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Theorem psrbagconf1o 16120
Description: Bag complementation is a bijection on the set of bags dominated by a given bag  F. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Dec-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
psrbag.d  |-  D  =  { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f
" NN )  e. 
Fin }
psrbagconf1o.1  |-  S  =  { y  e.  D  |  y  o R  <_  F }
Assertion
Ref Expression
psrbagconf1o  |-  ( ( I  e.  V  /\  F  e.  D )  ->  ( x  e.  S  |->  ( F  o F  -  x ) ) : S -1-1-onto-> S )
Distinct variable groups:    x, f,
y, F    x, V, y    f, I, x, y   
x, S    x, D, y
Allowed substitution hints:    D( f)    S( y, f)    V( f)

Proof of Theorem psrbagconf1o
Dummy variables  n  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2283 . 2  |-  ( x  e.  S  |->  ( F  o F  -  x
) )  =  ( x  e.  S  |->  ( F  o F  -  x ) )
2 simpll 730 . . . 4  |-  ( ( ( I  e.  V  /\  F  e.  D
)  /\  x  e.  S )  ->  I  e.  V )
3 simplr 731 . . . 4  |-  ( ( ( I  e.  V  /\  F  e.  D
)  /\  x  e.  S )  ->  F  e.  D )
4 simpr 447 . . . . . . 7  |-  ( ( ( I  e.  V  /\  F  e.  D
)  /\  x  e.  S )  ->  x  e.  S )
5 breq1 4026 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  x  ->  (
y  o R  <_  F 
<->  x  o R  <_  F ) )
6 psrbagconf1o.1 . . . . . . . 8  |-  S  =  { y  e.  D  |  y  o R  <_  F }
75, 6elrab2 2925 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  S  <->  ( x  e.  D  /\  x  o R  <_  F ) )
84, 7sylib 188 . . . . . 6  |-  ( ( ( I  e.  V  /\  F  e.  D
)  /\  x  e.  S )  ->  (
x  e.  D  /\  x  o R  <_  F
) )
98simpld 445 . . . . 5  |-  ( ( ( I  e.  V  /\  F  e.  D
)  /\  x  e.  S )  ->  x  e.  D )
10 psrbag.d . . . . . 6  |-  D  =  { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f
" NN )  e. 
Fin }
1110psrbagf 16113 . . . . 5  |-  ( ( I  e.  V  /\  x  e.  D )  ->  x : I --> NN0 )
122, 9, 11syl2anc 642 . . . 4  |-  ( ( ( I  e.  V  /\  F  e.  D
)  /\  x  e.  S )  ->  x : I --> NN0 )
138simprd 449 . . . 4  |-  ( ( ( I  e.  V  /\  F  e.  D
)  /\  x  e.  S )  ->  x  o R  <_  F )
1410psrbagcon 16117 . . . 4  |-  ( ( I  e.  V  /\  ( F  e.  D  /\  x : I --> NN0  /\  x  o R  <_  F
) )  ->  (
( F  o F  -  x )  e.  D  /\  ( F  o F  -  x
)  o R  <_  F ) )
152, 3, 12, 13, 14syl13anc 1184 . . 3  |-  ( ( ( I  e.  V  /\  F  e.  D
)  /\  x  e.  S )  ->  (
( F  o F  -  x )  e.  D  /\  ( F  o F  -  x
)  o R  <_  F ) )
16 breq1 4026 . . . 4  |-  ( y  =  ( F  o F  -  x )  ->  ( y  o R  <_  F  <->  ( F  o F  -  x
