wbr 4215    e. cmpt 4269    _I cid 4496    X. cxp 4879   `'ccnv 4880   dom cdm 4881    |` cres 4883   "cima 4884    o. ccom 4885   -->wf 5453   -1-1-onto->wf1o 5456   ` cfv 5457  (class class class)co 6084    e. cmpt2 6086    o Fcof 6306    o Rcofr 6307    ^m cmap 7021   Fincfn 7112   CCcc 8993    <_ cle 9126    - cmin 9296   NNcn 10005   NN0cn0 10226   Basecbs 13474   0gc0g 13728    gsumg cgsu 13729  CMndccmn 15417
This theorem is referenced by:  psrass1  16474
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4323  ax-sep 4333  ax-nul 4341  ax-pow 4380  ax-pr 4406  ax-un 4704  ax-inf2 7599  ax-cnex 9051  ax-resscn 9052  ax-1cn 9053  ax-icn 9054  ax-addcl 9055  ax-addrcl 9056  ax-mulcl 9057  ax-mulrcl 9058  ax-mulcom 9059  ax-addass 9060  ax-mulass 9061  ax-distr 9062  ax-i2m1 9063  ax-1ne0 9064  ax-1rid 9065  ax-rnegex 9066  ax-rrecex 9067  ax-cnre 9068  ax-pre-lttri 9069  ax-pre-lttrn 9070  ax-pre-ltadd 9071  ax-pre-mulgt0 9072
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rmo 2715  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-int 4053  df-iun 4097  df-iin 4098  df-br 4216  df-opab 4270  df-mpt 4271  df-tr 4306  df-eprel 4497  df-id 4501  df-po 4506  df-so 4507  df-fr 4544  df-se 4545  df-we 4546  df-ord 4587  df-on 4588  df-lim 4589  df-suc 4590  df-om 4849  df-xp 4887  df-rel 4888  df-cnv 4889  df-co 4890  df-dm 4891  df-rn 4892  df-res 4893  df-ima 4894  df-iota 5421  df-fun 5459  df-fn 5460  df-f 5461  df-f1 5462  df-fo 5463  df-f1o 5464  df-fv 5465  df-isom 5466  df-ov 6087  df-oprab 6088  df-mpt2 6089  df-of 6308  df-ofr 6309  df-1st 6352  df-2nd 6353  df-riota 6552  df-recs 6636  df-rdg 6671  df-1o 6727  df-2o 6728  df-oadd 6731  df-er 6908  df-map 7023  df-pm 7024  df-ixp 7067  df-en 7113  df-dom 7114  df-sdom 7115  df-fin 7116  df-oi 7482  df-card 7831  df-pnf 9127  df-mnf 9128  df-xr 9129  df-ltxr 9130  df-le 9131  df-sub 9298  df-neg 9299  df-nn 10006  df-2 10063  df-n0 10227  df-z 10288  df-uz 10494  df-fz 11049  df-fzo 11141  df-seq 11329  df-hash 11624  df-ndx 13477  df-slot 13478  df-base 13479  df-sets 13480  df-ress 13481  df-plusg 13547  df-0g 13732  df-gsum 13733  df-mre 13816  df-mrc 13817  df-acs 13819  df-mnd 14695  df-submnd 14744  df-mulg 14820  df-cntz 15121  df-cmn 15419
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