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Theorem psrass23 16465
Description: Associative identities for the ring of power series. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
psrrng.s  |-  S  =  ( I mPwSer  R )
psrrng.i  |-  ( ph  ->  I  e.  V )
psrrng.r  |-  ( ph  ->  R  e.  Ring )
psrass.d  |-  D  =  { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f
" NN )  e. 
Fin }
psrass.t  |-  .X.  =  ( .r `  S )
psrass.b  |-  B  =  ( Base `  S
)
psrass.x  |-  ( ph  ->  X  e.  B )
psrass.y  |-  ( ph  ->  Y  e.  B )
psrcom.c  |-  ( ph  ->  R  e.  CRing )
psrass.k  |-  K  =  ( Base `  R
)
psrass.n  |-  .x.  =  ( .s `  S )
psrass.a  |-  ( ph  ->  A  e.  K )
Assertion
Ref Expression
psrass23  |-  ( ph  ->  ( ( ( A 
.x.  X )  .X.  Y )  =  ( A  .x.  ( X 
.X.  Y ) )  /\  ( X  .X.  ( A  .x.  Y ) )  =  ( A 
.x.  ( X  .X.  Y ) ) ) )
Distinct variable groups:    f, I    R, f    f, X    f, Y
Allowed substitution hints:    ph( f)    A( f)    B( f)    D( f)    S( f)    .x. ( f)    .X. ( f)    K( f)    V( f)

Proof of Theorem psrass23
Dummy variables  x  k  y  u  v  w are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 psrrng.s . . . . . . . . . 10  |-  S  =  ( I mPwSer  R )
2 psrass.n . . . . . . . . . 10  |-  .x.  =  ( .s `  S )
3 eqid 2435 . . . . . . . . . 10  |-  ( Base `  R )  =  (
Base `  R )
4 psrass.b . . . . . . . . . 10  |-  B  =  ( Base `  S
)
5 eqid 2435 . . . . . . . . . 10  |-  ( .r
`  R )  =  ( .r `  R
)
6 psrass.d . . . . . . . . . 10  |-  D  =  { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f
" NN )  e. 
Fin }
7 psrass.a . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  A  e.  K )
87adantr 452 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  k  e.  D )  ->  A  e.  K )
9 psrass.k . . . . . . . . . . . 12  |-  K  =  ( Base `  R
)
108, 9syl6eleq 2525 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  D )  ->  A  e.  ( Base `  R
) )
1110adantr 452 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  x  e.  { y  e.  D  |  y  o R  <_  k } )  ->  A  e.  ( Base `  R ) )
12 psrass.x . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  X  e.  B )
1312ad2antrr 707 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  x  e.  { y  e.  D  |  y  o R  <_  k } )  ->  X  e.  B )
14 ssrab2 3420 . . . . . . . . . . 11  |-  { y  e.  D  |  y  o R  <_  k }  C_  D
15 simpr 448 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  x  e.  { y  e.  D  |  y  o R  <_  k } )  ->  x  e.  { y  e.  D  |  y  o R  <_  k } )
1614, 15sseldi 3338 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  x  e.  { y  e.  D  |  y  o R  <_  k } )  ->  x  e.  D )
171, 2, 3, 4, 5, 6, 11, 13, 16psrvscaval 16448 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  x  e.  { y  e.  D  |  y  o R  <_  k } )  -> 
( ( A  .x.  X ) `  x
)  =  ( A ( .r `  R
) ( X `  x ) ) )
1817oveq1d 6088 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  x  e.  { y  e.  D  |  y  o R  <_  k } )  -> 
( ( ( A 
.x.  X ) `  x ) ( .r
`  R ) ( Y `  ( k  o F  -  x
