Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  psrbas Structured version   Unicode version

Theorem psrbas 16448
 Description: The base set of the multivariate power series structure. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Dec-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 2-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
psrbas.s mPwSer
psrbas.k
psrbas.d
psrbas.b
psrbas.i
Assertion
Ref Expression
psrbas
Distinct variable group:   ,
Allowed substitution hints:   ()   ()   ()   ()   ()   ()   ()

Proof of Theorem psrbas
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 psrbas.s . . . . 5 mPwSer
2 psrbas.k . . . . 5
3 eqid 2438 . . . . 5
4 eqid 2438 . . . . 5
5 eqid 2438 . . . . 5
6 psrbas.d . . . . 5
7 eqidd 2439 . . . . 5
8 eqid 2438 . . . . 5
9 eqid 2438 . . . . 5 g g
10 eqid 2438 . . . . 5
11 eqidd 2439 . . . . 5
12 psrbas.i . . . . . 6
1312adantr 453 . . . . 5
14 simpr 449 . . . . 5
151, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 13, 14psrval 16434 . . . 4 g Scalar TopSet
1615fveq2d 5735 . . 3 g Scalar TopSet
17 psrbas.b . . 3
18 ovex 6109 . . . 4
19 psrvalstr 16435 . . . . 5 g Scalar TopSet Struct
20 baseid 13516 . . . . 5 Slot
21 snsstp1 3951 . . . . . 6 g
22 ssun1 3512 . . . . . 6 g g Scalar TopSet
2321, 22sstri 3359 . . . . 5 g Scalar TopSet
2419, 20, 23strfv 13506 . . . 4 g Scalar TopSet
2518, 24ax-mp 5 . . 3 g Scalar TopSet
2616, 17, 253eqtr4g 2495 . 2
27 reldmpsr 16433 . . . . . . . 8 mPwSer
2827ovprc2 6113 . . . . . . 7 mPwSer
2928adantl 454 . . . . . 6 mPwSer
301, 29syl5eq 2482 . . . . 5
3130fveq2d 5735 . . . 4
32 base0 13511 . . . 4
3331, 17, 323eqtr4g 2495 . . 3
34 fvprc 5725 . . . . . 6
3534adantl 454 . . . . 5
362, 35syl5eq 2482 . . . 4
37 0nn0 10241 . . . . . . . 8
3837a1i 11 . . . . . . 7
39 eqid 2438 . . . . . . 7
4038, 39fmptd 5896 . . . . . 6
41 0fin 7339 . . . . . . 7
42 nn0supp 10278 . . . . . . . . 9
4340, 42syl 16 . . . . . . . 8
44 eqidd 2439 . . . . . . . . 9
4544suppss2 6303 . . . . . . . 8
4643, 45eqsstr3d 3385 . . . . . . 7
47 ssfi 7332 . . . . . . 7
4841, 46, 47sylancr 646 . . . . . 6
496psrbag 16436 . . . . . . . 8
5012, 49syl 16 . . . . . . 7
5150adantr 453 . . . . . 6
5240, 48, 51mpbir2and 890 . . . . 5
53 ne0i 3636 . . . . 5
5452, 53syl 16 . . . 4
55 fvex 5745 . . . . . 6
562, 55eqeltri 2508 . . . . 5
57 ovex 6109 . . . . . . 7
5857rabex 4357 . . . . . 6
596, 58eqeltri 2508 . . . . 5
6056, 59map0 7057 . . . 4
6136, 54, 60sylanbrc 647 . . 3
6233, 61eqtr4d 2473 . 2
6326, 62pm2.61dan 768 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wn 3   wi 4   wb 178   wa 360   wceq 1653   wcel 1726   wne 2601  crab 2711  cvv 2958   cdif 3319   cun 3320   wss 3322  c0 3630  csn 3816  ctp 3818  cop 3819   class class class wbr 4215   cmpt 4269   cxp 4879  ccnv 4880   cres 4883  cima 4884  wf 5453  cfv 5457  (class class class)co 6084   cmpt2 6086   cof 6306   cofr 6307   cmap 7021  cfn 7112  cc0 8995  c1 8996   cle 9126   cmin 9296  cn 10005  c9 10061  cn0 10226  cnx 13471  cbs 13474   cplusg 13534  cmulr 13535  Scalarcsca 13537  cvsca 13538  TopSetcts 13540  ctopn 13654  cpt 13671   g cgsu 13729   mPwSer cmps 16411 This theorem is referenced by:  psrelbas  16449  psrplusg  16450  psraddcl  16452  psrmulr  16453  psrmulcllem  16456  psrsca  16458  psrvscafval  16459  psrvscacl  16462  psr0cl  16463  psrnegcl  16465  psr1cl  16471  resspsrbas  16483  resspsradd  16484  resspsrmul  16485  subrgpsr  16487  mvrf  16493  mplmon  16531  mplcoe1  16533  opsrtoslem2  16550  psr1bas  16594  psrbaspropd  16633  ply1plusgfvi  16641 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-sep 4333  ax-nul 4341  ax-pow 4380  ax-pr 4406  ax-un 4704  ax-cnex 9051  ax-resscn 9052  ax-1cn 9053  ax-icn 9054  ax-addcl 9055  ax-addrcl 9056  ax-mulcl 9057  ax-mulrcl 9058  ax-mulcom 9059  ax-addass 9060  ax-mulass 9061  ax-distr 9062  ax-i2m1 9063  ax-1ne0 9064  ax-1rid 9065  ax-rnegex 9066  ax-rrecex 9067  ax-cnre 9068  ax-pre-lttri 9069  ax-pre-lttrn 9070  ax-pre-ltadd 9071  ax-pre-mulgt0 9072 This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-int 4053  df-iun 4097  df-br 4216  df-opab 4270  df-mpt 4271  df-tr 4306  df-eprel 4497  df-id 4501  df-po 4506  df-so 4507  df-fr 4544  df-we 4546  df-ord 4587  df-on 4588  df-lim 4589  df-suc 4590  df-om 4849  df-xp 4887  df-rel 4888  df-cnv 4889  df-co 4890  df-dm 4891  df-rn 4892  df-res 4893  df-ima 4894  df-iota 5421  df-fun 5459  df-fn 5460  df-f 5461  df-f1 5462  df-fo 5463  df-f1o 5464  df-fv 5465  df-ov 6087  df-oprab 6088  df-mpt2 6089  df-of 6308  df-1st 6352  df-2nd 6353  df-riota 6552  df-recs 6636  df-rdg 6671  df-1o 6727  df-oadd 6731  df-er 6908  df-map 7023  df-en 7113  df-dom 7114  df-sdom 7115  df-fin 7116  df-pnf 9127  df-mnf 9128  df-xr 9129  df-ltxr 9130  df-le 9131  df-sub 9298  df-neg 9299  df-nn 10006  df-2 10063  df-3 10064  df-4 10065  df-5 10066  df-6 10067  df-7 10068  df-8 10069  df-9 10070  df-n0 10227  df-z 10288  df-uz 10494  df-fz 11049  df-struct 13476  df-ndx 13477  df-slot 13478  df-base 13479  df-plusg 13547  df-mulr 13548  df-sca 13550  df-vsca 13551  df-tset 13553  df-psr 16422
 Copyright terms: Public domain W3C validator