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Theorem psrass1lem 16139
Description: A group sum commutation used by psrass1 16166. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
psrbag.d  |-  D  =  { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f
" NN )  e. 
Fin }
psrbagconf1o.1  |-  S  =  { y  e.  D  |  y  o R  <_  F }
gsumbagdiag.i  |-  ( ph  ->  I  e.  V )
gsumbagdiag.f  |-  ( ph  ->  F  e.  D )
gsumbagdiag.b  |-  B  =  ( Base `  G
)
gsumbagdiag.g  |-  ( ph  ->  G  e. CMnd )
gsumbagdiag.x  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  S  /\  k  e.  { x  e.  D  |  x  o R  <_  ( F  o F  -  j ) } ) )  ->  X  e.  B )
psrass1lem.y  |-  ( k  =  ( n  o F  -  j )  ->  X  =  Y )
Assertion
Ref Expression
psrass1lem  |-  ( ph  ->  ( G  gsumg  ( n  e.  S  |->  ( G  gsumg  ( j  e.  {
x  e.  D  |  x  o R  <_  n }  |->  Y ) ) ) )  =  ( G  gsumg  ( j  e.  S  |->  ( G  gsumg  ( k  e.  {
x  e.  D  |  x  o R  <_  ( F  o F  -  j
) }  |->  X ) ) ) ) )
Distinct variable groups:    f, j,
k, n, x, y, F    f, G, j, k, n, x, y   
n, V, x, y   
f, I, n, x, y    ph, j, k    S, j, k, n, x    B, j, k    D, j, k, n, x, y    f, X, n, x, y    f, Y, k, x, y
Allowed substitution hints:    ph( x, y, f, n)    B( x, y, f, n)    D( f)    S( y, f)    I( j, k)    V( f, j, k)    X( j, k)    Y( j, n)

Proof of Theorem psrass1lem
Dummy variables  m  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 psrbag.d . . . 4  |-  D  =  { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f
" NN )  e. 
Fin }
2 psrbagconf1o.1 . . . 4  |-  S  =  { y  e.  D  |  y  o R  <_  F }
3 gsumbagdiag.i . . . 4  |-  ( ph  ->  I  e.  V )
4 gsumbagdiag.f . . . 4  |-  ( ph  ->  F  e.  D )
5 gsumbagdiag.b . . . 4  |-  B  =  ( Base `  G
)
6 gsumbagdiag.g . . . 4  |-  ( ph  ->  G  e. CMnd )
71, 2, 3, 4gsumbagdiaglem 16137 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( m  e.  S  /\  j  e.  { x  e.  D  |  x  o R  <_  ( F  o F  -  m ) } ) )  ->  (
j  e.  S  /\  m  e.  { x  e.  D  |  x  o R  <_  ( F  o F  -  j
) } ) )
8 gsumbagdiag.x . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  S  /\  k  e.  { x  e.  D  |  x  o R  <_  ( F  o F  -  j ) } ) )  ->  X  e.  B )
98anassrs 629 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  S )  /\  k  e.  { x  e.  D  |  x  o R  <_  ( F  o F  -  j ) } )  ->  X  e.  B )
10 eqid 2296 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  e.  { x  e.  D  |  x  o R  <_  ( F  o F  -  j
) }  |->  X )  =  ( k  e. 
{ x  e.  D  |  x  o R  <_  ( F  o F  -  j ) } 
|->  X )
119, 10fmptd 5700 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  j  e.  S )  ->  (
k  e.  { x  e.  D  |  x  o R  <_  ( F  o F  -  j
) }  |->  X ) : { x  e.  D  |  x  o R  <_  ( F  o F  -  j
) } --> B )
123adantr 451 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  j  e.  S )  ->  I  e.  V )
13 ssrab2 3271 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  { y  e.  D  |  y  o R  <_  F }  C_  D
142, 13eqsstri 3221 . . . . . . . . . . . . 13  |-  S  C_  D
154adantr 451 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  j  e.  S )  ->  F  e.  D )
16 simpr 447 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  j  e.  S )  ->  j  e.  S )
171, 2psrbagconcl 16135 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( I  e.  V  /\  F  e.  D  /\  j  e.  S )  ->  ( F  o F  -  j )  e.  S )
1812, 15, 16, 17syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  j  e.  S )  ->  ( F  o F  -  j
)  e.  S )
1914, 18sseldi 3191 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  j  e.  S )  ->  ( F  o F  -  j
)  e.  D )
20 eqid 2296 . . . . . . . . . . . . 13  |-  { x  e.  D  |  x  o R  <_  ( F  o F  -  j
) }  =  {
x  e.  D  |  x  o R  <_  ( F  o F  -  j
) }
211, 20psrbagconf1o 16136 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( I  e.  V  /\  ( F  o F  -  j )  e.  D )  ->  (
m  e.  { x  e.  D  |  x  o R  <_  ( F  o F  -  j
) }  |->  ( ( F  o F  -  j )  o F  -  m ) ) : { x  e.  D  |  x  o R  <_  ( F  o F  -  j
) } -1-1-onto-> { x  e.  D  |  x  o R  <_  ( F  o F  -  j ) } )
2212, 19, 21syl2anc 642 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  j  e.  S )  ->  (
m  e.  { x  e.  D  |  x  o R  <_  ( F  o F  -  j
) }  |->  ( ( F  o F  -  j )  o F  -  m ) ) : { x  e.  D  |  x  o R  <_  ( F  o F  -  j
) } -1-1-onto-> { x  e.  D  |  x  o R  <_  ( F  o F  -  j ) } )
23 f1of 5488 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( m  e.  { x  e.  D  |  x  o R  <_  ( F  o F  -  j
) }  |->  ( ( F  o F  -  j )  o F  -  m ) ) : { x  e.  D  |  x  o R  <_  ( F  o F  -  j
) } -1-1-onto-> { x  e.  D  |  x  o R  <_  ( F  o F  -  j ) }  ->  ( m  e. 
{ x  e.  D  |  x  o R  <_  ( F  o F  -  j ) } 
|->  ( ( F  o F  -  j )  o F  -  m
) ) : {
x  e.  D  |  x  o R  <_  ( F  o F  -  j
) } --> { x  e.  D  |  x  o R  <_  ( F  o F  -  j
) } )
2422, 23syl 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  j  e.  S )  ->  (
m  e.  { x  e.  D  |  x  o R  <_  ( F  o F  -  j
) }  |->  ( ( F  o F  -  j )  o F  -  m ) ) : { x  e.  D  |  x  o R  <_  ( F  o F  -  j
) } --> { x  e.  D  |  x  o R  <_  ( F  o F  -  j
) } )
25 fco 5414 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( k  e.  {
x  e.  D  |  x  o R  <_  ( F  o F  -  j
) }  |->  X ) : { x  e.  D  |  x  o R  <_  ( F  o F  -  j
) } --> B  /\  ( m  e.  { x  e.  D  |  x  o R  <_  ( F  o F  -  j
) }  |->  ( ( F  o F  -  j )  o F  -  m ) ) : { x  e.  D  |  x  o R  <_  ( F  o F  -  j
) } --> { x  e.  D  |  x  o R  <_  ( F  o F  -  j
) } )  -> 
( ( k  e. 