) ) )  =  ( ( A ( .r `  R ) ( X `  x
) ) ( .r
`  R ) ( Y `  ( k  o F  -  x
) ) ) )
19 psrrng.r . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  R  e.  Ring )
2019ad2antrr 707 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  x  e.  { y  e.  D  |  y  o R  <_  k } )  ->  R  e.  Ring )
211, 3, 6, 4, 13psrelbas 16436 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  x  e.  { y  e.  D  |  y  o R  <_  k } )  ->  X : D --> ( Base `  R ) )
2221, 16ffvelrnd 5863 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  x  e.  { y  e.  D  |  y  o R  <_  k } )  -> 
( X `  x
)  e.  ( Base `  R ) )
23 psrass.y . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  Y  e.  B )
2423ad2antrr 707 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  x  e.  { y  e.  D  |  y  o R  <_  k } )  ->  Y  e.  B )
251, 3, 6, 4, 24psrelbas 16436 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  x  e.  { y  e.  D  |  y  o R  <_  k } )  ->  Y : D --> ( Base `  R ) )
26 psrrng.i . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  I  e.  V )
2726ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  x  e.  { y  e.  D  |  y  o R  <_  k } )  ->  I  e.  V )
28 simplr 732 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  x  e.  { y  e.  D  |  y  o R  <_  k } )  -> 
k  e.  D )
29 eqid 2435 . . . . . . . . . . . . 13  |-  { y  e.  D  |  y  o R  <_  k }  =  { y  e.  D  |  y  o R  <_  k }
306, 29psrbagconcl 16430 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( I  e.  V  /\  k  e.  D  /\  x  e.  { y  e.  D  |  y  o R  <_  k } )  ->  ( k  o F  -  x
)  e.  { y  e.  D  |  y  o R  <_  k } )
3127, 28, 15, 30syl3anc 1184 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  x  e.  { y  e.  D  |  y  o R  <_  k } )  -> 
( k  o F  -  x )  e. 
{ y  e.  D  |  y  o R  <_  k } )
3214, 31sseldi 3338 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  x  e.  { y  e.  D  |  y  o R  <_  k } )  -> 
( k  o F  -  x )  e.  D )
3325, 32ffvelrnd 5863 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  x  e.  { y  e.  D  |  y  o R  <_  k } )  -> 
( Y `  (
k  o F  -  x ) )  e.  ( Base `  R
) )
343, 5rngass 15672 . . . . . . . . 9  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  ( A  e.  ( Base `  R )  /\  ( X `  x )  e.  ( Base `  R
)  /\  ( Y `  ( k  o F  -  x ) )  e.  ( Base `  R
) ) )  -> 
( ( A ( .r `  R ) ( X `  x
) ) ( .r
`  R ) ( Y `  ( k  o F  -  x
) ) )  =  ( A ( .r
`  R ) ( ( X `  x
) ( .r `  R ) ( Y `
 ( k  o F  -  x ) ) ) ) )
3520, 11, 22, 33, 34syl13anc 1186 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  x  e.  { y  e.  D  |  y  o R  <_  k } )  -> 
( ( A ( .r `  R ) ( X `  x
) ) ( .r
`  R ) ( Y `  ( k  o F  -  x
) ) )  =  ( A ( .r
`  R ) ( ( X `  x
) ( .r `  R ) ( Y `
 ( k  o F  -  x ) ) ) ) )
3618, 35eqtrd 2467 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  x  e.  { y  e.  D  |  y  o R  <_  k } )  -> 
( ( ( A 
.x.  X ) `  x ) ( .r
`  R ) ( Y `  ( k  o F  -  x
) ) )  =  ( A ( .r
`  R ) ( ( X `  x
) ( .r `  R ) ( Y `
 ( k  o F  -  x ) ) ) ) )