)  o R  <_  F ) )
1716, 6elrab2 2925 . . 3  |-  ( ( F  o F  -  x )  e.  S  <->  ( ( F  o F  -  x )  e.  D  /\  ( F  o F  -  x
)  o R  <_  F ) )
1815, 17sylibr 203 . 2  |-  ( ( ( I  e.  V  /\  F  e.  D
)  /\  x  e.  S )  ->  ( F  o F  -  x
)  e.  S )
1918ralrimiva 2626 . . 3  |-  ( ( I  e.  V  /\  F  e.  D )  ->  A. x  e.  S  ( F  o F  -  x )  e.  S
)
20 oveq2 5866 . . . . 5  |-  ( x  =  z  ->  ( F  o F  -  x
)  =  ( F  o F  -  z
) )
2120eleq1d 2349 . . . 4  |-  ( x  =  z  ->  (
( F  o F  -  x )  e.  S  <->  ( F  o F  -  z )  e.  S ) )
2221rspccva 2883 . . 3  |-  ( ( A. x  e.  S  ( F  o F  -  x )  e.  S  /\  z  e.  S
)  ->  ( F  o F  -  z
)  e.  S )
2319, 22sylan 457 . 2  |-  ( ( ( I  e.  V  /\  F  e.  D
)  /\  z  e.  S )  ->  ( F  o F  -  z
)  e.  S )
2410psrbagf 16113 . . . . . . . . 9  |-  ( ( I  e.  V  /\  F  e.  D )  ->  F : I --> NN0 )
2524adantr 451 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( I  e.  V  /\  F  e.  D
)  /\  ( x  e.  S  /\  z  e.  S ) )  ->  F : I --> NN0 )
26 ffvelrn 5663 . . . . . . . 8  |-  ( ( F : I --> NN0  /\  n  e.  I )  ->  ( F `  n
)  e.  NN0 )
2725, 26sylan 457 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( I  e.  V  /\  F  e.  D )  /\  (
x  e.  S  /\  z  e.  S )
)  /\  n  e.  I )  ->  ( F `  n )  e.  NN0 )
28 simpll 730 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( I  e.  V  /\  F  e.  D
)  /\  ( x  e.  S  /\  z  e.  S ) )  ->  I  e.  V )
29 ssrab2 3258 . . . . . . . . . . 11  |-  { y  e.  D  |  y  o R  <_  F }  C_  D
306, 29eqsstri 3208 . . . . . . . . . 10  |-  S  C_  D
31 simprr 733 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( I  e.  V  /\  F  e.  D
)  /\  ( x  e.  S  /\  z  e.  S ) )  -> 
z  e.  S )
3230, 31sseldi 3178 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( I  e.  V  /\  F  e.  D
)  /\  ( x  e.  S  /\  z  e.  S ) )  -> 
z  e.  D )
3310psrbagf 16113 . . . . . . . . 9  |-  ( ( I  e.  V  /\  z  e.  D )  ->  z : I --> NN0 )
3428, 32, 33syl2anc 642 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( I  e.  V  /\  F  e.  D
)  /\  ( x  e.  S  /\  z  e.  S ) )  -> 
z : I --> NN0 )
35 ffvelrn 5663 . . . . . . . 8  |-  ( ( z : I --> NN0  /\  n  e.  I )  ->  ( z `  n
)  e.  NN0 )
3634, 35sylan 457 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( I  e.  V  /\  F  e.  D )  /\  (
x  e.  S  /\  z  e.  S )
)  /\  n  e.  I )  ->  (
z `  n )  e.  NN0 )
3712adantrr 697 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( I  e.  V  /\  F  e.  D
)  /\  ( x  e.  S  /\  z  e.  S ) )  ->  x : I --> NN0 )