{ x  e.  D  |  x  o R  <_  ( F  o F  -  j ) } 
|->  X )  o.  (
m  e.  { x  e.  D  |  x  o R  <_  ( F  o F  -  j
) }  |->  ( ( F  o F  -  j )  o F  -  m ) ) ) : { x  e.  D  |  x  o R  <_  ( F  o F  -  j
) } --> B )
2611, 24, 25syl2anc 642 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  j  e.  S )  ->  (
( k  e.  {
x  e.  D  |  x  o R  <_  ( F  o F  -  j
) }  |->  X )  o.  ( m  e. 
{ x  e.  D  |  x  o R  <_  ( F  o F  -  j ) } 
|->  ( ( F  o F  -  j )  o F  -  m
) ) ) : { x  e.  D  |  x  o R  <_  ( F  o F  -  j ) } --> B )
2712adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  S )  /\  m  e.  { x  e.  D  |  x  o R  <_  ( F  o F  -  j ) } )  ->  I  e.  V )
2815adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  S )  /\  m  e.  { x  e.  D  |  x  o R  <_  ( F  o F  -  j ) } )  ->  F  e.  D )
291psrbagf 16129 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( I  e.  V  /\  F  e.  D )  ->  F : I --> NN0 )
3027, 28, 29syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  S )  /\  m  e.  { x  e.  D  |  x  o R  <_  ( F  o F  -  j ) } )  ->  F :
I --> NN0 )
31 ffvelrn 5679 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( F : I --> NN0  /\  z  e.  I )  ->  ( F `  z
)  e.  NN0 )
3230, 31sylan 457 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  j  e.  S )  /\  m  e.  { x  e.  D  |  x  o R  <_  ( F  o F  -  j
) } )  /\  z  e.  I )  ->  ( F `  z
)  e.  NN0 )
3316adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  S )  /\  m  e.  { x  e.  D  |  x  o R  <_  ( F  o F  -  j ) } )  ->  j  e.  S )
3414, 33sseldi 3191 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  S )  /\  m  e.  { x  e.  D  |  x  o R  <_  ( F  o F  -  j ) } )  ->  j  e.  D )
351psrbagf 16129 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( I  e.  V  /\  j  e.  D )  ->  j : I --> NN0 )
3627, 34, 35syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  S )  /\  m  e.  { x  e.  D  |  x  o R  <_  ( F  o F  -  j ) } )  ->  j :
I --> NN0 )
37 ffvelrn 5679 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( j : I --> NN0  /\  z  e.  I )  ->  ( j `  z
)  e.  NN0 )
3836, 37sylan 457 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  j  e.  S )  /\  m  e.  { x  e.  D  |  x  o R  <_  ( F  o F  -  j
) } )  /\  z  e.  I )  ->  ( j `  z
)  e.  NN0 )
39 ssrab2 3271 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  { x  e.  D  |  x  o R  <_  ( F  o F  -  j
) }  C_  D
40 simpr 447 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  S )  /\  m  e.  { x  e.  D  |  x  o R  <_  ( F  o F  -  j ) } )  ->  m  e.  { x  e.  D  |  x  o R  <_  ( F  o F  -  j
) } )
4139, 40sseldi 3191 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  S )  /\  m  e.  { x  e.  D  |  x  o R  <_  ( F  o F  -  j ) } )  ->  m  e.  D )
421psrbagf 16129 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( I  e.  V  /\  m  e.  D )  ->  m : I --> NN0 )
4327, 41, 42syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  S )  /\  m  e.  { x  e.  D  |  x  o R  <_  ( F  o F  -  j ) } )  ->  m :
I --> NN0 )
44 ffvelrn 5679 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( m : I --> NN0  /\  z  e.  I )  ->  ( m `  z
)  e.  NN0 )
4543, 44sylan 457 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  j  e.  S )  /\  m  e.  { x  e.  D  |  x  o R  <_  ( F  o F  -  j
) } )  /\  z  e.  I )  ->  ( m `  z
)  e.  NN0 )
46 nn0cn 9991 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( F `  z )  e.  NN0  ->  ( F `
 z )  e.  CC )
47 nn0cn 9991 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( j `  z )  e.  NN0  ->  ( j `
 z )  e.  CC )
48 nn0cn 9991 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( m `  z )  e.  NN0  ->  ( m `
 z )  e.  CC )
49 sub32 9097 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( F `  z
)  e.  CC  /\  ( j `  z
)  e.  CC  /\  ( m `  z
)  e.  CC )  ->  ( ( ( F `  z )  -  ( j `  z ) )  -  ( m `  z
) )  =  ( ( ( F `  z )  -  (
m `  z )
)  -  ( j `
 z ) ) )
5046, 47, 48, 49syl3an 1224 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( F `  z
)  e.  NN0  /\  ( j `  z
)  e.  NN0  /\  ( m `  z
)  e.  NN0 )  ->  ( ( ( F `
 z )  -  ( j `  z
) )  -  (
m `  z )
)  =  ( ( ( F `  z
)  -  ( m `
 z ) )  -  ( j `  z ) ) )
5132, 38, 45, 50syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  j  e.  S )  /\  m  e.  { x  e.  D  |  x  o R  <_  ( F  o F  -  j
) } )  /\  z  e.  I )  ->  ( ( ( F `
 z )  -  ( j `  z
) )  -  (
m `  z )
)  =  ( ( ( F `  z
)  -  ( m `
 z ) )  -  ( j `  z ) ) )
5251mpteq2dva 4122 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  S )  /\  m  e.  { x  e.  D  |  x  o R  <_  ( F  o F  -  j ) } )  ->  ( z  e.  I  |->  ( ( ( F `  z
)  -  ( j `
 z ) )  -  ( m `  z ) ) )  =  ( z  e.  I  |->  ( ( ( F `  z )  -  ( m `  z ) )  -  ( j `  z
) ) ) )
53 ovex 5899 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( F `  z )  -  ( j `  z ) )  e. 
_V
5453a1i 10 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  j  e.  S )  /\  m  e.  { x  e.  D  |  x  o R  <_  ( F  o F  -  j
) } )  /\  z  e.  I )  ->  ( ( F `  z )  -  (
j `  z )
)  e.  _V )
5530feqmptd 5591 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  S )  /\  m  e.  { x  e.  D  |  x  o R  <_  ( F  o F  -  j ) } )  ->  F  =  ( z  e.  I  |->  ( F `  z
) ) )
5636feqmptd 5591 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  S )  /\  m  e.  { x  e.  D  |  x  o R  <_  ( F  o F  -  j ) } )  ->  j  =  ( z  e.  I  |->  ( j `  z
) ) )
5727, 32, 38, 55, 56offval2 6111 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  S )  /\  m  e.  { x  e.  D  |  x  o R  <_  ( F  o F  -  j ) } )  ->  ( F  o F  -  j
)  =  ( z  e.  I  |->  ( ( F `  z )  -  ( j `  z ) ) ) )
5843feqmptd 5591 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  S )  /\  m  e.  { x  e.  D  |  x  o R  <_  ( F  o F  -  j ) } )  ->  m  =  ( z  e.  I  |->  ( m `  z
) ) )
5927, 54, 45, 57, 58offval2 6111 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  S )  /\  m  e.  { x  e.  D  |  x  o R  <_  ( F  o F  -  j ) } )  ->  ( ( F  o F  -  j
)  o F  -  m )  =  ( z  e.  I  |->  ( ( ( F `  z )  -  (
j `  z )
)  -  ( m `
 z ) ) ) )
60 ovex 5899 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( F `  z )  -  ( m `  z ) )  e. 
