MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  psrbagev1 Unicode version

Theorem psrbagev1 16340
Description: A bag of multipliers provides the conditions for a valid sum. (Contributed by Stefan O'Rear, 9-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
psrbagev1.d  |-  D  =  { h  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' h " NN )  e.  Fin }
psrbagev1.c  |-  C  =  ( Base `  T
)
psrbagev1.x  |-  .x.  =  (.g
`  T )
psrbagev1.z  |-  .0.  =  ( 0g `  T )
psrbagev1.t  |-  ( ph  ->  T  e. CMnd )
psrbagev1.b  |-  ( ph  ->  B  e.  D )
psrbagev1.g  |-  ( ph  ->  G : I --> C )
psrbagev1.i  |-  ( ph  ->  I  e.  _V )
Assertion
Ref Expression
psrbagev1  |-  ( ph  ->  ( ( B  o F  .x.  G ) : I --> C  /\  ( `' ( B  o F  .x.  G ) "
( _V  \  {  .0.  } ) )  e. 
Fin ) )
Distinct variable groups:    B, h    h, I
Allowed substitution hints:    ph( h)    C( h)    D( h)    T( h)    .x. (
h)    G( h)    .0. ( h)

Proof of Theorem psrbagev1
Dummy variables  y 
z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 psrbagev1.t . . . . 5  |-  ( ph  ->  T  e. CMnd )
2 cmnmnd 15197 . . . . 5  |-  ( T  e. CMnd  ->  T  e.  Mnd )
31, 2syl 15 . . . 4  |-  ( ph  ->  T  e.  Mnd )
4 psrbagev1.c . . . . . 6  |-  C  =  ( Base `  T
)
5 psrbagev1.x . . . . . 6  |-  .x.  =  (.g
`  T )
64, 5mulgnn0cl 14676 . . . . 5  |-  ( ( T  e.  Mnd  /\  y  e.  NN0  /\  z  e.  C )  ->  (
y  .x.  z )  e.  C )
763expb 1152 . . . 4  |-  ( ( T  e.  Mnd  /\  ( y  e.  NN0  /\  z  e.  C ) )  ->  ( y  .x.  z )  e.  C
)
83, 7sylan 457 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  NN0  /\  z  e.  C ) )  -> 
( y  .x.  z
)  e.  C )
9 psrbagev1.i . . . 4  |-  ( ph  ->  I  e.  _V )
10 psrbagev1.b . . . 4  |-  ( ph  ->  B  e.  D )
11 psrbagev1.d . . . . 5  |-  D  =  { h  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' h " NN )  e.  Fin }
1211psrbagf 16206 . . . 4  |-  ( ( I  e.  _V  /\  B  e.  D )  ->  B : I --> NN0 )
139, 10, 12syl2anc 642 . . 3  |-  ( ph  ->  B : I --> NN0 )
14 psrbagev1.g . . 3  |-  ( ph  ->  G : I --> C )
15 inidm 3454 . . 3  |-  ( I  i^i  I )  =  I
168, 13, 14, 9, 9, 15off 6177 . 2  |-  ( ph  ->  ( B  o F 
.x.  G ) : I --> C )
1711psrbagsuppfi 16339 . . . 4  |-  ( ( B  e.  D  /\  I  e.  _V )  ->  ( `' B "
( _V  \  {
0 } ) )  e.  Fin )
1810, 9, 17syl2anc 642 . . 3  |-  ( ph  ->  ( `' B "
( _V  \  {
0 } ) )  e.  Fin )
19 ssid 3273 . . . . 5  |-  ( `' B " ( _V 
\  { 0 } ) )  C_  ( `' B " ( _V 
\  { 0 } ) )
2019a1i 10 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( `' B "
( _V  \  {
0 } ) ) 
C_  ( `' B " ( _V  \  {
0 } ) ) )
21 psrbagev1.z . . . . . 6  |-  .0.  =  ( 0g `  T )
224, 21, 5mulg0 14665 . . . . 5  |-  ( z  e.  C  ->  (
0  .x.  z )  =  .0.  )
2322adantl 452 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  z  e.  C )  ->  (
0  .x.  z )  =  .0.  )
2420, 23, 13, 14, 9suppssof1 6203 . . 3  |-  ( ph  ->  ( `' ( B  o F  .x.  G
) " ( _V 
\  {  .0.  }
) )  C_  ( `' B " ( _V 
\  { 0 } ) ) )
25 ssfi 7168 . . 3  |-  ( ( ( `' B "
( _V  \  {
0 } ) )  e.  Fin  /\  ( `' ( B  o F  .x.  G ) "
( _V  \  {  .0.  } ) )  C_  ( `' B " ( _V 
\  { 0 } ) ) )  -> 
( `' ( B  o F  .x.  G
) " ( _V 
\  {  .0.  }
) )  e.  Fin )
2618, 24, 25syl2anc 642 . 2  |-  ( ph  ->  ( `' ( B  o F  .x.  G
) " ( _V 
\  {  .0.  }
) )  e.  Fin )
2716, 26jca 518 1  |-  ( ph  ->  ( ( B  o F  .x.  G ) : I --> C  /\  ( `' ( B  o F  .x.  G ) "
( _V  \  {  .0.  } ) )  e. 
