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Theorem psrass23 16154
Description: Associative identities for the ring of power series. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
psrrng.s  |-  S  =  ( I mPwSer  R )
psrrng.i  |-  ( ph  ->  I  e.  V )
psrrng.r  |-  ( ph  ->  R  e.  Ring )
psrass.d  |-  D  =  { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f
" NN )  e. 
Fin }
psrass.t  |-  .X.  =  ( .r `  S )
psrass.b  |-  B  =  ( Base `  S
)
psrass.x  |-  ( ph  ->  X  e.  B )
psrass.y  |-  ( ph  ->  Y  e.  B )
psrcom.c  |-  ( ph  ->  R  e.  CRing )
psrass.k  |-  K  =  ( Base `  R
)
psrass.n  |-  .x.  =  ( .s `  S )
psrass.a  |-  ( ph  ->  A  e.  K )
Assertion
Ref Expression
psrass23  |-  ( ph  ->  ( ( ( A 
.x.  X )  .X.  Y )  =  ( A  .x.  ( X 
.X.  Y ) )  /\  ( X  .X.  ( A  .x.  Y ) )  =  ( A 
.x.  ( X  .X.  Y ) ) ) )
Distinct variable groups:    f, I    R, f    f, X    f, Y
Allowed substitution hints:    ph( f)    A( f)    B( f)    D( f)    S( f)    .x. ( f)    .X. ( f)    K( f)    V( f)

Proof of Theorem psrass23
Dummy variables  x  k  y  u  v  w are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 psrrng.s . . . . . . . . . 10  |-  S  =  ( I mPwSer  R )
2 psrass.n . . . . . . . . . 10  |-  .x.  =  ( .s `  S )
3 eqid 2283 . . . . . . . . . 10  |-  ( Base `  R )  =  (
Base `  R )
4 psrass.b . . . . . . . . . 10  |-  B  =  ( Base `  S
)
5 eqid 2283 . . . . . . . . . 10  |-  ( .r
`  R )  =  ( .r `  R
)
6 psrass.d . . . . . . . . . 10  |-  D  =  { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f
" NN )  e. 
Fin }
7 psrass.a . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  A  e.  K )
87adantr 451 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  k  e.  D )  ->  A  e.  K )
9 psrass.k . . . . . . . . . . . 12  |-  K  =  ( Base `  R
)
108, 9syl6eleq 2373 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  D )  ->  A  e.  ( Base `  R
) )
1110adantr 451 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  x  e.  { y  e.  D  |  y  o R  <_  k } )  ->  A  e.  ( Base `  R ) )
12 psrass.x . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  X  e.  B )
1312ad2antrr 706 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  x  e.  { y  e.  D  |  y  o R  <_  k } )  ->  X  e.  B )
14 ssrab2 3258 . . . . . . . . . . 11  |-  { y  e.  D  |  y  o R  <_  k }  C_  D
15 simpr 447 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  x  e.  { y  e.  D  |  y  o R  <_  k } )  ->  x  e.  { y  e.  D  |  y  o R  <_  k } )
1614, 15sseldi 3178 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  x  e.  { y  e.  D  |  y  o R  <_  k } )  ->  x  e.  D )
171, 2, 3, 4, 5, 6, 11, 13, 16psrvscaval 16137 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  x  e.  { y  e.  D  |  y  o R  <_  k } )  -> 
( ( A  .x.  X ) `  x
)  =  ( A ( .r `  R
) ( X `  x ) ) )
1817oveq1d 5873 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  x  e.  { y  e.  D  |  y  o R  <_  k } )  -> 
( ( ( A 
.x.  X ) `  x ) ( .r
`  R ) ( Y `  ( k  o F  -  x
) ) )  =  ( ( A ( .r `  R ) ( X `  x
) ) ( .r
`  R ) ( Y `  ( k  o F  -  x
) ) ) )
19 psrrng.r . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  R  e.  Ring )
2019ad2antrr 706 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  x  e.  { y  e.  D  |  y  o R  <_  k } )  ->  R  e.  Ring )
211, 3, 6, 4, 13psrelbas 16125 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  x  e.  { y  e.  D  |  y  o R  <_  k } )  ->  X : D --> ( Base `  R ) )
22 ffvelrn 5663 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( X : D --> ( Base `  R )  /\  x  e.  D )  ->  ( X `  x )  e.  ( Base `  R
) )
2321, 16, 22syl2anc 642 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  x  e.  { y  e.  D  |  y  o R  <_  k } )  -> 
( X `  x
)  e.  ( Base `  R ) )
24 psrass.y . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  Y  e.  B )
2524ad2antrr 706 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  x  e.  { y  e.  D  |  y  o R  <_  k } )  ->  Y  e.  B )
261, 3, 6, 4, 25psrelbas 16125 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  x  e.  { y  e.  D  |  y  o R  <_  k } )  ->  Y : D --> ( Base `  R ) )
27 psrrng.i . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  I  e.  V )
2827ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  x  e.  { y  e.  D  |  y  o R  <_  k } )  ->  I  e.  V )
29 simplr 731 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  x  e.  { y  e.  D  |  y  o R  <_  k } )  -> 
k  e.  D )
30 eqid 2283 . . . . . . . . . . . . 13  |-  { y  e.  D  |  y  o R  <_  k }  =  { y  e.  D  |  y  o R  <_  k }
316, 30psrbagconcl 16119 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( I  e.  V  /\  k  e.  D  /\  x  e.  { y  e.  D  |  y  o R  <_  k } )  ->  ( k  o F  -  x
)  e.  { y  e.  D  |  y  o R  <_  k } )
3228, 29, 15, 31syl3anc 1182 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  x  e.  { y  e.  D  |  y  o R  <_  k } )  -> 
( k  o F  -  x )  e. 
