MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  psrbaspropd Unicode version

Theorem psrbaspropd 16616
Description: Property deduction for power series base set. (Contributed by Stefan O'Rear, 27-Mar-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
psrbaspropd.e  |-  ( ph  ->  ( Base `  R
)  =  ( Base `  S ) )
Assertion
Ref Expression
psrbaspropd  |-  ( ph  ->  ( Base `  (
I mPwSer  R ) )  =  ( Base `  (
I mPwSer  S ) ) )

Proof of Theorem psrbaspropd
Dummy variable  a is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2435 . . . 4  |-  ( I mPwSer  R )  =  ( I mPwSer  R )
2 eqid 2435 . . . 4  |-  ( Base `  R )  =  (
Base `  R )
3 eqid 2435 . . . 4  |-  { a  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' a " NN )  e.  Fin }  =  { a  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' a
" NN )  e. 
Fin }
4 eqid 2435 . . . 4  |-  ( Base `  ( I mPwSer  R ) )  =  ( Base `  ( I mPwSer  R ) )
5 simpr 448 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  I  e.  _V )  ->  I  e. 
_V )
61, 2, 3, 4, 5psrbas 16431 . . 3  |-  ( (
ph  /\  I  e.  _V )  ->  ( Base `  ( I mPwSer  R ) )  =  ( (
Base `  R )  ^m  { a  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' a
" NN )  e. 
Fin } ) )
7 eqid 2435 . . . . 5  |-  ( I mPwSer  S )  =  ( I mPwSer  S )
8 eqid 2435 . . . . 5  |-  ( Base `  S )  =  (
Base `  S )
9 eqid 2435 . . . . 5  |-  ( Base `  ( I mPwSer  S ) )  =  ( Base `  ( I mPwSer  S ) )
107, 8, 3, 9, 5psrbas 16431 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  I  e.  _V )  ->  ( Base `  ( I mPwSer  S ) )  =  ( (
Base `  S )  ^m  { a  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' a
" NN )  e. 
Fin } ) )
11 psrbaspropd.e . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( Base `  R
)  =  ( Base `  S ) )
1211adantr 452 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  I  e.  _V )  ->  ( Base `  R )  =  (
Base `  S )
)
1312oveq1d 6087 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  I  e.  _V )  ->  ( (
Base `  R )  ^m  { a  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' a
" NN )  e. 
Fin } )  =  ( ( Base `  S
)  ^m  { a  e.  ( NN0  ^m  I
)  |  ( `' a " NN )  e.  Fin } ) )
1410, 13eqtr4d 2470 . . 3  |-  ( (
ph  /\  I  e.  _V )  ->  ( Base `  ( I mPwSer  S ) )  =  ( (
Base `  R )  ^m  { a  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' a
" NN )  e. 
Fin } ) )
156, 14eqtr4d 2470 . 2  |-  ( (
ph  /\  I  e.  _V )  ->  ( Base `  ( I mPwSer  R ) )  =  ( Base `  ( I mPwSer  S ) ) )
16 reldmpsr 16416 . . . . . 6  |-  Rel  dom mPwSer
1716ovprc1 6100 . . . . 5  |-  ( -.  I  e.  _V  ->  ( I mPwSer  R )  =  (/) )
1816ovprc1 6100 . . . . 5  |-  ( -.  I  e.  _V  ->  ( I mPwSer  S )  =  (/) )
1917, 18eqtr4d 2470 . . . 4  |-  ( -.  I  e.  _V  ->  ( I mPwSer  R )  =  ( I mPwSer  S ) )
2019fveq2d 5723 . . 3  |-  ( -.  I  e.  _V  ->  (
Base `  ( I mPwSer  R ) )  =  (
Base `  ( I mPwSer  S ) ) )
2120adantl 453 . 2  |-  ( (
ph  /\  -.  I  e.  _V )  ->  ( Base `  ( I mPwSer  R
) )  =  (
Base `  ( I mPwSer  S ) ) )
2215, 21pm2.61dan 767 1  |-  ( ph  ->  ( Base `  (
I mPwSer  R ) )  =  ( Base `  (
I mPwSer  S ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 359    = wceq 1652    e. wcel 1725   {crab 2701   _Vcvv 2948   (/)c0 3620   `'ccnv 4868   "cima 4872   ` cfv 5445  (class class class)co 6072    ^m cmap 7009   Fincfn 7100   NNcn 9989   NN0cn0 10210   Basecbs 13457   mPwSer cmps 16394
This theorem is referenced by:  psrplusgpropd  16617  mplbaspropd  16618  psropprmul  16620
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4692  ax-cnex 9035  ax-resscn 9036  ax-1cn 9037  ax-icn 9038  ax-addcl 9039  ax-addrcl 9040  ax-mulcl 9041  ax-mulrcl 9042  ax-mulcom 9043  ax-addass 9044  ax-mulass 9045  ax-distr 9046  ax-i2m1 9047  ax-1ne0 9048  ax-1rid 9049  ax-rnegex 9050  ax-rrecex 9051  ax-cnre 9052  ax-pre-lttri 9053  ax-pre-lttrn 9054  ax-pre-ltadd 9055  ax-pre-mulgt0 9056
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-int 4043  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4837  df-xp 4875  df-rel 4876  df-cnv 4877  df-co 4878  df-dm 4879  df-rn 4880  df-res 4881  df-ima 4882  df-iota 5409  df-fun 5447  df-fn 5448  df-f 5449  df-f1 5450  df-fo 5451  df-f1o 5452  df-fv 5453  df-ov 6075  df-oprab 6076  df-mpt2 6077  df-of 6296  df-1st 6340  df-2nd 6341  df-riota 6540  df-recs 6624  df-rdg 6659  df-1o 6715  df-oadd 6719  df-er 6896  df-map 7011  df-en 7101  df-dom 7102  df-sdom 7103  df-fin 7104  df-pnf 9111  df-mnf 9112  df-xr 9113  df-ltxr 9114  df-le 9115  df-sub 9282  df-neg 9283  df-nn 9990  df-2 10047  df-3 10048  df-4 10049  df-5 10050  df-6 10051  df-7 10052  df-8 10053  df-9 10054  df-n0 10211  df-z 10272  df-uz 10478  df-fz 11033  df-struct 13459  df-ndx 13460  df-slot 13461  df-base 13462  df-plusg 13530  df-mulr 13531  df-sca 13533  df-vsca 13534  df-tset 13536  df-psr 16405
  Copyright terms: Public domain W3C validator