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Theorem psrbagconf1o 16440
Description: Bag complementation is a bijection on the set of bags dominated by a given bag  F. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Dec-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
psrbag.d  |-  D  =  { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f
" NN )  e. 
Fin }
psrbagconf1o.1  |-  S  =  { y  e.  D  |  y  o R  <_  F }
Assertion
Ref Expression
psrbagconf1o  |-  ( ( I  e.  V  /\  F  e.  D )  ->  ( x  e.  S  |->  ( F  o F  -  x ) ) : S -1-1-onto-> S )
Distinct variable groups:    x, f,
y, F    x, V, y    f, I, x, y   
x, S    x, D, y
Allowed substitution hints:    D( f)    S( y, f)    V( f)

Proof of Theorem psrbagconf1o
Dummy variables  n  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2437 . 2  |-  ( x  e.  S  |->  ( F  o F  -  x
) )  =  ( x  e.  S  |->  ( F  o F  -  x ) )
2 simpll 732 . . . 4  |-  ( ( ( I  e.  V  /\  F  e.  D
)  /\  x  e.  S )  ->  I  e.  V )
3 simplr 733 . . . 4  |-  ( ( ( I  e.  V  /\  F  e.  D
)  /\  x  e.  S )  ->  F  e.  D )
4 simpr 449 . . . . . . 7  |-  ( ( ( I  e.  V  /\  F  e.  D
)  /\  x  e.  S )  ->  x  e.  S )
5 breq1 4216 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  x  ->  (
y  o R  <_  F 
<->  x  o R  <_  F ) )
6 psrbagconf1o.1 . . . . . . . 8  |-  S  =  { y  e.  D  |  y  o R  <_  F }
75, 6elrab2 3095 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  S  <->  ( x  e.  D  /\  x  o R  <_  F ) )
84, 7sylib 190 . . . . . 6  |-  ( ( ( I  e.  V  /\  F  e.  D
)  /\  x  e.  S )  ->  (
x  e.  D  /\  x  o R  <_  F
) )
98simpld 447 . . . . 5  |-  ( ( ( I  e.  V  /\  F  e.  D
)  /\  x  e.  S )  ->  x  e.  D )
10 psrbag.d . . . . . 6  |-  D  =  { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f
" NN )  e. 
Fin }
1110psrbagf 16433 . . . . 5  |-  ( ( I  e.  V  /\  x  e.  D )  ->  x : I --> NN0 )
122, 9, 11syl2anc 644 . . . 4  |-  ( ( ( I  e.  V  /\  F  e.  D
)  /\  x  e.  S )  ->  x : I --> NN0 )
138simprd 451 . . . 4  |-  ( ( ( I  e.  V  /\  F  e.  D
)  /\  x  e.  S )  ->  x  o R  <_  F )
1410psrbagcon 16437 . . . 4  |-  ( ( I  e.  V  /\  ( F  e.  D  /\  x : I --> NN0  /\  x  o R  <_  F
) )  ->  (
( F  o F  -  x )  e.  D  /\  ( F  o F  -  x
)  o R  <_  F ) )
152, 3, 12, 13, 14syl13anc 1187 . . 3  |-  ( ( ( I  e.  V  /\  F  e.  D
)  /\  x  e.  S )  ->  (
( F  o F  -  x )  e.  D  /\  ( F  o F  -  x
)  o R  <_  F ) )
16 breq1 4216 . . . 4  |-  ( y  =  ( F  o F  -  x )  ->  ( y  o R  <_  F  <->  ( F  o F  -  x
)  o R  <_  F ) )
1716, 6elrab2 3095 . . 3  |-  ( ( F  o F  -  x )  e.  S  <->  ( ( F  o F  -  x )  e.  D  /\  ( F  o F  -  x
)  o R  <_  F ) )
1815, 17sylibr 205 . 2  |-  ( ( ( I  e.  V  /\  F  e.  D
