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Theorem psrbas 16398
Description: The base set of the multivariate power series structure. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Dec-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 2-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
psrbas.s  |-  S  =  ( I mPwSer  R )
psrbas.k  |-  K  =  ( Base `  R
)
psrbas.d  |-  D  =  { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f
" NN )  e. 
Fin }
psrbas.b  |-  B  =  ( Base `  S
)
psrbas.i  |-  ( ph  ->  I  e.  V )
Assertion
Ref Expression
psrbas  |-  ( ph  ->  B  =  ( K  ^m  D ) )
Distinct variable group:    f, I
Allowed substitution hints:    ph( f)    B( f)    D( f)    R( f)    S( f)    K( f)    V( f)

Proof of Theorem psrbas
Dummy variables  g  h  k  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 psrbas.s . . . . 5  |-  S  =  ( I mPwSer  R )
2 psrbas.k . . . . 5  |-  K  =  ( Base `  R
)
3 eqid 2404 . . . . 5  |-  ( +g  `  R )  =  ( +g  `  R )
4 eqid 2404 . . . . 5  |-  ( .r
`  R )  =  ( .r `  R
)
5 eqid 2404 . . . . 5  |-  ( TopOpen `  R )  =  (
TopOpen `  R )
6 psrbas.d . . . . 5  |-  D  =  { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f
" NN )  e. 
Fin }
7 eqidd 2405 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  R  e.  _V )  ->  ( K  ^m  D )  =  ( K  ^m  D
) )
8 eqid 2404 . . . . 5  |-  (  o F ( +g  `  R
)  |`  ( ( K  ^m  D )  X.  ( K  ^m  D
) ) )  =  (  o F ( +g  `  R )  |`  ( ( K  ^m  D )  X.  ( K  ^m  D ) ) )
9 eqid 2404 . . . . 5  |-  ( g  e.  ( K  ^m  D ) ,  h  e.  ( K  ^m  D
)  |->  ( k  e.  D  |->  ( R  gsumg  ( x  e.  { y  e.  D  |  y  o R  <_  k }  |->  ( ( g `  x ) ( .r
`  R ) ( h `  ( k  o F  -  x
) ) ) ) ) ) )  =  ( g  e.  ( K  ^m  D ) ,  h  e.  ( K  ^m  D ) 
|->  ( k  e.  D  |->  ( R  gsumg  ( x  e.  {
y  e.  D  | 
y  o R  <_ 
k }  |->  ( ( g `  x ) ( .r `  R
) ( h `  ( k  o F  -  x ) ) ) ) ) ) )
10 eqid 2404 . . . . 5  |-  ( x  e.  K ,  g  e.  ( K  ^m  D )  |->  ( ( D  X.  { x } )  o F ( .r `  R
) g ) )  =  ( x  e.  K ,  g  e.  ( K  ^m  D
)  |->  ( ( D  X.  { x }
)  o F ( .r `  R ) g ) )
11 eqidd 2405 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  R  e.  _V )  ->  ( Xt_ `  ( D  X.  {
( TopOpen `  R ) } ) )  =  ( Xt_ `  ( D  X.  { ( TopOpen `  R ) } ) ) )
12 psrbas.i . . . . . 6  |-  ( ph  ->  I  e.  V )
1312adantr 452 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  R  e.  _V )  ->  I  e.  V )
14 simpr 448 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  R  e.  _V )  ->  R  e. 
