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Theorem psrass23 16393
Description: Associative identities for the ring of power series. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
psrrng.s  |-  S  =  ( I mPwSer  R )
psrrng.i  |-  ( ph  ->  I  e.  V )
psrrng.r  |-  ( ph  ->  R  e.  Ring )
psrass.d  |-  D  =  { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f
" NN )  e. 
Fin }
psrass.t  |-  .X.  =  ( .r `  S )
psrass.b  |-  B  =  ( Base `  S
)
psrass.x  |-  ( ph  ->  X  e.  B )
psrass.y  |-  ( ph  ->  Y  e.  B )
psrcom.c  |-  ( ph  ->  R  e.  CRing )
psrass.k  |-  K  =  ( Base `  R
)
psrass.n  |-  .x.  =  ( .s `  S )
psrass.a  |-  ( ph  ->  A  e.  K )
Assertion
Ref Expression
psrass23  |-  ( ph  ->  ( ( ( A 
.x.  X )  .X.  Y )  =  ( A  .x.  ( X 
.X.  Y ) )  /\  ( X  .X.  ( A  .x.  Y ) )  =  ( A 
.x.  ( X  .X.  Y ) ) ) )
Distinct variable groups:    f, I    R, f    f, X    f, Y
Allowed substitution hints:    ph( f)    A( f)    B( f)    D( f)    S( f)    .x. ( f)    .X. ( f)    K( f)    V( f)

Proof of Theorem psrass23
Dummy variables  x  k  y  u  v  w are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 psrrng.s . . . . . . . . . 10  |-  S  =  ( I mPwSer  R )
2 psrass.n . . . . . . . . . 10  |-  .x.  =  ( .s `  S )
3 eqid 2380 . . . . . . . . . 10  |-  ( Base `  R )  =  (
Base `  R )
4 psrass.b . . . . . . . . . 10  |-  B  =  ( Base `  S
)
5 eqid 2380 . . . . . . . . . 10  |-  ( .r
`  R )  =  ( .r `  R
)
6 psrass.d . . . . . . . . . 10  |-  D  =  { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f
" NN )  e. 
Fin }
7 psrass.a . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  A  e.  K )
87adantr 452 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  k  e.  D )  ->  A  e.  K )
9 psrass.k . . . . . . . . . . . 12  |-  K  =  ( Base `  R
)
108, 9syl6eleq 2470 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  D )  ->  A  e.  ( Base `  R
) )
1110adantr 452 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  x  e.  { y  e.  D  |  y  o R  <_  k } )  ->  A  e.  ( Base `  R ) )
12 psrass.x . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  X  e.  B )
1312ad2antrr 707 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  x  e.  { y  e.  D  |  y  o R  <_  k } )  ->  X  e.  B )
14 ssrab2 3364 . . . . . . . . . . 11  |-  { y  e.  D  |  y  o R  <_  k }  C_  D
15 simpr 448 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  x  e.  { y  e.  D  |  y  o R  <_  k } )  ->  x  e.  { y  e.  D  |  y  o R  <_  k } )
1614, 15sseldi 3282 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  x  e.  { y  e.  D  |  y  o R  <_  k } )  ->  x  e.  D )
171, 2, 3, 4, 5, 6, 11, 13, 16psrvscaval 16376 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  x  e.  { y  e.  D  |  y  o R  <_  k } )  -> 
( ( A  .x.  X ) `  x
)  =  ( A ( .r `  R
) ( X `  x ) ) )
1817oveq1d 6028 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  x  e.  { y  e.  D  |  y  o R  <_  k } )  -> 
( ( ( A 
.x.  X ) `  x ) ( .r
`  R ) ( Y `  ( k  o F  -  x