3736mpteq2dva 4287 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  D )  ->  (
x  e.  { y  e.  D  |  y  o R  <_  k }  |->  ( ( ( A  .x.  X ) `
 x ) ( .r `  R ) ( Y `  (
k  o F  -  x ) ) ) )  =  ( x  e.  { y  e.  D  |  y  o R  <_  k }  |->  ( A ( .r
`  R ) ( ( X `  x
) ( .r `  R ) ( Y `
 ( k  o F  -  x ) ) ) ) ) )
3837oveq2d 6089 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  D )  ->  ( R  gsumg  ( x  e.  {
y  e.  D  | 
y  o R  <_ 
k }  |->  ( ( ( A  .x.  X
) `  x )
( .r `  R
) ( Y `  ( k  o F  -  x ) ) ) ) )  =  ( R  gsumg  ( x  e.  {
y  e.  D  | 
y  o R  <_ 
k }  |->  ( A ( .r `  R
) ( ( X `
 x ) ( .r `  R ) ( Y `  (
k  o F  -  x ) ) ) ) ) ) )
39 eqid 2435 . . . . . 6  |-  ( 0g
`  R )  =  ( 0g `  R
)
40 eqid 2435 . . . . . 6  |-  ( +g  `  R )  =  ( +g  `  R )
4119adantr 452 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  D )  ->  R  e.  Ring )
426psrbaglefi 16429 . . . . . . 7  |-  ( ( I  e.  V  /\  k  e.  D )  ->  { y  e.  D  |  y  o R  <_  k }  e.  Fin )
4326, 42sylan 458 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  D )  ->  { y  e.  D  |  y  o R  <_  k }  e.  Fin )
443, 5rngcl 15669 . . . . . . 7  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  ( X `  x )  e.  ( Base `  R
)  /\  ( Y `  ( k  o F  -  x ) )  e.  ( Base `  R
) )  ->  (
( X `  x
) ( .r `  R ) ( Y `
 ( k  o F  -  x ) ) )  e.  (
Base `  R )
)
4520, 22, 33, 44syl3anc 1184 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  x  e.  { y  e.  D  |  y  o R  <_  k } )  -> 
( ( X `  x ) ( .r
`  R ) ( Y `  ( k  o F  -  x
) ) )  e.  ( Base `  R
) )
46 cnvimass 5216 . . . . . . . 8  |-  ( `' ( x  e.  {
y  e.  D  | 
y  o R  <_ 
k }  |->  ( ( X `  x ) ( .r `  R
) ( Y `  ( k  o F  -  x ) ) ) ) " ( _V  \  { ( 0g
`  R ) } ) )  C_  dom  ( x  e.  { y  e.  D  |  y  o R  <_  k }  |->  ( ( X `
 x ) ( .r `  R ) ( Y `  (
k  o F  -  x ) ) ) )
47 eqid 2435 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  { y  e.  D  |  y  o R  <_  k }  |->  ( ( X `  x ) ( .r
`  R ) ( Y `  ( k  o F  -  x
) ) ) )  =  ( x  e. 
{ y  e.  D  |  y  o R  <_  k }  |->  ( ( X `  x ) ( .r `  R
) ( Y `  ( k  o F  -  x ) ) ) )
4847dmmptss 5358 . . . . . . . 8  |-  dom  (
x  e.  { y  e.  D  |  y  o R  <_  k }  |->  ( ( X `
 x ) ( .r `  R ) ( Y `  (
k  o F  -  x ) ) ) )  C_  { y  e.  D  |  y  o R  <_  k }
4946, 48sstri 3349 . . . . . . 7  |-  ( `' ( x  e.  {
y  e.  D  | 
y  o R  <_ 
k }  |->  ( ( X `  x ) ( .r `  R
) ( Y `  ( k  o F  -  x ) ) ) ) " ( _V  \  { ( 0g
`  R ) } ) )  C_  { y  e.  D  |  y  o R  <_  k }
50 ssfi 7321 . . . . . . 7  |-  ( ( { y  e.  D  |  y  o R  <_  k }  e.  Fin  /\  ( `' ( x  e.  { y  e.  D  |  y  o R  <_  k }  |->  ( ( X `  x ) ( .r
`  R ) ( Y `  ( k  o F  -  x
) ) ) )
" ( _V  \  { ( 0g `  R ) } ) )  C_  { y  e.  D  |  y  o R  <_  k } )  ->  ( `' ( x  e.  { y  e.  D  |  y  o R  <_  k }  |->  ( ( X `
 x ) ( .r `  R ) ( Y `  (
k  o F  -  x ) ) ) ) " ( _V 
\  { ( 0g
`  R ) } ) )  e.  Fin )
5143, 49, 50sylancl 644 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  D )  ->  ( `' ( x  e. 