{ y  e.  D  |  y  o R  <_  k } )
3314, 32sseldi 3178 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  x  e.  { y  e.  D  |  y  o R  <_  k } )  -> 
( k  o F  -  x )  e.  D )
34 ffvelrn 5663 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( Y : D --> ( Base `  R )  /\  (
k  o F  -  x )  e.  D
)  ->  ( Y `  ( k  o F  -  x ) )  e.  ( Base `  R
) )
3526, 33, 34syl2anc 642 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  x  e.  { y  e.  D  |  y  o R  <_  k } )  -> 
( Y `  (
k  o F  -  x ) )  e.  ( Base `  R
) )
363, 5rngass 15357 . . . . . . . . 9  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  ( A  e.  ( Base `  R )  /\  ( X `  x )  e.  ( Base `  R
)  /\  ( Y `  ( k  o F  -  x ) )  e.  ( Base `  R
) ) )  -> 
( ( A ( .r `  R ) ( X `  x
) ) ( .r
`  R ) ( Y `  ( k  o F  -  x
) ) )  =  ( A ( .r
`  R ) ( ( X `  x
) ( .r `  R ) ( Y `
 ( k  o F  -  x ) ) ) ) )
3720, 11, 23, 35, 36syl13anc 1184 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  x  e.  { y  e.  D  |  y  o R  <_  k } )  -> 
( ( A ( .r `  R ) ( X `  x
) ) ( .r
`  R ) ( Y `  ( k  o F  -  x
) ) )  =  ( A ( .r
`  R ) ( ( X `  x
) ( .r `  R ) ( Y `
 ( k  o F  -  x ) ) ) ) )
3818, 37eqtrd 2315 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  x  e.  { y  e.  D  |  y  o R  <_  k } )  -> 
( ( ( A 
.x.  X ) `  x ) ( .r
`  R ) ( Y `  ( k  o F  -  x
) ) )  =  ( A ( .r
`  R ) ( ( X `  x
) ( .r `  R ) ( Y `
 ( k  o F  -  x ) ) ) ) )
3938mpteq2dva 4106 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  D )  ->  (
x  e.  { y  e.  D  |  y  o R  <_  k }  |->  ( ( ( A  .x.  X ) `
 x ) ( .r `  R ) ( Y `  (
k  o F  -  x ) ) ) )  =  ( x  e.  { y  e.  D  |  y  o R  <_  k }  |->  ( A ( .r
`  R ) ( ( X `  x
) ( .r `  R ) ( Y `
 ( k  o F  -  x ) ) ) ) ) )
4039oveq2d 5874 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  D )  ->  ( R  gsumg  ( x  e.  {
y  e.  D  | 
y  o R  <_ 
k }  |->  ( ( ( A  .x.  X
) `  x )
( .r `  R
) ( Y `  ( k  o F  -  x ) ) ) ) )  =  ( R  gsumg  ( x  e.  {
y  e.  D  | 
y  o R  <_ 
k }  |->  ( A ( .r `  R
) ( ( X `
 x ) ( .r `  R ) ( Y `  (
k  o F  -  x ) ) ) ) ) ) )
41 eqid 2283 . . . . . 6  |-  ( 0g
`  R )  =  ( 0g `  R
)
42 eqid 2283 . . . . . 6  |-  ( +g  `  R )  =  ( +g  `  R )
