Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  psrbagconf1o Structured version   Unicode version

Theorem psrbagconf1o 16440
 Description: Bag complementation is a bijection on the set of bags dominated by a given bag . (Contributed by Mario Carneiro, 29-Dec-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
psrbag.d
psrbagconf1o.1
Assertion
Ref Expression
psrbagconf1o
Distinct variable groups:   ,,,   ,,   ,,,   ,   ,,
Allowed substitution hints:   ()   (,)   ()

Proof of Theorem psrbagconf1o
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2437 . 2
2 simpll 732 . . . 4
3 simplr 733 . . . 4
4 simpr 449 . . . . . . 7
5 breq1 4216 . . . . . . . 8
6 psrbagconf1o.1 . . . . . . . 8
75, 6elrab2 3095 . . . . . . 7
84, 7sylib 190 . . . . . 6
98simpld 447 . . . . 5
10 psrbag.d . . . . . 6
1110psrbagf 16433 . . . . 5
122, 9, 11syl2anc 644 . . . 4
138simprd 451 . . . 4
1410psrbagcon 16437 . . . 4
152, 3, 12, 13, 14syl13anc 1187 . . 3
16 breq1 4216 . . . 4
1716, 6elrab2 3095 . . 3
1815, 17sylibr 205 . 2
1918ralrimiva 2790 . . 3
20 oveq2 6090 . . . . 5
2120eleq1d 2503 . . . 4
2221rspccva 3052 . . 3
2319, 22sylan 459 . 2
2410psrbagf 16433 . . . . . . . . 9
2524adantr 453 . . . . . . . 8
2625ffvelrnda 5871 . . . . . . 7
27 simpll 732 . . . . . . . . 9
28 ssrab2 3429 . . . . . . . . . . 11
296, 28eqsstri 3379 . . . . . . . . . 10
30 simprr 735 . . . . . . . . . 10
3129, 30sseldi 3347 . . . . . . . . 9
3210psrbagf 16433 . . . . . . . . 9
3327, 31, 32syl2anc 644 . . . . . . . 8
3433ffvelrnda 5871 . . . . . . 7
3512adantrr 699 . . . . . . . 8
3635ffvelrnda 5871 . . . . . . 7
37 nn0cn 10232 . . . . . . . 8
38 nn0cn 10232 . . . . . . . 8
39 nn0cn 10232 . . . . . . . 8
40 subsub23 9311 . . . . . . . 8
4137, 38, 39, 40syl3an 1227 . . . . . . 7
4226, 34, 36, 41syl3anc 1185 . . . . . 6
43 eqcom 2439 . . . . . 6
44 eqcom 2439 . . . . . 6
4542, 43, 443bitr4g 281 . . . . 5
46 ffn 5592 . . . . . . . 8
4725, 46syl 16 . . . . . . 7
48 ffn 5592 . . . . . . . 8
4933, 48syl 16 . . . . . . 7
50 inidm 3551 . . . . . . 7
51 eqidd 2438 . . . . . . 7
52 eqidd 2438 . . . . . . 7
5347, 49, 27, 27, 50, 51, 52ofval 6315 . . . . . 6
5453eqeq2d 2448 . . . . 5
55 ffn 5592 . . . . . . . 8
5635, 55syl 16 . . . . . . 7
57 eqidd 2438 . . . . . . 7
5847, 56, 27, 27, 50, 51, 57ofval 6315 . . . . . 6
5958eqeq2d 2448 . . . . 5
6045, 54, 593bitr4d 278 . . . 4
6160ralbidva 2722 . . 3
6223adantrl 698 . . . . . . 7
6329, 62sseldi 3347 . . . . . 6
6410psrbagf 16433 . . . . . 6
6527, 63, 64syl2anc 644 . . . . 5
66 ffn 5592 . . . . 5
6765, 66syl 16 . . . 4
68 eqfnfv 5828 . . . 4
6956, 67, 68syl2anc 644 . . 3
7018adantrr 699 . . . . . . 7
7129, 70sseldi 3347 . . . . . 6
7210psrbagf 16433 . . . . . 6
7327, 71, 72syl2anc 644 . . . . 5
74 ffn 5592 . . . . 5
7573, 74syl 16 . . . 4
76 eqfnfv 5828 . . . 4
7749, 75, 76syl2anc 644 . . 3
7861, 69, 773bitr4d 278 . 2
791, 18, 23, 78f1o2d 6297 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wb 178   wa 360   wceq 1653   wcel 1726  wral 2706  crab 2710   class class class wbr 4213   cmpt 4267  ccnv 4878  cima 4882   wfn 5450  wf 5451  wf1o 5454  cfv 5455  (class class class)co 6082   cof 6304   cofr 6305   cmap 7019  cfn 7110  cc 8989   cle 9122   cmin 9292  cn 10001  cn0 10222 This theorem is referenced by:  psrass1lem  16443  psrcom  16473  psropprmul  16633 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2418  ax-rep 4321  ax-sep 4331  ax-nul 4339  ax-pow 4378  ax-pr 4404  ax-un 4702  ax-cnex 9047  ax-resscn 9048  ax-1cn 9049  ax-icn 9050  ax-addcl 9051  ax-addrcl 9052  ax-mulcl 9053  ax-mulrcl 9054  ax-mulcom 9055  ax-addass 9056  ax-mulass 9057  ax-distr 9058  ax-i2m1 9059  ax-1ne0 9060  ax-1rid 9061  ax-rnegex 9062  ax-rrecex 9063  ax-cnre 9064  ax-pre-lttri 9065  ax-pre-lttrn 9066  ax-pre-ltadd 9067  ax-pre-mulgt0 9068 This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2424  df-cleq 2430  df-clel 2433  df-nfc 2562  df-ne 2602  df-nel 2603  df-ral 2711  df-rex 2712  df-reu 2713  df-rab 2715  df-v 2959  df-sbc 3163  df-csb 3253  df-dif 3324  df-un 3326  df-in 3328  df-ss 3335  df-pss 3337  df-nul 3630  df-if 3741  df-pw 3802  df-sn 3821  df-pr 3822  df-tp 3823  df-op 3824  df-uni 4017  df-iun 4096  df-br 4214  df-opab 4268  df-mpt 4269  df-tr 4304  df-eprel 4495  df-id 4499  df-po 4504  df-so 4505  df-fr 4542  df-we 4544  df-ord 4585  df-on 4586  df-lim 4587  df-suc 4588  df-om 4847  df-xp 4885  df-rel 4886  df-cnv 4887  df-co 4888  df-dm 4889  df-rn 4890  df-res 4891  df-ima 4892  df-iota 5419  df-fun 5457  df-fn 5458  df-f 5459  df-f1 5460  df-fo 5461  df-f1o 5462  df-fv 5463  df-ov 6085  df-oprab 6086  df-mpt2 6087  df-of 6306  df-ofr 6307  df-riota 6550  df-recs 6634  df-rdg 6669  df-er 6906  df-map 7021  df-en 7111  df-dom 7112  df-sdom 7113  df-fin 7114  df-pnf 9123  df-mnf 9124  df-xr 9125  df-ltxr 9126  df-le 9127  df-sub 9294  df-neg 9295  df-nn 10002  df-n0 10223
 Copyright terms: Public domain W3C validator