_V
6160a1i 10 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  j  e.  S )  /\  m  e.  { x  e.  D  |  x  o R  <_  ( F  o F  -  j
) } )  /\  z  e.  I )  ->  ( ( F `  z )  -  (
m `  z )
)  e.  _V )
6227, 32, 45, 55, 58offval2 6111 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  S )  /\  m  e.  { x  e.  D  |  x  o R  <_  ( F  o F  -  j ) } )  ->  ( F  o F  -  m
)  =  ( z  e.  I  |->  ( ( F `  z )  -  ( m `  z ) ) ) )
6327, 61, 38, 62, 56offval2 6111 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  S )  /\  m  e.  { x  e.  D  |  x  o R  <_  ( F  o F  -  j ) } )  ->  ( ( F  o F  -  m
)  o F  -  j )  =  ( z  e.  I  |->  ( ( ( F `  z )  -  (
m `  z )
)  -  ( j `
 z ) ) ) )
6452, 59, 633eqtr4d 2338 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  S )  /\  m  e.  { x  e.  D  |  x  o R  <_  ( F  o F  -  j ) } )  ->  ( ( F  o F  -  j
)  o F  -  m )  =  ( ( F  o F  -  m )  o F  -  j ) )
6519adantr 451 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  S )  /\  m  e.  { x  e.  D  |  x  o R  <_  ( F  o F  -  j ) } )  ->  ( F  o F  -  j
)  e.  D )
661, 20psrbagconcl 16135 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( I  e.  V  /\  ( F  o F  -  j )  e.  D  /\  m  e. 
{ x  e.  D  |  x  o R  <_  ( F  o F  -  j ) } )  ->  ( ( F  o F  -  j
)  o F  -  m )  e.  {
x  e.  D  |  x  o R  <_  ( F  o F  -  j
) } )
6727, 65, 40, 66syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  S )  /\  m  e.  { x  e.  D  |  x  o R  <_  ( F  o F  -  j ) } )  ->  ( ( F  o F  -  j
)  o F  -  m )  e.  {
x  e.  D  |  x  o R  <_  ( F  o F  -  j
) } )
6864, 67eqeltrrd 2371 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  S )  /\  m  e.  { x  e.  D  |  x  o R  <_  ( F  o F  -  j ) } )  ->  ( ( F  o F  -  m
)  o F  -  j )  e.  {
x  e.  D  |  x  o R  <_  ( F  o F  -  j
) } )
6964mpteq2dva 4122 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  j  e.  S )  ->  (
m  e.  { x  e.  D  |  x  o R  <_  ( F  o F  -  j
) }  |->  ( ( F  o F  -  j )  o F  -  m ) )  =  ( m  e. 
{ x  e.  D  |  x  o R  <_  ( F  o F  -  j ) } 
|->  ( ( F  o F  -  m )  o F  -  j
) ) )
70 nfcv 2432 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/_ n X
71 nfcsb1v 3126 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/_ k [_ n  /  k ]_ X
72 csbeq1a 3102 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  =  n  ->  X  =  [_ n  /  k ]_ X )
7370, 71, 72cbvmpt 4126 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  e.  { x  e.  D  |  x  o R  <_  ( F  o F  -  j
) }  |->  X )  =  ( n  e. 
{ x  e.  D  |  x  o R  <_  ( F  o F  -  j ) } 
|->  [_ n  /  k ]_ X )
7473a1i 10 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  j  e.  S )  ->  (
k  e.  { x  e.  D  |  x  o R  <_  ( F  o F  -  j
) }  |->  X )  =  ( n  e. 
{ x  e.  D  |  x  o R  <_  ( F  o F  -  j ) } 
|->  [_ n  /  k ]_ X ) )
75 csbeq1 3097 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  =  ( ( F  o F  -  m
)  o F  -  j )  ->  [_ n  /  k ]_ X  =  [_ ( ( F  o F  -  m
)  o F  -  j )  /  k ]_ X )
7668, 69, 74, 75fmptco 5707 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  j  e.  S )  ->  (
( k  e.  {
x  e.  D  |  x  o R  <_  ( F  o F  -  j
) }  |->  X )  o.  ( m  e. 
{ x  e.  D  |  x  o R  <_  ( F  o F  -  j ) } 
|->  ( ( F  o F  -  j )  o F  -  m
) ) )  =  ( m  e.  {
x  e.  D  |  x  o R  <_  ( F  o F  -  j
) }  |->  [_ (
( F  o F  -  m )  o F  -  j )  /  k ]_ X
) )
7776feq1d 5395 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  j  e.  S )  ->  (
( ( k  e. 
{ x  e.  D  |  x  o R  <_  ( F  o F  -  j ) } 
|->  X )  o.  (
m  e.  { x  e.  D  |  x  o R  <_  ( F  o F  -  j
) }  |->  ( ( F  o F  -  j )  o F  -  m ) ) ) : { x  e.  D  |  x  o R  <_  ( F  o F  -  j
) } --> B  <->  ( m  e.  { x  e.  D  |  x  o R  <_  ( F  o F  -  j ) } 
|->  [_ ( ( F  o F  -  m
)  o F  -  j )  /  k ]_ X ) : {
x  e.  D  |  x  o R  <_  ( F  o F  -  j
) } --> B ) )
7826, 77mpbid 201 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  j  e.  S )  ->  (
m  e.  { x  e.  D  |  x  o R  <_  ( F  o F  -  j
) }  |->  [_ (
( F  o F  -  m )  o F  -  j )  /  k ]_ X
) : { x  e.  D  |  x  o R  <_  ( F  o F  -  j
) } --> B )
79 eqid 2296 . . . . . . . . 9  |-  ( m  e.  { x  e.  D  |  x  o R  <_  ( F  o F  -  j
) }  |->  [_ (
( F  o F  -  m )  o F  -  j )  /  k ]_ X
)  =  ( m  e.  { x  e.  D  |  x  o R  <_  ( F  o F  -  j
) }  |->  [_ (
( F  o F  -  m )  o F  -  j )  /  k ]_ X
)
8079fmpt 5697 . . . . . . . 8  |-  ( A. m  e.  { x  e.  D  |  x  o R  <_  ( F  o F  -  j
) } [_ (
( F  o F  -  m )  o F  -  j )  /  k ]_ X  e.  B  <->  ( m  e. 
