MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  psrbag Unicode version

Theorem psrbag 16112
Description: Elementhood in the set of finite bags. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Dec-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
psrbag.d  |-  D  =  { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f
" NN )  e. 
Fin }
Assertion
Ref Expression
psrbag  |-  ( I  e.  V  ->  ( F  e.  D  <->  ( F : I --> NN0  /\  ( `' F " NN )  e.  Fin ) ) )
Distinct variable groups:    f, F    f, I
Allowed substitution hints:    D( f)    V( f)

Proof of Theorem psrbag
StepHypRef Expression
1 cnveq 4855 . . . . 5  |-  ( f  =  F  ->  `' f  =  `' F
)
21imaeq1d 5011 . . . 4  |-  ( f  =  F  ->  ( `' f " NN )  =  ( `' F " NN ) )
32eleq1d 2349 . . 3  |-  ( f  =  F  ->  (
( `' f " NN )  e.  Fin  <->  ( `' F " NN )  e.  Fin ) )
4 psrbag.d . . 3  |-  D  =  { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f
" NN )  e. 
Fin }
53, 4elrab2 2925 . 2  |-  ( F  e.  D  <->  ( F  e.  ( NN0  ^m  I
)  /\  ( `' F " NN )  e. 
Fin ) )
6 nn0ex 9971 . . . 4  |-  NN0  e.  _V
7 elmapg 6785 . . . 4  |-  ( ( NN0  e.  _V  /\  I  e.  V )  ->  ( F  e.  ( NN0  ^m  I )  <-> 
F : I --> NN0 )
)
86, 7mpan 651 . . 3  |-  ( I  e.  V  ->  ( F  e.  ( NN0  ^m  I )  <->  F :
I --> NN0 ) )
98anbi1d 685 . 2  |-  ( I  e.  V  ->  (
( F  e.  ( NN0  ^m  I )  /\  ( `' F " NN )  e.  Fin ) 
<->  ( F : I --> NN0  /\  ( `' F " NN )  e.  Fin ) ) )
105, 9syl5bb 248 1  |-  ( I  e.  V  ->  ( F  e.  D  <->  ( F : I --> NN0  /\  ( `' F " NN )  e.  Fin ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1623    e. wcel 1684   {crab 2547   _Vcvv 2788   `'ccnv 4688   "cima 4692   -->wf 5251  (class class class)co 5858    ^m cmap 6772   Fincfn 6863   NNcn 9746   NN0cn0 9965
This theorem is referenced by:  psrbagf  16113  psrbaglecl  16115  psrbagaddcl  16116  psrbagcon  16117  psrbaglefi  16118  psrbas  16124  psrlidm  16148  psrridm  16149  mvridlem  16164  mplcoe3  16210  mplcoe2  16211  mplbas2  16212  psrbag0  16235  psrbagsn  16236  psrbagsuppfi  16246  evlslem3  19398
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-map 6774  df-nn 9747  df-n0 9966
  Copyright terms: Public domain W3C validator