_V )
151, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 13, 14psrval 16384 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  R  e.  _V )  ->  S  =  ( { <. ( Base `  ndx ) ,  ( K  ^m  D
) >. ,  <. ( +g  `  ndx ) ,  (  o F ( +g  `  R )  |`  ( ( K  ^m  D )  X.  ( K  ^m  D ) ) ) >. ,  <. ( .r `  ndx ) ,  ( g  e.  ( K  ^m  D ) ,  h  e.  ( K  ^m  D ) 
|->  ( k  e.  D  |->  ( R  gsumg  ( x  e.  {
y  e.  D  | 
y  o R  <_ 
k }  |->  ( ( g `  x ) ( .r `  R
) ( h `  ( k  o F  -  x ) ) ) ) ) ) ) >. }  u.  { <. (Scalar `  ndx ) ,  R >. ,  <. ( .s `  ndx ) ,  ( x  e.  K ,  g  e.  ( K  ^m  D )  |->  ( ( D  X.  {
x } )  o F ( .r `  R ) g ) ) >. ,  <. (TopSet ` 
ndx ) ,  (
Xt_ `  ( D  X.  { ( TopOpen `  R
) } ) )
>. } ) )
1615fveq2d 5691 . . 3  |-  ( (
ph  /\  R  e.  _V )  ->  ( Base `  S )  =  (
Base `  ( { <. ( Base `  ndx ) ,  ( K  ^m  D ) >. ,  <. ( +g  `  ndx ) ,  (  o F
( +g  `  R )  |`  ( ( K  ^m  D )  X.  ( K  ^m  D ) ) ) >. ,  <. ( .r `  ndx ) ,  ( g  e.  ( K  ^m  D ) ,  h  e.  ( K  ^m  D ) 
|->  ( k  e.  D  |->  ( R  gsumg  ( x  e.  {
y  e.  D  | 
y  o R  <_ 
k }  |->  ( ( g `  x ) ( .r `  R
) ( h `  ( k  o F  -  x ) ) ) ) ) ) ) >. }  u.  { <. (Scalar `  ndx ) ,  R >. ,  <. ( .s `  ndx ) ,  ( x  e.  K ,  g  e.  ( K  ^m  D )  |->  ( ( D  X.  {
x } )  o F ( .r `  R ) g ) ) >. ,  <. (TopSet ` 
ndx ) ,  (
Xt_ `  ( D  X.  { ( TopOpen `  R
) } ) )
>. } ) ) )
17 psrbas.b . . 3  |-  B  =  ( Base `  S
)
18 ovex 6065 . . . 4  |-  ( K  ^m  D )  e. 
_V
19 psrvalstr 16385 . . . . 5  |-  ( {
<. ( Base `  ndx ) ,  ( K  ^m  D ) >. ,  <. ( +g  `  ndx ) ,  (  o F
( +g  `  R )  |`  ( ( K  ^m  D )  X.  ( K  ^m  D ) ) ) >. ,  <. ( .r `  ndx ) ,  ( g  e.  ( K  ^m  D ) ,  h  e.  ( K  ^m  D ) 
|->  ( k  e.  D  |->  ( R  gsumg  ( x  e.  {
y  e.  D  | 
y  o R  <_ 
k }  |->  ( ( g `  x ) ( .r `  R
) ( h `  ( k  o F  -  x ) ) ) ) ) ) ) >. }  u.  { <. (Scalar `  ndx ) ,  R >. ,  <. ( .s `  ndx ) ,  ( x  e.  K ,  g  e.  ( K  ^m  D )  |->  ( ( D  X.  {
x } )  o F ( .r `  R ) g ) ) >. ,  <. (TopSet ` 
ndx ) ,  (
Xt_ `  ( D  X.  { ( TopOpen `  R
) } ) )
>. } ) Struct  <. 1 ,  9 >.
20 baseid 13466 . . . . 5  |-  Base  = Slot  ( Base `  ndx )
21 snsstp1 3909 . . . . . 6  |-  { <. (
Base `  ndx ) ,  ( K  ^m  D
) >. }  C_  { <. (
Base `  ndx ) ,  ( K  ^m  D
) >. ,  <. ( +g  `  ndx ) ,  (  o F ( +g  `  R )  |`  ( ( K  ^m  D )  X.  ( K  ^m  D ) ) ) >. ,  <. ( .r `  ndx ) ,  ( g  e.  ( K  ^m  D ) ,  h  e.  ( K  ^m  D ) 
|->  ( k  e.  D  |->  ( R  gsumg  ( x  e.  {
y  e.  D  | 
y  o R  <_ 
k }  |->  ( ( g `  x ) ( .r `  R
) ( h `  ( k  o F  -  x ) ) ) ) ) ) ) >. }
22 ssun1 3470 . . . . . 6  |-  { <. (
