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Theorem psrbaglefi 16437
Description: There are finitely many bags dominated by a given bag. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Dec-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 25-Jan-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
psrbag.d  |-  D  =  { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f
" NN )  e. 
Fin }
Assertion
Ref Expression
psrbaglefi  |-  ( ( I  e.  V  /\  F  e.  D )  ->  { y  e.  D  |  y  o R  <_  F }  e.  Fin )
Distinct variable groups:    y, f, F    y, V    f, I,
y    y, D
Allowed substitution hints:    D( f)    V( f)

Proof of Theorem psrbaglefi
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-rab 2714 . . 3  |-  { y  e.  D  |  y  o R  <_  F }  =  { y  |  ( y  e.  D  /\  y  o R  <_  F ) }
2 psrbag.d . . . . . . . . 9  |-  D  =  { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f
" NN )  e. 
Fin }
32psrbag 16431 . . . . . . . 8  |-  ( I  e.  V  ->  (
y  e.  D  <->  ( y : I --> NN0  /\  ( `' y " NN )  e.  Fin )
) )
43adantr 452 . . . . . . 7  |-  ( ( I  e.  V  /\  F  e.  D )  ->  ( y  e.  D  <->  ( y : I --> NN0  /\  ( `' y " NN )  e.  Fin )
) )
5 simpl 444 . . . . . . 7  |-  ( ( y : I --> NN0  /\  ( `' y " NN )  e.  Fin )  ->  y : I --> NN0 )
64, 5syl6bi 220 . . . . . 6  |-  ( ( I  e.  V  /\  F  e.  D )  ->  ( y  e.  D  ->  y : I --> NN0 )
)
76adantrd 455 . . . . 5  |-  ( ( I  e.  V  /\  F  e.  D )  ->  ( ( y  e.  D  /\  y  o R  <_  F )  ->  y : I --> NN0 )
)
8 ss2ixp 7075 . . . . . . . . 9  |-  ( A. x  e.  I  (
0 ... ( F `  x ) )  C_  NN0 
->  X_ x  e.  I 
( 0 ... ( F `  x )
)  C_  X_ x  e.  I  NN0 )
9 elfznn0 11083 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  ( 0 ... ( F `  x
) )  ->  y  e.  NN0 )
109ssriv 3352 . . . . . . . . . 10  |-  ( 0 ... ( F `  x ) )  C_  NN0
1110a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  I  ->  (
0 ... ( F `  x ) )  C_  NN0 )
128, 11mprg 2775 . . . . . . . 8  |-  X_ x  e.  I  ( 0 ... ( F `  x ) )  C_  X_ x  e.  I  NN0
1312sseli 3344 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  X_ x  e.  I 
( 0 ... ( F `  x )
)  ->  y  e.  X_ x  e.  I  NN0 )
14 vex 2959 . . . . . . . 8  |-  y  e. 
_V
1514elixpconst 7070 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  X_ x  e.  I  NN0 
<->  y : I --> NN0 )
1613, 15sylib 189 . . . . . 6  |-  ( y  e.  X_ x  e.  I 
( 0 ... ( F `  x )
)  ->  y :
I --> NN0 )
1716a1i 11 . . . . 5  |-  ( ( I  e.  V  /\  F  e.  D )  ->  ( y  e.  X_ x  e.  I  (
0 ... ( F `  x ) )  -> 
y : I --> NN0 )
)
18 ffn 5591 . . . . . . . . 9  |-  ( y : I --> NN0  ->  y  Fn  I )
1918adantl 453 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( I  e.  V  /\  F  e.  D
)  /\  y :
I --> NN0 )  ->  y  Fn  I )