) ) )  =  ( ( A ( .r `  R ) ( X `  x
) ) ( .r
`  R ) ( Y `  ( k  o F  -  x
) ) ) )
19 psrrng.r . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  R  e.  Ring )
2019ad2antrr 707 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  x  e.  { y  e.  D  |  y  o R  <_  k } )  ->  R  e.  Ring )
211, 3, 6, 4, 13psrelbas 16364 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  x  e.  { y  e.  D  |  y  o R  <_  k } )  ->  X : D --> ( Base `  R ) )
2221, 16ffvelrnd 5803 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  x  e.  { y  e.  D  |  y  o R  <_  k } )  -> 
( X `  x
)  e.  ( Base `  R ) )
23 psrass.y . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  Y  e.  B )
2423ad2antrr 707 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  x  e.  { y  e.  D  |  y  o R  <_  k } )  ->  Y  e.  B )
251, 3, 6, 4, 24psrelbas 16364 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  x  e.  { y  e.  D  |  y  o R  <_  k } )  ->  Y : D --> ( Base `  R ) )
26 psrrng.i . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  I  e.  V )
2726ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  x  e.  { y  e.  D  |  y  o R  <_  k } )  ->  I  e.  V )
28 simplr 732 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  x  e.  { y  e.  D  |  y  o R  <_  k } )  -> 
k  e.  D )
29 eqid 2380 . . . . . . . . . . . . 13  |-  { y  e.  D  |  y  o R  <_  k }  =  { y  e.  D  |  y  o R  <_  k }
306, 29psrbagconcl 16358 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( I  e.  V  /\  k  e.  D  /\  x  e.  { y  e.  D  |  y  o R  <_  k } )  ->  ( k  o F  -  x
)  e.  { y  e.  D  |  y  o R  <_  k } )
3127, 28, 15, 30syl3anc 1184 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  x  e.  { y  e.  D  |  y  o R  <_  k } )  -> 
( k  o F  -  x )  e. 
{ y  e.  D  |  y  o R  <_  k } )
3214, 31sseldi 3282 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  x  e.  { y  e.  D  |  y  o R  <_  k } )  -> 
( k  o F  -  x )  e.  D )
3325, 32ffvelrnd 5803 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  x  e.  { y  e.  D  |  y  o R  <_  k } )  -> 
( Y `  (
k  o F  -  x ) )  e.  ( Base `  R
) )
343, 5rngass 15600 . . . . . . . . 9  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  ( A  e.  ( Base `  R )  /\  ( X `  x )  e.  ( Base `  R
)  /\  ( Y `  ( k  o F  -  x ) )  e.  ( Base `  R
) ) )  -> 
( ( A ( .r `  R ) ( X `  x
) ) ( .r
`  R ) ( Y `  ( k  o F  -  x
) ) )  =  ( A ( .r
`  R ) ( ( X `  x
) ( .r `  R ) ( Y `
 ( k  o F  -  x ) ) ) ) )
3520, 11, 22, 33, 34syl13anc 1186 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  x  e.  { y  e.  D  |  y  o R  <_  k } )  -> 
( ( A ( .r `  R ) ( X `  x
) ) ( .r
`  R ) ( Y `  ( k  o F  -  x
) ) )  =  ( A ( .r
`  R ) ( ( X `  x
) ( .r `  R ) ( Y `
 ( k  o F  -  x ) ) ) ) )
3618, 35eqtrd 2412 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  x  e.  { y  e.  D  |  y  o R  <_  k } )  -> 
( ( ( A 
.x.  X ) `  x ) ( .r
`  R ) ( Y `  ( k  o F  -  x
) ) )  =  ( A ( .r
`  R ) ( ( X `  x
) ( .r `  R ) ( Y `
 ( k  o F  -  x ) ) ) ) )
