MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  psrbagev1 Unicode version

Theorem psrbagev1 16247
Description: A bag of multipliers provides the conditions for a valid sum. (Contributed by Stefan O'Rear, 9-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
psrbagev1.d  |-  D  =  { h  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' h " NN )  e.  Fin }
psrbagev1.c  |-  C  =  ( Base `  T
)
psrbagev1.x  |-  .x.  =  (.g
`  T )
psrbagev1.z  |-  .0.  =  ( 0g `  T )
psrbagev1.t  |-  ( ph  ->  T  e. CMnd )
psrbagev1.b  |-  ( ph  ->  B  e.  D )
psrbagev1.g  |-  ( ph  ->  G : I --> C )
psrbagev1.i  |-  ( ph  ->  I  e.  _V )
Assertion
Ref Expression
psrbagev1  |-  ( ph  ->  ( ( B  o F  .x.  G ) : I --> C  /\  ( `' ( B  o F  .x.  G ) "
( _V  \  {  .0.  } ) )  e. 
Fin ) )
Distinct variable groups:    B, h    h, I
Allowed substitution hints:    ph( h)    C( h)    D( h)    T( h)    .x. (
h)    G( h)    .0. ( h)

Proof of Theorem psrbagev1
Dummy variables  y 
z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 psrbagev1.t . . . . 5  |-  ( ph  ->  T  e. CMnd )
2 cmnmnd 15104 . . . . 5  |-  ( T  e. CMnd  ->  T  e.  Mnd )
31, 2syl 15 . . . 4  |-  ( ph  ->  T  e.  Mnd )
4 psrbagev1.c . . . . . 6  |-  C  =  ( Base `  T
)
5 psrbagev1.x . . . . . 6  |-  .x.  =  (.g
`  T )
64, 5mulgnn0cl 14583 . . . . 5  |-  ( ( T  e.  Mnd  /\  y  e.  NN0  /\  z  e.  C )  ->  (
y  .x.  z )  e.  C )
763expb 1152 . . . 4  |-  ( ( T  e.  Mnd  /\  ( y  e.  NN0  /\  z  e.  C ) )  ->  ( y  .x.  z )  e.  C
)
83, 7sylan 457 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  NN0  /\  z  e.  C ) )  -> 
( y  .x.  z
)  e.  C )
9 psrbagev1.i . . . 4  |-  ( ph  ->  I  e.  _V )
10 psrbagev1.b . . . 4  |-  ( ph  ->  B  e.  D )
11 psrbagev1.d . . . . 5  |-  D  =  { h  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' h " NN )  e.  Fin }
1211psrbagf 16113 . . . 4  |-  ( ( I  e.  _V  /\  B  e.  D )  ->  B : I --> NN0 )
139, 10, 12syl2anc 642 . . 3  |-  ( ph  ->  B : I --> NN0 )
14 psrbagev1.g . . 3  |-  ( ph  ->  G : I --> C )
15 inidm 3378 . . 3  |-  ( I  i^i  I )  =  I
168, 13, 14, 9, 9, 15off 6093 . 2  |-  ( ph  ->  ( B  o F 
.x.  G ) : I --> C )
1711psrbagsuppfi 16246 . . . 4  |-  ( ( B  e.  D  /\  I  e.  _V )  ->  ( `' B "
( _V  \  {
0 } ) )  e.  Fin )
1810, 9, 17syl2anc 642 . . 3  |-  ( ph  ->  ( `' B "
( _V  \  {
0 } ) )  e.  Fin )
19 ssid 3197 . . . . 5  |-  ( `' B " ( _V 
\  { 0 } ) )  C_  ( `' B " ( _V 
\  { 0 } ) )
2019a1i 10 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( `' B "
( _V  \  {
0 } ) ) 
C_  ( `' B " ( _V  \  {
0 } ) ) )
21 psrbagev1.z . . . . . 6  |-  .0.  =  ( 0g `  T )
224, 21, 5mulg0 14572 . . . . 5  |-  ( z  e.  C  ->  (
0  .x.  z )  =  .0.  )
2322adantl 452 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  z  e.  C )  ->  (
0  .x.  z )  =  .0.  )
2420, 23, 13, 14, 9suppssof1 6119 . . 3  |-  ( ph  ->  ( `' ( B  o F  .x.  G
) " ( _V 
\  {  .0.  }
) )  C_  ( `' B " ( _V 
\  { 0 } ) ) )
25 ssfi 7083 . . 3  |-  ( ( ( `' B "
( _V  \  {
0 } ) )  e.  Fin  /\  ( `' ( B  o F  .x.  G ) "
( _V  \  {  .0.  } ) )  C_  ( `' B " ( _V 
\  { 0 } ) ) )  -> 
( `' ( B  o F  .x.  G
) " ( _V 
\  {  .0.  }
) )  e.  Fin )
2618, 24, 25syl2anc 642 . 2  |-  ( ph  ->  ( `' ( B  o F  .x.  G
) " ( _V 
\  {  .0.  }
) )  e.  Fin )
2716, 26jca 518 1  |-  ( ph  ->  ( ( B  o F  .x.  G ) : I --> C  /\  ( `' ( B  o F  .x.  G ) "
( _V  \  {  .0.  } ) )  e. 
Fin ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    = wceq 1623    e. wcel 1684   {crab 2547   _Vcvv 2788    \ cdif 3149    C_ wss 3152   {csn 3640   `'ccnv 4688   "cima 4692   -->wf 5251   ` cfv 5255  (class class class)co 5858    o Fcof 6076    ^m cmap 6772   Fincfn 6863   0cc0 8737   NNcn 9746   NN0cn0 9965   Basecbs 13148   0gc0g 13400   Mndcmnd 14361  .gcmg 14366  CMndccmn 15089
This theorem is referenced by:  psrbagev2  16248  evlslem1  19399
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-inf2 7342  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-of 6078  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-er 6660  df-map 6774  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-fin 6867  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-nn 9747  df-n0 9966  df-z 10025  df-uz 10231  df-fz 10783  df-seq 11047  df-0g 13404  df-mnd 14367  df-mulg 14492  df-cmn 15091
  Copyright terms: Public domain W3C validator