MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  psrbagev1 Unicode version

Theorem psrbagev1 16521
Description: A bag of multipliers provides the conditions for a valid sum. (Contributed by Stefan O'Rear, 9-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
psrbagev1.d  |-  D  =  { h  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' h " NN )  e.  Fin }
psrbagev1.c  |-  C  =  ( Base `  T
)
psrbagev1.x  |-  .x.  =  (.g
`  T )
psrbagev1.z  |-  .0.  =  ( 0g `  T )
psrbagev1.t  |-  ( ph  ->  T  e. CMnd )
psrbagev1.b  |-  ( ph  ->  B  e.  D )
psrbagev1.g  |-  ( ph  ->  G : I --> C )
psrbagev1.i  |-  ( ph  ->  I  e.  _V )
Assertion
Ref Expression
psrbagev1  |-  ( ph  ->  ( ( B  o F  .x.  G ) : I --> C  /\  ( `' ( B  o F  .x.  G ) "
( _V  \  {  .0.  } ) )  e. 
Fin ) )
Distinct variable groups:    B, h    h, I
Allowed substitution hints:    ph( h)    C( h)    D( h)    T( h)    .x. (
h)    G( h)    .0. ( h)

Proof of Theorem psrbagev1
Dummy variables  y 
z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 psrbagev1.t . . . . 5  |-  ( ph  ->  T  e. CMnd )
2 cmnmnd 15382 . . . . 5  |-  ( T  e. CMnd  ->  T  e.  Mnd )
31, 2syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  T  e.  Mnd )
4 psrbagev1.c . . . . . 6  |-  C  =  ( Base `  T
)
5 psrbagev1.x . . . . . 6  |-  .x.  =  (.g
`  T )
64, 5mulgnn0cl 14861 . . . . 5  |-  ( ( T  e.  Mnd  /\  y  e.  NN0  /\  z  e.  C )  ->  (
y  .x.  z )  e.  C )
763expb 1154 . . . 4  |-  ( ( T  e.  Mnd  /\  ( y  e.  NN0  /\  z  e.  C ) )  ->  ( y  .x.  z )  e.  C
)
83, 7sylan 458 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  NN0  /\  z  e.  C ) )  -> 
( y  .x.  z
)  e.  C )
9 psrbagev1.i . . . 4  |-  ( ph  ->  I  e.  _V )
10 psrbagev1.b . . . 4  |-  ( ph  ->  B  e.  D )
11 psrbagev1.d . . . . 5  |-  D  =  { h  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' h " NN )  e.  Fin }
1211psrbagf 16387 . . . 4  |-  ( ( I  e.  _V  /\  B  e.  D )  ->  B : I --> NN0 )
139, 10, 12syl2anc 643 . . 3  |-  ( ph  ->  B : I --> NN0 )
14 psrbagev1.g . . 3  |-  ( ph  ->  G : I --> C )
15 inidm 3510 . . 3  |-  ( I  i^i  I )  =  I
168, 13, 14, 9, 9, 15off 6279 . 2  |-  ( ph  ->  ( B  o F 
.x.  G ) : I --> C )
1711psrbagsuppfi 16520 . . . 4  |-  ( ( B  e.  D  /\  I  e.  _V )  ->  ( `' B "
( _V  \  {
0 } ) )  e.  Fin )
1810, 9, 17syl2anc 643 . . 3  |-  ( ph  ->  ( `' B "
( _V  \  {
0 } ) )  e.  Fin )
19 ssid 3327 . . . . 5  |-  ( `' B " ( _V 
\  { 0 } ) )  C_  ( `' B " ( _V 
\  { 0 } ) )
2019a1i 11 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( `' B "
( _V  \  {
0 } ) ) 
C_  ( `' B " ( _V  \  {
0 } ) ) )
21 psrbagev1.z . . . . . 6  |-  .0.  =  ( 0g `  T )
224, 21, 5mulg0 14850 . . . . 5  |-  ( z  e.  C  ->  (
0  .x.  z )  =  .0.  )
2322adantl 453 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  z  e.  C )  ->  (
0  .x.  z )  =  .0.  )
2420, 23, 13, 14, 9suppssof1 6305 . . 3  |-  ( ph  ->  ( `' ( B  o F  .x.  G
) " ( _V 
\  {  .0.  }
) )  C_  ( `' B " ( _V 
\  { 0 } ) ) )
25 ssfi 7288 . . 3  |-  ( ( ( `' B "
( _V  \  {
0 } ) )  e.  Fin  /\  ( `' ( B  o F  .x.  G ) "
( _V  \  {  .0.  } ) )  C_  ( `' B " ( _V 
\  { 0 } ) ) )  -> 
( `' ( B  o F  .x.  G
) " ( _V 
\  {  .0.  }
) )  e.  Fin )
2618, 24, 25syl2anc 643 . 2  |-  ( ph  ->  ( `' ( B  o F  .x.  G
) " ( _V 
\  {  .0.  }
) )  e.  Fin )
2716, 26jca 519 1  |-  ( ph  ->  ( ( B  o F  .x.  G ) : I --> C  /\  ( `' ( B  o F  .x.  G ) "
( _V  \  {  .0.  } ) )  e. 
Fin ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1721   {crab 2670   _Vcvv 2916    \ cdif 3277    C_ wss 3280   {csn 3774   `'ccnv 4836   "cima 4840   -->wf 5409   ` cfv 5413  (class class class)co 6040    o Fcof 6262    ^m cmap 6977   Fincfn 7068   0cc0 8946   NNcn 9956   NN0cn0 10177   Basecbs 13424   0gc0g 13678   Mndcmnd 14639  .gcmg 14644  CMndccmn 15367
This theorem is referenced by:  psrbagev2  16522  evlslem1  19889
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-rep 4280  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-inf2 7552  ax-cnex 9002  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022  ax-pre-mulgt0 9023
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rmo 2674  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-iun 4055  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-of 6264  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-riota 6508  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-er 6864  df-map 6979  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-fin 7072  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-xr 9080  df-ltxr 9081  df-le 9082  df-sub 9249  df-neg 9250  df-nn 9957  df-n0 10178  df-z 10239  df-uz 10445  df-fz 11000  df-seq 11279  df-0g 13682  df-mnd 14645  df-mulg 14770  df-cmn 15369
  Copyright terms: Public domain W3C validator