{ y  e.  D  |  y  o R  <_  k }  |->  ( ( X `  x ) ( .r `  R
) ( Y `  ( k  o F  -  x ) ) ) ) " ( _V  \  { ( 0g
`  R ) } ) )  e.  Fin )
523, 39, 40, 5, 41, 43, 10, 45, 51gsummulc2 15706 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  D )  ->  ( R  gsumg  ( x  e.  {
y  e.  D  | 
y  o R  <_ 
k }  |->  ( A ( .r `  R
) ( ( X `
 x ) ( .r `  R ) ( Y `  (
k  o F  -  x ) ) ) ) ) )  =  ( A ( .r
`  R ) ( R  gsumg  ( x  e.  {
y  e.  D  | 
y  o R  <_ 
k }  |->  ( ( X `  x ) ( .r `  R
) ( Y `  ( k  o F  -  x ) ) ) ) ) ) )
5338, 52eqtrd 2467 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  D )  ->  ( R  gsumg  ( x  e.  {
y  e.  D  | 
y  o R  <_ 
k }  |->  ( ( ( A  .x.  X
) `  x )
( .r `  R
) ( Y `  ( k  o F  -  x ) ) ) ) )  =  ( A ( .r
`  R ) ( R  gsumg  ( x  e.  {
y  e.  D  | 
y  o R  <_ 
k }  |->  ( ( X `  x ) ( .r `  R
) ( Y `  ( k  o F  -  x ) ) ) ) ) ) )
5453mpteq2dva 4287 . . 3  |-  ( ph  ->  ( k  e.  D  |->  ( R  gsumg  ( x  e.  {
y  e.  D  | 
y  o R  <_ 
k }  |->  ( ( ( A  .x.  X
) `  x )
( .r `  R
) ( Y `  ( k  o F  -  x ) ) ) ) ) )  =  ( k  e.  D  |->  ( A ( .r `  R ) ( R  gsumg  ( x  e.  {
y  e.  D  | 
y  o R  <_ 
k }  |->  ( ( X `  x ) ( .r `  R
) ( Y `  ( k  o F  -  x ) ) ) ) ) ) ) )
55 psrass.t . . . 4  |-  .X.  =  ( .r `  S )
561, 2, 9, 4, 19, 7, 12psrvscacl 16449 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( A  .x.  X
)  e.  B )
571, 4, 5, 55, 6, 56, 23psrmulfval 16441 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( A  .x.  X )  .X.  Y
)  =  ( k  e.  D  |->  ( R 
gsumg  ( x  e.  { y  e.  D  |  y  o R  <_  k }  |->  ( ( ( A  .x.  X ) `
 x ) ( .r `  R ) ( Y `  (
k  o F  -  x ) ) ) ) ) ) )
581, 4, 55, 19, 12, 23psrmulcl 16444 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( X  .X.  Y
)  e.  B )
591, 2, 9, 4, 5, 6, 7, 58psrvsca 16447 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( A  .x.  ( X  .X.  Y ) )  =  ( ( D  X.  { A }
)  o F ( .r `  R ) ( X  .X.  Y
) ) )
60 ovex 6098 . . . . . . . 8  |-  ( NN0 
^m  I )  e. 
_V
6160rabex 4346 . . . . . . 7  |-  { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f " NN )  e.  Fin }  e.  _V
626, 61eqeltri 2505 . . . . . 6  |-  D  e. 