{ x  e.  D  |  x  o R  <_  ( F  o F  -  j ) } 
|->  [_ ( ( F  o F  -  m
)  o F  -  j )  /  k ]_ X ) : {
x  e.  D  |  x  o R  <_  ( F  o F  -  j
) } --> B )
8178, 80sylibr 203 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  j  e.  S )  ->  A. m  e.  { x  e.  D  |  x  o R  <_  ( F  o F  -  j ) }
[_ ( ( F  o F  -  m
)  o F  -  j )  /  k ]_ X  e.  B
)
8281r19.21bi 2654 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  S )  /\  m  e.  { x  e.  D  |  x  o R  <_  ( F  o F  -  j ) } )  ->  [_ ( ( F  o F  -  m )  o F  -  j )  / 
k ]_ X  e.  B
)
8382anasss 628 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  S  /\  m  e.  { x  e.  D  |  x  o R  <_  ( F  o F  -  j ) } ) )  ->  [_ (
( F  o F  -  m )  o F  -  j )  /  k ]_ X  e.  B )
847, 83syldan 456 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( m  e.  S  /\  j  e.  { x  e.  D  |  x  o R  <_  ( F  o F  -  m ) } ) )  ->  [_ (
( F  o F  -  m )  o F  -  j )  /  k ]_ X  e.  B )
851, 2, 3, 4, 5, 6, 84gsumbagdiag 16138 . . 3  |-  ( ph  ->  ( G  gsumg  ( m  e.  S ,  j  e.  { x  e.  D  |  x  o R  <_  ( F  o F  -  m
) }  |->  [_ (
( F  o F  -  m )  o F  -  j )  /  k ]_ X
) )  =  ( G  gsumg  ( j  e.  S ,  m  e.  { x  e.  D  |  x  o R  <_  ( F  o F  -  j
) }  |->  [_ (
( F  o F  -  m )  o F  -  j )  /  k ]_ X
) ) )
86 eqid 2296 . . . 4  |-  ( 0g
`  G )  =  ( 0g `  G
)
871psrbaglefi 16134 . . . . . 6  |-  ( ( I  e.  V  /\  F  e.  D )  ->  { y  e.  D  |  y  o R  <_  F }  e.  Fin )
883, 4, 87syl2anc 642 . . . . 5  |-  ( ph  ->  { y  e.  D  |  y  o R  <_  F }  e.  Fin )
892, 88syl5eqel 2380 . . . 4  |-  ( ph  ->  S  e.  Fin )
903adantr 451 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  m  e.  S )  ->  I  e.  V )
914adantr 451 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  m  e.  S )  ->  F  e.  D )
92 simpr 447 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  m  e.  S )  ->  m  e.  S )
931, 2psrbagconcl 16135 . . . . . . 7  |-  ( ( I  e.  V  /\  F  e.  D  /\  m  e.  S )  ->  ( F  o F  -  m )  e.  S )
9490, 91, 92, 93syl3anc 1182 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  m  e.  S )  ->  ( F  o F  -  m
)  e.  S )
9514, 94sseldi 3191 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  m  e.  S )  ->  ( F  o F  -  m
)  e.  D )
961psrbaglefi 16134 . . . . 5  |-  ( ( I  e.  V  /\  ( F  o F  -  m )  e.  D
)  ->  { x  e.  D  |  x  o R  <_  ( F  o F  -  m
) }  e.  Fin )
9790, 95, 96syl2anc 642 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  m  e.  S )  ->  { x  e.  D  |  x  o R  <_  ( F  o F  -  m
) }  e.  Fin )
98 xpfi 7144 . . . . 5  |-  ( ( S  e.  Fin  /\  S  e.  Fin )  ->  ( S  X.  S
)  e.  Fin )
9989, 89, 98syl2anc 642 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( S  X.  S
)  e.  Fin )
100 simprl 732 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( m  e.  S  /\  j  e.  { x  e.  D  |  x  o R  <_  ( F  o F  -  m ) } ) )  ->  m  e.  S )
1017simpld 445 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( m  e.  S  /\  j  e.  { x  e.  D  |  x  o R  <_  ( F  o F  -  m ) } ) )  ->  j  e.  S )
102 brxp 4736 . . . . . . 7  |-  ( m ( S  X.  S
) j  <->  ( m  e.  S  /\  j  e.  S ) )
103100, 101, 102sylanbrc 645 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( m  e.  S  /\  j  e.  { x  e.  D  |  x  o R  <_  ( F  o F  -  m ) } ) )  ->  m
( S  X.  S
) j )
104103pm2.24d 135 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( m  e.  S  /\  j  e.  { x  e.  D  |  x  o R  <_  ( F  o F  -  m ) } ) )  ->  ( -.  m ( S  X.  S ) j  ->  [_ ( ( F  o F  -  m )  o F  -  j
)  /  k ]_ X  =  ( 0g `  G ) ) )
105104impr 602 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( (
m  e.  S  /\  j  e.  { x  e.  D  |  x  o R  <_  ( F  o F  -  m
) } )  /\  -.  m ( S  X.  S ) j ) )  ->  [_ ( ( F  o F  -  m )  o F  -  j )  / 
k ]_ X  =  ( 0g `  G ) )
1065, 86, 6, 89, 97, 84, 99, 105gsum2d2 15241 . . 3  |-  ( ph  ->  ( G  gsumg  ( m  e.  S ,  j  e.  { x  e.  D  |  x  o R  <_  ( F  o F  -  m
) }  |->  [_ (
( F  o F  -  m )  o F  -  j )  /  k ]_ X
) )  =  ( G  gsumg  ( m  e.  S  |->  ( G  gsumg  ( j  e.  {
x  e.  D  |  x  o R  <_  ( F  o F  -  m
) }  |->  [_ (
( F  o F  -  m )  o F  -  j )  /  k ]_ X
) ) ) ) )
1071psrbaglefi 16134 . . . . 5  |-  ( ( I  e.  V  /\  ( F  o F  -  j )  e.  D )  ->  { x  e.  D  |  x  o R  <_  ( F  o F  -  j
) }  e.  Fin )
10812, 19, 107syl2anc 642 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  j  e.  S )  ->  { x  e.  D  |  x  o R  <_  ( F  o F  -  j
) }  e.  Fin )
109 simprl 732 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  S  /\  m  e.  { x  e.  D  |  x  o R  <_  ( F  o F  -  j ) } ) )  ->  j  e.  S )
1101, 2, 3, 4gsumbagdiaglem 16137 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  S  /\  m  e.  { x  e.  D  |  x  o R  <_  ( F  o F  -  j ) } ) )  ->  (
m  e.  S  /\  j  e.  { x  e.  D  |  x  o R  <_  ( F  o F  -  m
) } ) )
111110simpld 445 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  S  /\  m  e.  { x  e.  D  |  x  o R  <_  ( F  o F  -  j ) } ) )  ->  m  e.  S )
112 brxp 4736 . . . . . . 7  |-  ( j ( S  X.  S
) m  <->  ( j  e.  S  /\  m  e.  S ) )
