Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  psrass1lem Unicode version

Theorem psrass1lem 16123
 Description: A group sum commutation used by psrass1 16150. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
psrbag.d
psrbagconf1o.1
gsumbagdiag.i
gsumbagdiag.f
gsumbagdiag.b
gsumbagdiag.g CMnd
gsumbagdiag.x
psrass1lem.y
Assertion
Ref Expression
psrass1lem g g g g
Distinct variable groups:   ,,,,,,   ,,,,,,   ,,,   ,,,,   ,,   ,,,,   ,,   ,,,,,   ,,,,   ,,,,
Allowed substitution hints:   (,,,)   (,,,)   ()   (,)   (,)   (,,)   (,)   (,)

Proof of Theorem psrass1lem
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 psrbag.d . . . 4
2 psrbagconf1o.1 . . . 4
3 gsumbagdiag.i . . . 4
4 gsumbagdiag.f . . . 4
5 gsumbagdiag.b . . . 4
6 gsumbagdiag.g . . . 4 CMnd
71, 2, 3, 4gsumbagdiaglem 16121 . . . . 5
8 gsumbagdiag.x . . . . . . . . . . . 12
98anassrs 629 . . . . . . . . . . 11
10 eqid 2283 . . . . . . . . . . 11
119, 10fmptd 5684 . . . . . . . . . 10
123adantr 451 . . . . . . . . . . . 12
13 ssrab2 3258 . . . . . . . . . . . . . 14
142, 13eqsstri 3208 . . . . . . . . . . . . 13
154adantr 451 . . . . . . . . . . . . . 14
16 simpr 447 . . . . . . . . . . . . . 14
171, 2psrbagconcl 16119 . . . . . . . . . . . . . 14
1812, 15, 16, 17syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . . 13
1914, 18sseldi 3178 . . . . . . . . . . . 12
20 eqid 2283 . . . . . . . . . . . . 13
211, 20psrbagconf1o 16120 . . . . . . . . . . . 12
2212, 19, 21syl2anc 642 . . . . . . . . . . 11
23 f1of 5472 . . . . . . . . . . 11
2422, 23syl 15 . . . . . . . . . 10
25 fco 5398 . . . . . . . . . 10
2611, 24, 25syl2anc 642 . . . . . . . . 9
2712adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2815adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
291psrbagf 16113 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
3027, 28, 29syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . . 16
31 ffvelrn 5663 . . . . . . . . . . . . . . . 16
3230, 31sylan 457 . . . . . . . . . . . . . . 15
3316adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
3414, 33sseldi 3178 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
351psrbagf 16113 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
3627, 34, 35syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . . 16
37 ffvelrn 5663 . . . . . . . . . . . . . . . 16
3836, 37sylan 457 . . . . . . . . . . . . . . 15
39 ssrab2 3258 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
40 simpr 447 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
4139, 40sseldi 3178 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
421psrbagf 16113 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
4327, 41, 42syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . . 16
44 ffvelrn 5663 . . . . . . . . . . . . . . . 16
4543, 44sylan 457 . . . . . . . . . . . . . . 15
46 nn0cn 9975 . . . . . . . . . . . . . . . 16
47 nn0cn 9975 . . . . . . . . . . . . . . . 16
48 nn0cn 9975 . . . . . . . . . . . . . . . 16
49 sub32 9081 . . . . . . . . . . . . . . . 16
5046, 47, 48, 49syl3an 1224 . . . . . . . . . . . . . . 15
5132, 38, 45, 50syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . . . 14
5251mpteq2dva 4106 . . . . . . . . . . . . 13
53 ovex 5883 . . . . . . . . . . . . . . 15
5453a1i 10 . . . . . . . . . . . . . 14