3736mpteq2dva 4229 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  D )  ->  (
x  e.  { y  e.  D  |  y  o R  <_  k }  |->  ( ( ( A  .x.  X ) `
 x ) ( .r `  R ) ( Y `  (
k  o F  -  x ) ) ) )  =  ( x  e.  { y  e.  D  |  y  o R  <_  k }  |->  ( A ( .r
`  R ) ( ( X `  x
) ( .r `  R ) ( Y `
 ( k  o F  -  x ) ) ) ) ) )
3837oveq2d 6029 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  D )  ->  ( R  gsumg  ( x  e.  {
y  e.  D  | 
y  o R  <_ 
k }  |->  ( ( ( A  .x.  X
) `  x )
( .r `  R
) ( Y `  ( k  o F  -  x ) ) ) ) )  =  ( R  gsumg  ( x  e.  {
y  e.  D  | 
y  o R  <_ 
k }  |->  ( A ( .r `  R
) ( ( X `
 x ) ( .r `  R ) ( Y `  (
k  o F  -  x ) ) ) ) ) ) )
39 eqid 2380 . . . . . 6  |-  ( 0g
`  R )  =  ( 0g `  R
)
40 eqid 2380 . . . . . 6  |-  ( +g  `  R )  =  ( +g  `  R )
4119adantr 452 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  D )  ->  R  e.  Ring )
426psrbaglefi 16357 . . . . . . 7  |-  ( ( I  e.  V  /\  k  e.  D )  ->  { y  e.  D  |  y  o R  <_  k }  e.  Fin )
4326, 42sylan 458 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  D )  ->  { y  e.  D  |  y  o R  <_  k }  e.  Fin )
443, 5rngcl 15597 . . . . . . 7  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  ( X `  x )  e.  ( Base `  R
)  /\  ( Y `  ( k  o F  -  x ) )  e.  ( Base `  R
) )  ->  (
( X `  x
) ( .r `  R ) ( Y `
 ( k  o F  -  x ) ) )  e.  (
Base `  R )
)
4520, 22, 33, 44syl3anc 1184 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  x  e.  { y  e.  D  |  y  o R  <_  k } )  -> 
( ( X `  x ) ( .r
`  R ) ( Y `  ( k  o F  -  x
) ) )  e.  ( Base `  R
) )
46 cnvimass 5157 . . . . . . . 8  |-  ( `' ( x  e.  {
y  e.  D  | 
y  o R  <_ 
k }  |->  ( ( X `  x ) ( .r `  R
) ( Y `  ( k  o F  -  x ) ) ) ) " ( _V  \  { ( 0g
`  R ) } ) )  C_  dom  ( x  e.  { y  e.  D  |  y  o R  <_  k }  |->  ( ( X `
 x ) ( .r `  R ) ( Y `  (
k  o F  -  x ) ) ) )
47 eqid 2380 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  { y  e.  D  |  y  o R  <_  k }  |->  ( ( X `  x ) ( .r
`  R ) ( Y `  ( k  o F  -  x
) ) ) )  =  ( x  e. 
{ y  e.  D  |  y  o R  <_  k }  |->  ( ( X `  x ) ( .r `  R
) ( Y `  ( k  o F  -  x ) ) ) )
4847dmmptss 5299 . . . . . . . 8  |-  dom  (
x  e.  { y  e.  D  |  y  o R  <_  k }  |->  ( ( X `
 x ) ( .r `  R ) ( Y `  (
k  o F  -  x ) ) ) )  C_  { y  e.  D  |  y  o R  <_  k }
4946, 48sstri 3293 . . . . . . 7  |-  ( `' ( x  e.  {
y  e.  D  | 
y  o R  <_ 
k }  |->  ( ( X `  x ) ( .r `  R
) ( Y `  ( k  o F  -  x ) ) ) ) " ( _V  \  { ( 0g
`  R ) } ) )  C_  { y  e.  D  |  y  o R  <_  k }
50 ssfi 7258 . . . . . . 7  |-  ( ( { y  e.  D  |  y  o R  <_  k }  e.  Fin  /\  ( `' ( x  e.  { y  e.  D  |  y  o R  <_  k }  |->  ( ( X `  x ) ( .r
`  R ) ( Y `  ( k  o F  -  x
) ) ) )
" ( _V  \  { ( 0g `  R ) } ) )  C_  { y  e.  D  |  y  o R  <_  k } )  ->  ( `' ( x  e.  { y  e.  D  |  y  o R  <_  k }  |->  ( ( X `
 x ) ( .r `  R ) ( Y `  (
k  o F  -  x ) ) ) ) " ( _V 
\  { ( 0g
`  R ) } ) )  e.  Fin )
5143, 49, 50sylancl 644 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  D )  ->  ( `' ( x  e. 