38 ffvelrn 5663 . . . . . . . 8  |-  ( ( x : I --> NN0  /\  n  e.  I )  ->  ( x `  n
)  e.  NN0 )
3937, 38sylan 457 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( I  e.  V  /\  F  e.  D )  /\  (
x  e.  S  /\  z  e.  S )
)  /\  n  e.  I )  ->  (
x `  n )  e.  NN0 )
40 nn0cn 9975 . . . . . . . 8  |-  ( ( F `  n )  e.  NN0  ->  ( F `
 n )  e.  CC )
41 nn0cn 9975 . . . . . . . 8  |-  ( ( z `  n )  e.  NN0  ->  ( z `
 n )  e.  CC )
42 nn0cn 9975 . . . . . . . 8  |-  ( ( x `  n )  e.  NN0  ->  ( x `
 n )  e.  CC )
43 subsub23 9056 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( F `  n
)  e.  CC  /\  ( z `  n
)  e.  CC  /\  ( x `  n
)  e.  CC )  ->  ( ( ( F `  n )  -  ( z `  n ) )  =  ( x `  n
)  <->  ( ( F `
 n )  -  ( x `  n
) )  =  ( z `  n ) ) )
4440, 41, 42, 43syl3an 1224 . . . . . . 7  |-  ( ( ( F `  n
)  e.  NN0  /\  ( z `  n
)  e.  NN0  /\  ( x `  n
)  e.  NN0 )  ->  ( ( ( F `
 n )  -  ( z `  n
) )  =  ( x `  n )  <-> 
( ( F `  n )  -  (
x `  n )
)  =  ( z `
 n ) ) )
4527, 36, 39, 44syl3anc 1182 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( I  e.  V  /\  F  e.  D )  /\  (
x  e.  S  /\  z  e.  S )
)  /\  n  e.  I )  ->  (
( ( F `  n )  -  (
z `  n )
)  =  ( x `
 n )  <->  ( ( F `  n )  -  ( x `  n ) )  =  ( z `  n
) ) )
46 eqcom 2285 . . . . . 6  |-  ( ( x `  n )  =  ( ( F `
 n )  -  ( z `  n
) )  <->  ( ( F `  n )  -  ( z `  n ) )  =  ( x `  n
) )
47 eqcom 2285 . . . . . 6  |-  ( ( z `  n )  =  ( ( F `
 n )  -  ( x `  n
) )  <->  ( ( F `  n )  -  ( x `  n ) )  =  ( z `  n
) )
4845, 46, 473bitr4g 279 . . . . 5  |-  ( ( ( ( I  e.  V  /\  F  e.  D )  /\  (
x  e.  S  /\  z  e.  S )
)  /\  n  e.  I )  ->  (
( x `  n
)  =  ( ( F `  n )  -  ( z `  n ) )  <->  ( z `  n )  =  ( ( F `  n
)  -  ( x `
 n ) ) ) )
49 ffn 5389 . . . . . . . 8  |-  ( F : I --> NN0  ->  F  Fn  I )
5025, 49syl 15 . . . . . . 7  |-  ( ( ( I  e.  V  /\  F  e.  D
)  /\  ( x  e.  S  /\  z  e.  S ) )  ->  F  Fn  I )
51 ffn 5389 . . . . . . . 8  |-  ( z : I --> NN0  ->  z  Fn  I )
5234, 51syl 15 . . . . . . 7  |-  ( ( ( I  e.  V  /\  F  e.  D
)  /\  ( x  e.  S  /\  z  e.  S ) )  -> 
z  Fn  I )
53 inidm 3378 . . . . . . 7  |-  ( I  i^i  I )  =  I
54 eqidd 2284 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( I  e.  V  /\  F  e.  D )  /\  (
x  e.  S  /\  z  e.  S )
)  /\  n  e.  I )  ->  ( F `  n )  =  ( F `  n ) )
55 eqidd 2284 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( I  e.  V  /\  F  e.  D )  /\  (
x  e.  S  /\  z  e.  S )
)  /\  n  e.  I )  ->  (
