MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  psrbagev2 Structured version   Unicode version

Theorem psrbagev2 16559
Description: Closure of a sum using a bag of multipliers. (Contributed by Stefan O'Rear, 9-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
psrbagev1.d  |-  D  =  { h  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' h " NN )  e.  Fin }
psrbagev1.c  |-  C  =  ( Base `  T
)
psrbagev1.x  |-  .x.  =  (.g
`  T )
psrbagev1.z  |-  .0.  =  ( 0g `  T )
psrbagev1.t  |-  ( ph  ->  T  e. CMnd )
psrbagev1.b  |-  ( ph  ->  B  e.  D )
psrbagev1.g  |-  ( ph  ->  G : I --> C )
psrbagev1.i  |-  ( ph  ->  I  e.  _V )
Assertion
Ref Expression
psrbagev2  |-  ( ph  ->  ( T  gsumg  ( B  o F 
.x.  G ) )  e.  C )
Distinct variable groups:    B, h    h, I
Allowed substitution hints:    ph( h)    C( h)    D( h)    T( h)    .x. (
h)    G( h)    .0. ( h)

Proof of Theorem psrbagev2
StepHypRef Expression
1 psrbagev1.c . 2  |-  C  =  ( Base `  T
)
2 psrbagev1.z . 2  |-  .0.  =  ( 0g `  T )
3 psrbagev1.t . 2  |-  ( ph  ->  T  e. CMnd )
4 psrbagev1.i . 2  |-  ( ph  ->  I  e.  _V )
5 psrbagev1.d . . . 4  |-  D  =  { h  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' h " NN )  e.  Fin }
6 psrbagev1.x . . . 4  |-  .x.  =  (.g
`  T )
7 psrbagev1.b . . . 4  |-  ( ph  ->  B  e.  D )
8 psrbagev1.g . . . 4  |-  ( ph  ->  G : I --> C )
95, 1, 6, 2, 3, 7, 8, 4psrbagev1 16558 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( B  o F  .x.  G ) : I --> C  /\  ( `' ( B  o F  .x.  G ) "
( _V  \  {  .0.  } ) )  e. 
Fin ) )
109simpld 446 . 2  |-  ( ph  ->  ( B  o F 
.x.  G ) : I --> C )
119simprd 450 . 2  |-  ( ph  ->  ( `' ( B  o F  .x.  G
) " ( _V 
\  {  .0.  }
) )  e.  Fin )
121, 2, 3, 4, 10, 11gsumcl 15513 1  |-  ( ph  ->  ( T  gsumg  ( B  o F 
.x.  G ) )  e.  C )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1652    e. wcel 1725   {crab 2701   _Vcvv 2948    \ cdif 3309   {csn 3806   `'ccnv 4869   "cima 4873   -->wf 5442   ` cfv 5446  (class class class)co 6073    o Fcof 6295    ^m cmap 7010   Fincfn 7101   NNcn 9992   NN0cn0 10213   Basecbs 13461   0gc0g 13715    gsumg cgsu 13716  .gcmg 14681  CMndccmn 15404
This theorem is referenced by:  evlslem6  19926  evlslem1  19928
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-inf2 7588  ax-cnex 9038  ax-resscn 9039  ax-1cn 9040  ax-icn 9041  ax-addcl 9042  ax-addrcl 9043  ax-mulcl 9044  ax-mulrcl 9045  ax-mulcom 9046  ax-addass 9047  ax-mulass 9048  ax-distr 9049  ax-i2m1 9050  ax-1ne0 9051  ax-1rid 9052  ax-rnegex 9053  ax-rrecex 9054  ax-cnre 9055  ax-pre-lttri 9056  ax-pre-lttrn 9057  ax-pre-ltadd 9058  ax-pre-mulgt0 9059
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rmo 2705  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-int 4043  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-se 4534  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-isom 5455  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-of 6297  df-1st 6341  df-2nd 6342  df-riota 6541  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-1o 6716  df-oadd 6720  df-er 6897  df-map 7012  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-fin 7105  df-oi 7471  df-card 7818  df-pnf 9114  df-mnf 9115  df-xr 9116  df-ltxr 9117  df-le 9118  df-sub 9285  df-neg 9286  df-nn 9993  df-n0 10214  df-z 10275  df-uz 10481  df-fz 11036  df-fzo 11128  df-seq 11316  df-hash 11611  df-0g 13719  df-gsum 13720  df-mnd 14682  df-mulg 14807  df-cntz 15108  df-cmn 15406
  Copyright terms: Public domain W3C validator