Base `  ndx ) ,  ( K  ^m  D
) >. ,  <. ( +g  `  ndx ) ,  (  o F ( +g  `  R )  |`  ( ( K  ^m  D )  X.  ( K  ^m  D ) ) ) >. ,  <. ( .r `  ndx ) ,  ( g  e.  ( K  ^m  D ) ,  h  e.  ( K  ^m  D ) 
|->  ( k  e.  D  |->  ( R  gsumg  ( x  e.  {
y  e.  D  | 
y  o R  <_ 
k }  |->  ( ( g `  x ) ( .r `  R
) ( h `  ( k  o F  -  x ) ) ) ) ) ) ) >. }  C_  ( { <. ( Base `  ndx ) ,  ( K  ^m  D ) >. ,  <. ( +g  `  ndx ) ,  (  o F
( +g  `  R )  |`  ( ( K  ^m  D )  X.  ( K  ^m  D ) ) ) >. ,  <. ( .r `  ndx ) ,  ( g  e.  ( K  ^m  D ) ,  h  e.  ( K  ^m  D ) 
|->  ( k  e.  D  |->  ( R  gsumg  ( x  e.  {
y  e.  D  | 
y  o R  <_ 
k }  |->  ( ( g `  x ) ( .r `  R
) ( h `  ( k  o F  -  x ) ) ) ) ) ) ) >. }  u.  { <. (Scalar `  ndx ) ,  R >. ,  <. ( .s `  ndx ) ,  ( x  e.  K ,  g  e.  ( K  ^m  D )  |->  ( ( D  X.  {
x } )  o F ( .r `  R ) g ) ) >. ,  <. (TopSet ` 
ndx ) ,  (
Xt_ `  ( D  X.  { ( TopOpen `  R
) } ) )
>. } )
2321, 22sstri 3317 . . . . 5  |-  { <. (
Base `  ndx ) ,  ( K  ^m  D
) >. }  C_  ( { <. ( Base `  ndx ) ,  ( K  ^m  D ) >. ,  <. ( +g  `  ndx ) ,  (  o F
( +g  `  R )  |`  ( ( K  ^m  D )  X.  ( K  ^m  D ) ) ) >. ,  <. ( .r `  ndx ) ,  ( g  e.  ( K  ^m  D ) ,  h  e.  ( K  ^m  D ) 
|->  ( k  e.  D  |->  ( R  gsumg  ( x  e.  {
y  e.  D  | 
y  o R  <_ 
k }  |->  ( ( g `  x ) ( .r `  R
) ( h `  ( k  o F  -  x ) ) ) ) ) ) ) >. }  u.  { <. (Scalar `  ndx ) ,  R >. ,  <. ( .s `  ndx ) ,  ( x  e.  K ,  g  e.  ( K  ^m  D )  |->  ( ( D  X.  {
x } )  o F ( .r `  R ) g ) ) >. ,  <. (TopSet ` 
ndx ) ,  (
Xt_ `  ( D  X.  { ( TopOpen `  R
) } ) )
>. } )
2419, 20, 23strfv 13456 . . . 4  |-  ( ( K  ^m  D )  e.  _V  ->  ( K  ^m  D )  =  ( Base `  ( { <. ( Base `  ndx ) ,  ( K  ^m  D ) >. ,  <. ( +g  `  ndx ) ,  (  o F
( +g  `  R )  |`  ( ( K  ^m  D )  X.  ( K  ^m  D ) ) ) >. ,  <. ( .r `  ndx ) ,  ( g  e.  ( K  ^m  D ) ,  h  e.  ( K  ^m  D ) 
|->  ( k  e.  D  |->  ( R  gsumg  ( x  e.  {
y  e.  D  | 
y  o R  <_ 
k }  |->  ( ( g `  x ) ( .r `  R
) ( h `  ( k  o F  -  x ) ) ) ) ) ) ) >. }  u.  { <. (Scalar `  ndx ) ,  R >. ,  <. ( .s `  ndx ) ,  ( x  e.  K ,  g  e.  ( K  ^m  D )  |->  ( ( D  X.  {
x } )  o F ( .r `  R ) g ) ) >. ,  <. (TopSet ` 
ndx ) ,  (
Xt_ `  ( D  X.  { ( TopOpen `  R
) } ) )
>. } ) ) )
2518, 24ax-mp 8 . . 3  |-  ( K  ^m  D )  =  ( Base `  ( { <. ( Base `  ndx ) ,  ( K  ^m  D ) >. ,  <. ( +g  `  ndx ) ,  (  o F
( +g  `  R )  |`  ( ( K  ^m  D )  X.  ( K  ^m  D ) ) ) >. ,  <. ( .r `  ndx ) ,  ( g  e.  ( K  ^m  D ) ,  h  e.  ( K  ^m  D ) 
|->  ( k  e.  D  |->  ( R  gsumg  ( x  e.  {
y  e.  D  | 
y  o R  <_ 
k }  |->  ( ( g `  x ) ( .r `  R
