MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  psrbagev1 Structured version   Unicode version

Theorem psrbagev1 16597
Description: A bag of multipliers provides the conditions for a valid sum. (Contributed by Stefan O'Rear, 9-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
psrbagev1.d  |-  D  =  { h  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' h " NN )  e.  Fin }
psrbagev1.c  |-  C  =  ( Base `  T
)
psrbagev1.x  |-  .x.  =  (.g
`  T )
psrbagev1.z  |-  .0.  =  ( 0g `  T )
psrbagev1.t  |-  ( ph  ->  T  e. CMnd )
psrbagev1.b  |-  ( ph  ->  B  e.  D )
psrbagev1.g  |-  ( ph  ->  G : I --> C )
psrbagev1.i  |-  ( ph  ->  I  e.  _V )
Assertion
Ref Expression
psrbagev1  |-  ( ph  ->  ( ( B  o F  .x.  G ) : I --> C  /\  ( `' ( B  o F  .x.  G ) "
( _V  \  {  .0.  } ) )  e. 
Fin ) )
Distinct variable groups:    B, h    h, I
Allowed substitution hints:    ph( h)    C( h)    D( h)    T( h)    .x. (
h)    G( h)    .0. ( h)

Proof of Theorem psrbagev1
Dummy variables  y 
z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 psrbagev1.t . . . . 5  |-  ( ph  ->  T  e. CMnd )
2 cmnmnd 15458 . . . . 5  |-  ( T  e. CMnd  ->  T  e.  Mnd )
31, 2syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  T  e.  Mnd )
4 psrbagev1.c . . . . . 6  |-  C  =  ( Base `  T
)
5 psrbagev1.x . . . . . 6  |-  .x.  =  (.g
`  T )
64, 5mulgnn0cl 14937 . . . . 5  |-  ( ( T  e.  Mnd  /\  y  e.  NN0  /\  z  e.  C )  ->  (
y  .x.  z )  e.  C )
763expb 1155 . . . 4  |-  ( ( T  e.  Mnd  /\  ( y  e.  NN0  /\  z  e.  C ) )  ->  ( y  .x.  z )  e.  C
)
83, 7sylan 459 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  NN0  /\  z  e.  C ) )  -> 
( y  .x.  z
)  e.  C )
9 psrbagev1.i . . . 4  |-  ( ph  ->  I  e.  _V )
10 psrbagev1.b . . . 4  |-  ( ph  ->  B  e.  D )
11 psrbagev1.d . . . . 5  |-  D  =  { h  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' h " NN )  e.  Fin }
1211psrbagf 16463 . . . 4  |-  ( ( I  e.  _V  /\  B  e.  D )  ->  B : I --> NN0 )
139, 10, 12syl2anc 644 . . 3  |-  ( ph  ->  B : I --> NN0 )
14 psrbagev1.g . . 3  |-  ( ph  ->  G : I --> C )
15 inidm 3535 . . 3  |-  ( I  i^i  I )  =  I
168, 13, 14, 9, 9, 15off 6349 . 2  |-  ( ph  ->  ( B  o F 
.x.  G ) : I --> C )
1711psrbagsuppfi 16596 . . . 4  |-  ( ( B  e.  D  /\  I  e.  _V )  ->  ( `' B "
( _V  \  {
0 } ) )  e.  Fin )
1810, 9, 17syl2anc 644 . . 3  |-  ( ph  ->  ( `' B "
( _V  \  {
0 } ) )  e.  Fin )
19 ssid 3353 . . . . 5  |-  ( `' B " ( _V 
\  { 0 } ) )  C_  ( `' B " ( _V 
\  { 0 } ) )
2019a1i 11 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( `' B "
( _V  \  {
0 } ) ) 
C_  ( `' B " ( _V  \  {
0 } ) ) )
21 psrbagev1.z . . . . . 6  |-  .0.  =  ( 0g `  T )
224, 21, 5mulg0 14926 . . . . 5  |-  ( z  e.  C  ->  (
0  .x.  z )  =  .0.  )
2322adantl 454 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  z  e.  C )  ->  (
0  .x.  z )  =  .0.  )
2420, 23, 13, 14, 9suppssof1 6375 . . 3  |-  ( ph  ->  ( `' ( B  o F  .x.  G
) " ( _V 
\  {  .0.  }
) )  C_  ( `' B " ( _V 
\  { 0 } ) ) )
25 ssfi 7358 . . 3  |-  ( ( ( `' B "
( _V  \  {
0 } ) )  e.  Fin  /\  ( `' ( B  o F  .x.  G ) "
( _V  \  {  .0.  } ) )  C_  ( `' B " ( _V 
\  { 0 } ) ) )  -> 
( `' ( B  o F  .x.  G
) " ( _V 
\  {  .0.  }
) )  e.  Fin )
2618, 24, 25syl2anc 644 . 2  |-  ( ph  ->  ( `' ( B  o F  .x.  G
) " ( _V 
\  {  .0.  }
) )  e.  Fin )
2716, 26jca 520 1  |-  ( ph  ->  ( ( B  o F  .x.  G ) : I --> C  /\  ( `' ( B  o F  .x.  G ) "
( _V  \  {  .0.  } ) )  e. 