)  /\  x  e.  S )  ->  ( F  o F  -  x
)  e.  S )
1918ralrimiva 2790 . . 3  |-  ( ( I  e.  V  /\  F  e.  D )  ->  A. x  e.  S  ( F  o F  -  x )  e.  S
)
20 oveq2 6090 . . . . 5  |-  ( x  =  z  ->  ( F  o F  -  x
)  =  ( F  o F  -  z
) )
2120eleq1d 2503 . . . 4  |-  ( x  =  z  ->  (
( F  o F  -  x )  e.  S  <->  ( F  o F  -  z )  e.  S ) )
2221rspccva 3052 . . 3  |-  ( ( A. x  e.  S  ( F  o F  -  x )  e.  S  /\  z  e.  S
)  ->  ( F  o F  -  z
)  e.  S )
2319, 22sylan 459 . 2  |-  ( ( ( I  e.  V  /\  F  e.  D
)  /\  z  e.  S )  ->  ( F  o F  -  z
)  e.  S )
2410psrbagf 16433 . . . . . . . . 9  |-  ( ( I  e.  V  /\  F  e.  D )  ->  F : I --> NN0 )
2524adantr 453 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( I  e.  V  /\  F  e.  D
)  /\  ( x  e.  S  /\  z  e.  S ) )  ->  F : I --> NN0 )
2625ffvelrnda 5871 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( I  e.  V  /\  F  e.  D )  /\  (
x  e.  S  /\  z  e.  S )
)  /\  n  e.  I )  ->  ( F `  n )  e.  NN0 )
27 simpll 732 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( I  e.  V  /\  F  e.  D
)  /\  ( x  e.  S  /\  z  e.  S ) )  ->  I  e.  V )
28 ssrab2 3429 . . . . . . . . . . 11  |-  { y  e.  D  |  y  o R  <_  F }  C_  D
296, 28eqsstri 3379 . . . . . . . . . 10  |-  S  C_  D
30 simprr 735 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( I  e.  V  /\  F  e.  D
)  /\  ( x  e.  S  /\  z  e.  S ) )  -> 
z  e.  S )
3129, 30sseldi 3347 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( I  e.  V  /\  F  e.  D
)  /\  ( x  e.  S  /\  z  e.  S ) )  -> 
z  e.  D )
3210psrbagf 16433 . . . . . . . . 9  |-  ( ( I  e.  V  /\  z  e.  D )  ->  z : I --> NN0 )
3327, 31, 32syl2anc 644 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( I  e.  V  /\  F  e.  D
)  /\  ( x  e.  S  /\  z  e.  S ) )  -> 
z : I --> NN0 )
3433ffvelrnda 5871 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( I  e.  V  /\  F  e.  D )  /\  (
x  e.  S  /\  z  e.  S )
)  /\  n  e.  I )  ->  (
z `  n )  e.  NN0 )
3512adantrr 699 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( I  e.  V  /\  F  e.  D
)  /\  ( x  e.  S  /\  z  e.  S ) )  ->  x : I --> NN0 )
3635ffvelrnda 5871 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( I  e.  V  /\  F  e.  D )  /\  (
x  e.  S  /\  z  e.  S )
)  /\  n  e.  I )  ->  (
x `  n )  e.  NN0 )
37 nn0cn 10232 . . . . . . . 8  |-  ( ( F `  n )  e.  NN0  ->  ( F `
 n )  e.  CC )
38 nn0cn 10232 . . . . . . . 8  |-  ( ( z `  n )  e.  NN0  ->  ( z `
 n )  e.  CC )
39 nn0cn 10232 . . . . . . . 8  |-  ( ( x `  n )  e.  NN0  ->  ( x `
 n )  e.  CC )
40 subsub23 9311 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( F `  n
)  e.  CC  /\  ( z `  n
)  e.  CC  /\  ( x `  n
)  e.  CC )  ->  ( ( ( F `  n )  -  ( z `  n ) )  =  ( x `  n