4319adantr 451 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  D )  ->  R  e.  Ring )
446psrbaglefi 16118 . . . . . . 7  |-  ( ( I  e.  V  /\  k  e.  D )  ->  { y  e.  D  |  y  o R  <_  k }  e.  Fin )
4527, 44sylan 457 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  D )  ->  { y  e.  D  |  y  o R  <_  k }  e.  Fin )
463, 5rngcl 15354 . . . . . . 7  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  ( X `  x )  e.  ( Base `  R
)  /\  ( Y `  ( k  o F  -  x ) )  e.  ( Base `  R
) )  ->  (
( X `  x
) ( .r `  R ) ( Y `
 ( k  o F  -  x ) ) )  e.  (
Base `  R )
)
4720, 23, 35, 46syl3anc 1182 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  x  e.  { y  e.  D  |  y  o R  <_  k } )  -> 
( ( X `  x ) ( .r
`  R ) ( Y `  ( k  o F  -  x
) ) )  e.  ( Base `  R
) )
48 cnvimass 5033 . . . . . . . 8  |-  ( `' ( x  e.  {
y  e.  D  | 
y  o R  <_ 
k }  |->  ( ( X `  x ) ( .r `  R
) ( Y `  ( k  o F  -  x ) ) ) ) " ( _V  \  { ( 0g
`  R ) } ) )  C_  dom  ( x  e.  { y  e.  D  |  y  o R  <_  k }  |->  ( ( X `
 x ) ( .r `  R ) ( Y `  (
k  o F  -  x ) ) ) )
49 eqid 2283 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  { y  e.  D  |  y  o R  <_  k }  |->  ( ( X `  x ) ( .r
`  R ) ( Y `  ( k  o F  -  x
) ) ) )  =  ( x  e. 
{ y  e.  D  |  y  o R  <_  k }  |->  ( ( X `  x ) ( .r `  R
) ( Y `  ( k  o F  -  x ) ) ) )
5049dmmptss 5169 . . . . . . . 8  |-  dom  (
x  e.  { y  e.  D  |  y  o R  <_  k }  |->  ( ( X `
 x ) ( .r `  R ) ( Y `  (
k  o F  -  x ) ) ) )  C_  { y  e.  D  |  y  o R  <_  k }
5148, 50sstri 3188 . . . . . . 7  |-  ( `' ( x  e.  {
y  e.  D  | 
y  o R  <_ 
k }  |->  ( ( X `  x ) ( .r `  R
) ( Y `  ( k  o F  -  x ) ) ) ) " ( _V  \  { ( 0g
`  R ) } ) )  C_  { y  e.  D  |  y  o R  <_  k }
52 ssfi 7083 . . . . . . 7  |-  ( ( { y  e.  D  |  y  o R  <_  k }  e.  Fin  /\  ( `' ( x  e.  { y  e.  D  |  y  o R  <_  k }  |->  ( ( X `  x ) ( .r
`  R ) ( Y `  ( k  o F  -  x
) ) ) )
" ( _V  \  { ( 0g `  R ) } ) )  C_  { y  e.  D  |  y  o R  <_  k } )  ->  ( `' ( x  e.  { y  e.  D  |  y  o R  <_  k }  |->  ( ( X `
 x ) ( .r `  R ) ( Y `  (
k  o F  -  x ) ) ) ) " ( _V 
\  { ( 0g
`  R ) } ) )  e.  Fin )
5345, 51, 52sylancl 643 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  D )  ->  ( `' ( x  e. 
