MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  psrbag Unicode version

Theorem psrbag 16358
Description: Elementhood in the set of finite bags. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Dec-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
psrbag.d  |-  D  =  { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f
" NN )  e. 
Fin }
Assertion
Ref Expression
psrbag  |-  ( I  e.  V  ->  ( F  e.  D  <->  ( F : I --> NN0  /\  ( `' F " NN )  e.  Fin ) ) )
Distinct variable groups:    f, F    f, I
Allowed substitution hints:    D( f)    V( f)

Proof of Theorem psrbag
StepHypRef Expression
1 cnveq 4986 . . . . 5  |-  ( f  =  F  ->  `' f  =  `' F
)
21imaeq1d 5142 . . . 4  |-  ( f  =  F  ->  ( `' f " NN )  =  ( `' F " NN ) )
32eleq1d 2453 . . 3  |-  ( f  =  F  ->  (
( `' f " NN )  e.  Fin  <->  ( `' F " NN )  e.  Fin ) )
4 psrbag.d . . 3  |-  D  =  { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f
" NN )  e. 
Fin }
53, 4elrab2 3037 . 2  |-  ( F  e.  D  <->  ( F  e.  ( NN0  ^m  I
)  /\  ( `' F " NN )  e. 
Fin ) )
6 nn0ex 10159 . . . 4  |-  NN0  e.  _V
7 elmapg 6967 . . . 4  |-  ( ( NN0  e.  _V  /\  I  e.  V )  ->  ( F  e.  ( NN0  ^m  I )  <-> 
F : I --> NN0 )
)
86, 7mpan 652 . . 3  |-  ( I  e.  V  ->  ( F  e.  ( NN0  ^m  I )  <->  F :
I --> NN0 ) )
98anbi1d 686 . 2  |-  ( I  e.  V  ->  (
( F  e.  ( NN0  ^m  I )  /\  ( `' F " NN )  e.  Fin ) 
<->  ( F : I --> NN0  /\  ( `' F " NN )  e.  Fin ) ) )
105, 9syl5bb 249 1  |-  ( I  e.  V  ->  ( F  e.  D  <->  ( F : I --> NN0  /\  ( `' F " NN )  e.  Fin ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1717   {crab 2653   _Vcvv 2899   `'ccnv 4817   "cima 4821   -->wf 5390  (class class class)co 6020    ^m cmap 6954   Fincfn 7045   NNcn 9932   NN0cn0 10153
This theorem is referenced by:  psrbagf  16359  psrbaglecl  16361  psrbagaddcl  16362  psrbagcon  16363  psrbaglefi  16364  psrbas  16370  psrlidm  16394  psrridm  16395  mvridlem  16410  mplcoe3  16456  mplcoe2  16457  mplbas2  16458  psrbag0  16481  psrbagsn  16482  psrbagsuppfi  16492  evlslem3  19802
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2368  ax-sep 4271  ax-nul 4279  ax-pow 4318  ax-pr 4344  ax-un 4641  ax-cnex 8979  ax-resscn 8980  ax-1cn 8981  ax-icn 8982  ax-addcl 8983  ax-addrcl 8984  ax-mulcl 8985  ax-mulrcl 8986  ax-i2m1 8991  ax-1ne0 8992  ax-rrecex 8995  ax-cnre 8996
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2374  df-cleq 2380  df-clel 2383  df-nfc 2512  df-ne 2552  df-ral 2654  df-rex 2655  df-reu 2656  df-rab 2658  df-v 2901  df-sbc 3105  df-csb 3195  df-dif 3266  df-un 3268  df-in 3270  df-ss 3277  df-pss 3279  df-nul 3572  df-if 3683  df-pw 3744  df-sn 3763  df-pr 3764  df-tp 3765  df-op 3766  df-uni 3958  df-iun 4037  df-br 4154  df-opab 4208  df-mpt 4209  df-tr 4244  df-eprel 4435  df-id 4439  df-po 4444  df-so 4445  df-fr 4482  df-we 4484  df-ord 4525  df-on 4526  df-lim 4527  df-suc 4528  df-om 4786  df-xp 4824  df-rel 4825  df-cnv 4826  df-co 4827  df-dm 4828  df-rn 4829  df-res 4830  df-ima 4831  df-iota 5358  df-fun 5396  df-fn 5397  df-f 5398  df-f1 5399  df-fo 5400  df-f1o 5401  df-fv 5402  df-ov 6023  df-oprab 6024  df-mpt2 6025  df-recs 6569  df-rdg 6604  df-map 6956  df-nn 9933  df-n0 10154
  Copyright terms: Public domain W3C validator