113109, 111, 112sylanbrc 645 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  S  /\  m  e.  { x  e.  D  |  x  o R  <_  ( F  o F  -  j ) } ) )  ->  j
( S  X.  S
) m )
114113pm2.24d 135 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  S  /\  m  e.  { x  e.  D  |  x  o R  <_  ( F  o F  -  j ) } ) )  ->  ( -.  j ( S  X.  S ) m  ->  [_ ( ( F  o F  -  m )  o F  -  j
)  /  k ]_ X  =  ( 0g `  G ) ) )
115114impr 602 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( (
j  e.  S  /\  m  e.  { x  e.  D  |  x  o R  <_  ( F  o F  -  j
) } )  /\  -.  j ( S  X.  S ) m ) )  ->  [_ ( ( F  o F  -  m )  o F  -  j )  / 
k ]_ X  =  ( 0g `  G ) )
1165, 86, 6, 89, 108, 83, 99, 115gsum2d2 15241 . . 3  |-  ( ph  ->  ( G  gsumg  ( j  e.  S ,  m  e.  { x  e.  D  |  x  o R  <_  ( F  o F  -  j
) }  |->  [_ (
( F  o F  -  m )  o F  -  j )  /  k ]_ X
) )  =  ( G  gsumg  ( j  e.  S  |->  ( G  gsumg  ( m  e.  {
x  e.  D  |  x  o R  <_  ( F  o F  -  j
) }  |->  [_ (
( F  o F  -  m )  o F  -  j )  /  k ]_ X
) ) ) ) )
11785, 106, 1163eqtr3d 2336 . 2  |-  ( ph  ->  ( G  gsumg  ( m  e.  S  |->  ( G  gsumg  ( j  e.  {
x  e.  D  |  x  o R  <_  ( F  o F  -  m
) }  |->  [_ (
( F  o F  -  m )  o F  -  j )  /  k ]_ X
) ) ) )  =  ( G  gsumg  ( j  e.  S  |->  ( G 
gsumg  ( m  e.  { x  e.  D  |  x  o R  <_  ( F  o F  -  j
) }  |->  [_ (
( F  o F  -  m )  o F  -  j )  /  k ]_ X
) ) ) ) )
1186adantr 451 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  m  e.  S )  ->  G  e. CMnd )
11984anassrs 629 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  S )  /\  j  e.  { x  e.  D  |  x  o R  <_  ( F  o F  -  m ) } )  ->  [_ ( ( F  o F  -  m )  o F  -  j )  / 
k ]_ X  e.  B
)
120 eqid 2296 . . . . . . . . 9  |-  ( j  e.  { x  e.  D  |  x  o R  <_  ( F  o F  -  m
) }  |->  [_ (
( F  o F  -  m )  o F  -  j )  /  k ]_ X
)  =  ( j  e.  { x  e.  D  |  x  o R  <_  ( F  o F  -  m
) }  |->  [_ (
( F  o F  -  m )  o F  -  j )  /  k ]_ X
)
121119, 120fmptd 5700 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  m  e.  S )  ->  (
j  e.  { x  e.  D  |  x  o R  <_  ( F  o F  -  m
) }  |->  [_ (
( F  o F  -  m )  o F  -  j )  /  k ]_ X
) : { x  e.  D  |  x  o R  <_  ( F  o F  -  m
) } --> B )
122 cnvimass 5049 . . . . . . . . . 10  |-  ( `' ( j  e.  {
x  e.  D  |  x  o R  <_  ( F  o F  -  m
) }  |->  [_ (
( F  o F  -  m )  o F  -  j )  /  k ]_ X
) " ( _V 
\  { ( 0g
`  G ) } ) )  C_  dom  ( j  e.  {
x  e.  D  |  x  o R  <_  ( F  o F  -  m
) }  |->  [_ (
( F  o F  -  m )  o F  -  j )  /  k ]_ X
)
123120dmmptss 5185 . . . . . . . . . 10  |-  dom  (
j  e.  { x  e.  D  |  x  o R  <_  ( F  o F  -  m
) }  |->  [_ (
( F  o F  -  m )  o F  -  j )  /  k ]_ X
)  C_  { x  e.  D  |  x  o R  <_  ( F  o F  -  m
) }
124122, 123sstri 3201 . . . . . . . . 9  |-  ( `' ( j  e.  {
x  e.  D  |  x  o R  <_  ( F  o F  -  m
) }  |->  [_ (
( F  o F  -  m )  o F  -  j )  /  k ]_ X
) " ( _V 
\  { ( 0g
`  G ) } ) )  C_  { x  e.  D  |  x  o R  <_  ( F  o F  -  m
) }
125 ssfi 7099 . . . . . . . . 9  |-  ( ( { x  e.  D  |  x  o R  <_  ( F  o F  -  m ) }  e.  Fin  /\  ( `' ( j  e. 
{ x  e.  D  |  x  o R  <_  ( F  o F  -  m ) } 
|->  [_ ( ( F  o F  -  m
)  o F  -  j )  /  k ]_ X ) " ( _V  \  { ( 0g
`  G ) } ) )  C_  { x  e.  D  |  x  o R  <_  ( F  o F  -  m
) } )  -> 
( `' ( j  e.  { x  e.  D  |  x  o R  <_  ( F  o F  -  m
) }  |->  [_ (
( F  o F  -  m )  o F  -  j )  /  k ]_ X
) " ( _V 
\  { ( 0g
`  G ) } ) )  e.  Fin )
12697, 124, 125sylancl 643 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  m  e.  S )  ->  ( `' ( j  e. 
{ x  e.  D  |  x  o R  <_  ( F  o F  -  m ) } 
|->  [_ ( ( F  o F  -  m
)  o F  -  j )  /  k ]_ X ) " ( _V  \  { ( 0g
`  G ) } ) )  e.  Fin )
1275, 86, 118, 97, 121, 126gsumcl 15214 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  m  e.  S )  ->  ( G  gsumg  ( j  e.  {
x  e.  D  |  x  o R  <_  ( F  o F  -  m
) }  |->  [_ (
( F  o F  -  m )  o F  -  j )  /  k ]_ X
) )  e.  B
)
128 eqid 2296 . . . . . . 7  |-  ( m  e.  S  |->  ( G 
gsumg  ( j  e.  {
x  e.  D  |  x  o R  <_  ( F  o F  -  m
) }  |->  [_ (
( F  o F  -  m )  o F  -  j )  /  k ]_ X
) ) )  =  ( m  e.  S  |->  ( G  gsumg  ( j  e.  {
x  e.  D  |  x  o R  <_  ( F  o F  -  m
) }  |->  [_ (
( F  o F  -  m )  o F  -  j )  /  k ]_ X
) ) )
129127, 128fmptd 5700 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( m  e.  S  |->  ( G  gsumg  ( j  e.  {
x  e.  D  |  x  o R  <_  ( F  o F  -  m
) }  |->  [_ (
( F  o F  -  m )  o F  -  j )  /  k ]_ X
) ) ) : S --> B )
1301, 2psrbagconf1o 16136 . . . . . . . 8  |-  ( ( I  e.  V  /\  F  e.  D )  ->  ( m  e.  S  |->  ( F  o F  -  m ) ) : S -1-1-onto-> S )
1313, 4, 130syl2anc 642 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( m  e.  S  |->  ( F  o F  -  m ) ) : S -1-1-onto-> S )
132 f1ocnv 5501 . . . . . . 7  |-  ( ( m  e.  S  |->  ( F  o F  -  m ) ) : S -1-1-onto-> S  ->  `' (
m  e.  S  |->  ( F  o F  -  m ) ) : S -1-1-onto-> S )
133 f1of 5488 . . . . . . 7  |-  ( `' ( m  e.  S  |->  ( F  o F  -  m ) ) : S -1-1-onto-> S  ->  `' (
m  e.  S  |->  ( F  o F  -  m ) ) : S --> S )
134131, 132, 1333syl 18 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  `' ( m  e.  S  |->  ( F  o F  -  m )
) : S --> S )
135 fco 5414 . . . . . 6  |-  ( ( ( m  e.  S  |->  ( G  gsumg  ( j  e.  {