{ y  e.  D  |  y  o R  <_  k }  |->  ( ( X `  x ) ( .r `  R
) ( Y `  ( k  o F  -  x ) ) ) ) " ( _V  \  { ( 0g
`  R ) } ) )  e.  Fin )
543, 41, 42, 5, 43, 45, 10, 47, 53gsummulc2 15391 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  D )  ->  ( R  gsumg  ( x  e.  {
y  e.  D  | 
y  o R  <_ 
k }  |->  ( A ( .r `  R
) ( ( X `
 x ) ( .r `  R ) ( Y `  (
k  o F  -  x ) ) ) ) ) )  =  ( A ( .r
`  R ) ( R  gsumg  ( x  e.  {
y  e.  D  | 
y  o R  <_ 
k }  |->  ( ( X `  x ) ( .r `  R
) ( Y `  ( k  o F  -  x ) ) ) ) ) ) )
5540, 54eqtrd 2315 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  D )  ->  ( R  gsumg  ( x  e.  {
y  e.  D  | 
y  o R  <_ 
k }  |->  ( ( ( A  .x.  X
) `  x )
( .r `  R
) ( Y `  ( k  o F  -  x ) ) ) ) )  =  ( A ( .r
`  R ) ( R  gsumg  ( x  e.  {
y  e.  D  | 
y  o R  <_ 
k }  |->  ( ( X `  x ) ( .r `  R
) ( Y `  ( k  o F  -  x ) ) ) ) ) ) )
5655mpteq2dva 4106 . . 3  |-  ( ph  ->  ( k  e.  D  |->  ( R  gsumg  ( x  e.  {
y  e.  D  | 
y  o R  <_ 
k }  |->  ( ( ( A  .x.  X
) `  x )
( .r `  R
) ( Y `  ( k  o F  -  x ) ) ) ) ) )  =  ( k  e.  D  |->  ( A ( .r `  R ) ( R  gsumg  ( x  e.  {
y  e.  D  | 
y  o R  <_ 
k }  |->  ( ( X `  x ) ( .r `  R
) ( Y `  ( k  o F  -  x ) ) ) ) ) ) ) )
57 psrass.t . . . 4  |-  .X.  =  ( .r `  S )
581, 2, 9, 4, 19, 7, 12psrvscacl 16138 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( A  .x.  X
)  e.  B )
591, 4, 5, 57, 6, 58, 24psrmulfval 16130 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( A  .x.  X )  .X.  Y
)  =  ( k  e.  D  |->  ( R 
gsumg  ( x  e.  { y  e.  D  |  y  o R  <_  k }  |->  ( ( ( A  .x.  X ) `
 x ) ( .r `  R ) ( Y `  (
k  o F  -  x ) ) ) ) ) ) )
601, 4, 57, 19, 12, 24psrmulcl 16133 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( X  .X.  Y
)  e.  B )
611, 2, 9, 4, 5, 6, 7, 60psrvsca 16136 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( A  .x.  ( X  .X.  Y ) )  =  ( ( D  X.  { A }
)  o F ( .r `  R ) ( X  .X.  Y
) ) )
62 ovex 5883 . . . . . . . 8  |-  ( NN0 
^m  I )  e. 
_V
6362rabex 4165 . . . . . . 7  |-  { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f " NN )  e.  Fin }  e.  _V
646, 63eqeltri 2353 . . . . . 6  |-  D  e. 
_V
6564a1i 10 . . . . 5  |-  ( ph  ->  D  e.  _V )
66 ovex 5883 . . . . . 6  |-  ( R 
gsumg  ( x  e.  { y  e.  D  |  y  o R  <_  k }  |->  ( ( X `
 x ) ( .r `  R ) ( Y `  (
k  o F  -  x ) ) ) ) )  e.  _V
6766a1i 10 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  D )  ->  ( R  gsumg  ( x  e.  {
y  e.  D  | 
y  o R  <_ 
k }  |->  ( ( X `  x ) ( .r `  R
) ( Y `  ( k  o F  -  x ) ) ) ) )  e. 