_V
6362a1i 11 . . . . 5  |-  ( ph  ->  D  e.  _V )
64 ovex 6098 . . . . . 6  |-  ( R 
gsumg  ( x  e.  { y  e.  D  |  y  o R  <_  k }  |->  ( ( X `
 x ) ( .r `  R ) ( Y `  (
k  o F  -  x ) ) ) ) )  e.  _V
6564a1i 11 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  D )  ->  ( R  gsumg  ( x  e.  {
y  e.  D  | 
y  o R  <_ 
k }  |->  ( ( X `  x ) ( .r `  R
) ( Y `  ( k  o F  -  x ) ) ) ) )  e. 
_V )
66 fconstmpt 4913 . . . . . 6  |-  ( D  X.  { A }
)  =  ( k  e.  D  |->  A )
6766a1i 11 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( D  X.  { A } )  =  ( k  e.  D  |->  A ) )
681, 4, 5, 55, 6, 12, 23psrmulfval 16441 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( X  .X.  Y
)  =  ( k  e.  D  |->  ( R 
gsumg  ( x  e.  { y  e.  D  |  y  o R  <_  k }  |->  ( ( X `
 x ) ( .r `  R ) ( Y `  (
k  o F  -  x ) ) ) ) ) ) )
6963, 8, 65, 67, 68offval2 6314 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( D  X.  { A } )  o F ( .r `  R ) ( X 
.X.  Y ) )  =  ( k  e.  D  |->  ( A ( .r `  R ) ( R  gsumg  ( x  e.  {
y  e.  D  | 
y  o R  <_ 
k }  |->  ( ( X `  x ) ( .r `  R
) ( Y `  ( k  o F  -  x ) ) ) ) ) ) ) )
7059, 69eqtrd 2467 . . 3  |-  ( ph  ->  ( A  .x.  ( X  .X.  Y ) )  =  ( k  e.  D  |->  ( A ( .r `  R ) ( R  gsumg  ( x  e.  {
y  e.  D  | 
y  o R  <_ 
k }  |->  ( ( X `  x ) ( .r `  R
) ( Y `  ( k  o F  -  x ) ) ) ) ) ) ) )
7154, 57, 703eqtr4d 2477 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( A  .x.  X )  .X.  Y
)  =  ( A 
.x.  ( X  .X.  Y ) ) )
721, 2, 3, 4, 5, 6, 11, 24, 32psrvscaval 16448 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  x  e.  { y  e.  D  |  y  o R  <_  k } )  -> 
( ( A  .x.  Y ) `  (
k  o F  -  x ) )  =  ( A ( .r
`  R ) ( Y `  ( k  o F  -  x
) ) ) )
7372oveq2d 6089 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  x  e.  { y  e.  D  |  y  o R  <_  k } )  -> 
( ( X `  x ) ( .r
`  R ) ( ( A  .x.  Y
) `  ( k  o F  -  x
) ) )  =  ( ( X `  x ) ( .r
`  R ) ( A ( .r `  R ) ( Y `
 ( k  o F  -  x ) ) ) ) )
74 psrcom.c . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  R  e.  CRing )
7574ad2antrr 707 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  x  e.  { y  e.  D  |  y  o R  <_  k } )  ->  R  e.  CRing )
763, 5crngcom 15670 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( R  e.  CRing  /\  u  e.  ( Base `  R
)  /\  v  e.  ( Base `  R )
)  ->  ( u
( .r `  R
) v )  =  ( v ( .r
`  R ) u ) )
77763expb 1154 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( R  e.  CRing  /\  (
u  e.  ( Base `  R )  /\  v  e.  ( Base `  R
) ) )  -> 
( u ( .r
`  R ) v )  =  ( v ( .r `  R
) u ) )
7875, 77sylan 458 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  x  e.  { y  e.  D  |  y  o R  <_  k } )  /\  (