{ y  e.  D  |  y  o R  <_  k }  |->  ( ( X `  x ) ( .r `  R
) ( Y `  ( k  o F  -  x ) ) ) ) " ( _V  \  { ( 0g
`  R ) } ) )  e.  Fin )
523, 39, 40, 5, 41, 43, 10, 45, 51gsummulc2 15634 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  D )  ->  ( R  gsumg  ( x  e.  {
y  e.  D  | 
y  o R  <_ 
k }  |->  ( A ( .r `  R
) ( ( X `
 x ) ( .r `  R ) ( Y `  (
k  o F  -  x ) ) ) ) ) )  =  ( A ( .r
`  R ) ( R  gsumg  ( x  e.  {
y  e.  D  | 
y  o R  <_ 
k }  |->  ( ( X `  x ) ( .r `  R
) ( Y `  ( k  o F  -  x ) ) ) ) ) ) )
5338, 52eqtrd 2412 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  D )  ->  ( R  gsumg  ( x  e.  {
y  e.  D  | 
y  o R  <_ 
k }  |->  ( ( ( A  .x.  X
) `  x )
( .r `  R
) ( Y `  ( k  o F  -  x ) ) ) ) )  =  ( A ( .r
`  R ) ( R  gsumg  ( x  e.  {
y  e.  D  | 
y  o R  <_ 
k }  |->  ( ( X `  x ) ( .r `  R
) ( Y `  ( k  o F  -  x ) ) ) ) ) ) )
5453mpteq2dva 4229 . . 3  |-  ( ph  ->  ( k  e.  D  |->  ( R  gsumg  ( x  e.  {
y  e.  D  | 
y  o R  <_ 
k }  |->  ( ( ( A  .x.  X
) `  x )
( .r `  R
) ( Y `  ( k  o F  -  x ) ) ) ) ) )  =  ( k  e.  D  |->  ( A ( .r `  R ) ( R  gsumg  ( x  e.  {
y  e.  D  | 
y  o R  <_ 
k }  |->  ( ( X `  x ) ( .r `  R
) ( Y `  ( k  o F  -  x ) ) ) ) ) ) ) )
55 psrass.t . . . 4  |-  .X.  =  ( .r `  S )
561, 2, 9, 4, 19, 7, 12psrvscacl 16377 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( A  .x.  X
)  e.  B )
571, 4, 5, 55, 6, 56, 23psrmulfval 16369 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( A  .x.  X )  .X.  Y
)  =  ( k  e.  D  |->  ( R 
gsumg  ( x  e.  { y  e.  D  |  y  o R  <_  k }  |->  ( ( ( A  .x.  X ) `
 x ) ( .r `  R ) ( Y `  (
k  o F  -  x ) ) ) ) ) ) )
581, 4, 55, 19, 12, 23psrmulcl 16372 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( X  .X.  Y
)  e.  B )
591, 2, 9, 4, 5, 6, 7, 58psrvsca 16375 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( A  .x.  ( X  .X.  Y ) )  =  ( ( D  X.  { A }
)  o F ( .r `  R ) ( X  .X.  Y
) ) )
60 ovex 6038 . . . . . . . 8  |-  ( NN0 
^m  I )  e. 
_V
6160rabex 4288 . . . . . . 7  |-  { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f " NN )  e.  Fin }  e.  _V
626, 61eqeltri 2450 . . . . . 6  |-  D  e. 
_V
6362a1i 11 . . . . 5  |-  ( ph  ->  D  e.  _V )
64 ovex 6038 . . . . . 6  |-  ( R 
gsumg  ( x  e.  { y  e.  D  |  y  o R  <_  k }  |->  ( ( X `
 x ) ( .r `  R ) ( Y `  (
k  o F  -  x ) ) ) ) )  e.  _V
6564a1i 11 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  D )  ->  ( R  gsumg  ( x  e.  {
y  e.  D  | 
y  o R  <_ 
k }  |->  ( ( X `  x ) ( .r `  R
) ( Y `  ( k  o F  -  x ) ) ) ) )  e. 