5530feqmptd 5575 . . . . . . . . . . . . . . 15
5636feqmptd 5575 . . . . . . . . . . . . . . 15
5727, 32, 38, 55, 56offval2 6095 . . . . . . . . . . . . . 14
5843feqmptd 5575 . . . . . . . . . . . . . 14
5927, 54, 45, 57, 58offval2 6095 . . . . . . . . . . . . 13
60 ovex 5883 . . . . . . . . . . . . . . 15
6160a1i 10 . . . . . . . . . . . . . 14
6227, 32, 45, 55, 58offval2 6095 . . . . . . . . . . . . . 14
6327, 61, 38, 62, 56offval2 6095 . . . . . . . . . . . . 13
6452, 59, 633eqtr4d 2325 . . . . . . . . . . . 12
6519adantr 451 . . . . . . . . . . . . 13
661, 20psrbagconcl 16119 . . . . . . . . . . . . 13
6727, 65, 40, 66syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . 12
6864, 67eqeltrrd 2358 . . . . . . . . . . 11
6964mpteq2dva 4106 . . . . . . . . . . 11
70 nfcv 2419 . . . . . . . . . . . . 13
71 nfcsb1v 3113 . . . . . . . . . . . . 13
72 csbeq1a 3089 . . . . . . . . . . . . 13
7370, 71, 72cbvmpt 4110 . . . . . . . . . . . 12
7473a1i 10 . . . . . . . . . . 11
75 csbeq1 3084 . . . . . . . . . . 11
7668, 69, 74, 75fmptco 5691 . . . . . . . . . 10
7776feq1d 5379 . . . . . . . . 9
7826, 77mpbid 201 . . . . . . . 8
79 eqid 2283 . . . . . . . . 9
8079fmpt 5681 . . . . . . . 8
8178, 80sylibr 203 . . . . . . 7
8281r19.21bi 2641 . . . . . 6
8382anasss 628 . . . . 5
847, 83syldan 456 . . . 4
851, 2, 3, 4, 5, 6, 84gsumbagdiag 16122 . . 3 g g
86 eqid 2283 . . . 4
871psrbaglefi 16118 . . . . . 6
883, 4, 87syl2anc 642 . . . . 5
892, 88syl5eqel 2367 . . . 4
903adantr 451 . . . . 5
914adantr 451 . . . . . . 7
92 simpr 447 . . . . . . 7
931, 2psrbagconcl 16119 . . . . . . 7
9490, 91, 92, 93syl3anc 1182 . . . . . 6
9514, 94sseldi 3178 . . . . 5
961psrbaglefi 16118 . . . . 5
9790, 95, 96syl2anc 642 . . . 4
98 xpfi 7128 . . . . 5
9989, 89, 98syl2anc 642 . . . 4
100 simprl 732 . . . . . . 7
1017simpld 445 . . . . . . 7
102 brxp 4720 . . . . . . 7
103100, 101, 102sylanbrc 645 . . . . . 6
104103pm2.24d 135 . . . . 5
105104impr 602 . . . 4
1065, 86, 6, 89, 97, 84, 99, 105gsum2d2 15225 . . 3 g g g
1071psrbaglefi 16118 . . . . 5
10812, 19, 107syl2anc 642 . . . 4
109 simprl 732 . . . . . . 7
1101, 2, 3, 4gsumbagdiaglem 16121 . . . . . . . 8
111110simpld 445 . . . . . . 7
112 brxp 4720 . . . . . . 7
113109, 111, 112sylanbrc 645 . . . . . 6
114113pm2.24d 135 . . . . 5
115114impr 602 . . . 4
1165, 86, 6, 89, 108, 83, 99, 115gsum2d2 15225 . . 3 g g g
11785, 106, 1163eqtr3d 2323 . 2 g g g g
1186adantr 451 . . . . . . . 8 CMnd
11984anassrs 629 . . . . . . . . 9
120 eqid 2283 . . . . . . . . 9
121119, 120fmptd 5684 . . . . . . . 8
122 cnvimass 5033 . . . . . . . . . 10
123120dmmptss 5169 . . . . . . . . . 10
124122, 123sstri 3188 . . . . . . . . 9
125 ssfi 7083 . . . . . . . . 9
12697, 124, 125sylancl 643 . . . . . . . 8
1275, 86, 118, 97, 121, 126gsumcl 15198 . . . . . . 7 g
128 eqid 2283 . . . . . . 7 g g
129127, 128fmptd 5684 . . . . . 6 g
1301, 2psrbagconf1o 16120 . . . . . . . 8
1313, 4, 130syl2anc 642 . . . . . . 7
132 f1ocnv 5485 . . . . . . 7
133 f1of 5472 . . . . . . 7
134131, 132, 1333syl 18 . . . . . 6
135 fco 5398 . . . . . 6 g g
136129, 134, 135syl2anc 642 . . . . 5 g
137 coass 5191 . . . . . . . 8 g g
138 f1ococnv2 5500 . . . . . . . . . 10
139131, 138syl 15 . . . . . . . . 9
140139coeq2d 4846 . . . . . . . 8 g g
141137, 140syl5eq 2327 . . . . . . 7 g g
142 eqidd 2284 . . . . . . . . 9