) ( h `  ( k  o F  -  x ) ) ) ) ) ) ) >. }  u.  { <. (Scalar `  ndx ) ,  R >. ,  <. ( .s `  ndx ) ,  ( x  e.  K ,  g  e.  ( K  ^m  D )  |->  ( ( D  X.  {
x } )  o F ( .r `  R ) g ) ) >. ,  <. (TopSet ` 
ndx ) ,  (
Xt_ `  ( D  X.  { ( TopOpen `  R
) } ) )
>. } ) )
2616, 17, 253eqtr4g 2461 . 2  |-  ( (
ph  /\  R  e.  _V )  ->  B  =  ( K  ^m  D
) )
27 reldmpsr 16383 . . . . . . . 8  |-  Rel  dom mPwSer
2827ovprc2 6069 . . . . . . 7  |-  ( -.  R  e.  _V  ->  ( I mPwSer  R )  =  (/) )
2928adantl 453 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  -.  R  e.  _V )  ->  (
I mPwSer  R )  =  (/) )
301, 29syl5eq 2448 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  -.  R  e.  _V )  ->  S  =  (/) )
3130fveq2d 5691 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  -.  R  e.  _V )  ->  ( Base `  S )  =  ( Base `  (/) ) )
32 base0 13461 . . . 4  |-  (/)  =  (
Base `  (/) )
3331, 17, 323eqtr4g 2461 . . 3  |-  ( (
ph  /\  -.  R  e.  _V )  ->  B  =  (/) )
34 fvprc 5681 . . . . . 6  |-  ( -.  R  e.  _V  ->  (
Base `  R )  =  (/) )
3534adantl 453 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  -.  R  e.  _V )  ->  ( Base `  R )  =  (/) )
362, 35syl5eq 2448 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  -.  R  e.  _V )  ->  K  =  (/) )
37 0nn0 10192 . . . . . . . 8  |-  0  e.  NN0
3837a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  -.  R  e.  _V )  /\  x  e.  I
)  ->  0  e.  NN0 )
39 eqid 2404 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  I  |->  0 )  =  ( x  e.  I  |->  0 )
4038, 39fmptd 5852 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  -.  R  e.  _V )  ->  (
x  e.  I  |->  0 ) : I --> NN0 )
41 0fin 7295 . . . . . . 7  |-  (/)  e.  Fin
42 nn0supp 10229 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  I  |->  0 ) : I --> NN0  ->  ( `' ( x  e.  I  |->  0 ) "
( _V  \  {
0 } ) )  =  ( `' ( x  e.  I  |->  0 ) " NN ) )
4340, 42syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  -.  R  e.  _V )  ->  ( `' ( x  e.  I  |->  0 ) "
( _V  \  {
0 } ) )  =  ( `' ( x  e.  I  |->  0 ) " NN ) )
44 eqidd 2405 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  -.  R  e.  _V )  /\  x  e.  (
I  \  (/) ) )  ->  0  =  0 )
4544suppss2 6259 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  -.  R  e.  _V )  ->  ( `' ( x  e.  I  |->  0 ) "
( _V  \  {
0 } ) ) 
C_  (/) )
4643, 45eqsstr3d 3343 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  -.  R  e.  _V )  ->  ( `' ( x  e.  I  |->  0 ) " NN )  C_  (/) )
47 ssfi 7288 . . . . . . 7  |-  ( (
(/)  e.  Fin  /\  ( `' ( x  e.  I  |->  0 ) " NN )  C_  (/) )  -> 
( `' ( x  e.  I  |->  0 )
" NN )  e. 