_V )
66 fconstmpt 4854 . . . . . 6  |-  ( D  X.  { A }
)  =  ( k  e.  D  |->  A )
6766a1i 11 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( D  X.  { A } )  =  ( k  e.  D  |->  A ) )
681, 4, 5, 55, 6, 12, 23psrmulfval 16369 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( X  .X.  Y
)  =  ( k  e.  D  |->  ( R 
gsumg  ( x  e.  { y  e.  D  |  y  o R  <_  k }  |->  ( ( X `
 x ) ( .r `  R ) ( Y `  (
k  o F  -  x ) ) ) ) ) ) )
6963, 8, 65, 67, 68offval2 6254 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( D  X.  { A } )  o F ( .r `  R ) ( X 
.X.  Y ) )  =  ( k  e.  D  |->  ( A ( .r `  R ) ( R  gsumg  ( x  e.  {
y  e.  D  | 
y  o R  <_ 
k }  |->  ( ( X `  x ) ( .r `  R
) ( Y `  ( k  o F  -  x ) ) ) ) ) ) ) )
7059, 69eqtrd 2412 . . 3  |-  ( ph  ->  ( A  .x.  ( X  .X.  Y ) )  =  ( k  e.  D  |->  ( A ( .r `  R ) ( R  gsumg  ( x  e.  {
y  e.  D  | 
y  o R  <_ 
k }  |->  ( ( X `  x ) ( .r `  R
) ( Y `  ( k  o F  -  x ) ) ) ) ) ) ) )
7154, 57, 703eqtr4d 2422 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( A  .x.  X )  .X.  Y
)  =  ( A 
.x.  ( X  .X.  Y ) ) )
721, 2, 3, 4, 5, 6, 11, 24, 32psrvscaval 16376 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  x  e.  { y  e.  D  |  y  o R  <_  k } )  -> 
( ( A  .x.  Y ) `  (
k  o F  -  x ) )  =  ( A ( .r
`  R ) ( Y `  ( k  o F  -  x
) ) ) )
7372oveq2d 6029 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  x  e.  { y  e.  D  |  y  o R  <_  k } )  -> 
( ( X `  x ) ( .r
`  R ) ( ( A  .x.  Y
) `  ( k  o F  -  x
) ) )  =  ( ( X `  x ) ( .r
`  R ) ( A ( .r `  R ) ( Y `
 ( k  o F  -  x ) ) ) ) )
74 psrcom.c . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  R  e.  CRing )
7574ad2antrr 707 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  x  e.  { y  e.  D  |  y  o R  <_  k } )  ->  R  e.  CRing )
763, 5crngcom 15598 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( R  e.  CRing  /\  u  e.  ( Base `  R
)  /\  v  e.  ( Base `  R )
)  ->  ( u
( .r `  R
) v )  =  ( v ( .r
`  R ) u ) )
77763expb 1154 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( R  e.  CRing  /\  (
u  e.  ( Base `  R )  /\  v  e.  ( Base `  R
) ) )  -> 
( u ( .r
`  R ) v )  =  ( v ( .r `  R
) u ) )
7875, 77sylan 458 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  x  e.  { y  e.  D  |  y  o R  <_  k } )  /\  (
u  e.  ( Base `  R )  /\  v  e.  ( Base `  R
) ) )  -> 
( u ( .r
`  R ) v )  =  ( v ( .r `  R
) u ) )
793, 5rngass 15600 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  (
u  e.  ( Base `  R )  /\  v  e.  ( Base `  R
)  /\  w  e.  ( Base `  R )
) )  ->  (
( u ( .r
`  R ) v ) ( .r `  R ) w )  =  ( u ( .r `  R ) ( v ( .r
`  R ) w ) ) )
8020, 79sylan 458 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  x  e.  { y  e.  D  |  y  o R  <_  k } )  /\  (
u  e.  ( Base `  R )  /\  v  e.  ( Base `  R
