MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  psrbagconcl Unicode version

Theorem psrbagconcl 16401
Description: The complement of a bag is a bag. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Dec-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
psrbag.d  |-  D  =  { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f
" NN )  e. 
Fin }
psrbagconf1o.1  |-  S  =  { y  e.  D  |  y  o R  <_  F }
Assertion
Ref Expression
psrbagconcl  |-  ( ( I  e.  V  /\  F  e.  D  /\  X  e.  S )  ->  ( F  o F  -  X )  e.  S )
Distinct variable groups:    y, f, F    y, V    f, I,
y    y, D    f, X, y
Allowed substitution hints:    D( f)    S( y, f)    V( f)

Proof of Theorem psrbagconcl
StepHypRef Expression
1 simp1 957 . . 3  |-  ( ( I  e.  V  /\  F  e.  D  /\  X  e.  S )  ->  I  e.  V )
2 simp2 958 . . 3  |-  ( ( I  e.  V  /\  F  e.  D  /\  X  e.  S )  ->  F  e.  D )
3 simp3 959 . . . . . 6  |-  ( ( I  e.  V  /\  F  e.  D  /\  X  e.  S )  ->  X  e.  S )
4 breq1 4183 . . . . . . 7  |-  ( y  =  X  ->  (
y  o R  <_  F 
<->  X  o R  <_  F ) )
5 psrbagconf1o.1 . . . . . . 7  |-  S  =  { y  e.  D  |  y  o R  <_  F }
64, 5elrab2 3062 . . . . . 6  |-  ( X  e.  S  <->  ( X  e.  D  /\  X  o R  <_  F ) )
73, 6sylib 189 . . . . 5  |-  ( ( I  e.  V  /\  F  e.  D  /\  X  e.  S )  ->  ( X  e.  D  /\  X  o R  <_  F ) )
87simpld 446 . . . 4  |-  ( ( I  e.  V  /\  F  e.  D  /\  X  e.  S )  ->  X  e.  D )
9 psrbag.d . . . . 5  |-  D  =  { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f
" NN )  e. 
Fin }
109psrbagf 16395 . . . 4  |-  ( ( I  e.  V  /\  X  e.  D )  ->  X : I --> NN0 )
111, 8, 10syl2anc 643 . . 3  |-  ( ( I  e.  V  /\  F  e.  D  /\  X  e.  S )  ->  X : I --> NN0 )
127simprd 450 . . 3  |-  ( ( I  e.  V  /\  F  e.  D  /\  X  e.  S )  ->  X  o R  <_  F )
139psrbagcon 16399 . . 3  |-  ( ( I  e.  V  /\  ( F  e.  D  /\  X : I --> NN0  /\  X  o R  <_  F
) )  ->  (
( F  o F  -  X )  e.  D  /\  ( F  o F  -  X
)  o R  <_  F ) )
141, 2, 11, 12, 13syl13anc 1186 . 2  |-  ( ( I  e.  V  /\  F  e.  D  /\  X  e.  S )  ->  ( ( F  o F  -  X )  e.  D  /\  ( F  o F  -  X
)  o R  <_  F ) )
15 breq1 4183 . . 3  |-  ( y  =  ( F  o F  -  X )  ->  ( y  o R  <_  F  <->  ( F  o F  -  X
)  o R  <_  F ) )
1615, 5elrab2 3062 . 2  |-  ( ( F  o F  -  X )  e.  S  <->  ( ( F  o F  -  X )  e.  D  /\  ( F  o F  -  X
)  o R  <_  F ) )
1714, 16sylibr 204 1  |-  ( ( I  e.  V  /\  F  e.  D  /\  X  e.  S )  ->  ( F  o F  -  X )  e.  S )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1649    e. wcel 1721   {crab 2678   class class class wbr 4180   `'ccnv 4844   "cima 4848   -->wf 5417  (class class class)co 6048    o Fcof 6270    o Rcofr 6271    ^m cmap 6985   Fincfn 7076    <_ cle 9085    - cmin 9255   NNcn 9964   NN0cn0 10185
This theorem is referenced by:  psrass1lem  16405  psrdi  16433  psrdir  16434  psrcom  16435  psrass23  16436  resspsrmul  16443  mplsubrglem  16465  mplmonmul  16490  psropprmul  16595  mdegmullem  19962
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2393  ax-rep 4288  ax-sep 4298  ax-nul 4306  ax-pow 4345  ax-pr 4371  ax-un 4668  ax-cnex 9010  ax-resscn 9011  ax-1cn 9012  ax-icn 9013  ax-addcl 9014  ax-addrcl 9015  ax-mulcl 9016  ax-mulrcl 9017  ax-mulcom 9018  ax-addass 9019  ax-mulass 9020  ax-distr 9021  ax-i2m1 9022  ax-1ne0 9023  ax-1rid 9024  ax-rnegex 9025  ax-rrecex 9026  ax-cnre 9027  ax-pre-lttri 9028  ax-pre-lttrn 9029  ax-pre-ltadd 9030  ax-pre-mulgt0 9031
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2399  df-cleq 2405  df-clel 2408  df-nfc 2537  df-ne 2577  df-nel 2578  df-ral 2679  df-rex 2680  df-reu 2681  df-rab 2683  df-v 2926  df-sbc 3130  df-csb 3220  df-dif 3291  df-un 3293  df-in 3295  df-ss 3302  df-pss 3304  df-nul 3597  df-if 3708  df-pw 3769  df-sn 3788  df-pr 3789  df-tp 3790  df-op 3791  df-uni 3984  df-iun 4063  df-br 4181  df-opab 4235  df-mpt 4236  df-tr 4271  df-eprel 4462  df-id 4466  df-po 4471  df-so 4472  df-fr 4509  df-we 4511  df-ord 4552  df-on 4553  df-lim 4554  df-suc 4555  df-om 4813  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857  df-ima 4858  df-iota 5385  df-fun 5423  df-fn 5424  df-f 5425  df-f1 5426  df-fo 5427  df-f1o 5428  df-fv 5429  df-ov 6051  df-oprab 6052  df-mpt2 6053  df-of 6272  df-ofr 6273  df-riota 6516  df-recs 6600  df-rdg 6635  df-er 6872  df-map 6987  df-en 7077  df-dom 7078  df-sdom 7079  df-fin 7080  df-pnf 9086  df-mnf 9087  df-xr 9088  df-ltxr 9089  df-le 9090  df-sub 9257  df-neg 9258  df-nn 9965  df-n0 10186
  Copyright terms: Public domain W3C validator