MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  psrbagconcl Unicode version

Theorem psrbagconcl 16329
Description: The complement of a bag is a bag. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Dec-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
psrbag.d  |-  D  =  { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f
" NN )  e. 
Fin }
psrbagconf1o.1  |-  S  =  { y  e.  D  |  y  o R  <_  F }
Assertion
Ref Expression
psrbagconcl  |-  ( ( I  e.  V  /\  F  e.  D  /\  X  e.  S )  ->  ( F  o F  -  X )  e.  S )
Distinct variable groups:    y, f, F    y, V    f, I,
y    y, D    f, X, y
Allowed substitution hints:    D( f)    S( y, f)    V( f)

Proof of Theorem psrbagconcl
StepHypRef Expression
1 simp1 956 . . 3  |-  ( ( I  e.  V  /\  F  e.  D  /\  X  e.  S )  ->  I  e.  V )
2 simp2 957 . . 3  |-  ( ( I  e.  V  /\  F  e.  D  /\  X  e.  S )  ->  F  e.  D )
3 simp3 958 . . . . . 6  |-  ( ( I  e.  V  /\  F  e.  D  /\  X  e.  S )  ->  X  e.  S )
4 breq1 4128 . . . . . . 7  |-  ( y  =  X  ->  (
y  o R  <_  F 
<->  X  o R  <_  F ) )
5 psrbagconf1o.1 . . . . . . 7  |-  S  =  { y  e.  D  |  y  o R  <_  F }
64, 5elrab2 3011 . . . . . 6  |-  ( X  e.  S  <->  ( X  e.  D  /\  X  o R  <_  F ) )
73, 6sylib 188 . . . . 5  |-  ( ( I  e.  V  /\  F  e.  D  /\  X  e.  S )  ->  ( X  e.  D  /\  X  o R  <_  F ) )
87simpld 445 . . . 4  |-  ( ( I  e.  V  /\  F  e.  D  /\  X  e.  S )  ->  X  e.  D )
9 psrbag.d . . . . 5  |-  D  =  { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f
" NN )  e. 
Fin }
109psrbagf 16323 . . . 4  |-  ( ( I  e.  V  /\  X  e.  D )  ->  X : I --> NN0 )
111, 8, 10syl2anc 642 . . 3  |-  ( ( I  e.  V  /\  F  e.  D  /\  X  e.  S )  ->  X : I --> NN0 )
127simprd 449 . . 3  |-  ( ( I  e.  V  /\  F  e.  D  /\  X  e.  S )  ->  X  o R  <_  F )
139psrbagcon 16327 . . 3  |-  ( ( I  e.  V  /\  ( F  e.  D  /\  X : I --> NN0  /\  X  o R  <_  F
) )  ->  (
( F  o F  -  X )  e.  D  /\  ( F  o F  -  X
)  o R  <_  F ) )
141, 2, 11, 12, 13syl13anc 1185 . 2  |-  ( ( I  e.  V  /\  F  e.  D  /\  X  e.  S )  ->  ( ( F  o F  -  X )  e.  D  /\  ( F  o F  -  X
)  o R  <_  F ) )
15 breq1 4128 . . 3  |-  ( y  =  ( F  o F  -  X )  ->  ( y  o R  <_  F  <->  ( F  o F  -  X
)  o R  <_  F ) )
1615, 5elrab2 3011 . 2  |-  ( ( F  o F  -  X )  e.  S  <->  ( ( F  o F  -  X )  e.  D  /\  ( F  o F  -  X
)  o R  <_  F ) )
1714, 16sylibr 203 1  |-  ( ( I  e.  V  /\  F  e.  D  /\  X  e.  S )  ->  ( F  o F  -  X )  e.  S )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    /\ w3a 935    = wceq 1647    e. wcel 1715   {crab 2632   class class class wbr 4125   `'ccnv 4791   "cima 4795   -->wf 5354  (class class class)co 5981    o Fcof 6203    o Rcofr 6204    ^m cmap 6915   Fincfn 7006    <_ cle 9015    - cmin 9184   NNcn 9893   NN0cn0 10114
This theorem is referenced by:  psrass1lem  16333  psrdi  16361  psrdir  16362  psrcom  16363  psrass23  16364  resspsrmul  16371  mplsubrglem  16393  mplmonmul  16418  psropprmul  16526  mdegmullem  19679
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1551  ax-5 1562  ax-17 1621  ax-9 1659  ax-8 1680  ax-13 1717  ax-14 1719  ax-6 1734  ax-7 1739  ax-11 1751  ax-12 1937  ax-ext 2347  ax-rep 4233  ax-sep 4243  ax-nul 4251  ax-pow 4290  ax-pr 4316  ax-un 4615  ax-cnex 8940  ax-resscn 8941  ax-1cn 8942  ax-icn 8943  ax-addcl 8944  ax-addrcl 8945  ax-mulcl 8946  ax-mulrcl 8947  ax-mulcom 8948  ax-addass 8949  ax-mulass 8950  ax-distr 8951  ax-i2m1 8952  ax-1ne0 8953  ax-1rid 8954  ax-rnegex 8955  ax-rrecex 8956  ax-cnre 8957  ax-pre-lttri 8958  ax-pre-lttrn 8959  ax-pre-ltadd 8960  ax-pre-mulgt0 8961
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 936  df-3an 937  df-tru 1324  df-ex 1547  df-nf 1550  df-sb 1654  df-eu 2221  df-mo 2222  df-clab 2353  df-cleq 2359  df-clel 2362  df-nfc 2491  df-ne 2531  df-nel 2532  df-ral 2633  df-rex 2634  df-reu 2635  df-rab 2637  df-v 2875  df-sbc 3078  df-csb 3168  df-dif 3241  df-un 3243  df-in 3245  df-ss 3252  df-pss 3254  df-nul 3544  df-if 3655  df-pw 3716  df-sn 3735  df-pr 3736  df-tp 3737  df-op 3738  df-uni 3930  df-iun 4009  df-br 4126  df-opab 4180  df-mpt 4181  df-tr 4216  df-eprel 4408  df-id 4412  df-po 4417  df-so 4418  df-fr 4455  df-we 4457  df-ord 4498  df-on 4499  df-lim 4500  df-suc 4501  df-om 4760  df-xp 4798  df-rel 4799  df-cnv 4800  df-co 4801  df-dm 4802  df-rn 4803  df-res 4804  df-ima 4805  df-iota 5322  df-fun 5360  df-fn 5361  df-f 5362  df-f1 5363  df-fo 5364  df-f1o 5365  df-fv 5366  df-ov 5984  df-oprab 5985  df-mpt2 5986  df-of 6205  df-ofr 6206  df-riota 6446  df-recs 6530  df-rdg 6565  df-er 6802  df-map 6917  df-en 7007  df-dom 7008  df-sdom 7009  df-fin 7010  df-pnf 9016  df-mnf 9017  df-xr 9018  df-ltxr 9019  df-le 9020  df-sub 9186  df-neg 9187  df-nn 9894  df-n0 10115
  Copyright terms: Public domain W3C validator