)  /\  w  e.  ( Base `  R )
) )  ->  (
( u ( .r
`  R ) v ) ( .r `  R ) w )  =  ( u ( .r `  R ) ( v ( .r
`  R ) w ) ) )
8122, 11, 33, 78, 80caov12d 6200 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  x  e.  { y  e.  D  |  y  o R  <_  k } )  -> 
( ( X `  x ) ( .r
`  R ) ( A ( .r `  R ) ( Y `
 ( k  o F  -  x ) ) ) )  =  ( A ( .r
`  R ) ( ( X `  x
) ( .r `  R ) ( Y `
 ( k  o F  -  x ) ) ) ) )
8273, 81eqtrd 2412 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  x  e.  { y  e.  D  |  y  o R  <_  k } )  -> 
( ( X `  x ) ( .r
`  R ) ( ( A  .x.  Y
) `  ( k  o F  -  x
) ) )  =  ( A ( .r
`  R ) ( ( X `  x
) ( .r `  R ) ( Y `
 ( k  o F  -  x ) ) ) ) )
8382mpteq2dva 4229 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  D )  ->  (
x  e.  { y  e.  D  |  y  o R  <_  k }  |->  ( ( X `
 x ) ( .r `  R ) ( ( A  .x.  Y ) `  (
k  o F  -  x ) ) ) )  =  ( x  e.  { y  e.  D  |  y  o R  <_  k }  |->  ( A ( .r
`  R ) ( ( X `  x
) ( .r `  R ) ( Y `
 ( k  o F  -  x ) ) ) ) ) )
8483oveq2d 6029 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  D )  ->  ( R  gsumg  ( x  e.  {
y  e.  D  | 
y  o R  <_ 
k }  |->  ( ( X `  x ) ( .r `  R
) ( ( A 
.x.  Y ) `  ( k  o F  -  x ) ) ) ) )  =  ( R  gsumg  ( x  e.  {
y  e.  D  | 
y  o R  <_ 
k }  |->  ( A ( .r `  R
) ( ( X `
 x ) ( .r `  R ) ( Y `  (
k  o F  -  x ) ) ) ) ) ) )
8584, 52eqtrd 2412 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  D )  ->  ( R  gsumg  ( x  e.  {
y  e.  D  | 
y  o R  <_ 
k }  |->  ( ( X `  x ) ( .r `  R
) ( ( A 
.x.  Y ) `  ( k  o F  -  x ) ) ) ) )  =  ( A ( .r
`  R ) ( R  gsumg  ( x  e.  {
y  e.  D  | 
y  o R  <_ 
k }  |->  ( ( X `  x ) ( .r `  R
) ( Y `  ( k  o F  -  x ) ) ) ) ) ) )
8685mpteq2dva 4229 . . 3  |-  ( ph  ->  ( k  e.  D  |->  ( R  gsumg  ( x  e.  {
y  e.  D  | 
y  o R  <_ 
k }  |->  ( ( X `  x ) ( .r `  R
) ( ( A 
.x.  Y ) `  ( k  o F  -  x ) ) ) ) ) )  =  ( k  e.  D  |->  ( A ( .r `  R ) ( R  gsumg  ( x  e.  {
y  e.  D  | 
y  o R  <_ 
k }  |->  ( ( X `  x ) ( .r `  R
) ( Y `  ( k  o F  -  x ) ) ) ) ) ) ) )
871, 2, 9, 4, 19, 7, 23psrvscacl 16377 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( A  .x.  Y
)  e.  B )
881, 4, 5, 55, 6, 12, 87psrmulfval 16369 . . 3  |-  ( ph  ->  ( X  .X.  ( A  .x.  Y ) )  =  ( k  e.  D  |->  ( R  gsumg  ( x  e.  { y  e.  D  |  y  o R  <_  k }  |->  ( ( X `  x ) ( .r
`  R ) ( ( A  .x.  Y
) `  ( k  o F  -  x
) ) ) ) ) ) )
8986, 88, 703eqtr4d 2422 . 2  |-  ( ph  ->  ( X  .X.  ( A  .x.  Y ) )  =  ( A  .x.  ( X  .X.  Y ) ) )
9071, 89jca 519 1  |-  ( ph  ->  ( ( ( A 
.x.  X )  .X.  Y )  =  ( A  .x.  ( X 
.X.  Y ) )  /\  ( X  .X.  ( A  .x.  Y ) )  =  ( A 