x  e.  D  |  x  o R  <_  ( F  o F  -  m
) }  |->  [_ (
( F  o F  -  m )  o F  -  j )  /  k ]_ X
) ) ) : S --> B  /\  `' ( m  e.  S  |->  ( F  o F  -  m ) ) : S --> S )  ->  ( ( m  e.  S  |->  ( G 
gsumg  ( j  e.  {
x  e.  D  |  x  o R  <_  ( F  o F  -  m
) }  |->  [_ (
( F  o F  -  m )  o F  -  j )  /  k ]_ X
) ) )  o.  `' ( m  e.  S  |->  ( F  o F  -  m )
) ) : S --> B )
136129, 134, 135syl2anc 642 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( m  e.  S  |->  ( G  gsumg  ( j  e.  { x  e.  D  |  x  o R  <_  ( F  o F  -  m
) }  |->  [_ (
( F  o F  -  m )  o F  -  j )  /  k ]_ X
) ) )  o.  `' ( m  e.  S  |->  ( F  o F  -  m )
) ) : S --> B )
137 coass 5207 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( n  e.  S  |->  ( G  gsumg  ( j  e.  {
x  e.  D  |  x  o R  <_  n }  |->  Y ) ) )  o.  ( m  e.  S  |->  ( F  o F  -  m
) ) )  o.  `' ( m  e.  S  |->  ( F  o F  -  m )
) )  =  ( ( n  e.  S  |->  ( G  gsumg  ( j  e.  {
x  e.  D  |  x  o R  <_  n }  |->  Y ) ) )  o.  ( ( m  e.  S  |->  ( F  o F  -  m ) )  o.  `' ( m  e.  S  |->  ( F  o F  -  m )
) ) )
138 f1ococnv2 5516 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( m  e.  S  |->  ( F  o F  -  m ) ) : S -1-1-onto-> S  ->  ( (
m  e.  S  |->  ( F  o F  -  m ) )  o.  `' ( m  e.  S  |->  ( F  o F  -  m )
) )  =  (  _I  |`  S )
)
139131, 138syl 15 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( m  e.  S  |->  ( F  o F  -  m )
)  o.  `' ( m  e.  S  |->  ( F  o F  -  m ) ) )  =  (  _I  |`  S ) )
140139coeq2d 4862 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( n  e.  S  |->  ( G  gsumg  ( j  e.  { x  e.  D  |  x  o R  <_  n }  |->  Y ) ) )  o.  ( ( m  e.  S  |->  ( F  o F  -  m
) )  o.  `' ( m  e.  S  |->  ( F  o F  -  m ) ) ) )  =  ( ( n  e.  S  |->  ( G  gsumg  ( j  e.  {
x  e.  D  |  x  o R  <_  n }  |->  Y ) ) )  o.  (  _I  |`  S ) ) )
141137, 140syl5eq 2340 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( ( n  e.  S  |->  ( G 
gsumg  ( j  e.  {
x  e.  D  |  x  o R  <_  n }  |->  Y ) ) )  o.  ( m  e.  S  |->  ( F  o F  -  m
) ) )  o.  `' ( m  e.  S  |->  ( F  o F  -  m )
) )  =  ( ( n  e.  S  |->  ( G  gsumg  ( j  e.  {
x  e.  D  |  x  o R  <_  n }  |->  Y ) ) )  o.  (  _I  |`  S ) ) )
142 eqidd 2297 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( m  e.  S  |->  ( F  o F  -  m ) )  =  ( m  e.  S  |->  ( F  o F  -  m )
) )
143 eqidd 2297 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( n  e.  S  |->  ( G  gsumg  ( j  e.  {
x  e.  D  |  x  o R  <_  n }  |->  Y ) ) )  =  ( n  e.  S  |->  ( G 
gsumg  ( j  e.  {
x  e.  D  |  x  o R  <_  n }  |->  Y ) ) ) )
144 breq2 4043 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  =  ( F  o F  -  m )  ->  ( x  o R  <_  n  <->  x  o R  <_  ( F  o F  -  m )
) )
145144rabbidv 2793 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  =  ( F  o F  -  m )  ->  { x  e.  D  |  x  o R  <_  n }  =  {
x  e.  D  |  x  o R  <_  ( F  o F  -  m
) } )
146 ovex 5899 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  o F  -  j
)  e.  _V
147 nfcv 2432 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/_ k Y
148 psrass1lem.y . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  =  ( n  o F  -  j )  ->  X  =  Y )
149146, 147, 148csbief 3135 . . . . . . . . . . . 12  |-  [_ (
n  o F  -  j )  /  k ]_ X  =  Y
150 oveq1 5881 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  =  ( F  o F  -  m )  ->  ( n  o F  -  j )  =  ( ( F  o F  -  m )  o F  -  j
) )
151150csbeq1d 3100 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  =  ( F  o F  -  m )  ->  [_ ( n  o F  -  j )  /  k ]_ X  =  [_ ( ( F  o F  -  m
)  o F  -  j )  /  k ]_ X )
152149, 151syl5eqr 2342 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  =  ( F  o F  -  m )  ->  Y  =  [_ (
( F  o F  -  m )  o F  -  j )  /  k ]_ X
)
153145, 152mpteq12dv 4114 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  =  ( F  o F  -  m )  ->  ( j  e.  {
x  e.  D  |  x  o R  <_  n }  |->  Y )  =  ( j  e.  {
x  e.  D  |  x  o R  <_  ( F  o F  -  m
) }  |->  [_ (
( F  o F  -  m )  o F  -  j )  /  k ]_ X
) )
154153oveq2d 5890 . . . . . . . . 9  |-  ( n  =  ( F  o F  -  m )  ->  ( G  gsumg  ( j  e.  {
x  e.  D  |  x  o R  <_  n }  |->  Y ) )  =  ( G  gsumg  ( j  e.  { x  e.  D  |  x  o R  <_  ( F  o F  -  m
) }  |->  [_ (
( F  o F  -  m )  o F  -  j )  /  k ]_ X
) ) )
15594, 142, 143, 154fmptco 5707 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( n  e.  S  |->  ( G  gsumg  ( j  e.  { x  e.  D  |  x  o R  <_  n }  |->  Y ) ) )  o.  ( m  e.  S  |->  ( F  o F  -  m )
) )  =  ( m  e.  S  |->  ( G  gsumg  ( j  e.  {
x  e.  D  |  x  o R  <_  ( F  o F  -  m
) }  |->  [_ (
( F  o F  -  m )  o F  -  j )  /  k ]_ X
) ) ) )
156155coeq1d 4861 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( ( n  e.  S  |->  ( G 
gsumg  ( j  e.  {
x  e.  D  |  x  o R  <_  n }  |->  Y ) ) )  o.  ( m  e.  S  |->  ( F  o F  -  m
) ) )  o.  `' ( m  e.  S  |->  ( F  o F  -  m )
) )  =  ( ( m  e.  S  |->  ( G  gsumg  ( j  e.  {
x  e.  D  |  x  o R  <_  ( F  o F  -  m
) }  |->  [_ (
( F  o F  -  m )  o F  -  j )  /  k ]_ X
) ) )  o.  `' ( m  e.  S  |->  ( F  o F  -  m )
) ) )
