MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  psrbagcon Structured version   Unicode version

Theorem psrbagcon 16436
Description: The analogue of the statement " 0  <_  G  <_  F implies  0  <_  F  -  G  <_  F " for finite bags. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Dec-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
psrbag.d  |-  D  =  { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f
" NN )  e. 
Fin }
Assertion
Ref Expression
psrbagcon  |-  ( ( I  e.  V  /\  ( F  e.  D  /\  G : I --> NN0  /\  G  o R  <_  F
) )  ->  (
( F  o F  -  G )  e.  D  /\  ( F  o F  -  G
)  o R  <_  F ) )
Distinct variable groups:    f, F    f, G    f, I
Allowed substitution hints:    D( f)    V( f)

Proof of Theorem psrbagcon
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpr1 963 . . . . . . . 8  |-  ( ( I  e.  V  /\  ( F  e.  D  /\  G : I --> NN0  /\  G  o R  <_  F
) )  ->  F  e.  D )
2 psrbag.d . . . . . . . . . 10  |-  D  =  { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f
" NN )  e. 
Fin }
32psrbag 16431 . . . . . . . . 9  |-  ( I  e.  V  ->  ( F  e.  D  <->  ( F : I --> NN0  /\  ( `' F " NN )  e.  Fin ) ) )
43adantr 452 . . . . . . . 8  |-  ( ( I  e.  V  /\  ( F  e.  D  /\  G : I --> NN0  /\  G  o R  <_  F
) )  ->  ( F  e.  D  <->  ( F : I --> NN0  /\  ( `' F " NN )  e.  Fin ) ) )
51, 4mpbid 202 . . . . . . 7  |-  ( ( I  e.  V  /\  ( F  e.  D  /\  G : I --> NN0  /\  G  o R  <_  F
) )  ->  ( F : I --> NN0  /\  ( `' F " NN )  e.  Fin ) )
65simpld 446 . . . . . 6  |-  ( ( I  e.  V  /\  ( F  e.  D  /\  G : I --> NN0  /\  G  o R  <_  F
) )  ->  F : I --> NN0 )
7 ffn 5591 . . . . . 6  |-  ( F : I --> NN0  ->  F  Fn  I )
86, 7syl 16 . . . . 5  |-  ( ( I  e.  V  /\  ( F  e.  D  /\  G : I --> NN0  /\  G  o R  <_  F
) )  ->  F  Fn  I )
9 simpr2 964 . . . . . 6  |-  ( ( I  e.  V  /\  ( F  e.  D  /\  G : I --> NN0  /\  G  o R  <_  F
) )  ->  G : I --> NN0 )
10 ffn 5591 . . . . . 6  |-  ( G : I --> NN0  ->  G  Fn  I )
119, 10syl 16 . . . . 5  |-  ( ( I  e.  V  /\  ( F  e.  D  /\  G : I --> NN0  /\  G  o R  <_  F
) )  ->  G  Fn  I )
12 simpl 444 . . . . 5  |-  ( ( I  e.  V  /\  ( F  e.  D  /\  G : I --> NN0  /\  G  o R  <_  F
) )  ->  I  e.  V )
13 inidm 3550 . . . . 5  |-  ( I  i^i  I )  =  I
148, 11, 12, 12, 13offn 6316 . . . 4  |-  ( ( I  e.  V  /\  ( F  e.  D  /\  G : I --> NN0  /\  G  o R  <_  F
) )  ->  ( F  o F  -  G
)  Fn  I )
15 eqidd 2437 . . . . . . 7  |-  ( ( ( I  e.  V  /\  ( F  e.  D  /\  G : I --> NN0  /\  G  o R  <_  F
) )  /\  x  e.  I )  ->  ( F `  x )  =  ( F `  x ) )
16 eqidd 2437 . . . . . . 7  |-  ( ( ( I  e.  V  /\  ( F  e.  D  /\  G : I --> NN0  /\  G  o R  <_  F
) )  /\  x  e.  I )  ->  ( G `  x )  =  ( G `  x ) )
178, 11, 12, 12, 13, 15, 16ofval 6314 . . . . . 6  |-  ( ( ( I  e.  V  /\  ( F  e.  D  /\  G : I --> NN0  /\  G  o R  <_  F
) )  /\  x  e.  I )  ->  (
( F  o F  -  G ) `  x )  =  ( ( F `  x
)  -  ( G `
 x ) ) )
18 simpr3 965 . . . . . . . . 9  |-  ( ( I  e.  V  /\  ( F  e.  D  /\  G : I --> NN0  /\  G  o R  <_  F
) )  ->  G  o R  <_  F )
1911, 8, 12, 12, 13, 16, 15ofrfval 6313 . . . . . . . . 9  |-  ( ( I  e.  V  /\  ( F  e.  D  /\  G : I --> NN0  /\  G  o R  <_  F
) )  ->  ( G  o R  <_  F  <->  A. x  e.  I  ( G `  x )  <_  ( F `  x ) ) )
2018, 19mpbid 202 . . . . . . . 8  |-  ( ( I  e.  V  /\  ( F  e.  D  /\  G : I --> NN0  /\  G  o R  <_  F
) )  ->  A. x  e.  I  ( G `  x )  <_  ( F `  x )
)
2120r19.21bi 2804 . . . . . . 7  |-  ( ( ( I  e.  V  /\  ( F  e.  D  /\  G : I --> NN0  /\  G  o R  <_  F
) )  /\  x  e.  I )  ->  ( G `  x )  <_  ( F `  x
) )
229ffvelrnda 5870 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( I  e.  V  /\  ( F  e.  D  /\  G : I --> NN0  /\  G  o R  <_  F
) )  /\  x  e.  I )  ->  ( G `  x )  e.  NN0 )
236ffvelrnda 5870 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( I  e.  V  /\  ( F  e.  D  /\  G : I --> NN0  /\  G  o R  <_  F
) )  /\  x  e.  I )  ->  ( F `  x )  e.  NN0 )
24 nn0sub 10270 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( G `  x
)  e.  NN0  /\  ( F `  x )  e.  NN0 )  -> 
( ( G `  x )  <_  ( F `  x )  <->  ( ( F `  x
)  -  ( G `
 x ) )  e.  NN0 ) )
2522, 23, 24syl2anc 643 . . . . . . 7  |-  ( ( ( I  e.  V  /\  ( F  e.  D  /\  G : I --> NN0  /\  G  o R  <_  F
) )  /\  x  e.  I )  ->  (
( G `  x
)  <_  ( F `  x )  <->  ( ( F `  x )  -  ( G `  x ) )  e. 
