Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  psrbagconf1o Unicode version

Theorem psrbagconf1o 16136
 Description: Bag complementation is a bijection on the set of bags dominated by a given bag . (Contributed by Mario Carneiro, 29-Dec-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
psrbag.d
psrbagconf1o.1
Assertion
Ref Expression
psrbagconf1o
Distinct variable groups:   ,,,   ,,   ,,,   ,   ,,
Allowed substitution hints:   ()   (,)   ()

Proof of Theorem psrbagconf1o
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2296 . 2
2 simpll 730 . . . 4
3 simplr 731 . . . 4
4 simpr 447 . . . . . . 7
5 breq1 4042 . . . . . . . 8
6 psrbagconf1o.1 . . . . . . . 8
75, 6elrab2 2938 . . . . . . 7
84, 7sylib 188 . . . . . 6
98simpld 445 . . . . 5
10 psrbag.d . . . . . 6
1110psrbagf 16129 . . . . 5
122, 9, 11syl2anc 642 . . . 4
138simprd 449 . . . 4
1410psrbagcon 16133 . . . 4
152, 3, 12, 13, 14syl13anc 1184 . . 3
16 breq1 4042 . . . 4
1716, 6elrab2 2938 . . 3
1815, 17sylibr 203 . 2
1918ralrimiva 2639 . . 3
20 oveq2 5882 . . . . 5
2120eleq1d 2362 . . . 4
2221rspccva 2896 . . 3
2319, 22sylan 457 . 2
2410psrbagf 16129 . . . . . . . . 9
2524adantr 451 . . . . . . . 8
26 ffvelrn 5679 . . . . . . . 8
2725, 26sylan 457 . . . . . . 7
28 simpll 730 . . . . . . . . 9
29 ssrab2 3271 . . . . . . . . . . 11
306, 29eqsstri 3221 . . . . . . . . . 10
31 simprr 733 . . . . . . . . . 10
3230, 31sseldi 3191 . . . . . . . . 9
3310psrbagf 16129 . . . . . . . . 9
3428, 32, 33syl2anc 642 . . . . . . . 8
35 ffvelrn 5679 . . . . . . . 8
3634, 35sylan 457 . . . . . . 7
3712adantrr 697 . . . . . . . 8
38 ffvelrn 5679 . . . . . . . 8
3937, 38sylan 457 . . . . . . 7
40 nn0cn 9991 . . . . . . . 8
41 nn0cn 9991 . . . . . . . 8
42 nn0cn 9991 . . . . . . . 8
43 subsub23 9072 . . . . . . . 8
4440, 41, 42, 43syl3an 1224 . . . . . . 7
4527, 36, 39, 44syl3anc 1182 . . . . . 6
46 eqcom 2298 . . . . . 6
47 eqcom 2298 . . . . . 6
4845, 46, 473bitr4g 279 . . . . 5
49 ffn 5405 . . . . . . . 8
5025, 49syl 15 . . . . . . 7
51 ffn 5405 . . . . . . . 8
5234, 51syl 15 . . . . . . 7
53 inidm 3391 . . . . . . 7
54 eqidd 2297 . . . . . . 7
55 eqidd 2297 . . . . . . 7
5650, 52, 28, 28, 53, 54, 55ofval 6103 . . . . . 6
5756eqeq2d 2307 . . . . 5
58 ffn 5405 . . . . . . . 8
5937, 58syl 15 . . . . . . 7
60 eqidd 2297 . . . . . . 7
6150, 59, 28, 28, 53, 54, 60ofval 6103 . . . . . 6
6261eqeq2d 2307 . . . . 5
6348, 57, 623bitr4d 276 . . . 4
6463ralbidva 2572 . . 3
6523adantrl 696 . . . . . . 7
6630, 65sseldi 3191 . . . . . 6
6710psrbagf 16129 . . . . . 6
6828, 66, 67syl2anc 642 . . . . 5
69 ffn 5405 . . . . 5
7068, 69syl 15 . . . 4
71 eqfnfv 5638 . . . 4
7259, 70, 71syl2anc 642 . . 3
7318adantrr 697 . . . . . . 7
7430, 73sseldi 3191 . . . . . 6
7510psrbagf 16129 . . . . . 6
7628, 74, 75syl2anc 642 . . . . 5
77 ffn 5405 . . . . 5
7876, 77syl 15 . . . 4
79 eqfnfv 5638 . . . 4
8052, 78, 79syl2anc 642 . . 3
8164, 72, 803bitr4d 276 . 2
821, 18, 23, 81f1o2d 6085 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wb 176   wa 358   wceq 1632   wcel 1696  wral 2556  crab 2560   class class class wbr 4039   cmpt 4093  ccnv 4704  cima 4708   wfn 5266  wf 5267  wf1o 5270  cfv 5271  (class class class)co 5874   cof 6092   cofr 6093   cmap 6788  cfn 6879  cc 8751   cle 8884   cmin 9053  cn 9762  cn0 9981 This theorem is referenced by:  psrass1lem  16139  psrcom  16169  psropprmul  16332 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830 This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-of 6094  df-ofr 6095  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-er 6676  df-map 6790  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-fin 6883  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-nn 9763  df-n0 9982
 Copyright terms: Public domain W3C validator