MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  psrbaglecl Unicode version

Theorem psrbaglecl 16362
Description: The set of finite bags is downward-closed. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Dec-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
psrbag.d  |-  D  =  { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f
" NN )  e. 
Fin }
Assertion
Ref Expression
psrbaglecl  |-  ( ( I  e.  V  /\  ( F  e.  D  /\  G : I --> NN0  /\  G  o R  <_  F
) )  ->  G  e.  D )
Distinct variable groups:    f, F    f, G    f, I
Allowed substitution hints:    D( f)    V( f)

Proof of Theorem psrbaglecl
StepHypRef Expression
1 simpr2 964 . 2  |-  ( ( I  e.  V  /\  ( F  e.  D  /\  G : I --> NN0  /\  G  o R  <_  F
) )  ->  G : I --> NN0 )
2 simpr1 963 . . . . 5  |-  ( ( I  e.  V  /\  ( F  e.  D  /\  G : I --> NN0  /\  G  o R  <_  F
) )  ->  F  e.  D )
3 psrbag.d . . . . . . 7  |-  D  =  { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f
" NN )  e. 
Fin }
43psrbag 16359 . . . . . 6  |-  ( I  e.  V  ->  ( F  e.  D  <->  ( F : I --> NN0  /\  ( `' F " NN )  e.  Fin ) ) )
54adantr 452 . . . . 5  |-  ( ( I  e.  V  /\  ( F  e.  D  /\  G : I --> NN0  /\  G  o R  <_  F
) )  ->  ( F  e.  D  <->  ( F : I --> NN0  /\  ( `' F " NN )  e.  Fin ) ) )
62, 5mpbid 202 . . . 4  |-  ( ( I  e.  V  /\  ( F  e.  D  /\  G : I --> NN0  /\  G  o R  <_  F
) )  ->  ( F : I --> NN0  /\  ( `' F " NN )  e.  Fin ) )
76simprd 450 . . 3  |-  ( ( I  e.  V  /\  ( F  e.  D  /\  G : I --> NN0  /\  G  o R  <_  F
) )  ->  ( `' F " NN )  e.  Fin )
83psrbaglesupp 16361 . . 3  |-  ( ( I  e.  V  /\  ( F  e.  D  /\  G : I --> NN0  /\  G  o R  <_  F
) )  ->  ( `' G " NN ) 
C_  ( `' F " NN ) )
9 ssfi 7266 . . 3  |-  ( ( ( `' F " NN )  e.  Fin  /\  ( `' G " NN )  C_  ( `' F " NN ) )  ->  ( `' G " NN )  e. 
Fin )
107, 8, 9syl2anc 643 . 2  |-  ( ( I  e.  V  /\  ( F  e.  D  /\  G : I --> NN0  /\  G  o R  <_  F
) )  ->  ( `' G " NN )  e.  Fin )
113psrbag 16359 . . 3  |-  ( I  e.  V  ->  ( G  e.  D  <->  ( G : I --> NN0  /\  ( `' G " NN )  e.  Fin ) ) )
1211adantr 452 . 2  |-  ( ( I  e.  V  /\  ( F  e.  D  /\  G : I --> NN0  /\  G  o R  <_  F
) )  ->  ( G  e.  D  <->  ( G : I --> NN0  /\  ( `' G " NN )  e.  Fin ) ) )
131, 10, 12mpbir2and 889 1  |-  ( ( I  e.  V  /\  ( F  e.  D  /\  G : I --> NN0  /\  G  o R  <_  F
) )  ->  G  e.  D )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1649    e. wcel 1717   {crab 2654    C_ wss 3264   class class class wbr 4154   `'ccnv 4818   "cima 4822   -->wf 5391  (class class class)co 6021    o Rcofr 6244    ^m cmap 6955   Fincfn 7046    <_ cle 9055   NNcn 9933   NN0cn0 10154
This theorem is referenced by:  psrbaglefi  16365
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2369  ax-rep 4262  ax-sep 4272  ax-nul 4280  ax-pow 4319  ax-pr 4345  ax-un 4642  ax-cnex 8980  ax-resscn 8981  ax-1cn 8982  ax-icn 8983  ax-addcl 8984  ax-addrcl 8985  ax-mulcl 8986  ax-mulrcl 8987  ax-mulcom 8988  ax-addass 8989  ax-mulass 8990  ax-distr 8991  ax-i2m1 8992  ax-1ne0 8993  ax-1rid 8994  ax-rnegex 8995  ax-rrecex 8996  ax-cnre 8997  ax-pre-lttri 8998  ax-pre-lttrn 8999  ax-pre-ltadd 9000  ax-pre-mulgt0 9001
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2243  df-mo 2244  df-clab 2375  df-cleq 2381  df-clel 2384  df-nfc 2513  df-ne 2553  df-nel 2554  df-ral 2655  df-rex 2656  df-reu 2657  df-rab 2659  df-v 2902  df-sbc 3106  df-csb 3196  df-dif 3267  df-un 3269  df-in 3271  df-ss 3278  df-pss 3280  df-nul 3573  df-if 3684  df-pw 3745  df-sn 3764  df-pr 3765  df-tp 3766  df-op 3767  df-uni 3959  df-iun 4038  df-br 4155  df-opab 4209  df-mpt 4210  df-tr 4245  df-eprel 4436  df-id 4440  df-po 4445  df-so 4446  df-fr 4483  df-we 4485  df-ord 4526  df-on 4527  df-lim 4528  df-suc 4529  df-om 4787  df-xp 4825  df-rel 4826  df-cnv 4827  df-co 4828  df-dm 4829  df-rn 4830  df-res 4831  df-ima 4832  df-iota 5359  df-fun 5397  df-fn 5398  df-f 5399  df-f1 5400  df-fo 5401  df-f1o 5402  df-fv 5403  df-ov 6024  df-oprab 6025  df-mpt2 6026  df-ofr 6246  df-riota 6486  df-recs 6570  df-rdg 6605  df-er 6842  df-map 6957  df-en 7047  df-dom 7048  df-sdom 7049  df-fin 7050  df-pnf 9056  df-mnf 9057  df-xr 9058  df-ltxr 9059  df-le 9060  df-sub 9226  df-neg 9227  df-nn 9934  df-n0 10155
  Copyright terms: Public domain W3C validator