NN0 ) )
2621, 25mpbid 202 . . . . . 6  |-  ( ( ( I  e.  V  /\  ( F  e.  D  /\  G : I --> NN0  /\  G  o R  <_  F
) )  /\  x  e.  I )  ->  (
( F `  x
)  -  ( G `
 x ) )  e.  NN0 )
2717, 26eqeltrd 2510 . . . . 5  |-  ( ( ( I  e.  V  /\  ( F  e.  D  /\  G : I --> NN0  /\  G  o R  <_  F
) )  /\  x  e.  I )  ->  (
( F  o F  -  G ) `  x )  e.  NN0 )
2827ralrimiva 2789 . . . 4  |-  ( ( I  e.  V  /\  ( F  e.  D  /\  G : I --> NN0  /\  G  o R  <_  F
) )  ->  A. x  e.  I  ( ( F  o F  -  G
) `  x )  e.  NN0 )
29 ffnfv 5894 . . . 4  |-  ( ( F  o F  -  G ) : I --> NN0  <->  ( ( F  o F  -  G
)  Fn  I  /\  A. x  e.  I  ( ( F  o F  -  G ) `  x )  e.  NN0 ) )
3014, 28, 29sylanbrc 646 . . 3  |-  ( ( I  e.  V  /\  ( F  e.  D  /\  G : I --> NN0  /\  G  o R  <_  F
) )  ->  ( F  o F  -  G
) : I --> NN0 )
315simprd 450 . . . 4  |-  ( ( I  e.  V  /\  ( F  e.  D  /\  G : I --> NN0  /\  G  o R  <_  F
) )  ->  ( `' F " NN )  e.  Fin )
3222nn0ge0d 10277 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( I  e.  V  /\  ( F  e.  D  /\  G : I --> NN0  /\  G  o R  <_  F
) )  /\  x  e.  I )  ->  0  <_  ( G `  x
) )
33 nn0re 10230 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( F `  x )  e.  NN0  ->  ( F `
 x )  e.  RR )
34 nn0re 10230 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( G `  x )  e.  NN0  ->  ( G `
 x )  e.  RR )
35 subge02 9543 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( F `  x
)  e.  RR  /\  ( G `  x )  e.  RR )  -> 
( 0  <_  ( G `  x )  <->  ( ( F `  x
)  -  ( G `
 x ) )  <_  ( F `  x ) ) )
3633, 34, 35syl2an 464 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( F `  x
)  e.  NN0  /\  ( G `  x )  e.  NN0 )  -> 
( 0  <_  ( G `  x )  <->  ( ( F `  x
)  -  ( G `
 x ) )  <_  ( F `  x ) ) )
3723, 22, 36syl2anc 643 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( I  e.  V  /\  ( F  e.  D  /\  G : I --> NN0  /\  G  o R  <_  F
) )  /\  x  e.  I )  ->  (
0  <_  ( G `  x )  <->  ( ( F `  x )  -  ( G `  x ) )  <_ 
( F `  x
) ) )
3832, 37mpbid 202 . . . . . . 7  |-  ( ( ( I  e.  V  /\  ( F  e.  D  /\  G : I --> NN0  /\  G  o R  <_  F
) )  /\  x  e.  I )  ->  (
( F `  x
)  -  ( G `
 x ) )  <_  ( F `  x ) )
3938ralrimiva 2789 . . . . . 6  |-  ( ( I  e.  V  /\  ( F  e.  D  /\  G : I --> NN0  /\  G  o R  <_  F
) )  ->  A. x  e.  I  ( ( F `  x )  -  ( G `  x ) )  <_ 
( F `  x
) )
4014, 8, 12, 12, 13, 17, 15ofrfval 6313 . . . . . 6  |-  ( ( I  e.  V  /\  ( F  e.  D  /\  G : I --> NN0  /\  G  o R  <_  F
) )  ->  (
( F  o F  -  G )  o R  <_  F  <->  A. x  e.  I  ( ( F `  x )  -  ( G `  x ) )  <_ 
( F `  x
) ) )
4139, 40mpbird 224 . . . . 5  |-  ( ( I  e.  V  /\  ( F  e.  D  /\  G : I --> NN0  /\  G  o R  <_  F
) )  ->  ( F  o F  -  G
)  o R  <_  F )
422psrbaglesupp 16433 . . . . 5  |-  ( ( I  e.  V  /\  ( F  e.  D  /\  ( F  o F  -  G ) : I --> NN0  /\  ( F  o F  -  G
)  o R  <_  F ) )  -> 
( `' ( F  o F  -  G
) " NN ) 
C_  ( `' F " NN ) )