143 eqidd 2284 . . . . . . . . 9 g g
144 breq2 4027 . . . . . . . . . . . 12
145144rabbidv 2780 . . . . . . . . . . 11
146 ovex 5883 . . . . . . . . . . . . 13
147 nfcv 2419 . . . . . . . . . . . . 13
148 psrass1lem.y . . . . . . . . . . . . 13
149146, 147, 148csbief 3122 . . . . . . . . . . . 12
150 oveq1 5865 . . . . . . . . . . . . 13
151150csbeq1d 3087 . . . . . . . . . . . 12
152149, 151syl5eqr 2329 . . . . . . . . . . 11
153145, 152mpteq12dv 4098 . . . . . . . . . 10
154153oveq2d 5874 . . . . . . . . 9 g g
15594, 142, 143, 154fmptco 5691 . . . . . . . 8 g g
156155coeq1d 4845 . . . . . . 7 g g
157 coires1 5190 . . . . . . . . 9 g g
158 ssid 3197 . . . . . . . . . 10
159 resmpt 5000 . . . . . . . . . 10 g g
160158, 159ax-mp 8 . . . . . . . . 9 g g
161157, 160eqtri 2303 . . . . . . . 8 g g
162161a1i 10 . . . . . . 7 g g
163141, 156, 1623eqtr3d 2323 . . . . . 6 g g
164163feq1d 5379 . . . . 5 g g
165136, 164mpbid 201 . . . 4 g
166 cnvimass 5033 . . . . . 6 g g
167 eqid 2283 . . . . . . 7 g g
168167dmmptss 5169 . . . . . 6 g
169166, 168sstri 3188 . . . . 5 g
170 ssfi 7083 . . . . 5 g g
17189, 169, 170sylancl 643 . . . 4 g
1725, 86, 6, 89, 165, 171, 131gsumf1o 15199 . . 3 g g g g
173155oveq2d 5874 . . 3 g g g g
174172, 173eqtrd 2315 . 2 g g g g
1756adantr 451 . . . . . 6 CMnd
176 cnvimass 5033 . . . . . . . 8
17710dmmptss 5169 . . . . . . . 8
178176, 177sstri 3188 . . . . . . 7
179 ssfi 7083 . . . . . . 7
180108, 178, 179sylancl 643 . . . . . 6
1815, 86, 175, 108, 11, 180, 22gsumf1o 15199 . . . . 5 g g
18276oveq2d 5874 . . . . 5 g g
183181, 182eqtrd 2315 . . . 4 g g
184183mpteq2dva 4106 . . 3 g g
185184oveq2d 5874 . 2 g g g g
186117, 174, 1853eqtr4d 2325 1 g g g g
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wn 3   wi 4   wa 358   wceq 1623   wcel 1684  wral 2543  crab 2547  cvv 2788  csb 3081   cdif 3149   wss 3152  csn 3640   class class class wbr 4023   cmpt 4077   cid 4304   cxp 4687  ccnv 4688   cdm 4689   cres 4691  cima 4692   ccom 4693  wf 5251  wf1o 5254  cfv 5255  (class class class)co 5858   cmpt2 5860   cof 6076   cofr 6077   cmap 6772  cfn 6863  cc 8735   cle 8868   cmin 9037  cn 9746  cn0 9965  cbs 13148  c0g 13400   g cgsu 13401  CMndccmn 15089 This theorem is referenced by:  psrass1  16150 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-inf2 7342  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814 This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-iin 3908  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-se 4353  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-isom 5264  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-of 6078  df-ofr 6079  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-2o 6480  df-oadd 6483  df-er 6660  df-map 6774  df-pm 6775  df-ixp 6818  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-fin 6867  df-oi 7225  df-card 7572  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-nn 9747  df-2 9804  df-n0 9966  df-z 10025  df-uz 10231  df-fz 10783  df-fzo 10871  df-seq 11047  df-hash 11338  df-ndx 13151  df-slot 13152  df-base 13153  df-sets 13154  df-ress 13155  df-plusg 13221  df-0g 13404  df-gsum 13405  df-mre 13488  df-mrc 13489  df-acs 13491  df-mnd 14367  df-submnd 14416  df-mulg 14492  df-cntz 14793  df-cmn 15091
 Copyright terms: Public domain W3C validator