157 coires1 5206 . . . . . . . . 9  |-  ( ( n  e.  S  |->  ( G  gsumg  ( j  e.  {
x  e.  D  |  x  o R  <_  n }  |->  Y ) ) )  o.  (  _I  |`  S ) )  =  ( ( n  e.  S  |->  ( G  gsumg  ( j  e.  { x  e.  D  |  x  o R  <_  n }  |->  Y ) ) )  |`  S )
158 ssid 3210 . . . . . . . . . 10  |-  S  C_  S
159 resmpt 5016 . . . . . . . . . 10  |-  ( S 
C_  S  ->  (
( n  e.  S  |->  ( G  gsumg  ( j  e.  {
x  e.  D  |  x  o R  <_  n }  |->  Y ) ) )  |`  S )  =  ( n  e.  S  |->  ( G  gsumg  ( j  e.  { x  e.  D  |  x  o R  <_  n }  |->  Y ) ) ) )
160158, 159ax-mp 8 . . . . . . . . 9  |-  ( ( n  e.  S  |->  ( G  gsumg  ( j  e.  {
x  e.  D  |  x  o R  <_  n }  |->  Y ) ) )  |`  S )  =  ( n  e.  S  |->  ( G  gsumg  ( j  e.  { x  e.  D  |  x  o R  <_  n }  |->  Y ) ) )
161157, 160eqtri 2316 . . . . . . . 8  |-  ( ( n  e.  S  |->  ( G  gsumg  ( j  e.  {
x  e.  D  |  x  o R  <_  n }  |->  Y ) ) )  o.  (  _I  |`  S ) )  =  ( n  e.  S  |->  ( G  gsumg  ( j  e.  {
x  e.  D  |  x  o R  <_  n }  |->  Y ) ) )
162161a1i 10 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( n  e.  S  |->  ( G  gsumg  ( j  e.  { x  e.  D  |  x  o R  <_  n }  |->  Y ) ) )  o.  (  _I  |`  S ) )  =  ( n  e.  S  |->  ( G 
gsumg  ( j  e.  {
x  e.  D  |  x  o R  <_  n }  |->  Y ) ) ) )
163141, 156, 1623eqtr3d 2336 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( m  e.  S  |->  ( G  gsumg  ( j  e.  { x  e.  D  |  x  o R  <_  ( F  o F  -  m
) }  |->  [_ (
( F  o F  -  m )  o F  -  j )  /  k ]_ X
) ) )  o.  `' ( m  e.  S  |->  ( F  o F  -  m )
) )  =  ( n  e.  S  |->  ( G  gsumg  ( j  e.  {
x  e.  D  |  x  o R  <_  n }  |->  Y ) ) ) )
164163feq1d 5395 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( ( m  e.  S  |->  ( G 
gsumg  ( j  e.  {
x  e.  D  |  x  o R  <_  ( F  o F  -  m
) }  |->  [_ (
( F  o F  -  m )  o F  -  j )  /  k ]_ X
) ) )  o.  `' ( m  e.  S  |->  ( F  o F  -  m )
) ) : S --> B 
<->  ( n  e.  S  |->  ( G  gsumg  ( j  e.  {
x  e.  D  |  x  o R  <_  n }  |->  Y ) ) ) : S --> B ) )
165136, 164mpbid 201 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( n  e.  S  |->  ( G  gsumg  ( j  e.  {
x  e.  D  |  x  o R  <_  n }  |->  Y ) ) ) : S --> B )
166 cnvimass 5049 . . . . . 6  |-  ( `' ( n  e.  S  |->  ( G  gsumg  ( j  e.  {
x  e.  D  |  x  o R  <_  n }  |->  Y ) ) ) " ( _V 
\  { ( 0g
`  G ) } ) )  C_  dom  ( n  e.  S  |->  ( G  gsumg  ( j  e.  {
x  e.  D  |  x  o R  <_  n }  |->  Y ) ) )
167 eqid 2296 . . . . . . 7  |-  ( n  e.  S  |->  ( G 
gsumg  ( j  e.  {
x  e.  D  |  x  o R  <_  n }  |->  Y ) ) )  =  ( n  e.  S  |->  ( G 
gsumg  ( j  e.  {
x  e.  D  |  x  o R  <_  n }  |->  Y ) ) )
168167dmmptss 5185 . . . . . 6  |-  dom  (
n  e.  S  |->  ( G  gsumg  ( j  e.  {
x  e.  D  |  x  o R  <_  n }  |->  Y ) ) )  C_  S
169166, 168sstri 3201 . . . . 5  |-  ( `' ( n  e.  S  |->  ( G  gsumg  ( j  e.  {
x  e.  D  |  x  o R  <_  n }  |->  Y ) ) ) " ( _V 
\  { ( 0g
`  G ) } ) )  C_  S
170 ssfi 7099 . . . . 5  |-  ( ( S  e.  Fin  /\  ( `' ( n  e.  S  |->  ( G  gsumg  ( j  e.  { x  e.  D  |  x  o R  <_  n }  |->  Y ) ) )
" ( _V  \  { ( 0g `  G ) } ) )  C_  S )  ->  ( `' ( n  e.  S  |->  ( G 
gsumg  ( j  e.  {
x  e.  D  |  x  o R  <_  n }  |->  Y ) ) ) " ( _V 
\  { ( 0g
`  G ) } ) )  e.  Fin )
17189, 169, 170sylancl 643 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( `' ( n  e.  S  |->  ( G 
gsumg  ( j  e.  {
x  e.  D  |  x  o R  <_  n }  |->  Y ) ) ) " ( _V 
\  { ( 0g
`  G ) } ) )  e.  Fin )
1725, 86, 6, 89, 165, 171, 131gsumf1o 15215 . . 3  |-  ( ph  ->  ( G  gsumg  ( n  e.  S  |->  ( G  gsumg  ( j  e.  {
x  e.  D  |  x  o R  <_  n }  |->  Y ) ) ) )  =  ( G  gsumg  ( ( n  e.  S  |->  ( G  gsumg  ( j  e.  { x  e.  D  |  x  o R  <_  n }  |->  Y ) ) )  o.  ( m  e.  S  |->  ( F  o F  -  m )
) ) ) )
173155oveq2d 5890 . . 3  |-  ( ph  ->  ( G  gsumg  ( ( n  e.  S  |->  ( G  gsumg  ( j  e.  { x  e.  D  |  x  o R  <_  n }  |->  Y ) ) )  o.  ( m  e.  S  |->  ( F  o F  -  m )
) ) )  =  ( G  gsumg  ( m  e.  S  |->  ( G  gsumg  ( j  e.  {
x  e.  D  |  x  o R  <_  ( F  o F  -  m
) }  |->  [_ (
( F  o F  -  m )  o F  -  j )  /  k ]_ X
) ) ) ) )
174172, 173eqtrd 2328 . 2  |-  ( ph  ->  ( G  gsumg  ( n  e.  S  |->  ( G  gsumg  ( j  e.  {
x  e.  D  |  x  o R  <_  n }  |->  Y ) ) ) )  =  ( G  gsumg  ( m  e.  S  |->  ( G  gsumg  ( j  e.  {
x  e.  D  |  x  o R  <_  ( F  o F  -  m
) }  |->  [_ (
( F  o F  -  m )  o F  -  j )  /  k ]_ X
) ) ) ) )
1756adantr 451 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  j  e.  S )  ->  G  e. CMnd )
176 cnvimass 5049 . . . . . . . 8  |-  ( `' ( k  e.  {
x  e.  D  |  x  o R  <_  ( F  o F  -  j
) }  |->  X )
" ( _V  \  { ( 0g `  G ) } ) )  C_  dom  ( k  e.  { x  e.  D  |  x  o R  <_  ( F  o F  -  j
) }  |->  X )
17710dmmptss 5185 . . . . . . . 8  |-  dom  (
k  e.  { x  e.  D  |  x  o R  <_  ( F  o F  -  j
) }  |->  X ) 
C_  { x  e.  D  |  x  o R  <_  ( F  o F  -  j
) }
178176, 177sstri 3201 . . . . . . 7  |-  ( `' ( k  e.  {
x  e.  D  |  x  o R  <_  ( F  o F  -  j
) }  |->  X )
" ( _V  \  { ( 0g `  G ) } ) )  C_  { x  e.  D  |  x  o R  <_  ( F  o F  -  j
) }
179 ssfi 7099 . . . . . . 7  |-  ( ( { x  e.  D  |  x  o R  <_  ( F  o F  -  j ) }  e.  Fin  /\  ( `' ( k  e. 