_V )
68 fconstmpt 4732 . . . . . 6  |-  ( D  X.  { A }
)  =  ( k  e.  D  |->  A )
6968a1i 10 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( D  X.  { A } )  =  ( k  e.  D  |->  A ) )
701, 4, 5, 57, 6, 12, 24psrmulfval 16130 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( X  .X.  Y
)  =  ( k  e.  D  |->  ( R 
gsumg  ( x  e.  { y  e.  D  |  y  o R  <_  k }  |->  ( ( X `
 x ) ( .r `  R ) ( Y `  (
k  o F  -  x ) ) ) ) ) ) )
7165, 8, 67, 69, 70offval2 6095 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( D  X.  { A } )  o F ( .r `  R ) ( X 
.X.  Y ) )  =  ( k  e.  D  |->  ( A ( .r `  R ) ( R  gsumg  ( x  e.  {
y  e.  D  | 
y  o R  <_ 
k }  |->  ( ( X `  x ) ( .r `  R
) ( Y `  ( k  o F  -  x ) ) ) ) ) ) ) )
7261, 71eqtrd 2315 . . 3  |-  ( ph  ->  ( A  .x.  ( X  .X.  Y ) )  =  ( k  e.  D  |->  ( A ( .r `  R ) ( R  gsumg  ( x  e.  {
y  e.  D  | 
y  o R  <_ 
k }  |->  ( ( X `  x ) ( .r `  R
) ( Y `  ( k  o F  -  x ) ) ) ) ) ) ) )
7356, 59, 723eqtr4d 2325 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( A  .x.  X )  .X.  Y
)  =  ( A 
.x.  ( X  .X.  Y ) ) )
741, 2, 3, 4, 5, 6, 11, 25, 33psrvscaval 16137 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  x  e.  { y  e.  D  |  y  o R  <_  k } )  -> 
( ( A  .x.  Y ) `  (
k  o F  -  x ) )  =  ( A ( .r
`  R ) ( Y `  ( k  o F  -  x
) ) ) )
7574oveq2d 5874 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  x  e.  { y  e.  D  |  y  o R  <_  k } )  -> 
( ( X `  x ) ( .r
`  R ) ( ( A  .x.  Y
) `  ( k  o F  -  x
) ) )  =  ( ( X `  x ) ( .r
`  R ) ( A ( .r `  R ) ( Y `
 ( k  o F  -  x ) ) ) ) )
76 psrcom.c . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  R  e.  CRing )
7776ad2antrr 706 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  x  e.  { y  e.  D  |  y  o R  <_  k } )  ->  R  e.  CRing )
783, 5crngcom 15355 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( R  e.  CRing  /\  u  e.  ( Base `  R
)  /\  v  e.  ( Base `  R )
)  ->  ( u
( .r `  R
) v )  =  ( v ( .r
`  R ) u ) )
79783expb 1152 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( R  e.  CRing  /\  (
u  e.  ( Base `  R )  /\  v  e.  ( Base `  R
) ) )  -> 
( u ( .r
`  R ) v )  =  ( v ( .r `  R
) u ) )
8077, 79sylan 457 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  x  e.  { y  e.  D  |  y  o R  <_  k } )  /\  (
u  e.  ( Base `  R )  /\  v  e.  ( Base `  R
) ) )  -> 
( u ( .r
`  R ) v )  =  ( v ( .r `  R
) u ) )
813, 5rngass 15357 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  (
u  e.  ( Base `  R )  /\  v  e.  ( Base `  R
)  /\  w  e.  ( Base `  R )
) )  ->  (
( u ( .r
`  R ) v ) ( .r `  R ) w )  =  ( u ( .r `  R ) ( v ( .r
`  R ) w ) ) )
8220, 81sylan 457 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  x  e.  { y  e.  D  |  y  o R  <_  k } )  /\  (
u  e.  ( Base `  R )  /\  v  e.  ( Base `  R
)  /\  w  e.  ( Base `  R )
) )  ->  (
( u ( .r
`  R ) v ) ( .r `  R ) w )  =  ( u ( .r `  R ) ( v ( .r
`  R ) w ) ) )
8323, 11, 35, 80, 82caov12d 6041 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  x  e.  { y  e.  D  |  y  o R  <_  k } )  -> 
( ( X `  x ) ( .r
`  R ) ( A ( .r `  R ) ( Y `
 ( k  o F  -  x ) ) ) )  =  ( A ( .r
`  R ) ( ( X `  x
) ( .r `  R ) ( Y `
 ( k  o F  -  x ) ) ) ) )
8475, 83eqtrd 2315 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  x  e.  { y  e.  D  |  y  o R  <_  k } )  -> 
( ( X `  x ) ( .r
`  R ) ( ( A  .x.  Y
) `  ( k  o F  -  x
) ) )  =  ( A ( .r
`  R ) ( ( X `  x
) ( .r `  R ) ( Y `
 ( k  o F  -  x ) ) ) ) )
8584mpteq2dva 4106 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  D )  ->  (