.x.  ( X  .X.  Y ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1649    e. wcel 1717   {crab 2646   _Vcvv 2892    \ cdif 3253    C_ wss 3256   {csn 3750   class class class wbr 4146    e. cmpt 4200    X. cxp 4809   `'ccnv 4810   dom cdm 4811   "cima 4814   ` cfv 5387  (class class class)co 6013    o Fcof 6235    o Rcofr 6236    ^m cmap 6947   Fincfn 7038    <_ cle 9047    - cmin 9216   NNcn 9925   NN0cn0 10146   Basecbs 13389   +g cplusg 13449   .rcmulr 13450   .scvsca 13453   0gc0g 13643    gsumg cgsu 13644   Ringcrg 15580   CRingccrg 15581   mPwSer cmps 16326
This theorem is referenced by:  psrassa  16397
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2361  ax-rep 4254  ax-sep 4264  ax-nul 4272  ax-pow 4311  ax-pr 4337  ax-un 4634  ax-cnex 8972  ax-resscn 8973  ax-1cn 8974  ax-icn 8975  ax-addcl 8976  ax-addrcl 8977  ax-mulcl 8978  ax-mulrcl 8979  ax-mulcom 8980  ax-addass 8981  ax-mulass 8982  ax-distr 8983  ax-i2m1 8984  ax-1ne0 8985  ax-1rid 8986  ax-rnegex 8987  ax-rrecex 8988  ax-cnre 8989  ax-pre-lttri 8990  ax-pre-lttrn 8991  ax-pre-ltadd 8992  ax-pre-mulgt0 8993
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2235  df-mo 2236  df-clab 2367  df-cleq 2373  df-clel 2376  df-nfc 2505  df-ne 2545  df-nel 2546  df-ral 2647  df-rex 2648  df-reu 2649  df-rmo 2650  df-rab 2651  df-v 2894  df-sbc 3098  df-csb 3188  df-dif 3259  df-un 3261  df-in 3263  df-ss 3270  df-pss 3272  df-nul 3565  df-if 3676  df-pw 3737  df-sn 3756  df-pr 3757  df-tp 3758  df-op 3759  df-uni 3951  df-int 3986  df-iun 4030  df-br 4147  df-opab 4201  df-mpt 4202  df-tr 4237  df-eprel 4428  df-id 4432  df-po 4437  df-so 4438  df-fr 4475  df-se 4476  df-we 4477  df-ord 4518  df-on 4519  df-lim 4520  df-suc 4521  df-om 4779  df-xp 4817  df-rel 4818  df-cnv 4819  df-co 4820  df-dm 4821  df-rn 4822  df-res 4823  df-ima 4824  df-iota 5351  df-fun 5389  df-fn 5390  df-f 5391  df-f1 5392  df-fo 5393  df-f1o 5394  df-fv 5395  df-isom 5396  df-ov 6016  df-oprab 6017  df-mpt2 6018  df-of 6237  df-ofr 6238  df-1st 6281  df-2nd 6282  df-riota 6478  df-recs 6562  df-rdg 6597  df-1o 6653  df-2o 6654  df-oadd 6657  df-er 6834  df-map 6949  df-pm 6950  df-ixp 6993  df-en 7039  df-dom 7040  df-sdom 7041  df-fin 7042  df-oi 7405  df-card 7752  df-pnf 9048  df-mnf 9049  df-xr 9050  df-ltxr 9051  df-le 9052  df-sub 9218  df-neg 9219  df-nn 9926  df-2 9983  df-3 9984  df-4 9985  df-5 9986  df-6 9987  df-7 9988  df-8 9989  df-9 9990  df-n0 10147  df-z 10208  df-uz 10414  df-fz 10969  df-fzo 11059  df-seq 11244  df-hash 11539  df-struct 13391  df-ndx 13392  df-slot 13393  df-base 13394  df-sets 13395  df-plusg 13462  df-mulr 13463  df-sca 13465  df-vsca 13466  df-tset 13468  df-0g 13647  df-gsum 13648  df-mnd 14610  df-mhm 14658  df-grp 14732  df-minusg 14733  df-ghm 14924  df-cntz 15036  df-cmn 15334  df-abl 15335  df-mgp 15569  df-rng 15583  df-cring 15584  df-ur 15585  df-psr 16337
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