2014elixp 7069 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  X_ x  e.  I 
( 0 ... ( F `  x )
)  <->  ( y  Fn  I  /\  A. x  e.  I  ( y `  x )  e.  ( 0 ... ( F `
 x ) ) ) )
2120baib 872 . . . . . . . 8  |-  ( y  Fn  I  ->  (
y  e.  X_ x  e.  I  ( 0 ... ( F `  x ) )  <->  A. x  e.  I  ( y `  x )  e.  ( 0 ... ( F `
 x ) ) ) )
2219, 21syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( ( I  e.  V  /\  F  e.  D
)  /\  y :
I --> NN0 )  ->  (
y  e.  X_ x  e.  I  ( 0 ... ( F `  x ) )  <->  A. x  e.  I  ( y `  x )  e.  ( 0 ... ( F `
 x ) ) ) )
23 ffvelrn 5868 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( y : I --> NN0  /\  x  e.  I )  ->  ( y `  x
)  e.  NN0 )
2423adantll 695 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( I  e.  V  /\  F  e.  D )  /\  y : I --> NN0 )  /\  x  e.  I
)  ->  ( y `  x )  e.  NN0 )
25 nn0uz 10520 . . . . . . . . . . 11  |-  NN0  =  ( ZZ>= `  0 )
2624, 25syl6eleq 2526 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( I  e.  V  /\  F  e.  D )  /\  y : I --> NN0 )  /\  x  e.  I
)  ->  ( y `  x )  e.  (
ZZ>= `  0 ) )
272psrbagf 16432 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( I  e.  V  /\  F  e.  D )  ->  F : I --> NN0 )
2827adantr 452 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( I  e.  V  /\  F  e.  D
)  /\  y :
I --> NN0 )  ->  F : I --> NN0 )
2928ffvelrnda 5870 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( I  e.  V  /\  F  e.  D )  /\  y : I --> NN0 )  /\  x  e.  I
)  ->  ( F `  x )  e.  NN0 )
3029nn0zd 10373 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( I  e.  V  /\  F  e.  D )  /\  y : I --> NN0 )  /\  x  e.  I
)  ->  ( F `  x )  e.  ZZ )
31 elfz5 11051 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( y `  x
)  e.  ( ZZ>= ` 
0 )  /\  ( F `  x )  e.  ZZ )  ->  (
( y `  x
)  e.  ( 0 ... ( F `  x ) )  <->  ( y `  x )  <_  ( F `  x )
) )
3226, 30, 31syl2anc 643 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( I  e.  V  /\  F  e.  D )  /\  y : I --> NN0 )  /\  x  e.  I
)  ->  ( (
y `  x )  e.  ( 0 ... ( F `  x )
)  <->  ( y `  x )  <_  ( F `  x )
) )
3332ralbidva 2721 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( I  e.  V  /\  F  e.  D
)  /\  y :
I --> NN0 )  ->  ( A. x  e.  I 
( y `  x
)  e.  ( 0 ... ( F `  x ) )  <->  A. x  e.  I  ( y `  x )  <_  ( F `  x )
) )
34 ffn 5591 . . . . . . . . . 10  |-  ( F : I --> NN0  ->  F  Fn  I )
3528, 34syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( I  e.  V  /\  F  e.  D
)  /\  y :
I --> NN0 )  ->  F  Fn  I )
36 simpll 731 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( I  e.  V  /\  F  e.  D
)  /\  y :
I --> NN0 )  ->  I  e.  V )
37 inidm 3550 . . . . . . . . 9  |-  ( I  i^i  I )  =  I
38 eqidd 2437 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( I  e.  V  /\  F  e.  D )  /\  y : I --> NN0 )  /\  x  e.  I