)  <->  ( ( F `
 n )  -  ( x `  n
) )  =  ( z `  n ) ) )
4137, 38, 39, 40syl3an 1227 . . . . . . 7  |-  ( ( ( F `  n
)  e.  NN0  /\  ( z `  n
)  e.  NN0  /\  ( x `  n
)  e.  NN0 )  ->  ( ( ( F `
 n )  -  ( z `  n
) )  =  ( x `  n )  <-> 
( ( F `  n )  -  (
x `  n )
)  =  ( z `
 n ) ) )
4226, 34, 36, 41syl3anc 1185 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( I  e.  V  /\  F  e.  D )  /\  (
x  e.  S  /\  z  e.  S )
)  /\  n  e.  I )  ->  (
( ( F `  n )  -  (
z `  n )
)  =  ( x `
 n )  <->  ( ( F `  n )  -  ( x `  n ) )  =  ( z `  n
) ) )
43 eqcom 2439 . . . . . 6  |-  ( ( x `  n )  =  ( ( F `
 n )  -  ( z `  n
) )  <->  ( ( F `  n )  -  ( z `  n ) )  =  ( x `  n
) )
44 eqcom 2439 . . . . . 6  |-  ( ( z `  n )  =  ( ( F `
 n )  -  ( x `  n
) )  <->  ( ( F `  n )  -  ( x `  n ) )  =  ( z `  n
) )
4542, 43, 443bitr4g 281 . . . . 5  |-  ( ( ( ( I  e.  V  /\  F  e.  D )  /\  (
x  e.  S  /\  z  e.  S )
)  /\  n  e.  I )  ->  (
( x `  n
)  =  ( ( F `  n )  -  ( z `  n ) )  <->  ( z `  n )  =  ( ( F `  n
)  -  ( x `
 n ) ) ) )
46 ffn 5592 . . . . . . . 8  |-  ( F : I --> NN0  ->  F  Fn  I )
4725, 46syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( ( I  e.  V  /\  F  e.  D
)  /\  ( x  e.  S  /\  z  e.  S ) )  ->  F  Fn  I )
48 ffn 5592 . . . . . . . 8  |-  ( z : I --> NN0  ->  z  Fn  I )
4933, 48syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( ( I  e.  V  /\  F  e.  D
)  /\  ( x  e.  S  /\  z  e.  S ) )  -> 
z  Fn  I )
50 inidm 3551 . . . . . . 7  |-  ( I  i^i  I )  =  I
51 eqidd 2438 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( I  e.  V  /\  F  e.  D )  /\  (
x  e.  S  /\  z  e.  S )
)  /\  n  e.  I )  ->  ( F `  n )  =  ( F `  n ) )
52 eqidd 2438 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( I  e.  V  /\  F  e.  D )  /\  (
x  e.  S  /\  z  e.  S )
)  /\  n  e.  I )  ->  (
z `  n )  =  ( z `  n ) )
5347, 49, 27, 27, 50, 51, 52ofval 6315 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( I  e.  V  /\  F  e.  D )  /\  (
x  e.  S  /\  z  e.  S )
)  /\  n  e.  I )  ->  (
( F  o F  -  z ) `  n )  =  ( ( F `  n
)  -  ( z `
 n ) ) )
5453eqeq2d 2448 . . . . 5  |-  ( ( ( ( I  e.  V  /\  F  e.  D )  /\  (
x  e.  S  /\  z  e.  S )
)  /\  n  e.  I )  ->  (
( x `  n
)  =  ( ( F  o F  -  z ) `  n
)  <->  ( x `  n )  =  ( ( F `  n
)  -  ( z `
 n ) ) ) )
55 ffn 5592 . . . . . . . 8  |-  ( x : I --> NN0  ->  x  Fn  I )
5635, 55syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( ( I  e.  V  /\  F  e.  D
)  /\  ( x  e.  S  /\  z  e.  S ) )  ->  x  Fn  I )
57 eqidd 2438 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( I  e.  V  /\  F  e.  D )  /\  (
x  e.  S  /\  z  e.  S )
)  /\  n  e.  I )  ->  (
x `  n )  =  ( x `  n ) )