u  e.  ( Base `  R )  /\  v  e.  ( Base `  R
) ) )  -> 
( u ( .r
`  R ) v )  =  ( v ( .r `  R
) u ) )
793, 5rngass 15672 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  (
u  e.  ( Base `  R )  /\  v  e.  ( Base `  R
)  /\  w  e.  ( Base `  R )
) )  ->  (
( u ( .r
`  R ) v ) ( .r `  R ) w )  =  ( u ( .r `  R ) ( v ( .r
`  R ) w ) ) )
8020, 79sylan 458 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  x  e.  { y  e.  D  |  y  o R  <_  k } )  /\  (
u  e.  ( Base `  R )  /\  v  e.  ( Base `  R
)  /\  w  e.  ( Base `  R )
) )  ->  (
( u ( .r
`  R ) v ) ( .r `  R ) w )  =  ( u ( .r `  R ) ( v ( .r
`  R ) w ) ) )
8122, 11, 33, 78, 80caov12d 6260 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  x  e.  { y  e.  D  |  y  o R  <_  k } )  -> 
( ( X `  x ) ( .r
`  R ) ( A ( .r `  R ) ( Y `
 ( k  o F  -  x ) ) ) )  =  ( A ( .r
`  R ) ( ( X `  x
) ( .r `  R ) ( Y `
 ( k  o F  -  x ) ) ) ) )
8273, 81eqtrd 2467 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  x  e.  { y  e.  D  |  y  o R  <_  k } )  -> 
( ( X `  x ) ( .r
`  R ) ( ( A  .x.  Y
) `  ( k  o F  -  x
) ) )  =  ( A ( .r
`  R ) ( ( X `  x
) ( .r `  R ) ( Y `
 ( k  o F  -  x ) ) ) ) )
8382mpteq2dva 4287 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  D )  ->  (
x  e.  { y  e.  D  |  y  o R  <_  k }  |->  ( ( X `
 x ) ( .r `  R ) ( ( A  .x.  Y ) `  (
k  o F  -  x ) ) ) )  =  ( x  e.  { y  e.  D  |  y  o R  <_  k }  |->  ( A ( .r
`  R ) ( ( X `  x
) ( .r `  R ) ( Y `
 ( k  o F  -  x ) ) ) ) ) )
8483oveq2d 6089 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  D )  ->  ( R  gsumg  ( x  e.  {
y  e.  D  | 
y  o R  <_ 
k }  |->  ( ( X `  x ) ( .r `  R
) ( ( A 
.x.  Y ) `  ( k  o F  -  x ) ) ) ) )  =  ( R  gsumg  ( x  e.  {
y  e.  D  | 
y  o R  <_ 
k }  |->  ( A ( .r `  R
) ( ( X `
 x ) ( .r `  R ) ( Y `  (
k  o F  -  x ) ) ) ) ) ) )
8584, 52eqtrd 2467 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  D )  ->  ( R  gsumg  ( x  e.  {
y  e.  D  | 
y  o R  <_ 
k }  |->  ( ( X `  x ) ( .r `  R
) ( ( A 
.x.  Y ) `  ( k  o F  -  x ) ) ) ) )  =  ( A ( .r
`  R ) ( R  gsumg  ( x  e.  {
y  e.  D  | 
y  o R  <_ 
k }  |->  ( ( X `  x ) ( .r `  R
) ( Y `  ( k  o F  -  x ) ) ) ) ) ) )
8685mpteq2dva 4287 . . 3  |-  ( ph  ->  ( k  e.  D  |->  ( R  gsumg  ( x  e.  {
y  e.  D  | 
y  o R  <_ 
k }  |->  ( ( X `  x ) ( .r `  R
) ( ( A 
.x.  Y ) `  ( k  o F  -  x ) ) ) ) ) )  =  ( k  e.  D  |->  ( A ( .r `  R ) ( R  gsumg  ( x  e.  {
y  e.  D  | 
y  o R  <_ 
k }  |->  ( ( X `  x ) ( .r `  R
) ( Y `  ( k  o F  -  x ) ) ) ) ) ) ) )
871, 2, 9, 4, 19, 7, 23psrvscacl 16449 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( A  .x.  Y
)  e.  B )