z `  n )  =  ( z `  n ) )
5650, 52, 28, 28, 53, 54, 55ofval 6087 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( I  e.  V  /\  F  e.  D )  /\  (
x  e.  S  /\  z  e.  S )
)  /\  n  e.  I )  ->  (
( F  o F  -  z ) `  n )  =  ( ( F `  n
)  -  ( z `
 n ) ) )
5756eqeq2d 2294 . . . . 5  |-  ( ( ( ( I  e.  V  /\  F  e.  D )  /\  (
x  e.  S  /\  z  e.  S )
)  /\  n  e.  I )  ->  (
( x `  n
)  =  ( ( F  o F  -  z ) `  n
)  <->  ( x `  n )  =  ( ( F `  n
)  -  ( z `
 n ) ) ) )
58 ffn 5389 . . . . . . . 8  |-  ( x : I --> NN0  ->  x  Fn  I )
5937, 58syl 15 . . . . . . 7  |-  ( ( ( I  e.  V  /\  F  e.  D
)  /\  ( x  e.  S  /\  z  e.  S ) )  ->  x  Fn  I )
60 eqidd 2284 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( I  e.  V  /\  F  e.  D )  /\  (
x  e.  S  /\  z  e.  S )
)  /\  n  e.  I )  ->  (
x `  n )  =  ( x `  n ) )
6150, 59, 28, 28, 53, 54, 60ofval 6087 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( I  e.  V  /\  F  e.  D )  /\  (
x  e.  S  /\  z  e.  S )
)  /\  n  e.  I )  ->  (
( F  o F  -  x ) `  n )  =  ( ( F `  n
)  -  ( x `
 n ) ) )
6261eqeq2d 2294 . . . . 5  |-  ( ( ( ( I  e.  V  /\  F  e.  D )  /\  (
x  e.  S  /\  z  e.  S )
)  /\  n  e.  I )  ->  (
( z `  n
)  =  ( ( F  o F  -  x ) `  n
)  <->  ( z `  n )  =  ( ( F `  n
)  -  ( x `
 n ) ) ) )
6348, 57, 623bitr4d 276 . . . 4  |-  ( ( ( ( I  e.  V  /\  F  e.  D )  /\  (
x  e.  S  /\  z  e.  S )
)  /\  n  e.  I )  ->  (
( x `  n
)  =  ( ( F  o F  -  z ) `  n
)  <->  ( z `  n )  =  ( ( F  o F  -  x ) `  n ) ) )
6463ralbidva 2559 . . 3  |-  ( ( ( I  e.  V  /\  F  e.  D
)  /\  ( x  e.  S  /\  z  e.  S ) )  -> 
( A. n  e.  I  ( x `  n )  =  ( ( F  o F  -  z ) `  n )  <->  A. n  e.  I  ( z `  n )  =  ( ( F  o F  -  x ) `  n ) ) )
6523adantrl 696 . . . . . . 7  |-  ( ( ( I  e.  V  /\  F  e.  D
)  /\  ( x  e.  S  /\  z  e.  S ) )  -> 
( F  o F  -  z )  e.  S )
6630, 65sseldi 3178 . . . . . 6  |-  ( ( ( I  e.  V  /\  F  e.  D
)  /\  ( x  e.  S  /\  z  e.  S ) )  -> 
( F  o F  -  z )  e.  D )
6710psrbagf 16113 . . . . . 6  |-  ( ( I  e.  V  /\  ( F  o F  -  z )  e.  D )  ->  ( F  o F  -  z
) : I --> NN0 )
6828, 66, 67syl2anc 642 . . . . 5  |-  ( ( ( I  e.  V  /\  F  e.  D
)  /\  ( x  e.  S  /\  z  e.  S ) )  -> 
( F  o F  -  z ) : I --> NN0 )
69 ffn 5389 . . . . 5  |-  ( ( F  o F  -  z ) : I --> NN0  ->  ( F  o F  -  z
)  Fn  I )
7068, 69syl 15 . . . 4  |-  ( ( ( I  e.  V  /\  F  e.  D
)  /\  ( x  e.  S  /\  z  e.  S ) )  -> 
( F  o F  -  z )  Fn  I )
71 eqfnfv 5622 . . . 4  |-  ( ( x  Fn  I  /\  ( F  o F  -  z )  Fn  I )  ->  (