4312, 1, 30, 41, 42syl13anc 1186 . . . 4  |-  ( ( I  e.  V  /\  ( F  e.  D  /\  G : I --> NN0  /\  G  o R  <_  F
) )  ->  ( `' ( F  o F  -  G ) " NN )  C_  ( `' F " NN ) )
44 ssfi 7329 . . . 4  |-  ( ( ( `' F " NN )  e.  Fin  /\  ( `' ( F  o F  -  G
) " NN ) 
C_  ( `' F " NN ) )  -> 
( `' ( F  o F  -  G
) " NN )  e.  Fin )
4531, 43, 44syl2anc 643 . . 3  |-  ( ( I  e.  V  /\  ( F  e.  D  /\  G : I --> NN0  /\  G  o R  <_  F
) )  ->  ( `' ( F  o F  -  G ) " NN )  e.  Fin )
462psrbag 16431 . . . 4  |-  ( I  e.  V  ->  (
( F  o F  -  G )  e.  D  <->  ( ( F  o F  -  G
) : I --> NN0  /\  ( `' ( F  o F  -  G ) " NN )  e.  Fin ) ) )
4746adantr 452 . . 3  |-  ( ( I  e.  V  /\  ( F  e.  D  /\  G : I --> NN0  /\  G  o R  <_  F
) )  ->  (
( F  o F  -  G )  e.  D  <->  ( ( F  o F  -  G
) : I --> NN0  /\  ( `' ( F  o F  -  G ) " NN )  e.  Fin ) ) )
4830, 45, 47mpbir2and 889 . 2  |-  ( ( I  e.  V  /\  ( F  e.  D  /\  G : I --> NN0  /\  G  o R  <_  F
) )  ->  ( F  o F  -  G
)  e.  D )
4948, 41jca 519 1  |-  ( ( I  e.  V  /\  ( F  e.  D  /\  G : I --> NN0  /\  G  o R  <_  F
) )  ->  (
( F  o F  -  G )  e.  D  /\  ( F  o F  -  G
)  o R  <_  F ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1652    e. wcel 1725   A.wral 2705   {crab 2709    C_ wss 3320   class class class wbr 4212   `'ccnv 4877   "cima 4881    Fn wfn 5449   -->wf 5450   ` cfv 5454  (class class class)co 6081    o Fcof 6303    o Rcofr 6304    ^m cmap 7018   Fincfn 7109   RRcr 8989   0cc0 8990    <_ cle 9121    - cmin 9291   NNcn 10000   NN0cn0 10221
This theorem is referenced by:  psrbagconcl  16438  psrbagconf1o  16439  gsumbagdiaglem  16440  psrmulcllem  16451  psrlidm  16467  psrridm  16468  psrass1  16469  psrcom  16472
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-rep 4320  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701  ax-cnex 9046  ax-resscn 9047  ax-1cn 9048  ax-icn 9049  ax-addcl 9050  ax-addrcl 9051  ax-mulcl 9052  ax-mulrcl 9053  ax-mulcom 9054  ax-addass 9055  ax-mulass 9056  ax-distr 9057  ax-i2m1 9058  ax-1ne0 9059  ax-1rid 9060  ax-rnegex 9061  ax-rrecex 9062  ax-cnre 9063  ax-pre-lttri 9064  ax-pre-lttrn 9065  ax-pre-ltadd 9066  ax-pre-mulgt0 9067
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-pss 3336  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-tp 3822  df-op 3823  df-uni 4016  df-iun 4095  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-tr 4303  df-eprel 4494  df-id 4498  df-po 4503  df-so 4504  df-fr 4541  df-we 4543  df-ord 4584  df-on 4585  df-lim 4586  df-suc 4587  df-om 4846  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-of 6305  df-ofr 6306  df-riota 6549  df-recs 6633  df-rdg 6668  df-er 6905  df-map 7020  df-en 7110  df-dom 7111  df-sdom 7112  df-fin 7113  df-pnf 9122  df-mnf 9123  df-xr 9124  df-ltxr 9125  df-le 9126  df-sub 9293  df-neg 9294  df-nn 10001  df-n0 10222
  Copyright terms: Public domain W3C validator