)  ->  ( y `  x )  =  ( y `  x ) )
39 eqidd 2437 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( I  e.  V  /\  F  e.  D )  /\  y : I --> NN0 )  /\  x  e.  I
)  ->  ( F `  x )  =  ( F `  x ) )
4019, 35, 36, 36, 37, 38, 39ofrfval 6313 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( I  e.  V  /\  F  e.  D
)  /\  y :
I --> NN0 )  ->  (
y  o R  <_  F 
<-> 
A. x  e.  I 
( y `  x
)  <_  ( F `  x ) ) )
4133, 40bitr4d 248 . . . . . . 7  |-  ( ( ( I  e.  V  /\  F  e.  D
)  /\  y :
I --> NN0 )  ->  ( A. x  e.  I 
( y `  x
)  e.  ( 0 ... ( F `  x ) )  <->  y  o R  <_  F ) )
422psrbaglecl 16434 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( I  e.  V  /\  ( F  e.  D  /\  y : I --> NN0  /\  y  o R  <_  F
) )  ->  y  e.  D )
43423exp2 1171 . . . . . . . . 9  |-  ( I  e.  V  ->  ( F  e.  D  ->  ( y : I --> NN0  ->  ( y  o R  <_  F  ->  y  e.  D
) ) ) )
4443imp31 422 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( I  e.  V  /\  F  e.  D
)  /\  y :
I --> NN0 )  ->  (
y  o R  <_  F  ->  y  e.  D
) )
4544pm4.71rd 617 . . . . . . 7  |-  ( ( ( I  e.  V  /\  F  e.  D
)  /\  y :
I --> NN0 )  ->  (
y  o R  <_  F 
<->  ( y  e.  D  /\  y  o R  <_  F ) ) )
4622, 41, 453bitrrd 272 . . . . . 6  |-  ( ( ( I  e.  V  /\  F  e.  D
)  /\  y :
I --> NN0 )  ->  (
( y  e.  D  /\  y  o R  <_  F )  <->  y  e.  X_ x  e.  I  ( 0 ... ( F `
 x ) ) ) )
4746ex 424 . . . . 5  |-  ( ( I  e.  V  /\  F  e.  D )  ->  ( y : I --> NN0  ->  ( (
y  e.  D  /\  y  o R  <_  F
)  <->  y  e.  X_ x  e.  I  (
0 ... ( F `  x ) ) ) ) )
487, 17, 47pm5.21ndd 344 . . . 4  |-  ( ( I  e.  V  /\  F  e.  D )  ->  ( ( y  e.  D  /\  y  o R  <_  F )  <->  y  e.  X_ x  e.  I 
( 0 ... ( F `  x )
) ) )
4948abbi1dv 2552 . . 3  |-  ( ( I  e.  V  /\  F  e.  D )  ->  { y  |  ( y  e.  D  /\  y  o R  <_  F
) }  =  X_ x  e.  I  (
0 ... ( F `  x ) ) )
501, 49syl5eq 2480 . 2  |-  ( ( I  e.  V  /\  F  e.  D )  ->  { y  e.  D  |  y  o R  <_  F }  =  X_ x  e.  I  (
0 ... ( F `  x ) ) )
51 simpr 448 . . . . 5  |-  ( ( I  e.  V  /\  F  e.  D )  ->  F  e.  D )
52 cnveq 5046 . . . . . . . 8  |-  ( f  =  F  ->  `' f  =  `' F
)
5352imaeq1d 5202 . . . . . . 7  |-  ( f  =  F  ->  ( `' f " NN )  =  ( `' F " NN ) )
5453eleq1d 2502 . . . . . 6  |-  ( f  =  F  ->  (
( `' f " NN )  e.  Fin  <->  ( `' F " NN )  e.  Fin ) )
5554, 2elrab2 3094 . . . . 5  |-  ( F  e.  D  <->  ( F  e.  ( NN0  ^m  I
)  /\  ( `' F " NN )  e. 
Fin ) )
5651, 55sylib 189 . . . 4  |-  ( ( I  e.  V  /\  F  e.  D )  ->  ( F  e.  ( NN0  ^m  I )  /\  ( `' F " NN )  e.  Fin ) )
5756simprd 450 . . 3  |-  ( ( I  e.  V  /\  F  e.  D )  ->  ( `' F " NN )  e.  Fin )
58 fzfid 11312 . . 3  |-  ( ( ( I  e.  V  /\  F  e.  D
)  /\  x  e.  I )  ->  (
0 ... ( F `  x ) )  e. 