x  =  ( F  o F  -  z
)  <->  A. n  e.  I 
( x `  n
)  =  ( ( F  o F  -  z ) `  n
) ) )
7259, 70, 71syl2anc 642 . . 3  |-  ( ( ( I  e.  V  /\  F  e.  D
)  /\  ( x  e.  S  /\  z  e.  S ) )  -> 
( x  =  ( F  o F  -  z )  <->  A. n  e.  I  ( x `  n )  =  ( ( F  o F  -  z ) `  n ) ) )
7318adantrr 697 . . . . . . 7  |-  ( ( ( I  e.  V  /\  F  e.  D
)  /\  ( x  e.  S  /\  z  e.  S ) )  -> 
( F  o F  -  x )  e.  S )
7430, 73sseldi 3178 . . . . . 6  |-  ( ( ( I  e.  V  /\  F  e.  D
)  /\  ( x  e.  S  /\  z  e.  S ) )  -> 
( F  o F  -  x )  e.  D )
7510psrbagf 16113 . . . . . 6  |-  ( ( I  e.  V  /\  ( F  o F  -  x )  e.  D
)  ->  ( F  o F  -  x
) : I --> NN0 )
7628, 74, 75syl2anc 642 . . . . 5  |-  ( ( ( I  e.  V  /\  F  e.  D
)  /\  ( x  e.  S  /\  z  e.  S ) )  -> 
( F  o F  -  x ) : I --> NN0 )
77 ffn 5389 . . . . 5  |-  ( ( F  o F  -  x ) : I --> NN0  ->  ( F  o F  -  x
)  Fn  I )
7876, 77syl 15 . . . 4  |-  ( ( ( I  e.  V  /\  F  e.  D
)  /\  ( x  e.  S  /\  z  e.  S ) )  -> 
( F  o F  -  x )  Fn  I )
79 eqfnfv 5622 . . . 4  |-  ( ( z  Fn  I  /\  ( F  o F  -  x )  Fn  I
)  ->  ( z  =  ( F  o F  -  x )  <->  A. n  e.  I  ( z `  n )  =  ( ( F  o F  -  x
) `  n )
) )
8052, 78, 79syl2anc 642 . . 3  |-  ( ( ( I  e.  V  /\  F  e.  D
)  /\  ( x  e.  S  /\  z  e.  S ) )  -> 
( z  =  ( F  o F  -  x )  <->  A. n  e.  I  ( z `  n )  =  ( ( F  o F  -  x ) `  n ) ) )
8164, 72, 803bitr4d 276 . 2  |-  ( ( ( I  e.  V  /\  F  e.  D
)  /\  ( x  e.  S  /\  z  e.  S ) )  -> 
( x  =  ( F  o F  -  z )  <->  z  =  ( F  o F  -  x ) ) )
821, 18, 23, 81f1o2d 6069 1  |-  ( ( I  e.  V  /\  F  e.  D )  ->  ( x  e.  S  |->  ( F  o F  -  x ) ) : S -1-1-onto-> S )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1623    e. wcel 1684   A.wral 2543   {crab 2547   class class class wbr 4023    e. cmpt 4077   `'ccnv 4688   "cima 4692    Fn wfn 5250   -->wf 5251   -1-1-onto->wf1o 5254   ` cfv 5255  (class class class)co 5858    o Fcof 6076    o Rcofr 6077    ^m cmap 6772   Fincfn 6863   CCcc 8735    <_ cle 8868    - cmin 9037   NNcn 9746   NN0cn0 9965
This theorem is referenced by:  psrass1lem  16123  psrcom  16153  psropprmul  16316
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-of 6078  df-ofr 6079  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-er 6660  df-map 6774  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-fin 6867  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-nn 9747  df-n0 9966
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