5847, 56, 27, 27, 50, 51, 57ofval 6315 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( I  e.  V  /\  F  e.  D )  /\  (
x  e.  S  /\  z  e.  S )
)  /\  n  e.  I )  ->  (
( F  o F  -  x ) `  n )  =  ( ( F `  n
)  -  ( x `
 n ) ) )
5958eqeq2d 2448 . . . . 5  |-  ( ( ( ( I  e.  V  /\  F  e.  D )  /\  (
x  e.  S  /\  z  e.  S )
)  /\  n  e.  I )  ->  (
( z `  n
)  =  ( ( F  o F  -  x ) `  n
)  <->  ( z `  n )  =  ( ( F `  n
)  -  ( x `
 n ) ) ) )
6045, 54, 593bitr4d 278 . . . 4  |-  ( ( ( ( I  e.  V  /\  F  e.  D )  /\  (
x  e.  S  /\  z  e.  S )
)  /\  n  e.  I )  ->  (
( x `  n
)  =  ( ( F  o F  -  z ) `  n
)  <->  ( z `  n )  =  ( ( F  o F  -  x ) `  n ) ) )
6160ralbidva 2722 . . 3  |-  ( ( ( I  e.  V  /\  F  e.  D
)  /\  ( x  e.  S  /\  z  e.  S ) )  -> 
( A. n  e.  I  ( x `  n )  =  ( ( F  o F  -  z ) `  n )  <->  A. n  e.  I  ( z `  n )  =  ( ( F  o F  -  x ) `  n ) ) )
6223adantrl 698 . . . . . . 7  |-  ( ( ( I  e.  V  /\  F  e.  D
)  /\  ( x  e.  S  /\  z  e.  S ) )  -> 
( F  o F  -  z )  e.  S )
6329, 62sseldi 3347 . . . . . 6  |-  ( ( ( I  e.  V  /\  F  e.  D
)  /\  ( x  e.  S  /\  z  e.  S ) )  -> 
( F  o F  -  z )  e.  D )
6410psrbagf 16433 . . . . . 6  |-  ( ( I  e.  V  /\  ( F  o F  -  z )  e.  D )  ->  ( F  o F  -  z
) : I --> NN0 )
6527, 63, 64syl2anc 644 . . . . 5  |-  ( ( ( I  e.  V  /\  F  e.  D
)  /\  ( x  e.  S  /\  z  e.  S ) )  -> 
( F  o F  -  z ) : I --> NN0 )
66 ffn 5592 . . . . 5  |-  ( ( F  o F  -  z ) : I --> NN0  ->  ( F  o F  -  z
)  Fn  I )
6765, 66syl 16 . . . 4  |-  ( ( ( I  e.  V  /\  F  e.  D
)  /\  ( x  e.  S  /\  z  e.  S ) )  -> 
( F  o F  -  z )  Fn  I )
68 eqfnfv 5828 . . . 4  |-  ( ( x  Fn  I  /\  ( F  o F  -  z )  Fn  I )  ->  (
x  =  ( F  o F  -  z
)  <->  A. n  e.  I 
( x `  n
)  =  ( ( F  o F  -  z ) `  n
) ) )
6956, 67, 68syl2anc 644 . . 3  |-  ( ( ( I  e.  V  /\  F  e.  D
)  /\  ( x  e.  S  /\  z  e.  S ) )  -> 
( x  =  ( F  o F  -  z )  <->  A. n  e.  I  ( x `  n )  =  ( ( F  o F  -  z ) `  n ) ) )
7018adantrr 699 . . . . . . 7  |-  ( ( ( I  e.  V  /\  F  e.  D
)  /\  ( x  e.  S  /\  z  e.  S ) )  -> 
( F  o F  -  x )  e.  S )
7129, 70sseldi 3347 . . . . . 6  |-  ( ( ( I  e.  V  /\  F  e.  D
)  /\  ( x  e.  S  /\  z  e.  S ) )  -> 
( F  o F  -  x )  e.  D )
7210psrbagf 16433 . . . . . 6  |-  ( ( I  e.  V  /\  ( F  o F  -  x )  e.  D
)  ->  ( F  o F  -  x
) : I --> NN0 )
7327, 71, 72syl2anc 644 . . . . 5  |-  ( ( ( I  e.  V  /\  F  e.  D
)  /\  ( x  e.  S  /\  z  e.  S ) )  -> 
( F  o F  -  x ) : I --> NN0 )
74 ffn 5592 . . . . 5  |-  ( ( F  o F  -  x ) : I --> NN0  ->  ( F  o F  -  x
)  Fn  I )
7573, 74syl 16 . . . 4  |-  ( ( ( I  e.  V  /\  F  e.  D
)  /\  ( x  e.  S  /\  z  e.  S ) )  -> 
( F  o F  -  x )  Fn  I )