x  e.  { y  e.  D  |  y  o R  <_  k }  |->  ( ( X `
 x ) ( .r `  R ) ( ( A  .x.  Y ) `  (
k  o F  -  x ) ) ) )  =  ( x  e.  { y  e.  D  |  y  o R  <_  k }  |->  ( A ( .r
`  R ) ( ( X `  x
) ( .r `  R ) ( Y `
 ( k  o F  -  x ) ) ) ) ) )
8685oveq2d 5874 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  D )  ->  ( R  gsumg  ( x  e.  {
y  e.  D  | 
y  o R  <_ 
k }  |->  ( ( X `  x ) ( .r `  R
) ( ( A 
.x.  Y ) `  ( k  o F  -  x ) ) ) ) )  =  ( R  gsumg  ( x  e.  {
y  e.  D  | 
y  o R  <_ 
k }  |->  ( A ( .r `  R
) ( ( X `
 x ) ( .r `  R ) ( Y `  (
k  o F  -  x ) ) ) ) ) ) )
8786, 54eqtrd 2315 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  D )  ->  ( R  gsumg  ( x  e.  {
y  e.  D  | 
y  o R  <_ 
k }  |->  ( ( X `  x ) ( .r `  R
) ( ( A 
.x.  Y ) `  ( k  o F  -  x ) ) ) ) )  =  ( A ( .r
`  R ) ( R  gsumg  ( x  e.  {
y  e.  D  | 
y  o R  <_ 
k }  |->  ( ( X `  x ) ( .r `  R
) ( Y `  ( k  o F  -  x ) ) ) ) ) ) )
8887mpteq2dva 4106 . . 3  |-  ( ph  ->  ( k  e.  D  |->  ( R  gsumg  ( x  e.  {
y  e.  D  | 
y  o R  <_ 
k }  |->  ( ( X `  x ) ( .r `  R
) ( ( A 
.x.  Y ) `  ( k  o F  -  x ) ) ) ) ) )  =  ( k  e.  D  |->  ( A ( .r `  R ) ( R  gsumg  ( x  e.  {
y  e.  D  | 
y  o R  <_ 
k }  |->  ( ( X `  x ) ( .r `  R
) ( Y `  ( k  o F  -  x ) ) ) ) ) ) ) )
891, 2, 9, 4, 19, 7, 24psrvscacl 16138 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( A  .x.  Y
)  e.  B )
901, 4, 5, 57, 6, 12, 89psrmulfval 16130 . . 3  |-  ( ph  ->  ( X  .X.  ( A  .x.  Y ) )  =  ( k  e.  D  |->  ( R  gsumg  ( x  e.  { y  e.  D  |  y  o R  <_  k }  |->  ( ( X `  x ) ( .r
`  R ) ( ( A  .x.  Y
) `  ( k  o F  -  x
) ) ) ) ) ) )
9188, 90, 723eqtr4d 2325 . 2  |-  ( ph  ->  ( X  .X.  ( A  .x.  Y ) )  =  ( A  .x.  ( X  .X.  Y ) ) )
9273, 91jca 518 1  |-  ( ph  ->  ( ( ( A 
.x.  X )  .X.  Y )  =  ( A  .x.  ( X 
.X.  Y ) )  /\  ( X  .X.  ( A  .x.  Y ) )  =  ( A 
.x.  ( X  .X.  Y ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1623    e. wcel 1684   {crab 2547   _Vcvv 2788    \ cdif 3149    C_ wss 3152   {csn 3640   class class class wbr 4023    e. cmpt 4077    X. cxp 4687   `'ccnv 4688   dom cdm 4689   "cima 4692   -->wf 5251   ` cfv 5255  (class class class)co 5858    o Fcof 6076    o Rcofr 6077    ^m cmap 6772   Fincfn 6863    <_ cle 8868    - cmin 9037   NNcn 9746   NN0cn0 9965   Basecbs 13148   +g cplusg 13208   .rcmulr 13209   .scvsca 13212   0gc0g 13400    gsumg cgsu 13401   Ringcrg 15337   CRingccrg 15338   mPwSer cmps 16087
This theorem is referenced by:  psrassa  16158
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-se 4353  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-isom 5264  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-of 6078  df-ofr 6079  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-2o 6480  df-oadd 6483  df-er 6660  df-map 6774  df-pm 6775  df-ixp 6818  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-fin 6867  df-oi 7225  df-card 7572  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-nn 9747  df-2 9804  df-3 9805  df-4 9806  df-5 9807  df-6 9808  df-7 9809  df-8 9810  df-9 9811  df-n0 9966  df-z 10025  df-uz 10231  df-fz 10783  df-fzo 10871  df-seq 11047  df-hash 11338  df-struct 13150  df-ndx 13151  df-slot 13152  df-base 13153  df-sets 13154  df-plusg 13221  df-mulr 13222  df-sca 13224  df-vsca 13225  df-tset 13227  df-0g 13404  df-gsum 13405  df-mnd 14367  df-mhm 14415  df-grp 14489  df-minusg 14490  df-ghm 14681  df-cntz 14793  df-cmn 15091  df-abl 15092  df-mgp 15326  df-rng 15340  df-cring 15341  df-ur 15342  df-psr 16098
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