Fin )
4841, 46, 47sylancr 645 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  -.  R  e.  _V )  ->  ( `' ( x  e.  I  |->  0 ) " NN )  e.  Fin )
496psrbag 16386 . . . . . . . 8  |-  ( I  e.  V  ->  (
( x  e.  I  |->  0 )  e.  D  <->  ( ( x  e.  I  |->  0 ) : I --> NN0  /\  ( `' ( x  e.  I  |->  0 ) " NN )  e.  Fin )
) )
5012, 49syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  I  |->  0 )  e.  D  <->  ( ( x  e.  I  |->  0 ) : I --> NN0  /\  ( `' ( x  e.  I  |->  0 ) " NN )  e.  Fin ) ) )
5150adantr 452 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  -.  R  e.  _V )  ->  (
( x  e.  I  |->  0 )  e.  D  <->  ( ( x  e.  I  |->  0 ) : I --> NN0  /\  ( `' ( x  e.  I  |->  0 ) " NN )  e.  Fin )
) )
5240, 48, 51mpbir2and 889 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  -.  R  e.  _V )  ->  (
x  e.  I  |->  0 )  e.  D )
53 ne0i 3594 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  I  |->  0 )  e.  D  ->  D  =/=  (/) )
5452, 53syl 16 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  -.  R  e.  _V )  ->  D  =/=  (/) )
55 fvex 5701 . . . . . 6  |-  ( Base `  R )  e.  _V
562, 55eqeltri 2474 . . . . 5  |-  K  e. 
_V
57 ovex 6065 . . . . . . 7  |-  ( NN0 
^m  I )  e. 
_V
5857rabex 4314 . . . . . 6  |-  { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f " NN )  e.  Fin }  e.  _V
596, 58eqeltri 2474 . . . . 5  |-  D  e. 
_V
6056, 59map0 7013 . . . 4  |-  ( ( K  ^m  D )  =  (/)  <->  ( K  =  (/)  /\  D  =/=  (/) ) )
6136, 54, 60sylanbrc 646 . . 3  |-  ( (
ph  /\  -.  R  e.  _V )  ->  ( K  ^m  D )  =  (/) )
6233, 61eqtr4d 2439 . 2  |-  ( (
ph  /\  -.  R  e.  _V )  ->  B  =  ( K  ^m  D ) )
6326, 62pm2.61dan 767 1  |-  ( ph  ->  B  =  ( K  ^m  D ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1721    =/= wne 2567   {crab 2670   _Vcvv 2916    \ cdif 3277    u. cun 3278    C_ wss 3280   (/)c0 3588   {csn 3774   {ctp 3776   <.cop 3777   class class class wbr 4172    e. cmpt 4226    X. cxp 4835   `'ccnv 4836    |` cres 4839   "cima 4840   -->wf 5409   ` cfv 5413  (class class class)co 6040    e. cmpt2 6042    o Fcof 6262    o Rcofr 6263    ^m cmap 6977   Fincfn 7068   0cc0 8946   1c1 8947    <_ cle 9077    - cmin 9247   NNcn 9956   9c9 10012   NN0cn0 10177   ndxcnx 13421   Basecbs 13424   +g cplusg 13484   .rcmulr 13485  Scalarcsca 13487   .scvsca 13488  TopSetcts 13490   TopOpenctopn 13604   Xt_cpt 13621    gsumg cgsu 13679   mPwSer cmps 16361
This theorem is referenced by:  psrelbas  16399  psrplusg  16400  psraddcl  16402  psrmulr  16403  psrmulcllem  16406  psrsca  16408  psrvscafval  16409  psrvscacl  16412  psr0cl  16413  psrnegcl  16415  psr1cl  16421  resspsrbas  16433  resspsradd  16434  resspsrmul  16435  subrgpsr  16437  mvrf  16443  mplmon  16481  mplcoe1  16483  opsrtoslem2  16500  psr1bas  16544  psrbaspropd  16583  ply1plusgfvi  16591
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-cnex 9002  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022  ax-pre-mulgt0 9023
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-int 4011  df-iun 4055  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-of 6264  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-riota 6508  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-1o 6683  df-oadd 6687  df-er 6864  df-map 6979  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-fin 7072  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-xr 9080  df-ltxr 9081  df-le 9082  df-sub 9249  df-neg 9250  df-nn 9957  df-2 10014  df-3 10015  df-4 10016  df-5 10017  df-6 10018  df-7 10019  df-8 10020  df-9 10021  df-n0 10178  df-z 10239  df-uz 10445  df-fz 11000  df-struct 13426  df-ndx 13427  df-slot 13428  df-base 13429  df-plusg 13497  df-mulr 13498  df-sca 13500  df-vsca 13501  df-tset 13503  df-psr 16372
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