881, 4, 5, 55, 6, 12, 87psrmulfval 16441 . . 3  |-  ( ph  ->  ( X  .X.  ( A  .x.  Y ) )  =  ( k  e.  D  |->  ( R  gsumg  ( x  e.  { y  e.  D  |  y  o R  <_  k }  |->  ( ( X `  x ) ( .r
`  R ) ( ( A  .x.  Y
) `  ( k  o F  -  x
) ) ) ) ) ) )
8986, 88, 703eqtr4d 2477 . 2  |-  ( ph  ->  ( X  .X.  ( A  .x.  Y ) )  =  ( A  .x.  ( X  .X.  Y ) ) )
9071, 89jca 519 1  |-  ( ph  ->  ( ( ( A 
.x.  X )  .X.  Y )  =  ( A  .x.  ( X 
.X.  Y ) )  /\  ( X  .X.  ( A  .x.  Y ) )  =  ( A 
.x.  ( X  .X.  Y ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1652    e. wcel 1725   {crab 2701   _Vcvv 2948    \ cdif 3309    C_ wss 3312   {csn 3806   class class class wbr 4204    e. cmpt 4258    X. cxp 4868   `'ccnv 4869   dom cdm 4870   "cima 4873   ` cfv 5446  (class class class)co 6073    o Fcof 6295    o Rcofr 6296    ^m cmap 7010   Fincfn 7101    <_ cle 9113    - cmin 9283   NNcn 9992   NN0cn0 10213   Basecbs 13461   +g cplusg 13521   .rcmulr 13522   .scvsca 13525   0gc0g 13715    gsumg cgsu 13716   Ringcrg 15652   CRingccrg 15653   mPwSer cmps 16398
This theorem is referenced by:  psrassa  16469
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-cnex 9038  ax-resscn 9039  ax-1cn 9040  ax-icn 9041  ax-addcl 9042  ax-addrcl 9043  ax-mulcl 9044  ax-mulrcl 9045  ax-mulcom 9046  ax-addass 9047  ax-mulass 9048  ax-distr 9049  ax-i2m1 9050  ax-1ne0 9051  ax-1rid 9052  ax-rnegex 9053  ax-rrecex 9054  ax-cnre 9055  ax-pre-lttri 9056  ax-pre-lttrn 9057  ax-pre-ltadd 9058  ax-pre-mulgt0 9059
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rmo 2705  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-int 4043  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-se 4534  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-isom 5455  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-of 6297  df-ofr 6298  df-1st 6341  df-2nd 6342  df-riota 6541  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-1o 6716  df-2o 6717  df-oadd 6720  df-er 6897  df-map 7012  df-pm 7013  df-ixp 7056  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-fin 7105  df-oi 7471  df-card 7818  df-pnf 9114  df-mnf 9115  df-xr 9116  df-ltxr 9117  df-le 9118  df-sub 9285  df-neg 9286  df-nn 9993  df-2 10050  df-3 10051  df-4 10052  df-5 10053  df-6 10054  df-7 10055  df-8 10056  df-9 10057  df-n0 10214  df-z 10275  df-uz 10481  df-fz 11036  df-fzo 11128  df-seq 11316  df-hash 11611  df-struct 13463  df-ndx 13464  df-slot 13465  df-base 13466  df-sets 13467  df-plusg 13534  df-mulr 13535  df-sca 13537  df-vsca 13538  df-tset 13540  df-0g 13719  df-gsum 13720  df-mnd 14682  df-mhm 14730  df-grp 14804  df-minusg 14805  df-ghm 14996  df-cntz 15108  df-cmn 15406  df-abl 15407  df-mgp 15641  df-rng 15655  df-cring 15656  df-ur 15657  df-psr 16409
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