Fin )
59 nn0supp 10273 . . . . . . . 8  |-  ( F : I --> NN0  ->  ( `' F " ( _V 
\  { 0 } ) )  =  ( `' F " NN ) )
60 eqimss 3400 . . . . . . . 8  |-  ( ( `' F " ( _V 
\  { 0 } ) )  =  ( `' F " NN )  ->  ( `' F " ( _V  \  {
0 } ) ) 
C_  ( `' F " NN ) )
6127, 59, 603syl 19 . . . . . . 7  |-  ( ( I  e.  V  /\  F  e.  D )  ->  ( `' F "
( _V  \  {
0 } ) ) 
C_  ( `' F " NN ) )
6227, 61suppssr 5864 . . . . . 6  |-  ( ( ( I  e.  V  /\  F  e.  D
)  /\  x  e.  ( I  \  ( `' F " NN ) ) )  ->  ( F `  x )  =  0 )
6362oveq2d 6097 . . . . 5  |-  ( ( ( I  e.  V  /\  F  e.  D
)  /\  x  e.  ( I  \  ( `' F " NN ) ) )  ->  (
0 ... ( F `  x ) )  =  ( 0 ... 0
) )
64 0z 10293 . . . . . 6  |-  0  e.  ZZ
65 fzsn 11094 . . . . . 6  |-  ( 0  e.  ZZ  ->  (
0 ... 0 )  =  { 0 } )
6664, 65ax-mp 8 . . . . 5  |-  ( 0 ... 0 )  =  { 0 }
6763, 66syl6eq 2484 . . . 4  |-  ( ( ( I  e.  V  /\  F  e.  D
)  /\  x  e.  ( I  \  ( `' F " NN ) ) )  ->  (
0 ... ( F `  x ) )  =  { 0 } )
68 eqimss 3400 . . . 4  |-  ( ( 0 ... ( F `
 x ) )  =  { 0 }  ->  ( 0 ... ( F `  x
) )  C_  { 0 } )
6967, 68syl 16 . . 3  |-  ( ( ( I  e.  V  /\  F  e.  D
)  /\  x  e.  ( I  \  ( `' F " NN ) ) )  ->  (
0 ... ( F `  x ) )  C_  { 0 } )
7057, 58, 69ixpfi2 7405 . 2  |-  ( ( I  e.  V  /\  F  e.  D )  -> 
X_ x  e.  I 
( 0 ... ( F `  x )
)  e.  Fin )
7150, 70eqeltrd 2510 1  |-  ( ( I  e.  V  /\  F  e.  D )  ->  { y  e.  D  |  y  o R  <_  F }  e.  Fin )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    = wceq 1652    e. wcel 1725   {cab 2422   A.wral 2705   {crab 2709   _Vcvv 2956    \ cdif 3317    C_ wss 3320   {csn 3814   class class class wbr 4212   `'ccnv 4877   "cima 4881    Fn wfn 5449   -->wf 5450   ` cfv 5454  (class class class)co 6081    o Rcofr 6304    ^m cmap 7018   X_cixp 7063   Fincfn 7109   0cc0 8990    <_ cle 9121   NNcn 10000   NN0cn0 10221   ZZcz 10282   ZZ>=cuz 10488   ...cfz 11043
This theorem is referenced by:  gsumbagdiag  16441  psrass1lem  16442  psrmulcllem  16451  psrass1  16469  psrdi  16470  psrdir  16471  psrcom  16472  psrass23  16473  resspsrmul  16480  mplsubrglem  16502  mplmonmul  16527  psropprmul  16632
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-rep 4320  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701  ax-cnex 9046  ax-resscn 9047  ax-1cn 9048  ax-icn 9049  ax-addcl 9050  ax-addrcl 9051  ax-mulcl 9052  ax-mulrcl 9053  ax-mulcom 9054  ax-addass 9055  ax-mulass 9056  ax-distr 9057  ax-i2m1 9058  ax-1ne0 9059  ax-1rid 9060  ax-rnegex 9061  ax-rrecex 9062  ax-cnre 9063  ax-pre-lttri 9064  ax-pre-lttrn 9065  ax-pre-ltadd 9066  ax-pre-mulgt0 9067
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-pss 3336  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-tp 3822  df-op 3823  df-uni 4016  df-int 4051  df-iun 4095  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-tr 4303  df-eprel 4494  df-id 4498  df-po 4503  df-so 4504  df-fr 4541  df-we 4543  df-ord 4584  df-on 4585  df-lim 4586  df-suc 4587  df-om 4846  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-ofr 6306  df-1st 6349  df-2nd 6350  df-riota 6549  df-recs 6633  df-rdg 6668  df-1o 6724  df-2o 6725  df-oadd 6728  df-er 6905  df-map 7020  df-pm 7021  df-ixp 7064  df-en 7110  df-dom 7111  df-sdom 7112  df-fin 7113  df-pnf 9122  df-mnf 9123  df-xr 9124  df-ltxr 9125  df-le 9126  df-sub 9293  df-neg 9294  df-nn 10001  df-n0 10222  df-z 10283  df-uz 10489  df-fz 11044
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