Fin ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 360    = wceq 1653    e. wcel 1727   {crab 2715   _Vcvv 2962    \ cdif 3303    C_ wss 3306   {csn 3838   `'ccnv 4906   "cima 4910   -->wf 5479   ` cfv 5483  (class class class)co 6110    o Fcof 6332    ^m cmap 7047   Fincfn 7138   0cc0 9021   NNcn 10031   NN0cn0 10252   Basecbs 13500   0gc0g 13754   Mndcmnd 14715  .gcmg 14720  CMndccmn 15443
This theorem is referenced by:  psrbagev2  16598  evlslem1  19967
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1668  ax-8 1689  ax-13 1729  ax-14 1731  ax-6 1746  ax-7 1751  ax-11 1763  ax-12 1953  ax-ext 2423  ax-rep 4345  ax-sep 4355  ax-nul 4363  ax-pow 4406  ax-pr 4432  ax-un 4730  ax-inf2 7625  ax-cnex 9077  ax-resscn 9078  ax-1cn 9079  ax-icn 9080  ax-addcl 9081  ax-addrcl 9082  ax-mulcl 9083  ax-mulrcl 9084  ax-mulcom 9085  ax-addass 9086  ax-mulass 9087  ax-distr 9088  ax-i2m1 9089  ax-1ne0 9090  ax-1rid 9091  ax-rnegex 9092  ax-rrecex 9093  ax-cnre 9094  ax-pre-lttri 9095  ax-pre-lttrn 9096  ax-pre-ltadd 9097  ax-pre-mulgt0 9098
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2291  df-mo 2292  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2567  df-ne 2607  df-nel 2608  df-ral 2716  df-rex 2717  df-reu 2718  df-rmo 2719  df-rab 2720  df-v 2964  df-sbc 3168  df-csb 3268  df-dif 3309  df-un 3311  df-in 3313  df-ss 3320  df-pss 3322  df-nul 3614  df-if 3764  df-pw 3825  df-sn 3844  df-pr 3845  df-tp 3846  df-op 3847  df-uni 4040  df-iun 4119  df-br 4238  df-opab 4292  df-mpt 4293  df-tr 4328  df-eprel 4523  df-id 4527  df-po 4532  df-so 4533  df-fr 4570  df-we 4572  df-ord 4613  df-on 4614  df-lim 4615  df-suc 4616  df-om 4875  df-xp 4913  df-rel 4914  df-cnv 4915  df-co 4916  df-dm 4917  df-rn 4918  df-res 4919  df-ima 4920  df-iota 5447  df-fun 5485  df-fn 5486  df-f 5487  df-f1 5488  df-fo 5489  df-f1o 5490  df-fv 5491  df-ov 6113  df-oprab 6114  df-mpt2 6115  df-of 6334  df-1st 6378  df-2nd 6379  df-riota 6578  df-recs 6662  df-rdg 6697  df-er 6934  df-map 7049  df-en 7139  df-dom 7140  df-sdom 7141  df-fin 7142  df-pnf 9153  df-mnf 9154  df-xr 9155  df-ltxr 9156  df-le 9157  df-sub 9324  df-neg 9325  df-nn 10032  df-n0 10253  df-z 10314  df-uz 10520  df-fz 11075  df-seq 11355  df-0g 13758  df-mnd 14721  df-mulg 14846  df-cmn 15445
  Copyright terms: Public domain W3C validator