Fin ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    = wceq 1642    e. wcel 1710   {crab 2623   _Vcvv 2864    \ cdif 3225    C_ wss 3228   {csn 3716   `'ccnv 4767   "cima 4771   -->wf 5330   ` cfv 5334  (class class class)co 5942    o Fcof 6160    ^m cmap 6857   Fincfn 6948   0cc0 8824   NNcn 9833   NN0cn0 10054   Basecbs 13239   0gc0g 13493   Mndcmnd 14454  .gcmg 14459  CMndccmn 15182
This theorem is referenced by:  psrbagev2  16341  evlslem1  19497
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1546  ax-5 1557  ax-17 1616  ax-9 1654  ax-8 1675  ax-13 1712  ax-14 1714  ax-6 1729  ax-7 1734  ax-11 1746  ax-12 1930  ax-ext 2339  ax-rep 4210  ax-sep 4220  ax-nul 4228  ax-pow 4267  ax-pr 4293  ax-un 4591  ax-inf2 7429  ax-cnex 8880  ax-resscn 8881  ax-1cn 8882  ax-icn 8883  ax-addcl 8884  ax-addrcl 8885  ax-mulcl 8886  ax-mulrcl 8887  ax-mulcom 8888  ax-addass 8889  ax-mulass 8890  ax-distr 8891  ax-i2m1 8892  ax-1ne0 8893  ax-1rid 8894  ax-rnegex 8895  ax-rrecex 8896  ax-cnre 8897  ax-pre-lttri 8898  ax-pre-lttrn 8899  ax-pre-ltadd 8900  ax-pre-mulgt0 8901
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1319  df-ex 1542  df-nf 1545  df-sb 1649  df-eu 2213  df-mo 2214  df-clab 2345  df-cleq 2351  df-clel 2354  df-nfc 2483  df-ne 2523  df-nel 2524  df-ral 2624  df-rex 2625  df-reu 2626  df-rmo 2627  df-rab 2628  df-v 2866  df-sbc 3068  df-csb 3158  df-dif 3231  df-un 3233  df-in 3235  df-ss 3242  df-pss 3244  df-nul 3532  df-if 3642  df-pw 3703  df-sn 3722  df-pr 3723  df-tp 3724  df-op 3725  df-uni 3907  df-iun 3986  df-br 4103  df-opab 4157  df-mpt 4158  df-tr 4193  df-eprel 4384  df-id 4388  df-po 4393  df-so 4394  df-fr 4431  df-we 4433  df-ord 4474  df-on 4475  df-lim 4476  df-suc 4477  df-om 4736  df-xp 4774  df-rel 4775  df-cnv 4776  df-co 4777  df-dm 4778  df-rn 4779  df-res 4780  df-ima 4781  df-iota 5298  df-fun 5336  df-fn 5337  df-f 5338  df-f1 5339  df-fo 5340  df-f1o 5341  df-fv 5342  df-ov 5945  df-oprab 5946  df-mpt2 5947  df-of 6162  df-1st 6206  df-2nd 6207  df-riota 6388  df-recs 6472  df-rdg 6507  df-er 6744  df-map 6859  df-en 6949  df-dom 6950  df-sdom 6951  df-fin 6952  df-pnf 8956  df-mnf 8957  df-xr 8958  df-ltxr 8959  df-le 8960  df-sub 9126  df-neg 9127  df-nn 9834  df-n0 10055  df-z 10114  df-uz 10320  df-fz 10872  df-seq 11136  df-0g 13497  df-mnd 14460  df-mulg 14585  df-cmn 15184
  Copyright terms: Public domain W3C validator