{ x  e.  D  |  x  o R  <_  ( F  o F  -  j ) } 
|->  X ) " ( _V  \  { ( 0g
`  G ) } ) )  C_  { x  e.  D  |  x  o R  <_  ( F  o F  -  j
) } )  -> 
( `' ( k  e.  { x  e.  D  |  x  o R  <_  ( F  o F  -  j
) }  |->  X )
" ( _V  \  { ( 0g `  G ) } ) )  e.  Fin )
180108, 178, 179sylancl 643 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  j  e.  S )  ->  ( `' ( k  e. 
{ x  e.  D  |  x  o R  <_  ( F  o F  -  j ) } 
|->  X ) " ( _V  \  { ( 0g
`  G ) } ) )  e.  Fin )
1815, 86, 175, 108, 11, 180, 22gsumf1o 15215 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  j  e.  S )  ->  ( G  gsumg  ( k  e.  {
x  e.  D  |  x  o R  <_  ( F  o F  -  j
) }  |->  X ) )  =  ( G 
gsumg  ( ( k  e. 
{ x  e.  D  |  x  o R  <_  ( F  o F  -  j ) } 
|->  X )  o.  (
m  e.  { x  e.  D  |  x  o R  <_  ( F  o F  -  j
) }  |->  ( ( F  o F  -  j )  o F  -  m ) ) ) ) )
18276oveq2d 5890 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  j  e.  S )  ->  ( G  gsumg  ( ( k  e. 
{ x  e.  D  |  x  o R  <_  ( F  o F  -  j ) } 
|->  X )  o.  (
m  e.  { x  e.  D  |  x  o R  <_  ( F  o F  -  j
) }  |->  ( ( F  o F  -  j )  o F  -  m ) ) ) )  =  ( G  gsumg  ( m  e.  {
x  e.  D  |  x  o R  <_  ( F  o F  -  j
) }  |->  [_ (
( F  o F  -  m )  o F  -  j )  /  k ]_ X
) ) )
183181, 182eqtrd 2328 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  j  e.  S )  ->  ( G  gsumg  ( k  e.  {
x  e.  D  |  x  o R  <_  ( F  o F  -  j
) }  |->  X ) )  =  ( G 
gsumg  ( m  e.  { x  e.  D  |  x  o R  <_  ( F  o F  -  j
) }  |->  [_ (
( F  o F  -  m )  o F  -  j )  /  k ]_ X
) ) )
184183mpteq2dva 4122 . . 3  |-  ( ph  ->  ( j  e.  S  |->  ( G  gsumg  ( k  e.  {
x  e.  D  |  x  o R  <_  ( F  o F  -  j
) }  |->  X ) ) )  =  ( j  e.  S  |->  ( G  gsumg  ( m  e.  {
x  e.  D  |  x  o R  <_  ( F  o F  -  j
) }  |->  [_ (
( F  o F  -  m )  o F  -  j )  /  k ]_ X
) ) ) )
185184oveq2d 5890 . 2  |-  ( ph  ->  ( G  gsumg  ( j  e.  S  |->  ( G  gsumg  ( k  e.  {
x  e.  D  |  x  o R  <_  ( F  o F  -  j
) }  |->  X ) ) ) )  =  ( G  gsumg  ( j  e.  S  |->  ( G  gsumg  ( m  e.  {
x  e.  D  |  x  o R  <_  ( F  o F  -  j
) }  |->  [_ (
( F  o F  -  m )  o F  -  j )  /  k ]_ X
) ) ) ) )
186117, 174, 1853eqtr4d 2338 1  |-  ( ph  ->  ( G  gsumg  ( n  e.  S  |->  ( G  gsumg  ( j  e.  {
x  e.  D  |  x  o R  <_  n }  |->  Y ) ) ) )  =  ( G  gsumg  ( j  e.  S  |->  ( G  gsumg  ( k  e.  {
x  e.  D  |  x  o R  <_  ( F  o F  -  j
) }  |->  X ) ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 358    = wceq 1632    e. wcel 1696   A.wral 2556   {crab 2560   _Vcvv 2801   [_csb 3094    \ cdif 3162    C_ wss 3165   {csn 3653   class class class wbr 4039    e. cmpt 4093    _I cid 4320    X. cxp 4703   `'ccnv 4704   dom cdm 4705    |` cres 4707   "cima 4708    o. ccom 4709   -->wf 5267   -1-1-onto->wf1o 5270   ` cfv 5271  (class class class)co 5874    e. cmpt2 5876    o Fcof 6092    o Rcofr 6093    ^m cmap 6788   Fincfn 6879   CCcc 8751    <_ cle 8884    - cmin 9053   NNcn 9762   NN0cn0 9981   Basecbs 13164   0gc0g 13416    gsumg cgsu 13417  CMndccmn 15105
This theorem is referenced by:  psrass1  16166
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-inf2 7358  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-int 3879  df-iun 3923  df-iin 3924  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-se 4369  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-isom 5280  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-of 6094  df-ofr 6095  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-1o 6495  df-2o 6496  df-oadd 6499  df-er 6676  df-map 6790  df-pm 6791  df-ixp 6834  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-fin 6883  df-oi 7241  df-card 7588  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-nn 9763  df-2 9820  df-n0 9982  df-z 10041  df-uz 10247  df-fz 10799  df-fzo 10887  df-seq 11063  df-hash 11354  df-ndx 13167  df-slot 13168  df-base 13169  df-sets 13170  df-ress 13171  df-plusg 13237  df-0g 13420  df-gsum 13421  df-mre 13504  df-mrc 13505  df-acs 13507  df-mnd 14383  df-submnd 14432  df-mulg 14508  df-cntz 14809  df-cmn 15107
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