76 eqfnfv 5828 . . . 4  |-  ( ( z  Fn  I  /\  ( F  o F  -  x )  Fn  I
)  ->  ( z  =  ( F  o F  -  x )  <->  A. n  e.  I  ( z `  n )  =  ( ( F  o F  -  x
) `  n )
) )
7749, 75, 76syl2anc 644 . . 3  |-  ( ( ( I  e.  V  /\  F  e.  D
)  /\  ( x  e.  S  /\  z  e.  S ) )  -> 
( z  =  ( F  o F  -  x )  <->  A. n  e.  I  ( z `  n )  =  ( ( F  o F  -  x ) `  n ) ) )
7861, 69, 773bitr4d 278 . 2  |-  ( ( ( I  e.  V  /\  F  e.  D
)  /\  ( x  e.  S  /\  z  e.  S ) )  -> 
( x  =  ( F  o F  -  z )  <->  z  =  ( F  o F  -  x ) ) )
791, 18, 23, 78f1o2d 6297 1  |-  ( ( I  e.  V  /\  F  e.  D )  ->  ( x  e.  S  |->  ( F  o F  -  x ) ) : S -1-1-onto-> S )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 178    /\ wa 360    = wceq 1653    e. wcel 1726   A.wral 2706   {crab 2710   class class class wbr 4213    e. cmpt 4267   `'ccnv 4878   "cima 4882    Fn wfn 5450   -->wf 5451   -1-1-onto->wf1o 5454   ` cfv 5455  (class class class)co 6082    o Fcof 6304    o Rcofr 6305    ^m cmap 7019   Fincfn 7110   CCcc 8989    <_ cle 9122    - cmin 9292   NNcn 10001   NN0cn0 10222
This theorem is referenced by:  psrass1lem  16443  psrcom  16473  psropprmul  16633
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2418  ax-rep 4321  ax-sep 4331  ax-nul 4339  ax-pow 4378  ax-pr 4404  ax-un 4702  ax-cnex 9047  ax-resscn 9048  ax-1cn 9049  ax-icn 9050  ax-addcl 9051  ax-addrcl 9052  ax-mulcl 9053  ax-mulrcl 9054  ax-mulcom 9055  ax-addass 9056  ax-mulass 9057  ax-distr 9058  ax-i2m1 9059  ax-1ne0 9060  ax-1rid 9061  ax-rnegex 9062  ax-rrecex 9063  ax-cnre 9064  ax-pre-lttri 9065  ax-pre-lttrn 9066  ax-pre-ltadd 9067  ax-pre-mulgt0 9068
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2424  df-cleq 2430  df-clel 2433  df-nfc 2562  df-ne 2602  df-nel 2603  df-ral 2711  df-rex 2712  df-reu 2713  df-rab 2715  df-v 2959  df-sbc 3163  df-csb 3253  df-dif 3324  df-un 3326  df-in 3328  df-ss 3335  df-pss 3337  df-nul 3630  df-if 3741  df-pw 3802  df-sn 3821  df-pr 3822  df-tp 3823  df-op 3824  df-uni 4017  df-iun 4096  df-br 4214  df-opab 4268  df-mpt 4269  df-tr 4304  df-eprel 4495  df-id 4499  df-po 4504  df-so 4505  df-fr 4542  df-we 4544  df-ord 4585  df-on 4586  df-lim 4587  df-suc 4588  df-om 4847  df-xp 4885  df-rel 4886  df-cnv 4887  df-co 4888  df-dm 4889  df-rn 4890  df-res 4891  df-ima 4892  df-iota 5419  df-fun 5457  df-fn 5458  df-f 5459  df-f1 5460  df-fo 5461  df-f1o 5462  df-fv 5463  df-ov 6085  df-oprab 6086  df-mpt2 6087  df-of 6306  df-ofr 6307  df-riota 6550  df-recs 6634  df-rdg 6669  df-er 6906  df-map 7021  df-en 7111  df-dom 7112  df-sdom 7113  df-fin 7114  df-pnf 9123  df-mnf 9124  df-xr 9125  df-ltxr 9126  df-le 9127  df-sub 9294  df-neg 9295  df-nn 10002  df-n0 10223
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